unidad 5 series de fourier
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5/25/2018 Unidad 5 Series de Fourier
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Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clsico del Anlisis Matemtico.
Desde su aparicin en el siglo XVIII en el estudio de las vibraciones de una cuerda, las
series de Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el anlisis deciertos fenmenos peridicos de la fsica y la Ingeniera. La idea fundamental se basa en
aproximar la funcin, no por una serie de potencias (desarrollo de Taylor), sino por una
serie de funciones peridicas (senos y cosenos).
En lo que sigue consideraremos que las funciones con las que se trabaja son Riemann
integrables en el intervalo correspondiente (bastara, por ejemplo, suponer que son
continuas salvo en un numero finito de puntos donde presentan discontinuidades de
salto).
- Funciones Ortogonales.
Definicin: El producto escalar de dos funciones f1y f2definidas en un intervalo [a, b] es el
numero
Entonces la norma que induce este producto escalar de una funcin f definida en el
intervalo [a, b] es el numero
Ejemplo:
El conjunto es ortogonal en el intervalo En efecto,
Si m y n son ambos distintos de 0,
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En este ejemplo, si calculamos las normas de cada funcin, obtenemos:
Y para n > 0,
De esta forma el conjunto es ortogonal en
Segn la definicin de la serie de Fourier, cualquier seal peridica puede ser
representada como la suma de: un valor constante (llamado nivel dc), ms una sumatoria
infinita de ondas coseno (llamados armnicos coseno), ms una sumatoria infinita de
ondas seno (llamados armnicos seno).
Estos armnicos en el seno y coseno, tienen una caracterstica especial, sus respectivas
frecuencias angulares: Wn , son mltiplos enteros de la frecuencia angular fundamental W0
de la seal original, o sea que:
Wn= n*w
0. Dnde (n) representa a todos los nmeros enteros positivos. Lo que introduce
la idea de que, una seal peridica con una frecuencia angular fundamental w0 , tiene
intrnsecamente contenidas, frecuencias angulares que estn armnicamente
relacionadas entre s.
Recordemos la definicin para una seal peridica cualquiera, llamada f (t):
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O lo que es lo mismo, porque Wn= n*w0:
Para una seal peridica f (t) en particular, el perodo T es conocido y su frecuencia
angular fundamental Wo tambin es conocida por qu se puede calcular por frmula.Pero,
Cmo podemos calcular los respectivos valores de ao, an, bn?
Los valores de ao , an , bn conocidos como los coeficientes de Fourier, pueden ser
calculados utilizando frmulas que ms adelante se detallan.
Sea : R R una funcin de periodo 2, continua a trosos y sean y suscoeficientes de Fourier. Entonces
Para todo entero positivo N.
Demostracion. Sea{Sn} la sucesin de sumas parciales de la serie de Fourier de ,considerando la formula con P= Sn, obtenemos
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Una serie de Fourier es unaserie infinita que converge puntualmente a
una peridica ycontinua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la
herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizarfunciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma
infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y
cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico francsJean-
Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba la ecuacin. Fue el
primero que estudi tales series sistemticamente, y public sus resultados iniciales
en1807 y1811.Esta rea de investigacin se llama algunas vecesAnlisis armnico.
Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una
herramienta sumamente til en la teora matemtica abstracta. reas de aplicacin
incluyen anlisis vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y
compresin de datos. En ingeniera, para el caso de los sistemas de
telecomunicaciones, y a travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia
de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal
portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
funcin
Veamos un ejemplo:
En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:
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Si la serie de Fourier converge hacia: (x) de cada puntoxdonde es diferenciable:
El Teorema de Fourier asegura que (bajo ciertas condiciones) toda funcin
peridica f(t) de periodo T puede expresarse como suma (serie de Fourier) de funciones
seno y coseno:
f(t)=a02+m=1amcos(m0t)+m=1bmsin(m0t)
donde w0=2 Tes la frecuencia (angular) fundamental y todas las otras frecuencias son
mltiplos enteros (armnicos) de w0.
El proceso de hallar los coeficientes de los senos y cosenos se denomina anlisis de
Fourier y el proceso de reconstruir la funcin a partir de dichos coeficientes, sntesis de
Fourier. Al usar un ordenador para estas operaciones, la suma infinita debe obviamente
truncarse y sumar slo un nmero finito de trminos, obteniendo una aproximacin de la
funcin original.
En esta prctica debe construirse una aplicacin que permita al usuario especificar una
funcin dada y elegir el nmero de trminos a usar. El modelo debe entonces calcular los
coeficientes de Fourier (anlisis) hasta un cierto ndice (a determinar tambin por el
usuario) y representar la aproximacin construida a partir de estos coeficientes (sntesis).
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Las condiciones que una base determinada f(x) debe cumplir para poder ser
representada como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones que
esquematizadas en los siguientes puntos:
[1]
y su correspondiente transformada inversa
[2]
integral que se extiende sobre cualquier intervalo de integracin de valor 2p.
Si deseamos disear un filtro con una respuesta en frecuencia H(W) determinadaaplicando la ecuacin [2] tenemos una metodologa para obtener h[n] teniendo en cuentaque la implementacin no recursiva fuerza a truncar la respuesta impulsional ya que no sepuede realizar una respuesta de longitud infinita con un filtro recursivo.
la condicin de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo decondicin de
frontera o contorno, denominado as en honor aJohann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet (1805-1859),1cuando en una ecuacin diferencialordinaria o una enderivadas
parciales,se le especifican los valores de la solucin que necesita la frontera del dominio.
La cuestin de hallar las soluciones a esas ecuaciones con esta condicin se le conoce
comoproblema de Dirichlet.
En caso de una ecuacin diferencial ordinaria tal como:
sobre el intervalo [0,1], las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:
http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_fronterahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_fronterahttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Dirichlet#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Dirichlet#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Dirichlet#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_en_derivadas_parcialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Dirichlet#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlethttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_fronterahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera -
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donde and son nmeros dados.
Para una ecuacin diferencial en derivadas parciales sobre un dominio tal como:
donde es ellaplaciano,las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:
donde fes unafuncin conocida definida sobre .
Las condiciones de frontera de Dirichlet son quizs las ms fciles de entender sin
embargo hay otros tipos de condiciones posibles. Por ejemplo, estn las condiciones de
frontera deCauchy o lasmixtas que son una combinacin de las condiciones de Dirichlet
y las deNeumann.
Convergencia de las series de Fourier trigonomtricas Anlisis deforma de ondas
Algunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie,
llamada serie trigonomtrica de Fourier
()
() ()
N=1, 2, 3
Representamos una onda sonora por una funcin del tiempo
t s(t).
Una funcin es peridica, con periodo T si se cumple
s(t) = s(t + T ) para cualquier valor de t, y la igualdad anterior no se cumple con valoresms pequeos de T .
Observacin Una funcin peridica con periodo T cumple
s(t) = s(t + T ) = s(t + 2T ) = s(t + 3T ) = . . .
Una sinusoide es una funcin que se puede expresar como un seno, con una
determinada amplitud, frecuencia y fase: s(t) = A sin( t + )
http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_de_Laplacehttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_mixtahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Neumannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Neumannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_mixtahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_de_Laplace -
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Observacin 1 En esta igualdad, A es la amplitud, es la frecuencia angular y es la
fase. La frecuencia en ciclos por segundo es f = 2
Las ondas armnicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, yaque todos los movimientos ondulatorios estn limitados tanto espacial como
temporalmente. Utilizando el anlisis de Fourier y la transformada de Fourier sepueden describir formas de ondas ms complejas como las que producen losinstrumentos musicales.
El anlisis de Fourier surgi a partir del intento de ste matemtico francs porhallar la solucin a un problema prctico, la conduccin del calor en un anillo dehierro. Demostr que se puede obtener una funcin discontinua a partir de la sumade funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la AcademiaFrancesa, lo que motiv severas objeciones de los matemticos ms importantesde su poca como Lagrange, Laplace, etc.
Descripcin
A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejasrepresenta una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es peridica,se puede representar con una precisin arbitraria, mediante la superposicin de unnmero suficientemente grande de ondas senoidales que forman una seriearmnica.
Toda funcin f(t) peridica de periodo P, se puede representar en forma de unasuma infinita de funciones armnicas, es decir,
donde el periodo P=2p/w, y a0a1...ai... y b1b2.... bi.... son los denominadoscoeficientes de Fourier.
Conocida la funcin peridica f(t), calculamos los coeficientes aiy bidel siguientemodo
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html -
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Las integrales tienen como lmite inferior -P/2 y como lmite superior P/2.
En el programa interactivo, transformamos la funcin peridica de periodo P, enotra funcin peridica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en eleje t. Escribiendo x=w t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo
2p de x, y la funcin f(t) convertida en
definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma mssimple
donde
Si la funcin g(x) tiene simetra, algunos de los coeficientes resultan nulos.
Si g(x) es una funcin par, g(x)=g(-x), los trminos bison nulos
Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes aison nulos
Por ejemplo, para el pulso rectangular simtrico de anchura 1, y periodo 2 seobtienen los siguientes coeficientes.
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Funciones pares e impares. Simetra de onda simetra de un cuarto
de onda coeficientes de ondas de simtricas.Funciones par e impar
Se dice que una funcin es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que lafuncin es impar.
Ejemplos 1:
La funcin y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x
pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).
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Ejemplo 2:
Otra funcin impar es y = 1/x
Cuando f(x) = -f(-x)
Ejemplo 3:
La funcin f(x)=x2es par ya que f(-x) = (-x)2=x2
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Simetra de media onda.
Tipo de simetra existente en algunas seales peridicas que permite muchas veces lasimplificacin de diversos clculos. Grficamente se verifica al invertir y desplazar medioperodo (adelante o atrs) la seal y obtener como resultado una seal idntica a laoriginal.
Ejemplo:
La simetra de Media Onda puede combinarse
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Simetra de un cuarto de onda.
Si una funcin peridica f(t) tiene simetra de media onda y adems es una funcin
par o impar, entonces se dice que f(t) tiene simetra de cuarto de onda par o impar
respectivamente.
Se muestra una funcin que tiene simetra de cuarto de onda par y una simetra de cuarto
de onda impar.
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Coeficientes de Fourier de ondas simtricas
Toda funcin f(t) peridica de periodo P, se puede representar en forma de una sumainfinita de ondas simetricas, es decir,
donde el periodo P=2p/w, y a0, a1, ...ai...y b1, b2, .... bi....son los denominadoscoeficientes de Fourier.
Para aplicar el teorema de Fourier a una funcin peridica dada es necesario determinarlos coeficientes aiy bi.
En el programa, hemos transformado la funcin peridica de periodo P, en otra funcinperidica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t.Escribiendox=w t,tendremos el periodo Pde tconvertido en el periodo 2p dex, y lafuncin f(t)convertida en
http://1.bp.blogspot.com/-X7xcxDqUG2k/TbG9r171boI/AAAAAAAAAvI/LhBLzp3ziS0/s1600/f5.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/-X7xcxDqUG2k/TbG9r171boI/AAAAAAAAAvI/LhBLzp3ziS0/s1600/f5.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/-X7xcxDqUG2k/TbG9r171boI/AAAAAAAAAvI/LhBLzp3ziS0/s1600/f5.PNG -
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definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma ms simple
donde
Si la funcin g(x)tiene simetra, algunos de los coeficientes resultan nulos.
Si g(x)es una funcin par, g(x)=g(-x), los trminos bison nulos
Si g(x)es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes aison nulos
Por ejemplo, para el pulso rectangular simtrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los
siguientes coeficientes.
Evaluacin de coeficientes de Fourier por diferenciacin.
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Forma compleja de los coeficientes de Fourier.
La forma compleja de los coeficientes Fourier es unaserie infinita que converge
puntualmente a una funcin peridica ycontinua a trozos (o por partes). Las series de
Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado
para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una
suma infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos
y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico francsJean-
Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba la ecuacin. Fue el
http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_peri%C3%B3dicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica -
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primero que estudi tales series sistemticamente, y public sus resultados iniciales
en1807 y1811.Esta rea de investigacin se llama algunas vecesAnlisis armnico.
Otra forma de expresar el coeficiente forma de Fourier es:
donde
Expansin en serie de Fourier de una funcin de intervalo
finito
limx->af(x)=b para todo >0 existe >0 / para todo x, 0 < |x-a| < |f(x) - b| < .
Otra notacin:
limx->af(x)=b para todo Eb,existe un E*a,/ para todo x perteneciente al E
*a,f(x)
pertenece a Eb,.
Se dice que la funcin f(x) tiene lmite b, cuando x tiende a a, si dado positivo arbitrario y
tan pequeo como se quiera, existe un tal que para todo x perteneciente al entorno
reducido de a de radio , la funcin pertenece al entorno de b de radio .
Dicho de otro modo, para cualquier nmero positivo , por pequeo que sea, podemos
encontrar un tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio se
cumple que f(x) est dentro del entorno de b de radio .
http://es.wikipedia.org/wiki/1807http://es.wikipedia.org/wiki/1811http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/1811http://es.wikipedia.org/wiki/1807 -
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limx->af(x)=b significa que por ms pequeo que sea el entorno considerado alrededor de
b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x a), la funcin f da
como resultado valores que estn dentro del entorno de b considerado.
En otras palabras, la funcin f(x) tiene lmite b, cuando x tiende a a, si el valor de la
funcin f(x) se hace arbitrariamente prximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.
Notar que la definicin dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o
puede estar fuera del entorno de b, pero el lmite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.
f(a) b, perolimx->af(x)=b
la transformada de Fourier, denominada as porJoseph Fourier,es unaaplicacin que
hace corresponder a una funcin f, con valorescomplejos y definida en la recta, con otrafuncin g definida de la manera siguiente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier -
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Donde f es , es decir, f tiene que ser una funcinintegrable en el sentido de laintegralde Lebesgue. El factor, que acompaa la integral en definicin facilita el enunciado dealgunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma denormalizar la transformada de Fourier es la ms comnmente adoptada, no es universal.
En la prctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio
-metros-, frecuencia -herzios-,...) y entonces es correcto utilizar la frmula alternativa:
de forma que la constante beta cancela las dimensiones asociadas a las variablesobteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier as definida goza de una serie de propiedades de continuidadque garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso aespacios defunciones generalizadas.
Adems, tiene una multitud de aplicaciones en muchas reas de la ciencia e ingeniera:lafsica, lateora de los nmeros, lacombinatoria, elprocesamiento deseales(electrnica), la teora de la probabilidad, laestadstica, laptica, lapropagacinde ondas y otras reas. En procesamiento de seales la transformada de Fourier sueleconsiderarse como la descomposicin de una seal en componentesdefrecuencias diferentes, es decir, g corresponde alespectro de frecuencias de la seal f.
La rama de la matemtica que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones
es denominadaanlisis armnico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aqu
algunas de ellas:
.
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Herziohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generalizadahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_ondashttp://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_ondashttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_frecuenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_arm%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_frecuenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_ondashttp://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_ondashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generalizadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Herziohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesguehttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n