MATEMÁTICA IV

2011

UNIDAD III Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden

Superior.

Recopilación: Oscar Díaz.

U N I D A D D E C I E N C I A S B Á S I C A S . F I A - U E S

2

3.1 TEORÍA PRELIMINAR.

Un problema de valor inicial para una ecuación de orden n es

Resolver 2

2 1 02 2

n

nd y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

Sujeto a 10 0 1 0 1, , , n

ny x y y x y y x y

El teorema siguiente nos da las condiciones suficientes para la existencia de una solución única del problema de valor inicial de orden n . Recuerde que condiciones suficientes significa que si

las condiciones enunciadas no se satisfacen, pueden existir soluciones únicas.

EEJJEEMMPPLLOO 11:: EENNCCOONNTTRRAANNDDOO EELL IINNTTEERRVVAALLOO DDEE DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN..

Determine el máximo intervalo para el cual el teorema 1 asegura la existencia y unicidad de

una solución del PVI 2

2

1 ln3

d y dy x y xdx x dx

Sujeto a 1 3, 1 5y y

2 1a x continuo para todo x

11

3a x

x

es continua para 3x

0a x x es continua para 0x

lng x x es continua para 0x

Por tanto el intervalo abierto más grande que contiene a 0 1x para el cual los tres

coeficientes son simultáneamente continuos es el intervalo 0,3 . Concluimos que el PVI

dado tiene una solución única en el intervalo 0,3 .

Teorema 1: Existencia de una solución única.

Si 1 0, , , y na x a x a x g x son continuas en un intervalo I , y que

0na x para toda x presente en ese intervalo. Si 0x x está en cualquier

punto de este intervalo, entonces en el intervalo existirá una solución y x al

problema de valor inicial (1) y ésta será única.

(1)

SOLUCIÓN

En este caso debemos verificar la continuidad de los coeficientes en la ED. Note que el coeficiente de la segunda derivada en continuo para todos los valores de x

0x 3x

I

Clase 1

3

PPRROOBBLLEEMMAA DDEE VVAALLOORREESS EENN LLAA FFRROONNTTEERRAA ((PPVVFF))..

Otro tipo de problema similar al PVI consiste en resolver una ED de segundo orden o mayor en la cual la variable dependiente y, o sus derivadas estén especificadas en puntos diferentes. Por ejemplo, un problema como

Resolver 2

2 1 02

d y dya x a x a x y g xdx dx

Sujeto a 0 1,y a y y b y

Se denomina problema de valores en la frontera (PVF). Las condiciones impuestas se conocen como condiciones de frontera. Para una ecuación diferencial de segundo orden podemos definir los siguientes pares de condiciones en la frontera además del presentado anteriormente:

0 1,y a y y b y

0 1,y a y y b y

0 1,y a y y b y

EEJJEEMMPPLLOO 22:: UUNN PPVVFF

Use la familia biparamétrica de soluciones 1 2cos siny c t c t de la ecuación diferencial

0y y para encontrar una solución que satisfaga las condiciones de frontera

a) 0 1, 1y y b) 0 1, 2 1y y c) 0 1, 14

y y

Como no podemos hacer que 1c sea igual a 1 y -1 al mismo tiempo, esta condición implica que

el problema de valores en la frontera no tiene solución.

b) la primera y segunda condición implican que:

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos 2 sin 2c c

Del sistema resulta que 1 1c , pero no podemos encontrar el valor de 2c . Esto nos indica que

cualquier valore es correcto, en otras palabras, el PVF presenta una infinidad de soluciones de

la forma 2cos siny t c t .

c) finalmente, el par de condiciones implican que

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos sin4 4

c c de donde obtenemos 1 21 y 2 1c c .

Por tanto cos 2 1 siny t t es la solución única al PVF

SOLUCIÓN

a) La primera condición implica que:

1 2 11 cos0 sin 0 1c c c y la segunda nos dice que

1 2 11 cos sin 1c c c .

4

En las siguientes figuras se muestran los resultados de los tres incisos anteriores.

FIGURA 1

Ninguna curva pasa por ambos puntos especificados a la vez.

FIGURA 2

Muchas curvas pasando por los puntos especificados.

FIGURA 3

Una única curva pasado por los puntos especificados.

5

OOPPEERRAADDOORREESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS LLIINNEEAALLEESS

Denotemos con D la derivada de la variable dependiente con respecto a la variable

independiente, es decir 2

22, , ,

nn

n

dy d y d yDy D y D ydx dx dx

. Usando esta notación

podemos escribir el lado izquierdo de la ecuación

2

2

d y dyP x Q x y g xdx dx

de la siguiente manera:

2 2D y PDy Qy D PD Q y

Esta expresión genera una nueva función a la que denominaremos operador diferencial L .

2L D PD Q

De tal manera que (2) se puede escribir en forma simplificada como L y g x . La idea de

este operador la podemos comprender si lo imaginamos como una máquina que está lista a

derivar, pero que necesita una entrada (la función y x ) generando una salida que dependerá

de la naturaleza de ésta función de entrada.

Por ejemplo si P x x y 2Q x x las salidas generadas por el operador lineal serían las

siguientes:

De modo que L transforma la función de entrada en una nueva función de salida.

Note que este operador tiene dos propiedades muy importantes que no son más que una consecuencia de las reglas básicas de derivación:

1. 1 2 1 2L y y L y L y

2. 1 1L cy cL y

Para cualquier par de funciones con segundas derivadas continuas en un intervalo I .

Cuando P y Q son constantes, podemos tratar a 2D PD Q como un polinomio en D el

cual incluso podemos factorar. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

2D PD Q y L y y Py Qy

2D PD Q 3y x

siny x

3 56 3L y x x x

2sin cos sinL y x x x x x

Entrada Salida

(2)

Clase 2

6

EEJJEEMMPPLLOO 33:: ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE OOPPEERRAADDOORREESS LLIINNEEAALLEESS..

Muestre que el operador lineal 2 4 3D D es igual a la composición de operadores

1 3D D (que resulta de factorar el operador lineal dado).

Para una función cualquiera y dos veces diferenciable tenemos

1 3 1 3 1 3D D y D Dy y D y y

1 3 3 1 3D D y D y y y y ¨

1 3 3 3D D y y y y y

1 3 4 3D D y y y y

Calculemos ahora 2 4 3D D aplicado a la función y

2 24 3 4 3 4 3D D y D y Dy y y y y

En consecuencia 21 3 4 3D D D D

SOLUCIÓN

7

En los problemas 1 a 3 determine si se aplica el teorema de existencia y unicidad. En caso afirmativo, diga qué conclusiones se pueden obtener. Si no se aplica

explique por qué. Suponga que 0y y 1y son constantes

reales.

1. 31y yy x , 0 1; 0 1y y

2. ln3

x ye y y xx

; 0 11 , 1y y y y

3. 23 2x x y xy y x ; 3 0; 3 1y y

4. Dado que 1 2cos siny x c x c x es solución de

0y y , donde 1 2 y c c son constantes

arbitrarias. Muestre que a. Hay una solución única que cumple las

condiciones de frontera 0 2, / 2 0y y

b. No existe ninguna solución que satisfaga

0 2, 0y y .

c. Hay infinidad de soluciones que satisfacen

0 2, 2y y .

5. Verifique, como en el ejemplo 3, cada una de las siguientes operaciones con operadores

a. 26 1 5 6D D D D

b. 2 3 22 1 1 2 2 1D D D D D

En ocasiones un operador aplicado a una función la

anula, es decir 0L f . Este concepto se aplica en los

siguientes ejercicios.

6. Sea 3L D y 3xf x e . Calcule L f

7. Sea L D m y mxf x e . Calcule L fSuponga que m es cualquier número real.

8. Basado en los problemas anteriores, encuentre un

operador que anule a 7xf x e y 23x

g x e

9. Sea 2 44 y 6 xL D f x xe . Calcule L f

10. Sea 3 2 55 y 4 xL D f x x e . Calcule L f

11. Basado en los problemas 9 y 10 encuentre un

operador que anule a 2xxe y

3 3xx e .

11. Sea 2 1 y cosL D f x x . Calcule L f

12. Muestre que 2D anula a 2xy e y que D

anula a 1. Muestre además que 2D D anula a

2 1xe .

13. Construya un operador que anule a 2 54 cosxf x e x .

14. Verifique que 321 2D anula a 2 sin 2xx e x

15. Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales en

términos de la notación D . 5 6 5 3y y y x 4 0y y

23 4 cosxy y y xe x 16. Dada la ecuación diferencial 2 1xy y e

teniendo en cuenta los resultados de los problemas

15 y 17 aplique el operador 2L D D a ambos

lados de la ecuación. Esto deberá reducir la

ecuación dada a una ecuación homogénea en D .

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.1

8

3.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS.

Llamaremos a una ecuación diferencial de n ésimo orden escrita en la forma

2

2 1 02 0n

n n

d y d y dya x a x a x a x ydx dx dx

Ecuación Homogénea.

Mientras que llamaremos Ecuación no homogénea a una ecuación del tipo

2

2 1 02

n

n n

d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

con 0g x

EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Iniciemos estudiando algunas de las propiedades más importantes de las ecuaciones homogéneas.

EEJJEEMMPPLLOO 44:: EELL PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIIÓÓNN YY LLAASS EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Dado que 21 cos3xy e x y 2

2 sin 3xy e x son soluciones de la ecuación homogénea

4 13 0y y y , encuentre una solución de esta ecuación que cumpla el PVI

0 2 y 0 5y y .

Por el principio de superposición, para cualquier par de constantes 1 2 y c c 2 2

1 2cos3 sin 3x xy c e x c e x (una combinación lineal de las funciones) será solución de

4 13 0y y y . Evaluando las condiciones iniciales obtenemos 1 22, 3c c . Por

consiguiente la solución al PVF es

2 22 cos3 3 sin3x xy e x e x .

El principio de superposición se puede generalizar a una ecuación diferencial homogénea de orden n . Es decir, dada una ecuación homogénea con coeficientes constantes

2

2 1 02 0n

n n

d y d y dya a a a ydx dx dx

si 1 2, , , ky y y son soluciones de ésta ecuación,

entonces cualquier combinación lineal de las mismas también será solución de la EDH en un intervalo I .

SOLUCIÓN

PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE SSUUPPEERRPPOOSSIICCIIÓÓNN.. ((CCOOMMBBIINNAACCIIÓÓNN LLIINNEEAALL DDEE SSOOLLUUCCIIOONNEESS)) CCAASSOO DDEE

EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Suponga que 1y y 2y son soluciones de la EDH 0L y donde L es un operador diferencial

lineal. Entonces para cualesquier constantes 1c y 2c la función 1 1 2 2y c y c y también es

una solución de la ecuación diferencial homogénea dada.

Para evaluar el PVF necesitamos una solución que involucre dos

constantes arbitrarias 1 2 y c c .

9

DDEEPPEENNDDEENNCCIIAA EE IINNDDEEPPEENNDDEENNCCIIAA LLIINNEEAALL..

Si 1 2, , ny y y son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de n -ésimo orden

en un intervalo I . Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I sí y

sólo sí 1, , 0nW y y donde W , el Wronskiano de las funciones, se define como

1 2

1 21

( 1) ( 2) ( 1)1 2

, ,

n

nn

n n nn

y y yy y y

W y y

y y y

Este conjunto de n soluciones linealmente independiente recibe un nombre especial.

Un conjunto fundamental de soluciones nos es de mucha utilidad cuando se trata de encontrar la solución general de una ecuación homogénea.

EEJJEEMMPPLLOO 55:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EEDDHH

Dado que 1 cos3y x y 2 sin3y x son soluciones de 9 0y y en , , encuentre su

solución general.

cos3 sin3cos3 ,sin3 cos3 3cos3 3sin3 sin 3

3sin 3 3cos3x x

W x x x x x xx x

2 2 2 2cos3 ,sin3 3cos 3 3sin 3 3 cos 3 sin 3 3 0W x x x x x x

Como 0W

concluimos que cos3 ,sin3x x forman un conjunto fundamental de

soluciones. Por tanto la solución general de 9 0y y es 1 2cos3 sin3y x c x c x

SOLUCIÓN

CCOONNJJUUNNTTOO FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL DDEE SSOOLLUUCCIIOONNEESS

Cualquier conjunto 1 2, , , ny y y de soluciones linealmente independientes de una

ecuación diferencial homogénea de orden n en un intervalo I se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EECCUUAACCIIÓÓNN HHOOMMOOGGÉÉNNEEAA..

Si 1 2, , , ny y y es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial

homogénea de orden n en un intervalo I , entonces, en el intervalo, la solución general

de la ecuación es

1 1 2 2 n ny c y x c y x c y x

Donde 1 2, , , nc c c son constantes arbitrarias.

Primero verificamos si cos3 ,sin3x x forman un conjunto

fundamental de soluciones. Esto lo hacemos de la siguiente manera:

Clase 3

10

AALLGGUUNNOOSS MMÉÉTTOODDOOSS DDEE SSOOLLUUCCIIÓÓNN PPAARRAA EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

RREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEE OORRDDEENN..

Hemos aprendido hasta ahora que la solución general de una EDH de segundo orden está dada por una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes. El primer método que estudiaremos se basa en el hecho de conocer una solución y buscar a partir de ella, una segunda solución que sea linealmente independiente. El método se conoce como reducción de orden.

PPRROOCCEEDDIIMMIIEENNTTOO DDEE RREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEE OORRDDEENN

Dada una solución no trivial 1y x de 0y P x y Q x y , se puede determinar una

segunda solución linealmente independiente y x en cualquiera de las formas siguientes.

1. Haga 2 1y x v x y x y sustituya 2 2 2, y y y y en la ecuación dada. Esto lo

llevará a una ecuación separable para v . Despéjese v e intégrese para obtener v

La segunda solución deseada está dada por 1v x y x .

2. La solución 2y x también se puede obtener sustituyendo 1 y P x y xdirectamente en la fórmula de reducción de orden

( )

2 1 21

P x dxey x y x dxy x

EEJJEEMMPPLLOO 66:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALL DDEE UUNNAA EEDDHH PPOORR EELL MMÉÉTTOODDOO DDEE RREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEE OORRDDEENN..

Si 1xy x e es solución de 2 0y y y encuentre una segunda solución que sea

linealmente independiente. Proporcione la solución general.

Utilizando (3) con 12 y xP x y x e obtenemos:

2 2P x dx dx x nota: por simplicidad no usaremos la constante de integración.

Entonces

2

2 2

xx x x

x

ey x e dx e dx xee

nuevamente se ha omitido la constante de

integración.

La solución general está dada por 1 2x xy x c e c xe .

Nota: para la aplicación de la primera alternativa descrita en el procedimiento de reducción de orden vea el ejercicio 6 de esta sección.

(3)

SOLUCIÓN

11

EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS LLIINNEEAALLEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS CCOONNSSTTAANNTTEESS..

Estudiaremos cómo resolver ecuaciones diferenciales de la forma

0ay by cy con , y a b c constantes y 0a

EECCUUAACCIIÓÓNN AAUUXXIILLIIAARR..

En el caso de una ecuación de segundo orden 0ay by cy se observa que una solución

de ella debe tener la propiedad de que una constante por su segunda derivada, más una constante por su primera derivada, más una constante por la misma función debe dar por

suma cero. Esto sugiere intentar una solución de la forma mxy e ya que sus derivadas son

iguales a una constante por mxe . Intentemos mxy e

mxy e mxy me

2 mxy m e

Sustituyendo en la ecuación obtenemos:

2 0mx mx mxam e bme ce

2 0mxe am bm c puesto que 0mxe para todo x se puede dividir por este factor para

obtener

2 0am bm c a la cual llamaremos ecuación auxiliar.

Por consiguiente mxy e es solución de 0ay by cy si y sólo si m satisface la ecuación

auxiliar.

La ecuación auxiliar resulta ser una ecuación cuadrática cuyas raíces están dadas por

2

1,24

2b b acm

a

.

Recuerde además que

Si el discriminante 2 4 0b ac las raíces 1 2 y m m son reales y distintas

Si el discriminante 2 4 0b ac las raíces son reales e iguales, y

Si el discriminante 2 4 0b ac las raíces son números complejos conjugados.

Estudiemos por separado cada unos de los tres casos.

CCAASSOO II:: RRAAÍÍCCEESS RREEAALLEESS DDIISSTTIINNTTAASS

Si la ecuación auxiliar tiene raíces reales distintas 1 2 y m m , entonces 1 2 y m x m xe e son soluciones

linealmente independientes de 0ay by cy . Por tanto la solución general es

1 21 2

m x m xy x c e c e

Clase 4

12

EEJJEEMMPPLLOO 77:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAAÍÍCCEESS RREEAALLEESS DDIISSTTIINNTTAASS..

Encuentre la solución general de 5 6 0y y y

La ecuación auxiliar está dada por

2 5 6 0m m

2 5 6 6 1 0m m m m y las raíces son 1 26 y 1m m . La solución general es

61 2

x xy c e c e

CCAASSOO IIII:: RRAAÍÍCCEESS RREEAALLEESS RREEPPEETTIIDDAASS

Si la ecuación auxiliar tiene raíces repetidas 1 2=m m m , entonces, a diferencia del caso

anterior, se obtiene solamente una solución no trivial mxy e . Por supuesto los múltiplos

constantes de esta función son soluciones, pero no resultan útiles para encontrar una segunda solución linealmente independiente. Esta situación se puede remediar utilizando el método de reducción de orden. Aplicando este método se encuentra que una segunda solución linealmente independiente es

2mxy x xe

Por tanto, la solución general de 0ay by cy es

1 2mx mxy x c e c xe

EEJJEEMMPPLLOO 88:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAAÍÍCCEESS RREEAALLEESS RREEPPEETTIIDDAASS..

Encuentre la solución general de 8 16 0y y y

La ecuación auxiliar es 2 8 16 0m m . Al factorar obtenemos

2 8 16 4 4 0m m m m

1 2 4m m . Puesto que esta es una raíz doble, la solución general es

4 41 2

x xy x c e c xe

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

13

CCAASSOO IIIIII:: RRAAÍÍCCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Si la ecuación auxiliar tiene como raíces a los números complejos conjugados 1m i y

2m i , entonces la solución general es

1 2cos sinx xy x c e x c e x

EEJJEEMMPPLLOO 99:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE UUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEE RRAAÍÍCCEESS CCOOMMPPLLEEJJAASS..

Encuentre la solución general de 2 4 0y y y

Las raíces de la ecuación auxiliar 2 2 4 0m m resultan ser

1 21 3 y 1 3m i m i por lo que la solución general es

1 2cos 3 sin 3x xy x c e x c e x

EEJJEEMMPPLLOO 1100:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE UUNNAA EEDDHHCCCCCC DDEE OORRDDEENN 33

Encontrar la solución general de 3 4 5 2 0y y y y

La ecuación auxiliar es 2 23 4 5 2 0m m m

Puesto que el coeficiente principal (el relacionado con el mayor exponente de m ) es 3 y el

coeficiente constante es 2 , tenemos varios potenciales ceros racionales.

Potenciales ceros racionales: Factores de 2 1, 2 1 2: : 1, 2, ,Factores de 3 1, 3 3 3

Por división sintética intentamos con el factor 1

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

3 4 -5 -2 1

3 7 0

3 7 2 0

Clase 5

14

Por lo que podemos escribir:

3 2 23 4 5 2 1 3 7 2 0m m m m m m

2

3 23 7 3 6

3 4 5 2 1 03

m mm m m m

3 2 3 6 3 13 4 5 2 1 0

3m m

m m m m

3 2 3 2 3 13 4 5 2 1 0

3m m

m m m m

3 23 4 5 2 1 2 3 1 0m m m m m m

Por lo que las raíces son 1 2 311, 2 y 3

m m m

Por tanto la solución general es:

2 /31 2 3

x x xy x c e c e c e

15

1. Dado que 21 2cos y sinx xy e x y e x son

soluciones de la ecuación homogénea 4 5 0y y y , encuentre soluciones de esta

ecuación que cumplan las siguientes condiciones iniciales:

0 1, 0 1y y

2 24 , 5y e y e

2. Considere la ecuación diferencial 5 6 0y y y

Muestre que 61 ,x x xS e e e es un conjunto

fundamental de soluciones de la ecuación.

Muestre que 62 ,3x x xS e e e es otro conjunto

fundamental de soluciones de la ecuación.

Verifique que 6xx e es solución de la

ecuación dada. Luego escriba x como una

combinación lineal de funciones pertenecientes a

1S . Del mismo modo exprese x como una

combinación lineal de funciones pertenecientes a

2S .

3. Verifique que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ED dada, y obtenga la solución general.

4 4 0, ,cos2 ,sin 2xy y y y e x x

2 35 6 0, ,x xy y y e e

2 5 0, cos2 , sin 2x xy y y e x e x

4. ¿puede ser la función 23 1W x el wronskiano

en 0,2 de alguna ecuación de segundo orden

lineal homogénea con P y Q continuas?

5. En los siguientes ejercicios se da una ecuación diferencial y una solución no trivial. Encuentre una segunda solución linealmente independiente y escriba la solución general .

13 2 0, xy y y y e 2 2

16 6 0, 0,x y xy y x y x 3

12 15 0, xy y y y e

6. El procedimiento de reducción de orden puede utilizarse, de manera más general, para reducir una ecuación lineal homogénea de orden n a una

ecuación lineal homogénea de orden 1n . Para la ecuación 0xy xy y y que tiene a

1xy e como una solución, use la sustitución

2 1y x v x y x para reducir esta ecuación de

tercer orden a una ecuación lineal homogénea de

segundo orden en la variable w v

En los problemas del 7 al 19 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. 7. 2 0y y y

8. 2 8 16 0D D y

9. 7 10 0y y

10. 2 0; 0 1, 0 3y y y y y

11. 4 1 0D y

12. 3 3 0y y y y

13. 6 6 0y y y y

14. 6 4 0y y y y

15. 0y y

16. 3 2 3 5 0D D D y

17. 10 26 0y y y

18. (4) 3 5 2 0y y y y y

19. (4) 8 26 40 25 0y y y y y

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.2

Gráfica de 3 26 6y x x x

Gráfica de 3 2 6 4y x x x