unidad 3 optim

7/25/2019 Unidad 3 Optim

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Optimizacin esttica: una revisin

Juan Carlos AquinoBanco Central de Reserva del Per

1 Formas Cuadraticas y Matrices Denidas

As como en el caso de las funciones reales de una variable real el caso ms ilustrativo (ysencillo) para los problemas de optimizacin viene dado por las funciones cuadrticas. Sunatural generalizacin se da en el caso de funciones de varias variables, empezando paraello con el caso de funciones reales de dos variables. Necesariamente el manejo de muchasvariables origina una gran dicultad de manipulacin algebraica de las mismas, para locual resulta de vital importancia el empleo del lgebra matricial. En consecuencia, estaseccin estar dedicada al tratamiento sistemtico de algo que podramos analogar confunciones cuadrticas de varias variables.

1.1 Formas Cuadraticas

Denicin 1 Una forma cuadrtica en Rn es una funcin de valor real de la forma

Q (x1 ; : : : ; xn ) = Xi j a ij x i x j . (1.1)Dicha forma cuadrtica puede ser representada por una matriz simtrica A de maneraque

Q (x) = xT Ax. (1.2)

Ntese de la denicin que estamos representando funciones cuadrticas que nicamenteconstan de polinomios de segundo grado. Por otro lado, aunque en principio las formascuadrticas pueden ser representadas por matrices no necesariamente simtricas, las apli-

caciones a los problemas de optimizacin consideran el caso de matrices simtricas, porlo cual este tratamiento resultar sustancialmente til. Por ejemplo, la siguiente formacuadrtica

3x21 + 4 x22 + x

23 + 8 x1 x2 + 6 x1 x3 + 10x2 x3 (1.3)

puede ser escrita como

x1 x2 x3 0@

3 4 34 4 53 5 1

1A0@

x1x2x3

1A

. (1.4)

El siguiente material esta basado en: Simon, C. and Blume, L. (1994). Mathematics for Economists .W.W. Norton & Company, Inc.

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1.2 Clasicacin de Formas Cuadraticas

Recuerdese que con respecto a una funcin cuadratica del tipo f (x) = ax2 podremosarmar o que nunca ser positiva o que nunca ser negativa dependiendo del signo dea 6= 0 . En principio podramos realizar el mismo razonamiento para el caso de msvariables, ya que podramos analogar f (x) = xax (donde x es un escalar) con Q (x) =xT Ax (donde x es un vector). Sin embargo, al extender nuestro estudio a varias variablestenemos un caso ms que puede presentarse. Para esto el lector deber tener en cuentala vital importancia de la analoga inicial o el caso ms sencillo. Una forma cuadrticaQ (x) se denomina:

Positiva Denida: si Q (x) > 0, para todo x 6= 0 en Rn . Es decir, para cualquiervalor no nulo de x , la forma cuadrtica es estrictamente positiva. Negativa Denida: si Q (x) < 0, para todo x 6= 0 en Rn . Es decir, para cualquiervalor no nulo de x, la forma cuadrtica es estrictamente negativa. Positiva Semidenida: si Q (x) 0, para todo x 6= 0 en Rn . Es decir, para cualquiervalor x;, la forma cuadrtica nunca es negativa. Positiva Semidenida: si Q (x) 0, para todo x 6= 0 en Rn . Es decir, para cualquiervalor x, la forma cuadrtica nunca es positiva. Indenida: si Q (x) > 0 para algn x en Rn y Q (x) < 0 para algn otro x enRn . Es decir, no podemos armar que la forma cuadrtica adopta siempre un signodeterminado.

1.2.1 Matrices Simtricas Denidas

Ya que se mencion que las formas cuadrticas pueden ser representadas de forma tila travs de matrices simtricas, en este caso podemos resumir los siguientes enunciadosarmando lo siguiente: cuando una matriz simtrica representa a una forma de deter-minado tipo, diremos que dicha matriz es de ese mismo tipo. Sea A una matriz n nsimtrica, entonces A es:

Positiva Denida: si xT Ax > 0, para todo x 6= 0 en Rn : Es decir, cuando estamatriz represente a una forma cuadrtica, esta ser Positiva Denida. Negativa Denida: si x

T Ax < 0, para todo x 6= 0 en R

n: Es decir, cuando esta

matriz represente a una forma cuadrtica, esta ser Negativa Denida.

Positiva Semidenida: si xT Ax 0, para todo x 6= 0 en Rn : Es decir, cuando estamatriz represente a una forma cuadrtica, esta ser Positiva Semidenida. Negativa Semidenida: si xT Ax 0, para todo x 6= 0 en Rn : Es decir, cuando estamatriz represente a una forma cuadrtica, esta ser Negativa Semidenida. Indenida: si xT Ax > 0 para algn x en Rn y xT Ax < 0 para algn otro x en Rn : Esdecir, cuando esta matriz represente a una forma cuadrtica, esta ser Indenida.

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1.2.2 Menores Principales de una Matriz

En economa resulta frecuente el anlisis de modelos basados en relaciones entre variablescon propiedades rmemente establecidas. En consecuencia, para el caso en que se tengaque emplear formas cuadrticas, no es factible vericar numricamente el tipo de las

mismas. Pero es posible explotar ciertas condiciones (ms las referidas propiedades) paradeterminar el tipo de forma cuadrtica que se tiene en mente. Para esto slo es necesariopresentar un par de conceptos antes de presentar las condiciones.

Denicin 2 Sea A un matriz n n. Una matriz k k formada luego de borrar n kcolumnas, digamos, las columnas i1 ; i2 ; : : : ; in k y las mismas n k las i1 ; i2 ; : : : ; in kde A es llamada una submatriz principal de k-simo orden de A. El determinante de una submatriz principal k k es llamada un menor principal de k-simo orden de A.

Por ejemplo, dada la siguiente matriz de orden 3 3:

A = 0@1 2 34 5 67 8 9

1A. (1.5)

Existe un menor principal de orden tres que es el determinante de A. Asimismo, tresmenores principales de segundo orden:

1. Borrando la tercera la y la tercera columna de A : 1 24 5 .

2. Borrando la segunda la y la segunda columna de A : 1 3

7 9.

3. Borrando la primera la y la primera columna de A : 5 68 9 .

Finalmente, tambin tenemos tres menores principales de primer orden:

1. Borrando las dos ltimas las y columnas de A : j1j.2. Borrando la primera y tercera las y la primera y tercera columnas de A : j5j.3. Borrando las dos primeras las y las dos primeras columnas de A :

j9

j.

Denicin 3 Sea A una matriz n n. La submatriz principal de orden k de A obtenida de borrar las ltimas n k las y las ltimas n k columnas de A es llamada la submatriz principal conductora de orden k de A. Su determinante es llamado el menor principal conductor de k-simo orden de A.

Denotaremos la submatriz conductora principal de orden k de A mediante Ak y al corre-spondiente el menor principal conductor de k-simo orden de A mediante jAkj. Para elejemplo anterior tenemos que los tres menores principales conductores son:

j1j, 1 24 5 y1 2 34 5 67 8 9

.

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Teorema 1 Sea A un matriz simtrica n n. Entonces:

1. A es positiva denida si y slo si todos sus n menores principales conductores son (estrictamente) positivos.

2. A es negativa denida si y slo si sus n menores principales conductores alternan en signo de la siguiente forma:

jA1j< 0, jA2j> 0, jA3j< 0, etc.3. El menor principal conductor de k-simo orden debera tener el mismo signo que

( 1)k .

Teorema 2 Sea A una matriz simtrica n n. Entonces A es positiva denida si y slosi todo menor principal de A es 0. A es negativa semidenida si y slo si todo menor principal de orden impar es

0 y todo menor principal de orden par es

0.

1.2.3 Clasicacin de Matrices Diagonales

Las matrices simtricas ms simples son las matrices diagonales. Ellas tambin corre-sponden a las formas cuadrticas ms simples dado que

x1 x2 xn0BBB@

a1 0 00 a2 0... ... .. . ...0 0

an

1CCCA

0BBB@

x1x2...

xn

1CCCA

= a1 x21 + a2 x22 + : : : + an x

2n (1.6)

es una suma de cuadrados. Obviamente, esta forma cuadrtica ser positiva denida sitodos los a i s son positivos y negativa denida si todos los a i s son negativos. Ser positivasemidenida si y slo si todos los ai s son 0 y negativa semidenida si y slo si todoslos a i s son 0. Si hay dos a i s de signos opuestos, esta forma cuadrticas ser indenida.Ya que todas las submatrices principales son matrices diagonales, sus determinantes - losmenores principales - son slo los productos de los ai s. Si todos los ai s son positivos,entonces todos sus productos son positivos. Si todos los ai s son negativos (de manera quees negativa denida), entonces los productos de nmeros impares de ai s sern negativos

y los productos de nmeros pares de ai s sern positivos.

1.3 Restricciones Lineales y Matrices Horladas

Recordemos de nuestros cursos previos que debemos hacer algo ms que hallar un puntoestacionario para saber si nos encontramos en la cima de una colina o en el fondo de unvalle. En el caso de varias variables, el mismo principio es el que rige: debemos hacer algoms que hallar un punto estacionario para saber si no encontramos en la cima de unacolina o en el fondo de un tazn. En economa, el caso ms comn implica que este procesodebe hacerse sujeto a una serie de restricciones. Como las formas cuadrticas se utilizarnpara resolver problemas de maximizacin, pero dado que en ocasiones dicha maximizacinestar restringida, tambin deberemos restringir la forma cuadrtica a utilizarse.

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Teorema 3 La forma cuadrtica Q (x1 ; x2 ) = ax 21 + 2 bx1 x2 + cx22 es positiva (respectiva-mente, negativa) denida sujeta al conjunto de restricciones lineales Ax1 + Bx 2 = 0 si y solo si:

det 0@

0 A BA a bB b c

1Aes negativo (respectivamente, positivo). Este mismo resultado se mantiene para el prob-

lema general de determinar la denitud de:

Q (x) = xT Ax = x1 x2 xn0BBB@

a11 a12 a1 na12 a22 a2 n... ... . . . ...a1 n a2 n ann

1CCCA0BBB@

x1x2...

xn

1CCCA

(1.7)

sobre el conjunto de restricciones lineales:

0B@

B11 B12 B1 n... ... . . . ...Bm 1 Bm 2 Bmn

1CA0BBB@

x1x2...

xn

1CCCA

= [email protected]

1CA

. (1.8)

Bordeando la matriz de la forma cuadrtica por encima y por la izquierda con la matriz de las restricciones, tenemos:

H =

0BBBBBBB@

0 0 B11 B1 n... . . . ... ... . . . ...0 0 Bm 1 BmnB 11 Bm 1 a11 a1 n... . . . ... ... . . . ...

B1 n Bmn a1 n ann

1CCCCCCCA

. (1.9)

Teorema 4 Para determinar la denititud de una forma cuadrtica de n variables Q (x) =xT Ax, cuando esta est restringida a un conjunto de restricciones dado por m ecuaciones lineales Bx = 0, se contruye la matriz simtrica H de orden (n + m) (n + m) bordeandola matriz A por encima y la izquierda con los coecientes B de las restricciones lineales:

H = 0 BB T A . (1.10)

Luego, cotejamos los signos de los ltimos menores principales conductores de H , em-pezando con el determinante de la matriz H :

1. Si det H tiene el mismo signo que ( 1)n y si estos ltimos n m menores principales conductores alternan en signo, entonces Q es negativa denida sobre el conjunto de restricciones Bx = 0, y x = 0 es un mximo global estricto de Q sobre este conjuntode restricciones.

2. Si det H y sus ltimos n m menores principalesconductores tienen todos el mismosigno que ( 1)n , entonces Q es positivo denida sobre el conjunto de restricciones Bx = 0 y x = 0 es mnimo global estricto de Q sobre este conjunto de restricciones.

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3. Si ambas de estas condiciones a) y b) son violadas por menores principales conduc-tores no nulos, entonces Q es indenida sobre el conjunto de restricciones Bx = 0,y x = 0 no es ni un maximo ni un mnimo de Q bajo el conjunto de restricciones.

2 Optimizacion Irrestricta2.1 Deniciones

Empezamos con una serie de conceptos fundamentales de optimizacin en espacios euclid-eos n-dimensionales. Para esto puede servir la vieja analoga entre los campeonatos re-gionales y mundiales.

Denicin 4 Sea F : U ! R una funcin de valor real de n variables, cuyo dominio U es un subconjunto de Rn .1. Un punto x 2 U es un mximo de F sobre U si F (x ) F (x) para todo x 2 U .Es decir, en el mundo no hay nadie que pueda superar la capacidad de x (esto no

implica que no pueda ser igualada). x es UN campen mundial.

2. x 2 U es un mximo estricto si x es un mximo y F (x ) > F (x) para todox 6= x en U . Es decir, en el mundo no hay nadie diferente de x que pueda superar o igualar su capacidad. x es EL campen mundial.3. x 2 U es una mximo local (o relativo) de F si existe una bola Br (x ) alrededor de x tal que F (x ) F (x) para todo x 2B r (x ) \ U . Es decir, podemos delimitar una regin en la cual se encuentre x de manera que x sea UN campeon de dicha

regin.

4. x 2U es un mximo local estricto de F si existe una bola Br (x ) alrededor de xtal que F (x ) > F (x) para todo x 6= x en Br (x ) \ U . Es decir, podemos delimitar una regin en la cual se encuentre x de manera que x sea EL campeon de dicha regin.

2.2 Condiciones de Primer Orden

El siguiente teorema es slo una extensin del caso de una variable: si se coloca una

pelota en la cima de una colina, entonces habra inclinacin nula en cualquier direccin,y la pelota no rodar.

Teorema 5 Sea F : U ! R una funcin C 1 denida sobre un subconjunto U de Rn . Si x es un mximo o mnimo local de F en U y si x es un punto interior de U , entonces @F @xi

(x ) = 0 para i = 1; : : : ; n (2.1)

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Teorema 8 Sea F : U ! R una funcin C 2 una funcin cuyo dominio es un conjuntoabierto en Rn . Suponga que @F @xi

(x ) = 0 para i = 1; : : : ; n

y que los n menores principales conductores de D2 F (x ) son todos positivos en x

jF x 1 x 1 j> 0,F x 1 x 1 F x 1 x 2F x 1 x 2 F x 2 x 2

> 0,F x 1 x 1 F x 1 x 2 F x 1 x 3F x 1 x 2 F x 2 x 2 F x 2 x 3F x 1 x 3 F x 2 x 3 F x 3 x 3

> 0, : : :

Entonces x es un mximo local estricto de F .

Teorema 9 Sea F : U ! R una funcin C 2 una funcin cuyo dominio es un conjuntoabierto en Rn . Suponga que:@F @xi

(x ) = 0 para i = 1; : : : ; n

y que algn menor principal conductor de D2 F (x ) viola los patrones de signo presentes en las hiptesis de los dos teoremas anteriores. Entonces x es un punto silla de F ; noes ni un mximo local ni un mnimo local.

2.3.2 Condiciones Necesarias

Teorema 10 Sea F : U ! R una funcin C 2 una funcin cuyo dominio es un conjuntoabierto en Rn . Suponga que x es un punto interior de U y x es un mximo local (respec-tivamente, mnimo) de F . Entonces D 2 F (x ) es negativa semidenida (respectivamente,positiva semidenida)

Teorema 11 Sea F : U ! R una funcin C 2 una funcin de n variables. Suponga que x es un punto interior de U .1. Si x es un mnimo local de F , entonces (@F=@xi ) (x ) = 0 para i = 1; : : : ; n y todos

los menores principales de la Hessiana D2 F (x ) son 0.2. Si x es un mximo local de F , entonces (@F=@xi ) (x ) = 0 para i = 1; : : : ; n; todos

los menores principales de la Hessiana D2 F (x ) de orden par son

0, y todos los menores principales de la Hessiana D2 F (x ) de orden impar son 0.

2.4 Mximos y Mnimos Globales

Mximos Globales y Funciones Cncavas

Teorema 12 Sea F : U ! R una funcin cuyo dominio es un conjunto abierto y convexoU de Rn .1. Las siguientes tres condiciones son equivalentes:

(i) F es una funcin concava sobre U ; y (ii) F (y) F (x) DF (x) (y x) para todo x; y 2U ; y (iii) D2 F (x) es negativa semidenida para todo x 2U .8


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2. Las siguientes tres condiciones son equivalentes:(i) F es una funcin convexa sobre U ; y (ii) F (y) F (x) DF (x) (y x) para todo x; y 2U ; y (iii) D2 F (x) es positiva semidenida para todo x 2U .

3. Si F es una funcin cncava sobre U y DF (x ) = 0 para algn x 2 U ; entonces x es un mximo global de F sobre U .4. Si F es una funcin convexa sobre U y DF (x ) = 0 para algn x 2 U ; entonces x es un mnimo global de F sobre U .

3 Optimizacion Restringida I: Condiciones de PrimerOrden

Problema Prototipomaximizar f (x1 ; : : : ; xn )

donde (x1 ; : : : ; xn ) 2Rn debe satisfacerg1 (x1 ; : : : ; xn ) b1...gk (x1 ; : : : ; xk ) bk...h1 (x1 ; : : : ; xn ) = c1

...hm (x1 ; : : : ; xn ) = cm

f es llamada la funcin objetivo

g1 ; : : : ; gk y h1 ; : : : ; hm son llamadas las funciones restrictivas

g1 ; : : : ; gk denen las restricciones de desigualdad

h1 ; : : : ; hm denen las restricciones de igualdad

En las aplicaciones econmicas, las restricciones ms comunes son las restricciones deno-negatividad: x1 0; : : : ; xn 0.

3.1 Restricciones de Igualdad

3.1.1 Dos Variables y una Restriccin de Desigualdad

Se tiene el problema de

maximizar f (x1 ; x2 )

sujeto a h (x1 ; x2 ) = c

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Teorema 13 Sean f y h funciones C 1 de dos variables. Suponga que x = ( x1 ; x2 ) es una solucin al problema

maximizar f (x1 ; x2 )sujeto a h (x1 ; x2 ) = c.

Suponga adems que (x1 ; x2 ) no es un punto crtico de h. Entonces existe una nmeroreal tal que (x1 ; x2 ; ) es un punto crtico de la funcin Lagrangiana

L (x1 ; x2 ; ) f (x1 ; x2 ) [h (x1 ; x2 ) c] . (3.1)

En otras palabras, en (x1 ; x2 ; )

@L@x1

= 0 , @L@x2

= 0 y @L@

= 0.

Ejemplo 1

maximizar f (x1 ; x2 ) = x1 x2sujeto a h (x1 ; x2 ) x1 + 4x2 = 16

Como el gradiente de h es (1; 4); h no tiene puntos crticos y la cualicacin de restric-ciones es satisfecha. Formamos nuestro Lagrangiano: L (x1 ; x2 ; ) x1 x2 [x1 + 4 x2 16].Luego, igualamos sus derivadas parciales a cero:

@L@x1

= x2 = 0

@L@x2

= x1 4 = 0

@L@

= (x1 + 4 x2 16) = 0De este sistema obtenemos:

= x2 = x1

4 . (3.2)

Y por lo tanto: 4x2 = x1 . Sustituyendo en la restriccin, obtenemos: x2 = 2. As, la solucin al sistema es: x1 = 8, x2 = 2, = 2 y el punto (8; 2; 2) es el nico candidato a

solucin del problema.

3.1.2 Varias Restricciones de Igualdad

El problema viene dado por:

maximizar o minimizar f (x1 ; : : : ; xn )sujeto a C h = fx = ( x1 ; : : : ; xn ) jh1 (x) = a1 ; : : : ; hm (x) = am g

Teorema 14 Sean f; h 1 ; : : : ; hm funciones C 1 de n variables. Considere el problema de maximizar (o minimizar) f (x) sobre el conjunto de restricciones

C h = fx = ( x1 ; : : : ; xn ) : h1 (x) = a1 ; : : : ; hm (x) = am g. (3.3)

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Suponga que x 2C h y que x es un mximo (mnimo) local de f sobre C h . Suponga que x satisface la condicin de cualicacin no degenerada de restricciones (CNDR). En-tonces existen 1 ; : : : ; m tales que (x1 ; : : : ; xn ; 1 ; : : : ; m ) (x ; ) es un punto crticode la funcin Lagrangiana:

L (x; ) f (x) 1 [h1 (x) a1 ] 2 [h2 (x) a1 ] : : : m [hm (x) am ] . (3.4)En otras palabras

@L@x1

(x ; ) = 0 ; : : : ; @L@xn

(x ; ) = 0 (3.5)

@L@ 1

(x ; ) = 0 ; : : : ; @L@ n

(x ; ) = 0 (3.6)

Ejemplo 2

maximizarf (x;y;z) = xyz (3.7)

sujeto a h1 (x;y;z) x2

+ y2

= 1h2 (x;y;z) x + z = 1 (3.8)

Primero, hallamos la matriz jacobiana de las restricciones:

Dh (x;y;z) = 2x 2y 01 0 1 (3.9)

El rango de dicha matriz ser dos si y slo si x = y = 0. Como cualquier punto (x; y; z)con x = y = 0 violara la primera restriccin, todos los puntos satisfacen la CNDR.Luego, formamos nuestro Lagrangiano:

L (x;y;z; 1 ; 2 ) xyz 1 x2 + y2 1 2 [x + z 1] (3.10)

e igualamos sus derivadas parciales a cero:@L@x

= yz 2 1 x 2 = 0

@L@y

= xz 2 1 y = 0

@L@z

= xy 2 = 0

@L@ 1

= 1 x2 y2 = 0

@L@ 2

= 1 x z = 0

De la primera, segunda y tercera ecuaciones obtenemos:

y2 z x2 z y2 x = 0 (3.11)

para nalmente obtener: (1 x2 )(1 x) x2 (1 x) x(1 x2 ) = 0 . Resolviendo esta ecuacin cbica obtenemos los siguientes cuatro candidatos:

x ' 0:43, y ' 0:90, z ' 0:57 (3.12)x ' 0:77, y ' 0:64, z ' 1:77 (3.13)

Sustituyendo en la funcin objetivo, encontramos que el punto maximizador es: (x ; y ; z ) =( 0:77; 0:64; 1:77).

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3.2 Restricciones de Desigualdad

La vasta mayora de los problemas de optimizacin que surgen en economa tiene susrestricciones denidas por desigualdades.

g1 (x1 ; : : : ; xn ) b1...gk (x1 ; : : : ; xn ) bk

3.2.1 Una restriccin de Desigualdad

Teorema 15 Suponga que f y g son funciones C 1 sobre R2 y que (x ; y ) maximiza f sobre el conjunto de restricciones g (x; y) b: Si g (x ; y ) = b, suponga que

@g@x

(x ; y )

6= 0

@g@y

(x ; y )

6= 0 .

En cualquier caso, forme la funcin Lagrangiana

L (x;y; ) = f (x; y) [g (x; y) b] (3.14)

Entonces, existe un multiplicador tal que:

1. @L@x

(x ; y ; ) = 0

2. @L@y

(x ; y ; ) = 0

3. [g (x ; y ) b] = 0

4. 0

5. g (x ; y ) b

Ejemplo 3

maximizar f (x; y) = xysujeto a: g (x; y) = x2 + y2 1

En este caso, el unico punto crtico de g ocurre en el origen (lejos de la frontera del conjunto de restriccin). As, la cualicacin de restricciones se cumple para cualquier candidato a solucin. Formamos nuestro Lagrangiano L (x;y; ) xy [x2 + y2 1].Luego, hallamos las CPO dadas por el teorema:

@L@x

= y 2 x = 0

@L@y

= x 2 y = 0

(x2 + y2 1) = 0

x2 + y2 10

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De las primeras dos ecuaciones obtenemos:

= y2x

= x2y

o x2 = y2 (3.15)

Si = 0; entonces x = y = 0: Esta combinacin satisface todas las CPO y por lo tanto es

candidato a solucin. Si 6= 0 ; entonces la tercera ecuacin se convierte en la siguiente igualdad: x2 + y2 1 = 0. Combinando esto con (3:15), encontramos que x = 1p 2;

y = 1p 2:As los candidatos sern:

x = 1p 2, y =

1p 2, =

12

x = 1p 2, y =

1p 2, =

12

x = 1

p 2, y = 1

p 2, =12

x = 1p 2, y =

1p 2, =

12

En este caso, eliminamos los multiplicadores negativos y nos quedamos con tres can-didatos, incluyendo a (0; 0; 0). Evaluando en la funcin objetivo encontramos que:

x = 1p 2, y =

1p 2, =

12

y x = 1p 2, y =

1p 2, =

12

son soluciones al problema original.

3.2.2 Varias Restricciones de Desigualdad

Denicin 8 Dada una restriccin de desigualdad g (x) b; decimos que una restriccin es activa (efectiva) en un candidato a solucin si g (x ) = b: Si g (x ) < b ,decimos que que la restriccin es inactiva (inefectiva) en x .

Teorema 16 Suponga que f; g1 ; : : : ; gk son funciones C 1 de n variables. Suponga que x 2Rn es un mximizador local de f sobre el conjunto de restricciones denido por las k desigualdades

g1 (x1 ; : : : ; xn ) b1 ; : : : ; gk (x1 ; : : : ; xn ) bk

Para facilitar la notacin, asuma que las primeras k0 restricciones son activas en x ;y que las ltimas k k0 restricciones son inactivas. Suponga que la siguiente cualicacin de restricciones es satisfecha en x . El rango en x de la matriz Jacobiana de las siguientes restricciones activas:

0BBBB@

@g1@x1

(x ) @g1

@xn(x )

... . . . ...

@gk 0@x1

(x ) @gk 0

@xn(x )

1CCCCA

es k0 tan largo como pueda ser. Forme el LagrangianoL (x1 ; : : : ; xn ; 1 ; : : : ; k ) f (x) 1 [g1 (x) b1 ] : : : k [gk (x) bk ] .

Entonces existen multiplicadores 1 ; : : : ; k tales que:

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2. 1 [g1 (x ) b1 ] = 0; : : : ; k [gk (x ) bk ] = 0

3. h1 (x ) = c1 ; : : : ; hm (x ) = cm

4. 1 0; : : : ; k 05. g1 (x ) b1 ; : : : ; gk (x ) bk

3.4 Problemas de Minimizacin Restringida

Teorema 18 Suponga que f; g1 ; : : : ; gk ; h1 ; : : : ; hm son funciones C 1 de n variables. Suponga que x 2Rn es un minimizador local de f sobre el conjunto de restricciones denido por las k desigualdades y las m igualdades:

g1 (x1 ; : : : ; xn ) b1 ; : : : ; gk (x1 ; : : : ; xk ) bkh1 (x1 ; : : : ; xn ) = c1 ; : : : ; hm (x1 ; : : : ; xn ) = cm .

Sin prdida de generalidad, podemos asumir que las primeras k0 desigualdades son activas en x y que las otras k k0 restricciones de desigualdad no son activas. Suponga que las siguiente cualicacin de restricciones no degeneradas es satisfecha en x : el rangoen x de la matriz Jacobiana de las restricciones de desigualdad y las restricciones de desigualdad activas

0BBBBBBBBBBBBBB@

@g1@x1

(x ) @g1

@xn(x )

... . . . ...

@gk 0

@x1(x )

@gk 0

@xn(x )

@h1@x1

(x ) @h1

@xn(x )

... . . . ...

@hm@x1

(x ) @hm

@xn(x )

1CCCCCCCCCCCCCCA

es k0 + m (tan grande como pueda ser). Forme el Lagrangiano

L (x1 ; : : : ; xn ; 1 ; : : : ; k ; 1 ; : : : ; m ) f (x)1 [g1 (x) b1 ] : : : k [gk (x) bk ]1 [h1 (x) c1 ] : : : m [hm (x) cm ]

Entonces existen multiplicadores 1 ; : : : ; k ; 1 ; : : : ; m tales que:

1. @L@x1

(x ; ) = 0 ; : : : ; @L@xn

(x ; ) = 0

2. 1 [g1 (x ) b1 ] = 0; : : : ; k [gk (x ) bk ] = 0

3. h1 (x ) = c1 ; : : : ; hm (x ) = cm

4. 1

0; : : : ; k

0

5. g1 (x ) b1 ; : : : ; gk (x ) bk

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3.5 Formulacin de Kuhn-Tucker

Teorema 19 Considere el problema de maximizacin restringida sin restricciones de igualdad y con un conjunto completo de restricciones de no negatividad

maximizar f (x1 ; : : : ; xn )sujeto a: g1 (x1 ; : : : ; xn ) b1 ; : : : ; gk (x1 ; : : : ; xk ) bkx1 0; : : : ; xn 0.

Forme el Lagrangiano de Kuhn-Tucker

~L (x; 1 ; : : : ; k ) f (x) 1 [g1 (x) b1 ] : : : k [gk (x) bk ] . (3.18)

Es importante notar que ~L no incluye las estricciones de no negatividad. Suponga que x es una solucin del problema y que la matriz (@gi =@x j ) tiene rango maximal en x ,donde las is varan sobre los indices de las restricciones gi que son activas en x y que el rango de las j s hace lo propio sobre los indices j para los cuales x j > 0. Entonces existen multiplicadores no negativos 1 ; : : : ; k tales que (x1 ; : : : ; n ; 1 ; : : : ; k ) (x ; )satisface el siguiente sistema de igualdades y desigualdades

@ ~L@x1

(x ; ) 0, : : : , @ ~L@xn

(x ; ) 0,

@ ~L@ 1

(x ; ) 0, : : : , @ ~L@ k

(x ; ) 0,

x1@ ~L@x1

(x ; ) = 0 , : : : ,xn@ ~L@x

n

(x ; ) = 0 ,

1@ ~L@ 1

(x ; ) = 0 ; : : : , k@ ~L@ k

(x ; ) = 0 .

4 Optimizacion Restringida II

4.1 Signicado del Multiplicador

4.1.1 Una Restriccin de Igualdad

Situese en el problema ms simple, con dos variables y una restriccin de igualdad

maximizar f (x; y)sujeto a h (x; y) = a

Teorema 20 Sean f y h funciones C 1 de dos variables. Para cualquier valor jo del parmetro a, sea (x (a) ; y (a)) la solucin del problema con un correspondiente multipli-cador (a). Suponga que x , y y son funciones C 1 de a y que la CNDR se mantiene en (x (a) ; y (a) ; (a)) . Entonces

(a) = dda

f (x (a) ; y (a)) (4.1)

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4.1.2 Varias Restricciones de Igualdad

Teorema 21 Sea f; h 1 ; : : : ; hm funciones C 1 de Rn . Sea a = ( a1 ; : : : ; am ) una m-tupla de parmetros exgenos y considere el problema (Pa) de maximizar f (x1 ; : : : ; xn ) sujetoa las restriciones

h1 (x1 ; : : : ; xn ) = a1 ; : : : ; hm (x1 ; : : : ; xn ) = am . (4.2)

Denote x1 (a) ; : : : ; xn (a) la solucin del problema (Pa) con correspondientes multipli-cadores de Lagrange 1 (a) ; : : : ; m (a). Suponga adems que los x i s y los j s son funciones diferenciables de (a1 ; : : : ; am ), y que la CNDR se cumple. Entonces, para cada j = 1; : : : ; m,

j (a1 ; : : : ; am ) = @ @a j

f (x1 (a1 ; : : : ; am ) ; : : : ; xn (a1 ; : : : ; am )) (4.3)

4.1.3 Restricciones de DesigualdadTeorema 22 Sea a = ( a1 ; : : : ; ak ) una k-tupla. Considere el problema (Qa) de maxi-mizar f (x1 ; : : : ; xn ) sujeto a las k restricciones de desigualdad

g1 (x1 ; : : : ; xn ) a1 ; : : : ; gk (x1 ; : : : ; xn ) ak . (4.4)

Dentese mediante x1 (a ) ; : : : ; xn (a ) la solucin del Problema (Qa), y sean 1 (a ) ; : : : ; k (a )los correspondientes multiplicadores de Lagrange. Suponga que mientras a varia cerca de a ; x1 ; : : : ; xn y 1 ; : : : ; n son funciones diferenciables de (a1 ; : : : ; ak ) y que la CNDR se cumple en a . Entonces, para cada j = 1; : : : ; k

j (a1 ; : : : ; ak ) = @ @a j

f (x1 (a1 ; : : : ; ak ) ; : : : ; xn (a1 ; : : : ; ak )) (4.5)

4.1.4 Interpretacin del Multiplicador

Piense en la funcin f (x) del problema (Qa) como la funcin de benecios de una rma ypiense en los a i s del lado derecho de las restricciones como representantes de los montosdisponibles para los insumos del proceso de produccin de dicha rma. Por ejemplo,en un problema de anlisis de actividad, se supone que el proceso de produccin de larma consiste de n actividades productivas diferentes y que xi representa el nivel de

intesidad en la actividad i. Denote g j (x1 ; : : : ; xn ) el monto del insumo j que requierela rma para llevar a cabo su actividad 1 al nivel x1 , su actividad 2 al nivel x2 , y asihasta completar las dems actividades. Denote a j el monto del insumo j disponible parala rma, conllevando as a las restricciones g j (x1 ; : : : ; xn ) a j . Denote f (x1 ; : : : ; xn )el nivel de ganancias que la rma realiza a partir de sus productos cuando lleva susactividades a los niveles x1 ; : : : ; xn , respectivamente. En esta situacin

@ @a j

f (x1 (a) ; : : : ; xn (a)) .

Representa el cambio en el nivel de benecios ptimo resultante de la disponibilidad de

una unidad ms del insumo j . Ya que el j -simo multiplicador j (a) representa estecambio innitesimal, esto nos dice cuan valioso puede llegar a ser el insumo j para losbenecios de la rma. Alternativamente, nos dice el monto mximo que la rma estara

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deseando pagar para adquirir una unidad ms del insumo j . Por esta razn, es muchasveces llamado el valor interno o valor imputado, o ms frecuentemente, el precio sombradel insumo j . Puede ser un ndice de mayor importancia para la rma que el precioexterno de mercado del insumo j .

4.2 Teoremas de la Envolvente

4.2.1 Problemas Irrestrictos

Teorema 23 Sea f (x; a) una funcin C 1 de x 2Rn y del escalar a. Para cada eleccin del parmetro a, considere el problema de maximizacin maximizar f (x; a) con respecto a x.

Sea x (a) la solucin del problema. Suponga que x (a) es una funcin C 1 de a. Entonces

dda

f (x (a) ; a) = @ @a

f (x (a) ; a) (4.6)

4.2.2 Problemas Restringidos

Teorema 24 Sean f; h 1 ; : : : ; hk : Rn R ! R funciones C 1 . Denote x (a) = x1 (a) ; : : : ; xn (a)la solucin al problema de maximizacin x ! f (x; a) sobre el conjunto de restricciones h1 (x; a) = 0 ; : : : ; hk (x; a) = 0 (4.7)

para cualquier eleccin ja del parmetro a. Suponga que x (a) y los multiplicadores de

Lagrange 1 (a) ; : : : ; k (a) son funciones C 1

en a y que la condicin de CNDR se cumple.Entonces,d

daf (x (a) ; a) =

@L@a

(x (a) ; (a) ; a) (4.8)

donde L es el Lagrangiano natural de este problema.

4.3 Condiciones de Segundo Orden

4.3.1 Problemas de Maximizacin Restringida

Teorema 25 Sean f; h 1 ; : : : ; hk funciones C 2 de Rn . Considere el problema de maxi-

mizar f sobre el conjunto de restricciones C h f x : h1 (x) = c1 ; : : : ; hk (x) = ckg. (4.9)

Forme el respectivo Lagrangiano y suponga que

1. x cae en el conjunto de restricciones C h ,

2. Existen 1 ; : : : ; k tales que

@L

@x1= 0 , : : : ,

@L

@xn= 0 ,

@L

@ 1= 0 , : : : ,

@L

@ k= 0

en (x1 ; : : : ; xn ; 1 ; : : : ; k ).

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3. La hessiana de L con respecto a x en (x ; ), D2x L (x ; ), es negativa denida sobre el conjunto de restricciones lineales fv : Dh (x ) v = 0g;esto es,

v 6= 0 y Dh (x ) = 0 =) vT D2x L (x ; ) v < 0.

Entonces, x mximo estricto, local y restringido de f sobre C h .

Teorema 26 Sean f y h funciones C 2 sobre R 2 . Considere el problema de maximizar f sobre el conjunto de restricciones C h = f(x; y) : h (x; y) = cg. Forme el Lagrangiano:

L (x;y; ) = f (x; y) (h (x; y) c) . (4.10)

Suponga que (x ; y ; ) satisface

1. @L@x

= 0, @L@y

= 0, @L@

= 0 en (x ; y ; ) y

2. det

0BBBBB@

0 @h

@x@h@y

@h@x

@ 2 L@x2

@ 2 L@xy

@h@y

@ 2L@yx

@ 2 L@y2

1CCCCCA

> 0 en (x ; y ; ).

Entonces (x ; y ) es un mximo local de f sobre C h .

4.3.2 Restricciones de Desigualdad

Teorema 27 Sean f; g1 ; : : : ; gm ; h1 ; : : : ; hk funciones C 2 sobre Rn . Considere el problema de maximizar f sobre el conjunto de restricciones

C g;h = fx : g1 x b1 ; : : : ; gm (x) bm ; h1 (x) = c1 ; : : : ; hk (x) = ckg. (4.11)Forme el Lagrangiano

L (x1 ; : : : ; xn ; 1 ; : : : ; m ; 1 ; : : : ; k ) = f (x)1 (g1 (x) b1 ) : : : m (gm (x) bm )1 (h1 (x) c1 ) : : : k (hk (x) ck )

1. Suponga que existen tales 1 ; : : : ; m que se cumplen las Condiciones de Primer Orden,

@L@x1

= 0 , : : : , @L@xn

= 0 en (x ; ; )

1 0, : : : , m 01 (g1 (x ) b1 ) = 0 , : : : , m (gm (x ) bm ) = 0

h1 (x ) = c1 ; : : : ; hm (x ) = bm

20


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2. Para facilitar la notacin suponga que (g1 ; : : : ; ge ) son activas en x y ge+1 ; : : : ; gmson inactivas. Escriba g1 ; : : : ; ge como gE . Supongase que el Hessiano de L con respecto a x en (x ; ; ) es negativa denida sobre el conjunto de restricciones lineales

fv : DgE (x ) v = 0 y Dh (x ) v = 0

g;

esto es,

para v 6= 0 , DgE (x ) v = 0 y Dh (x ) v = 0 =) vT D 2x L (x ; ; ) v < 0..Entonces x es un mximo local estricto y restringido de f en C g;h .

unidad 3 optim

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