unidad 3 mÉtodo de las fuerzas. obtenida la estructura isostática, se denominarán las cargas con...

Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I

UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 34

UNIDAD 3

MÉTODO DE LAS FUERZAS.

POR SECCIONES

Los métodos clásicos para resolver estructuras indeterminadas se basan esencialmente

en el concepto de las deformaciones consistentes o las deformaciones conocidas que debe

sufrir la estructura analizada.

El enfoque de este método plantea que cualquier estructura, hiperestática puede

convertirse en estáticamente determinada y estable, al suprimir los vínculos adicionales o

acciones sobrantes. Y a esta estructura obtenida luego de eliminar los vínculos adicionales

para ser isostática, se le denomina estructura primaria, la misma se considera como la

acción combinada de fuerzas externas iniciales, más las acciones de las fuerzas

hiperestáticas, evidenciadas y no conocidas. Estas fuerzas, junto con las cargas aplicadas,

deben provocar que la estructura se deforme de tal forma que los desplazamientos sean

consistentes con las condiciones de los soportables o, en algunos casos, consistentes con

algunas restricciones internas requeridas.

Objetivo General.

Analizar las distintas Propiedades de los elementos que constituyen las formas

resistentes de una estructura, de acuerdo con las cargas que inducen a la deformación de

estos elementos.



Persigue la determinación de fuerzas superabundantes internas y externas, generadas

en una estructura por condiciones de vínculos internos o externos en exceso al número

mínimo exigido por las condiciones estáticas.

Consideraciones para la Aplicación del Método de las Fuerzas.

* La estructura debe ser Hiperestática o de Vínculos Superabundantes (se debe identificar

los grados de hiperestaticidad aplicando la ecuación: GIE = 3n - (Ve + Vi) y proponer la

estructura primaria).

* Elegir un sistema Isostático Estable.

* El sistema se compondrá en la cantidad de cargas reales unitarias + el número de

incógnitas redundantes [Q].

* El sistema virtual vendrá dado por el número de redundantes que posea la estructura.

* Se hallarán los desplazamientos en función de la dirección las redundantes, a través de

las cargas dadas, para la obtención de la matriz de desplazamientos [D].

* Obtenida la estructura isostática, se denominarán las cargas con un valor unitario P=1

para cada sistema como cargas externas existan. Los valores determinados formarán la

matriz de flexibilidad [F]

* Hallar la Ecuación de compatibilidad [D] = [F] x [Q].

* Calcular las fuerzas finales en la estructura debida tanto a las cargas aplicadas como a

las redundantes, considerando la estructura resuelta.

W P

A B C D

SISTEMA ORIGINAL HIPERESTÁTICO

W P

RB RC

A B C D

SISTEMA PRIMARIO ISOSTÁTICO ESTABLE



El sistema primario se divide, empleando el principio de superposición de los efectos, en

varios sistemas, para calcular el desplazamiento en los puntos y dirección de las

redundantes.

Coeficientes de Flexibilidad.

La estructura primaria, se encuentra solicitada por acciones externas y las

redundantes seleccionadas, las mismas actúan como fuerzas externas (unitarias) en el

sistema con valor desconocido.

Los valores de las fuerzas redundantes son unitarios como bien se mencionaba en el

párrafo anterior, los desplazamientos calculados se denominan “Coeficientes de

Flexibilidad de la Estructura”. Esto quiere decir, que no es más que los desplazamientos de

la estructura debido a fuerzas puntuales unitarias, y estos valores se obtendrán

multiplicando el desplazamiento de las cargas unitarias por el valor de la redundante, una

vez determinada.

W P

X1 X2

* X1

1

* X2

1

La ecuación de Compatibilidad viene dada por:

D10 + d11 . X1 + d12 . X2 = 0

D20 + d21 . X1 + d22 . X2 = 0

De donde: d11, d12, dnn, son los coeficientes de flexibilidad en función a las solicitudes de

desplazamientos dados por:

𝑑𝐼𝐽 = 𝑁.𝑛

𝐴𝐸𝑑𝑙 +

𝑙

0

𝐶𝑣 𝑉.𝑣

𝐴𝐺𝑑𝑙 +

𝑙

0

𝑀.𝑚

𝐸𝐼𝑑𝑙 +

𝑇. 𝑡

𝐺𝐼𝑝𝑑𝑙 +

𝑚.𝛥(𝛥𝑡)

ℎ.𝛼𝑡 𝑑𝑙 +

𝑙

0

𝑙

0

𝑙

0

𝑛.𝛥𝑡𝑜.𝛼𝑡 𝑑𝑙𝑙

0

Axiales Cortantes Momentos Flectores Momentos Torsores Variaciones de Temperaturas



EJEMPLO 1.-

2 T/m

B C

2m

3 T.m

A 2 t/m

2m B C

D 2m 3 t.m

5m 3m A

2m FDX

5m 3m

D

1

2m 1

2m

5m 3m 5m 3m 5m 3m

Determinar el trabajo interno generado por los

Momentos de Flexión de la Estructura,

aplicando el Método de las Fuerzas, hasta

conseguir el sistema determinado.

Considérese.

AE= ∞ AG = ∞ EI= Ctte

.

3.- Estados de Cargas Reales Unitaria

1

I II III

Solución:

1.- Se Calcula la Indeterminación Estática

GIE = 3n – (Ve + Vi)

GIE = 3(1) – (4 + 0)

GIE = 1 Vínculo Redundante

2.- Sistema Equivalente Determinado Estable



Aplicando Método de Secciones; determinamos los esfuerzos para cada miembro de la estructura

RCY

MDC

C’

x

D

1/8 t

x

RBY

C

MCB

B’

D

1/8 t

x 3m

C

MBA

A’

RAY

D

1/8 t

5m 3m

2m

1 x FDX

1

2m

5m 3m

5m 3m

RDY

B

x

4.- Estados de Cargas Virtuales

A

5.- Determinación de Fuerzas Equivalentes

- Para Sistema de Carga Unitaria I

I

Aplicando las Ecuaciones de equilibrio

+ ΣMA

= 0

1 + 8RDY = 0 RD

Y = - 1/8 t

+ ΣMC’

= 0

-1/8 (X) + MDC = 0

MDC = x/8

+ ΣMB’

= 0

-1/8 (x + 3) + MCB = 0

MCB = (x+3)/8

+ ΣMA’

= 0

-1/8 (8) + MBA = 0

MBA = 1



RCY

MDC

C’

x

D

25/16 T

x

RBY

1 T/m

C

MCB

B’

D

25/16 T

x 3m

C

MBA

A’

RAY

D

25/16T

5m 3m

5T

1 T/m

B C

2m II

A

2m D

5m 3m

RDY

1 T/m

B

x

Fuerzas Equivalentes

- Para Sistema de Carga Unitaria II


+ ΣMA

= 0

-5 (5/2) + 8RDY = 0

RD

Y = +25/16 T

+ ΣMC’

= 0

25/16 (X) + MDC = 0

MDC = - 25x/16

+ ΣMB’

= 0

25/16 (x + 3) – 1(x)(x/2) + MCB = 0

MCB = x2/2 - (25x+75)/16

+ ΣMA’

= 0

25/16 (8) – 1(5)(5/2) + MBA = 0

MBA = 0



RCY

MDC

C’

RCX

x

D 1

1/4

x

RBY

C

MCB

B’

D

1/4

x 3m

C

MBA

A’ RAX

RAY D 1

1/4

5m 3m

B C

2m III

A

2m D 1 x FDX

5m 3m

RDY

MÉTODO DE SECCIONES

B

x

4m

1

7.- Determinación de Momentos de Flexión

Elemento MI MII MIII MA

C-D x/8 -25x/16 -3x/4 -3x/4

B-C (x+3)/8 x2/2 – (25x +75)/16 (x-13)/4 (x-13)/4

A-B 1 0 x - 2 x - 2


- Para Sistema de Carga Unitaria III (Virtual)


+ ΣMA

= 0

1 (2) + 8RDY = 0

RD

Y = - 1/4 t

+ ΣMC’

= 0

-1/4 (x) + 1(x) + MDC = 0

MDC = - 3x/4

+ ΣMB’

= 0

-1/4 (x + 3) + 1(4) + MCB = 0

MCB = (x-13)/4

+ ΣMA’

= 0

-1/4 (8) + 1(4-x) + MBA = 0

MBA = x - 2



8.- Determinación de Matriz de Indeterminación

ωe = ωi = 𝑁𝑁´

𝐴𝐸𝑑

𝑙

0𝑙 + 𝐶𝑣

𝑉𝑉´

𝐴𝐺𝑑

𝑙

0𝑙 +

𝑴𝑴´

𝑬𝑰𝒅

𝒍

𝟎𝒍 +

𝑇𝑇´

𝐺𝐼𝑝𝑑

𝑙

0𝑙 + 𝑀´ 𝛼

𝛥.𝛥𝑡

𝑛𝑑

𝑙

0𝑙 + 𝑁 𝛼𝑡 𝛥𝑡𝑜 𝑑

𝑙

0𝑙

El trabajo interno producido por los esfuerzos de la estructura, y considerando únicamente los

efectos de flexión viene dado por:

𝛚i = 𝑴𝑴´

𝑬𝑰𝒅

𝒍

𝟎𝒍

I. FDX; 3 t.m =

𝒙𝟖

–𝟑𝒙𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙 +

𝒙+𝟑𝟖

𝒙−𝟏𝟑𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙 +

𝟏 −𝒙+𝟐

𝑬𝑰𝒅

𝟐

𝟎𝒙

Tramo DC Tramo CB Tramo BA

FDX; 3 t.m = −

𝟓𝟎𝟗

𝟒𝟖𝑬𝑰

II. FDX; 2 t/m =

−𝟐𝟓𝒙𝟏𝟔

−𝟑𝒙𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙 +

𝒙𝟐

𝟐−

𝟐𝟓𝒙+𝟕𝟓𝟏𝟔

𝒙−𝟏𝟑𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙

FDX; 2 t/m =

𝟑𝟖𝟕𝟓

𝟔𝟒𝑬𝑰

III. FDX; FD

X =

−𝟑𝒙𝟒

−𝟑𝒙𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙 +

𝒙−𝟏𝟑𝟒

𝒙−𝟏𝟑𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟓

𝟎𝒙 +

𝒙−𝟐 (𝒙−𝟐)

𝑬𝑰𝒅

𝟐

𝟎𝒙

FDX; FD

X =

𝟏𝟒𝟔𝟗

𝟐𝟒𝑬𝑰

9.- Ecuación de Compatibilidad

𝜟 = 𝑭 . 𝑸

0 = −509

48𝐸𝐼+

3875

64𝐸𝐼+

1469

24𝐸𝐼 .

32𝐹𝐷𝑋

𝑭𝑫𝑿 = −𝟏,𝟒𝟔 𝒕



10.- Sistema Real Determinado

2 T/m

B C

2m

3T.m

RAX A

2m RAY D 1,46t

5m 3m

RDY

+ ΣMA

= 0

-1.46 (2) - 2(5)(5/2) + 3 + 8RDY = 0

RDY = +3,12 T

+ ΣFH

= 0

-1.46 + RAX = 0

RAX = +1,46 T

+ ΣFV

= 0

-2 (5) + 3,12 + RAY = 0

RAY = +6,88 T

Aplicando las Ecuaciones de equilibrio para hallar las reacciones del sistema determinado.



Δ1Y= 20cm

Θ1= 0,05 t.m

EJEMPLO 2.-

3

4m

1 2 5 T.m

6m 4m

Θ3

Δ1Y

3

4m

Θ1 2 5t.m

1

6m 4m

I 1 . Δ1Y II

1 t.m 1. Θ3

1. Θ1 III IV

Halle las reacciones indeterminadas de la

Estructura, aplicando el Método de las Fuerzas,

hasta conseguir la matriz de indeterminación y

su diagrama de Momento Flector.

Solución:

1.- Se Calcula la Indeterminación Estática

GIE = 3n – (Ve + Vi)

GIE = 3(1) – (6 + 0)

GIE = 3 Vínculo Redundante

2.- Sistema Equivalente Determinado Estable

a.- La estructura viene condicionada con dos

(2) movimientos de apoyo en el nodo 1, lo

que conlleva a tomar las redundantes en

sentido de esos desplazamientos indicados.

Dado que la estructura es de grado de

indeterminación 3, de los cuales 2 de ellos

ya condicionados, se elije un sistema

isostático estable.

3.- Estados de Cargas Reales Unitaria



1 2’ M21

R2X

M32 3’

1 1t.m 2

1/4

1 x Δ1Y

1 2’ M21

5/2 t R2X

x

1 x Δ1Y M32 3’

x

1 2

5/2

6m x

R3X

R3Y 3

R1X 1 2 1 t.m 4m

6m 4m

1/4 x

x

6m x

3

1 x Δ1Y R3

X

R1X 1 R3

Y 4m

2

6m 4m

4.- Estados de Cargas Virtuales

Sistemas Unitarios II, III y IV






+ ΣM3 = 0

1 + 4R1X = 0 R1

X = - 1/4 t

+ ΣM2’

= 0

M21 = 0 M21 = 0

+ ΣM3’

= 0

-1/4(x) + 1 + M32 = 0 M32 = x/4 - 1


- Para Sistema de Carga Unitaria II


+ ΣM3 = 0

-1(10) + 4R1X = 0

R1X = + 5/2 T

+ ΣM2’

= 0

- 1(x) + M21 = 0 M21 = x

+ ΣM3’

= 0

-1(x+6) + 5/2 (x) + M32 = 0

M32 = - (3x/2) + 6



1x θ1

1 2’ M21

1/4 t R2X

x

M32 3’

1xθ1 x

1 2

1/4

6m x

1 2’ M21

1/4 t R2X

x

M32 3’

x

1 2

1/4

6m x


- Para Sistema de Carga Unitaria IV

3

R3Y R3

X

1 1xΘ1 2 4m

R1X 6m 4m

1xΘ3 R3X

3 R3Y

4m

1 2

R1X

6m 4m


- Para Sistema de Carga Unitaria III Aplicando las Ecuaciones de equilibrio

+ ΣM3 = 0

1 + 4R1X = 0

R1X = - 1/4 t

+ ΣM2’

= 0

1 + M21 = 0 M21 = - 1

+ ΣM3’

= 0

-1/4(x) + 1 + M32 = 0

M32 = x/4 - 1

+ ΣM2’

= 0

M21 = 0 M21 = 0

+ ΣM3’

= 0

-1/4(x) + M32 = 0

M32 = + x/4


+ ΣM3 = 0

1 + 4R1X = 0

R1X = - 1/4 t



7.- Determinación de Momentos de Flexión

Momentos de Cargas Unitarias Momentos de Cargas Virtuales

Elementos MI MII MIII MIV MA MB MC 1-2 0 x -1 0 x -1 0

2-3 x/4 - 1 -3x/2 + 6 x/4 - 1 x/4 -3x/2 + 6 x/4 - 1 x/4

8.- Determinación de Matriz de Indeterminación

ωe = 𝛚i = 𝑴𝑴´

𝑬𝑰𝒅

𝒍

𝟎𝒍

I. Δ1Y; 5 t.m =

𝒙𝟒−𝟏

–𝟑𝒙𝟐

+ 𝟔

𝑬𝑰𝒅

𝟑𝟐

𝟎𝒙 Δ1

Y; 5 t.m =

𝟐𝟗𝟐𝟗

𝟏𝟐𝟓𝑬𝑰

Δ1Y

; Δ1Y

= 𝒙 𝒙

𝑬𝑰𝒅𝒙 +

–𝟑𝒙

𝟐+ 𝟔

–𝟑𝒙

𝟐+ 𝟔

𝑬𝑰

𝟑𝟐

𝟎𝒅

𝟔

𝟎𝒙 Δ1

Y; ΔD

Y =

𝟏𝟐𝟑.𝟒𝟏

𝑬𝑰

Δ1Y

; θ1 =

−𝟏 𝒙

𝑬𝑰𝒅𝒙 +

𝒙

𝟒− 𝟏

–𝟑𝒙

𝟐+ 𝟔

𝑬𝑰

𝟑𝟐

𝟎𝒅

𝟔

𝟎𝒙 Δ1

Y; θ1

=

𝟓𝟒𝟑

𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰

Δ1Y; θ3 =

𝒙

𝟒

–𝟑𝒙

𝟐+ 𝟔

𝑬𝑰𝒅𝒙

𝟑𝟐

𝟎 Δ1

Y; θ3

=

𝟏.𝟑𝟕𝟑

𝑬𝑰

II. θ1; 5 t.m = 𝒙𝟒−𝟏

𝒙𝟒− 𝟏

𝑬𝑰𝒅

𝟑𝟐

𝟎𝒙 θ1; 5 t.m =

𝟕𝟏

𝟓𝟎𝑬𝑰

θ1;Δ1Y

= 𝒙(−𝟏)𝑬𝑰

𝒅𝒙+ –𝟑𝒙𝟐

+ 𝟔 𝒙𝟒− 𝟏

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙𝟔

𝟎 θ1; Δ1Y

= −𝟐𝟔𝟓𝟕


θ1; θ1 =

−𝟏(−𝟏)𝑬𝑰

𝒅𝒙+ 𝒙𝟒

− 𝟏 𝒙𝟒

− 𝟏

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙𝟔

𝟎 θ1; θ1 =

𝟑𝟕𝟏

𝟓𝟎𝑬𝑰

θ1; θ3 =

𝒙𝟒 𝒙𝟒− 𝟏

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ1; θ3 = −

𝟐𝟑


III. θ3; 5 t.m = 𝒙𝟒−𝟏

𝒙𝟒

𝑬𝑰𝒅

𝟑𝟐

𝟎𝒙 θ3; 5 t.m = −

𝟐𝟑


θ3;Δ1Y

= –𝟑𝒙𝟐

+ 𝟔 𝒙𝟒

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; Δ1

Y =

𝟏.𝟑𝟕𝟑

𝑬𝑰

θ3; θ1= 𝒙𝟒− 𝟏 𝒙

𝟒

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; θ1

= −

𝟐𝟑


θ3; θ3= 𝒙𝟒 𝒙𝟒

𝑬𝑰+ 𝒅

𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; θ3

=

𝟏𝟖𝟗

𝟓𝟎𝑬𝑰



9.- Ecuación de Compatibilidad

𝜟 = 𝑭 . 𝑸

0,2

0,050

=

+

2929

125𝐸𝐼+

123.41

𝐸𝐼+

543

100𝐸𝐼−

+7

50𝐸𝐼−

2657

100𝐸𝐼+

371

50𝐸𝐼−

−23

100𝐸𝐼−

1.373

𝐸𝐼−

23

100𝐸𝐼+

1.373

𝐸𝐼23

100𝐸𝐼189

50𝐸𝐼

.

5Δ1

Y

𝜃1

𝜃3

Resolviendo se tiene:

123.41Δ1Y + 5.43𝜃1 − 1.37𝜃3 = −116.96

−26.57Δ1Y + 7,42𝜃1 − 0,23𝜃3 = −0,65

−1.37Δ1Y − 0,23𝜃1 + 3,78𝜃3 = +1.15

Sistema de Ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo, obtenemos:

Δ1Y = −0,8169 t

𝜃1 = − 3,0182 𝑡.𝑚

𝜃3 = −0,1755 𝑡.𝑚

0.18 t.m

3

0,82 t

R3Y R3

X

3.02 t.m 4m

1 2 5 t.m

R1X

6m 4m

+ ΣM3 = 0

0.82 (10) – 3.02 + 5 – 0.18 + 4R1X = 0

R1X = - 2.50 t

+ ΣFH

= 0

-2.50 + R3X = 0

R3X = + 2.50 t

+ ΣFV

= 0

-0,82 + R3Y = 0

R3Y = + 0,82 t



0,82 t

3 2,50 t

0,82 t 2.50 t 0,18 t.m

3.02 t.m 2 6,90 t.m

2.50 t 1 2 2.50 t 0.82 t

0,82 t 1.90 t.m

Diagrama de Momento Flector (M)

3

3,02 0,18

2

1

1,90

6,90

3

1,19

1 2

0.82

Diagrama de Esfuerzos Cortantes (V)

+

-

-

-

+



EJEMPLO 3.-

2T/m

D 3 T/m 3m 6m B 3m C A 4m 4m Solución: 1- Grado de Indeterminación Estática

GIE = VE – 3(n) - VI

GIE = 4 – 3(1) – 0 GIE = 1 Vínculo Redundante 2- Escogencia de Redundantes (Sistema Isostático Estable)

1T/m D θD 1T/m

B 𝑄 = 32𝜃𝐷

C A 3- Sistema de Cargas Reales Unitarias Para Carga Distribuida Uniforme D Sistema I

1T/m x 3 B C 4m I 4m A

Resolver el Sistema Hiperestático

Indeterminado, aplicando el Método de las

Fuerzas por sección y hallar las reacciones que

genera la Estructura.

AE = ∞

AG = ∞

EI = ctte

+ ΣMD

= 0

-8 (4m) + 8RAY = 0

RAY = 4 T



Aplicando el Método de Secciones

Tramo AB Tramo BC 4T Tramo CD 8 T 1x 1x 1T/m

MAB 1T/m 1T/m C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 4T 4T 4T x x 4m 4m 4m Para Carga Distribuida Triangular D Sistema II

1T/m x 2 B C 4m II 4m A RA

Y Aplicando el Método de Secciones

Tramo AB Tramo BC 2T Tramo CD 2 T 0.25x x2/8 1T/m 1T/m

MAB C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 4/3T 4/3T 4/3T x x 4m 4m 4m

+ ΣMB’

= 0

-1x (x/2) + 4(x) + MAB’ = 0

MAB = 𝒙𝟐

𝟐− 𝟒𝒙

+ ΣMC’

= 0

4 (x+4) - 4(x+2) – 1x(x/2) + MBC’ = 0

MBC = 𝒙𝟐

𝟐− 𝟖

+ ΣMD’

= 0

4 (8m) - 8(4m) + MCD’ = 0

MCD = 0

+ ΣMD

= 0

-2 (4/3m + 4m) + 8RAY = 0

RAY = 4/3 T

+ ΣMB’

= 0

-x2/8 (x/3) + 4/3(x) + MAB’ = 0

MAB = 𝒙𝟑

𝟐𝟒−

𝟒𝒙

𝟑

+ ΣMC’

= 0

-2 (4/3+x) + 4/3(x+4) + MBC’ = 0

MBC = 𝟐𝒙

𝟑− 𝟖

+ ΣMD’

= 0

-2 (4/3+ 4m) – 4/3(8m) + MCD’ = 0

MCD = 0



Para Carga Momento (Variable Redundante) D Sistema III 1T.m x θD B C 4m III 4m A RA

Y Aplicando el Método de Secciones

Tramo AB Tramo BC Tramo CD

MAB C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 1/8 T 1/8T 1/8T x x 4m 4m 4m 4- Sistema de Cargas Virtuales Unitarias D Sistema V1 1T.m x θD B C 4m V1 4m A RA

Y

+ ΣMD

= 0

1 T.m + 8RAY = 0

RAY = 1/8 T

+ ΣMB’

= 0

-1/8 (x) + MAB’ = 0

MAB = 𝒙

𝟖

+ ΣMC’

= 0

-1/8 (x+4) + MBC’ = 0

MBC = 𝒙

𝟖+

𝟏

𝟐

+ ΣMD’

= 0

-1/8 (8m) + MCD’ = 0

MCD = 1



5- Momentos De Flexión

Momentos de Cargas Reales Unitarias

Momentos Cargas

Virtuales

TRAMO

MI

MII

MIII

MV1

AB

𝑥2

2− 4𝑥

𝑥3

24−

4𝑥

3

𝑥

8

𝑥

8

BC

𝑥2

2− 8

2𝑥

3− 8 𝑥

8+

1

2

𝑥

8+

1

2

CD

0

0

1

1

6- Determinación de los Coeficientes de Flexión 𝐹

ωe = 𝛚i = 𝑴𝑴´

𝑬𝑰𝒅

𝒍

𝟎𝒍

I. θD; 3 T.m = 𝑥2

2− 4𝑥

𝑥8

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 +

𝑥2

2−8

𝑥8

+12

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 θD; 3 T.m =

−𝟐𝟑.𝟑𝟖

𝑬𝑰

II. θD; 2 T.m = 𝑥3

24−

4𝑥3

𝑥8

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 +

2𝑥3− 8

𝑥8

+12

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 θD; 2 T.m =

−𝟔.𝟖𝟖

𝑬𝑰

III. θD; θD = 𝑥8

𝑥8

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 +

𝑥8

+12

𝑥8

+12

𝐸𝐼𝑑

5

0𝑥 +

1 1

𝐸𝐼𝑑

6

0𝑥 θD; θD =

+𝟏𝟎.𝟏𝟏

𝑬𝑰

7- Ecuación de Compatibilidad

𝜟 = 𝑭 . 𝑸

0 = −23.38

𝐸𝐼−

6.88

𝐸𝐼+

10.11

𝐸𝐼 .

32𝜃𝐷

-70.17- 13.76 + 10.11 θD = 0

𝜽𝑫 = 𝟖,𝟑𝟎𝑻.𝒎+



Sistema Hiperestático Determinado

RDY

8.30T.m RDX 2T/m

D

3 T/m 3m 6m B 3m C A 4m 4m RA

Y

Determinación de las Reacciones

2º

D

25.18

25.18

3º

8.30

B

C A

8.30

Diagrama de Momento Flector (M)

+ ΣMD

= 0

8.30T.m – 24T(4m) – 4T(4/3m + 4m) + 8RAY = 0

RAY = +13,63 T

+ ΣFH

= 0

RDX = 0

RDX = 0

+ ΣFV

= 0

-24T + 4T + 13.63T + RDY = 0

RDY = +14,37 T

+ + +

-



Ejercicios Propuestos. 3T 2T 4T 2T

2m C

5T B 5m

AE =∞

AG =∞ 7m 2EI 1.5EI

6m EI = ctte D

A

5m 2m 5m 5m

2K/m

C D

D 3m 4K/m

B AE =∞ 5m 2K/m

AG = ctte

EI = ctte 5m B

4 K C

2

5 𝐿 3m

A A

3m 5m 6m 4m

1- Aplique el Método de las Fuerzas para determinar

la Matriz de Flexión de los Momentos ejercidos por

las cargas aplicadas. Dibuje diagrama de Momentos.

2- Halle la Indeterminación usando el Método de las

Fuerzas y determinar así la Matriz de Flexión de los

Momentos ejercidos por las cargas aplicadas.

Desprecie los esfuerzos axiales y de corte.

3- Hallar la indeterminación de la Estructura

aplicando el Método de las Fuerzas, a través de la

Ecuación de Compatibilidad consiga los coeficientes

de la Matriz [F] y calcule las reacciones de los

vínculos. Desprecie solo efectos axiales.

4- Determine las reacciones del sistema

Hiperestático, aplicando el Método de las Fuerzas y

hallar a través de la Matriz de Flexión de los

Momentos ejercidos por las cargas aplicadas. Dibuje

diagrama de Momentos. Considérese solo efectos de

flexión

unidad 3 mÉtodo de las fuerzas. obtenida la estructura isostática, se denominarán las cargas con...

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