UNIDAD 2

OPEREMOS POLINOMIOS

(REFUERZO)

PRODUCTOS NOTABLES. Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Existen varios tipos de productos notables, algunos de los cuales se muestran a continuación. Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de un binomio) Si elevamos, la suma a + b al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese binomio es decir que:(a + b) 2 = (a + b)(a + b)

1-Desarrollando este producto tendremos:  

0 sea que;(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:1) (x + 4) 2= x 2 + 2(x)(4)+ (4)2 = x2 + 8x + 16 2) (4a + 5b2 )2 = (4a)2+ 2(4a)(5b2 ) + (5b2 )2 = 16a 2 + 40ab 2+25b 4

 3) (3a 2 + 5x 3 )2 = 9a 4+ 30a 2 x 3 + 25x 6

 4) (7ax 4 +9y 5 )2 = 49a 2 x 8 + 126ax 4 y5 + 81y 10

 

2-Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar a - b al cuadrado, equivalente a multiplicar ese binomio por si mismo o sea: (a - b)2 = (a - b)(a - b)  Desarrollando tendremos: a - b a - ba2 - ab- ab + b2

a2 - 2ab + b2

o sea que (a - b)2 = a2 - 2ab +b2 . Ya que: (b - a)2 = b2 - 2ba + a2

Por lo que: (a - b)2 = (b - a)2

Ejemplos:(x - 5) 2 = x 2 - 10x + 25  (4a 2 - 3b 3 )2 = 16a 4 - 24a 2b 3 + 9b6  (10x 3 - 9xy 5 ) 2 = 100x 6 - 180x 4 y5 + 81x 2 y10  (a x -2 - 5) 2 = a2x -4 - 10a x -2 + 25

3-Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. (a + b)(a - b) , que desarrollado nos da: Esto es: (a + b)(a - b) = a 2 - b2

Lo que significa que: el producto de binomios conjugados, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplos: 1)(a + x)(a - x) = a 2 - x 2

  2) (x + 2)(x - 2) = x 2 - 4

3) (2a + 3b)(2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2

4) (5a n+1 - 3a m ) = 25a 2n+2 - 9a 2m

    

 4-Cubo de un binomio. Sea(a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2 (a + b). Desarrollando:  a 2 + 2ab + b2

a + b

  a3 + 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2 + b3

 a3 + 3a2b+ 3ab2 +b3

Por lo tanto:(a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab 2 + b3

 

5-Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso anterior, por lo que, desarrollando: a 2 - 2ab + b2

a - ba3 - 2a2b + ab2

 - a2b + 2ab2 - b3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

  Por lo tanto:(a - b)3 = a 3 - 3a 2b + 3ab2-b3

 

Ejemplos1) (a + 1) 3= (a)3 + 3(a)2 (1) + 3(a)(1)2 + (1)3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1

 

2) (x - 2) 3= x 3 - 3(x) 2 (2) + 3(x)(2)2 - (2)3= x 3- 6x 2 + 12x - 8

3)(2x + 3)3= (2x)3+ 3(2x) 2 (3)+ 3(2x)(3)2+ (3)3

= 8x 3 + 36x 2 +54x+27          

6-Producto de dos binomios que tienen un término común. Sean los binomios: (a + b) y (a + c) . Su producto es: a + b a + ca2 + ab+ ac + bca2 + ab + ac + bc = a2 + a(b + c) + bc Por lo que: (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) +bc

Ejemplos:1) (x + 7)(x - 2) = x 2 + x(7 - 2) + (7)(-

2) x 2 + 5x - 14(x - 7)(x - 6) = x 2 + x( -7 - 6) + (-7)(-6) = x2 - 13x +42  3)(4x 2 + 7)(4x 2 + 3) = (4x2 ) 2 + 4x 2 (7 + 3) + (7)(3) = 16x 4 + 40x 2 + 21

7-Producto de dos binomios de la forma: (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + anx + bmx + ab = mnx 2 + (an + bm)x + abEs decir: (mx + a)(nx +b) = mnx 2 + (an +bm)x + ab

Ejemplos:(4x - 3)(5x + 4) = (4)(5)x2 + [(-3)(5) + (4)(4)]x+ ( -3)(4) =  1) 20x2 + (-15 + 16)x - 12 = 20x 2 + x - 12 2) (2x - 4)(3x + 1) = 6x 2 + (-12 + 2)x - 4 = 6x 2

- 10x - 4   

 

8.El trinomio cuadrado perfecto:(a + b + c) 2= (a + b + c)(a + b +c). Desarrollando las operaciones indicadas se tiene. a+b+ca+b+ca2+ab+ac+ab+b2+c+ac+ bc+c2a2+ 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2

 Ordenando tenemos: (a + b + c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo: (1 + 2a + 3b) 2 = (1)2 + (2a)2 + (3b)2 + 2(1)(2a)+ 2(1)(3b)+ 2(2a)(3b)= 1 + 4a 2 + 9b 2+ 4a + 6b + 12ab 

 

9.Suma de cubos Dado el producto: (a + b)(a 2 - ab + b 2 ). Efectuando la operación de multiplicaciónindicada tenemos:

a 2-ab+b2a+ba3- a2b +ab2+ a2b - ab2+ b3a3+0+ 0 +b3

 Por lo que: (a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

Diferencia de cubos. De la misma manera, desarrollando el producto (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) , tenemos: (a - b)(a 2 + ab + b2 ) = a 3 + a 2b + ab2 - a 2 b - ab2 - b3 .  Es decir: (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 -b3  Ejemplos:

(2x + 6y)(4x 2 - 12xy + 36y 2 ) = (2x)3 - (6y)3 = 8x 3 - 216y 3 3xy(3x - 4y)(9x 2 + 12xy + 16y 2 ) = 3xy[(3x)3 - (4y)3 ]

2) 3xy(27x3 - 64y3 ) = 81x 4 y - 192xy 4