unidad 10 cuerpos geométricos poliedros....

unidad 10 cuerpos geométricos

Poliedros. características Página 1

Algunos ejemplos son:

actividades

1 Dibuja un tronco de pirámide de base triangular. Señala sus caras, vértices y aristas.

Poliedro es un cuerpo cerrado limitado por caras planas que son polígonos.

Aristas son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas com-parten una arista.

Vértices. Son los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras.

PIRÁMIDE

vértice caras laterales

base

altura

apotema

TRONCO DE PIRÁMIDE PRISMA RECTO

unidad 10 cuerpos geométricos

cuerpos de revolución. características Página 2

Entre las figuras del espacio que deben ser estudiadas, ocupan un lugar importante los cuerpos de revolución: cilindros, conos, esferas…

actividades

2 Qué cuerpo de revolución se genera al hacer girar este trapecio rectángulo sobre el eje E ?

Dibújalo en tu cuaderno e identifica sus elementos fundamentales.

CONO

g

altura generatriz

g h

r

radio

ESFERA

CILINDRO

altura

radio

eje

bases g

R

r

bases altura

TRONCO DE CONO

CASQUETE ESFÉRICO

R

altura radio h

r h

ZONA ESFÉRICA

bases

r2

r1

E

Deseamos demostrar que la superficie de una esfera es igual a la superficie lateral del cilindro que la contiene. Para ello, vamos a descomponer la superficie de la esfera en muchísimos rectángulos, pequeñísimos, tan pequeños que puedan considerarse rectán-gulos planos.

Si consideramos que a la superficie esférica le corresponde la superficie lateral del cilindro que la envuelve, ¿qué le corresponderá a unos de esos pequeñísimos rectángulos? Pero, retrocediendo un paso, ¿cómo se corresponden los puntos de la esfera con los del cilin-dro? Fácil de averiguar: proyectamos cada punto de la esfera, desde el eje, mediante rectas perpendiculares a este.

Así pues, vamos a estudiar la relación entre uno de esos rectángulos tomados en la esfera y su proyección sobre el cilindro. Suponemos que las dimensiones del rectángulo inicial son b, base, y a, altura.

¿Cuáles serán las dimensiones del rectángulo que resulta al proyectarlo sobre el cilindro?

unidad 10 Cuerpos geométricos

Superficie esférica y superficie del cilindro que la contiene

eje

a

b

a

b

RECTÁNGULO

Al proyectarlo sobre el cilindro, esa altura se queda reducida a la mitad.

¿Y qué ocurre con la base del rectángulo? Para verlo, miramos la figura desde arriba:

Puesto que el radio del círculo sobre el que está situada la base del rectángulo es la mitad del radio del cilindro, la base de longitud b se proyecta en un segmento de longitud 2b. Por tanto:

Y si el rectángulo está en otras posiciones ocurre algo similar:

La altura se reduce dividiéndose por un cierto número k y la base aumenta multiplicán-dose por ese mismo número k. Así, el área se mantiene.

De esta forma se demuestra no solo que el área de la esfera es igual a la del cilindro, sino que el área de cualquier figura dibujada sobre la esfera es igual al área de la correspondien-te figura proyectada sobre el cilindro.


Superficie esférica y superficie del cilindro que la contiene

R/2

a2

R

R

60°

60°

Tomemos, en concreto, un rectángulo situado en el paralelo que se encuentra 60° por encima del círculo de tangencia. Aquí lo vemos de perfil, y apreciamos su altura a.

R/2

R

b

2b

a Área = a · b

ESFERA CILINDRO

b

Área = a · b

2b

a2

UNIDAD 10 Cuerpos geométricos

Pág. 1 de 53. Desarrollo de los cinco poliedros regulares


¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares? Página 1

Solo hay cinco poliedros regulares:

¿Por qué solo hay cinco y no más o menos?

Recordemos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y si en todos sus vértices concurren el mismo número de caras.

Como parece lógico, es imposible formar un poliedro con solo dos triángulos en cada vértice.

Sin embargo, sí puede hacerse con tres triángulos:

TETRAEDRO CUBO o HEXAEDRO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO4 caras, triángulos 6 caras, cuadrados 8 caras, triángulos 12 caras, pentágonos 20 caras, triángulos

TETRAEDRO

3 TRIÁNGULOSen cada vértice

OCTAEDRO

4 TRIÁNGULOS

ICOSAEDRO

5 TRIÁNGULOS

TETRAEDRO


OCTAEDRO

4 TRIÁNGULOS

ICOSAEDRO

5 TRIÁNGULOS

¿Y con cuatro triángulos por vértice?

También:

Se puede conseguir otro poliedro regular con cinco triángulos por vértice:

¿Y qué ocurre con seis triángulos?

No, con seis triángulos equiláteros no podemos salir del plano y, por tanto, no podemos formar un vértice de poliedro.

Como ya hemos acabado con los triángulos, pasemos a los cuadrados. ¿Servirán dos cua-drados por vértice? No.

Y con tres cuadrados, ¿podemos formar un poliedro?


¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares?

TETRAEDRO


OCTAEDRO

4 TRIÁNGULOS

ICOSAEDRO

5 TRIÁNGULOS

6 TRIÁNGULOS

CUBO

CON TRES CUADRADOS EN CADA VÉRTICE

Por el mismo motivo que con seis triángulos, no se puede formar un poliedro con cuatro cuadrados.

Es el turno de los pentágonos. A estas alturas ya sabemos que con dos por vértice es impo-sible, pero, ¿qué pasa con tres?

Con cuatro pentágonos ya no hay forma de colocarlos para que coincidan sobre un vér-tice.

Ya tenemos nuestros cinco poliedros regulares. ¿Por qué no puede haber más?

Ahora le tocaría el turno a los hexágonos. Por el mismo motivo que antes, con dos es imposible. ¿Y con tres?


¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares?

DODECAEDRO

CON TRES PENTÁGONOS EN CADA VÉRTICE

Con tres llenamos el plano, por lo que nunca formaremos un poliedro.

Esta es la razón por la que solo hay cinco poliedros regulares.


Pág. 1 de 25. Desarrollo de un prisma y de un antiprisma


Pág. 2 de 25. Desarrollo de un prisma y de un antiprisma


Pág. 1 de 26. Desarrollo del cuboctaedro y del icosidodecaedro

CUBO CUBOCTAEDRO OCTAEDRO

6 caras cuadradas 6 caras cuadradas 8 caras triangulare s

8 vértices de orden 3 8 caras triangulare s 6 vértices de orden 4


Pág. 2 de 26. Desarrollo del cuboctaedro y del icosidodecaedro

DODECAEDRO ICOSIDODECAEDRO ICOSAEDRO

12 caras pentagonales 12 caras pentagonales 20 caras triangulare s

20 vértices de orden 3 20 caras triangulares 12 vértices de orden 5


Pág. 1 de 57. Desarrollo de los cinco

poliedros regulares truncados

TETRAEDRO TRONCO TETRAEDRO

4 caras triangulares 4 caras hexagonales

4 vértices de orden 3 4 caras triangulare s




CUBO TRONCOCUBO

6 caras cuadradas 6 caras octogonales





OCTAEDRO TRONCOCTAEDRO


6 vértices de orden 4 6 caras cuadradas




DODECAEDRO TRONCODODECAEDRO

12 caras pentagonales 12 caras decagonales





ICOSAEDRO TRONCOICOSAEDRO


12 vértices de orden 5 12 caras pentagonales

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