unidad 1 teoria 2010

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL MENDOZA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL CATEDRA: GEOTOPOGRAFIA

APUNTES TEORICOS PRACTICOS Preparó: Ing. E. Minola pag. 1 de 32

GEOTOPOGRAFIA

UNIDAD TEORICA Nº 1

1. TOPOGRAFIA Y GEODESIA : NOCIONES BASICAS Son ciencias que se dedican a la medición de la superficie terrestre y de todos sus accidentes. Se entiende por accidentes a las características de la superficie terrestre, por ejemplo: edificaciones, campos, ríos, caminos, elevaciones y depresiones, etc. TOPOGRAFIA : Es la ciencia que tiene por objeto medir pequeñas extensiones de tierra y determinar las posiciones relativas de puntos situados sobre la misma, efectuando los procedimientos necesarios para poder luego realizar la representación gráfica en un plano a escala de las formas, accidentes y dimensiones medidas. Es decir que es la ciencia que estudia y aplica métodos físicos y matemáticos para MEDIR, CALCULAR y REPRESENTAR una limitada extensión del relieve terrestre con todos sus accidentes, proyectándola sobre un plano horizontal, que es materializado por el plano topográfico.



GEODESIA: Es la ciencia que se ocupa en determinar por medio de procedimientos de medición, cálculo y representación gráfica, la forma y dimensiones de grandes extensiones de la superficie terrestre.

1.1. DIFERENCIA ENTRE TOPOGRAFIA Y GEODESIA Básicamente las dos ciencias tienen la misma finalidad, medir extensiones de tierra, pero la diferencia radica en las magnitudes consideradas en cada una de ellas y por lo tanto en los métodos usados para medir. La Topografía como dijimos, se usa para medir pequeñas porciones de la tierra, no teniendo en cuenta la verdadera forma de ésta, sino que considera la superficie terrestre como un plano donde cada punto se determina a través de sus dos coordenadas rectangulares planas (x,y) y también su altura (coordenada z). La Geodesia se usa cuando se trata de medir grandes extensiones de tierra, para lo cual considera la verdadera forma de la tierra, se tiene en cuenta la curvatura terrestre y no considera a la superficie terrestre como un plano s ino como una esfera o un elipsoide (según la precisión requerida) , y cada punto se determina a través de coordenadas geodésicas (longitud y latitud). El límite entre Topografía y Geodesia es el definid o por la influencia de la curvatura terrestre .



El problema se presenta al querer representar y referir todos los accidentes geográficos de la superficie que se está midiendo sobre una superficie de referencia lo más parecida a la superficie real de la tierra. La superficie de referencia ideal que más se aproxima a la superficie real de la tierra, se denomina Geoide , y se define como la superficie equipotencial que representa el nivel medio del mar supuesto en reposo y prolongada idealmente por debajo de los continentes. Pero el Geoide presenta una doble dificultad:

- no es representable por funciones algebraicas. - no se puede desarrollar sobre un plano.

El Geoide es una superficie irregular dado que en su conformación además influye la masa de la Tierra y el magnetismo entre otros.

Como la Geodesia debe hacer geometría sobre la superficie de referencia, es decir calcular distancias, ángulos, áreas, etc., estos cálculos resultan demasiados complicados si se utiliza el geoide como superficie de referencia. Para salvar este problema, la Geodesia ha adoptado como superficie matemática de referencia para representar la superficie de la tierra al elipsoide de revolución que es la forma geométrica que con un grado razonable de aproximación mejor se ajusta a la figura de la tierra. Sin embargo en el caso de superficies reducidas o cuando el grado de precisión de los trabajos geodésicos lo permiten, se puede reemplazar al elipsoide por una esfera tangente al mismo que se conoce como esfera local, como

superficie de referencia: la Esfera Terrestre (R = 6371 km.). Luego el paso siguiente es transformar mediante expresiones matemáticas adecuadas los puntos relevados y representados sobre la esfera local, en puntos sobre un plano cartesiano rectangular.

Considerando la curvatura de la tierra, veamos entonces el límite de aplicación de la Topografía en el campo planimétrico. La superficie de referencia en Topografía es el plano horizontal , que debe ser tangente a la esfera o al elipsoide en el punto medio de la zona que se opera. Supongamos dos puntos A y B sobre la esfera local (fig. 1), y estableciendo como plano de comparación al tangente al arco de circunferencia comprendido entre A y B en el centro del mismo (punto P), si proyectamos en forma ortogonal los

a a' b' b

A B

O

α

P

Fig.1



puntos A y B sobre dicho plano, obtendremos los puntos a’ y b’, sin embargo una plomada ubicada en los puntos A y B seguirá las dirección AO y BO, por lo que obtendremos como representación de los puntos A y B los puntos “a” y “b”. El error horizontal que se comete es aa’ y bb’. También tendremos un error vertical con motivo que en la medida que nos alejamos del punto de tangencia P se van separando el plano tangente respecto a la superficie curva. Observando la fig. 2, vemos que el arco desarrollado (L) sobre el plano es igual a: L = x + ∆L donde ∆L es el error, es decir es aa’ o bb’. ∆L = L – x (1) Por otro lado el arco de circunferencia es igual a: L = R * α (2) de donde : α = L/R Siempre en la fig. 2 tenemos: X = R * sen α Desarrollando sen α por series: Sen α = α - α3/3! + α5/5! - ……. En esta expresión consideramos los dos primeros términos, dado que los demás se desprecian por dar valores muy chicos. Por lo tanto reemplazando: X = R * (α - α3/6) = R *α - R * α3/6 (3) Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos: ∆L = R * α - (R * α - R * α3/6) =

∆∆∆∆L = R * αααα3333/6/6/6/6 El error horizontal que se comete al considerar la superficie plana en topografía es del orden de 1cm/km., por lo que hasta una distancia de 50 km. se puede trabajar con un solo plano horizontal y se considera tolerable el error cometido para la topografía. Para distancias mayores a los 50 km. es conveniente recurrir a la geodesia para evitar errores groseros. En cambio, el error vertical (en la fig. 2 sería BB”) debido a la curvatura terrestre es del orden de 8 cm/km., y hay que considerarlo a los fines de determinar la altura de puntos (coordenada z) Verticalmente se puede trabajar hasta unos 500 mts., considerando un solo plano horizontal y a partir de los 9 km. hay que recurrir a la Geodesia. La Topografía comprende entonces 3 etapas básicas: a. Métodos de medición lineal y angular. b. Cálculos y procedimientos matemáticos. c. Representación gráfica a escala de formas y accidentes de la superficie relevada. En base a estas 3 etapas, la Topografía permite determinar o replantear la posición de puntos en el terreno respecto a un sistema de referencia previamente establecido. ¿QUE SE MIDE, CALCULA Y REPRESENTA GRAFICAMENTE?

1. Relevamiento de terrenos y/o construcciones existentes, determinación de los límites de un terreno.

2. Obras lineales: caminos, canales, acueductos, gasoductos. 3. Barrios (calles, manzanas, lotes). 4. Obras varias de ingeniería: represas, centros comerciales, edificios, etc.

Lx ∆L

A

B

B' B''

L

xR

Rα

O Fig. 2



Todos estos objetos, que luego se representan en un plano, pueden ser idealizados por los elementos geométricos que los componen: líneas rectas y curvas, puntos, polígonos, y como toda línea o polígono queda definido por los dos puntos extremos, podemos resumir que el elemento básico de nuestro trabajo será siempre: determinar la posicion de puntos en el terreno. 1.2. SISTEMA DE REFERENCIA Cuando se realiza un levantamiento topográfico de por ejemplo un terreno o una construcción, en realidad lo que relevamos son los elementos que definen al terreno o a la construcción, que son los puntos . Por lo tanto, con las observaciones de campo obtenemos datos lineales y angulares como así también desniveles que nos permiten posicionar los puntos del terreno o de la construcción y a cada punto se lo debe localizar en forma única e invariable. Por este motivo es necesario generar un Sistema de Referencia que permita la vinculación de los puntos y nos permita definir la posición de los mismos en el plano topográfico. Este sistema se define a través de su origen, ejes, sentido, etc., pero cualquiera de estos elementos son puramente abstractos, por lo que la materialización de un sistema está dado por la existencia de puntos sobre la superficie terrestre con coordenadas conocidas y referidas al sistema en cuestión. El conjunto de puntos que materializa un sistema recibe el nombre de Marco de Referencia.

En Topografía, sabemos que la zona que se quiere representar es de reducidas dimensiones, por lo tanto la superficie de referencia que se adopta es el plano topográfico. El sistema de referencia utilizado en topografía para localizar puntos del terreno es el sistema acotado, utilizando este sistema se representan los puntos del espacio A,B, etc., tomando un plano horizontal π , convenientemente elegido denominado plano de comparación topográfico, sobre el que se proyectan ortogonalmente los diversos puntos, y de este modo se logra sustituir una figura en un espacio de tres dimensiones, por su proyección en el plano de solo dos dimensiones. Sin embargo la representación ha de ser reversible, es decir que también se debe lograr pasar de la proyección a la verdadera forma en el espacio, y para esto se necesita conocer un

Y

X

π

A

B

A'

B'

P.E.

O

αβ

∆

∆

A

B

Fig. 1



elemento más, y este es la altura vertical ∆Α, ∆Β,etc. que existe entre cada punto A,B, etc. y su proyección en el plano A’,B’,etc. A la altura vertical se la denomina cota. En la figura anterior se indica lo explicado anteriormente, y resumiendo podemos decir que los puntos se pueden representar por su proyección horizontal y su cota. En definitiva, con el objeto de fijar la posición de los puntos, de tal forma que ésta sea única e invariable, es necesario crear un sistema de referencia al cual vincular los puntos. La Topografía permite determinar o replantear la posición de puntos en el terreno respecto a un sistema de referencia previamente establecido, proyectando los mismos sobre un plano horizontal. Sin embargo, de la proyección en el plano se debe poder deducir la verdadera forma en el espacio, por lo que es necesario conocer también la altura vertical entre cada punto y su proyección. Los sistemas de referencia usados en topografía son: - Sistema Cartesiano Ortogonal - Sistema Polar Para localizar puntos en cualquiera de estos sistemas, necesitamos conocer las posiciones de los ejes X e Y en el plano y esto nos da la posibilidad de definir dos sistemas distintos en función del sentido de giro del eje X hacia el eje Y, a saber: a. Sistema Cartesiano Ortogonal: a.I. Sistema Cartesiano Ortogonal Directo: Es aquel en que los 90º que tiene que girar el eje X para superponerse con el eje Y lo hace en sentido contrario a las agujas del reloj, como se indica en la fig.2.

a.II. Sistema Cartesiano Ortogonal Retrogrado: Es aquel en que los 90º que tiene que girar el eje X para superponerse con el eje Y lo hace en el sentido de las agujas del reloj, como se indica en la fig. 3. Mediante los dos ejes de coordenadas el plano se divide en 4 partes llamadas cuadrantes. En Topografía se usa el Sistema Cartesiano Ortogonal Retrogrado , los ángulos se miden en sentido horario, la distribución de los cuadrantes y los signos que corresponden a las abscisas X y ordenadas Y, como así también el signo de las funciones se observa en la fig. 4.

Y

XO

90º

SISTEMA DIRECTO SISTEMA RETROGRADO

O

90º

Y

X

Fig. 2 Fig. 3

I

IIIII

IV

Y+X+

Y-X+

Y+X-

Y-X-

+X

+Y-Y

-X

Cos(+)Sen(+)

Cos(+)Sen(-)

Cos(-)Sen(-)

Cos(-)Sen(+)

Fig. 4



Por lo tanto un punto P cualquiera quedará localizado cuando se conozcan sus coordenadas X e Y, como se observa en la fig. 5. Se expresa: P (x, y) b. Sistema Polar: Este sistema se apoya en los ejes ortogonales ya descriptos anteriormente y para localizar un punto en este sistema es necesario conocer el valor de la amplitud (R) y la distancia (d), como se puede apreciar en la fig. 6. La distancia (d) es el módulo del vector OP o medida de la longitud OP; y la amplitud (R) es el ángulo horizontal entre el eje X y el vector de posición OP. Las coordenadas de P en este sistema se expresan así: P (R, d)

A los fines de tener una orientación de referencia para los ángulos horizontales medidos, en la práctica topográfica, geodésica y catastral, es costumbre general hacer coincidir el eje de las X positivas con el Norte geográfico o bien con el Norte magnético. (fig. 7) Por lo tanto quedarán los demás ejes de la siguiente manera: - Eje de las Y positivas, hacia el Este. - Eje de las X negativas, hacia el Sur. - Eje de las Y negativas, hacia el Oeste. A parte de los sistemas generales de coordenadas,

indicados anteriormente, se emplean a menudo con fines especiales sistemas locales que pueden ser orientados de cualquier modo conveniente, por ejemplo, el eje de las X o de las Y coincidente con el primer lado más largo de un polígono, o con la dirección principal de un camino, canal, o bien tangente a una curva, etc., pero en todos los casos se debe mantener la condición que se pase del eje de las X positivas al de las Y positivas por un movimiento giratorio de 90º en el sentido de las agujas del reloj. En Topografía se relevan distintos elementos (terrenos, edificaciones, obras varias), estos elementos se identifican con líneas y puntos .

X X

YY

P P

O O

X

Y R

d

(X,Y) (R,d)

Fig. 5 Fig. 6

N

EO

S

Fig. 7



Para localizar dichos elementos a través de sus puntos se refieren a un sistema coordenado de modo tal que cada punto quedará ubicado en una determinada posición mediante sus coordenadas x, y, z.

1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA TOPOGRAFIA El campo de acción de la Topografía es muy amplio y a través de los procedimientos de medición, cálculo y representación gráfica, brinda solución a las necesidades de varias áreas, tales como:

Obras de Ingeniería y Arquitectura

Explotación y producción agropecuaria

Exploración y explotación minera

Mediciones de la corteza terrestre

TOPOGRAFIA

Exploración y explotación petrolera

Estudios del medio ambiente



¿Qué trabajos aporta la Topografía en cada una de estas áreas? a. Explotación y producción agropecuaria:

Relevamiento de campos, nivelaciones para el estudio de riego, replanteo de alambrados, represas, canales de riego, construcción de terrazas de cultivo.

b. Exploración y explotación petrolera: Relevamiento y replanteo de pozos, mensuras petroleras.

c. Exploración y explotación minera: Relevamiento y replanteo de túneles, canteras, mensuras mineras. d. Estudios del medio ambiente: Levantamientos topográficos para la evaluación de impacto ambiental. e. Mediciones de la corteza terrestre: Relevamientos de apoyo a estudios geológicos y de perfiles gravimétricos f. Obras de Arquitectura e Ingeniería: Levantamientos topográficos para anteproyectos, replanteo de obras. La Topografía sirve de base para la mayor parte de los trabajos de Arquitectura e Ingeniería, dado que la elaboración de un proyecto se hace una vez que se tienen los datos y planos topográficos que representan todos los accidentes del terreno sobre el cual se va a construir la obra. Luego interviene en el replanteo del proyecto y en el control final de la obra ejecutada, por lo cual podemos decir que la Topografía interviene en la gran mayoría de las etapas de una obra, desde el anteproyecto, pasando por el replanteo, hasta el control de puntos y estructuras durante la ejecución de la obra. La Topografía también se emplea para determinar los límites de propiedades, medir sus dimensiones, dividir dichas propiedades en fracciones y determinar objetos en las mismas. Veamos algunas imágenes a modo de aclaración:



1.4. LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO Es el conjunto de operaciones de medir, calcular y dibujar para determinar la posición relativa de puntos que conforman una extensión reducida de la superficie terrestre. Realizar un levantamiento topográfico de puntos de una superficie será hacer las operaciones necesarias de medición lineal y angular para después poder calcular su posición y representarla en el plano. El procedimiento a seguir en un levantamiento topográfico comprende 2 etapas: a. Trabajo de campo: consiste en la localización y relevamiento de los puntos del terreno a

medir. El relevamiento de los puntos se lleva a cabo mediante mediciones lineales, mediciones angulares horizontales y verticales y determinación de desniveles.

b. Trabajo de gabinete: comprende toda la parte de cálculo, procedimientos matemáticos y representación gráfica.

1.5. DIVISION BASICA DE LA TOPOGRAFIA La Topografía se divide en dos grandes ramas:

PLANIMETRIA

Es la parte de la Topografía que estudia solo la posición del terreno relevado con todos sus puntos característicos, proyectado sobre un plano horizontal imaginario de referencia, es decir que la Planimetría es el levantamiento topográfico realizado para proyectar sobre un plano horizontal una figura semejante a la real, cuyas medidas guarden proporcionalidad a través de una escala de dibujo. En otras palabras considera la posición de los puntos relevados proyectados sobre un plano horizontal llamado plano topográfico que es la superficie de referencia adoptada para la representación del terreno relevado. Los levantamientos topográficos realizados para determinar los puntos sobre el plano horizontal reciben el nombre de levantamientos planimétricos, se basan en métodos planimétricos y las mediciones que se realizan fundamentalmente son: medición de líneas, distancias y medición de ángulos horizontales. En Planimetría se determina la posición de los puntos a través de las coordenadas X e Y. No interesa si el terreno presenta desniveles cuand o se

trabaja en planimetría .

TOPOGRAFIA

PLANIMETRIA

ALTIMETRIA



La representación gráfica consta de un plano de planta en el cual se indican longitud de lados, ángulos interiores, ubicación de distintos accidentes, superficie, orientación de cada lado. El siguiente es un plano de mensura en el cual se detalla todo lo indicado anteriormente y responde a un trabajo de Agrimensura. Por Agrimensura se entiende a la parte de la Topografía que se encarga del amojonamiento de los terrenos, ubicación y dimensiones lineales, angulares y de superficie, ajustándose a los títulos de propiedad.



ALTIMETRIA Es la parte de Topografía que solo estudia la diferencia de altura entre dos o más puntos del terreno relevado, es decir que es el levantamiento topográfico realizado para determinar las alturas de los puntos sobre el plano topográfico, y representarlas por medio de una escala de dibujo. Los levantamientos topográficos realizados para determinar las alturas o cotas de los puntos respecto al plano horizontal reciben el nombre de levantamientos altimétricos, se basan en métodos altimétricos y las mediciones que se realizan fundamentalmente son: medición de desniveles y medición de ángulos verticales. Lo que se pretende representar es el relieve del terreno no tanto la ubicación de los elementos que pueda haber sobre el mismo. Por lo tanto en Altimetría se determina la coordenada Z conocida como COTA o altura del punto respecto al plano topográfico. La representación gráfica de la Altimetría se puede realizar de dos formas: 1. Por perfiles en el caso de tratarse de una obra lineal, por ejemplo: caminos, canales, redes de electricidad, agua y cloaca. 2. Por curvas de nivel en caso de querer determinar la topografía de un terreno para una obra de extensión, por ejemplo: barrios, complejos industriales, estudio de cuencas.

En las imágenes anteriores vemos una representación altimétrica por perfiles, es decir por planos verticales que cortan el terreno en el lugar de la medición. En las imágenes siguientes vemos una representación altimétrica por curvas de nivel, que son líneas que unen puntos de igual cota o altura, formadas a partir de planos horizontales que cortan el terreno a distintas alturas.

perfil cota proyecto

terraplén

desmonte

perfil cota terreno

DISTAN. PROGRESIVA

DISTANCIA PARCIAL

COTA TERRENO

COTA PROYECTO

DESNIVEL

DESMONTE

TERRAPLEN

PENDIENTE

PLANO COMP.=

PERFIL A1

1 2 3 4 5



La Planimetría y la Altimetría se ejecutan por separado, dado que se llevan a cabo con distintos instrumentos y métodos. Llevando a cabo estos dos trabajos se podrán determinar la posición en un plano y la elevación con respecto a dicho plano de los puntos de una superficie relevada.

2518600 2518800

6377000

6377100

6377200

6377300

6377400

6377500

100.00

100.85

99.91

98.1898.3097.73

98.04

98.44

98.65

98.72

99.22

99.1898.80

98.34

99.48 99.45

99.61

99.56

99.1299.6798.60

99.78

99.75

99.45

100.40

99.22

99.66

99.97

99.75

100.3699.60

99.63100.16

101.08100.66 99.77

99.97101.07

100.62 100.13

100.06

100.77100.77

100.04

100.10

100.61

100.73

100.06

99.71

99.60

100.71

100.69

99.84

100.83

100.20

100.39

99.88

100.73

100.44

100.34

100.75

100.30

100.78

98.44

98.13

98.01

98.06

98.75

98.7399.21

98.62

99.29

99.1798.3398.7699.47

98.7698.1798.3998.92

98.4497.9097.6998.66

99.26

99.28

99.17

98.75

99.46

99.55

99.32

99.14

99.80

99.71

99.52

98.91100.2699.23

99.39

99.57

99.98

99.80100.16

100.27

100.51

100.48

100.22

99.69

100.05

99.84

99.4699.52

99.06

99.24

99.07 99.2798.5099.1298.93

98.97

98.4298.94

98.69

98.66

98.3498.89

98.02

97.97

97.91

97.7097.75

97.58

99.08

99.03

99.01

99.30

98.80

98.81

98.64

98.88

98.89

98.74

98.52

98.32

98.12

97.72

97.48

97.61

97.9697.61

97.60

97.49

98.13

97.31

97.33

97.37

98.07

97.23

97.3897.7996.7497.08

97.6796.82

97.13

97.28

98.3696.9597.68

97.72

97.2698.17

97.5998.6898.18

97.5597.78

98.1398.67

97.35

97.25

98.8798.3397.09

97.26 97.2798.36

98.5297.1598.04

97.3097.52

98.65

98.2597.33

97.43

97.66

97.45

98.62

98.5498.0199.5898.66

98.87

97.41

97.90

98.5399.0498.5097.8998.38

97.7098.39

98.06

98.77

97.66

97.91

98.2797.61

98.4198.2597.5298.30

98.31

98.56

98.5098.34

98.30

98.5799.0598.62

98.61

98.25

97.8799.0797.90

97.3899.08

97.75

98.43

99.3497.86

98.22

97.92

97.81

98.52

97.8097.5398.9698.32

97.1697.9398.9797.99

97.7198.16

97.6397.12

98.7497.9398.02

97.79

97.2997.90

98.42

98.9498.23

98.86

98.82

98.3298.17

98.88

99.64

99.14

98.53

97.92

97.64

97.65

97.71

97.79

97.60

97.81

99.50

99.75

99.58

99.18

100.16100.31100.24

100.10

100.94

103.00

100.95

101.98

101.51

98.66

98.28

98.05

98.28

98.77

97.8797.60

97.61

97.95

96.60

97.73

97.53

97.58

97.2896.37

97.0496.17

96.61

96.6195.7496.78

99.98

100.02

100.03

Puesto

Pozo AguaEscuela

i=1.25%

i=1.80%



En la imagen anterior se pueden observar la representación gráfica altimétrica a través de las curvas de nivel y además la representación gráfica planimétrica en la que se aprecian entre otros detalles los tres rectángulos grandes que son tres lotes y en el interior de ellos se aprecian viviendas, pozo de agua, y exteriormente el ferrocarril y el camino de acceso a los lotes. ¿PORQUE SE DEBE HACER PLANIMETRIA Y ALTIMETRIA SEPA RADAS?

1. Por la precisión a lograr en el trabajo (el error por kilómetro en planimetría es menor que el error que se comete en altimetría).

2. Los instrumentos para lograr la precisión necesaria tienen características distintas en planimetría respecto a altimetría.

Sin embargo cabe la posibilidad de realizar las dos simultáneamente mediante el uso de teodolito y mira, pero se pierde precisión en el trabajo , se utiliza la llamada Planialtimetría que sirve para realizar relevamientos para conocer la forma del terreno en el cual se realizará una determinada obra (un barrio por ejemplo), pero este método no sirve para efectuar el replanteo de obra. El problema más grave en este tipo de trabajo es el error por kilómetro que se comete en altura (determinación de la cota Z), porque la determinación de las cotas se basa en una medición realizada con teodolito y mira que es menos precisa que la determinación de cotas efectuadas con nivel y mira (en el primer caso el error vertical es de 5 a 10 cm/km, mientras en el segundo caso el error vertical no supera los 2 cm/km). Vamos a estudiar cada una de estas ramas de la Topografía por separado, empezando por la Planimetría. Vimos que para hacer un levantamiento topográfico el mismo se lleva a cabo en dos etapas: Trabajo de Campo y Trabajo de Gabinete. En el Trabajo de Campo se deberá determinar el objeto de la medición y luego se procederá a medir. En Planimetría ya vimos que lo que se persigue es determinar los elementos y coordenadas de puntos relevados proyectándolos sobre el plano horizontal vinculándolos a un sistema de referencia mediante sus coordenadas X e Y. Por lo tanto vamos a empezar viendo las mediciones que se deben efectuar para la determinación de los puntos relevados. 1.6. MEDICIONES ¿Que se mide en Planimetría y que sistema de refere ncia se usa? Las magnitudes que mide un profesional en planimetría son distancias y ángulos horizontales, los terrenos y construcciones se consideran como polígonos, se determinan líneas rectas y se trata de calcular la superficie de lo medido. Por este motivo se fijan puntos sobre los límites del terreno y vértices de polígonos. El sistema de referencia que se utiliza en las mediciones de campo es el Sistema Polar . Se puede realizar una primera clasificación de las mediciones en: - Mediciones Lineales - Mediciones angulares A. ELEMENTOS E INSTRUMENTOS USADOS PARA MEDICIONES ANGULARES: A.a. instrumentos de ángulo fijo: pentaprisma de Goulier. A.b. instrumentos de ángulo variable: brujula. teodolito. estación total y prismas. B. ELEMENTOS E INSTRUMENTOS USADOS PARA MEDICIONES LINEALES: B.a. elementos de medición directa: cintas y elementos auxiliares como fichas, jalones. cinta del agrimensor, estacas. B.b. elementos de medición indirecta: podómetro. rueda de Wittman. nivel, teodolito. disto metroláser.



Distintos elementos e instrumentos usados para las mediciones angulares y lineales:

Pentaprisma de Goulier

Brujula

Teodolito Optico

Teodolito Digital

Estación Total Prisma Jalón Portaprisma

m 00

Cintas métricas

.

Disto Metroláser

Nivel de mano para mira o jalón

Contador de pasos

Ruedas para medición indirecta

Jalón metálico

Distintos tipos de miras

Nivel laser

Nivel Optico



A Lo α L ∆h B

Unidades de medida para mediciones lineales: - Distancias: se miden en metros, y se usa el centímetro para las fracciones de metro. - Área: se mide en hectáreas y la fracción de hectárea se mide en metros cuadrados. Unidades de medida para mediciones angulares: - Ángulos: se miden en grados, minutos, segundos en el sistema sexagesimal, o en radianes. En el sistema sexagesimal 1º=60’ ; 1’= 60” 1.6.1. MEDICIONES LINEALES La medición de la distancia entre dos puntos constituye una operación común en topografía y en base a la importancia y precisión requerida serán el método y los instrumentos a utilizar en la medición de distancias. Como todos los levantamientos topográficos son representados a escala sobre el plano horizontal, en Topografía interesan solo las distancias horizontales, por lo tanto si se presenta la necesidad de medir la distancia entre dos puntos A y B que están a distintos niveles, habrá que efectuar la reducción al horizonte, es decir determinar la componente horizontal de dicha distancia, para lo cual o se determina el ángulo α de desnivel o bien se mide el desnivel ∆ h.

siendo: L = distancia inclinada Lo = distancia horizontal o distancia reducida al horizonte. α = ángulo de desnivel. ∆h = desnivel. Luego el valor de la componente horizontal será: Lo = L*cos α en caso de trabajar con el ángulo de desnivel. Lo = (L2 - ∆h2)1/2 en caso de trabajar con el desnivel. La tangente del ángulo determina la pendiente de una recta que en Topografía se define como el cociente entre el desnivel y la distancia reducida al horizonte. Pendiente i% = tg α = ∆h/Lo ; ∆h = Elevación de B - Elevación de A o Elevación de A - Elevación de B Veamos algunos ejemplos: a. Calcular la distancia horizontal entre los puntos A y B del dibujo anterior si :

α = 3º 20’ ; L = 28,45 mts. Solución: Lo = 28,45 mts. x cos 3º 20’ = 28,40 mts. b. Calcular la distancia horizontal entre los puntos A y B del dibujo anterior si se midió en un terreno inclinado con una pendiente i = 4,3% una distancia de 34,87 mts.



Solución: i% = tg α = 4,3/100 = 2º 27’44” Lo = 34,87 mts. x cos 2º 27’44” = 34,837 mts. En la medición lineal de distancias se recurre a distintos elementos de medición según el listado indicado anteriormente. Las mediciones lineales pueden ser directas o indirectas según el instrumental usado y según se recorra o no la distancia a medir. Métodos de Mediciones Lineales Se puede medir con mayor o menor precisión, según la técnica que se emplee, como así también se puede estimar las distancias cuando se necesita hacer croquis durante los levantamientos topográficos o medir distancias en forma aproximadas. Una de estas técnicas de determinación aproximada de distancias es la medición a pasos de una distancia, un método que con la práctica permite una estimación bastante exacta de la distancia. a. Medición a pasos: Medir a pasos consiste en contar el número de pasos que abarcan una cierta distancia. Primero debe determinarse la longitud del paso de la persona que va a recorrer la distancia. Esto se logra convenientemente recorriendo a pasos naturales, de ida y vuelta, una distancia horizontal medida con anterioridad, por lo menos unos 30 mts., y dividiendo dicha distancia conocida entre el número promedio de pasos. Por ejemplo: supongamos haber recorrido una distancia de 30 mts. con 37 pasos de ida y 39 pasos de vuelta. El número promedio de pasos será: (37+39)/2 = 38 pasos. La longitud del paso promedio será: 30 mts./38 pasos = 0,79 mts./paso En base a este valor por ejemplo se puede estimar que al caminar unos 60 pasos se habrá recorrido una distancia aproximada de 47 mts.

b. Medición con cinta métrica: La medición de una distancia con cinta métrica se basa en aplicar directamente la longitud conocida de una cinta una cierta cantidad de veces sobre la distancia a medir.

Estacas vértice de manzana

Estacas frente lote vivienda



A los efectos de realizar mediciones con cinta se debe contar además con elementos auxiliares como un juego de fichas y jalones o estacas, dichos elementos se verán con detalle en la parte práctica. Lo primero a realizar es colocar los jalones en los dos puntos extremos de la línea a medir. Luego se efectúa la alineación de jalones a lo largo de la línea en puntos intermedios, de modo tal de asegurar una línea recta entre ambos extremos (esto siempre y cuando la línea a medir no esté bien definida como en el caso de una pared o alambrado).

El paso siguiente es empezar la medición para lo cual se necesitan dos operadores, un zaguero y un delantero, siendo el zaguero quien dirige la operación. Suele suceder que la cinta es más corta que la distancia a medir, por lo que a lo largo de la línea de jalones los operadores emplearán un juego de 10 fichas que se guardan en un anillo de aluminio para demarcar la medición. El zaguero se coloca en el punto donde comienza la medición sosteniendo la cinta en el jalón que indica el origen, teniendo en la mano un anillo o aro vacío de fichas, mientras que el delantero lleva el juego completo de fichas. Se realiza la primer cintada, teniendo la precaución de que la cinta esté bien tirante y en la dirección de la línea a medir y el delantero coloca la primer ficha. Luego el zaguero avanza hacia la primer ficha, coloca en ese punto el origen de la cinta mientras el delantero vuelve a avanzar hasta extender totalmente la cinta tomando las precauciones indicadas anteriormente y coloca la segunda ficha. El zaguero retira la ficha la guarda en el anillo y avanza hacia la segunda ficha mientras el delantero avanza extendiendo la cinta en su totalidad y coloca la tercera ficha repitiendo los pasos indicados anteriormente. Se procede así sucesivamente hasta cubrir la distancia a medir. Al final de la medición el zaguero tendrá acumuladas en el anillo “n” fichas que fue recogiendo durante la medición, esas “n” fichas multiplicadas por la longitud de la cinta dará la longitud total de la distancia medida. Si la distancia no fuese cubierta por una cantidad entera de cintadas, sino que por ejemplo el último tramo fuese inferior a la longitud de la cinta se tendrá un resto que llamamos “R”, en este caso la longitud total medida será dada por la fórmula:

Estacas

Línea a medir

Replanteo de frente de viviendas de un barrio con cinta métrica



Lt = n x C + R Siendo: Lt = longitud total medida n = número de fichas que tiene el zaguero en su anillo C = longitud de cintada (longitud de la cinta extendida) R = resto o longitud inferior a una cintada. Veamos un ejemplo: Supongamos haber medido una determinada distancia con una cinta de 30 mts., y que el último tramo desde la última ficha hasta el punto de llegada midió 18,83 mts. Al final de la medición, el zaguero cuenta 9 fichas recogidas en su anillo. Solución: R = 18,83 mts. n = 9 fichas. C = 30 mts. Luego: Lt = 9 x 30 mts. + 18,83 mts. = 288,83 mts. Trabajando de esta manera se evita tener que recurrir a la memoria para recordar cuantas cintadas se realizaron y cometer errores groseros o tener que medir todo de vuelta por no recordar la cantidad de cintadas. c. Medición con teodolito y mira: Es un método estadimétrico de medición indirecta de distancia. En el ocular de los teodolitos, en el retículo se encuentran los hilos estadimétricos, son tres hilos horizontales y uno vertical que conforman la denominada cruz de retículos. Con estos hilos y con una mira vertical se puede determinar la distancia entre dos puntos en forma indirecta. La mira es una regla de madera o metálica que se encuentra graduada al centímetro. Para medir una distancia entre dos puntos con este instrumento y la mira se estaciona el teodolito en uno de los vértices de modo que su eje principal o eje vertical coincida con el punto inicial de la distancia a medir y se apoya la mira vertical en coincidencia con el

Hilos

estadimétricos



punto final. Se apunta con el anteojo en posición horizontal hacia la mira, tendremos así una visual horizontal y observando por el anteojo del teodolito se verá que el hilo estadimétrico horizontal superior bisecta la mira graduada vertical en un valor de la misma que llamamos (Hs) y por otro lado el hilo estadimétrico horizontal inferior bisecta la mira graduada vertical en otro valor de la misma que llamamos (Hi). La distancia D entre los dos puntos se determina aplicando esta fórmula: D = K x m Donde: K = constante multiplicativa del teodolito. Es una constante del instrumento y por construcción es igual a 100. m = Se denomina corte de mira y es la diferencia entre las lecturas de Hs y Hi. m = Hs - Hi Es decir que efectuando las dos lecturas sobre la mira, restándolas y multiplicando el resultado por 100 obtenemos la distancia entre el punto inicial donde está ubicado el teodolito y el punto final donde se encuentra ubicada la mira. Comparación de los métodos: Descartando el método de medición a pasos que de por sí es poco preciso, si comparamos el método de medición con teodolito y mira con la medición efectuada con cinta métrica, la medición con cinta es mucho más precisa y la más usada en los trabajos de replanteo o mediciones donde se requiere precisión en los resultados. La diferencia radica en que la mira es una escala graduada cuya menor división es el centímetro, por lo que la apreciación visual del operador en una medición puede ser como mucho 1 a 2 mm. al trabajar con los principios de la óptica esta apreciación se ve amplificada por la constante multiplicativa del instrumento. Por ejemplo, supongamos haber leído sobre la mira las siguientes lecturas: Hs = 1,615 mts. Hi = 1,20 mts. La distancia existente entre el punto en el que está ubicado el teodolito y el punto en el que se ubica la mira será según fórmulas: M = 1,615 – 1,20 = 0,415 mts. D = K x m = 100 x 0,415 mts. = 41,50 mts. Ahora supongamos volver a efectuar las lecturas para corroborar si hemos leído correctamente y tenemos los siguientes valores: Hs = 1,613 m. Hi = 1,20 m. D = 100 x (1,613 – 1,20) = 41,30 m. Vemos que una diferencia de 2 mm. en una lectura representa una variación de 20 cm. en el resultado. 1.6.2. CAUSA DE ERROR EN LA MEDICION CON CINTA Cuando se realizan mediciones con cinta métrica se cometen errores, los que podemos clasificar en: 1. Errores instrumentales : una cinta puede usarse con una longitud inexacta o diferente de la longitud graduada. 2. Errores naturales : son los que se originan por la influencia de los efectos de la temperatura, el viento, el peso de la cinta, la fuerza tirante entre otros. 3. Errores personales : son los errores de señalización del punto de partida o el de llegada, errores de lectura de cinta o de anotación de lectura, errores de alineación, confundir una marca cuando no se trabaja con ficha.



Dentro de las correcciones que se deben realizar tenemos: - Corrección por contraste: por diferentes razones, como por ejemplo la calidad de la cinta,

errores de graduación o simplemente la variación de la longitud original de la cinta por uso o reparaciones efectuadas a la misma, sucede que la longitud nominal de la cinta no coincide con la longitud real actual de la misma, introduciendo errores en la medición de distancias. Para corregir este error la cinta debe ser contrastada con una distancia patrón de longitud igual a la longitud de la cinta y bajo las condiciones especificadas por el fabricante. Dicha corrección por contraste responde a la siguiente expresión:

- C = La – Lo - Siendo: C = corrección por contraste, La = Longitud actual cinta, Lo = Longitud nominal cinta - Corrección por temperatura: los materiales al ser sometidos a cambios de temperatura,

experimentan un cambio en sus dimensiones. La dilatación lineal es la variación de longitud que experimenta un cuerpo al ser sometido a una variación de temperatura, por lo que la variación lineal que experimenta la cinta será directamente proporcional a la variación de temperatura y a la longitud nominal de la cinta, según la siguiente expresión:

- Ct = α x Lo x ∆t - Siendo: α = coef. dilatac. lineal, ∆t = variación temperatura respecto a 20º, Lo = Long. nom. - Corrección por tensión: cuando una cinta es sometida a una tensión distinta a la tensión

de calibración, esta se alarga o se acorta según la tensión sea mayor o menor a dicha tensión de calibración. El cambio de longitud de una cinta sometida a tensiones distintas se puede calcular mediante la aplicación de la ley de Hooke, según la siguiente expresión: CT = Lo x (T – Tc) S x E Siendo: CT = corrección por tensión, T = tensión aplicada a la cinta al momento de medir en Kg., Tc = tensión de calibración en Kg. (se considera 5 kg.), S = sección de la cinta, E = módulo de elasticidad de Young del material.

Para compensar la influencia de los errores se hace uso de la denominada ecuación de la cinta que es una expresión matemática que determina la longitud exacta de la cinta en el momento de usarse: Lf = Lo + C + Ct + CT Siendo Lf = longitud final corregida de la cinta Por lo tanto vemos que la longitud de la cinta corregida, se obtiene mediante la sumatoria de la longitud nominal de fábrica, la corrección por contraste, la corrección por temperatura y la corrección por tensión. La longitud de una distancia medida se deberá en estos casos afectar de una constante dada por la relación entre Lo y Lf, es decir: Dc = D*Lo/Lf. Siendo: Dc = distancia medida en el terreno corregida, D = distancia medida en el terreno. Tolerancia o error máximo en la medición con cinta: Definimos como tolerancia el máximo error admisible y tiene por objeto indicarnos cuando debemos desechar las medidas que lo sobrepasen. Usamos las siguientes fórmulas empíricas para la determinación del error máximo admisible en las mediciones con cinta metálica, que adoptaremos también para otros materiales:

- En terreno fácil: E = 0,00032 x L + 0,0022 w L



- En terreno difícil: E = 0,00032 x L + 0,0078 w L

Siendo L expresado en metros. Por lo tanto haciendo un ejemplo, si medimos una distancia de 100 mts. la Tolerancia será respectivamente E = 5,4 cm. y E = 11 cm. Para evitar errores que nos hagan desechar la medición siempre conviene medir de ida y vuelta una distancia. 1.7. PLANIMETRIA SENCILLA Mediante el uso de la cinta y los elementos auxiliares podemos realizar distintas operaciones de campo y mediciones como se ha visto en la parte práctica. Vamos a ver ahora como se puede proceder a realizar la llamada planimetría sencilla con cinta y elementos auxiliares, es decir la medición de un terreno. Cuando realizamos el relevamiento de un lote, el objetivo que se persigue es determinar el área del mismo, la longitud de sus lados y los ángulos interiores. Para medir un terreno con cinta hay que dividir, en la forma más conveniente, el terreno en polígonos sencillos y tomar las medidas de sus lados y las alturas, en cantidad suficiente como para poder calcular posteriormente los ángulos interiores y la superficie total del terreno, y así poder dibujar el plano. Parte A. Medición del terreno: Vamos a proceder a realizar las mediciones a través de dos métodos: A.1. Método de la descomposición en triángulos:

Este método consiste en señalar sobre el terreno una serie de puntos que formen alineaciones que dividan la superficie a medir en triángulos, de forma que, midiendo la longitud de cada uno de los lados de estos triángulos, y aplicando posteriormente para el cálculo fórmulas conocidas de trigonometría, podamos determinar ángulos internos y superficie. Supongamos tener el lote de forma irregular de la figura, con frente sobre una calle (ED), un lado en coincidencia con una propiedad vecina (EA) y los demás lados de forma irregular dado que por detrás del lote pasa un arroyo. Para poder medir el lote, se debe procurar, hasta donde lo permita el terreno, dividir el mismo en

triángulos, esto se ha indicado por medio de los puntos B,C, y D; y la parte de terreno remanente, que es de forma irregular (límite con el arroyo), se subdivide en pequeñas superficies mediante perpendiculares trazadas desde los lados principales (AB, BC, CD) con una separación que depende de los cambios más o menos bruscos en la forma del límite del lote, es decir que se trazan en coincidencia con los cambios de dirección del límite de la propiedad, de tal manera de generar pequeñas superficies geométricas que se pueden calcular. En el caso de la figura anterior, a partir de los límites rectos definidos por los puntos A,E, y D que son conocidos, se tomaron dos puntos más B y C elegidos en la forma que más nos conviene, de tal modo de generar un polígono de fácil subdivisión en triángulos por medio de diagonales, que para nuestro caso han sido tomadas a partir del punto B.

A

B

C

D

E

A R R O Y

SUP. SUP. II

SUP. III

CALLE

Fig. 1



Una vez definidos los vértices del polígono, se mide la longitud de todos los lados del mismo: AB,BC,CD,DE,EA y las diagonales BD y BE que subdividen al polígono en triángulos (I,II,III), y por último se procede a medir la parte irregular del terreno trazando perpendiculares a los puntos de cambio a partir de los lados principales del polígono (AB,BC,CD), tratando de generar superficies regulares, cuyos lados se miden fácilmente. Hecho esto en el terreno, queda realizar el cálculo de los ángulos interiores del polígono y el cálculo del área de los triángulos principales(I,II,III), a la cual se le suma o resta según el caso, el área de cada porción menor comprendida entre el polígono y el límite irregular de la propiedad. La suma de todas las superficies nos dará el área total.-

A.2. Método de las coordenadas rectangulares:

Se utiliza este método cuando la parcela permite el trazado de una alineación o eje que la atraviese a partir de uno de los vértices dividiendo la misma en dos partes. Luego sobre esta alineación se llevan líneas perpendiculares que parten de los vértices del terreno y puntos de inflexión de los límites del mismo, de forma que la parcela quede dividida en una serie de polígonos, que suelen ser triángulos rectángulos, y trapecios cuyas expresiones para el cálculo de sus superficies y ángulos interiores conocemos. El área total se obtendrá sumando las superficies de cada uno de los polígonos obtenidos. Supongamos querer medir el lote esquina indicado en la Fig.2, los vértices del mismo están indicados por A,B,C,D,E, y F. Lo primero a realizar es trazar una alineación

o eje a partir de uno de los vértices, que atraviese la propiedad y la divida en dos partes, en nuestro caso optamos por materializar el eje entre los vértices C y F. Posteriormente se trazan perpendiculares a partir de cada uno de los vértices del lote hasta el eje o alineación (CF); dichas intersecciones están indicadas por a,b,d, y e, de modo tal que el lote queda dividido en polígonos cuyas superficies a determinar está indicada por S1,S2,S3,S4,S5, y S6. Con esto estamos en condiciones de empezar a medir, pero previamente definimos al eje CF como eje de abscisas X y las perpendiculares a dicho eje es decir las proyecciones ortogonales de los vértices del lote como ordenadas Y. Definido esto, procedemos a medir las siguientes longitudes: longitud de los lados del polígono: AB,BC,CD,DE,EF,FA. longitud de las ordenadas: Aa,Bb,Dd,Ee. longitud de las progresivas sobre el eje X a partir del punto C o a partir del punto F, supongamos hacerlo a partir de C: Cd,Cb,Ce,Ca,CF. Hecho esto podemos empezar a calcular los ángulos interiores del lote y la superficie de los distintos polígonos en los que quedó subdividido, de modo tal que sumadas nos permitan obtener el área total del lote.

Estos dos métodos son los utilizados para realizar las mediciones en el terreno, ahora pasamos a ver la forma de llevar a cabo los cálculos para determinar los ángulos interiores y las áreas.

Calle Nº1

Calle Nº2

Propiedad Sr. Gomez

A

B

C

D E

F

S1

S2

S3

S4

S5

S6 d

e a

b

Fig. 2



Parte B. Cálculo de ángulos y áreas: B.1. Cálculo de ángulos y áreas por el método de la descomposición en triángulos: Vamos a empezar por el primer caso estudiado, el de la parcela correspondiente al relevamiento ejecutado con el método de la descomposición en triángulos; donde a los fines de acortar la explicación nos referiremos únicamente al terreno como si este estuviera determinado por el polígono A,B,C,D,E, de la fig. 1, sin tener en cuenta los límites irregulares del lado del arroyo dado que para estos los cálculos a realizar serían los mismos. El polígono fue subdividido en tres triángulos (I,II,III) a partir de las dos diagonales BD,BE. Lo que se debe hacer es estudiar cada triángulo por separado, vamos a analizar el triángulo I. Para el triángulo I, los valores que hemos medido en el terreno son: AB,BE,y EA. 1. En primer lugar determinamos los ángulos internos, utilizando la fórmula del coseno: BE2 = EA2 + AB2 – 2*EA*AB*COS(a) � COS(a) = (EA2 + AB2 – BE2)/2*EA*AB Calculando el arc.coseno obtendremos el valor del ángulo (a), y lo expresaremos en grados-minutos-segundos. Análogamente determinamos el valor de los ángulos b’ y e’. 2. Luego verificamos que la suma de los tres ángulos sea: (a+b’+e’)= 180º00’00” si no se cumple esta condición, la diferencia que tengamos con respecto a 180º (en más o en menos) se deberá repartir en los tres ángulos (restándola a cada ángulo si es en más o sumándola a cada ángulo si es en menos). Con esto hemos terminado los cálculos correspondientes a los ángulos del triángulo I. Para los triángulos II y III, se procede de la misma manera. Una vez determinados todos los ángulos interiores de los distintos triángulos, podemos calcular los ángulos interiores del polígono. 3.Los ángulos interiores del polígono A,B,C,D,E, observando la fig. 1, se obtendrán de la siguiente manera:

a=a

b=b’+b’’+b’’’

Siendo b’, b’’ y b’’’ los ángulos en B correspondientes a los triángulos I, II y III respectivamente.

c=c

d=d’+d’’

Siendo d’ y d’’ los ángulos en D correspondientes a los triángulos II y III respectivamente.

e=e’+e’’

Siendo e’ y e’’ los ángulos en E correspondientes a los triángulos I y II respectivamente.

A

B

E

SUP. I

a b’

e’

Fig.3



4. Verificamos si los valores de los ángulos calculados para el polígono son correctos. Esto se hace sumando todos los ángulos y el valor que se obtenga debe coincidir con el obtenido a través de la siguiente expresión que representa la condición de cierre angular : 2*R*(n-2) es decir que: a+b+c+d+e = 2*R*(n-2) donde: R = 90º y “n” es el número de vértices del polígono.

Si no verifica dicha suma, la diferencia que arroje sea en más o en menos, se debe repartir entre los ángulos, restándola si es en más o sumándola si es en menos en forma proporcional a cada ángulo. De este modo una vez corregidos los valores angulares, tendremos: a(correg.), b(correg.), c(correg.), d(correg.), e(correg.) 5. Con los valores corregidos de los ángulos interiores del polígono, ahora debemos volver nuevamente a cada triángulo, donde deberemos retocar los valores de los ángulos interiores en función de la corrección realizada en el punto anterior (4.). Es decir que para el triángulo I de nuestro ejemplo, tendremos: a(definitivo)= a(correg.)

b’(definitivo) = b’ + (bcorreg.-b)/3 = b’ – (b–bcorreg.)/3

donde b’ es el valor calculado en el pto.1, bcorreg. es el valor calculado en el pto.4, b es el valor calculado en el pto.3 se divide por 3 la diferencia porque el ángulo en el vértice B del polígono resulta de la suma de b’, b’’ y b’’’, y las dos posibilidades de valores a obtener del ángulo b’(definitivo), responden a que el ángulo b(correg.) sea > o < que el ángulo (b).

e’(definitivo) = e’ + (ecorreg. – e)/2 = e’ – (e – ecorreg.)/2

donde e’ es el valor calculado en el pto.1, ecorreg. es el valor calculado en el pto.4, e es el valor calculado en el pto.3 se divide por 2 la diferencia porque el ángulo en el vértice E del polígono resulta de la suma de e’, e’’, y las dos posibilidades de valores a obtener del ángulo e’(definitivo), responden a que el ángulo e(correg.) sea > o < que el ángulo (e).

6. El paso siguiente es determinar la superficie del triángulo I en estudio, utilizando la siguiente fórmula: Sup.I = ½(EA*AB)*SEN(a(definitivo)) = ½ (AB*BE)*SEN(b’(definitivo))= ½ (BE*EA)*SEN(e’(definitivo)) 7. Repetimos los pasos 5 y 6 para los triángulos II y III y obtendremos así los ángulos de cada triángulo corregido y las áreas correspondientes (Sup. II y Sup. III). 8. Por último se concluye el cálculo determinando la superficie total del polígono sumando cada área obtenida: SUP. TOTAL POLIGONO A-B-C-D-E = SUP. I + SUP. II + SUP. III



B.2. Cálculo de ángulos y áreas por el método de la s coordenadas rectangulares: Vamos a ver ahora la forma de calcular ángulos y áreas para el caso del lote indicado en la fig.2, que se ha medido por el método de las coordenadas rectangulares. Como se explicó se trazó un eje entre dos vértices, y a ese eje se lo definió como eje de abscisas X sobre el que se proyectan en forma ortogonal los vértices del lote y dichas proyecciones se denominan ordenadas Y . En base a esto podemos considerar que la posición de cada vértice está indicada como si trabajáramos en coordenadas cartesianas rectangulares, es decir que por ejemplo el vértice A, tendrá la siguiente anotación: A(Xa,Ya) Por lo tanto, lo primero que se debe hacer es ordenar correctamente los valores obtenidos durante la medición. 1. Anotamos correctamente a los fines del cálculo los valores obtenidos, y si la medición de las

progresivas sobre el eje X fue realizada a partir del punto C, entonces tendremos que las coordenadas del punto C por ser el origen de la medición tendrán valor cero:

C(Xc,Yc) => Xc = 0 ; Yc = 0 Los demás valores medidos en el terreno, se ordenan a partir del origen de la siguiente manera:

Progresivas de X Distancia medida Ordenadas Y Distancia medida Xc = 0 Yc = 0 Xd = Cd Yd = Dd Xb = Cb Yb = Bb Xe = Ce Ye = Ee Xa = Ca Ya = Aa Xf = Cf Yf = 0

La ordenada Yf tiene valor cero, porque el eje pasa por ella. 2. Ahora podemos empezar a calcular

ángulos internos, longitud de lados y área del lote, y para esto como ejemplo consideramos solamente dos de las superficies en que ha quedado subdividido el lote, siendo que para las demás se repite el procedimiento. Analizamos las superficies S1 y S2 a continuación en la fig. 4, donde se han detallado todas las mediciones efectuadas y lo que queremos determinar.

. Para determinar la longitud de los lados, usamos la siguiente expresión:

LCD = [(Xd – Xc)2 + (Yd – Yc)2]1/2 = LCD = [(∆Xdc)2 + (∆Ydc)2]1/2

C Xc = 0 Yc = 0

D

Xd

Yd

S1

Xe

Ye

∆Xed

∆Yed

E

S2

αc

βc

αc

βd

αd

Fig. 4



Del mismo modo determinamos LDE. Para determinar el valor de los ángulos, usamos la siguiente expresión: αc = arc.tg. (Yd – Yc) = arc.tg. ∆Ydc (Xd – Xc) ∆Xdc βc = arc.tg. (Yc – Yb) = arc.tg. ∆Ycb ; βd = arc.tg. ∆Xdc ; αd = arc.tg. ∆Yed (Xc – Xb) ∆Xcb ∆Ydc ∆Xed Luego tendremos: ángulo c = αc + βc ; ángulo d = βd + αd + 90º = 180º - (αc - αd) Para el cálculo del área hacemos uso de la fórmula de los trapecios que responde a la siguiente expresión: 2*S1 = (Yd + Yc) * (Xd – Xc) igualmente: 2*S2 = (Ye + Yd) * (Xe – Xd) 3. Se deberá verificar la condición de cierre angular: Σ áng. internos polígono = 2*R*(n – 2) si no verifica el cierre angular, se procederá a compensar la diferencia según se explicó en el cálculo de ángulos y áreas vistos en el primer método. 4. Las longitudes de lados del polígono obtenidas por cálculo, se deberán cotejar con las longitudes de lados medidos en el terreno, para ver si estamos dentro de las tolerancias, caso contrario se deberán promediar. 5. Por último determinamos la superficie total del lote, haciendo la suma de las áreas individuales: Superficie Total = Σ (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6)

_ _ _ _ _ _ _ _ o _ _ _ _ _ _ _ _ Bibliografía a consultar para complementar este apu nte teórico en Biblioteca Departamental:

1. Técnicas modernas en Topografía de Bannister-Ray mond-Baker. Capítulos 1 y 2. 2. Topografía de Wolf-Brinker. Capítulo 4. 3. Topografía de Lopez-Cuervo. Capítulo 3.

unidad 1 teoria 2010

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