ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1:INTRODUCCIÓN A MATRICES

MSc. Alberto León

UNIDAD 1

MATRICES Y DETERMINANTES

SUBTEMAS

» Sub tema 1 : Definición, propiedades y tipos.

» Sub tema 2 : Operaciones con matrices

OBJETIVO

Reconocer los tipos de matrices y realizar las

diferentes operaciones con matrices.

ACTIVIDAD DE INICIO

Lluvia de ideas:¿Qué es una matriz?

• Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.

ó• Interactuar por vía chat de Zoom

Una matriz es un arreglo de números de forma rectangular,ordenados en m filas y n columnas.

Por ejemplo tenemos la matriz A, m×n

MATRIZ

𝐴 =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2

𝑎13 ⋯𝑎23 ⋯⋮

𝑎𝑚3

⋱⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

Los elementos de una matriz están ubicados en una posición 𝑎𝑖𝑗

» Ejemplos de matrices:

𝐴 =1 4−3 7

𝐵 =2 −3 70 −1 26 4 5

𝐶 =3 5 1−2 1 −3

𝐷 =1 22 34 5

Dimensión 𝟐 × 𝟐

Dimensión 𝟑 × 𝟑

Dimensión 𝟐 × 𝟑

Dimensión 𝟑 × 𝟐

MATRIZ CUADRADA

𝐵 =

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

Donde 𝑏11, 𝑏22, 𝑏33, son elementos de la diagonal principal.

Diagonal secundaria: 𝑏13, 𝑏22, 𝑏31

Es aquella matriz donde el número de filas es igual al número de columnas

𝐴 =−5 24 5

𝐵 =1 3 41 −5 50 4 4

Ejemplos:

D.P.

D.S.

MATRIZ ESCALAR

𝐴 =

𝑎11 0 00 𝑎22 00 0 𝑎33

Ejemplo:

𝐴 =2 0 00 2 00 0 2

Diagonal principal: 2,2,2

Los elementos de la diagonal principal son iguales entre sí.

𝐵 =−3 00 −3

Diagonal principal: −3,−3

MATRIZ FILA

𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝐵 =

𝑏11𝑏21𝑏31

MATRIZ COLUMNA

𝐴 = 3 4 −1Ejemplo:

𝐵 =123

Ejemplo:

C = −2 2 0 1

𝐷 =

3−507

MATRIZ NULA

Matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero. Se denota 0𝑚𝑥𝑛

02𝑥2 =0 00 0

03𝑥2 =0 00 00 0

Ejemplo:

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

𝐵 =

𝑏11 𝑏12 𝑏130 𝑏22 𝑏230 0 𝑏33

Ejemplo:𝐴 =

2 6 −10 5 20 0 1

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

𝐵 =

𝑏11 0 0𝑏21 𝑏22 0𝑏31 𝑏32 𝑏33

𝐴 =8 0 05 5 0−3 4 2

Ejemplo:

MATRIZ IDENTIDAD

𝐼2𝑥2 =1 00 1

𝐼3𝑥3 =1 0 00 1 00 0 1

12

IGUALDAD DE MATRICES

» Sus dimensiones son iguales es decir 𝑚 = 𝑝 y 𝑛 = 𝑞 es decir tengan elmismo orden.

» Y si cada uno de sus elementos son iguales es decir 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗.

Dos matrices 𝐴𝑚𝑥𝑛 y 𝐵𝑝𝑥𝑞 son iguales si solo si:

𝐴𝑚𝑥𝑛 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

𝐵𝑝𝑥𝑞 =𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

𝑎11 = 𝑏11𝑎12 = 𝑏12𝑎21 = 𝑏21𝑎22 = 𝑏22

Es decir:

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

𝐴𝑚𝑥𝑛 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

𝐵𝑚𝑥𝑛 =𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

𝐶𝑚𝑥𝑛 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

+𝑏11 𝑏12𝑏21 𝑏22

𝐶𝑚𝑥𝑛 =𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22

Es decir 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗+𝑏𝑖𝑗

𝐶𝑚𝑥𝑛 =𝑐11 𝑐12𝑐21 𝑐22

Condición: matrices de la misma dimensión

• Ejemplo de suma de matrices:

𝐴 =1 −65 2

𝐵 =1 0−2 2

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

𝐶2𝑥2 =1 −65 2

+1 0−2 2

𝐶2𝑥2 =1 + 1 −6 + 05 − 2 2 + 2

𝐶2𝑥2 =2 −63 4

• Ejemplo de resta de matrices:

𝐴 =2 05 1

𝐵 =4 −1−2 3

𝐶 = 𝐴 − 𝐵

𝐶2𝑥2 =2 05 1

−4 −1−2 3

𝐶2𝑥2 =2 − 4 0 − (−1)

5 − (−2) 1 − 3

𝐶2𝑥2 =−2 17 −2

MULTIPLICACIÓN DE UN MATRIZ POR UN ESCALAR

𝐵 =

𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

𝑐𝐵 = (𝑐𝑏𝑖𝑗)

Si 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 es una matriz de tamaño 𝑚𝑥𝑛 y “c” es un escalar, la

multiplicación estará dada por:

𝑐𝐵 =

𝑐 (𝑏11) 𝑐 (𝑏12) 𝑐 (𝑏13)𝑐 (𝑏21) 𝑐 (𝑏22) 𝑐 (𝑏23)𝑐 (𝑏31) 𝑐 (𝑏32) 𝑐 (𝑏33)

• Ejemplos de multiplicación de una matriz por escalar:

𝑨 =−𝟐 𝟎 𝟓𝟏 𝟑 −𝟔

y 𝒄 = 𝟑

𝑐𝐴 =)3 (−2 )3 (0 )3 (5)3(1 )3 (3 )3 (−6

𝑩 =𝟐 𝟏 𝟖𝟑 𝟕 𝟔𝟒 𝟒 𝟔

y 𝒄 = 𝟐

𝑐𝐵 =

)2(2 )2(1 )2(8)2(3 )2(7 )2(6)2(4 )2(4 )2(6

=−6 0 153 9 −18

=4 2 166 14 128 8 12

MULIPLICACIÓN ENTRE MATRICES

𝐴𝑚𝑥𝑛 𝐵𝑛𝑥𝑝 = 𝐶

IGUAL

TAMAÑO C

𝐶𝑚𝑥𝑝

Cada elemento de la matriz producto 𝐴𝐵 es obtenido sumandolos productos de cada elemento de la fila “𝑖” de la matriz 𝐴 porel correspondiente elemento de la columna “𝑗” de la matriz 𝐵.

• Ejemplos de multiplicación entre matrices:

𝑨𝟑𝒙𝟐 =−𝟏 𝟑𝟒 −𝟐𝟓 𝟎

y 𝑩𝟐𝒙𝟐 =−𝟑 𝟐−𝟒 𝟏

𝐶3𝑥2 =−1 34 −25 0

−3 2−4 1

=

𝑐11 𝑐12𝑐21 𝑐22𝑐31 𝑐32

𝑐11 = −1 −3 + 3 −4 = −9

𝑐12 = −1 2 + 3 1 = 1

𝑐21 = 4 −3 + −2 −4 = −4𝑐22 = 4 2 + −2 1 = 6𝑐31 = 5 −3 + 0 −4 = −15𝑐32 = 5 2 + 0 1 = 10

𝐶3𝑥2 =−9 1−4 6−15 10

21

𝑨 =𝟏 𝟎 −𝟒−𝟐 𝟏 𝟏𝟎 𝟔 𝟐

𝑩 =𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝟑−𝟏 𝟑 −𝟏

Realice la multiplicación de matrices AB

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces:

PROPIEDADES DE LA MATRIZ IDENTIDAD EN LA MULTIPLICACIÓN.

Si A es una matriz de tamaño 𝑚𝑥𝑛, entonces estas propiedades sonverdaderas:

» 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴» 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴

» 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴

PROPIEDADES DE LA MATRIZ IDENTIDAD EN LA MULTIPLICACIÓN.

𝐴x𝐼 =2 −23 20 1

1 00 1

𝐼x𝐵 =1 0 00 1 00 0 1

310

Ejemplos:

𝐶x𝐼 =3 −2 11 3 4−1 0 1

1 0 00 1 00 0 1

1 𝑨 +𝑩 = 𝑩 + 𝑨 Propiedad conmutativa de la suma

2 𝑨 + (𝑩+ 𝑪) = (𝑨+ 𝑩) + 𝑪 Propiedad asociativa de la suma

3 (𝒄𝒅)𝑨 = 𝒄(𝑨𝒅) Propiedad asociativa de la multiplicación

4 𝟏𝑨 = 𝑨 Identidad multiplicativa

5 𝒄(𝑨+ 𝑩) = 𝒄𝑨 + 𝒄𝑩 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

6 (𝒄+ 𝒅)𝑨 = 𝒄𝑨 + 𝒅𝑨 Propiedad distributiva

Tabla 1. Propiedades de la suma y multiplicación por escalar

Tabla 2. Propiedades de la multiplicación

1 𝑨(𝑩𝑪) = (𝑨𝑩)𝑪 Propiedad asociativa de la multiplicación

2 𝑨(𝑩+ 𝑪) = 𝑨𝑩+ 𝑨𝑪 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

3 (𝑨+ 𝑩)𝑪 = 𝑨𝑪+ 𝑩𝑪 Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma

4 𝒄(𝑨𝑩) = (𝒄𝑨)𝑩 = 𝑨(𝒄𝑩) Propiedad distributiva

PROPIEDADES EN LAS OPERACIONES

𝑨,𝑩 𝑦 𝑪 son matrices, y 𝒄, 𝒅 son números escalares

Dada una matriz A de orden 𝑚𝑥𝑛, para obtener la matriz transpuesta, la cual se denotapor 𝐴𝑇, se deben intercambiar los elementos de las filas por las columnas.

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

𝐴𝑚𝑥𝑛 =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2

𝑎13 ⋯𝑎23 ⋯⋮

𝑎𝑚3

⋱⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

Entonces la transpuesta denotada por 𝐴𝑇 es la matriz 𝑛𝑥𝑚

𝐴𝑛𝑥𝑚𝑇 =

𝑎11 𝑎21𝑎12 𝑎22⋮

𝑎𝑛1

⋮𝑎𝑛2

𝑎31 ⋯𝑎32 ⋯⋮

𝑎𝑛3

⋱⋯

𝑎1𝑚𝑎2𝑚⋮

𝑎𝑚𝑛

• Ejemplos de la transpuesta de una matriz

𝑨 =𝟏 𝟎 𝟑𝟐 −𝟏 −𝟐

Dimensión 𝟐 × 𝟑

𝐴𝑇 =1 20 −13 −2

Dimensión 𝟑 × 𝟐

𝑩 =−𝟐 𝟏 −𝟏𝟒 𝟎 𝟏𝟐 𝟎 −𝟏

Dimensión 𝟑 × 𝟑

𝐵𝑇 =−2 4 21 0 0−1 1 −1

Dimensión 𝟑 × 𝟑

Tabla 3. Propiedades de la matriz transpuesta

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1 (𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴 Transpuesta de la transpuesta

2 (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 Transpuesta de una suma

3 (𝑐𝐴)𝑇 = 𝑐𝐴𝑇 Transpuesta de la multiplicación por un escalar

4 (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇𝐵𝑇 Transpuesta de un producto

ACTIVIDAD DE CIERRE

Conclusiones y preguntas sobre la clase

• Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.

ó• Realizar la pregunta por vía chat de Zoom

BIBLIOGRAFÍA

» Larson R. & Falvo D., (2010). Fundamentos de ÁlgebraLineal, sexta edición, Editorial Cengage Learning.

» Lay David C., (2012). Algebra lineal y sus aplicaciones,quinta edición, Editorial Pearson Educación.

» Grossman Stanley, (2008). Álgebra Lineal, sexta edición,Editorial McGraw Hill.