unidad 1 mates fracciones

1Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 37

R A C T I C A

O p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s e n t e r o s . C a l c u l a d o r a

1 Calcula paso a paso y comprueba el resultado con la calculadora utilizandolas teclas de paréntesis.

a) 2(15 – 7)2 – 43 b) 3 – 2(24 – 3 · 5)5 c) (3 · 52 – 23 · 5) : 7

d) 8(2 – 5)3 : 62 e) 1 – [23(5 – 32)] : 32 f) –[3 – (–7)2] – 24

a) 2 · 82 – 64 = 128 – 64 = 64

b) 3 – 2(16 – 15)5 = 3 – 2 = 1

c) (3 · 25 – 8 · 5) : 7 = 35 : 7 = 5

d) 8(–3)3 : 36 = –216 : 36 = –6

e) 1 – [8(5 – 9)] : 32 = 1 – (–32) : 32 = 1 + 1 = 2

f ) –(3 – 49) – 16 = 46 – 16 = 30

F r a c c i o n e s

2 Agrupa las fracciones que sean equivalentes.

= = = =

3 Simplifica las fracciones siguientes:

= ; = ; = ; = ; = ; =

4 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras:

Azul = ; rojo = = ; amarillo = = 58

1016

12

816

716

916

225400

52

12550

23

2639

34

5168

1912

11472

25

2460

225400

12550

2639

5168

11472

2460

45

1015

1421

2436

37

1535

2149

37

1535

1015

1421

45

2436

2149

P

Pág. 1

Unidad 1. Los números y sus utilidades I


5 En cada apartado, reduce a común denominador y ordena de menor a mayor:

a) , , , , b) – , – , – , – c) , – , , – , , –

a) , , , , 8 < < < <

b) – , – , – , – 8 – < – < – < –

c) , , , , , , 8 – < – < – < < <

6 Efectúa y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo:

• · = = =

a) · b) ·

c) · d) ·

e) · f) ·

a) = = b) = =

c) = = d) = =

e) = = f ) = = 1

7 Expresa como suma de un número entero y una fracción igual que se haceen el ejemplo:

• = = + = 2 +

a) b) c) d) – e) –

a) = = 1 + b) = = 1 +

c) = = 2 + d) – = = –1 –

e) – = = –2 – 13

–6 – 13

73

12

–2 – 12

32

27

14 + 27

167

78

8 + 78

158

35

5 + 35

85

73

32

167

158

85

23

23

63

6 + 23

83

9 · 2 · 5 · 2 · 77 · 5 · 9 · 2 · 2

90 · 1435 · 36

75

13 · 4 · 3 · 74 · 3 · 5 · 13

13 · 8412 · 65

512

9 · 4 · 54 · 4 · 9 · 3

9 · 2016 · 27

53

4 · 3 · 5 · 77 · 3 · 3 · 4

12 · 357 · 36

115

6 · 55 · 5 · 6 · 3

6 · 525 · 18

47

3 · 4 · 55 · 3 · 7

3 · 205 · 21

1436

9035

8465

1312

2027

916

3536

127

518

625

2021

35

15

3 · 5 · 73 · 7 · 5 · 5

15 · 721 · 25

725

1521

1124

512

38

16

53

74

– 4024

1024

– 424

924

– 4224

1124

12

712

58

34

1824

1424

1524

1224

56

710

23

35

815

1630

2130

2030

1830

2530

53

512

16

38

74

1124

34

712

58

12

815

710

23

35

56

Pág. 2



C á l c u l o m e n t a l

8 Calcula mentalmente.

a) –17 + (–13) b) –15 + 17 – (–8) c) 5(–7 – 5)

d) –50 – 5(–11) e) –3(6 + 4) + 7 f) (–3)2 – (–2)3

a) –30 b) 10 c) –60

d) 5 e) –23 f ) 17

9 Calcula y simplifica mentalmente.

a) 2 + b) + c) –

d) 2 · e) : 2 f) ·

g) · h) : 3 i) · 21

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i) 49

10 Calcula mentalmente el número que se pide en cada caso:

a) Los dos tercios de un número valen 22. ¿Cuál es el número?

b) Los cinco cuartos de un número valen 35. ¿Cuál es el número?

c) Los siete décimos de una cantidad son 210. ¿Cuál es esa cantidad?

a) 33 b) 28 c) 300

O p e r a c i o n e s c o n f r a c c i o n e s

11 Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadorautilizando las teclas de fracción y paréntesis.

a) 2 – + : b) – · + – + :

c) 3 – 1 – 2 + (–2) d) – + · : 2 – 1 +

a) + : = 1 + =

b) – + – + = – + – – = –1912

412

912

812)3

413(3

423

43

13

12

16)5

3(35

])53(1

2[)14

23

56

52(3

8)14(2

3

)23

12

13(3

412

43

12

16)1

3(35

47

32

15

13

52

310

34

73

73

127

94

23

13

35

23

54

15

12

14

12

13

Pág. 3



c) 3 – · – = 3 – – = – – =

d) – + : 2 – · = : 2 – = : =

PÁGINA 38

12 Calcula y comprueba con la calculadora.

a) · – 2

– – 2

b) 5 : + 12

– 3 : –

c) – 3 – – – 1 · – 3

d) – + 13 – 12

: –

a) · – · = – = 0

b) 5 : – 3 : = – 12 = –

c) – 3 – – – · – = – 3 – – = – (2) = –

d) + 13 · : – = 2 : – = –3

13 Reduce a una fracción.

a) b) c)

a) = b) = – c) = – 74

21—40–3—10

53

–5—123—12

711

7—211—2

7 3— · —8 51 1— – —5 2

1 2— – —4 35 7— – —6 12

13 + —237 – —2

)23()2

3()19

59(

34

38)2

535(3

8])83()3

20(35[3

8

889

209

14

94

124

124

14

16

116

23

)23(])2

3()19

23([

])13()17

20(35[3

8

)14

12()1

2()1

356(1

6)12

34(2

3

114

23

116)4

3(116)8

312()1

656

52(

158

68

38

248

34

38

34

916

23

Pág. 4



14 Cuadrados mágicos. Completa cada casilla para que las filas, columnas ydiagonales sumen lo mismo.

a) b)

a) b)

P o t e n c i a s y r a í c e s

15 Calcula las potencias siguientes:

a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3

d) –32 e) – 4–1 f) (–1)–2

g) –3 h) – –2 i) 0

a) –27 b) 16 c) –

d) –9 e) – f ) 1

g) 8 h) 4 i) 1

16 Expresa como una potencia de base 2 ó 3.

a) 64 b) 243 c) d) e) –

a) 26 b) 35 c) 2–5 d) 3–1 e) –(3)–3

17 Calcula.

a) – 1–3

: –2

b) 2 +–2

· 3–2

a)–3

:–2

= –1

= 2 b)–2

· = · =

18 Expresa como potencia única.

a)–3

:2

b) c) + 1–1 3

d)3

:2

a)–5

b) = 22 c)–3

d)–1)1

2()32(2–2

2– 4)34(

)14()1

2(])12([25 · 2–7

2– 4)34()3

4(

149

19

949

19)7

3()12()1

2()12(

)13()1

2()32(

127

13

132

14

18

)43()1

2()12(

5/8 5/4 3/8

1/2 3/4 1

9/8 1/4 7/8

1/6 2/3 5/6

1 1/3 1/3

1/2 2/3 1/2

3/8

1/2 3/4 1

1/6 5/6

1/3

1/2

Pág. 5



19 Calcula utilizando las propiedades de las potencias.

a) b)

c) d)

e) f)

☞ Mira el ejercicio resuelto 2 c) de la página 28.

a) = 23 · 32 = 72 b) =

c) = 2–3 = d) = 34 = 81

e) = 2–5 · 34 = f ) =

20 Simplifica.

a) – 4 b) –3 · (a–1)–2

c) –3 –2 d) –3 –1(a–1 · b)–2

a) = b) · a2 =

c) = a · b2 d) · a2 · b –2 =

21 Calcula.

a) b)

c) d)

a) 2 b) c) d) –1

22 Halla las raíces siguientes:

a) b)

c) d)

a) 6 b) –2 c) –3 d) 4

6√4 0965√–243

7√–1283√216

12

45

5√–13 1√8

16√ 254√16

ba

b3

a3a3 · a–2

b–2

b3

ab 3

a3b2

aa–1

b–2

])ba([)a

b()1a(

)ab(a3

b2)ab(

32

2–5 · 23 · 32 · 3–2

2– 4 · 24 · 2–1 · 3–18132

22 · 32 · 34

23 · 32 · 24

25 · 32 · 2–2

23 · 3–218

2–5 · 26

24

52

32 · 52 · 24

24 · 32 · 2 · 524 · 34 · 26

32 · 27

2–5 · 8 · 9 · 3–2

2– 4 · 42 · 6–162 · 92

23 · (–3)2 · 42

25 · 32 · 4–1

23 · 9–12–5 · 43

16

152 · 42

122 · 1064 · 82

32 · 23 · 24

Pág. 6



I E N S A Y R E S U E LV E

23 Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena yel resto de arroz.

a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla?

b) ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla?

a) Parte de arroz: 1 – + =

b) Trigo = 280 g; avena = 216 g; arroz = 104 g.

24 Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, 1/4 son entresuelo, y elresto, anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfitea-tro? ¿Qué parte del total representan?

· 720 = 300 butaca

· 720 = 180 entresuelo

720 – (300 + 180) = 240 son de anfiteatro

= 8 parte que representan las entradas de anfiteatro.

25 Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han so-brado 36 €, ¿cuánto tenía?

1 – + =

del total son 36 € 8 total = 36 · = 135 €

26 De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y elresto, de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?

· 300 = 50 poesía; 30 – (180 + 50) = 70

= son libros de historia.

27 El café pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Si que-remos obtener 84 kg de cafétostado, ¿qué cantidad de café tendremos que poner en la tostadora?

del café sin tostar son 84 kg de café tostado.

84 · = 105 kg de café tendremos que poner en la tostadora.54

45

730

70300

16

154

415

415)2

513(

13

240720

14

512

1375)9

25715(

PPág. 7



PÁGINA 39

29 Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y, después, los7/10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1 893 €, ¿cuánto había al principio?

Se retiran primero y, después, · = .

La parte que queda es 1 – + = que son 1 893 €.

Lo que había al principio es 1 893 · = 10 096 €.

30 De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otravez la mitad y, luego, los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había alprincipio?

Sacamos ; después, · = . Queda 1 – – = .

Sacamos · = 8 quedan – = , que son 36 litros.

Lo que había al principio son 36 · 15 = 540 litros.

31 Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9;el segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €.

a) ¿Cuánto he pagado cada vez?

b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar?

a) Primer mes: 540 · = 120 € 8 quedan por pagar 420 €.

Segundo mes: 420 · = 196 €.

Tercer mes: 124 €.

b) Quedan por pagar: 540 – (120 + 196 + 124) = 100 €.

= 8 Parte que queda por pagar.

32 Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 delo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuálera esa cantidad?

Gasto , quedan ; ingreso · = .

En la cuenta hay 1 – + = de lo que había.

Falta , que son 36 €.

La cantidad inicial es 25 · 36 = 900 €.

125

2425

350

110

350

910

115

910

110

527

100540

715

29

115

1160

14

1160

14

1115

14)1

412(1

412

12

12

163

316)7

1638(

716

710

58

38

Pág. 8



33 La diferencia entre las diagonales de un rombo es 14 cm, y la menor es 4/11de la mayor. Halla sus longitudes.

La diferencia entre la diagonal mayor y la menor es 1 – = .

Como son 14 cm, la longitud de la diagonal mayor es 14 · = 22 cm.

La menor mide · 22 = 8 cm.

34 En un rectángulo, la base mide 4 cm más que la altura, y esta es los 7/9 dela base. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

La diferencia entre la base y la altura es 1 – = de la base, que son 4 cm.

La base mide 4 · = 18 cm, y la altura, · 18 = 14 cm.

El perímetro del rectángulo es (18 + 14) · 2 = 64 cm.

35 Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique laigualdad:

a) a3 = 26 b) a–1 = 2 c) =

d) = 1 e) a–2 = f) a–5 = –1

a) a = 22 b) a = c) a =

d) a = 1 e) a = 2 f ) a = –1

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

36 Busca cuatro números fraccionarios comprendidos entre 1/3 y 1/2.¿Cuántos puedes escribir?

Buscamos fracciones equivalentes a y con un denominador común, por ejem-

plo 36:

= =

Entre y están comprendidas , , , .

Si en lugar de 36 elegimos un denominador común muy grande, podemos escribirtantas como queramos. Hay infinitas.

1636

1536

1436

1336

1836

1236

1836

12

1236

13

12

13

R

1625

12

14

4√a

45

√a

79

92

29

79

411

117

711

711

411

Pág. 9



37 ¿Cuál es la fracción inversa de –3/5? ¿Y la de 1/7? Justifica tu respuesta.

La inversa de – es – porque su producto es igual a 1: – · – = 1

La de es 7, ya que · 7 = 1.

38 La raíz de índice par de un número positivo tiene dos valores. Cuando es-cribimos – nos referimos a la raíz negativa. Es decir, – = –2. ¿Cuál es el va-lor de las siguientes expresiones?:

a) – b) c) –

d) e) – f)

a) –8 b) 3 c) –1

d) 1 e) –3 f ) –2

39 ¿Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo?

Calcula, cuando sea posible, estas raíces:

a) b) c)

d) e) – f)

Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número po-sitivo.

a) 4 b) –3 c) Imposible.

d) –1 e) –6 f ) Imposible.

40 Si a < b, compara los pares de fracciones de cada apartado (a y b son nú-meros naturales):

a) y b) y c) y

a) > b) > c) >

R O F U N D I Z A

41 La diferencia entre dos fracciones es 1/3 y la segun-da es los 3/5 de la prime-ra. Calcula las dos fracciones.

1 – = diferencia entre la mayor y la menor.

de la primera fracción es igual a .

La primera es · = .

La segunda es · = .12

56

35

56

52

13

13

25

25

35

P

ab

a + 1b

ab + 1

ab

1b

1a

ab

a + 1b

ab + 1

ab

1b

1a

6√–1√365√–1

4√–163√–27

4√256

3√–8√96√1

√14√81√64

√4√4

17

17

)53()3

5(53

35

Pág. 10



42 Observa:

1 + 1 – + – + – + …

a) Halla el valor de la expresión con 4 sumandos.

b) Si aumentamos el número de sumandos, ¿aumenta o disminuye el valor de laexpresión?

c) Calcula el valor de la expresión cuando el número de sumandos sea 100.

d) ¿A qué valor se aproxima la expresión cuando hay infinitos sumandos?

a) 1 + 1 – + – + – = 2 – =

b) 1 + 1 – + – + – + – + – = 2 – =

Aumenta el valor de la expresión porque la fracción que le restamos al 2 va sien-do más pequeña a medida que aumenta el número de sumandos.

c) Con 100 sumandos: 2 – =

d) Cada vez restaremos a 2 un número menor.

Por ejemplo con 10 000 sumando obtenemos 2 – que es un número muypróximo a 2.

El valor de la expresión se aproxima a 2.

43 ¿En qué número termina 283?

☞ Observa en qué cifra terminan las sucesivas potencias de 2 y busca una regla quete permita saber la última cifra de cualquier potencia de base 2.

21 = 2 25 = 32

22 = 4 26 = 64

23 = 8 27 = 128

24 = 16 28 = 256

Las cifras 2, 4, 8, 6 se repiten de 4 en 4.

Como 83 = 80 + 3 8 283 terminará en la misma cifra que 23, en 8.

110 000

199100

1100

116

16

16

15

15

14

14

13

13

12

12

74

14

14

13

13

12

12

)14

13()1

312()1

2(Pág. 11


unidad 1 mates fracciones

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