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Unidad 1 Integral de�nida 1.2 Sumas superiores e inferiores (o sumas de Riemann).
Sumas Superiores e inferiores (Parte 4)
De�nición 1. Sumas de Riemann Sea f : [a, b]→ R, f acotada en [a, b] sean P ∗ = {x0, x1, · · · , xn} yE = {x∗1 | x∗i ∈ [xi−1, xi], i = 1, ..., n}. De�nimos las sumas de Riemann de f en [a, b] como:
R(f, P ∗) =
n∑i=1
f(x∗i )(xi − xi−1)
Tenemos que para cada [xi−1, xi] se tiene
mi ≤ m∗i ≤Mi ⇒ mi∆i ≤ m∗i ∆i ≤Mi∆i ⇒n∑
i=1
mi∆i ≤n∑
i=1
m∗i ∆i ≤n∑
i=1
Mi∆i
⇒ S(f, P ∗) ≤ R(f, P ∗) ≤ S(f, P ∗)
Conjetura: Si f es integrable entonces
lımn→∞
S(f, P ∗) ≤ lımn→∞
R(f, P ∗) ≤ lımn→∞
S(f, P ∗) ⇒∫ b
a
f ≤ lımn→∞
R(f, P ∗) ≤∫ b
a
f ⇒ lımn→∞
R(f, P ∗) =
∫ b
a
f
Facultad de Ciencias UNAMCálculo Diferencial e Integral II
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1
Unidad 1 Integral de�nida 1.2 Sumas superiores e inferiores (o sumas de Riemann).
Ejemplo Sea f : [a, b]→ R dada asi: f(x) = ex ∀ x ∈ [a, b]. Usando sumas de Riemann calcular∫ b
a
ex dx
Solución En este caso f es una función acotada y si
P = {x0, x1, · · · , xn} =
{a, a +
b− a
n, a + 2
b− a
n, a + 3
b− a
n, · · · , a + n
b− a
n= b
}
es una partición sobre [a, b] entonces escogemos x∗i = xi = a + ib− a
npor lo tanto
R(f, P ∗) =
n∑i=1
f(x∗i )∆i =
n∑i=1
exi
(b− a
n
)=
n∑i=1
ea+i b−an
(b− a
n
)por lo tanto
R(f, P ∗) =
n∑i=1
ea+(i) b−an
(b− a
n
)= ea
(b− a
n
) n∑i=1
e(i) b−an
= ea(b− a
n
) n∑i=1
(e
b−an
)(i)
=︸︷︷︸1+r+r2+r3+···+rn= 1−rn+1
1−r
ea(b− a
n
) 1−(e
b−an
)n+1
1− eb−an
− 1
= ea(b− a
n
) 1−(e
b−an
)n+1
−(
1−(e
b−an
))1− e
b−an
= ea(b− a
n
) eb−an −
(e
b−an
)n+1
1− eb−an
= ea(b− a
n
)e
b−an
1−(e
b−an
)n1− e
b−an
= ea
(b− a
n
)e
b−an
(1− eb−a
1− eb−an
)Sacamos limite
lımn→∞
ea(b− a
n
)e
b−an
1− eb−a
1− eb−an
= ea(1− eb−a
)lımn→∞
eb−an lım
n→∞
b−an
1− eb−an
=︸︷︷︸Lhopital
ea(1− eb−a
)lımn→∞
− b−an2
−e b−an
(− 1
n2
)= −ea(1− eb−a) = eb − ea
por lo tanto
lımn→∞
R(f, P ∗) = lımn→∞
n∑i=1
ea+(i) b−an
(b− a
n
)= eb − ea
por lo tanto f es integrable sobre [a, b] y
∫ b
a
f = eb − ea
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Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz2
Unidad 1 Integral de�nida 1.2 Sumas superiores e inferiores (o sumas de Riemann).
Ejemplo Calcular usando sumas de Riemann∫ 4
1
(x2 − 4x + 5
)dx
Solución en este caso a = 1, b = 4
P =
{1, 1 +
3
n, 1 + 2
3
n, 1 + 3
3
n, · · · , 1 + i
3
n, ..., 1 + n
3
n= 4
}es una partición y
4xi=
4− 1
n, x∗i = xi = 1 +
3i
n
tenemos entonces que:
R(f, P ) =
n∑i=1
f(xi)∆i =
n∑i=1
[(1 + i
3
n
)2
− 4
(1 + i
3
n
)+ 5
](3
n
)
=
(3
n
) n∑i=1
(1 +
6i
n+
9i2
n2− 4− 12i
n+ 5
)=
(3
n
) n∑i=1
(2− 6i
n+
9i2
n2
)
=
(3
n
)( n∑i=1
2− 6
n
n∑i=1
i +9
n2
n∑i=1
i2
)
=
(3
n
)(2n +
(6
n
)n(n + 1)
2+
(9
n2
)n(n + 1)(2n + 1)
6
)= 6− 9
(1 +
1
n
)+
(9
2
)(1 +
1
n
)(2 +
1
n
)= 6
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