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UNE FRESQUE GÉOMÉTRIQUE
There is a Russian proverb
"Shouting from a gun to sparrows"
which is usually used when one uses an extremely powerful
thing to solve
a simple problem.
Jean - Louis AYME 1
A
B C
P
D
E F
I Q
X
Z Y R
1
Résumé. L'auteur propose ''the sparrow lemma'' du géomètre Paul Yiu du Florida Atlantic University de Boca Raton (Floride, Etats-Unis) qui permet de donner une réponse éclair à des problèmes offrant une figure similaire. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author suggests Paul Yiu's sparrow lemma who teaches at the Florida Atlantic University in Boca Raton (Florida). This lemma gives a quick response to problems providing a similar figure. The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved
synthetically.
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 28/04/2019 ; [email protected]
2
2
Sommaire
A. The Paul Yiu's sparrow lemma revisited by the author 2004 3
B. Des points de vue 6
1. Qintin Steinbart 2003 6 2. Victor Vasil'evich Prasolov 1991 9 3. Khoa Lu Nguyen 2004 19 4. Kadir Altintas 2019 13 5. Emile Lemoine 1889 16 6. Ercole Suppa 2019 18 7. Kadir Altintas 2019 20
C. Annexe 23
3
3
A. THE PAUL YIU's SPARROW LEMMA
REVISITED
BY
THE AUTHOR
2004
VISION
Figure :
A
B C
P
D
E F
I Q
X
Z Y
1
Traits : ABC un triangle, P un point, DEF le triangle P-pédal de ABC, 1 le P-cercle de Mathieu 2, I le centre de 1, Q un point et XYZ le triangle Q-circumcévien de DEF relativement à 1. Donné : Q est sur (IP) si, et seulement si, (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes. 3
VISUALISATION DOUBLE
2 Cercle circonscrit à DEF 3 Yiu P., Antipedal triangle of P and circumcevian triangle of Q, Message Hyacinthos # 9828 du 01/06/2004 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/9828 Nguyen K. L., Salazar J. C., On Mixtilinear Incircles and Excircles, Forum Geometricorum vol. 6 (2006) 1-16
4
4
A
B C
P
D
E F
I
E'
D'
F'
Q
X
Z Y
1
P*
• D'après Jean Joseph Auguste Mathieu "Le M-cercle…" 4, le triangle D'E'F' est P*-pédal. • Scolies : (1) P* est "le point de Mathieu associé à P relativement à ABC" (2) 1 est "le P-cercle de Mathieu" (3) I milieu de [PP*] est le centre de 1
(4) P* est l'isogonal de P relativement à ABC.
A
B C
P
D
E
F
I
E'
D'
F'
Q
X
Z
Y
Q'
1
• D'après "Un point fixe" (Cf. C. Annexe 1), (D'X), (E'Y), (F'Z) et (IPQ) sont concourantes. • Notons Q' ce point de concours. • Conclusion : les triangles ABC et XYZ étant perspectifs 5, (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes.
Scolies : (1) autre formulation de la condition nécessaire :
4 Ayme J.-L., Pedal-cevian lines , G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 Ayme J.-L., Le point de Nagel-Schroeder, G.G.G. vol. 20, p. 8-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., La promesse-Le tour-Le prestige, G.G.G. vol. 4, p. 5-1 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
5
5
si, Q est sur (IP) alors, ABC et XYZ sont perspectifs
(2) Rappel du résultat de l'auteur :
Q est sur (IP) si, et seulement si, (D'X), (E'Y), (F'Z) et (IP) sont concourent (3) Autre formulation de la condition nécessaire :
si, (D'X), (E'Y), (F'Z) et (IP) sont concourantes alors, XYZ et ABC sont en perspective.
Une courte biographie de Paul Yiu (1953- )
Suite à l'obtention de son B. A. à l'université de Hong Kong en 1975, puis du M. Phi en 1978, Paul Yiu soutient son Ph. D. à l'université de la Colombie Britannique (Canada) en 1985. En 1990, il est nommé professeur au Florida Atlantic University de Boca Raton (Floride, Etats-Unis) et développe en 2003 le site Forum Geometricorum 6. Archive :
6 Forum Geometricorum ; http://forumgeom.fau.edu/index.html
6
6
B. DES POINTS DE VUE
1. Qintin Steinbart (2003) 7
un géomètre allemand ou
le nom du lycée d'Oliver Funck
VISION
Figure :
A
B C
I
D
E
F
X
Z Y
Q 1
Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact, Q un point et XYZ le triangle Q-circumcévien de DEF relativement à 1. Donné : (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes.
Commentaire : ce résultat est un cas particulier du lemme de Paul Yiu.
Une autre preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 8 Énoncé traditionnel :
le triangle Q-circumcévien du triangle de contact d'un triangle est en perspective avec
ce triangle. Note historique : ce résultat d'Oliver Funck, trouvé et prouvé à l'aide d'un logiciel resp. de Géométrie et 7 Funck O., Geomtrische Untersuchungen mit Computerunterstützung ;
http://www.uni-duisburg.de/SCHULEN/STG/Wettbewerbe/juf02.html. 8 Ayme J.-L., Les points de Steinbart et de Rabinowitz, G.G.G. vol. 3, p. 1-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
7
7
de calcul, apparaît comme la réciproque de celui de Stanley Rabinowitz 9 qui lui est antérieur. Darig Grinberg s'est aussi intéressé à cette situation. 10
A
B C
I, P
D
E
F
R
X
Z Y
Q 1
Scolies : (1) ce point de concours noté R est "le point de Steinbart de ABC" en l'honneur du Gymnasium d'Oliver Funck où il enseigne à Duisburg (Allemagne). (2) Cas particuliers
* Q est un sommet de ABC : R est le point de Gergonne de ABC * Q est le point de Gergonne : R est le point de Gergonne de ABC * Q est sur 1 : R est ce point Q * Q est sur un côté de DEF : R est le sommet correspondant de ABC
(3) le point de concours R est "le point de Stanley Rabinowitz de ABC".
Commentaire : nous venons de montrer que si, DEF et XYZ sont perspectifs de centre Q
alors, XYZ et ABC sont perspectifs de centre R. Une réciproque est proposée par Stanley Rabinowitz. 11
Une courte biographie de Qintin Steinbart
9 Ayme J.-L., Les points de Steinbart et de Rabinowitz, G.G.G. vol. 3, p. 6-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 10 Grinberg D., TCC-perspectors or Steinbart points (for Clark), Math Forum , Sep 23, 2003
http://mathforum.org/kb/thread.jspa?threadID=349838 Griberg D., Variations of the Steinbart Theorem ; http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/
11 Ayme J.-L., Les points de Steinbart et de Rabinowitz, G.G.G. vol. 3, p. 6-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
8
8
Qintin Steinbart, cinquième fils d'un pasteur, est né le 9 Février 1841 dans le Mark Brandebourg. C'est à l'université de Berlin qu'il étudie la Mathématique, la Physique et les langues modernes. A 22 ans, il enseigne à l'Institut Victoria à Falkenberg (Mark Brandebourg). Après une période d'essai d'une année dans une école professionnelle à Berlin, puis au Gymnasium de Prenzlau, il entre à l'Ecole Andrea de Berlin. Après son retour de la guerre de 1870, il prend la direction de la Realschule de Rawitsh (Posen). En Septembre 1875, il devient directeur de la Realschule de Duisbourg. C'est durant l'année 1882-83 que l'établissement se transforme en "Real gymnasium". Il décède le 5 Juin 1912.
9
9
2. Victor Vasil'evitch Prasolov (1991) 12
VISION
Figure :
A
B C A'
C'
B'
N
A"
B"
C"Pra
1
Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 1 le cercle d'Euler de ABC, N le centre de 1 et A", B", C" les points diamétralement opposés à A', B', C' sur 1. Donné : (AA"), (BB") et (CC") sont concourantes. Commentaires :
A
B C A'
C'
B'
N
A"
B"
C"Pra
1
H
ce résultat est un cas particulier du point de vue de Paul Yiu avec P = H (orthocentre). Une autre preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 13 La solution métrique proposée par Victor Vasil'evich Prasolov dans Plane Geometry, a recours au théorème de Céva dans sa version trigonométrique.
12 Prasolov V. V., (27.05.1956-), Zadachi po planimetrii 5, Exercice 114 (1991) 13 Ayme J.-L., Le point de Prasolov, G.G.G. vol. 1, p. 1-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
10
10
Scolies : (1) ce point de concours, noté Pra, est le "point de Prasolov de ABC" ; il est répertorié sous X68 chez ETC 14.
(2) Le nom de ce point a été proposé par Darij Grinberg 15. Note historique :
V. V. Prasolov (27.05.1956 - )
Rappelons cette exclamation de Darij Grinberg 16 :
This was a delightful surprise,
as the pedal triangle himself is not always perspective with ABC, but the reflection always is !
14 Kimberling C., Encyclopedia of Triangle Centers ; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html. 15 Grinberg D., Prasolov Point X(68), Message Hyacinthos # 6302 du 09/01/2003 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6302 16 Grinberg D., Prasolov Point X(68), Message Hyacinthos # 6331 ;
https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6331
11
11
3. Khoa Lu Nguyen dit Treegoner (2004)
VISION
Figure :
A
B C A'
B'C'
H
X*
Z*Y*
1
Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle médian de ABC, 1 le cercle d'Euler de ABC, H l'orthocentre de ABC et X*Y*Z* le triangle H-circumcévien de A'B'C' relativement à 1. Donné : (AX*), (BY*) et (CZ*) sont concourantes 17. Commentaire :
A
B C A'
B'C'
H
N
X*
Z*
Y*1
R O
ce résultat est un cas particulier du point de vue de Paul Yiu avec P = O, N = I, Q = H. Note historique : ce problème a été posé en 2004 par Khoa Lu Nguyen.
Dans sa première réponse, Darij Grinberg précise que le point de concours n'est pas répertorié chez ETC 18
17 Treegoner, A problem relating to the Euler's line and circle, AoPS du 25/06/2004 ;
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=22210
12
12
Khoa Lu Nguyen enseigne ''actuellement'' les mathématiques à Sam Houston High School à Houston (Texas, États-Unis).
18 Kimberling C., Encyclopedia of Triangle Centers ; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
13
13
4. Kadir Altintas (2019) 19
VISION
Figure :
A
B C
H
A'
C'
B'
1
A*
C*B*
X
Y
Z
1a*
1c*
1b*
Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 1 le cercle d'Euler de ABC, H l'orthocentre de ABC A*B*C* le triangle H-circumcévien de A'B'C' relativement à 1, 1a*, 1b*, 1c* des cercles de diamètre [A*H], [B*H], [C*H] et X, Y, Z les seconds points d'intersection de 1a*, 1b*, 1c* avec 1. Donné : (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes.
VISUALISATION
A
B C A"
B"C"
H
A'
C'
B'
1
A*
C*B*
X
Y
Z
1a*
Ta*
19 Altintas K., Problème 2963, Romantics of Geometry ; https://www.facebook.com/groups/parmenides52/?ref=direct
14
14
• Notons A''B''C'' le triangle médian de ABC
et Ta* la tangente à 1a* en H.
• Scolie : Ta* // (A'A''). • Les cercles 1a* et 1, les points de base A* et X, la monienne (HA*A'), les parallèles Ta* et (A'A''), conduisent au théorème 1 de Reim ; en conséquence, H, X et A'' sont alignés.
A
B C A"
B"C"
H
A'
C'
B'
1
A*
C*B*
X
Y
Z
1a*
• Mutatis mutandis, nous montrerions que * H, Y et B'' sont alignés * H, Z et C'' sont alignés.
A
B C A"
B"C"
H
A'
C'
B'
1
A*
C*B*
X
Y
Z
1a*
• Conclusion : d'après B. 3. Khoa Lu Nguyen, (AX), (BY) et (CZ) sont concourantes. Archive :
15
15
16
16
5. Émile Lemoine (1889) 20
VISION
Figure:
A
B C
P
A'
C'
B'A*
C*
B*1
Traits : ABC un triangle, P un point, A'B'C' le triangle P-pédal de ABC, 1 le cercle circonscrit à A'B'C' et A*, B*, C* les seconds points d'intersection de (PA'), (PB') et (PC') avec 1, Donné : (AA*), (BB*) et (CC*) sont concourantes.
VISUALISATION
A
B C
P
A'
C'
B'
I
A*
C*
B*
C"
B"
A"
P*
1
• Notons A", B", C" les seconds points d'intersection de (BC), (CA), (AB) avec 1. • D'après Jean Joseph Auguste Mathieu "Le M-cercle…" 21, le triangle A"B"C" est P*-pédal. • Scolies : (1) P* est "le point de Mathieu associé à P relativement à ABC" 20 Lemoine E., Congrès de l'AFAS (1889) 203-204 ; http://www.afas.fr/actes-des-congres/ 21 Ayme J.-L., Pedal-cevian lines , G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
17
17
(2) 1 est "le P-cercle de Mathieu" (3) I milieu de [PP*] est le centre de 1
(4) P* est l'isogonal de P relativement à ABC. • D'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", (1) A" est l'antipôle de A* (2) B" est l'antipôle de B* (3) C" est l'antipôle de C*. • Conclusion : d'après ''Le lemme'' de Paul Yiu, (AA*), (BB*) et (CC*) sont concourantes. Note historique : ce résultat d'Émile Lemoine confirmé par F. G.-M.22, a été redécouvert par Eric
Danneels 23. L'approche de Lemoine est métrique et son énoncé a recours à la puissance de P pour définir la position de A*, B*, C* i.e. PA'.PA* = PB'.PB* = PC'.PC*. Nikolaos Dergiades a redécouvert ce résultat en 2003. 24
22 F.G.M., Exercices de Géométrie, 6th ed., (1920) note 1242 # 2, p. 553 23 Danneels E., Perspector based on incenter and excircles, Message Hyacinthos # 9602 du 22 mars 2004 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/9602 24 Dergiades N., Prasolov Point X(68), Message Hyacinthos # 6325 du 11/01/2003 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/6325
18
18
6. Ercole Suppa (2019) 25
VISION
Figure :
A
B C
P
A'
C'
B'A*
C*
B*
C"
B"
A"
1
X
Y
Z
1a*
1b* 1c*
Traits : ABC un triangle, P un point, A'B'C' le triangle P-pédal de ABC, 1 le cercle P-pédal de ABC, A*, B*, C* les seconds points d'intersection de (PA'), (PB'), (PC') avec 1 1a*, 1b*, 1c* des cercles de diamètre [A*A'], [B*B'], [C*C'] et X, Y, Z les seconds points d'intersection des cercles 1a*, 1b*, 1c* avec 1. Donné : (AX), (BY), (CZ) sont concourantes. Commentaire : ce résultat est une généralisation de C. 3. Kadir Altintas avec une visualisation analogue. Archive :
25 Suppa E., Problème 2968, Romantics of Géométrie du 20/04/2019 ; https://www.facebook.com/groups/parmenides52/
19
19
20
20
7. Kadir Altintas (2019) 26
VISION
Figure :
A
B C A'
B'C'
A*
B*C*
G
X
Z
1 Y
1a*
1b*
1c*
Traits : ABC un triangle, G le point médian de ABC, A'B'C' le triangle médian de ABC, 1 le cercle d'Euler de ABC, A*, B*, C* les seconds points d'intersection de (AA'), (BB'), (CC') avec 1, 1a*, 1b*, 1c* des cercles de diamètre [A*G], [B*G], [C*G] et X, Y, Z les seconds points d'intersection des cercles 1a*, 1b*, 1c* avec 1. Donné : (A'X), (B'Y), (C'Z) sont concourantes.
VISUALISATION
26 Altintas K., Problème 2972, Romantics of Geometry ; https://www.facebook.com/groups/parmenides52/?ref=direct
21
21
A
B C A'
B'C'
N
O
A*
B*C*
G
X
Z
1 Y
1a*
1b*
1c*
• Notons N le centre de 1 et O le centre du cercle circonscrit à ABC. • Scolies : (1) A'B'C' est le triangle O-pédal de ABC (2) O, G et N sont sur la droite d'Euler de ABC. • D'après ''Le lemme'' de Paul Yiu, (AX), (BY), (CZ) sont concourantes.
A
B C A'
B'C'
N O
A*
B*C*
G
X
Z
1 Y
• Conclusion : d'après Stanley Rabinowitz 27, (A'X), (B'Y), (C'Z) sont concourantes. Scolies : (1) (A'X), (B'Y), (C'Z) concourent sur la droite d'Euler de ABC.
27 Ayme J.-L., Les points de Steinbart et de Rabinowitz, G.G.G. vol. 3, p. 6-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
22
22
(2) Avec le triangle orthique
A
B C A'
B'C'
A"
C"
B"
N O
A*
B*C*
G
X
Z
1 Y
• Notons A''B''C'' le triangle orthique de ABC. • Conclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (A''X), (B''Y), (C''Z) sont concourantes.
(3) (A''X), (B''Y), (C''Z) concourent sur la droite d'Euler de ABC. Archive :
23
23
C. ANNEXE
1. Un point fixe 28
VISION
Figure :
A
B C
P
D
E
F
I
E'
D'
F'Q
X
Z Y
1
Traits : ABC un triangle, P un point, DEF le triangle P-pédal de ABC 1 le P-cercle de Mathieu, I le centre de 1, D', E', F' les seconds points d'intersection de 1 avec (BC), (CA), (AB), Q un point et XYZ le triangle Q-circomcévien de DEF. Donné : Q est sur (IP) si, et seulement si, (D'X), (E'Y), (F'Z) et (IP) sont concourantes.
VISUALISATION NÉCESSAIRE
28 Ayme J.-L. (2004)
24
24
A
B C
P
D
E
F
I
E'
F'
D'
D'*D*
P'
Q
X
X*
R'Q'
R
1
• Notons D*, D'*, X* les antipôles de D, D', X relativement à 1, R, P', Q', R' le points d'intersection de (IPQ) avec (X*D'*), (D'D*), (X*D*), (XD'). • D'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi-cercle", (1) D, P et D'* sont alignés
(2) D', P' et D* sont alignés. • Scolie : les quadrilatères croisés DD'*X*X et D*D'XX* sont deux papillons jumeaux et même siamois. • D'après William Horner "Deux papillons jumeaux" 29, I est le milieu de [PP'], [QQ'] et [RR'].
A
B C
P
D
E
F
I
E'
F'
D'
D'*D*
P'
Q
X
X*
R'Q'
R, R"
Y
Y*
E'*
1
• Notons E'*, Y* les antipôles de E', Y relativement à 1 et R" le point d'intersection de (IPQ) et (Y*E'*). • D'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", E, P et E'* sont alignés.
29 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem…, G.G.G. vol. 7, p. 92-93 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
25
25
• Scolie : les quadrilatère croisés DD'*X*X et EE'*Y*Y sont deux papillons inscrits dans 1. • D'après William Horner "Le double papillon de Jones" 30 appliqué aux papillons précédents, R et R" sont confondus.
A
B C
P
D
E
F
I
E'
F'
D'
D'*D*
P'
Q
X
X*
R'
Q'
R, R"F'*
Z
Z*
1
1
• Notons F'*, Z* les antipôles de F', Z relativement à 1 et R" le point d'intersection de (IPQ) et (Z*F'*). • D'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", F, P et F'* sont alignés. • Scolie : les quadrilatère croisés DD'*X*X et FF'*Z*Z sont deux papillons inscrits dans 1. • D'après William Horner "Le double papillon de Jones" 31 appliqué aux papillons précédents, R et R" sont confondus.
A
B C
P
D
E
F
I
E'
F'
D'
D'*D*
P'
Q
X
X*
R'
Q'
R
F*
F'*
Z
Z*
E*Y
Y*
1
30 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem…, G.G.G. vol. 7, p. 93-96 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 31 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem…, G.G.G. vol. 7, p. 93-96 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
26
26
• D'après Horner "Deux papillons jumeaux" 32, les côtés des papillons jumeaux D*D'XX* de DD'*X*X, les côtés des papillons jumeaux E*E'YY* de EE'*Y*Y, et les côtés des papillons jumeaux F*F'ZZ* de FF'*Z*Z passent par les symétriques de P, Q et R par rapport à I i.e. P', Q' et R'. • Conclusion : (D'X), (E'Y), (F'Z) et (IP) sont concourantes.
VISUALISATION SUFFISANTE • Partons des points P' et Q'. • D'après Jean Joseph Auguste Mathieu "Le cercle de…" 33, I, P et P' sont alignés. • Par hypothèse, I, P et Q' sont alignés; d'après l'axiome d'incidence Ia, I, P, P' et Q sont alignés. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (DX), (EY), (FZ) et (IP') sont concourantes. • Conclusion : Q est sur (IP).
32 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the butterfly problem…, G.G.G. vol. 7, p. 92-93 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 33 Ayme J.-L., Pedal-cevian lines , G.G.G. vol. 6, p. 34-37 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/