Vol. 30, 1978 55

Une forme abstraite du th6or~me de Schoenberg

P ~ r

C:HI~ISTIAIV BERG et PAWL I~ESSEL

Dans [6] Sehoenberg ddmontre le th6orbme suivant : S o i t / : [0, co[ --> R u n e fonc- t ion continue. Alors, pour que ] (tl x It ) soit de t ype posi t i f sur R n pour t ou t n e[M, il f au t et il suffit q u e / ( y ~) soit eompl6 tement monotone.

Ce th6or6me a 6t6 g6ndralis6 pa r Bretagnolle, Dacunha Castelle et Kr iv ine [3] et leur r6sul ta t s '6nonce ainsi: S o i t / : [0, co[ --> ~ une fonct ion continue. Alors, pour q u e / ( I[ xIl~) soit de t ype posi t i f sur ~n pour tou t n e rq, il f au t et il suffit que/(~/s) soit complb tement monotone . Iei 0 < p ~ 2 et II x 11 ~ = (I xl I v + ' " -F- ]Xn Iv)i/&

Une d6mons t ra t ion br6ve du th6or~me de Schoenberg a 6td donn6e r6cemment par un des au teurs [5] et elle 6tait bas6e sur une nouvelle earact6risat ion des fonctions compl6tement monotones , voir [4]. Cette caractdrisat ion 6tai t la mot iva t ion pour l '6 tude des fonctions de t ype posi t i f sur un semi-groupe commuta t i f , cf. [1].

Le bu t de ce t rava i l est de donner une forme abs t ra i te du th6or~me de Sehoenberg, qui cont ient les deux r6sultats mentionn6s. On peu t regarder not re r6sul tat eomme une liaison ent re les fonctions de t ype posi t i f sur des gxoupes e t sur des semi-groupes. Ce qui suit est basd sur des r6sultats de [1] et nous allons donner un bre f rdsum6 de ce qu' i l en f au t connaitre.

Soit S u n semi-groupe c o m m u t a t i f avec 616merit neut re 0. Une fonct ion f: S --> R est dite de type Tositif si elle est born6e e t si

~ c~es/(s~ + sj) >= 0 r ~'=1

pour t ou t n e r~, (sl, . . . , Sn) e S ~, (cl . . . . . en) e ~n. L'ensemble des fonctions de type posi t i f sur S est une cSne convexe, not6 ~ (S). Nous posons

~1(S) : = { / e ~ ( S ) I 1(0 ) = t } .

Si ~ est un caract~re sur S, i.e. une fonct ion ~: S -> [ - - 1, 1] sat isfaisant ~(0) ~ i et G(s + t) ---- G(s) G(t) pour t ou t s, t e S, il est imm6dia t que ~ e ~z(S) . L ' ensemble

des caraethres sur S est un semi-g-roupe qui est compac t pour ]a topologie de la convergence simple.

U n des rdsul ta ts f o n d a m e n t a u x de [1] est le su ivant :

Th~or~me A. Pour la topologie de la convergence simple ~1 (S) ~ t un simplexe de Choquet dont l'ensemble des points extrdmaux est ~ prdcis~ment. Pour tout / e ~ (S) il

56 CH. BERG et P. RESSEL AI~CH. MATH.

existe une mesure de Radon positive ~ sur ~ uniquement determin~e telle que

l(sl=Se(s)a~(e) pour s e z .

Au cas part icul ier oh S = [0, ~o[ avec l 'addit ion, 3 consiste des exponentiels s ~-> e -s~, 0 ~ t g 00, et nous obtenons:

Th6or~me B. Pour qu' une ]onction / : [0, r R soit de type positif il faut et il su//it qu'il existe ~ ~= 0 et une mesure posi t ive/ inie # sur [0, oo[ telles que

oo

](s) =ul{0}(s ) § Se-~td/a(t) pour 0 <=s<: ~ . 0

E n par~iculier, une fonct ion de type posi t i f sur [0, oo[ est compl~tement monotone sur ]0, oo[ et continue dans 0 si et seulement si ~ - - 0.

Main tenan t nous sommes pr~ts & formuler une forme abs t ra i te du th6or~me de Schoenberg. Soit donn6 un t r ip le t (G, S, T) o~ G est un groupe, S u n semigroupe avec z~ro, tous les deux commuta t i f s , et oh ~: G -+ S est une appl icat ion sat isfaisant

(S1) ~(0) = 0 ,

(s~) ~ ( - g) = ~ ( g ) , g c a ,

(Ss) 9(G) e n g e n d r e S .

Nous Consid~rons les groupes produi ts Gn, n e IN, et aussi

G (~) : = {(gl, g2,---) e G ~ I card {i e N I g~ ~ 0} < oo},

e t d6finissons ~n: G n --> S pa r

9~((g~, g2 . . . . )) : = ~(g~) + ~(g2) § n e ~ u {oo},

de sor~e que (Ss) ne ven t que dire que ~ ( G (~)) = S. Nous d~signons pa r ~ ( G ) 1'ensemble des fonctions sym~tr iques ]: G --> S telles que

~c~c~t(~- ~) >= o i , i = l

pour tou t n e [~, (gl, . . . , gn) ~ G ~, (c~ . . . . , cn) e ~n, c 'est-~-dire l 'ensemble des fonc- t ions r6elles de t ype posi t i f au sens usuel sur le groupe G. J a m a i s dans la suite nous consid~rons u n groupe comme un semi-groupe, de fagon que cet abus de no t a t i on ne eausera gu~re de confusion.

Th6or~me 1. Soit (G, S, ~) un triplet comme ci-dessus et soit /: S -> ~ une /onction. Alors / o ~ r (~)) implique que / e ~ (S).

D 6 m o n s t r a t i o n . Iqous fixons sl, . . . , s ~ S et cl, . . . , c ~ R et nous avons s d6mont re r que

~.c~cjl(~ + 8~) >__o. ~,j=l

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P a r ($3) il exis te n~e N, g~meG, m = 1, . . . , n~ , i =- 1 . . . . . /~ tels que

~ ( g ~ ) = s~, i = 1 . . . . . /~. WZ=I

Fixons aussi n e N e t d4finissons xf~ = (x~=(1), x~(2 ) , . ..) e G (~176 pour 1 _< i --</~ et 1 _ _ < ~ n p a r

{ g~q si T ---- n ( n l -~-"" -~- n~-l) -~- (:r - - 1) n~ -[- ~/,

x~=(p) : = q = 1 , . . . , m ,

0 si p n ' a pas ee t te forme. Alors

~ o o ( x l ~ - - x i ~ ) = s ~ + 8 , si i = ] et ~ = ~ f l ,

0 si i = ] et c r

Posons di= :---- c~/n pour i ----- 1 . . . . . k, 0: = 1 . . . . . n. P a r hypoth~se nous avons k n

o < 7. y d , ~ d j ~ / ( ~ ( z , ~ - - ~j~)) = ~,1=1 ~z, f l = l

i , 7"= 1 i=l i = 1 i * i

= E ~,./(~, + ~) + -[/(0) E 4 - 7 4 / ( ~ + ~)],

et en fa i san t ~endre n vers l ' infini nous ob tenons k

y c ~ / ( s , + ~) > 0. i, 1=1

De plus / est born6e puisque / o Too est borne4 et ~ es t sur ject ive , done / e ~ (S). | P o u r les app l ica t ions il es t i m p o r t a n t de savoi r si l ' inverse de Th4or~me 1 est vra ie

aussi, i.e. si / e ~ ( S ) impl ique ] o ~oo e ~(G(~176 Avec les hypo theses pr6c~dentes la r6ponse est non, ma i s avec une res t r ic t ion eonvenable nous a v o a s une r~ponse posi t ive. Nous in t roduisons pour T: G -+ S l a condi t ion

($4) G o ~ e ~ ( G ) p o u r t o u t G e S ,

e t l ' ensemble des ~ppt ie~t ions ~0: G - + S sa t i s fa i san t (Sa) est not~ r (G, S). Si ~0e qS(G, S), alors non seulement G v ~ e ~ (G) pour G e ~, mais aussi ] o ~0 e ~ (G) pour chaque / e ~ (S), ee qu 'on d~dui t du Th~or~me A.

Th~or~me 2.Pour qJ e q5 (G, S) on a l'implication:

I ~ ( S ) :~ I o q ~ e ~ (G(~)).

D 6 m o n s t r a t i o n . I1 est ~quivalent de m o n t r e r que / o g~ e ~ ( G n) pour chaque n e N. Soit n e N fix~, alors p a r Th~or~me A il suffit de voir que G o q~n e ~ ( G n) pour t o u t G e S. Cependan t si g ---- (gl . . . . , gn) ---- (~1 (g) . . . . , gn (g)) ~ G n, nous avons

Go ~ ( g ) = G(~(g~) + . . . + ~(g~)) = G ( ~ ( m ) ) . . . G(~(g~)) =

= a o ~ o ~l(g)-.- G o ~ o : r~ (g ) ,

58 CH. BERG et P. RESSEL AKCH. MATH.

e t a o q~ o ~ ~ ~ (G n) parce que ~ o ~0 e ~ (G). Mais un produi t fini de fonetions de t ype posi t i f est encore de t y p e positif. |

U n t r ip le t (G, S, ~) sat isfaisant aux conditions ($1) . . . . , ($4) sera dit un triplet de Schoenberg. Des Th~or~mes 1 et 2 d~coule

Th~or~me 3. Soient (G, S, of) un triplet de Schoenberg et /: S --> ~ une /onction redlle. Alors les conditions suivantes sont dquivalentes:

(i) / e ~ ( S ) , (ii) ] o Cfn ~ ~ ( G n) pour tout n ~ ~ ,

(iii) / o ~ ~ ~ (G(:r

Dans le eas S ---- [0, ~ [ l ' ensemble r (G, [0, ~ [ ) peut 8tre d~crit comme les fonctions de t y p e n~gat i f sur G. Pour eet te not ion voir par ex. [2].

Proposition. Une /onction ~: G --> [0, r appartient 5 ~ (G, [0, ~ [ ) si et seulement si cf est de type n~gati].

D 6 m o n s t r a t i o n . L~ fonct ion ~ est de type n6gat i f si et seulement si e x p ( - - t ~ ) ~ ( G ) p o u r chaque t > 0, cf. [2], et le r6sul ta t d6coule ais~ment de la d6scription

des caract6res sur [0, c~[. | I1 est connu que ~(x) : = Ix[P, 0 ~ p ~ 2 est de t ype n6gat i f sur R (el. [2]), donc

(~, [0, r Ix]P) est un t r ip le t de Schoenberg. D 'oh le r6sul tat su ivant :

Corolla[re 1. Soit 0 ~ p ~ 2 et ]: [0, oo[ --> ~ une /onction arbitraire. Alors, pour que la ]onction x ~ R n ~-> / ( IX l I~ 4 "" ~- I xn l ~) soit de type positi/ sur R n pour tout n ~ ~ il ]aut et il su]/it qu'il existe o: ~ 0 et une mesure posi t ive / in ie # sur [0, oo[ telles que o o

/(s) = ~ l{0)(s ) + ~e-s~dlz(t), 0 ~ s < ~ . o

Pour une aut re appl icat ion du Th6or~me 3 eonsid~rons le groupe G ---- Y e t le semi- gToupe S = ~+ = {n e F I n ~ 0}. I1 est 616mentaire de v6rifier que n ~-> t u est un caraet~re sur Z+ pour chaque t e [ - - 1, 1] et que ~+ peu t 8tre identifi6 avec [ - - 1, 1]. Montrons ensuite que 9 : 7]--> 7/+ d4fm6e par 9 (n) : = n 2 (resp. ~ (n) : = I n I ) appar- t i en t s ~(77, F+). E n effet, n~-->n 2 et n ~-> In] sont des fonctions de t ype n6gat i f sur Z, et pa r eons6quent n ~ tnPet ~ ~ t In] sont de t ype posi t i f sur 77 pour t e ]0, 1]. De plus on voi t ais~ment que l(0 ) et n ~-> ( - - 1) n~ = ( - - 1) lnI= ( _ 1)n sont aussi de t ype posi t i f sur 7]. I1 en r4sulte que (77, 77+, ~) est un t r ip le t de Schoenberg pour

(n) = n 2 e t pour ~0 (~) = ] n ], et nous avons le th6or~me suivant :

Th6or~me 4. Soit /: 77+ --> ~ une ]onction quelcouque. Alors pour que la /onctiou k e Z n ~ / (k~ - ~ . . . -~ k~n) [reep. k ~-~/(I kl I ~ - " " ~- I kn I )] soit de type pos i t i / sur Z n pour tout n ~ ~ il ]aut et il su//it qu'il existe une mesure positive tz sur [ - - 1, 1] telle que

1

](m)-- - - f t md~(t) pour me7~+.

Vol. 30, 1978 TMorbme de Schoenberg 59

1

R e m a r q u e . Les fonctions de la forme ](m) = Stmd[~(t), # ~tant u_ne mesure 0

positive sur [0, 1], sont les suites de moments de t t ausdor f f ou aussi les suites cora- l

p]gtement monotones. Les fonctions ](m) = ]tmdt~(t), m e-~+,/~ ~tant une mesure --1

positive sur [ - -1 , 1], coincident donc avec les fonetions ]l(m) + ( - -1 ) m J2(m),/1 et ]2 6rant compl~tement monotones.

Mentionnons quelques autres examples de triplets de Schoenberg:

1) (R n, [0, oo[, IIxn~), o < ~ _-< 2. E n partieulier (C, [0, 0o[, Izl ~) est ma tr iplet de Sehoenberg pour 0 ~ :r ~ 2, de sorte que les analog-ues complexes des rOsultats de Schoenberg et de Bretagzmlle et al. sont valables.

2) [0, 0o[ , (Ix l . . . . lx l=o)), off {al . . . . . ~n}C ]0,2]. Le eas parti- culler oh r = g2 . . . . . an = 2 a ~t~ donJa~ duns [5], Theorem 2.

3) (~ , [0, 0o[, 1 - - cosx).

Bretagnolle et al. ont d6monl~r6 aussi un r~sultat analogue ~ eelui de l ' in t roduet ion avee des fonctions de type nggatif au lieu de fonetions de type positif. Iei nous avons besoin de la not ion de fonetion de type n~gatif sur tm semi-~roupe S, introdui te duns [1]. Un des r~sultats fondamentaux de [1] est le suivant :

ThOor%me C. Les conditions suivantes sont equivalentes pour une /onction [: S --> [0, 0o[:

(i) / est de type ndgati/, c'est-5-dire que

Z cicj/(s~ + s~) <= 0 i , / ' = 1

Tour tout n ~ •, (sl, . . . , sn) ~ S n e t (cl . . . . . Cn) ~ a n avec ~ c i = O. i = 1

(ii) e x p ( - - t /) e ~ ( S ) pour tout t > O.

(iii) I1 existe un triplet (a, h, [~), o~ a e [0, 0o[, h: S--> [0, 0o[ satis/ait h(s + t) = h (s) -}- h (t) pour tout s, t e S e t [~ est une mesure de Radon positive sur ~\{1}, tel que

/ (s ) = a + h(s) + S(1 - - a ( s ) ) d ~ ( a ) , s e S . ~\{i}

Le cOne des fonetions de type n~gatif sur S est not6 Af (S).

Th~or~me 5. Soit (G, S, q~) un triplet de Schoenberg et /: S --> [0, 0o[ une /onction non-negative. Alor8 les conditions 8uivantes sont dquivalentes:

(i) /~:,/v'(S),

(ii) / o Fn est de type ndgati/ sur G n pour chaque n ~ N,

(iii) / o ~oo est de type n~gati] sur G (~176

60 CH. BERG et P. RESSEL ARCH. MATH.

D 6 m o n s t r a t i o n . Pa r Th6or~me C et Th6or~me 3 /~ . / r si et seulement si exp ( - - t/) e ~ (S) pour tou t t > 0, donc si et seulement si exp (-- t / o of:c) e ~ (G(~)), et d 'apr6s un autre th6or6me de Sehoenberg (voir par ex. [2]) cette derni6re pro- pri6t6 est 6quivalente au fait que / o ~r162 est de type n6gatif sur G (r162 |

R e m a r q u e . Th6or~me 5 est l 'analogue du Th6or6me 3 pour les fonctions de type n6gatif. En rempla?ant dans les Th6or6mes 1 et 2 les fonetions de type positif sur S e t sur G (~) par des fonctions de type n6gatif, nous obtenons deux nouvels 6nonc6s : Th6or~mes 1' et 2'. La d6monstra t ion du Th6or~me 1' est presque identique ~ la d6monstra t ion du th6or~me 1. On n ' a qu 's observer que

"= ~ = 1 i = 1

entra inant que

k

+ _< 0 = 0 . i , j = l i = 1

Le Th6or~me 2' est prouv6 en uti l isant la representat ion des fonctions de type n6gatif donn6e au Th~or~me C.

Dans eette mani~re on obt ient aussi une deuxi~me d6monstra~ion du Th~or~me 5.

E n analogie avee Th6or~me B nous avons pour les fonctions / de 2/" ([0, c~[) ]a representat ion suivante :

oo

(*) ] ( s ) - - - - a + b s + c l ] o , ~ [ ( s ) + [. (1--e-s~)d/x( t ) , 0 < = 8 < ~ , 0

oh a, b, c > 0 et off/x est une mesure positive sur ]0, or telle que

r t ~ d # ( t ) < c~.

Cela nous donne

Corollaire 2. Soit 0 ~ 29 ~ 2 et ]: [0, oo[ -> R u n e ]onction quelconque. Alors, pour que la /onction x ~ U n ~-> /(1 xl ]~ + " " + [xn ]~) soit de type n~gati] sur ~n pour tout n ~ ~ , il ]aut et il su/]it que / ait la reprdsentation (*).

Nous finissons avee l 'analogue diseret de ee eorollaire:

Th6or~me 6. Soit / : 7/+ -r R une /onction quelconque. Alors, pour que la /onction

. . . + "' + I nl)]

soit de type n~gati/ sur ~_n pour tout n ~ ~ , il ]aut et il suf/it qu'il existe a, b ~ 0 et une mesure positive/z sur [ - - 1, 1[ telles que

] ( m ) = a + b m + ~(1- - tm)d /~( t ) ~our me~_+. I - i , i[

Vol. 30, 1978 Th6or~me de Schoenberg 61

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Anschriften der Autoren:

Christian Berg Department of Mathematics University of Copenhagen DK-2100 Kopenhagen Denmark

Eingegangen am8.11. 1976

Paul Ressel Institut ffir Mathematische Stochastik Universiti~t Freiburg Hermann-Herder-Str. 10 D-7800 Freiburg/Br.