undxを用いたartificial bee colonyアルゴリズムの ... ·...
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１ はじめに
生物が群れで行動するときにみられる知的なふるまいを基にアルゴリズム化した手法として群知能アルゴリズムがある。この手法は最適化計算によく利用されており，様々な成果が得られている。群知能アルゴリズムとして
蟻の行動を基にしたもの１），２），鳥の群れの動きを基にしたもの３），４），蜜蜂の行動を基にしたもの５），６），かっこうの行動を基にしたもの７），魚の群れの動きを基にしたもの８），ホタルの行動を基にしたもの９）など様々な手法が提案されている。特にこの中でも鳥の群れの動きを基にしたアルゴリズムである粒子群最適化法は高性能化に関する研究 10）−12），理論的な研究 13），応用に関する研
研究ノート 日本大学生産工学部研究報告Ａ2017 年 ６ 月 第 50 巻 第 １ 号
UNDX を用いた Artificial Bee Colony アルゴリズムの初期評価
小林篤史＊，古市昌一＊＊
Initial Evaluation of UX-ABC Algorithm
Atsushi KOBAYASHI＊ and Masakazu FURUICHI＊＊
Swarm intelligence algorithm is the algorithm based on behavior of swarm and is ap-plied to the nonlinear
optimization method. For example, they are Ant Colony Optimiza-tion (ACO), Particle Swarm Optimization (PSO),
Artificial Bee Colony (ABC) algorithm and so on.
PSO algorithm is the method with behavior of the swarm. As the characteristic of this algorithm, it is possible to
makes a convergence to the global optimization solution quickly, but this algorithm often fails to make a convergence
to global optimization solution with respect to the optimization problem of high dimension.
ABC algorithm is the method based on behavior of honey bee. This algorithm com-pared with PSO algorithm often
make a convergence to global optimization solution. As the study to enhance the performance of ABC algorithm, the
ABC algorithms combined with other swarm intelligence or genetic algorithm are proposed and the performance of the
ABC algorithm rises.
However, genetic algorithms with these algorithms often make a convergence to local optimization solution. As the
method of genetic algorithm to solve this issue, Unimodal Normal Distribution Crossover (UNDX) is already proposed.
This study proposes UX-ABC (UNDX-ABC). This algorithm is ABC algorithm with UNDX. We indicate that UX-
ABC compared with other ABC algorithms are able to make a convergence to global optimization solution with respect
to the performance functions.
Keywords: UX-ABC Algorithm, Artificial Bee Colony Algorithm, ABC Algorithm, UNDX, Swarm Intelligence
Algorithm
＊日本大学大学院生産工学研究科博士後期課程数理情報工学専攻３年＊＊日本大学生産工学部数理情報工学科教授
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究 14），15）等幅広く研究されている。特徴として大域的最適解への収束が早いが，次元数が
高くなるにつれて大域的最適解へ収束しづらくなる問題がある 16）。他方，蜜蜂の行動を基にした人工蜂コロニー法（ABC 法）は粒子群最適化法では収束しづらかった関数及び高次元の最適化問題に関しても大域的最適解へ収束しやすいという報告がなされている 16）。
ABC 法は提案されて以来様々な手法が提案され，高性能化 17），18）及び応用 19），20）に関する研究がなされている。特に高性能化に関する研究では ABC 法自体の改良もさることながら，他の群知能アルゴリズムと組み合わせた手法 21），遺伝的アルゴリズムと組み合わせたハイブリッド手法があり 22），23），両手法の欠点を補うことによりさらなる向上がなされている。
特に従来の遺伝的アルゴリズムの手法を組み合わせたABC 法は古くから提案されている実数値遺伝的アルゴリズムの手法を適用しており，単体で使用すると大域的最適解へ収束しづらく，適用手法として十分でないと考えられる 24）。
そこで本研究では遺伝的アルゴリズムと ABC 法を組み合わせた手法として単峰性正規分布交叉 UNDX
（Unimodal Normal Distribution Crossover）24）という実数値遺伝的アルゴリズムの一手法を用いた ABC 法 UX-ABC（UNDX-ABC）法を提案する。
この UX-ABC 法を使用することにより，従来手法では大域的最適解へ収束できなかった評価関数であっても大域的最適解へ収束できるようになり，さらに一部評価関数では大域的最適解への収束速度の向上がみられたことを示す。
２ UX-ABC 法アルゴリズム
ABC 法は群知能アルゴリズムの１つとして 2005 年にD. Karaboga によって提案されたものであり５），３種類の蜜蜂により探索を実施する手法である。ABC 法は次の通りである。
2.1 ABC 法ステップ１ 初期化各探索点の初期位置をランダムに設定する。設定後最
良探索点を求めて xbest とする。式（2.1.1）～（2.1.3）に示す。 =xik ψik （2.1.1） i∈N
=ib arg min fi（xi） （2.1.2） =xbest xib （2.1.3）
i は探索点番号，k は次元番号，ib は最良探索点番号，xbest 及び xib は最良探索点を表す。fi は探索点 i の適応度を表す。ψij は［−C, C］の範囲で発生させる一様乱数とする。
ステップ２ Employ Bee による探索以下の式（2.1.4）～式（2.1.6）により探索を実施する。
vijg＋1 xijg xmjgφijg（ ）= ＋ xijg－ （2.1.4）
xijg＋1 vig それ以上vijg fi=⎧⎨⎩
（ ）≤vig fi（ ）xig （2.1.5）
Ci Ci＋1 それ以上0 fi=⎧⎨⎩
（ ）≤vig＋1 fi（ ）xig＋1 （2.1.6）
j はランダムに決定された次元番号，g は世代数，mはランダムに決定された探索点番号を表す。φ は［−1, 1］の範囲で発生させる一様乱数，xi は探索点 i の位置，vig＋1はxij
gの更新候補探索点，Ci は連続して探索点 i の位置が更新されなかった回数を表す。
ステップ３ Onlooker Bee による探索各探索点の適応度を算出し，ルーレット戦略により更
新候補探索点を選択し，式（2.1.7）～式（2.1.12）により位置を更新する。
∑n＝1=plg N
fl g
fng （2.1.7）
i
l＝1∑=Plg plg （2.1.8）
c argi∈N ζ（ ）= Pig Pi＋1g＋1≤ ≤ （2.1.9） vcjg＋1 xcjg xmjgφcjg（ ）= ＋ xcjg－ （2.1.10）
xcjg＋1 xcg それ以上vcjg fc=⎧⎨⎩
（ ）≤vcg fc（ ）xcg （2.1.11）
Cc Cc＋1 それ以上0 fc=⎧⎨⎩
（ ）≤vcg＋1 fc（ ）xcg＋1 （2.1.12）
c はルーレット選択により選択した探索点番号を表す。l は探索点の番号とする。ζ は［0, 1］の一様乱数とする。Cc は連続して探索点 c の位置が更新されなかった回数を表す。plgは世代 g における適応度を表し，Pig
はルーレット戦略における選択確率を表す。fc は世代 gにおける適応度を表す。
ステップ４ Scout Bee による探索更新が一定回数なされなかった探索点に対して式
（2.1.13）に基づいて新たな位置を探索する。
それ以上xik xik
xmin＋ψ（xmaxk－xmink）Climit ≤ Ci=⎧⎨⎩
（2.1.13）
xmaxk は探索点の中で最も最大となる位置を表し，xmink
はもっとも小さい値を表す。ψ は［0, 1］までの一様乱数を表す。Climit は探索点の位置が連続で更新されなかった回数の閾値とする。
ステップ５ 最良値の取得現世代と現世代までに得られた最良探索点を比較し
て，現時点での最良探索点を式（2.1.14）～式（2.1.15）により更新する。最良探索点の適応度が最適解に収束し
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たならば終了し，していないならばステップ２へ戻る。 i∈N
=ib arg min f（xi） （2.1.14）
xbest xbest それ以上xib fib=⎧⎨⎩
（ ）≤xib fbest（ ）xbest （2.1.15）
2.2 UX-ABC 法本研究において提案する UX-ABC 法は基礎として
Anan らによって提案された Best-so-FarABC（BSFABC）法を基にしている 25）。BSFABC 法は次の通りである。
ステップ１ 初期化各探索点の初期位置をによりランダムに設定する。設
定後最良探索点を求めて xbest とする。式（2.2.1）～（2.2.3）に示す。 =xik ψik （2.2.1） i∈N
=ib arg min f（xi） （2.2.2） =xbest xib （2.2.3）
ステップ２ Employ Bee による探索以下の式（2.2.4）～式（2.2.6）により探索を実施する。
vijg xijg xmhgφijg（ ）= ＋ xijg－ （2.2.4）
xijg vig それ以上vijg f=⎧⎨⎩
（ ）≤vig f（ ）xig （2.2.5）
Ci Ci＋1 それ以上0 f
=⎧⎨⎩
（ ）≤vig f（ ）xig （2.2.6）
ステップ３ 現時点での最良位置の探索現時点での最良の適応度に対応した探索点の位置の探
索を式（2.2.7）～式（2.2.8）により実施する。 i∈N
=ib arg min f（xi） （2.2.7） =xb xib （2.2.8）
ステップ４ Onlooker Bee による探索各探索点の適応度を算出し，ルーレット戦略により更
新候補探索点を選択し，式（2.2.9）～式（2.2.14）により位置を更新する。
∑n＝1=plg fng
Nfl g
（2.2.9）
i
l＝1∑=plg plg （2.2.10）
s argi∈N ζ（ ）= Pig Pi＋1g≤ ≤ （2.2.11） vijg＋1 xshg xbhgφijg xibg （ ）= ＋ × × xshg－ （2.2.12）
xsjg＋1 xsjg それ以上vijg f=⎧⎨⎩
（ ）≤vig f（ ）xig （2.2.13）
Cs Cs＋1 それ以上0 f
=⎧⎨⎩
（ ）≤vsg＋1 f（ ）xsg＋1 （2.2.14）
s は適応度のルーレット選択により求めた探索点番号を表す。h は探索点ごとにランダムに選択された次元番
号を表す。Cs は連続して個体 s の位置が更新されなかった回数を表す。
ステップ５ Scout Bee による探索更新がなされなかった個体に対して新たな位置を探索
するように式（2.2.15）～式（2.2.16）により更新する。
MCUiteration
sikそれ以上xik
xik＋φ（ωmax－
（ωmax－ωmin））xik Ci≤ Climit=
⎧―⎨―⎩
（2.2.15）
Ci Ci＋1 それ以上0 f
=⎧⎨⎩
（ ）≤si f（ ）xi （2.2.16）
ωmax , ωmin は重みの最大値，最小値を表す。interationは現在の世代数を表し，MCU は最大の世代数を表す。sij は新たな探索位置とする。φ は［−1, 1］までの一様乱数を表す。ωmax , ωmin はそれぞれ 1.0, 0.2 に設定する。
ステップ６ 最良値の取得現世代と現世代までに得られた最良探索点を比較し
て，現時点での最良探索点を更新する。式（2.2.17）～式（2.2.18）に示す。最良探索点の適応度が最適解に収束したならば終了し，していないならばステップ２へ戻る。 i∈N
=ib arg min f（xi） （2.2.17）
xbest xbest それ以上xib f
=⎧⎨⎩
（ ）≤xib f（ ）xbest （2.2.18）
このモデルを用いることにより，Sphere, Griewank, Rastrigin, Rosenbrock, Ackley 及び Schaffer 関数の６関数に適用したところ，ABC 法と比較して性能向上を実現した。さらに，実問題へこの手法を適用し，通常のABC 法よりも性能向上を実現している。
本研究ではこの手法のステップ５ Scout Bee による探索を UNDX に置き換える。この手法は小野らにより提案された手法であり，bit-string 型の遺伝的アルゴリズム及び古くから提案されている実数値遺伝的アルゴリズムの手法では局所解に収束しやすい関数であっても，この手法を用いることにより，大域的最適解に収束することが可能となった。さらにこの手法を用いて様々な応用がなされている 26）。
UNDX アルゴリズムは次の通りである。UNDX アルゴリズムでは世代交代アルゴリズムとして Minimal Generation Gap（MGG）モデル 27）を使用する。世代交代モデル MGG は以下５ステップを実行することにより実現する。３個体の親を選択し，交叉を指定回数実行して子供を生成し，親及び子供から次の世代を選択するというのを繰り返し行っていくものである。
１ 初期集団の生成ランダムに複数個の実数ベクトルを生成する。
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２ 親の選択集団からランダムに親を３つ選択する。３ 子の生成ステップ１で生成された両親に対して，交叉を nc 回
適用して子供を 2nc 個生成する。ここでは交叉に UNDXを使用する。
４ 淘汰生成した子供と両親とを合わせた集団から２個体を選
択する。１個体目は最も良い個体を選択する。２個体目はランクに基づくルーレット選択により個体を選択する。
５ 終了条件終了条件が満たされるまでステップ１～ステップ４ま
で実行する。なお，UNDX は式（2.2.19）～式（2.2.25）に示す。
n
k＝2∑= ＋ ＋Ch1 z1e1 zkekM （2.2.19）
n
k＝2∑= － ＋Ch2 z1e1 zkekM （2.2.20）
M =（Pa1＋Pa2）/2 （2.2.21）
z1～N（0,σ21）, zk～N（0,σ2
2）（k = 2, ..., n） （2.2.22）
σ1= αd1, σ2 = βd2/ n （2.2.23） e1 =（Pa2－Pa1）/|Pa2－Pa1| （2.2.24） ei⊥ej（i≠j）（i, j = 1, ..., n） （2.2.25）
n は次元数を表す。Pa1，Pa2 は交叉元の親とする。Ch1，Ch2 は生成される子とする。M は親の中点とする。z1，z2 はそれぞれ平均０，標準偏差 σ1, σ2 の正規乱数により生成されたベクトルとする。d1 は親 P1 及び P2
の距離とする。d2 は親 P1 及び P2 を結ぶ軸と親 P3 との距離を表す。e1, ...en は Gram-Schmidt の直交化法により生成した直交ベクトルとする。α 及び β は調整パラメータとする。本研究では及びは以前の研究を基に α= 0.5, β= 0.35 とする。
本研究ではステップ５ Scout Bee による探索を次の式（2.2.26）～式（2.2.27）により更新する。
それ以上u x
UNDX（x）Ci ≥ Climit=⎧⎨⎩
（2.2.26）
それ以上Ci C
0 Ci ≥ Climit=⎧⎨⎩
（2.2.27）
x は現在の探索位置とする。u は更新後の新たな探索位置とする。UNDX は UNDX を実行する関数とする。
３ 実験
3.1 実験条件提案アルゴリズムが他の ABC 法と比較して大域的最
適解へより高速に収束するか否かを確認するために評価実験を実施する。実験条件は評価関数を 30 回実行し，
指定された世代数以内に最適値との誤差が 1.0×10−７以下であれば，成功とみなし，できなければ失敗とする。すべて成功した場合はその収束回数の平均を算出する。計測する次元数として，50，100，150，200，250，300とする。世代数は 10000000 回とする。
Table １ に 比 較 に 使 用 す る 他 の ABC 法 を 示 す。Table２に使用する評価関数を示す。UX-ABC のパラメータとして UNDX の調整パラメータ α,β を α= 0.5, β = 0.35 とし，交叉により生成する子供の数を 1600 とした。
Table１ Compared UX-ABC to other ABC algorithm
Abbreviation Name
ABC Original ABC５）
RABC enhanced ABC28）
GABC Gbest-guided ABC20）
MeABC Memtic Search ABC29）
RMABC Randomized Memtic Search ABC30）
HJABC Hooke Jeeves ABC31）
BSFABC Best-so-Far ABC25）
CbABC Crossover based ABC22）
ACABC Arithmetic Crossover based ABC23）
UXABC UNDX based ABC
3.2 実験結果実験結果を Table３に示す。各関数及び各 ABC 法の
大域的最適解へ収束した世代数を 30 回平均したものである。なお，−は大域的最適解へ収束できず指定回数に達したものを表す。最も高速に大域的最適解へ収束したABC 法を太字で示す。UX-ABC 法はどの手法よりもほとんどの場合で大域的最適解への収束速度が速いことがわかる。さらに，他の ABC 法では大域的最適解へ収束することがきなかった rosenbrock 関数（star 型）に対しても，本手法を使用すると収束することがわかる。他にも，Zakharov 関数に関して他の手法よりも少ない世代数で本手法が大域的最適解へ収束していることがわかる。
Salomon Problem 及び Quartic Gussian 関数に関してはどの手法を利用しても条件を達成することができなった。Salomon Problem 関数は局所解が複数存在し，局所値もほぼ同等であり，局所解へ陥りやすく大域的最適解へ収束しづらいと考えられるため，どの手法でも大域的最適解へ収束できなかったと考えられる。Quartic Gussian 関数は一様乱数による誤差が加わり，毎回更新ごとに関数値が変動することから大域的最適解へ収束し
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づらいと予想され，どの手法でも収束できなかったと考えられる。
Salomon Problem 及び Quartic Gussian 関数に関しては本条件を満たしてはいないが大域的最適解へ収束している場合がある。大域的最適解へ収束した回数はSalomon Problem 関 数 で は 本 手 法 が 約 26 回 及 びBSFABC 法が約 26 回大域的最適解へ収束しているが，他の手法では収束しない。Quartic Gussian 関数では本手法及び BSFABC のみ数回程度大域的最適解へ収束しているが他の手法は一度も収束していない。以上より条件は満たしていないが，他の手法よりも大域的最適解へ収束しやすいことが分かった。
次に，各関数の手法ごとによる大域的最適解への収束遷移を Fig.２～Fig.12 に示す。代表例として 30 回の実験の中から１回を無作為抽出し，その実験に関して 50
次元のものにおける大域的最適解への収束結果を示す。本手法は他の手法よりも早期に大域的最適解へ収束していることがわかる。この例では rosenbrock 関数のみ大域的最適解への収束が BSFABC 法よりも顕著に遅いが他の評価関数に関しては BSFABC 法とほぼ同等，あるいはそれ以上の性能を有していることがわかる。Fig.３に示した rosenbrock 関数の場合の収束速度について解析する。Fig.１に２次元における rosenbrock 関数の等高線表示を示す。Fig.１中における赤丸は大域的最適解の場所を表している。黒線は収束速度が遅い場合の探索点の遷移の１例を示している。50 次元は表示困難のため，得られている 50 次元の解の遷移と Fig.１とを対比させて大域的最適解への解の動きを解析すると，Fig.１のように局所解が複数存在する谷の領域に世代の初期段階で入り，その領域を探索しながら大域的最適解へ計算
Table２ Evaluation function with this study
Function name Formula Range
Sphere f1（x）＝n
1＝i∑xi2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Ellipsoid f2（x）＝2n
1＝i∑（ ）1000i－1/n－1xi −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Rosenbrock f3（x）＝ 2 2
1＝i
n－1
∑（ ）100（xi＋1－xi ）＋（1－xi）2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Rosenbrock （type of star） f4（x）＝ 2 2
i＝2
n
∑（ ）100（x1－xi ）＋（1－xi）2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Ackley f5（x）＝ n1i＝1
n
∑xi 20－20exp －0.2 ＋e－exp2n1i＝1
n
∑cos（2πxi） −32.678 ≤ xi ≤ 32.678
Rastrigin f6（x）＝i＝2
n
∑（ ）xi －10cos（2πxi）10n＋ 2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Rastrigin （Shift） f7（x）＝i＝2
n
∑（ ）（xi －1）－10cos（2π（xi－1））10n＋ 2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
k-tablet f8（x）＝i＝k＋1
n
∑（100xi ）i＝1
k
∑xi 2 2－ ＋ −5.12 ≤ Xi ≤ 5.12
Schaffer f9（x）＝ 2 0.25
i＝1
n－1
∑（ ）xi ＋（xi＋1） sin2 50 ＋1.0－ 2 （ （ ） ）0.1（xi ＋xi＋1）2 2 −100 ≤ xi ≤ 100
Bohachevsky f10（x）＝i＝1
n－1
∑（xi ＋ 2xi＋1－0.3cos（3πxi）－0.4cos（4πxi＋1）＋0.7）－ 2 2 −5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Zakharov f11（x）＝ 2（ ）i＝1
n－1
∑i＝1
n
∑－ xi ＋ ＋2 ixi 22
2（ ）i＝1
n
∑ ixi 24
−5.12 ≤ xi ≤ 5.12
Salomon Problem f12（x）＝i＝1
n
∑xi 1－cos 2π ＋0.12i＝1
n
∑xi 2 −100 ≤ xi ≤ 100
Quartic Function f13（x）＝i＝1
n
∑ixi 4 −1.28 ≤ xi ≤ 1.28
Quartic Gussian Function f14（x）＝i＝1
n
∑ixi ＋random［0, 1）4 −1.28 ≤ xi ≤ 1.28
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Table３ Result of convergenceEvaluation Functian Dimension ABC RABC CbABC GABC MeABC RMABC BSFABC ACABC HJABC UX-ABC
Sphere
50 2166 2298 1758 1790 1925 2025 73 2523 2528 70100 4632 4859 2612 4922 5274 5523 119 5647 5688 117150 7245 7525 3025 8915 9890 9025 151 8904 8987 165200 9949 10523 3347 13251 14886 14244 197 12545 12238 190250 12720 13255 3518 20353 20119 18295 220 16071 15666 223300 15359 16078 3625 26632 25495 23247 274 19793 19456 197
Rosenbrock
50 − − − − − − 15744 − − 1885100 − − − − − − 30359 − − 3428150 − − − − − − 59779 − − 6146200 − − − − − − 58322 − − 9181250 − − − − − − 100024 − − 11668300 − − − − − − 86854 − − 13944
Rosenbrock（type of star）
50 − − − − − − − − − 1846100 − − − − − − − − − 4094150 − − − − − − − − − 8335200 − − − − − − − − − 13803250 − − − − − − − − − 18798300 − − − − − − − − − 21884
Bohachevsky
50 2600 2846 2270 − − − 168 − − 104100 5598 5984 3283 − − − 269 − − 161150 8717 9326 3781 − − − 299 − − 205200 11938 12631 4181 − − − 358 − − 219250 15286 15945 4317 − − − 273 − − 290300 18428 19203 4466 − − − 437 − − 337
Ackely
50 4432 5123 3482 − 11941 − 312 5629 11084 244100 9156 10386 5009 10375 10592 10668 401 12685 13720 353150 14009 15272 5778 14400 18172 18804 489 18216 18696 431200 18841 20481 6286 24339 25872 24795 621 25849 25285 494250 23835 25681 6538 31685 33586 32296 1174 32467 34341 563300 28761 31199 6833 41086 42339 40170 2472 37724 42630 592
Schaffer
50 13901 − 10537 − − − 5887 − − 1119100 27990 35687 14055 − − − 8628 − − 2043150 42377 51253 15580 − − − 20960 − − 3275200 56806 66002 16698 − − − 19298 − − 4261250 71371 81585 17306 − − − 14690 − − 6785300 86351 97169 17875 − − − 27306 − − 8045
Rastrigin
50 4720 5177 − − − − 229 − − 136100 14305 11958 − − − − 352 − − 213150 46902 19134 − − − − 447 − − 304200 101755 26953 − − − − 515 − − 334250 206616 35482 − − − − 411 − − 364300 313960 43890 − − − − 452 − − 428
rastrigin（shift）
50 4684 5114 − − − − 219 − − 102100 16266 11539 − − − − 387 − − 191150 42956 18683 − − − − 547 − − 247200 91411 25985 − − − − 482 − − 280250 151211 34399 − − − − 430 − − 339300 − 43457 − − − − 472 − − 406
Ellipsoid
50 2907 3692 2600 2283 2787 2721 77 3237 3208 103100 6241 7257 3903 6038 6426 6501 127 7199 7030 211150 9705 10966 4646 9988 11375 11379 174 11254 11000 338200 13349 15041 5138 15407 16608 15751 183 15645 15075 360250 16942 19093 5443 21000 22166 21208 221 19977 19895 402300 20456 23033 5711 28864 29401 27360 563 24696 23664 470
k-Tablet
50 2851 3139 2459 2048 2563 2560 644 3255 3207 130100 6123 6738 3704 6052 6369 6235 1235 6953 7139 213150 9537 10244 4398 10732 11634 10760 2120 11214 10977 253200 12996 14057 4784 15334 17246 16369 2272 15352 15179 288250 16553 17858 5117 20797 22681 21280 2713 19689 19447 378300 20143 21519 5127 27243 29750 27305 3515 24199 23769 448
Zakharov
50 2180 2611 2051 2189 2171 2171 233 2989 3013 101100 5225 5735 3106 6280 6296 6296 981 6825 6848 204150 8379 8922 3725 12006 11942 11942 2147 10938 10872 345200 11526 12278 4116 18324 18041 18041 2867 15335 15185 404250 14863 15794 4372 26744 25998 25998 3859 19473 19322 591300 18300 19451 4646 32417 32374 32374 4934 24326 23896 666
SalomonProblem
50 − − − − − − − − − −100 − − − − − − − − − −150 − − − − − − − − − −200 − − − − − − − − − −250 − − − − − − − − − −300 − − − − − − − − − −
QuarticFunction
50 1218 1263 857 1523 1546 1546 24 1833 1863 23100 2782 2870 1319 5048 4887 4887 61 4409 4487 48150 4512 4645 1564 9161 9433 9433 81 7422 7180 90200 6292 6470 1690 14623 14739 14739 116 10264 10061 117250 8231 8428 1715 19949 20828 20828 204 14244 13157 130300 10205 10390 1850 26534 26633 26633 176 17112 16387 120
QuarticGaussianFunction
50 − − − − − − − − − −100 − − − − − − − − − −150 − − − − − − − − − −200 − − − − − − − − − −250 − − − − − − − − − −300 − − − − − − − − − −
─ 61 ─
が進行するため局所解からの脱出等による計算回数の上昇が予想され，そのため BSFABC 法と比較して著しく計算回数が増加すると考えられる。
Fig.１ Contour of rosenbrock function （2dimension）
４ 考察
本手法において使用した実数値遺伝的アルゴリズムUNDX と比較してより高性能な手法がすでに提案されて い る。 そ の 手 法 は REX（Real Coded Ensamble Crossover）32）やAREX（Adaptaion Real Coded En-samble Crossover）33）である。この手法を利用することによりより高速に大域的最適解が得られるか否かを検討した。同様にステップ５を置き換えて評価を実施したが
大域的最適解への収束速度は UNDX を用いたものよりも遅いという結果が得られた。これは子供を発生させる領域が UNDX と REX 及び AREX の探索領域の広さであると考えられる。UNDX では現在の集団から無作為に設定した３つの親を基に算出される分散 αd1，βd2/√n の楕円領域であることに対して，REX 及び AREXは現在の集団の重心を中心とした分散n
1＋kによる多角
形領域内であり，AREX ではこれをさらに適応的に領域を変更している。そのため分散値が低いと探索点付近に新しい探索候補が集中して発生することになると考えられる。
一方 Scout Bee ステップでの探索方針は更新されていない探索点に対して新たな探索点に更新するというステップである。そのようなことから，このステップで性能を上昇させるにはある程度の探索範囲の広さと対象探索点の位置周辺付近で新たな探索点が生成されるのが望ましいと考えられる。
よって，UNDX の探索範囲のほうが REX 及び AREXよりも広いと考えられることからこのような結果が得られていると考えられる。以上より，UNDX を用いた手法のほうが適していると考えられる。しかし実験及び理論的な検証はできていないため，今後の検討事項である。
AREX は毎回の更新により探索範囲が変更される。本研究ではステップ５のみで AREX 法を実行するようにしているため，探索領域の更新が十分行われず，ステップ５において AREX の実行に適した探索範囲に
Fig.２ Transition of sphere function （dimension of 50）
─ 62 ─
Fig.３ Trasition of rosenbrock function （dimension of 50）
Fig.４ Transition of rosenbrock（type of star） function （dimension of 50）
─ 63 ─
Fig.５ Transition of Bohachevsky function （dimension of 50）
Fig.６ Transition of Ackley function （dimension of 50）
─ 64 ─
Fig.７ Transition of Schaffer function （dimension of 50）
Fig.８ Transition of rastrigin function （dimension of 50）
─ 65 ─
Fig.９ Transition of rastrigin （shifted） function （dimension of 50）
Fig.10 Transition of ellipsoid function （dimension of 50）
─ 66 ─
Fig.11 Transition of k-tablet function （dimension of 50）
Fig.12 Transition of zakharov function （dimension of 50）
─ 67 ─
なっていないと考えられ，AREX 法の性能を十分に生かし切れていない可能性がある。今後，その部分の改良をして調査する必要がある。
Scout Bee に関するアルゴリズムの性質を変更することにより，性能が向上するという研究はあまりなされていない。単純に一様乱数により割り当てる手法５），粒子群最適化法を基にした手法 34），粒子群最適化法にシミュレーション回数による重みづけをした手法 26）があり，特に２番目の手法がよく使用されているが，大域的最適解への収束に効果的に寄与するか不明であった。本研究ではこのステップを UNDX という実数値遺伝的アルゴリズムの手法を用いることにより，従来手法よりも効果的にこのステップを利用し，さらに性能を高めることが可能となった。
５ まとめ
本研究において ScoutBee ステップにおいて新たな探索点を探索するために遺伝的アルゴリズムの手法であるUNDX 法を利用した新たな探索法の UX-ABC 法を提案した。これを利用することにより従来の手法では大域的最適解へ収束できなかった評価関数を大域的最適解へ収束させることが可能となった。今後の課題として，本手法をシミュレーションのパラメータ推定に利用し有効であるか否かの検討を行う。UNDX を用いることによる収束性の効果に関する検討も行う予定である。さらに本手法を発展させたより高速に大域的最適解へ収束可能なアルゴリズムの提案を目指す。
参考文献
１） Marco Dorigo, Vittorio Maniezzo, Alberto Colorni: The Ant system: optimization by a colony of cooperating agents, IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics-Part B: Cybernetics, 26
（1996）, 1, 29-41.２） Marco Dorigo, Vittorio Maniezzo, Alberto Colorni:
Positive feedback as a search strategy, Technical Report 91-016, Dipartimento di Elettronicae Informatica, Politecnico di Milano, 1991.
３） James Kennedy, Russell Eberhart: Particle swarm optimization, Technical Report 91-016, Dipartimento di Elettronica e Informatica, Politecnico di Milano, 1991.
４） James Kennedy, Russell Eberhart: A New Opti-mizer Using Particle Swarm Theory, IEEE Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science, 1995, Nagoya Municipal Indus-
trial Research Institute, 39-43.５） Dervis Karaboga: An Idea based on Honey Bee
Swarm for Numerical Optimization, Technical Report-TR06, Erciyes University, Engineering Faculty Computer Engineering Department, 2005.
６） Anan Banharnsakun, Tiranee Achalakul, Boon-charoen, Sirinaovakul: The best-so-far selectionin Artificial Bee Colony Algorithm, Applied Soft Computing, 11（2011）, 2888-2901.
７） Xin-She Yang, Susah Deb: Engineering Optimisa-tion by Cuckoo Search, Mathematical Modelling and Numerical Optimization, 1（2010）, 17, 330-343.
８） Fran Sergio Lobato, Valder Steffen Jr: Fish Swarm Optimization Algorithm Applied to Eningeering System Design, Latin American Journal of Solids and Structures, 11（2014）, 1, 143-156.
９） Xin-She Yang: Firefly Algorithms for Multimodal Optimization, Stochastic Algorithms: Foundations and Applications, 5792（2009）, 169-178.
10） 越野亮，村田裕章，木村春彦：Particle Swarm Op-timization の改良とポートフォーリオ選択への応用，電子情報通信学会論文誌。A，基礎・境界，J89-A（2006）, 1, 48-60.
11） Gang Xu: An adaptive parameter tuning of parti-cle swarm optimization algorithm, Applied Mathmatics and Computation, 219（2013）, 1, 4560-4569.
12） Choosak Pornsing, Manbir S. Sodhi, Bernard F. Lamond: Novel self-adaptive particle swarm optimization methods, Software Computing, 20
（2015）, 9, 3579-3593.13） 若佐裕治：粒子群最適化の安定性と性能の解析，シ
ステム／制御／情報，57（2013）, 5, 201-206.14） 齋藤利通：粒子群最適化法と非線形システム，電子
情報通信学会基礎・境界ソサイエティFundamentals Review, 5 （2011）, 2, 151-161.
15） 進藤卓也：粒子群最適化法の動特性解析と応用，日本工業大学博士論文，2014.
16） Dervis Karaboga, Bahriye Basturk: A powerful and efficient algorithm for numerical function op-timization: aritificial bee colony （ABC） algorithm, Journal of Global Optimization, 39（2007）, 459-471.
17） Wei-feng Gao, San-yang Liu, Ling-ling Huang: A novel aritifical bee colony algorithm with Powell’s method, Applied Soft Computing, 13（2013）, 9, 3763-3775.
18） Jian-Guo Zheng Chao-Qun Zhang, Yong Quan Zhou: Aritificial Bee Colony Algorithm Combined with
─ 68 ─
Grenade Explosion Method and Cauchy Operator for Global Optimization, Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problem Engineering, Article ID 739437, （2015）, 1-14.
19） Anaa Baharnsakun, Tiranee Achalakul, Boon-charoen Sirinaovakul: ABC-GSX: hybrid method for solving the Traveling Saesman Problem, IEEE 2th World Congress on Nature and Biologically Inspired Computing, （2010）, 7-12.
20） Emrah Hancer, Celal Ozturk, Dervis Karaboga: Artificial Bee Colony based Image Clustering Method, WCCI 2012 IEEE World Congress on Computational Intelligence, （2012）, Brisbane Convention Centre Brisbane, Australia, 10-15.
21） Mustafa Servet Kiran, Huseyin Hakli, Guopu Zhu, Sam Kwong: Gbest-guided artificial bee colony algorithm for numerical function optimization, Applied Mathematics and Computation, 217（2010）, 7, 3166-3173.
22） Sandeep Kumar, Dr. Vivek Kumar Sharma, Rajani Kumari: A Novel Hybrid Crossover based Artificial Bee Colony Algorithm for Optimization Problem, International Journal of Computer Applications
（0975-8887）, 82（2013）, 8, 18-25.23） 加藤達郎，前田陽一郎，高橋泰岳：算術交叉を用い
た改良型 Artificial Bee Colony アルゴリズム，第28 回ファジィシステムシンポジウム，（2012），名古屋工業大学，430-434.
24） 小野功，佐藤浩，小林重信：単峰性正規分布交叉UNDX を用いた実数値 GA による関数最適化，人工知能学会誌，14（1999）, 6, 1146-1155.
25） Anan Banharnsakun, Tiranee Achalakul, Boon-charoen, Sirinaovakul: The best-so-far selection in Artificial Bee Colony Algorithm, Applied Soft Computing, 11（2011）, 2888-2901.
26） 小野功，小林重信，吉田幸司：単峰性正規分布交叉を用いた実数値遺伝的アルゴリズムによる光学系の最適化，応用物理学会分科会光学，28（1999）, 12, 650-656.
27） 佐藤浩司，小野功，小林重信：遺伝的アルゴリズムにおける世代交代モデルの提案と評価，人工知能学会誌，12（1997）, 5, 734-744.
28） 宇 谷 昭 秀， 長 島 淳 也， 牛 膓 隆 太， 山 本 尚 生：Artificial Bee Colony （ABC） アルゴリズムの高次元問題に対する解探索性能の強化，電子情報通信学会論文誌 D，情報・システム，J94-D（2011）, 2, 425-438.
29） Jagdish Chand Bansal, Harish Sharma Email au-thor, K. V. Arya, Atulya Nagar: Memtic search in artificial bee colony algorithm, Soft Computing, 17
（2013）, 10, 1911-1928.30） Sandeep Kumar, Dr. Vivek Kumar Sharma, Rajani
Kumari: Randomized Memtic Artificial Bee Colony Algorithm, International Journal of Emerging Trends of Technology in Computer Science, 3
（2014）, 52-66.31） Fei Kang, Junjie Li, Zhenyue Ma, Haojin Li: Ar-
tificial Bee Colony Algorithm with Local Search for Numerical Optimization, Journal of Software, 6
（2011）, 3, 490-497.32） 小林重信：実数値 GA のフロンティア，人工知能
学会論文誌，24（2009）, 1, 147-162.33） 秋本洋平，永田裕一，佐久間淳，小野功，小林重信：
適応的実数値交叉 AREX の提案と評価，人工知能学会論文誌，24（2009）, 6, 446-457.
34） Dervis Karaboga, Bahriye Akay: A comparative study of Artificial Bee Colony Algorithm, Applied Mathematics and Computation, 214（2009）, 1, 108-132.
（H 29 . ２ . ６受理）
─ 69 ─
Biographical Sketches of the Authors
Atsushi Kobayashi is a doctoral course student of Mathematical Information Engineering, Graduate
School of Industrial Technology, Nihon University from 2015.
His research interests include Modeling and Simulation, Multi-agent simulation and evolutionary
computing.
He received B. L. A degree in Department of Information and System Engineering, Faculty of Science
and Engineering, Chuo University in 2002.
He received M. S degree in Department of Computational Intelligence and Systems Science,
Interdisciplinary Graduate School of Science and Engineering Tokyo Institute of Technology in 2005. He
is research staff of Advanced Defense Technology Center, Technical Research and Development Institute, Ministry of Defense
from 2009.
He is member of IEICE, JSCES, JSEC and JSAI.
Masakazu Furuichi is a Professor at the Department of Mathematical Information Engineering, College
of Industrial Technology of Nihon University. Dr. Furuichi received his B. L. A. in Computer Science
from Hiroshima University in 1982, his M. S. in Computer Science from University of Illinois at Urbana
Champaign in 1994, and his Ph. D. from Keio University in 2004. Dr. Furuichi has been working for
Mitsubishi Electric Corporation from 1982 to 2008. While he has been working at the Information
Technology R&D center (ITR&D) and Kamakura Works of Mitsubishi Electric, his major research topics
were parallel and distributed simulation, dynamic load-balancing, parallel object oriented languages and
the design and implementation of IEEE 1516 High Level Architecture RTI (RunTime Infrastructure) for
Modeling and Simulation. After he has retired in 2008, he has moved to Nihon University to expand his Modeling and Simulation
knowledge to Serious Game Design based on a Distributed Virtual Environment Technology. He is a member of IEEE, ACM,
IEICE and IPSJ.