Introducción a la Teoría de los “Pitch Class Sets”

Traducido, adaptado y ampliado de la página de Gary Tucker “A Brief Introduction to Pitch Class Sets Analysis” (http://www.mta.ca/faculty/arts-letters/music/course_materials/pc-set/toc.htm) (acceso 7/2004)

por Alejandro Martinez para la cátedra Lenguajes Contemporáneos, Facultad de Bellas Artes, U.N.L.P.

Índice

0. Introducción .................................................................................................... 2

1. Axiomas básicos: clases de alturas (pitch classes) y clases interválicas ....................................................................................... 2

1.1 Axioma 1: Equivalencia de octava ............................................... 2

1.2 Axioma 2: Equivalencia enarmónica ............................................ 2 1.3 Intervalos y clases interválicas..................................................... 3

1.3.1 Intervalos entre notas ordenados ............................ 4 1.3.2 Intervalos entre notas no ordenados ....................... 5 1.3.3 Clases interválicas.Intervalos entre

grados cromáticos ordenados y no-ordenados ...... 5

2. Los pitch-class sets y la forma normal ........................................................ 6

2.1 Segmentación .............................................................................. 6 2.2 Pitch Class Sets ........................................................................... 7 2.3 Nombrando los sets: la forma normal .......................................... 7

2.3.1 Un método abreviado para hallar la forma normal............................................................ 8

3. Clases de Pitch-Class Sets y forma prima................................................... 9

3.1 Axioma 3: Equivalencia transposicional de los sets .................... 9 3.2 Axioma 4: Equivalencia inversional de los sets ........................... 10 3.3 Nombrando las clases de sets: la forma prima............................ 11

3.3.1 Un método más fácil para hallar la forma prima...... 12

4. Clases de sets y contenido de clases interválicas ..................................... 13

4.1 Vectores interválicos .................................................................... 14 4.2 La relación Z.................................................................................

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0. Introducción. Cuando analizamos música tonal, asumimos un principio básico que gobierna la

organización musical: existe una sonoridad focal, la tónica, que constituye el centro gravitatorio, el punto de referencia para percibir y conceptualizar las relaciones entre las notas los acordes y las regiones tonales de una obra musical.

Mucha de la música compuesta en el siglo XX y en el actual, sin embargo, no es tonal. Existen muchas obras musicales de comienzos del siglo XX que buscan evadir las convenciones de la tonalidad recurriendo, por ejemplo, al uso de otras escalas musicales o sistemas de organización armónica, logrando una mixtura con organizaciones no claramente tonales. También, muchas obras musicales evitan proyectar cualquier sentido perceptible de una tónica. El análisis de las relaciones de altura en estas músicas plantea entonces varios desafíos. En primer lugar, porque pareciera que no es posible recurrir a un sistema de referencia general, semejante al que proporcionaban las teorías armónicas del período tonal y que nos permitía, por ejemplo, analizar tanto un coral de Bach, como una sonata de Beethoven o un Intermezzo de Brahms. En segundo lugar, porque muchas piezas parecen crear su propia estructura de relaciones de altura y esta diversidad parece tornar difícil el hallazgo de generalizaciones y comparaciones útiles entre obras de diferentes compositores

Un enfoque que ha ganado adhesión entre los analistas de música dedicados a la música no-tonal se denomina pitch-class set analysis (en castellano el “análisis de los conjuntos de clases de altura”). Este enfoque, también conocido como Set Theory, al igual que otros métodos analíticos presenta:

• Axiomas básicos, o supuestos que son aceptados y sobre los que se erige el método analítico.

• Conceptos abstractos, usados para clasificar e interpretar eventos musicales.

• Operaciones analíticas, con las cuales operar con la música.

• Convenciones para describir las relaciones y los patrones o regularidades que el análisis descubre.

El análisis de los conjuntos de altura se basa en la observación de que, dado que la tonalidad no ejerce ya una fuerza organizadora, la estructura de alturas parece entonces fundarse en las relaciones interválicas. Algunas de estas relaciones interválicas en las obras musicales no tonales pueden ser obvias para el oyente, mientras que otras no lo son. Asimismo, en ocasiones, estas relaciones pueden proyectar ciertas alturas como prominentes. El análisis de los conjuntos de clases de altura ha probado ser una herramienta fructífera para develar y categorizar estas relaciones.

1. Axiomas básicos: clases de alturas (pitch classes) y clases interválicas.

Para el análisis de música no-tonal conviene recordar dos propiedades de la organización de alturas que podemos considerar como dos “axiomas básicos” .

1.1 Axioma 1: Equivalencia de octava.

Al igual que en la música tonal, el intervalo de octava desempeña un papel especial en la música no-tonal. Los sonidos separados entre sí por un intervalo de una o más octavas son considerados como equivalentes. En este contexto “equivalente” no significa “idéntico” (en un instrumento musical los sonidos a distancia de octava son evidentemente diferentes en términos de frecuencia y probablemente también en términos de timbre), sino que significa que los une una relación de afinidad perceptual, que, a los fines del análisis musical, puede ser considerada una relación de equivalencia. (Jean Philippe Rameau consideraba a la octava como la “réplica” de un sonido dado.) La equivalencia de octava

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nos permite hablar de grados cromáticos o “clases de alturas” (nuestra traducción para el término inglés pitch classes): todas las alturas separadas por una o más octavas reciben el mismo nombre y son ejemplares del mismo grado cromático. El concepto no es diferente del empleado en la música tonal cuando se habla de, por ejemplo, una “Sonata en Do Mayor”. Cuando se habla de este modo, no se tiene en mente un “do” específico (por Figura el do central [do4]), sino en una clase de altura general no especificada -“DO”- que indica la tónica de la pieza.

En este trabajo, y debido a su uso extendido en la literatura de análisis, utilizaremos la abreviatura “pc” (de pitch class) y “pcs” (para el plural: pitch classes) para referirnos a los grados cromáticos o clases de altura, sumada a la notación anglosajona de los sonidos musicales (por ejemplo:“pc C#“, significa “el grado cromático Do #”).

1.2 Axioma 2: Equivalencia enarmónica.

En la música tonal, A# no es equivalente a Bb o a Dobb; estos grados cromáticos aparecen en contextos tonales muy diferentes y con diferentes implicancias armónicas. En la música no-tonal, estas diferencias no necesitan ser tenidas en cuenta (más allá de ciertas preferencias de notación, debidas a la práctica instrumental). Aquí, los grados cromáticos enarmónicos son considerados equivalentes. Una manera útil de reflejar la equivalencia enarmónica (y de facilitar las operaciones de análisis) es utilizar una notación numérica, que no sugiera alguna preferencia hacia una u otra denominación. Los grados cromáticos se numeran de 0 a 11, tal como muestra el siguiente cuadro. Grados cromáticos tradicionales: B# / C C# / Db D D# / Eb

E / Fb E# / F F# / Gb G G# / Ab A A# / Bb

B / Cb

Notación numérica:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Esta forma de numerar los pcs (recuérdese, la abreviatura de “pitch classes”) por

referencia a do=0 se denomina notación con 0 fijo. Otra posibilidad es la de asignar números por referencia a otro pc considerado un punto focal importante en la obra analizada. En este caso se trata de una notación con 0 móvil. Ambos tipos de notación tienen sus ventajas y desventajas. La notación con do=0, sin embargo es ampliamente utilizada en la literatura de la Set Theory y, por ello, la preferiremos. El siguiente ejemplo, tomado de los compases iniciales del Cuarteto op. 37 de Schoenberg (1937) muestra el uso de la numeración con 0 fijo:

Figura 1-1. notación con pitch classes

Podemos ver en el fragmento que Schoenberg hace uso de todos los grados cromáticos, que no hay repeticiones de grados cromáticos a distancia de octava y que el intervalo más frecuente entre notas sucesivas es el semitono (entre las notas 2-1; 9-10; 3-4; 8-7-6).

1.3 Intervalos y clases interválicas.

Los nombres tradicionales de los intervalos también están relacionados con el contexto tonal en el que aparecen. Piénsese en la diferencia entre una séptima disminuida (por ejemplo do# - sib) y una sexta mayor (do# - la#). Ambos intervalos involucran los mismos grados cromáticos (en notación numérica 1 y 10). En la música tonal constituyen diferentes intervalos que implican diferentes modos de resolución. En un contexto no-tonal, sin embargo, intervalos enarmónicamente iguales son considerados equivalentes, en este caso, tenemos simplemente un intervalo de 9 semitonos (10-1). La tabla siguiente lista los intervalos en notación numérica junto a su denominación tradicional en la música tonal.

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Número de intervalo Nombre tradicional

0 Unísono

1 segunda menor

2 segunda mayor

3 segunda aumentada / tercera menor

4 tercera mayor / cuarta disminuida

5 cuarta justa

6 cuarta aumentada / quinta disminuida

7 quinta justa

8 quinta aumentada / sexta menor

9 sexta mayor / séptima disminuida

10 sexta aumentada / séptima menor

11 séptima mayor

12 Octava

Un aspecto adicional, relacionado con los intervalos en el análisis de música no-tonal, nos lleva a discutir algunas distinciones más.

1.3.1 Intervalos entre notas ordenados. El aspecto más cercano a la experiencia auditiva involucra el concepto de intervalos

ordenados: cuando escuchamos notas sucesivas, escuchamos intervalos de una extensión y una dirección determinadas. Por ejemplo, escuchamos que una nota se encuentra a una distancia de 13 semitonos por debajo de la nota precedente o a 4 semitonos arriba (los intervalos ascendentes los indicamos con un signo +; los descendentes con un signo -):

Figura 1-2. Intervalos entre notas ordenados

1.3.2 Intervalos entre notas no-ordenados. Si, en cambio, la dirección (ascendente o descendente) del intervalo no es

importante y sólo nos interesa la información sobre el tamaño del intervalo (o se trata de un intervalo armónico, en lugar de uno sucesivo), nos estamos refiriendo a intervalos no ordenados. En la figura siguiente ilustramos ambas posibilidades

Figura 1-2. Intervalos entre notas ordenados y no-ordenados

Para calcular el tamaño de un intervalo ordenado entre dos notas sucesivas en notación numérica, restamos el número correspondiente al pc de la segunda nota del

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número correspondiente al pc de la primera nota. Si el número de la nota superior es más bajo que el de la nota inferior, le sumamos 12.

Figura 1-3. Cálculo de intervalos entre notas ordenados

1.3.3 Clases Interválicas. Intervalos entre grados cromáticos ordenados y no ordenados.

El axioma de la equivalencia de octava también se aplica a la inversión interválica. En la música tonal, por ejemplo, la tercera menor y la sexta mayor son considerados intervalos complementarios entre sí; lo mismo sucede con los restantes intervalos (e.g., cuarta justa y quinta justa, etc...) De modo análogo, los intervalos cuya suma arroja 12 son intervalos inversos o complementarios entre sí: 3 y 9 (tercera menor y sexta mayor); 5 y 7 (cuarta justa y quinta justa), etc... Esto permite plantear una equivalencia entre éstos intervalos inversos y considerarlos como pertenecientes a la misma clase interválica. La tabla siguiente muestra las 7 clases interválicas resultantes:

Intervalo entre pcs: 0 / 12 1 / 11 2 / 10 3 / 9 4 / 8 5 / 7 6 clase interválica: 0 1 2 3 4 5 6

Los ejemplos de intervalos entre notas concretas de las figuras vistas anteriormente

nos conducen a dos nuevas posibilidades en el cálculo interválico y que involucran la noción de intervalos entre grados cromáticos. Para abordar este concepto, debemos antes recordar que- nuevamente, debido a la equivalencia de octava-, los 12 grados cromáticos constituyen un sistema cerrado con módulo 12. Eso significa que todo intervalo superior a 12 repite el ciclo a una o más octavas de distancia. De este modo, es posible reducir todo intervalo compuesto (es decir, mayor que la octava) restando 12 o (múltiplos de 12) hasta que el resultado se encuentre entre 0 y 11. Por ejemplo, un intervalo de 13 semitonos (C4 –Db5) (figura 1-4) es reducible a 13 -12 = 1:

Figura 1-4. Intervalos entre grados cromáticos (mod 12)

Una manera clara de representar esta propiedad consiste en un visualizar los 12 grados cromáticos en la cara de un reloj. Podemos pensar en medir intervalos de manera análoga a la manera en que medimos el tiempo en un reloj, donde 12=0.

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Figura 1-5. Los grados cromáticos representados en la cara de un reloj

Por ejemplo ¿cuál es el intervalo entre pc 4 (E) y pc 11 (B)? Tal como sucedía con los intervalos vistos anteriormente, a veces es conveniente utilizar intervalos entre grados cromáticos ordenados y a veces no ordenados. Si ascendemos (en el sentido de la agujas del reloj) el resultado es 7 semitonos (una quinta justa); si descendemos (en el sentido inverso a las agujas del reloj), es 5 semitonos (una cuarta justa) (figura 1-6.):

Figura 1-6. Distancia entre pcs 4 y 11 en ambos sentidos

Se considera siempre la distancia entre grados cromáticos como un número positivo.

En el caso de intervalos entre grados cromaticos ordenados, el número negativo del intervalo descendente debe convertirse en un número positivo –lo que arroja el intervalo complementario- simplemente sumando12. (figura 1.7):

Figura 1-7.

Veamos otros ejemplos (figura 1.8):

Figura 1-8.

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Para simplificar, podemos decir que para calcular el intervalo ordenado entre dos grados cromáticos, medimos la distancia entre ambos siempre ascendentemente o –si pensamos en la cara de un reloj- siempre en el sentido de las agujas del reloj.

En el caso de intervalos entre grados cromáticos no ordenados, en cambio, simplemente contamos la distancia más corta entre ambos, ya sea ascendiendo o descendiendo.

De este modo, tenemos 4 formas posibles de referirnos a los intervalos. Cada una de ellas tiene cierta aplicación en el análisis musical y proporcionan una gran flexibilidad para describir diferentes tipos de relaciones musicales. El siguiente ejemplo ilustra estas 4 posibilidades:

Figura 1-9.

2. Los pitch-class sets y la forma normal. Cuando analizamos música, normalmente distinguimos unidades o elementos en

ella, basándonos en ciertos criterios de agrupamiento de las notas. Dos ejemplos familiares lo constituyen los acordes –agrupamientos cuyas notas constitutivas suenan usualmente conjuntamente-, o los motivos –agrupamientos rítmico/melódicos que aparecen recurrentemente a lo largo de una pieza de música. La unidad principal de análisis para la Set Theory es el pitch-class set. (El término inglés "set" -un sinónimo de "grupo" o "colección" proviene de una rama de la matemática llamada “teoría de conjuntos”).

2.1 Segmentación.

El proceso de decidir qué notas en una pieza constituyen un set en el análisis se denomina segmentación, y constituye la primera decisión que debemos realizar cuando abordamos el análisis de una pieza de música. Los analistas suelen basar sus decisiones acerca de la segmentación de la pieza estudiada siguiendo ciertos criterios de “sentido común”: el estudio contextual y la lectura atenta de la partitura proporcionan pistas acerca de los posibles agrupamientos que son significativos (motivos que recurren a lo largo de la pieza, secuencias de notas agrupadas bajo ligaduras, notas en el mismo registro o tocadas por el mismo instrumento, etc.) A veces, la complejidad textural y rítmica de la música atonal hace difícil la segmentación. En definitiva, la segmentación de la obra bajo análisis es un proceso en el que la habilidad, la experiencia y el propósito del analista influyen en las decisiones. Por ahora, evitaremos los problemas de segmentación y nos centraremos en las cuestiones básicas del método.

2.2 Pitch-class sets

Supongamos que analizando una pieza de música se nos presentan los fragmentos del Figura 2.1. Estos fragmentos no presentan ninguna nota en común y tampoco parecen analizables en términos tonales. ¿No obstante, podrían relacionarse en términos de la estructura de alturas?

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Figura 2-1.

Si aplicamos los axiomas de equivalencia de octava y equivalencia enarmónica, podemos comprobar que ambos fragmentos están relacionados por una obvia propiedad común: contienen las mismas clases de alturas: 3, 5, 6 y 9. Diremos entonces que ambos fragmentos presentan el mismo conjunto de clases de altura (o, como hemos visto, pitch-class set, abreviado “pc set”). Podemos entonces, utilizar una denominación común a ambos, por ejemplo una denominación que indique el contenido de clases de altura usadas: [3,5,6,9]

2.3 Nombrando los sets: la forma normal.

Una de las abstracciones de los pc sets es que constituyen conjuntos no-ordenados, es decir, los grados cromáticos pueden disponerse en cualquier orden dentro de los segmentos musicales que estemos analizando. Por ejemplo, los segmentos en los que los grados cromáticos 3, 5, 6 y 9 aparezcan en el orden 6, 9, 3, 5; o 9, 3, 5, 6; o 5, 9, 6, 3, 6, 5, 5; o simultáneamente serán considerados como pertenecientes al mismo pc set. Puesto que es usual nombrar un pc set citando su contenido de grados cromáticos, será útil disponer de un orden standard para enumerar los grados cromáticos; de este modo todos los ejemplos del conjunto tendrán el mismo nombre.

Este orden standard se llama forma normal. Por convención, la forma normal de un pc set es aquella que enumera los grados cromáticos de forma ascendente y en la forma interválicamente más compacta. Esto son los pasos para encontrar la forma normal de un set cualquiera

Al examinar el segmento, enumerar el contenido de los grados cromáticos, eliminando todas las repeticiones de grados cromáticos.

1. Disponer los enteros que representan grados cromáticos en orden ascendente (en el sentido de las agujas del reloj). Recuérdese que los grados cromáticos involucran la equivalencia de octava y que forman un sistema modulo 12, de modo que no sólo es posible ascender de 3 a 5, de 5 a 6 y de 6 a 9; también es posible ascender de 9 a 3 (9 + 6 =15 ⇒ [15-12] =3). Siempre hay tantas maneras de disponer en orden ascendente en un pc set como grados cromáticos contiene. Para los pcs 3, 5, 6 y 9 las disposiciones ascendentes posibles son:

3 5 6 9

5 6 9 3

6 9 3 5

9 3 5 6

2. Elegir el ordenamiento más compacto, es decir aquél que contenga el intervalo más pequeño entre el primer grado cromático y el último:

3 5 6 9 9 - 3 = 6 semitonos 5 6 9 3 3 - 5 ([3+12]-5) = 10 semitonos 6 9 3 5 5 - 6 = ([5+12]-6) =11 semitonos 9 3 5 6 6 - 9 ([6+12]-9)= 9 semitonos

3. Aquí el ordenamiento o disposición ascendente más compacta es 3 5 6 9. Esta es la forma normal del conjunto y el nombre convencional por el que el conjunto será conocido será [3,5,6,9]. (El uso de los corchetes, las comas y la ausencia de espacios entre los dígitos también son convenciones en la Set Theory.)

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4. Los pasos expuestos más arriba para hallar la forma normal son suficientes para la mayoría de los casos. Sin embargo, para algunos sets, existen dos o más disposiciones igualmente compactas entre el primer y el último grado cromático. La regla en estos casos es seleccionar el set que está más compactado hacia la izquierda. En el ejemplo siguiente (el pcs [1,4,7,10,14]), existen tres sets en la primera operación. Debemos entonces comparar los intervalos entre el primer pc y el anteúltimo. Si, como en este caso, aun persiste la indefinición, comparamos los intervalos entre el primero y el ante-penúltimo. Continuemos con el procedimiento hasta que un sólo set “gane”, en este caso el set [7,8,10,1,4].

1ro. al último

1ro. al anteúltimo

1ro. al ante-penúltimo

1 4 7 8 10 9 semitonos 7 semitonos 4 7 8 10 1 9 semitonos 6 semitonos 4 semitonos 7 8 10 1 4 9 semitonos 6 semitonos 3 semitonos 8 10 1 4 7 11 semitonos 10 1 4 7 8 10 semitonos

5. Con ciertos sets muy simétricos, los pasos anteriores no arrojan un único set “ganador”. En este caso elegimos el set que comienza con el entero más bajo. Por Figura:

0 4 8, 4 8 0, y 8 0 4. elegimos [0,4,8] como el nombre del set.

2.3.1 Un método abreviado para hallar la forma normal.

Una forma un poco más rápida de hallar la forma normal de un set, sin tener que escribir primero todas las disposiciones para hallar la disposición más compacta, es la siguiente:

Primer paso: disponer los pcs en orden ascendente. (Tomemos dos ejemplos: un set a) formado por los pcs10,1,4,0 y otro b) formado por 5,8,9,2,0).

a) 0,1,4,10 b) 0,2,5,8,9

Segundo paso: buscamos el intervalo más grande entre pcs sucesivos -sin olvidar el intervalo entre el último y el primero. Rotar el set comenzando por el pc superior de ese intervalo y esa disposición es la forma normal : Para el set a), el resultado es: La forma normal comenzará entonces con 10, por ser el pc superior del intervalo más grande:[10,0,1,4]. El set b) presenta un caso más difícil.El resultado es: Vemos que hay el intervalo más grande es 3 y que ese resultado se repite tres veces. Rotamos los pc, comenzando con cada uno de los pc superiores del intervalo más grande:

0-2-5-8-9 5-8-9-0-2 8-9-0-2-5

Contamos ahora el intervalo entre el primero y el anteúltimo pc:

10

0-2-5-8-9 = 8 5-8-9-0-2 = 7 8-9-0-2-5 = 6

El set que arroje el resultado menor es la forma normal; en este caso [8,9,0,2,5]. (Si no se llega a un único set ganador, hacer la operación entre el primer pc y el ante-penúltimo; si tampoco así se llega a un único ganador, elegir el set que comienza con el entero más bajo).

3. Clases de pitch-class sets y forma prima. En el Figura 2-1, cuando nuestra segmentación descubrió ciertos sets a) y b),

constatamos que estaban relacionados de una forma muy básica: el contenido de grados cromáticos o pitch classes era el mismo y representaban el mismo pc set [3,5,6,9]. Supongamos ahora que encontramos dos nuevos sets c) y d), y que los sometemos a análisis:

Figura 3-1.

3.1 Axioma 3: Equivalencia transposicional de los sets.

El segmento c) es obviamente diferente de a) y b) ya que sus pc’s son 8, 10, 2 y 11. Representa un pcs diferente, cuya forma normal sería [8,10,11,2]. Podemos preguntarnos: ¿hay alguna relación con los segmentos a y b? En la Set Theory la respuesta es afirmativa: se trata de una equivalencia transposicional. Para comprobarlo, tomamos este set y lo transportamos 7 semitonos (T7), el contenido de pc’s entonces resulta:

8 + 7 = 3 10 + 7 = 5 11 + 7 = 6 2 + 7 = 9:

nuevamente obtenemos el set [3,5,6,9]. Los teóricos dicen que el set [8,10,11,2] se proyecta en el set [3,5,6,9] por medio de

la operación T7. Gracias al axioma que estamos considerando, el hecho de que los sets [3,5,6,9] y [8,10,11,2] sean transposicionalmente equivalentes, hace que ambos sean miembros del mismo tipo de set o clase de pitch-class set.

Una rápida reflexión nos permite ver que existen diez pc sets más, semejantes a los dos que hemos visto. Los doce pc sets totales son los siguientes, listados en orden ascendente:

[0,2,3,6] [1,3,4,7] [2,4,5,8] [3,5,6,9] [4,6,7,10] [5,7,8,11] [6,8,9,0] [7,9,10,1] [8,10,11,2] [9,11,0,3] [10,0,1,4] [11,1,2,5]

Estos pc sets podrían proyectarse entre sí por medio de varias operaciones de transposición, por ello, todos serán considerados miembros de la misma clase de pitch class set. Necesitamos una nomenclatura para esta clase general de pc set, de modo de expresar el “parentesco” entre los sets que pertenecen a una misma clase. Adoptando una convención común, llamaremos a esta clase de pitch class set "(0236)".

Hasta aquí, encontramos que, en el análisis de la figura 3-1, los segmentos a), b) y c) presentan dos pc sets diferentes, [3,5,6,9] y [8,10,11,2], pero ambos –gracias a la relación de transposición mencionada antes- pertenecen a la misma clase de set (0236).

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3.2 Axioma 4: Equivalencia inversional de los sets.

Finalmente, ¿qué sucede con el segmento d) de la figura 3.1? El análisis de su contenido de alturas arroja [4,7,8,10], un pc set que no puede ser proyectado por transposición en los sets [3,5,6,9] o [8,10,11,2] (para comprobarlo, véase que no figura en la lista de los 12 pc sets transposicionalmente equivalentes mostrados más arriba). Podría ser proyectado, sin embargo, si invirtiéramos sus intervalos antes de hacer la operación de trasnposición (una operación llamada TnI).

Veamos que sucede si invertimos este set. La convención usual es utilizar 0 como eje de inversión. Para invertir un intervalo, simplemente sustraemos cada uno de sus pc de 12. La operación de inversión arroja entonces que, pc 1 siempre se invierte en 11 (y viceversa), pc 10 a 2, pc 3 a 9, pc 4 a 8, pc 5 a 7 y pcs 6 y 0 arrojan el mismo resultado (recuérdese las clases interválicas):

0 ⇔ 0

1 ⇔ 11

2 ⇔ 10

3 ⇔ 9

4 ⇔ 8

5 ⇔ 7

6 ⇔ 6

De esta forma, el set [4,7,8,10] se invierte del modo siguiente:

pc: 4 7 8 10

se invierte a pc ↓ ↓ ↓ ↓

8 5 4 2 Esta es una representación gráfica de la operación de inversión realizada, donde se aprecia la simetría alrededor del eje 0:

Si lo disponemos en su forma normal, obtenemos [2,4,5,8]. Ahora que hemos

obtenido este nuevo set, vemos que sí figura en la lista de los pc sets transposicionalmente equivalentes mostrada arriba y podemos fácilmente proyectarlo en los sets a), b) y c). Podemos concluir entonces que –de acuerdo a nuestro axioma final-, el set [4,7,8,10] es inversionalmente equivalente a los sets [3,5,6,9] y [8,10,11,2]. Por ello, podemos clasificarlo también como miembro de la clase de set (0236).

Por supuesto, existen 11 sets más que son transposicionalmente equivalentes a [4,7,8,10]:

[0,3,4,6] [1,4,5,7] [2,5,6,8] [3,6,5,9] [4,7,8,10] [5,8,9,11] [6,9,10,0] [7,10,11,1] [8,11,0,2] [9,0,1,3] [10,1,2,4] [11,2,3,5]

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Estos 12 sets son inversionalmente equivalentes a los 12 de nuestra primera lista. De este modo, podemos decir que contamos con 24 sets que, gracias a los axiomas de equivalencia transposicional e inversional, son miembros de la clase (0236).

3.3 Nombrando las clases de sets: la forma prima.

Al igual que sucedía con la denominación de los sets (el uso de la forma normal para ordenar el contenido de pcs dentro de un set), necesitamos una nomenclatura general para nombrar clases de sets, de modo de que todos los sets de una misma clase que hemos encontrado, [3,5,6,9], [8,10,11,2] y [4,7,8,10] sean referidos con la misma identificación. Puesto que los sets fueron clasificados por medio de los axiomas de equivalencia transposicional e inversional, el nombre general que designa una clase de set es aquél que reduce la forma normal de todos los sets posibles de una misma clase a una única denominación: la forma prima. Obtenemos la forma prima de un set disponiéndolo en la forma normal, más compacta hacia la izquierda y comenzando en el pc 0. Por ejemplo:

Set (forma normal)

Operación Forma prima

[3,5,6,9] transportar (T9) para comenzar en 0: [0,2,3,6] (0236) [8,10,11,2] transportar (T4) para comenzar en 0: [0,2,3,6] (0236) [4,7,8,10] transportar (T8) para comenzar en 0: [0,3,4,6] -pero este set

es inversionlmente equivalente (T6I) a [0,2,3,6], que está más agrupado a la izquierda. (0236)

Nótese especialmente lo que hemos realizado para hallar la forma prima del último set [4,7,8,10]. En una misma clase de set normalmente tendremos dos diferentes sets que comienzan con 0, uno será inversionalmente equivalente al otro. Sin embargo, uno de los dos estará dispuesto de la forma más compacta hacia la izquierda, de modo que, por convención, será considerado la forma prima. En el ejemplo anterior, los dos candidatos eran los sets [0,3,4,6] y [0,2,3,6]. Éste último está más dispuesto hacia la izquierda y “gana” en el test de la forma prima. De este modo(0236) es la forma prima y el nombre de la clase. (Obsérvese la convención de los paréntesis y la falta de comas al escribir formas primas).

Recapitulemos los pasos para hallar la forma normal y luego la forma prima de un set cualquiera, por ejemplo el siguiente:

1) Ordenamos los pc de menor a mayor: 2-3-4-6-7-11.

2) Buscamos el mayor intervalo entre todos los pc sucesivos (¡no olvidar el intervalo entre el último pc y el primero!):

(El intervalo más grande ocurre entre los pc 7 y 11.)

3) Si, como en este caso, hay un solo intervalo mayor, ordenamos los pc comenzando desde el pc superior del intervalo más grande y obtenemos así la forma normal. En este caso [11,2,3,4,6,7].

(Recuérdese: si hay varios intervalos iguales, mayores a los demás, ordenamos los pc comenzando desde los pc superiores de cada uno de ellos.)

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4) Transportamos la forma normal para empezar en 0 (en este caso es más cómodo sumar 1 a todos los pc):

11 2 3 4 6 7

+1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 3 4 5 7 8

(Guardamos este resultado pues nos falta ver si la inversión de este set está más compacta hacia la izquierda)

5.a) Tomamos la forma normal anterior y la invertimos (restamos cada número de 12):

11 2 3 4 6 7

se invierte en ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 10 9 8 6 5

5.b) Calculamos la forma normal de este set (repetimos los pasos 1 a 3):

• Ordenamos de menor a mayor:1-5-6-8-9-10

• Buscamos el intervalo más grande entre pc sucesivos; reordenamos desde el pc superior: 5-6-8-9-10-1 (Esto nos da la forma normal de este set.)

5.c) Transportamos para comenzar en 0:

5 6 8 9 10 1

-5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 1 3 4 5 8

6) Comparamos este resultado con el obtenido en 4) y vemos que está dispuesto más compacto hacia la izquierda:(013458) contra (034578). Por lo tanto, la forma prima del set es (013458).

3.3.1 Un método más fácil para hallar la forma prima.

Los pasos que hemos visto para hallar la forma prima de un set pueden parecer un tanto engorrosos:

• Hallar la forma normal; • Transportar a 0. Guardar el resultado; • Invertir, calcular la forma normal del set inverso y transportar a 0 • Finalmente comparar los dos resultados para ver cúal esta dispuesto más

hacia la izquierda

Sin embargo, existe un método rápido. Todo ordenamiento de un set tendrá una particular sucesión interválica: un patrón de intervalos entre pc sucesivos. La forma prima posee una sucesión interválica que es más compacta tanto globalmente como hacia la izquierda. Esta propiedad nos permite hallar una manera más sencilla para hallar la forma prima de un set:

Primer paso: hallar la forma normal. Si usamos el set anterior: [11,2,3,4,6,7].

Segundo paso: entre pc adyacentes escribir los intervalos:

11 2 3 4 6 7

Intervalos entre pcs sucesivos: 3 1 1 2 1

Tercer paso: leer la serie de intervalos de izquierda a derecha y de derecha a izquierda

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3 1 1 2 1

¿Cúal de las dos lecturas presenta la sucesión interválica más compacta primero?

Cuarto paso: usando el orden interválico más compacto, construir un set comenzando en 0. (En nuestro caso, la sucesión hallada es la que va de derecha a izquierda).

Intervalos entre pcs sucesivos (más compactos primero): 1 2 1 1 3

0 1 3 4 5 8 El set así obtenido es la forma prima !!

4.Clases de sets y contenido de clases interválicas.

Lo que vincula a todos los pc sets dentro de una misma clase general es que todos son transposicionalmente y/o inversionalmente equivalentes entre sí. Estas dos propiedades axiomáticas definen el concepto “clase de set”. Sin embargo, hay una propiedad adicional que presentan todos los sets dentro de una misma clase: todos poseen el mismo contenido de clases interválicas. El contenido de clases interválicas de un set es el inventario completo de todas las clases interválicas que contiene un set (es decir, los intervalos entre todos los pares posibles de pcs). Tomemos nuevamente el set [3,5,6,9] y realicemos un inventario de las clases interválicas entre todos los pares posibles de pcs:

pares de pcs: 3 - 5 3 - 6 3 - 9 5 - 6 5 - 9 6 – 9contenido de clases interválicas:

2 3 6 1 4 3

Estas seis clases interválicas 2, 3, 6, 1, 4 y 3, son las únicas clases interválicas que

presentan los pcs 3, 5, 6 y 9. Estas mismas clases interválicas se encuentran en todos los pc sets dentro de la clase (0236). Esta propiedad no es tan abstracta o teórica como parece. El contenido de clases interválicas de un set nos aporta una indicación de la particular cualidad sonora que éste posee, sin importar cómo el set se dispone concretamente en la música. Si reflexionamos un momento, volviendo al campo de la música tonal, ¿qué es lo que hace que todas las tríadas mayores suenen con cierto “aire de famila” o sonoridad similar?La respuesta es: su contenido interválico, que presenta únicamente intervalos de 3ra.menor/6ta Mayor, 3ra. Mayor/6ta.menor y 4ta justa/5ta. justa (es decir, clases interválicas 3,4 y 5) y ninguna 2da.menor/7ma.Mayor, 2da.Mayor/7ma.menor o tritonos (es decir, clases interválicas 1, 2 y 6). Por eso, las tríadas disminuidas o aumentadas, que tienen un contenido interválico diferente, suenan marcadamente diferentes.

4.1 Vectores interválicos.

Todos los set incluidos en la misma clase tienen el mismo contenido interválico y por ello una cualidad sonora común. Los sets de clases diferentes tienen contenidos interválicos diferentes y diferentes cualidades sonoras. Para comparar fácilmente los contenidos interválicos de los sets, necesitamos una manera standard de nombrarlos. Para esto utilizamos el vector interválico. El vector interválico es una disposición de las clases interválicas 1 a 6, con una indicación de la cantidad de veces que aparece cada una de ellas en un set. Por ejemplo, hemos visto más arriba que en los sets de clase (0236) hay un intervalo de clase 1, un intervalo de clase 2, dos intervalos de clase 3, un intervalo de clase 4, un intervalo de clase 6 y ningún intervalo de clase 5. Si disponemos esta información en un vector interválico, obtenemos:

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clase interválica: 1 2 3 4 5 6 número de ocurrencia: 1 1 2 1 0 1

De este modo, decimos que en la clase de set (0236) –y por ello en los 24 sets que

pertenecen a esta clase-, tiene un vector interválico de 112101. Los números representan las ocurrencias de clases interválicas de 1 a 6. El vector interválico de la tríada mayor es 001110, puesto que presenta sólo ocurrencias de las clases interválicas 3, 4 y 5, y ninguna de las clases 1,2, y 6.

4.2 La relación Z. Ahora veamos una de los rasgos curiosos de los pc sets. Hemos dicho que lo que

distingue a una clase particular de set -y lo que le da su particular sonoridad-, es su único vector interválico. En algunos casos, existen sets que no pueden proyectarse en otros por transposición o inversión (por lo tanto poseen una distinta forma prima) y que, sin embargo poseen el mismo contenido interválico! Por ejemplo, los 24 sets de la clase (01258) y los 24 sets de la clase (01457), comparten un mismo vector interválico, 212221. A pesar del hecho de que estas clases no están relacionadas ni por transposición ni por inversión, ambas presentan, curiosamente, una cualidad sonora similar.

Según las convenciones de la Set Theory, estas clases de sets son consideradas distintas (es decir, no equivalentes) pero, no obstante, próximas entre sí. A falta de una denominación mejor, esta relación es denominada “relación-Z”; se dice entonces que las clases (01258) y (01457) están emparentadas por una “relación Z”. Sorprendentemente, lo que parece ser un nivel de relación bastante abstracto, frecuentemente presenta ramificaciones concretas en la practica compositiva de los músicos atonales.