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Generalización y comparación con Morse clásicaTMD vía Teoría de Grafos

Una introducción a la Teoría de Morse discreta II

José Antonio Vilches

Departamento de Geometría y TopologíaUniversidad de Sevilla

Departament de MatemàtiquesUniversitat Autònoma de Barcelona

25 de Abril de 2017



1 Generalización y comparación con Morse clásica

2 TMD vía Teoría de Grafos



Una generalización de la TMD

DefiniciónDado un campo vectorial discreto V sobre un complejosimplicial K (V no es necesariamente un campo gradiente), sedirá que un símplice es critico respecto a V si no pertenece aningún par de V .

Se llama conjunto de cadenas recurrentes de V al conjunto desímplices de K que o bien son críticos, o bien están contenidosen un V -camino cerrado.Dados dos símplices de K, se dirá que están en el mismoconjunto básico de V si existe un V -camino cerrado que loscontiene a ambos. Un símplice crítico es un conjunto básicounitario.




DefiniciónDado un campo vectorial discreto V sobre un complejosimplicial K (V no es necesariamente un campo gradiente), sedirá que un símplice es critico respecto a V si no pertenece aningún par de V .Se llama conjunto de cadenas recurrentes de V al conjunto desímplices de K que o bien son críticos, o bien están contenidosen un V -camino cerrado.

Dados dos símplices de K, se dirá que están en el mismoconjunto básico de V si existe un V -camino cerrado que loscontiene a ambos. Un símplice crítico es un conjunto básicounitario.




DefiniciónDado un campo vectorial discreto V sobre un complejosimplicial K (V no es necesariamente un campo gradiente), sedirá que un símplice es critico respecto a V si no pertenece aningún par de V .Se llama conjunto de cadenas recurrentes de V al conjunto desímplices de K que o bien son críticos, o bien están contenidosen un V -camino cerrado.Dados dos símplices de K, se dirá que están en el mismoconjunto básico de V si existe un V -camino cerrado que loscontiene a ambos. Un símplice crítico es un conjunto básicounitario.




DefiniciónSe definen los números de Morse de V como:

mi (V ) =∑

Λ∈BasicSets(V )

dimHi (Λ,Λ− Λ)

donde Λ denota al subcomplejo generado por Λ.

TeoremaSea K un complejo simplicial de dimensión n sobre el que estádefinido el campo V . Se verifica que:

mi (V ) ≥ bi para todo 0 ≤ i ≤ n.mk(V )−mk−1(V ) + · · · ±m0(V ) ≥ bk − bk−1 + · · · ± b0para todo 0 ≤ k ≤ n.X (K ) = mn(V )−mn−1(V ) + · · · ±m0(V ).





mi (V ) =∑

Λ∈BasicSets(V )

dimHi (Λ,Λ− Λ)



mi (V ) ≥ bi para todo 0 ≤ i ≤ n.

mk(V )−mk−1(V ) + · · · ±m0(V ) ≥ bk − bk−1 + · · · ± b0para todo 0 ≤ k ≤ n.X (K ) = mn(V )−mn−1(V ) + · · · ±m0(V ).





mi (V ) =∑

Λ∈BasicSets(V )

dimHi (Λ,Λ− Λ)



mi (V ) ≥ bi para todo 0 ≤ i ≤ n.mk(V )−mk−1(V ) + · · · ±m0(V ) ≥ bk − bk−1 + · · · ± b0para todo 0 ≤ k ≤ n.

X (K ) = mn(V )−mn−1(V ) + · · · ±m0(V ).





mi (V ) =∑

Λ∈BasicSets(V )

dimHi (Λ,Λ− Λ)



mi (V ) ≥ bi para todo 0 ≤ i ≤ n.mk(V )−mk−1(V ) + · · · ±m0(V ) ≥ bk − bk−1 + · · · ± b0para todo 0 ≤ k ≤ n.X (K ) = mn(V )−mn−1(V ) + · · · ±m0(V ).




DefiniciónSea K un complejo simplicial sobre el que está definido el campo V .Una función de Lyapunov discreta para V en K es cualquier funciónque asigna valores reales a los símplices de K de modo decrecienteen los V -caminos no cerrados y constante en los cerrados.

Teorema (R. Forman)

Sea K un complejo simplicial sobre el que está definido el campoV . Se verifica que existe una función de Lyapunov discreta para Ven K.



TMD vs Teoría de Morse clásica

Teorema (E. Gallais, B. Benedetti)

Sea M una variedad diferenciable cerrada que admite una funciónde Morse diferenciable con mi puntos críticos de índice i . Dada unatriangulación de M, existe n0 ∈ N tal que la n0-ésima subdivisiónbaricéntrica de dicha triangulación admite una función de Morsediscreta con mi símplices críticos de dimensión i .

TeoremaBajo las hipótesis del resultado anterior, si además la función deMorse diferenciable es Morse-Smale, entonces las curvas integralesentre dos puntos críticos están en biyección con los caminosgradientes discretos entre los correspondientes símplices críticos.



TMD vs Teoría de Morse clásica

CorolarioLa TMD es tan fina como la teoría de Morse clásica en ladescripción de la topología de una variedad.

Atención: de dimensión 3 en adelante es clave la triangulaciónelegida.



TMD vía Teoría de Grafos

DefinitionEl diagrama de Hasse de un complejo simplicial K es el grafocorrespondiente al face poset del complejo dado, denotado porH(K ).




DefiniciónSea K un complejo simplicial y sea x un vértice del diagrama deH(K ). Se dice que x es un vértice up beat si existe un único vérticey > x en H(K ).

ProposiciónDado un complejo K, sean σ ∈ K y xσ su correspondiente vérticeen el diagrama de Hasse de K. Se verifica que σ es una cara librede K si y solo si xσ es un up beat point de H(K ).




DefiniciónSea K un complejo simplicial y sea x un up beat point de H(K ).La eliminación de x en H(K ) consiste en borrar x y todas lasaristas de H(K ) incidentes en en él, así como el único vertice y > xincidente con x y todas las aristas incidentes en él.

ProposiciónDado un complejo K y σ una cara libre de K, se tiene que elcolapso elemental por σ es equivalente a la eliminación del vérticexσ en H(K ). En consecuencia, un colapso generalizado en Kequivale a la una eliminación sucesiva de up beat points en H(K ),H(K − xσ) . . .





ProposiciónDado un complejo K y σ una cara libre de K, se tiene que elcolapso elemental por σ es equivalente a la eliminación del vérticexσ en H(K ).

En consecuencia, un colapso generalizado en Kequivale a la una eliminación sucesiva de up beat points en H(K ),H(K − xσ) . . .





ProposiciónDado un complejo K y σ una cara libre de K, se tiene que elcolapso elemental por σ es equivalente a la eliminación del vérticexσ en H(K ). En consecuencia, un colapso generalizado en Kequivale a la una eliminación sucesiva de up beat points en H(K ),H(K − xσ) . . .




DefiniciónDado un grafo G, un emparejamiento en G es un conjunto dearistas disjuntas dos a dos en G.

Un emparejamiento se llama máximo si contiene el mayornúmero posible de aristas.Un emparejamiento M se llama casi-perfecto si ∃ un únicovértice que no es cara de una arista de M.Un emparejamiento M se llama perfecto si todo vértice de Ges cara de una arista de M.




DefiniciónDado un grafo G, un emparejamiento en G es un conjunto dearistas disjuntas dos a dos en G.Un emparejamiento se llama máximo si contiene el mayornúmero posible de aristas.

Un emparejamiento M se llama casi-perfecto si ∃ un únicovértice que no es cara de una arista de M.Un emparejamiento M se llama perfecto si todo vértice de Ges cara de una arista de M.




DefiniciónDado un grafo G, un emparejamiento en G es un conjunto dearistas disjuntas dos a dos en G.Un emparejamiento se llama máximo si contiene el mayornúmero posible de aristas.Un emparejamiento M se llama casi-perfecto si ∃ un únicovértice que no es cara de una arista de M.

Un emparejamiento M se llama perfecto si todo vértice de Ges cara de una arista de M.




DefiniciónDado un grafo G, un emparejamiento en G es un conjunto dearistas disjuntas dos a dos en G.Un emparejamiento se llama máximo si contiene el mayornúmero posible de aristas.Un emparejamiento M se llama casi-perfecto si ∃ un únicovértice que no es cara de una arista de M.Un emparejamiento M se llama perfecto si todo vértice de Ges cara de una arista de M.




DefiniciónSea M un emparejamiento en un grafo G.

Un camino alternado es un camino en G tal que sus aristasestán alternativamente dentro y fuera de M.Un camino de aumento es un camino alternado que empieza ytermina en vértices que no están en aristas de M.





Un camino alternado es un camino en G tal que sus aristasestán alternativamente dentro y fuera de M.

Un camino de aumento es un camino alternado que empieza ytermina en vértices que no están en aristas de M.





Un camino alternado es un camino en G tal que sus aristasestán alternativamente dentro y fuera de M.Un camino de aumento es un camino alternado que empieza ytermina en vértices que no están en aristas de M.




DefiniciónUn i-camino alternado de Morse es un i-camino alternado en eldiagrama de Hasse de un complejo cuyos vértices correspondenalternativamente a i-símplices o (i − 1)-símplices.

Un i-camino de aumento de Morse es un i-camino alternadode Morse que además es de aumento.Un emparejamiento de Morse es un emparejamiento en eldiagrama de Hasse de un complejo que no contiene caminosalternados de Morse cerrados.




DefiniciónUn i-camino alternado de Morse es un i-camino alternado en eldiagrama de Hasse de un complejo cuyos vértices correspondenalternativamente a i-símplices o (i − 1)-símplices.Un i-camino de aumento de Morse es un i-camino alternadode Morse que además es de aumento.

Un emparejamiento de Morse es un emparejamiento en eldiagrama de Hasse de un complejo que no contiene caminosalternados de Morse cerrados.




DefiniciónUn i-camino alternado de Morse es un i-camino alternado en eldiagrama de Hasse de un complejo cuyos vértices correspondenalternativamente a i-símplices o (i − 1)-símplices.Un i-camino de aumento de Morse es un i-camino alternadode Morse que además es de aumento.Un emparejamiento de Morse es un emparejamiento en eldiagrama de Hasse de un complejo que no contiene caminosalternados de Morse cerrados.




DefiniciónCon el objeto de incrementar el número de aristas de unemparejamiento M se define un proceso de transferenciaconsistente en:

Seleccionar un camino de aumento.Consideramos las aristas de dicho camino que no están en M.No consideramos las aristas de dicho camino que están en M.





Seleccionar un camino de aumento.

Consideramos las aristas de dicho camino que no están en M.No consideramos las aristas de dicho camino que están en M.





Seleccionar un camino de aumento.Consideramos las aristas de dicho camino que no están en M.

No consideramos las aristas de dicho camino que están en M.





Seleccionar un camino de aumento.Consideramos las aristas de dicho camino que no están en M.No consideramos las aristas de dicho camino que están en M.




Teorema (P. Hersh)

Toda función de Morse discreta f definida en un complejo simplicialK induce un emparejamiento de Morse en H(K ) y recíprocamente.

Los símplices críticos de f se corresponden con los vértices noemparejados en H(K ).




Teorema (P. Hersh)

Toda función de Morse discreta f definida en un complejo simplicialK induce un emparejamiento de Morse en H(K ) y recíprocamente.Los símplices críticos de f se corresponden con los vértices noemparejados en H(K ).




01

1

1

10 1 1

11

22

23

3 44

33




ProposiciónSea f una función de Morse discreta definida en un complejo Kcuyo campo gradiente inducido es V . Se tiene que todo V -caminoen K induce un camino alternado de Morse en H(K ) yrecíprocamente.

01

1

1

10 1 1

11

22

23

3 44

33




ProposiciónSea f una función de Morse discreta definida en un complejo Kcuyo campo gradiente inducido es V . Se tiene que todo V -caminoen K uniendo dos símplices críticos induce un camino de aumentode Morse en H(K ) y recíprocamente.

01

1

1

10 1 1

11

22

23

3 44

33




TeoremaBajo las hipótesis anteriores, toda función de Morse discreta óptimainduce un emparejamiento de Morse máximo en H(K ) yrecíprocamente.




01

1

1

12 3 3

21

44

15

5

6

22

6




TeoremaSea K un complejo simplicial finito con s simplices y sea f unafunción de Morse discreta definida en K. Se tiene que:

1 s −∑n

i=0 mi y s −∑n

i=0 bi son pares.

2 El número de aristas del emparejamiento de Morse inducidopor f en H(K ) es s−

∑ni=0 mi2 .

3 λ =s−

∑ni=0 bi (M)2 es una cota superior del número de aristas de

un emparejamiento de Morse máximo en H(K ).4 Dicha cota superior se alcanza si y solo si K admite una

función de Morse discreta perfecta.





1 s −∑n

i=0 mi y s −∑n

i=0 bi son pares.2 El número de aristas del emparejamiento de Morse inducido

por f en H(K ) es s−∑n

i=0 mi2 .

3 λ =s−








1 s −∑n

i=0 mi y s −∑n



i=0 mi2 .

3 λ =s−


un emparejamiento de Morse máximo en H(K ).

4 Dicha cota superior se alcanza si y solo si K admite unafunción de Morse discreta perfecta.





1 s −∑n

i=0 mi y s −∑n



i=0 mi2 .

3 λ =s−







DefiniciónUn proceso de cancelación reduce el número de pares de símplicescríticos de una función de Morse discreta.

Consiste en:

Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.Invertir las flechas del V -camino considerado.Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.




DefiniciónUn proceso de cancelación reduce el número de pares de símplicescríticos de una función de Morse discreta. Consiste en:






Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.

Invertir las flechas del V -camino considerado.Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.





Seleccionar un par de símplices críticos conectados por unúnico V -camino.Invertir las flechas del V -camino considerado.

Mantener el resto del campo gradiente tal como estabadefinido.




ProposiciónTodo proceso de cancelación en un complejo induce un proceso detransferencia en el correspondiente diagrama de Hasse yrecíprocamente.

TeoremaUn complejo es colapsable si y solo si su corrrespondiente diagramade Hasse admite emparejamientos de Morse casi-perfectos.




v02 1 1 22112

54 433 212 43 3

32 243 3

15 4 432 323

33234 4

33 212 23

34

45

14 2 3 35243

76 644 323 65 5

54 465 5

26 3 5 47364

27 6 653 434

55456 6

44 323 45

56

67




v02 1 1 22112

54 433 202 43 3

32 243 3

15 4 432 323

33234 4

33 212 23

34

45

-14 2 3 35243

76 644 3-13 65 5

54 465 5

-26 3 5 47364

27 6 653 434

55456 6

44 323 45

56

67




DICCIONARIO

Teoría de Morse discreta Teoría de grafos

Función de Morse discreta Emparejamiento de MorseFunción de Morse Emparejamiento de Morsediscreta óptima ∗ máximo ∗Camino decreciente Camino alternado de MorseCamino decreciente Camino de aumento de Morse

entre 2 elementos críticosCancelación ∗ Transferencia ∗

Complejo colapsable ∗ ∃ emparejamiento casi perfecto ∗@ símplices críticos ∃ emparejamiento perfecto

∗ = no se verifica en complejos infinitos.


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