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Una integral para Pi y algunos fractales

Edgar Valdebenito

11-02-2019 17:31:58

Resumen

Esta nota muestra una integral para la constante y algunos fractales.

La constante se define por:

0

14 3.141592...

2 1

n

n n

(1)

Una representación integral para es:

1/ 3 4 2 4

2 2 4 2 2 40

1 2 3288 6

1 1 2 3 1 1 2 3

x x xdx

x x x x x x

(2)

Sea ,f z z definida por:

4 2 4

2 2 4 2 2 4

1 2 3

1 1 2 3 1 1 2 3

z z zf z

z z z z z z

(3)

El fractal (Newton) para , 2 2 ,2 2f z z i i es:

Fig. 1

2

Fig. 2

3

Con un cambio de variable conveniente la integral (2) se transforma en:

1 5 2 /2 2

2 20

3 2, 0

16 2 3 9 6 3 3 9 6 3

n n n

n n n n n n

x x xdx n

n x x x x x x

(4)

Sea , , , 0R n z z n definida por:

5 2 /2 2

2 2

3 2,

3 9 6 3 3 9 6 3

n n n

n n n n n n

z z zR n z

z z z z z z

(5)

El fractal (Newton) para 4 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:

Fig. 3

4

Fig. 4

5

El fractal (Newton) para 6 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:

Fig. 5

6

Fig. 6

7

El fractal (Newton) para 8 / 5, , 8 8 ,8 8R z z i i es:

Fig. 7

8

Fig. 8

9

Fig. 9

10

El fractal (Newton) para 1, , 8 8 ,8 8R z z i i es:

Fig. 10

11

Fig. 11

12

Fig. 12

13

Referencias 1. Boros, G., and Moll, V.H.: Irresistible Integrals, Cambridge, Cambridge University Press,

2004 .

2. Bunde, A., and Havlin, S.: Fractals in Science. New York: Springer-Verlag, 1994.

3. Falconer, K,J.: Fractal Geometry, Wiley 1990.

4. Pickover, C.A.: Fractal Horizons: The Future Use of Fractals. New York: St. Martin’s Press,

1996.

5. Russ, J.C.: Fractal Surfaces. New York: Plenum, 1994.

6. Schroeder, M: Fractals, Chaos, Power Law. Minutes from an Infinite Paradise. New York :

W. H. Freeman, 1991.

7. Takayasu, H.: Fractals in the Physical Sciences. Manchester, England: Manchester

University Press , 1990.