una compleja simplicidad: la variable aleatoria en el nivel universitario
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Blanca R. Ruiz HernándezTesis de doctorado
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1• Idea fundamental, propuesta por Heitele, retomando el marco
de Bruner.
2• Hay poca investigación dirigida al análisis de la enseñanza y
aprendizaje de la variable aleatoria.
3• Es un concepto sólo en apariencia simple ¿una variable
vinculada a la aleatoriedad?
4• Es históricamente importante porque permitió el desarrollo de
la probabilidad como ciencia, tal como lo conocemos ahora.
Objetivo General
4
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Teoría de Situaciones didácticas e Ingeniería didáctica
EVALUACIÓN PROYECTO ABIERTO
DISCIPLINAR HISTORICO
ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO
ANÁLISIS COGNITIVO
ENTREVISTA CLÍNICA
Análisis didáctico
¿Qué es la variable aleatoria?
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Análisis preliminar
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Se presentan cuatro estudios sobre la variable aleatoria
1• Estudio epistemológico desde la disciplina, relacionándola con
la asignación de probabilidad y la actividad de modelación.
2• Análisis del desarrollo histórico para identificar algunas
dificultades que pueden reproducirse en los estudiantes.
3• Exploración de las concepciones y comprensión de una pareja
de estudiantes cuando resuelven un problema
4• Análisis de soluciones escritas de 111 estudiantes a un proyecto
estadístico donde trabajan con variables estadísticas y aleatorias.
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• Llevar a cabo un análisis de la variable aleatoria desde el punto de vista epistemológico, que aborde tanto los aspectos disciplinares como los históricos. (Estudios 1 y 2)
• Llevar a cabo una exploración cognitiva de la comprensión intuitiva de algunos estudiantes universitarios al trabajar con situaciones que involucran a la variable aleatoria y otros objetos matemáticos relacionados con ella, y que implican resolución de problemas y proyectos con una orientación hacia la modelación. (Estudios 3 y 4)
Objetivos de investigación
Capítulo 1
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Estudio 2 HISTÓRICO
Estudio 1DISCIPLINAR
Estudio 3ENTREVISTA
CLÍNICA
Estudio 4ANÁLISIS DE
UN PROYECTODiseño y análisis a prioriAnálisis de los objetos
ImplementaciónConclusiones
Análisis a prioriAnálisis de los objetos
ImplementaciónConclusiones
E s t r u c t u r a d e l o s E s t u d i o s
EXPLORACIÓN EPISTEMOLÓGICA EXPLORACIÓNCOGNITIVAPrimeros indicios y censosInferencia estadística
TCL y distribuciones
ConclusionesFormalización matemática
V.A. y conceptos relacionadosV. A. asignación probabilidadesConclusionesModelación y V.A.
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Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
¿Cuál es la probabilidad de…
P( ) = 14
P( ) = 14
P( ) = 14
P( ) = 14
12
Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
¿Cuál es la probabilidad de…
caigan un sol?
P( , ) = 24
13
Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
XNúmero de soles
X = 1
X = 0
X = 2
14
Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
YNúmero de rachas
Y = 2
Y = 1
15
Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
XNúmero de soles
P(X = 1) = 24
P(X = 0) = 14
P(X = 2) = 14
VARIABLE ALEATORIA
ξ
Valor numérico xEvento A
ξ : Ω → R
ω → ξ (ω) ∈ REs una variable aleatoria, si para todo número real x la imagen inversa del intervalo acotado superiormente por x es un conjunto del álgebra:
A = {ω / ξ (ω) ≤ x} ∈ A
Esto asegura que podamos hallar la probabilidad P( ξ (ω) ≤ x)
Sean:(Ω, Α, P) : Un espacio de probabilidad
R : El cuerpo de los números realesLa aplicación:
VALORES DE LA VARIABLE
ALEATORIA ξ
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
ESPACIO MUESTRAL
Aplicación de la variable aleatoria
Formulación de la distribución de probabilidad
ξ Definición matemática
Contexto del problema{17
Espacio de probabilidad(Ω, A, P)
Situ
ació
n pr
oble
ma
Asignación laplaciana Asignación frecuencial Asignación subjetiva
Función de distribución; distribución de probabilidad; función de densidad
Momentos, Promedios, Medidas de dispersión La variable aleatoria como función Variable aleatoria y variable estadística
Modelación y razonamiento estadístico La modelación en probabilidad Modelación por estratos: Relación entre variables
estadística y aleatoria La variable aleatoria y modelos de distribuciones
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Modelación y variable aleatoria
La variable aleatoria
Variable aleatoria y asignación de probabilidades
¿Qué
es
la v
aria
ble
alea
tori
a?
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Situ
ació
n pr
oble
ma
Probabilidad Laplaciana
Frecuencial
Subjetiva
Análisis a priori, combinatoria, equiprobabilidad, casos favorables /posibles
Población- muestra, estimación, V. estadística, experimento estadístico, distribución de datos (empírica), histogramas, polígonos frecuencia
Vincula estadística-probabilidad
Verosimilitud
Parámetros son v. aleatoria, distribuciones a priori y posteriori, teorema de Bayes 19
Espacio de probabilidad(Ω, A, P)
Estudio 1
Asignación de probabilidad
Experimento aleatorio
Probabilidad
variable aleatoriaValores de la
variable aleatoria
Variable aleatoria
Característica de interés
Situación problema
Descontextualización
Descontextualización
compuestoEvento
compuesto
muestralEspacio
muestral
Distribución de probabilidad
Modelación y asignación clásica de probabilidad
20Estudio 3
Cont
extu
aliz
ació
n
Observación de la realidad:el experimento aleatorio
Descripción simplificada de la realidad: las variables
Construcción de un modelo: distribución de frecuencias
Trabajo matemático con el modelo: gráficos, tablas y
medidas
Interpretación en la realidad: gráficos, comparación de
distribuciones, conclusiones
21Estudio 4
Prim
er e
stra
toSe
gund
o es
trat
oPasos de modelación de
Dantal
2. Recuento y análisis de datos. Variable estadística (Münster, Graunt, Arbuthnott, Neumann, Galileo, Halley, D. Bernoulli)
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3. Teorema central del límite y modelos generales de
distribuciones (Jacob Bernoulli, de Moivre, Gauss, Legendre, Laplace,
Poisson, Chebyshef. Liapounoff)
1200
1600
1500
1700
1800
1900
2000
1. Primeros indicios. Juegos de azar (Fournival, Pascal, Fermat,
Cardano)
5. Formalización matemática de la variable aleatoria (Kolmogorov,
Fréchet, Lévy, Petrov y Parzen)
4. Inferencia estadística (Quetelet, Galton, K. Pearson, Gosset, Fisher, Neyman y E. Pearson)
6. La variable estadística en la actualidad
7. Formalización de la variable aleatoria (Kolmogorov, Fréchet, Lévy, Petrov y Parzen)
4. Surgen análisis teóricos para relacionar la variable aleatoria y la estadística (J. Bernoulli, de Moivre, Gauss, Legendre, Laplace, Poisson)
2. Se asocia probabilidad a valores numéricos posibles en jugos de azar (Cardano Fournival, Pascal, Fermat,)
5. Primeros indicios explícitos de la necesidad de una variable matemática que tuviera sentido en el contexto (Poisson, Tchebychev, Markov, Liaponunoff)
An
áli
sis
pro
ba
bil
íst
ico
sA
ná
lis
is p
rob
ab
ilís
tic
os
An
áli
sis
de
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to
sA
ná
lis
is d
e d
at
os
1. Primeros análisis de la variable estadística en juegos de azar (Duque de Toscana)
8. Vinculación formal entre las variables estadística y aleatoria (K. Pearson, Fisher, Neyman)
3. Modelación de datos empíricos con uso de herramienta probabilística (Graunt, Arbuthnott, Halley, Galileo)
6. Inferencia informal y uso de la variable estadística (Quelet, Galton)
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Tiempo requerido para pasar de la esperanza matemática y estudio de valores aislados al estudio de la distribución completa
Durante mucho tiempo el estudio de la v. estadística fue simplemente descriptivo
La variable estadística y aleatoria mantuvieron largos periodos sin relacionarse
El excesivo énfasis por la formalización a comienzos de siglo separó el estudio de la v. aleatoria del de sus aplicaciones
Dificultad en el manejo de la función de distribución como función compuesta
Dificultar en operar y componer variables aleatorias Dificultad en comprender la aproximación de variables
discretas por variables continuas
Las situaciones empleadas contemplan la variable aleatoria desde el significado clásico (Estudio 3) y frecuencial (Estudio 4). Sería de interés realizar un estudio complementario del trabajo con la variable aleatoria desde el significado subjetivo
Desarrollar una propuesta curricular que considere la enseñanza de la variable aleatoria como idea fundamental, como lo propone Heitele
Factibilidad de tomar en cuenta las interacciones históricas entre la teoría y los datos que se mostró en el análisis histórico para diseñar un curso de probabilidad y estadística que permita mayor comprensión de esta relación.
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