UNA ALTERNATIVA METODOLGICA PARA LA ENSEANZA DEL TEOREMA DE PITGORAS

EDWARD ANTONIO BENAVIDES ROSERO

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA

REA DE EDUCACIN MATEMTICA SANTIAGO DE CALI

2005

rea de Educacin Matemtica

UNA ALTERNATIVA METODOLGICA PARA LA ENSEANZA DEL TEOREMA DE PITGORAS

EDWARD ANTONIO BENAVIDES ROSERO

Trabajo de grado para optar al ttulo de

Licenciado en Educacin Matemtica y Fsica.

Director

DIEGO GARZN CASTRO

Magster en Educacin

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA

REA DE EDUCACIN MATEMTICA SANTIAGO DE CALI

2005

rea de Educacin Matemtica

Nota de aceptacin

Jurado

Diego Lus Hoyos

Jurado

Mara Eugenia Martnez

Santiago de Cali, Agosto de 2005

A mi Dios,

a mis padres,

a mi hermana,

a mi familia

y amigos.

AGRADECIMIENTOS

Mi ms sincero agradecimiento al profesor Diego Garzn Castro, Magster en Educacin y director de este trabajo de grado, por sus valiosas orientaciones. Agradezco a los estudiantes que participaron en el desarrollo de la prueba piloto de las situaciones problema y al profesor de matemticas Sergio Ivn Valencia por su colaboracin en la recoleccin de observaciones durante la prueba piloto, y por las sugerencias en el anlisis de los resultados. Igualmente quiero agradecer al profesor Octavio Pabn por las referencias bibliogrficas sugeridas, a mis compaeros Bayron Rodrguez, Mara del Carmen Obregn y Francy Lined Obando por su constante respaldo y aliento. Gracias al seor Juan Manuel Crdoba, jefe y amigo de mi padre, por su incondicional respaldo durante mi carrera universitaria. En general, agradezco a todos quienes de una u otra manera hicieron un aporte en la elaboracin de ste trabajo.

CONTENIDO

Pg. INTRODUCCIN 11 1. EL PROBLEMA: ENSEANZA DEL TEOREMA DE PITGORAS 12 1.1 SENTIDO Y ALCANCES DE LA GEOMETRA EN LA ENSEANZA 12 1.2 ENSEANZA TRADICIONAL DEL TEOREMA DE PITGORAS 14 2. DIMENSIN HISTRICA EPISTEMOLGICA 22 2.1 HISTORIA 23 2.2 CONSIDERACIONES SOBRE LA DEMOSTRACIN 27 3. DIMENSIN MATEMTICA 30 3.1 DEMOSTRACIN FORMAL DEL TEOREMA DE PITGORAS 31 3.2 DEMOSTRACIN DEL RECPROCO DEL TEOREMA DE PITGORAS 33 3.3 PRUEBAS DEL TEOREMA DE PITGORAS 34 3.3.1 Pruebas Algebraicas 34 3.3.2 Prueba de Perigal 35 3.3.3 Prueba en Origami 36 3.4 GENERALIZACIN DEL TEOREMA DE PITGORAS 38 3.4.1 Relacin Pitagrica con Tringulos Equilteros 38 3.4.2 Relacin Pitagrica con Semicrculos 39 3.4.3 Relacin Pitagrica con Rectngulos Semejantes 41 3.4.4 Teoremas Previos a la Generalizacin del Teorema de Pitgoras 42 3.4.5 Generalizacin del Teorema de Pitgoras 45 3.5 APLICACIONES DE LA RELACIN PITAGRICA 47 3.5.1 La Mtrica Euclidiana 47 3.5.2 Pitgoras en el Espacio 48 3.5.3 Pitgoras y la Trigonometra 49 3.5.4 La Ley del Coseno 50 4. DIMENSIN DIDCTICA 53 4.1 PRUEBA Y DEMOSTRACIN 53 4.1.1 Sentidos y Alcances de la Prueba en el mbito Escolar 53 4.1.2 Prueba Matemtica 55 4.1.3 El Razonamiento en Geometra 56 4.1.4 La Visualizacin 58 4.1.5 Tipos de Prueba 60 4.1.6 Situaciones Problema de Prueba 64 4.2 LA PRUEBA EN UN SOFTWARE O SISTEMA DE GEOMETRA DINMICA 66 4.2.1 Software o Sistema de Geometra Dinmica (S.G.D) 66 4.2.2 Potencial de un S.G.D. en un Proceso de Prueba 68 5. DIMENSIN CURRICULAR 72 5.1 MODELO CURRICULAR 72 5.1.1 El Razonamiento Matemtico 75

5.1.2 Pensamiento Espacial y Sistemas Geomtricos 76 5.1.3 El Teorema de Pitgoras 77 5.2 CONSIDERACIONES SEGN LOS ESTNDARES BSICOS DE MATEMTICAS 80 5.2.1 Coherencia Vertical 81 5.2.2 Coherencia Horizontal 82 5.3 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y NUEVAS TECNOLOGAS 85 5.3.1 El Contexto y la Tecnologa 85 6. METODOLOGA 87 6.1 EL DISEO DIDCTICO 87 7. ACTIVIDADES 93 7.1 Presentacin 93 7.1.1 Pgina Web PRINCIPAL 94 7.1.2 Pgina Web INTRODUCCIN 95 7.1.3 Pgina Web ACTIVIDADES 95 7.1.4 Hojas de Respuestas 96 7.2 ACTIVIDAD 1: EXPLORANDO EL TEOREMA DE PITGORAS 97 7.2.1 Anlisis Previo 97 7.2.2 Intervencin en el Aula 99 7.2.3 Anlisis Posterior 101 7.3 ACTIVIDAD 2: APROPIANDO EL TEOREMA DE PITGORAS 103 7.3.1 Anlisis Previo 103 7.3.2 Intervencin en el Aula 105 7.3.3 Anlisis Posterior 107 7.4 ACTIVIDAD 3: VERIFICANDO EL TEOREMA DE PITGORAS 109 7.4.1 Anlisis Previo 109 7.4.2 Intervencin en el Aula 111 7.4.3 Anlisis Posterior 113 7.5 ACTIVIDAD 4: PROBANDO EL TEOREMA DE PITGORAS 114 7.5.1 Anlisis Previo 114 7.5.2 Intervencin en el Aula 116 7.5.3 Anlisis Posterior 122 8. CONCLUSIONES 125 8.1 ACERCA DE LOS RESULTADOS 125 8.2 FUTURAS LNEAS DE INVESTIGACIN 126 BIBLIOGRAFA 128 ANEXOS 132

LISTA DE FIGURAS

Pg.

Figura 1. Demostracin del Teorema de Pitgoras. 31

Figura 2. Demostracin del Recproco del Teorema de Pitgoras. 33

Figura 3. Pruebas algebraicas del Teorema de Pitgoras. 35

Figura 4. Prueba de Perigal del Teorema de Pitgoras. 36

Figura 5. Primer paso prueba en origami. 36

Figura 6. Segundo paso prueba en origami. 37

Figura 7. Paso final prueba en origami. 37

Figura 8. Relacin Pitagrica con Tringulos Equilteros. 38

Figura 9. Relacin Pitagrica con Semicrculos. 40

Figura 10. Relacin Pitagrica con Rectngulos Semejantes. 41

Figura 11. Teorema Previo 1. 42

Figura 12. Teorema Previo 2. 43

Figura 13. Teorema Previo 3. 44

Figura 14. Generalizacin del Teorema de Pitgoras. 46

Figura 15. Definicin de la mtrica euclidiana. 47

Figura 16. Pitgoras en 3-D. 48

Figura 17. Definicin de la mtrica en el espacio. 48

Figura 18. Razones trigonomtricas para el tringulo rectngulo. 49

Figura 19. Crculo Unitario e Identidad pitagrica. 50

Figura 20. Ley del Coseno Tringulo Acutngulo. 51

Figura 21. Ley del Coseno Tringulo Obtusngulo. 52

Figura 22. Prueba de Bhascara del Teorema de Pitgoras. 60

Figura 23. Modelo 1. Componentes Organizacin Curricular. 73

Figura 24. Modelo Curricular. 74

Figura 25. Modelo de Diseo Didctico. 88

Figura 26. Sitio Web: Pgina Principal. 94

Figura 27. Sitio Web: Pgina Introduccin 95

Figura 28. Sitio Web: Pgina Actividades 96

Figura 29. Encabezado Hoja de Respuestas. 96

Figura 30. Dispositivo A1_P1.fig 99

Figura 31. Dispositivo A1_P2.fig 100

Figura 32. Dispositivo A2_P1.fig 105

Figura 33. Dispositivo A2_P2.fig 106

Figura 34. Dispositivo A3_P1_2.fig 111

Figura 35. Dispositivo A4_P1.fig 116

Figura 36. Dispositivo A4_P2.fig 117

Figura 37. Dispositivo A4_P3.fig 118

Figura 38. Intentos de Solucin a la A4_P2, pregunta b. 121

LISTA DE TABLAS Pg. Tabla 1. Transicin entre Tipos de Pruebas y Demostracin. 63 Tabla 2. Dispositivos Tcnicos de las Actividades. 93 Tabla 3. Desempeos Evaluados en la Actividad 1. 97 Tabla 4. Sistematizacin de Resultados Actividad 1- Problema 1. 102 Tabla 5. Sistematizacin de Resultados Actividad 1- Problema 2. 102 Tabla 6. Desempeos Evaluados en la Actividad 2. 103 Tabla 7. Sistematizacin de Resultados Actividad 2- Problema 1. 108 Tabla 8. Sistematizacin de Resultados Actividad 2- Problema 2. 108 Tabla 9. Desempeos Evaluados en la Actividad 3. 109 Tabla 10. Sistematizacin de Resultados Actividad 3- Problema 1. 113 Tabla 11. Sistematizacin de Resultados Actividad 3- Problema 2. 113 Tabla 12. Desempeos Evaluados en la Actividad 3. 115 Tabla 13. Sistematizacin de Resultados Actividad 4- Problema 1. 122 Tabla 14. Sistematizacin de Resultados Actividad 4- Problema 2. 123 Tabla 15. Sistematizacin de Resultados Actividad 4- Problema 3. 123

LISTA DE ANEXOS Pg. Anexo A. El Teorema de Pitgoras en el Texto Escolar Matemticas Sigma 7, Editorial Vicens Vives, 2004. 133 Anexo B. Postulados, Nociones Comunes y Proposiciones usadas en la demostracin del Teorema de Pitgoras y su recproco. 145 Anexo C. Clasificacin de Unidades Figurales Elementales. 146 Anexo D. Estndares de Matemticas. Grados 7, 9 y 11. 147 Anexo E. Hojas de Respuestas. Prueba Piloto 154

INTRODUCCIN Este documento presenta los elementos tericos, tcnicos y resultados del trabajo de grado Una Alternativa Metodolgica para la Enseanza del Teorema de Pitgoras, cuyo ttulo conjetura el planteamiento de una secuencia de situaciones problema o conjunto de actividades en clase para ensear el Teorema de Pitgoras, tambin conocido en el mbito escolar como Relacin Pitagrica. Las actividades se abordan desde el amplio enfoque de la Resolucin de Problemas, en el cual se favorecen la exploracin y construccin activa del conocimiento por parte de los estudiantes, y estn asociadas con la apropiacin de la prueba del teorema de Pitgoras. Por esta razn, el planteamiento didctico de las actividades se basa en el trabajo de Nicols Balacheff sobre Los Procesos de Prueba en los Alumnos de Matemticas; investigacin que brinda un marco terico con base a la teora de las situaciones didcticas en el sentido de Brosseau y en el modelo de Lakatos sobre la dialctica de las pruebas y las refutaciones. La metodologa a seguir es el modelo de Diseo Didctico, en el sentido descrito por Luis Moreno: para el diseo de las situaciones problema se tiene en cuenta el anlisis preliminar desde las distintas dimensiones necesarias para este fin (Histrico-Epistemolgica, Matemtica, Didctica y Curricular). Los aspectos analizados convergen hacia el Acto Pedaggico (Intervencin en el Aula) y luego hacia la Sistematizacin (Anlisis posterior y entrega de resultados), esto enmarcado en un proceso de Desarrollo Curricular que pretende evidenciar la potencialidad de la integracin de tecnologas computacionales en la enseanza de la geometra. Aprovechando la experiencia del profesor Diego Garzn Castro, director de este trabajo, y siguiendo la propuesta del profesor Diego Luis Hoyos, evaluador del mismo; las situaciones problema, sern realizadas en un ambiente computacional conocido como Software o Sistema de Geometra Dinmica (S.G.D). Para esto, se tendrn en cuenta todas las consideraciones tericas sobre la enseanza de la demostracin en geometra mediada por un S.G.D. desde su dimensin didctica-cognitiva y curricular. Se espera que el desarrollo de este trabajo sea del inters de todas aquellas personas que, de una u otra forma, tenga relacin con la tarea de la enseanza de las matemticas; y en especial de la geometra, en la educacin bsica y media.

12

1. EL PROBLEMA: ENSEANZA DEL TEOREMA DE PITGORAS El conocimiento matemtico en cuestin, el Teorema de Pitgoras, tiene una innegable importancia dentro y fuera del mbito de las matemticas. Dentro de la geometra, especialmente la euclidiana, se puede decir que es el teorema ms relevante, por su utilidad prctica y terica. Desde el punto de vista terico ha sido utilizado para demostrar otras proposiciones geomtricas y descubrir propiedades numricas; y desde el prctico, ha sido una herramienta para calcular ngulos, reas y distancias. En lo que concierne al mbito educativo, Luis Moreno dice: El reto de la didctica es buscar hacer significativo1 el conocimiento matemtico que en esencia es abstracto y descontextualizado2. Pero, en el afn de buscar formas de enseanza que produzcan dicho aprendizaje significativo, se puede percibir de cierta manera un nfasis mayor en el tratamiento didctico de los conocimientos referentes a la geometra desde su punto de vista prctico, olvidndose de la importancia que tiene el tratamiento didctico desde un enfoque ms terico3; en especial, del teorema en cuestin. A continuacin, se presenta un apartado para destacar el sentido y los alcances que tiene el tratamiento de la geometra en la escuela, de tal manera que, quede clara la concepcin de geometra para efectos de este trabajo; al igual que la importancia que tiene la enseanza de la geometra euclidiana. 1.1 SENTIDO Y ALCANCES DE LA GEOMETRA EN LA ENSEANZA. La palabra geometra encierra diversas concepciones y acercamientos respecto a la misma rama de las matemticas; entre los cuales se tienen la geometra plana o eucldea, la del espacio o 3D, la proyectiva, las geometras no euclidianas (hiperblica y elptica), la geometra analtica y la topologa general.

1 Un aprendizaje es significativo cuando lo que se adquiere no solo se queda en el mbito

terico de la materia, sino tambin es posible asociar dicho conocimiento con la prctica y aplicacin en otros campos de la ciencia y/o vivir cotidiano.

2 Citado por Leonor Camargo Uribe en su ponencia: Una experiencia de descubrimiento en

clase de geometra. En: Tecnologas Computacionales en el Currculo de Matemticas. Serie Memorias. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional, Dic-2003. p.122.

3 Para la finalidad de este trabajo, al emplearse el trmino tratamiento terico del teorema de

Pitgoras, se refiere especficamente al tratamiento didctico de la prueba matemtica del mismo.

13

Para evitar confusiones, y con el fin de precisar que la idea de geometra en este trabajo ser la de Geometra Euclidiana, se hace referencia a Hansen, quien define la geometra clsica griega o euclidiana de la siguiente manera:

Geometra se deriva de la palabra griega geometra , que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran pica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometra" para encontrar la distribucin adecuada de la tierra despus de los desbordamientos anuales del Nilo... En primer lugar la geometra clsica Griega ha sobrevivido a travs de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos. En estos libros el conocimiento matemtico, en particular el geomtrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposicin, desde entonces, puso un sello a los escritos

matemticos.4

Dando por entendido que el conocimiento en cuestin de este trabajo, el teorema de Pitgoras, se tratar desde el punto de vista de la enseanza de la geometra euclidiana, se presentan seguidamente algunas consideraciones generales de tipo curricular para destacar cmo la geometra euclidiana ha sido tratada en la escuela, y cul es la tendencia actual para su enseanza, segn las propuestas curriculares del Ministerio de Educacin Nacional (MEN). El estudio de la geometra intuitiva en los currculos de las matemticas escolares en Colombia se haba abandonado como una consecuencia de la adopcin (en 1963 para los programas de primaria y en 1974 los de secundaria) de la llamada Matemtica Moderna5. Desde un punto de vista didctico, cientfico e histrico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemtica, no slo en lo que se refiere a la geometra. Dicha necesidad es uno de los motivos que impulsa la realizacin de este trabajo. Con la intencin de destacar el sentido y los alcances que tiene la enseanza de la geometra euclidiana en el mbito escolar, se cita de nuevo a Hansen:

4 HANSEN, Vagn Lundsgaard. Everlasting Geometry. En: Perspectives on the Teaching of

Geometry for the 21st Century, An ICMI Study. Vol.5. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1998. p. 10. 5 Nueva matemtica o New math: tendencia curricular propuesta en los Estados Unidos, en

los aos 60 y 70, que produjo una transformacin de la enseanza y cuyas principales caractersticas fueron: nfasis en las estructuras abstractas; profundizacin en el rigor lgico, lo cual condujo al nfasis en la fundamentacin a travs de la teora de conjuntos y en el cultivo del lgebra, donde el rigor se alcanza fcilmente; detrimento de la geometra elemental y el pensamiento espacial; ausencia de actividades y problemas interesantes y su sustitucin por ejercicios muy cercanos a la mera tautologa y reconocimiento de nombres.

14

La enseanza de la geometra Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los nios debieran ser estimulados a estudiar figuras geomtricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometra Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematizacin para grados posteriores. Ms an, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en

los Elementos.6

Del mismo modo, Gardner, destaca la importancia del desarrollo del pensamiento espacial. En su Teora de las mltiples inteligencias, considera como una de dichas inteligencias a la espacial y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento cientfico, ya que es usado para representar y manipular informacin en el aprendizaje y en la resolucin de problemas.7 Se estima que la mayora de las profesiones cientficas y tcnicas, tales como el dibujo tcnico, la arquitectura, las ingenieras, la aviacin, y muchas disciplinas cientficas como qumica, fsica, matemticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial. Es as que, con los anteriores referentes, se plante la actual propuesta de Renovacin Curricular, la cual avanz en el proceso de cambio de la enseanza de la geometra, enfatizando la geometra activa8 como una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geomtricos como herramientas de exploracin y representacin del espacio. Hasta aqu se tiene lo referido a grandes rasgos sobre la importancia del tratamiento del teorema de Pitgoras como parte de la enseanza de la geometra en la escuela, haciendo nfasis en los cambios desde el punto de vista curricular, que estn sucediendo gracias a las propuestas del MEN. En el siguiente apartado se describe el problema que se tiene con respecto a la enseanza tradicional del conocimiento en cuestin, con la intencin de justificar la importancia de la finalidad de este trabajo. 1.2 ENSEANZA TRADICIONAL DEL TEOREMA DE PITGORAS. Del anterior apartado queda claro que, en los currculos de la educacin bsica y media, la geometra tiene un papel muy importante en el desarrollo del pensamiento espacial, y por tanto, el teorema de Pitgoras como objeto de estudio de esta rama de las matemticas, debe ser tratado desde un enfoque

6 Ibd. p.11.

7 GARDNER, Howard. Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences. New York: NY

Basic Books, 1983. 8 Ver en Captulo 5. Dimensin Curricular: 5.1.2 Pensamiento Geomtrico y Sistemas

Geomtricos; p.76.

15

didctico que resalte ms el sentido geomtrico de su prueba, antes que ser utilizado por los estudiantes con un enfoque meramente numrico en la resolucin de problemas de aplicacin. Pero, los diversos factores que intervienen en la forma de ensear un conocimiento matemtico en el aula (como son: la accin del docente, los materiales de apoyo y la ausencia de herramientas para la construccin de conocimientos geomtricos asociados al teorema en cuestin, los programas curriculares, las concepciones tradicionales, la disposicin del estudiante hacia el tema, entre otros); han reducido la gran importancia del Teorema de Pitgoras y su significado geomtrico a una simple frmula. Tanto en los niveles de la Educacin Bsica como Media, el estudio del teorema de Pitgoras o relacin pitagrica, tiene una forma de presentacin o tratamiento habitual, en la que se parte de su enunciado (por ejemplo: En todo tringulo rectngulo, donde a y b son las medidas de los catetos y c de la hipotenusa, se verifica que c2 = a2 + b2), haciendo paso directo a su aplicacin en la resolucin de tringulos rectngulos. Siguiendo la perspectiva que se tiene sobre el uso de los textos escolares, como uno de los principales referentes que emplean los profesores y/o las instituciones educativas para el planteamiento curricular de los cursos de matemticas, se puede sustentar la afirmacin realizada en el prrafo anterior. Dicho tratamiento habitual del teorema de Pitgoras se presenta en la mayora de los textos escolares9, los cuales tienen una gran influencia en la accin del docente. El tratamiento habitual en la enseanza del teorema de Pitgoras, tomando como evidencia, los textos escolares, ha sido enfocado en la presentacin de la relacin pitagrica del tringulo rectngulo, para ser usada principalmente en el clculo de distancias. No obstante, son pocos los textos escolares que presentan un tratamiento didctico sobre la prueba geomtrica del mismo. Por ejemplo, entre los textos escolares ms solicitados y utilizados en la actualidad (edicin 2004), se puede destacar: Matemticas Sigma 7, de la Editorial Vicens Vives, el cual intenta dar una perspectiva distinta, expone una demostracin sencilla del teorema. Sin embargo, en las actividades solo propone un problema en el que se debe realizar un proceso de visualizacin sobre una prueba del mismo, con la desventaja de presentar la pregunta estilo ICFES para escoger la respuesta. Lo que no se evidencia en los textos escolares es una aproximacin sobre el sentido y los alcances de la validacin del conocimiento matemtico, en este caso del teorema de Pitgoras. Es probable que los editores de los textos no

9 Anexo A. El Teorema de Pitgoras en el Texto Escolar Matemticas Sigma 7, Editorial

Vicens Vives, 2004. p.133.

16

deseen complicarse con las consideraciones epistemolgicas, cognitivas, didcticas y curriculares, entre otras, que se deben tener en cuenta para el tratamiento de la prueba de este teorema geomtrico, por lo cual, se comete el grave error de olvidarse de la importancia que tiene la realizacin de un proceso de prueba en el desarrollo del pensamiento geomtrico del estudiante. Mediante este trabajo se expone una alternativa al tratamiento habitual del teorema de Pitgoras, presentando una serie de actividades que motiven al estudiante a explorar, descubrir y conjeturar respecto al teorema de Pitgoras. Se puede asegurar que un proceso de exploracin en el que el estudiante descubra por si mismo las propiedades geomtricas que encierra el tratamiento de este teorema, desarrollando el pensamiento espacial; es ms significativo que el uso del mismo en la solucin de problemas de aplicacin (calculo de distancias, resolucin de tringulos, planteamiento de ecuaciones en problemas de variacin, suma de vectores, etc.), el cual est ms orientado al desarrollo de operaciones numricas. Lo que se quiere en este trabajo es resaltar la importancia que tiene el teorema de Pitgoras desde el punto de vista geomtrico por el tratamiento didctico de su prueba. Se ha puesto en evidencia que el tratamiento tradicional del teorema ha generado un aprendizaje poco relevante para los estudiantes. La enseanza habitual busca que el teorema quede en la mente del estudiante como un objeto matemtico de gran utilidad, herramienta10; sin embargo, esto no est sucediendo. El conocimiento del teorema de Pitgoras, entre otros temas del currculo matemtico de grado 8 y 9 de educacin bsica, presenta problemas al evidenciar su aplicacin en las evaluaciones de los estudiantes. La mayora de los educandos que ya han recibido una enseanza del teorema de Pitgoras, no son capaces de emplearlo de una manera adecuada en el momento en que es necesario hacer uso de l, ms an, en ocasiones ni siquiera es recordado. Esto es manifiesto en los resultados obtenidos por los estudiantes de grado 9 de educacin bsica en las Pruebas de Evaluacin Censal de la Educacin del ao 2002, Programa Nuevo Sistema Escolar del Ministerio de Educacin Nacional, en particular por los resultados obtenidos para la pregunta 12 en el mbito de la resolucin de problemas. A los estudiantes se les present la siguiente informacin para responder las preguntas 11 y 12 del cuestionario11:

10

De acuerdo a lo expresado por Rgine Douady en el artculo Juego de Marcos y Dialctica Herramienta-Objeto: un concepto matemtico adquiere la connotacin de herramienta por su funcionamiento cientfico en los diferentes problemas que permite resolver. Distinguindolo de esta manera de la connotacin de objeto, la cual da un sentido a dicho conocimiento como un saber erudito reconocido socialmente en un momento dado.

11 MEN. Evaluacin Censal de la Calidad de la Educacin, Matemticas 9 Grado Educacin

Bsica. Programa Nuevo Sistema Escolar. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional, 2002. p. 9 10.

17

Informacin Preguntas 11 y 12.

Para armar una carpa como la que se muestra en el dibujo, es necesario que los dos tubos de la puerta sean iguales y que la distancia entre ellos, en el piso, sea la mitad de uno de los tubos.

Pregunta 12. Cuando el turista lleva a su familia a acampar, utiliza una carpa ms grande, pero con la misma relacin entre los tubos de la puerta y su distancia en el piso. Si en esta carpa cada uno de los tubos de la puerta mide 4 m. y el turista mide 2,18 m. Se puede afirmar que el turista puede estar de pie en la puerta de la carpa?

a. s, porque la altura de la carpa est entre 4 m y 5 m.

b. no, porque la altura de la carpa est entre 0 m y 1 m.

c. s, porque la altura de la carpa est entre 3 m y 4 m.

d. no, porque la altura de la carpa est entre 1 m y 2 m.

Este problema se propuso a los estudiantes con la finalidad de evaluar lo estipulado en el cuarto logro de Pensamiento geomtrico y sistemas geomtricos de los Estndares Bsicos de Matemticas del MEN para el grado noveno: Usar representaciones geomtricas para resolver y formular problemas en la matemtica y en otras disciplinas. De acuerdo a la forma en que el estudiante realice el proceso de representacin geomtrica del problema, ste tiene la posibilidad de seguir al menos dos caminos de resolucin. El primero, teniendo los tres lados del tringulo issceles desea conocer la altura sobre uno de sus lados, problema cuya resolucin requiere el conocimiento previo de la frmula de Hern. El segundo en el cual el estudiante debe realizar una divisin de la figura inicial tringulo issceles en dos tringulos rectngulos, para trabajar con uno de ellos debe tener en mente un teorema en acto (en el sentido expresado por Duval), el cual le permite aplicar directamente el hecho de que la altura sobre el lado desigual de un tringulo issceles lo divide exactamente a la mitad. Despus de tener la configuracin de un triangulo rectngulo conociendo un cateto y la hipotenusa el estudiante debe conocer el teorema de Pitgoras y su aplicacin para despejar el valor del otro lado, en este caso la altura buscada.

Tubo Tubo

Costura

Cremallera

18

As pues, segn el enunciado del problema, los datos proporcionados, la pregunta y las respuestas a escoger; se esperaba que los estudiantes siguieran un proceso de resolucin parecido a uno de los dos siguientes12; para concluir que la respuesta correcta es la C.

Solucin 1. La distancia en el piso de los tubos es igual a la mitad de la longitud de uno de los tubos, es decir la mitad de 4m, 2 m. Esto origina el siguiente tringulo issceles:

Solucin 2. El tringulo issceles de la representacin anterior origina dos tringulos rectngulos como el siguiente:

En cuanto al conocimiento de la frmula de Hern, se puede decir que es muy poco tratado por los profesores de matemticas en sus cursos de geometra. Por esta razn, se esperaba que el estudiante se inclinara ms por el segundo proceso de solucin en el que se hace aplicacin del teorema de Pitgoras. Sin embargo, los resultados estadsticos de estas pruebas indican que en el municipio de Santiago de Cali, slo el 43% de los estudiantes evaluados tuvieron xito al contestar esta pregunta. Este resultado puede dar motivos para pensar en un posible problema sobre el aprendizaje del teorema de Pitgoras por parte de los estudiantes evaluados. Problema que puede situarse en dos momentos: en el reconocimiento de la figura geomtrica y/o en la operacin numrica.

12

Sin pretender decir que estos sean los nicos procedimientos de solucin del problema.

43

16159

15)1)(3)(1(5

)45)(25)(45(52

2

5

; ))()((2

x

x

x

metro Semiperms

csbsassb

x

1 m.

4 m. x

43

16159

1511614 22

x

x

b =2 m.

c =4 m.

x

a =4 m.

19

En este trabajo se pondr atencin sobre el primero de estos momentos, claro est, porque la intencin de ste es el tratamiento didctico de la prueba del teorema de Pitgoras, enfocado hacia el desarrollo de pensamiento espacial, y no de pensamiento numrico. De este modo, se plantea el problema a emprender: De qu manera puede ser abordado el teorema de Pitgoras, desde un tratamiento didctico, en el cual se recurre al diseo de una secuencia de situaciones problema en el contexto de la dialctica conjeturacin-prueba en la cual se integra con sentido el uso de un Sistema de Geometra Dinmica? Para dar respuesta a esta pregunta, el desarrollo de este trabajo se enfoca hacia el diseo de una secuencia de situaciones problema, sustentadas con las consideraciones tericas desde las distintas dimensiones necesarias para el caso (histrica-epistemolgica, matemtica, didctica y curricular). La secuencia de situaciones problema consta de una serie de actividades encaminadas hacia la comprensin de la prueba del teorema de Pitgoras, desde un seguimiento visual de las figuras geomtricas, empezando por la exploracin de las propiedades geomtricas, para casos particulares, siguiendo con el descubrimiento de la generalizacin y finalmente, sus pruebas ms reconocidas con un intento de aproximacin a la escritura simblica del mismo. Se asume en este trabajo la idea de que el tratamiento del teorema de Pitgoras, de esta manera, desencadena en el estudiante una serie de procesos de exploracin, visualizacin, conjeturacin y sistematizacin sobre las propiedades geomtricas inherentes de este teorema; procesos de suma importancia para el desarrollo del pensamiento espacial. Respecto a la necesidad de realizar un proceso de prueba de un teorema geomtrico, cabe acuar la siguiente expresin de una estudiante francesa, la cual es muy comn en la mayora de los estudiantes: Si yo supiera para qu sirve el teorema de Pitgoras, cmo ha sido inventado, podra aprenderlo, pero as, no me fo (Virginie, alumna de 3me, 15 aos)13. Esta frase deja ver lo que un estudiante interesado, quiere le sea dado en sus clases de matemticas, es decir, que se le ensee en forma integrada, no solo el uso sino tambin el origen del conocimiento en cuestin. La situacin que presenta en la escuela la enseanza de la geometra respecto al tratamiento de un proceso de prueba o demostracin (en especial del teorema de Pitgoras), no slo es de olvido, sino tambin, que en el caso de ser tenido en cuenta, la enseanza tradicional de la demostracin en las matemticas escolares en general, ha venido presentando problemas para su comprensin por parte de los estudiantes.

13

Frase citada por: BARBIN, Evelyne. Qu concepciones epistemolgicas de la demostracin

para qu tipos de aprendizaje? En: La enseanza de las matemticas: puntos de referencia entre los saberes, los programas y la prctica. Pars: I.R.E.M., 1996, p. 203.

20

Al respecto, se tienen las siguientes consideraciones asintiendo las ideas que expresa Evelyne Barbin en el artculo ya citado: La demostracin en la enseanza de las matemticas ocupa un lugar fundamental: muchos profesores consideran que la demostracin constituye la entrada al mundo de las matemticas. Sin embargo, muchos estudiantes piensan que sta representa el inicio de su fracaso escolar en la asignatura. Adems, en la enseanza de las matemticas, la demostracin se encuentra enfocada principalmente desde la lgica deductiva, hecho que trae consigo dificultades para el aprendizaje de varios conocimientos matemticos, como los teoremas en geometra. Sobre la situacin tradicional en la enseanza de la demostracin en matemticas, Barbin dice:

Una demostracin es, en primer lugar, un texto que responde a ciertas normas, yendo de la hiptesis a las conclusiones, enunciando correctamente los teoremas utilizados, empleando en el momento oportuno las conjunciones gramaticales. Una demostracin indica el buen camino, muy diferente del que se sigue en una investigacin. Porque la formalizacin deductiva elimina todo resto de duda, de zonas de inestabilidad, de las tensiones que constituyen el preludio al deseo y a la necesidad de demostrar. De esta manera, la demostracin aparece a menudo ante el alumno como un texto formalizado, normalizado y ritual. Se

trata de reproducir un texto que no tendr forzosamente sentido para l.14

As, se vislumbra el problema que tiene la enseanza de la demostracin desde las metodologas tradicionales. La enseanza tradicional es la que muchos profesores activos actualmente han conocido cuando eran estudiantes, en la cual no existe el aprendizaje de la demostracin propiamente dicho. Para ejemplificar lo que es una demostracin, el profesor escribe distintas demostraciones en el tablero, explica cmo se deben escribir a la izquierda las hiptesis y a la derecha las conclusiones; pasando de unas a otras mediante un razonamiento deductivo, citando los teoremas utilizados o especificndolos mediante unos cdigos y mostrando claramente a qu objetos son aplicables dichos teoremas. Luego se invita al estudiante a realizar demostraciones, y es aqu donde la situacin se complica para l, pues para demostrar el profesor ha entregado el procedimiento correcto, sin embargo, no es claro cmo se lleg al mismo. Ahora bien, siguiendo una de las principales ideas que promueve el proyecto de Incorporacin de Nuevas Tecnologas en el Currculo de Matemticas de la Educacin Media de Colombia, el cual es desarrollado por el Ministerio de Educacin en coordinacin con universidades y colegios pblicos15, la alternativa metodolgica objetivo de este trabajo integra el uso de las nuevas

14

Ibd. p. 195. 15

Proyecto del cual el profesor Diego Garzn Castro, director de este trabajo de grado, es

Coordinador del Departamento del Valle.

21

tecnologas en la enseanza de la geometra euclidiana, en particular del teorema de Pitgoras. Dicha idea expresa que las calculadoras y los computadores, para hacer matemticas, proporcionan como va principal la manipulacin directa con objetos y relaciones matemticas; va muy distinta de la que ofrece el tratamiento con lpiz y papel. Adems, esta idea est tomando fuerza, gracias a que las nuevas tecnologas en la enseanza de las matemticas no slo se estn implementando para agilizar clculos o elaborar grficas, sino que tambin estn influyendo en la naturaleza misma de los problemas que son interesantes desde el punto de vista didctico. Las actividades de la secuencia de situaciones problema propuesta en este trabajo, se plantean en un ambiente computacional, mediante la integracin del software de geometra dinmica (S.G.D) llamado Cabri Gomtre II; el cual es un software educativo adecuado para la enseanza de la geometra, de gran impacto y potencialidad por su dinamismo16, el cual permite explorar propiedades de los objetos geomtricos de forma rpida y fcil. El proyecto mencionado del MEN considera que: el software Cabri Gomtre se convierte en una fuente de exploracin que modifica la forma de concebir los objetos geomtricos y las estrategias de resolucin de problemas, contribuyendo a construir el puente entre la geometra de los dibujos y la geometra de los objetos geomtricos.17 Cabe destacar que la mediacin del ambiente tecnolgico en la propuesta didctica genera gran expectativa en los estudiantes, mejorando el aspecto de actitud y disposicin, el cual es uno de los factores influyentes en el aprendizaje de cualquier conocimiento. Los estudiantes no deben preocuparse por procesos repetitivos de la enseanza tradicional de la geometra, sino enfocarse en reflexionar sobre lo presentado en la pantalla del computador respecto a las propiedades de los objetos geomtricos que manipula. As, es claro que el problema tratado en este trabajo es relacionado con un conocimiento matemtico propio de la geometra euclidiana, el teorema de Pitgoras; con un enfoque hacia la comprensin de su prueba mediante una serie de actividades, tratadas en un contexto de ambiente computacional. Hasta aqu se ha planteado cul es el problema a tratar, la justificacin, importancia e intencin de este trabajo. A continuacin, se presentan las consideraciones tericas que se deben tener en cuenta para el desarrollo de una posible solucin a dicho problema: Enseanza del Teorema de Pitgoras.

16

Ver en Captulo 4. Dimensin Didctica: 4.2.1 Software o Sistema de Geometra Dinmica

(S.G.D). p.66. 17

MORENO, Luis. Cognicin y computacin, el caso de la geometra y la visualizacin. En:

Memorias del Seminario Nacional de Formacin de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologas en el Aula de Matemticas. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional, 2002. p. 89.

22

2. DIMENSIN HISTRICA EPISTEMOLGICA En el mbito educativo lo histrico es algo que no se puede olvidar al tratar cualquier conocimiento. Por tanto, es de gran inters conocer el desarrollo histrico del conocimiento matemtico objeto de estudio. El presente seguimiento histrico se realiza teniendo en cuenta las ideas expresadas por Lus Moreno Armella, en el artculo La construccin del espacio geomtrico, un ensayo histrico-crtico:

La tentacin por la historia de las matemticas no se traduce en un mecanismo cuyo propsito sea forzar una identificacin de la historia con los procesos constructivos inherentes al aprendizaje de las matemticas. Se trata ms bien, de buscar aquellos lugares en donde la enseanza encuentre cuestiones de orden epistemolgico, como el ideal de simplicidad y el problema de la demostracin. Imaginamos la historia como algo que puede ser interrogado a propsito de las condiciones de construccin del conocimiento, del cambio conceptual, de la relacin entre

conocimiento formal y realidad educativa.18

Los esfuerzos de fundamentacin de la enseanza de las matemticas, no pueden desconocer la necesidad de la reflexin epistemolgica. Por ejemplo, al tratar de transmitir el saber matemtico, quedan planteados diversos problemas de relaciones entre la constitucin y la adquisicin del conocimiento; el estudiante debe intentar entonces apropiarse de un conocimiento que le es ajeno. En el mismo artculo Moreno afirma:

No se puede dar la espalda a la necesaria distincin entre el acto de conocer y el conocimiento en s mismo. Y a su necesaria articulacin. La historia no ha de usarse para buscar un origen, casi siempre ilusorio, con la esperanza de hallar las claves para develar la esencia de las nociones. Ms bien, ella nos acerca a la comprensin de cierto desarrollo (de un conocimiento), que no es el desarrollo de tal conocimiento en el estudiante,

pero que hace viable una cierta problematizacin de la enseanza.19

El anlisis histrico crtico de las ideas matemticas permite identificar en el proceso de elaboracin de las ideas, ciertas formas de concebir que, eventualmente, se convierten en obstculos para el desarrollo de tales ideas. Como la epistemologa trata de las circunstancias que hacen posible el conocimiento, a tales obstculos se les llama obstculos epistemolgicos.

18

MORENO, Lus. La construccin del espacio geomtrico, un ensayo histrico-crtico. En:

Memorias del Seminario Nacional de Formacin de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologas en el Aula de Matemticas. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional, 2002. p. 99.

19 Ibd. p. 100.

23

Un obstculo epistemolgico es pues una forma de conocimiento que se torna inadecuada (es decir, ya no es viable) para una cierta tarea cognitiva. Los obstculos no desaparecen cuando las ideas matemticas son trasladadas al discurso escolarizado. All, toman otras formas, por ejemplo, aparecen como errores que el estudiante comete reiteradamente. Aquellos errores que aparecen cuando el estudiante no puede resolver un problema, cuando no entiende un enunciado (el no poder, no entender, desde la perspectiva del profesor) son manifestacin de que una determinada estructura cognitiva no puede ya asimilar una nueva situacin que se le presenta. Es necesario entonces que el profesor cuente con un modelo de cmo funciona cognitivamente el estudiante, para que encuentre, en consecuencia, las situaciones propicias a las que, a travs de su mediacin, se enfrente el estudiante en busca de una asimilacin y acomodacin posibles. Este recorrido histrico epistemolgico, como se hace explcito ms adelante, sirve de referente para el planteamiento de la secuencia de situaciones problema objetivo de este trabajo; teniendo en cuenta las posibles dificultades que se presentaron en el desarrollo histrico del teorema en cuestin, con especial detalle en lo referido a su demostracin. 2.1 HISTORIA DEL TEOREMA DE PITGORAS. Por muchos aos se le ha atribuido a Pitgoras de Samos (585 500 a. C), filsofo y matemtico griego, el enunciado y demostracin del teorema geomtrico que lleva su nombre y que expresa la relacin entre los cuadrados construidos sobre los lados de un tringulo rectngulo. Algunos historiadores consideran que Pitgoras no fue el autor de este enunciado ni de su demostracin, lo cual es difcil probar debido al misterio que rodeaba las enseanzas de la Escuela Pitagrica, as como el carcter verbal de estas y la obligacin de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela. Adems, existen evidencias de que en otras culturas tambin se conoca el teorema aunque no de su demostracin. Se asegura que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoci el enunciado de la regla y se dedic a demostrarla. Ms all de los anteriores comentarios anecdticos, lo verdaderamente importante de un recorrido histrico es destacar los posibles orgenes y causas que condujeron al descubrimiento de este resultado matemtico. As, el profesor Alberto Campos al tratar la demostracin del teorema de Pitgoras segn los Elementos de Euclides, propone una pregunta clave para este recorrido:

24

Cmo fue conducido Pitgoras hacia el enunciado general? y todos aquellos que hayan alcanzado a darse cuenta de su generalidad? 20 Como una posible respuesta a la anterior pregunta se tiene el siguiente anlisis histrico. Es muy probable que la primera tripla pitagrica conocida haya sido la as llamada del tringulo egipcio: 3, 4, 5. En el papiro de Kahun21 hay datos numricos que indican que los egipcios conocan, 2000 aos a.C., que

222 543 . Sin embargo, la matemtica egipcia era nicamente de tipo calculista, til para la administracin del imperio, y no se tuvo en ella preocupacin por la descripcin de procedimientos o enunciados generales. Entre las civilizaciones primitivas que ms avanzaron en la bsqueda de un enunciado general se encuentran esbozos en los que se puede suponer que estos observaron con atencin lo sucedido en un tringulo rectngulo issceles, para resolver los problemas que lograron resolver. Los ms adelantados hacia la concepcin de un enunciado general (exceptuando a los griegos, obviamente) fueron los matemticos indios, quienes enunciaron dos notables resultados:

El cuadrado sobre la diagonal es igual a los cuadrados sobre los lados de un rectngulo.

La diagonal de un cuadrado produce un cuadrado de rea doble de la

del cuadrado inicial.22

El primero corresponde al enunciado de Pitgoras y el segundo al problema de la duplicacin del cuadrado tratado por Platn en el dilogo de Menn. Sin embargo, la conclusin de algunos historiadores de la matemtica afirma que los matemticos indios se dieron cuenta mediante ensayos, en casos particulares, de la veracidad de la primera afirmacin, la cual enunciaron en forma general, pero jams intentaron establecer una demostracin. El britnico Thomas Heath, historiador y analista de los Elementos de Euclides afirma que: la geometra india era puramente prctica y sin abstracciones; pues, a partir de siete triplas pitagricas haban intuido la generalidad de la relacin pitagrica, pero no hay muestra de ningn intento de prueba.23

20

CAMPOS, Alberto. Axiomtica y Geometra desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki.

Captulo II: Demostracin del Teorema de Pitgoras en el libro I de los Elementos. Bogota: Editor Alberto Campos, 1994. p. 27 154.

21 El papiro de Kahun realmente no es un papiro, pero si fragmentos de varios papiros

encontrados en 1889 en esta regin de Egipto, por William Matthew Flinders Petrie, arquelogo y egiptlogo britnico.

22 Ibd. p. 116.

23 Citado por CAMPOS, Alberto. Op. Cit. p.117.

25

En conclusin, es probable que en diversas civilizaciones antiguas, aparezcan evidencias de las triplas pitagricas. Lo cual puede significar que un determinado tipo de problemas (de construccin como en los monumentos megalticos en Gran Bretaa y Escocia, al igual que en Egipto y la India) se resolvan mediante dichas triplas pitagricas y que ciertas civilizaciones avanzaron al resolverlos de esta manera. No obstante, en los egipcios no hay indicios de una generalizacin del problema; en los chinos y babilonios se encuentran resultados de la aplicacin a nmeros dados, nunca la descripcin del mtodo, ni de enunciados generales. Una bsqueda de la explicacin general es lo que caracteriza la contribucin griega. Solo con los griegos comienza la matemtica demostrativa, ms all de los simples clculos. Al hablar del teorema de Pitgoras, uno se refiere a teorema en el sentido griego. Por tanto, una coleccin de triplas pitagricas no es una demostracin del teorema, aunque si sea ya un conocimiento experimental del mismo. Respecto a la bsqueda de las triplas pitagricas, se puede afirmar que son los griegos quienes le aaden un sentido, al proponerse racionalizarla, en un proceso que comienza con un enunciado general, en el que aparece el papel del ngulo recto, no advertido, al parecer, en las otras culturas mencionadas; enunciado posiblemente logrado por Pitgoras, quien impulsa el proceso hacia la creacin de un conocimiento sistemtico que las envuelva. Dicho proceso culmina en la exposicin realizada por Euclides en su obra Los Elementos. Adems de las aplicaciones en el desarrollo de la Geometra Euclidiana, entre ellas la cuadratura de figuras rectilneas y la medida de distancias24, se tiene que, histricamente el problema de encontrar las tripletas de nmeros que cumpliesen la relacin pitagrica marc el inicio hacia la concepcin de las magnitudes inconmensurables (nmeros irracionales). Cabe destacar que este fue uno de los problemas que evidenci un obstculo epistemolgico propio en la adquisicin de la idea de lo que se conoce hoy como nmeros irracionales. Al respecto, Egmont Colerus comenta en su libro Historia de la Matemtica. De Pitgoras a Hilbert, una breve resea sobre el desarrollo de este problema:

No cualquier par de magnitudes dadas para los catetos podan definir una magnitud conmensurable para la hipotenusa, a pesar de que se formara un tringulo rectngulo. En vista de tal dificultad Pitgoras encontr la solucin para hallar dichos valores, partiendo de un nmero impar, la cual en la forma moderna se expresa: Sea a = 2n+1, entonces b = 2n2 + 2n y la hipotenusa: c = 2n2 + 2n + 1.

24

Ver en Captulo 3. Dimensin Matemtica: 3.5.1 La mtrica euclidiana; p. 47.

26

Platn, gran discpulo de Pitgoras, unos siglos despus enuncia la solucin al problema partiendo de un nmero par, enunciada en trminos modernos de la siguiente manera:

Sea a = 2n, luego b = n2 - 1 y la hipotenusa c = n2 + 1. 25

Euclides (s. III a.C.) en su obra Los Elementos realiza una recopilacin sistemtica del pensamiento matemtico existente hasta su poca. En su primer libro, realiza un constructo axiomtico para demostrar varias proposiciones sobre figuras rectilneas con el fin de obtener la cuadratura de cualquier tipo de figuras. Este libro termina con las proposiciones 47 y 48 (teorema de Pitgoras y su recproco, respectivamente) demostradas por Euclides, con todo su rigor basado en las proposiciones anteriores.26 En cuanto a esta obra es interesante destacar la naturaleza de la geometra definida por Euclides y su intencionalidad de uso. Marco Panza opina acerca de la intencin que tiene cada parte de la obra de Euclides, destacando especialmente en ella la idea del continuo y los objetos geomtricos como cantidades:

La geometra bidimensional de Euclides se trata esencialmente de lneas rectas, ngulos, crculos, y polgonos. De mi punto de vista, se pensaron los primeros dos libros de los Elementos para mostrar que las lneas rectas,

ngulos, y polgonos son cantidades.27

Esto significa que Euclides (implcitamente) define tres relaciones de igualdad, tres relaciones de orden estrictas, y tres operaciones de adicin que sostiene respectivamente para las lneas rectas, ngulos, y polgonos... Tiene que ser notado que para Euclides estas cantidades son magnitudes,

es decir, que ellas son cantidades continuas.28

La anterior idea despeja claramente la relacin que existe entre el tratamiento del teorema de Pitgoras por medio de la construccin de las figuras geomtricas en cuestin, y el tratamiento a travs de la bsqueda de las tripletas pitagricas, el cual es de carcter numrico.

25

COLERUS, Egmont. Historia de la Matemtica. De Pitgoras a Hilbert. Buenos Aires:

Ediciones Progreso y Cultura, 1943. p.27 26

Ver en Captulo 3. Dimensin Matemtica: 3.1 Demostracin Formal del Teorema de

Pitgoras y 3.2 Demostracin del Recproco del Teorema de Pitgoras; pp. 31 34. 27

En el primer libro de los Elementos, Euclides usa tambin los crculos pero slo como

herramientas para la construccin de las lneas rectas. Entendidos como objetos geomtricos en si mismos, se tratan los crculos en el tercer libro donde, sin embargo, no son considerados como cantidades.

28 PANZA, Marco. How Axiomatic Can Generate Mathematical Objects. The Example of the

Construction of a Right Angle in the First Book of Euclid's Elements. En: The axiomatic Way . Pars: en progreso por Ed. Brepols. 2004. (Traduccin propia).

27

Respecto a la demostracin del teorema de Pitgoras en los Elementos, se tienen unos datos interesantes, los cuales permiten ver la grandeza intencional de Euclides al acomodar todo el conocimiento geomtrico de su poca, en dicho sistema axiomtico. Para poder demostrar el teorema de Pitgoras en una forma ms general, como la que enuncia en la proposicin 31 del libro VI: En los tringulos rectngulos, la figura construida sobre el lado opuesto al ngulo recto es equivalente a las figuras semejantes y semejantemente dispuestas construidas sobre los lados del ngulo recto, es necesario usar la teora general de la proporcin de Eudoxio, teora enunciada en el libro V, la cual legitima los inconmensurables como nmeros. A la vez, necesitaba el teorema de Pitgoras para demostrar algunas proposiciones en el libro II, por esta razn lo enuncia y demuestra para el caso particular de los cuadrados, el cual no requera de la teora de Eudoxio. En las proposiciones 12 y 13 del libro II, Euclides demuestra teoremas anlogos al de Pitgoras, para los casos en que los tringulos son obtusngulos acutngulos, respectivamente. De acuerdo a Proclo29, la demostracin general del teorema de Pitgoras se le debe atribuir a Euclides, precisando que este es un teorema general valedero solo para figuras rectilneas semejantes. El teorema general, para figuras curvilneas, habra necesitado el mtodo de exhaucin usado a fondo por Euclides en el libro XII. Hasta aqu se tiene una idea del desarrollo histrico del teorema de Pitgoras desde sus apariciones en forma implcita por uso experimental en las antiguas civilizaciones, hasta su enunciado y demostracin general por parte de los griegos. A continuacin se realizan algunas consideraciones de tipo epistemolgico respecto al proceso de demostracin. 2.2 CONSIDERACIONES SOBRE LA DEMOSTRACIN. En las matemticas modernas una demostracin comienza con una o ms declaraciones denominadas premisas, y prueba, utilizando las reglas de la lgica, que si las premisas son verdaderas, entonces una determinada conclusin debe ser tambin cierta. La intencin filosfica de construir una ciencia desde sus primeros principios, se halla en Aristteles quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa. El tema central del libro de

29

Proclo (410-485 d.C.), ltimo de los filsofos clsicos griegos importantes, el exponente ms

representativo de la escuela ateniense del neoplatonismo.

28

Aristteles, Tpicos, es la demostracin y la facultad que la realiza. All se encuentran clasificados los elementos que componen una ciencia demostrativa:

(i) las definiciones (ii) los primeros principios, que los hay de dos clases: los especficos de

cada ciencia, llamados postulados y los comunes a todas, los axiomas (iii) finalmente, est el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones

demostradas a travs de la inferencia.30

A grandes rasgos, estos son los antecedentes de la organizacin axiomtica de la geometra griega. Los mtodos y estrategias utilizados para construir un argumento matemtico convincente han evolucionado desde los tiempos antiguos y todava siguen cambiando. Esto se puede comprobar con el teorema de Pitgoras. La mayora de las civilizaciones antiguas consideraron que este teorema era cierto pues coincida con sus observaciones experimentales. Sin embargo, los griegos, entre otros, comprobaron que la simple observacin o la opinin comn no garantizan la verdad matemtica. As, antes del siglo V a.C. se aceptaba que todas las longitudes se podan expresar como el cociente de dos nmeros enteros, pero un annimo matemtico griego demostr que esto no era posible con la longitud de la diagonal de un cuadrado cuya rea fuese la unidad31. La demostracin de Euclides es lo que se ha llamado tradicionalmente una exposicin sinttica. De la hiptesis a la conclusin se ha fabricado una cadena de implicaciones, valindose de los primeros principios o de teoremas ya demostrados. De resultados conocidos se hallan resultados nuevos. Este proceder de Euclides casualmente genera una opinin de resentimiento en dos grandes filsofos de teoras adversas, los alemanes Hegel y Schopenhauer. Schopenhauer en El mundo como voluntad y representacin (1819), afirma que hay cierta arbitrariedad en las construcciones matemticas para demostrar los teoremas. De lo propuesto por este autor, se destaca especialmente lo referido al teorema de Pitgoras:

A menudo, como sucede en el teorema de Pitgoras, se trazan lneas sin que sepamos porqu; luego averiguamos que eran lazos dispuestos para coger desprevenido y arrancar el asentimiento del estudioso, el cual tiene que conceder con asombro lo que en su esencia interior le es incomprensible, tanto, que puede estudiar del principio al fin todo Euclides sin formarse un juicio propio de las leyes de las relaciones espaciales y

obteniendo solo algunos resultados de ellas aprendidos de memoria.32

30

ARISTTELES. Tpicos 1.1. p. 39. 31

Problema que gener la investigacin sobre medidas inconmensurables y el nacimiento de

los nmeros irracionales, en este caso de 2 32

SHOPENHAUER. El mundo como voluntad y representacin. Tomo I. 1819.

29

La anterior crtica es digna de tenerse en cuenta, especialmente para el caso de los pedagogos, porque da indicios de los problemas que se presentan al tratar de entender la demostracin de un teorema, como el tratado aqu. Hasta comienzos del siglo pasado pues, la idea de lo que constitua una demostracin en geometra fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides. Sin embargo, la exploracin rigurosa de los fundamentos de la matemtica durante el siglo XIX, condujo a la desvalorizacin de la figura como objeto cognitivo dentro de la matemtica. Este abandono de lo visual trajo como consecuencia, el predominio del lenguaje analtico para comunicar las matemticas. Hasta el siglo XIX la obra de Euclides fue considerada como uno de los modelos de la matemtica por la metodologa mediante la cual valida sus resultados. Cuando Newton publica su obra, los Principia, toma como modelo a los Elementos de Euclides. Empero, en su trabajo sobre el clculo, que se desarrolla mediante el lenguaje del lgebra, sus criterios de legitimacin son diferentes. Esto ensea que hasta el siglo XVIII la geometra y el lgebra se regan por diferentes criterios validatorios.33 La situacin que se acaba de describir cambi radicalmente durante el siglo XIX. Entonces, la metodologa de la geometra fue adoptada por el lgebra y el anlisis. La geometra misma sufri cambios radicales a travs de la obra Fundamentos de Geometra (1899) de David Hilbert, que reemplaz eficazmente la geometra eucldea con un conjunto de 21 axiomas mucho ms completos y abstractos (sin basarse en las figuras), que tratan sobre puntos, lneas y planos y seis tipos de relaciones entre ellos. En los Elementos, los axiomas son verdades evidentes por lo cual no necesitan de una demostracin que los justifique como tales. En consecuencia, lo que se pueda deducir de ellos, tendr tambin el carcter de verdad que tienen los axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene en cuenta el carcter de verdad de los axiomas; lo fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan entre s. Lo anterior es presentado como una referencia acerca de la transformacin que ha sufrido la metodologa de la demostracin, en especial en geometra; destacando las axiomticas ms notables, la de Euclides y la de Hilbert. No obstante, como ya se haba aclarado en el primer captulo, la idea de geometra (con su modo de demostracin) considerada para el desarrollo de este trabajo es especficamente la de geometra euclidiana.

33

Vase el trabajo de Newton sobre Series Infinitas, edicin de Whiteside.

30

3. DIMENSIN MATEMTICA La geometra euclidiana, como campo de investigacin para los matemticos, no parece tener mayor importancia hoy en da. Sin embargo, hay un gran potencial formativo en sus contenidos, por ejemplo en los mtodos de demostracin, que le dan un lugar en la matemtica educativa de mucha importancia. Siendo el teorema de Pitgoras un conocimiento matemtico de tanta aplicacin en el desarrollo de las mismas matemticas, el tratamiento desde esta dimensin es demasiado extenso. Por esta razn, slo se destacan las demostraciones segn el Libro I de los Elementos de Euclides relacionadas a este teorema, las pruebas mas reconocidas de la relacin pitagrica, as como las relaciones ms relevantes con otros temas de las matemticas, especialmente con la teora de la mtrica y las aplicaciones en la trigonometra. En cuanto al mbito matemtico, el principal referente terico para tratar el teorema de Pitgoras, es el Libro I de la obra de Euclides Los Elementos.34 Libro en el cual se tratan proposiciones sobre tringulos, lneas paralelas y paralelogramos, figurando en la parte final la clsica demostracin eucldea del Teorema de Pitgoras35. El libro segundo aplica, en una forma muy amplia, el teorema de Pitgoras o "Magster Matheseos" (como ms tarde se le llamaba). Destacando la extraordinaria generalizacin que por obra de Euclides alcanzaron los teoremas conocidos hasta su poca, se hace referencia especial a la proposicin 31 del sexto libro, en la que se enuncia con carcter completamente general que la suma de las reas de dos figuras semejantes, construidas sobre los catetos de un triangulo rectngulo, es siempre igual al rea de una figura anloga y semejante, construida sobre la hipotenusa. El tratamiento matemtico de la prueba de esta generalizacin mencionada se realiza ms adelante, con base a las notas de clase publicadas en la revista Educacin Matemtica, por el profesor de la Universidad Pedaggica Nacional de Mxico Eduardo Zrate.36

34

Obra sobre la cual se coment en el captulo anterior Dimensin Histrica-Epistemolgica, p. 26 del presente documento.

35 Al respecto, cabe mencionar que la modalidad actual de la demostracin, consistente de

"hiptesis", "demostracin" (propiamente dicha) y "formula final" ("lo que queramos demostrar"), por primera vez aparece en Euclides de un modo consecuente. En las proposiciones de construcciones pone como cierre: "lo que se propona construir".

36 ZRATE S. Eduardo. Generalizacin del Teorema de Pitgoras. En: Revista Educacin

Matemtica. Mxico: Grupo Editorial Iberoamericana. Vol. 8. No. 2. Agosto 1996, p.127144.

31

3.1 DEMOSTRACIN FORMAL DEL TEOREMA DE PITGORAS. La proposicin 47 del libro I de Los Elementos, ofrece el enunciado y la demostracin formal basada en el rigor de la axiomtica de la geometra euclidiana. Elementos: Libro I Proposicin 47. En los tringulos rectngulos el cuadrado sobre el lado opuesto al ngulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ngulo recto Demostracin:37

Figura 1. Demostracin del Teorema de Pitgoras.

Sean CABCAB y , los lados respectivos del ABC. Se tiene CABC .

Se definen, por la Proposicin I-46: Q(CF): Cuadrado sobre el lado BC ,

Q(AH): Cuadrado sobre el lado CA y Q(BD): Cuadrado sobre el lado AB .

De acuerdo a la Proposicin I-31, trazar ADCJ || )||( BECJ .

Trazar, segn Postulado 1: CD y BI

37

Ver Anexo B. Postulados, Nociones Comunes y Proposiciones usadas en la demostracin del Teorema de Pitgoras y su recproco. p. 145.

32

Por la Proposicin I-14 se tiene: 90ACHACB .

As, 180),( CHBC .

Por lo tanto: BH es una recta.

Igualmente: 90BCGACB .

As, 180),( CGAC .

Por lo tanto: AG es una recta. Por el Postulado 4: 90BADIAC

Ahora, segn la Nocin Comn 2:

CADIAB

CABBADCABIAC

Por la Proposicin I-4, conocida como el criterio de semejanza entre

tringulos Lado-ngulo-Lado (L.A.L), se tiene:

IABCAD

CADIABABDAACIA

y ,

Se definen: P (AJ): Paralelogramo de vrtices ADJK

P (BJ): Paralelogramo de vrtices BEJK Por la Proposicin I-41 se tiene:

P(AJ) y CAD tienen la misma base AD y estn entre las mismas paralelas

AD y CJ .

CADAJP 2 Igualmente:

Q(AH) y IAB tienen la misma base IB y estn entre las mismas paralelas

IA y HC .

IABAH 2 Q Reuniendo las tres conclusiones anteriores se tiene38:

AHQIABCADAJP 2 2 Realizando un procedimiento igual al anterior con P(BJ), se llega a:

CFQABFCBEBJP 2 2

38

Por la Nocin Comn 4 segn versin de Los Elementos por Heiberg: Dobles de una misma cosa son iguales entre s

33

Finalmente, como: BJPAJPBDQ . Se sustituyen las dos afirmaciones anteriores, por la Nocin Comn 1, queda entonces demostrado que:

3.2 DEMOSTRACIN DEL RECPROCO DEL TEOREMA DE PITGORAS. De igual forma, Euclides presenta en su obra la demostracin del recproco del teorema de Pitgoras. Elementos: Libro I Proposicin 48 Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un tringulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ngulo formado por esos dos lados es recto. Demostracin:39

Figura 2. Demostracin del Recproco del Teorema de Pitgoras.

Se tiene el ABC de lados tales que cumplen: CBQACQABQ

Por la Proposicin I-11, trazar CACD con |||| CBCD y segn el

Postulado 1, trazarDA . Entonces: 90DCA

Como |||| CBCD , entonces los cuadrados construidos sobre ellos son

iguales: CDQCBQ .

39

Se sigue con las mismas convenciones de nomenclatura de la demostracin anterior.

CFQAHQBDQ

34

Por la Nocin Comn 2, se tiene:

ACQCDQACQCBQ

CDQCBQ

El tringulo ACD es rectngulo, luego por la Proposicin I-47:

ACQCDQDAQ . Uniendo la hiptesis con las dos conclusiones anteriores, por la Nocin

Comn 2, se llega a que: ABQDAQ , y por tanto: ABDA .

Los tringulos ABC y ADC, tienen bases iguales CBCD y lados

iguales ACACABDA , , por la Proposicin I-8, conocida como criterio

de semejanza de tringulos Lado-Lado-Lado (L.L.L), se concluye que

ACBDCA . Y por lo tanto, queda demostrado que:

3.3 PRUEBAS DEL TEOREMA DE PITGORAS. A continuacin se presentan las pruebas ms destacadas que se han realizado sobre el teorema de Pitgoras, algunas algebraicas y otras ms didcticas y visuales, como en el caso de la prueba en origami. 3.3.1 Pruebas Algebraicas. En este tipo de pruebas se realiza un proceso algebraico, basado en la informacin visual que brinda la figura, para obtener como resultado la frmula del teorema de Pitgoras. Frmula que da a entender que el cuadrado construido sobre la hipotenusa del tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos del mismo. Segn Melzac40, existe evidencia histrica de que la prueba original del teorema de Pitgoras tuvo como referencia alguna de las dos figuras presentadas y analizadas a continuacin:

40

Melzac, Z. A. Class notes for a course in the history of mathematics. University of British

Columbia. 1988.

90 ACB

35

Figura 3. Pruebas algebraicas del Teorema de Pitgoras.

El razonamiento deductivo que se realiza sobre la primera figura, conlleva a calcular algebraicamente el rea del cuadrado grande (de lado a+b), e igualar con la suma de las reas de las figuras interiores (cuadrado de lado c y los cuatro tringulos rectngulos de hipotenusa c y catetos a,b), obteniendo la siguiente expresin algebraica:

222

222

22

22

24

cba

abcbaba

abcba

Del mismo modo, para la segunda figura se iguala el rea del cuadrado grande (de lado c) con la suma de las reas de las figuras interiores (cuadrado de lado b a, y los cuatro tringulos rectngulos de hipotenusa c y catetos a, b), dando una expresin algebraica similar:

222

222

22

22

24

abc

abaabbc

ababc

3.3.2 Prueba de Perigal. Entre el tipo de pruebas visuales por descomposicin de figuras ms importantes, encontramos la demostracin del teorema propuesta por el matemtico ingls Henry Perigal (1801-1898). Esta consiste en una figura que muestra por cubrimiento de reas que el cuadrado construido sobre la hipotenusa del tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos del mismo.

36

Figura 4. Prueba de Perigal del Teorema de Pitgoras.

Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos de un tringulo rectngulo, se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del tringulo. Con las cuatro piezas obtenidas ms el cuadrado construido sobre el otro cateto se puede cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

3.3.3 Prueba en Origami. Existen varias pruebas que utilizan la papiroflexia para demostrar este teorema, las cuales se basan en demostraciones geomtricas clsicas. La ms antigua que se conoce es la que public Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" (1893), recopilada tambin por Kunihiko Kasahara en su libro ORIGAMI: La Era Nueva (1989) y Jess de la Pea Hernndez en Matemticas y Papiroflexia (2000). Esta es una prueba papiroflxica del teorema de Pitgoras basada en la ya mencionada prueba de Perigal:41

Primer Paso (figura 5): Dados en papel un tringulo rectngulo cualquiera y un cuadrado cuyo lado sea igual al cateto mayor del tringulo anterior.

Figura 5. Primer paso prueba en origami.

41

GARRIDO G. Beln. Papiro-Demostracin del Teorema de Pitgoras. 2002. Disponible en Internet: http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF

37

Determine el punto medio M del cateto menor b en el tringulo y en el cuadrado haga lo mismo sobre uno de sus lados. Haciendo coincidir los puntos medios, marque los extremos del cateto sobre el lado del cuadrado (marcas p,q).

Figura 6. Segundo paso prueba en origami.

Realice los siguientes pliegues y obtenga el trapezoide sugerido. Repita el proceso para obtener cuatro piezas iguales a la mostrada en el numeral 6 de la Figura 7.

Figura 7. Paso final prueba en origami.

38

Como se vio en la prueba de Perigal, con las cuatro piezas obtenidas se pueden construir dos cuadrados, de distintas dimensiones: Uno menor, cuyo lado sea igual al cateto mayor a del tringulo rectngulo, y otro mayor, cuyo lado es igual a la hipotenusa c del tringulo rectngulo, el cual tiene en el centro un hueco cuadrado de longitud igual al cateto menor b. Por comparacin entonces se tiene la relacin pitagrica: a 2 + b 2 = c 2.

3.4 GENERALIZACIN DEL TEOREMA DE PITGORAS. Tradicionalmente, el manejo y la interpretacin del teorema de Pitgoras se limita a la presentacin de la Proposicin 47 del Libro I de los Elementos. Sin embargo, como ya se mencion en el captulo de la Dimensin Histrico-Epistemolgica, el mayor aporte de Euclides en su obra fue la demostracin del teorema de Pitgoras en general para cualquier tipo de figuras semejantes construidas sobre los lados de un tringulo rectngulo. A continuacin, se presenta la demostracin del teorema de Pitgoras para el caso de tringulos equilteros, semicrculos y rectngulos, como ejemplos particulares de la Generalizacin del Teorema de Pitgoras. 3.4.1 Relacin Pitagrica con Tringulos Equilteros. La suma de las reas de los tringulos equilteros construidos sobre los catetos de un tringulo rectngulo es igual al rea del tringulo equiltero construido sobre la hipotenusa del mismo.

Figura 8. Relacin Pitagrica con Tringulos Equilteros.

39

Hiptesis: considrese la Figura 8, en la cual aparece un tringulo rectngulo de catetos a y b, e hipotenusa c. En tales lados se han trazado sendos tringulos equilteros (por tanto, semejantes) de alturas h1, h2 y h3 respectivamente. Sean A, B y C, respectivamente sus reas. Tesis: A + B = C Demostracin: Como es claro, las alturas dividen en dos tringulos rectngulos semejantes a cada uno de los tringulos equilteros. Entonces: Usando el teorema de Pitgoras se encuentran las magnitudes de las

alturas:

aaaaaah2

32432

4122

212

1 .

Del mismo modo: bh2

32 y ch

2

33 .

Considerando ahora las reas de los tres tringulos equilteros, se tiene:

21

4

3

2a

ahA . Anlogamente: 2

4

3bB y 2

4

3cC

Entonces: )(4

3

4

3

4

3 2222 babaBA .

Pero, por el teorema de Pitgoras, se sabe que el tringulo rectngulo de la

Figura 8 cumple con 222 cba .

Por lo tanto, la expresin anterior cambia a: 24

3cBA , cuyo segundo

miembro, como ya se tuvo, es C. Finalmente, lo que se quera demostrar: 3.4.2 Relacin Pitagrica con Semicrculos. La suma de las reas de los semicrculos construidos sobre los catetos de un tringulo rectngulo es igual al rea del semicrculo construido sobre la hipotenusa del mismo.

Hiptesis: considrese la Figura 9, en la cual aparece un tringulo rectngulo de catetos a y b, e hipotenusa c. Sobre tales lados se han construido sendos semicrculos (obviamente, figuras semejantes), cuyas reas se designan A, B y C, respectivamente.

A + B = C

40

Figura 9. Relacin Pitagrica con Semicrculos.

Tesis: A + B = C Demostracin:

De la Figura 9 se deduce que: 222

2

84222.

2

1a

aarA

Anlogamente: 2

8bB

y 2

8cC

.

Entonces: )(888

2222 babaBA

Pero, por el teorema de Pitgoras, se sabe que el tringulo rectngulo de la

Figura 9 cumple con 222 cba .

La expresin anterior cambia a: 28

cBA

, donde el segundo miembro,

como ya se tuvo, es C. Finalmente, lo que se quera demostrar: Hasta aqu se ha presentado la demostracin de la relacin pitagrica con cuadrados, tringulos equilteros y semicrculos, los cuales son figuras regulares. A continuacin, se da la demostracin de esta relacin con rectngulos semejantes, para evidenciar que tambin se cumple con figuras irregulares.

A + B = C

41

3.4.3 Relacin Pitagrica con Rectngulos Semejantes. Si sobre los lados de un tringulo rectngulo se construyen rectngulos semejantes de modo que tales lados sean homlogos en dicha relacin, entonces la suma de las reas de los dos rectngulos construidos sobre los catetos es igual al rea del rectngulo construido sobre la hipotenusa.

Figura 10. Relacin Pitagrica con Rectngulos Semejantes.

Hiptesis: considrese la Figura 10, en la cual aparece un tringulo rectngulo de catetos a y b, e hipotenusa c. Sobre tales lados se han trazado rectngulos semejantes, de alturas h1, h2 y h3 respectivamente. Sean A, B y C, respectivamente sus reas, y sean a, b y c homlogos en esa relacin de semejanza. Tesis: A + B = C Demostracin: Por la semejanza de los rectngulos se tiene:

a

b

h

h

1

2 , de donde 12 ha

bh ; y

a

c

h

h

1

3 , de donde 13 ha

ch .

Por lo tanto, para las reas se tiene:

1.haA ; 1

2

12. ha

bh

a

bbhbB

y 1

2

13. ha

ch

a

cchcC

.

42

De los resultados anteriores se sigue que:

1

22

1

2

1

2

1 ha

bah

a

bah

a

bhaBA

.

Por el teorema de Pitgoras, se sabe que el tringulo rectngulo de la Figura

10 cumple con 222 cba .

La expresin anterior cambia a: 1

2

ha

cBA , donde el segundo miembro,

como se vio antes, es C. Teniendo as, lo que se quera demostrar: De este modo, finalizan los ejemplos del cumplimiento del teorema de Pitgoras generalizado para cualquier tipo de figuras semejantes. No obstante, es igual de interesante la presentacin de la demostracin de este teorema en general. Sin embargo, antes de pasar a su demostracin es necesario tratar tres teoremas previos, en los que se basa la generalizacin del teorema de Pitgoras. 3.4.4 Teoremas Previos a la Generalizacin del Teorema de Pitgoras. Teorema 1. Si dos tringulos son semejantes, las alturas correspondientes conservan la razn de semejanza.

Figura 11. Teorema Previo 1.

Hiptesis: Se consideran los tringulos semejantes ABC y ABC de la Figura 11; en la cual, h y h son las alturas correspondientes, D y D los pies de las alturas y r es la razn de semejanza (es decir, rL es el cociente de las longitudes de los lados homlogos).

A + B = C

43

Tesis: Lrh

h

'.

Demostracin:

Por hiptesis se tiene que: a) ''' c

c

b

b

a

arL

b) ' y 90'

Por el inciso (b) y por el criterio de semejanza AA (ngulo-ngulo), se

deduce que los tringulos ABD y ABD son semejantes, de donde resulta que:

'' h

h

c

c

Pero de acuerdo al inciso (a) 'c

crL .

De estas dos ltimas igualdades se concluye: Lrh

h

'.

Teorema 2. La razn que hay entre las reas de dos tringulos semejantes es el cuadrado de la razn de semejanza.

Figura 12. Teorema Previo 2.

Hiptesis: Considrense los tringulos semejantes STU y STU de la Figura 12. En esta h y h son las alturas correspondientes, y A1, A2 las reas respectivas. Sean rL la razn de semejanza y rA la razn entre sus reas.

Tesis: 2

LA rr .

44

Demostracin: Por hiptesis y por el teorema 1, acabado de demostrar, se tiene que:

'''' h

h

u

u

t

t

s

srL .

Por lo tanto:

2

2

1

''''

2

''

2LLLA rrr

h

h

u

u

hu

uh

hu

uh

A

Ar

, lo que se quera demostrar.

Teorema 3. La razn que hay entre las reas de dos polgonos semejantes es el cuadrado de la razn de semejanza.

Figura 13. Teorema Previo 3.

Hiptesis: Considrense los polgonos semejantes P1 y P2 de la Figura 13, donde:

Q y Q son puntos interiores homlogos (en casos especiales puede requerirse ms de un punto interior en cada polgono; el objetivo es que el rea de cada polgono quede adecuadamente dividida en tringulos mediante

puntos interiores vrtices comunes de tringulos que sean homlogos de un polgono a otro).

A1, A2, A3, ... , An y B1, B2, B3, ... , Bn son las reas de los tringulos que se generan al unir Q y Q con sus respectivos vrtices.

Se designa con: A y B las reas de los polgonos P1 y P2, respectivamente; rL la razn de semejanza que hay entre ellos y rA la razn entre sus reas.

Tesis: 2

LA rr .

45

Demostracin: Con base a las hiptesis, se tiene que:

AnAAA ...21 , BnBBB ...21 , bn

an

b

a

b

arL ...

2

2

1

1.

Por la semejanza entre los polgonos P1 y P2, por ser Q y Q homlogos,

resulta que cada tringulo del polgono P1 es semejante a su correspondiente tringulo del polgono P2. Luego, por el teorema 2, demostrado antes, se tiene que:

2)(...2

2

1

1Lr

Bn

An

B

A

B

A

De lo anterior se sigue que:

2

.11 LrBA , 2

.22 LrBA , ... , 2

. LrBnAn .

Se considera ahora la razn entre las reas de los polgonos:

BnBB

rBnrBrB

BnBB

AnAA

B

Ar LLLA

...21

.....2.1

...21

...21222

22

2

...21

)...21(LL

L rrB

B

BnBB

rBnBB

, lo cual se quera probar.42

3.4.5 Generalizacin del Teorema de Pitgoras.43 Si sobre los lados de un tringulo rectngulo se trazan sendas figuras semejantes de modo que dichos lados sean homlogos en esa relacin de semejanza, entonces la suma de las reas de las figuras trazadas sobre los catetos es igual al rea de la figura trazada sobre la hipotenusa. Hiptesis: Considrese la Figura 14, en la cual:

a y b son los catetos de un tringulo rectngulo y c es la hipotenusa.

A, B y C son las reas de las tres figuras semejantes trazadas, respectivamente, sobre a, b y c, y estos lados son homlogos en esa relacin de semejanza.

42

Como toda curva se puede considerar como una sucesin de segmentos infinitamente

pequeos, entonces toda superficie plana limitada por una curva puede ser considerada como la superficie interior de un polgono. Por esto, el teorema 3, acabado de probar, es vlido en general para cualquier figura plana.

43 Se especifica, que es la generalizacin del teorema de Pitgoras para toda terna de figuras

semejantes trazadas sobre los lados de un tringulo rectngulo; distinguiendo de la generalizacin que es equivalente a la Ley o Teorema del Coseno, que se tratara ms adelante.

46

Figura 14. Generalizacin del Teorema de Pitgoras.

Tesis: A + B = C Demostracin: Por hiptesis y por el teorema 3, probado antes, se tiene que:

2

22

c

a

c

a

C

A

y que

2

22

c

b

c

b

C

B

Por lo tanto:

2

2

c

aCA y

2

2

c

bCB

Entonces resulta que:

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

c

baC

c

b

c

aC

c

bC

c

aCBA

Pero, por el teorema de Pitgoras, se sabe que el tringulo rectngulo de la

figura cumple que 222 cba .

De modo que la suma de las reas de inters queda expresada como:

CCc

cCBA

1

2

2

, como se quera probar.

A

C

B

a

c

b

47

3.5 APLICACIONES DE LA RELACIN PITAGRICA. Las justificaciones que a lo largo de la historia se han dado para la introduccin del teorema de Pitgoras en el mbito escolar han oscilado en dos aspectos: su vertiente formativa y su rol instrumental o utilitario. Empezando por la vertiente utilitaria es absolutamente necesario para la enseanza posterior de numerosos conceptos cientficos, no slo matemticos sino fsicos. Pero adems se destaca su carcter instrumental para resolver multitud de problemas, por ejemplo de clculos de distancias en el plano, en los mapas, en la realidad. El teorema de Pitgoras permite calcular uno de los lados de un tringulo rectngulo si se conocen los otros dos. As, permite calcular la hipotenusa c a

partir de los dos catetos a y b: 22 bac , o bien, calcular un cateto

conocidos la hipotenusa y el otro cateto: 22 bca .

El teorema de Pitgoras ha jugado un papel fundamental en el desarrollo de las matemticas. Mediante l fueron descubiertos los nmeros irracionales: usando el teorema, se sabe que la diagonal de un cuadrado de lado la unidad tiene

longitud 2 , que es un nmero irracional, es decir, la diagonal del cuadrado resulta inconmensurable con el lado. Igualmente el teorema de Pitgoras sugiere una forma de definir distancia en un plano coordenado y la generalizacin del teorema a tres dimensiones indica como se puede definir la distancia en espacios de ms dimensiones. 3.5.1 La Mtrica Euclidiana. Si a un plano lo dotamos de un sistema rectangular de coordenadas, se puede utilizar el teorema de Pitgoras para

encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera );( 11 yxP y );( 22 yxQ .

Figura 15. Definicin de la mtrica euclidiana.

O

);( 11 yxP

);( 22 yxQ

12 xx

12 yy d

y

x

48

En la Figura 15, la distancia d entre los dos puntos es la longitud de la hipotenusa del tringulo rectngulo, cuyos catetos estn dados por x2 x1 , y y2 y1 . Por lo tanto, aplicando el teorema se tiene:

d2 = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 )

2.

Se define entonces la distancia entre dos puntos );( 11 yxP y );( 22 yxQ :

3.5.2 Pitgoras en el Espacio. El teorema de Pitgoras tambin se puede generalizar a tres dimensiones. En un paraleleppedo, como el de la Figura 16, el cuadrado de la diagonal d es la suma de los cuadrados de los tres lados a, b

y c, es decir: 2222 cbad .

Figura 16. Pitgoras en 3-D.

Demostracin: El resultado para el espacio se obtiene aplicando dos veces el teorema de

Pitgoras en el plano (ver Figura17): 222

1 bad y 22

1

2 cdd .

Sustituyendo d12, se tiene: 2222 cbad , lo que se quera probar.

Figura 17. Definicin de la mtrica en el espacio.

d

b

a

c

d1

d

b

a

c

2

12

2

12 )()( yyxxd

49

Del anterior procedimiento se puede observar que la mtrica euclidiana puede ser generalizada a espacios coordenados de n-dimensiones. Si

),...,,( 21 nxxxX y ),...,,( 21 nyyyY son dos puntos en un plano de

coordenadas de dimensin n, la distancia entre ellos se puede definir como:

2/1

1

2)(),(

n

i

ii yxYXd

3.5.3 Pitgoras y la Trigonometra. Las funciones trigonomtricas seno y coseno en los tringulos rectngulos se definen, como razones entre los lados, de la siguiente manera:

Figura 18. Razones trigonomtricas para el tringulo rectngulo.

Seno del ngulo X cociente del cateto opuesto sobre la hipotenusa:

c

axsen )( .

Coseno del ngulo X cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa:

c

ax )cos( .

Como dos tringulos que tienen los ngulos correspondientes iguales entre s son semejantes (criterio de semejanza A.A), entonces sus lados correspondientes son proporcionales: si en uno las medidas son a, b, c en el otro sern ka, kb, kc. Es decir, las razones de los lados correspondientes no varan de un tringulo a otro. De aqu se sigue que las funciones seno y coseno slo dependen del ngulo x, y no del tamao del tringulo. Gracias a la consideracin anterior, se pueden definir las funciones seno y coseno para cualquier ngulo, mediante una extensin de la definicin dada antes: En un crculo unitario (radio igual a la unidad), como en la Figura 19, si A es el punto que determina el ngulo x (un arco de longitud x), entonces cos(x) es igual a OB (proyeccin horizontal de OA), sen(x) se define como AB (proyeccin vertical de OA).

50

Con 0 < x < 90, AB es el cateto opuesto, OB el adyacente y OA la hipotenusa, se tiene:

ABAB

OA

ABxSen

1)( OB

OB

OA

OBxCos

1)(

Para los otros ngulos solo vara el signo del resultado segn el cuadrante en el que se encuentre posicionado el punto A que determina el ngulo x.

El teorema de Pitgoras es equivalente a la Identidad Trigonomtrica

Fundamental, llamada tambin Identidad pitagrica:

122 xCosxSen

Figura 19. Crculo Unitario e Identidad pitagrica.

3.5.4 La Ley del Coseno. Algunas veces la ley del coseno (conocida tambin como teorema del coseno) se le da el nombre de Teorema General de Pitgoras o Generalizacin del Teorema de Pitgoras; debido a que es aplicable a cualquier tringulo y a que su aplicacin al tringulo rectngulo viene siendo slo un caso particular, el cual constituye lo que tradicionalmente se conoce como el Teorema de Pitgoras, referido nicamente a los cuadrados de los lados. La siguiente demostracin de la ley del coseno se divide en dos partes. Ley del Coseno: En todo tringulo, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de esos dos lados multiplicado por el coseno del ngulo que ellos dos forman.

O

1

Cos x

Sen x

B

A

x

51

Primera Parte (tringulo acutngulo) 44: Hiptesis: Se considera el tringulo de la Figura 20, en el cual a, b y c son sus

lados, m y n son las partes en que la altura h divide al lado c, y < 90.

Figura 20. Ley del Coseno Tringulo Acutngulo.

Tesis: cos2222 bccba Demostracin: Aplicando el teorema de Pitgoras en los tringulos rectngulos definidos

por la altura h, se tienen las siguientes expresiones: 222 mha (1) y 222 nhb , entonces 222 nbh (2)

Por hiptesis, se tiene: nmc ; entonces: 2222 2 nmnmnmc Y de lo anterior se tiene la expresin: 222 2 nmncm (3)

Se sustituyen los miembros derechos de (2) y (3) en (1), resulta que:

22222 2 nmncnba 2222 22 nmncba

)(2222 nmncba

Pero, nmc entonces: nccba 2222

Como b

ncos , se tiene: cosbn .

Por lo tanto: cos2222 bccba

44

Como se puede observar en la Figura 20, el ngulo formado por los lados a y b puede ser

agudo u obtuso sin que afecte el desarrollo anterior, pues en ambos casos la altura h sigue definiendo los dos tringulos rectngulos tratados. Esto muestra que la relacin se cumple para los ngulos agudos de cualquier tringulo.

52

Segunda Parte (tringulo obtusngulo): Hiptesis: Consid