un viatge per l’infinit
DESCRIPTION
Un viatge per l’infinit. Joan Bagaria. Dia de la ciència a les escoles IES La Garrotxa Olot 14 de novembre de 2007. Quin és el nombre més gran?. Alguns nombres molt grans:. Els nombres no s’acaben mai. Donat un nombre n , sempre n’hi podem afegir un més i obtenir n+1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Un viatge per l’infinitUn viatge per l’infinit Un viatge per l’infinitUn viatge per l’infinit
Dia de la ciència a les escolesDia de la ciència a les escolesIES La GarrotxaIES La Garrotxa
OlotOlot14 de novembre de 200714 de novembre de 2007
Joan BagariaJoan Bagaria
Quin és el nombre més gran?Quin és el nombre més gran?
Alguns nombres molt grans:Alguns nombres molt grans:
1010 = Nombre de bits en un CD1010 = Nombre de bits en un CD
2210 = Nombre d'àtoms en una
mina de llapis.
2210 = Nombre d'estrelles a l'univers.2210 = Nombre d'estrelles a l'univers.
8510 Nombre de partícules a l'univers.8510 Nombre de partícules a l'univers.
10010 1 Googol10010 1 Googol
10010 1000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
10010 1000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
Els nombres no s’acaben mai....Els nombres no s’acaben mai....
Donat un nombre Donat un nombre nn, sempre n’hi , sempre n’hi podem afegir un més i obtenir podem afegir un més i obtenir n+1n+1..
Hi ha, potencialment, Hi ha, potencialment, infinitsinfinits nombres naturals!nombres naturals!
Els nombres transfinits de CantorEls nombres transfinits de Cantor
Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918
Res no impedeix pensar en la totalitatinfinita dels nombres naturals.
O sí ?
I continuar comptant ......
?Les
paradoxes de l’infinit
Galileo Galilei, 1564-Galileo Galilei, 1564-16421642
Galileo Galilei, 1564-Galileo Galilei, 1564-16421642
La paradoxa de Galileo
0,1,2,3,4,5,....., ,.....n0,1,2,3,4,5,....., ,.....n
0,2,4,6,8,10,...., 2 ,.....n0,2,4,6,8,10,...., 2 ,.....n
La paradoxa de Tristram Shandy
1,...,365,...,730,...,365 ,.....n1,...,365,...,730,...,365 ,.....n
1,2,...., ,............n1,2,...., ,............n
L’Hotel infinit de HilbertL’Hotel infinit de Hilbert
David Hilbert 1862-David Hilbert 1862-19431943
David Hilbert 1862-David Hilbert 1862-19431943
L'aclariment definitiu de L'aclariment definitiu de la naturalesa dela naturalesa de l'infinit l'infinit
ha esdevingut necessari, ha esdevingut necessari, no només per als no només per als
interessos especials de interessos especials de les ciències particulars, les ciències particulars,
sinó sobretot per a sinó sobretot per a l'honor del mateix l'honor del mateix enteniment humà.enteniment humà.
1 2 3 4 5 6 7 8
Si l’infinit porta a tantes Si l’infinit porta a tantes paradoxes.....paradoxes.....
No fariem millor d’oblidar-nos-en?No fariem millor d’oblidar-nos-en?
Pregunta de sentit comú:Pregunta de sentit comú:
Succesions de Goodstein (1944)Succesions de Goodstein (1944)
Reuben L. Goodstein, Reuben L. Goodstein, 1912-19851912-1985
Reuben L. Goodstein, Reuben L. Goodstein, 1912-19851912-1985
22 2 125 2 2 1 33 3 13 3 1 1 7625597485068
1340780792994259709957402499820584612747936582059239
337772356144372176403007354697680187429816690342769
0031858186486050853753882811946569946433649006085119
44 4 14 4 1
El següent terme de la sèrie és un El següent terme de la sèrie és un nombre que té nombre que té 2216 dígits2216 dígits! !
El següent terme de la sèrie és:El següent terme de la sèrie és:
Que és igual a:Que és igual a:
El teorema de Goodstein (1944)El teorema de Goodstein (1944)
Tota successió de Goodstein convergeix a....
El teorema de Kirby i Paris (1982)
El teorema de Goodstein només es pot demostrar si existeix un conjunt infinit!
0en un nombre finit de passos.
La teoria dels nombres transfinits La teoria dels nombres transfinits de Cantorde Cantor
Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918Georg Cantor, 1845-1918
2 2 2
2 2 2
0,1,2,3,4,5,6,7,........,
, +1, +2, +3,........,
2, 2+1, 2+2,......,
3, 3+1, 3+2,.......,
..................,
, +1,........, + ,........,
+ 2,........, 2,........., 2+ ,...
3
....,
,........, ,......., ,........., etc.
2 2 2
2 2 2
0,1,2,3,4,5,6,7,........,
, +1, +2, +3,........,
2, 2+1, 2+2,......,
3, 3+1, 3+2,.......,
..................,
, +1,........, + ,........,
+ 2,........, 2,........., 2+ ,...
3
....,
,........, ,......., ,........., etc.
0,1,2,3,4,5,6,7,..........
1 0,1,2,3,4,5,6,............,
Georg Cantor, 1874Georg Cantor, 1874
EEl conjunt de l conjunt de
punts de punts de ll'interval [0,1] 'interval [0,1]
no es potno es pot numerar.numerar.
L’argument diagonal
0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1....... 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1....... 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1....... 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0....... 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1....... 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0....... 6 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0....... 7 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0....... . ...................................................................
1 0 1 1 0 1 0 0 ..........
No és a la llista!
0 1 2 n 1
.
, , ,......, ,....., , ,.....,
,....., ,....., ,.....
0 1 2 n 1
.
, , ,......, ,....., , ,.....,
,....., ,....., ,.....
Els àlephs
La teoria matemàtica que estudia La teoria matemàtica que estudia els nombres infinits és la els nombres infinits és la
Teoria de ConjuntsTeoria de Conjunts
La paradoxa de Russell
(1902)
Sigui A el conjunt de tots aquells
conjunts que no són elements de
si mateixos. Bertrand
Russell, 1872-1970
Bertrand Russell, 1872-
1970Aleshores,...
si A pertany a A, A no pertany a A,
i si A no pertany a A, A pertany a A.
?
La paradoxa del barberLa paradoxa del barber
El barber del El barber del poble afaita tots poble afaita tots els homes del els homes del poble que no poble que no s’afaiten a si s’afaiten a si mateixos.mateixos.
Qui afaita el Qui afaita el barber?barber?
La paradoxa de Richard (1905)La paradoxa de Richard (1905)
Considerem el conjunt C dels nombres que es
poden definir en catalàamb menys de 16
paraules.
C és finit!
El menor nombre natural que El menor nombre natural que
no és definible en català amb no és definible en català amb
menys de setze paraules.menys de setze paraules.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15
La teoria de conjunts de La teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb Zermelo-Fraenkel amb
l’axioma d’elecció (l’axioma d’elecció (ZFCZFC))
Axiomes:Axiomes:
Extensionalitat:Extensionalitat: Si dos conjunts tenen els mateixos elements són iguals.
Potència:Potència: Donat un conjunt x hi ha un conjunt (x) que té com elements tots els subconjunts de x.
Unió:Unió: Donat un conjunt x, hi ha un conjunt x que té com elements tots els elements dels elements de x.
Infinitud:Infinitud: Hi ha un conjunt infinit.
Axiomes de substitució:Axiomes de substitució: El recorregut d’una funció definible que té com a domini un conjunt, és un conjunt.
Regularitat:Regularitat: Donat un conjunt no buit x, hi ha un element de x que no té cap element en el conjunt x.
Axioma d'elecció:Axioma d'elecció: Tot conjunt es pot ordenar bé.
Tota la matemàtica es pot reduir Tota la matemàtica es pot reduir a la teoria de conjunts !a la teoria de conjunts !
Donat un enunciat matemàtic, tenim tres possibilitats:
•Que sigui demostrabledemostrable en ZFC.
•Que sigui refutablerefutable en ZFC.
•Que sigui indecidibleindecidible en ZFC.
La Hipòtesi del Continu G. Cantor, 1878
Tot conjunt infinit de nombres reals és o bé numerable, o bé bijectable amb .Tot conjunt infinit de nombres reals és o bé numerable, o bé bijectable amb .
Hi ha exactament 1 nombres reals.Hi ha exactament 1 nombres reals.
És a dir......
Kurt Gödel, 1906-1978Kurt Gödel, 1906-1978
No es pot demostrar en
ZFC que la hipòtesi del
continusigui falsa.
Paul J. Cohen, 1963-2007Paul J. Cohen, 1963-2007
Tampoc no es Tampoc no es pot demostrarpot demostraren ZFC que la en ZFC que la
hipòtesi del hipòtesi del continu sigui continu sigui verdadera.verdadera.
La Hipòtesi del Continu és indecidibleindecidible
en ZFC!
Calen més axiomes!
Per ampliar el tema:Per ampliar el tema:
J. Bagaria: Una petita excursió al paradís de Cantor. Publicat a : Matemàtiques del segle XXI: dels fonaments a la tecnologia. Cicle Ferran Sunyer i Balaguer. Editat per M. Castellet. Fundació CaixaSabadell (2003)
J. Bagaria: Una petita excursió al paradís de Cantor. Publicat a : Matemàtiques del segle XXI: dels fonaments a la tecnologia. Cicle Ferran Sunyer i Balaguer. Editat per M. Castellet. Fundació CaixaSabadell (2003)
Sobre el teorema de Goodstein, aneu a:http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem
Sobre el teorema de Goodstein, aneu a:http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein's_theorem
J. Bagaria: Paul J. Cohen y la técnica del forcing. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Volumen 2, Número 3. Páginas 543-553(1999)
J. Bagaria: Paul J. Cohen y la técnica del forcing. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Volumen 2, Número 3. Páginas 543-553(1999)
Els dos articles anteriors els podeu trobar a la mevà pàgina web:http://www.icrea.es/ca/investigadors/index.html
Els dos articles anteriors els podeu trobar a la mevà pàgina web:http://www.icrea.es/ca/investigadors/index.html
SCIENTISTS & THINKERSTIME MAGAZINE, MARCH 29, 1999 Leo Baekeland, plastics pioneerTim Berners-Lee, Internet designerRachel Carson, environmentalistAlbert Einstein, physicistPhilo Farnsworth, inventor of electronic televisionEnrico Fermi, atomic physicistAlexander Fleming, bacteriologistSigmund Freud, psychoanalystRobert Goddard, rocket scientistKurt Godel, mathematicianEdwin Hubble, astronomerJohn Maynard Keynes, economistThe Leakey Family, anthropologistsJean Piaget, child psychologistJonas Salk, virologistWilliam Shockley, solid-state physicistAlan Turing, computer scientistJames Watson & Francis Crick, molecular biologistsLudwig Wittgenstein, philosopherThe Wright Brothers, visionary aviators