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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN

EMPÍRICA

Sonia Benito Muela(mayo 2003)

Departamento de Fundamentos de Análisis II de la UCMCampus de Somosaguas (s.n.)

Email: soniabm@ccee.ucm.es;Tl: 91-394-23-53

Departamento de Análisis Económico II de la UNEDSenda del Rey, nº 11

Email: soniabm@cee.uned.esTl: 91-398-84-57

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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN

EMPÍRICA

resumenEn este trabajo se propone un vector de duraciones para la gestión del riesgo de precio de activos de

renta fija. El vector propuesto se deriva de un modelo de componentes principales. A partir de un modelo de este

tipo, y mediante una simple transformación de los factores explicativos de los cambios en la ETTI, que en estos

modelos son los tres primeros componentes principales de los datos, se obtiene un vector de duraciones

tridimensional, cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en unos tipos de interés a unos

plazos clave, o diferenciales de tipos de interés.

Palabra clave: Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), componentes principales, riesgo de precio.

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UN MODELO DE DURACIÓNMULTIFACTORIAL. UNA APLICACIÓN

EMPÍRICA

1. Introducción

En los últimos años se han desarrollado nuevos instrumentos para la gestión del

riesgo de precio de activos de renta fija. El desarrollo de tales instrumentos se ha producido

de forma paralela a los avances que a nivel teórico y empírico se están produciendo en el

estudio de la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), y sobre todo con aquellos

relacionados con el estudio de factores comunes en la ETTI y los métodos de estimación.

Tradicionalmente la medida utilizada para la gestión del riesgo de precio de activos

de renta fija es la duración de Fisher y Weil. Esta medida recoge cuan sensible es el precio

de una referencia ante cambios uniformes en los tipos de interés, es decir, ante

desplazamientos paralelos de la ETTI. Su propia definición hace que esta medida presente

una limitación importante, ya que como se ha puesto de manifiesto en muchos trabajos

empíricos, muchos de los cambios que se suceden en la ETTI distan de ser de carácter

paralelo.

Ello ha hecho necesario el desarrollo de nuevas medidas de duración que permitan

cuantificar de forma más precisa cuan sensible es el precio de una referencia a los distintos

cambios que puedan producirse en la estructura temporal.

Las distintas medidas de duración desarrolladas para la gestión del riesgo de precio

de un activo de renta fija parten todas ellas de una filosofía común, que es la siguiente. La

alta correlación observada entre los tipos de interés a distintos plazos, hace plausible asumir

que el comportamiento dinámico de todo el conjunto de tipos en la estructura temporal puede

ser representado a partir de un número reducido de variables o factores. Bajo este supuesto

las nuevas medidas de duración desarrolladas tratan de medir cuan sensible es el precio de un

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referencia a cambios en cada una de las variables o factores que guían el comportamiento de

la ETTI.

Algunas de éstas medidas las podemos encontrar en los trabajos de Barber y Cooper

(1996), Navarro y Nave (1997), Moreno (1997), y Gómez (1998). En estos trabajos las

medidas de duración propuestas son todas diferentes ya que parten de distintos modelos

explicativos de la ETTI.

En el trabajo de Navarro y Nave (1997) se plantea un modelo de factores de la ETTI

basado en el análisis de regresión. En este modelo las variables explicativas de los datos son

unos tipos de interés a unos plazos clave identificados mediante modelos de regresión.

Concretamente los plazos utilizados son dos: el tipo de interés a 3 años y el diferencial de

tipos de interés a 3 años y 2 meses. A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de

duraciones bidimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios

en el tipo de interés a 3 años y en el diferencial de tipos 3 años/2 meses. Barber y Cooper

(1996) plantean un modelo de factores donde las variables explicativas de los cambios en la

ETTI son los tres primeros componentes principales de los datos, aquellos que

conjuntamente explican al menos el 95% de la variabilidad de los cambios en los tipos de

interés. A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de duraciones tridimensional

cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en los tres primeros

componentes principales de los datos. En Moreno (1997) se parte de un modelo de

valoración de activos donde se asume que los precios de los bonos cupón cero son una

función de un número reducido de variables de estado que siguen un proceso de difusión.

Concretamente, Moreno supone que hay dos variables de estado, el tipo de interés

instantáneo y el diferencial entre el tipo instantáneo y el tipo a largo plazo. Asumido un

determinado proceso de difusión para las variables de estado, e imponiendo condiciones de

no arbitraje, obtiene expresiones analíticas para los precios de los bonos cupón cero a

distintos plazos de vencimiento. A partir de las expresiones obtenidas deriva un vector de

duraciones bidimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios

en el tipo de interés instantáneo el primero de ellos y el tipo a largo plazo el segundo. Por

último en el trabajo de Gómez (1998) se plantea un modelo paramétrico de duración

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multifactorial donde se asume que la variables explicativas de la ETTI son los parámetros

incorporados en la expresión utilizada para la estimación de la ETTI. Concretamente, la

expresión utilizada en este trabajo es la obtenida en el método de estimación propuesto por

Nelson y Siegel (1986). A partir del modelo propuesto se obtiene un vector de duraciones

tetradimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios en cada

uno de los cuatro parámetros que según el método propuesto por Nelson y Siegel (1986)

explican la formación de los tipos de interés.

En línea con el trabajo realizado por Barber y Cooper (1996), en este artículo

presentamos un modelo de factores de la ETTI basado en el análisis de componentes

principales. A partir del modelo propuesto, y mediante una simple transformación de los

factores explicativos de la ETTI, que son los tres primeros componentes principales de los

datos, obtenemos un vector de duraciones tridimensional cuyos componentes mide la

sensibilidad de los precios a cambios en unos tipos de interés a unos plazos clave, o

diferenciales de tipos de interés.

A diferencia del vector de duraciones presentado por Barber y Cooper(1996), cuyos

componentes miden la sensibilidad del precio ante cambios en los tres primeros

componentes principales de los datos, variables que nos son directamente interpretables, el

vector de duraciones que proponemos en este trabajo mide la sensibilidad del precio de un

bono ante cambios en tres variables que son conocidas por los inversores. La primera de

ellas es el tipo de interés a 3 años. La segunda es el diferencial de tipos de interés a 10 años/4

meses, y la tercera es una suma de diferenciales. El diferencial 10 años/3 años y 9 meses/3

años.

Frente a otros modelos desarrollados en la literatura, el modelo propuesto en este

trabajo tiene conjuntamente una serie de ventajas. En primer lugar, respecto a los modelos de

factores dinámicos o los modelos de valoración de activos (Moreno(1997)), los modelos de

componentes principales comparten con los modelos de regresión, la ventaja de que son muy

fácilmente implementables, lo que facilita su uso por parte de un inversor. Además, respecto

a los modelos teóricos de valoración de activos, los modelos de componentes principales

tienen también la ventaja de que en ellos las variables explicativas de la ETTI no se imponen

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ad-hoc, ya que los componentes principales incluidos como variables explicativas de la ETTI

son las variables que resumen óptimamente la información contenida en la estructura

temporal.

Por último, frente a los modelos paramétricos (Gómez(1998)), los modelos de

componentes principales tienen la ventaja de que en ellos las variables explicativas de la

ETTI, aunque no son directamente interpretables, pueden ser conocidas mediante una simple

transformación.

De cara a la gestión del riesgo de precio de activos de renta fija, tan importante es

disponer de una medida de sensibilidad de los cambios en el precio ante cambios la ETTI,

como conocer la naturaleza de las variables o factores que determinan dichos cambios, lo

que es fundamental de cara a la formulación de expectativas o escenarios de posibles

cambios en la ETTI. A este respecto, el hecho de que en los modelos de componentes

principales las variables explicativas de la ETTI puedan ser conocidas mediante una simple

transformación, otorga a estos modelos un gran potencial, y es precisamente este hecho lo

que queremos resaltar en este trabajo.

El resto del trabajo se organiza como sigue. En la sección 2, derivamos

analíticamente como obtener un vector de duraciones a partir de un modelo de factores de la

estructura temporal. En la sección 3, describimos algunas características del análisis de

componentes principales y presentamos los resultados empíricos obtenidos para el mercado

español En la sección 4, identificamos los tres primeros componentes principales de los

datos con unos tipos de interés a unos plazos determinados y/o algunos diferenciales de tipos

de interés. En la sección 5, presentamos el vector de duraciones propuesto para la gestión de

carteras. Por último, en la sección 6, evaluamos mediante un ejercicio teórico, cuan bueno es

el vector de duraciones propuesto para aproximar los cambios en el precio teórico de un

amplio conjunto de referencias del mercado de deuda español.

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2. Aproximación lineal al riesgo de precio de un activo de renta fija. Un

vector de duraciones multifactorial

En economía financiera se asume que el precio que el mercado está dispuesto a pagar

por un activo de renta fija es igual a la suma descontada de los flujos de renta pendientes de

pago que ofrece ese activo. Así, utilizando factores de descuento continuos, el precio de un

bono j puede expresarse como sigue:

)),0(exp(1

ii

k

i

tj tRtFP

i−= ∑

=

(1)

donde (0, )iR t representa el tipo de interés cupón cero a plazo it , y 1 2 3, , ,...,

kt t t tF F F F

representan los pagos pendientes del bono j. El importe de estos pagos es igual al cupón por

el nominal, durante los k-1 primeros períodos, y lo mismo más el nominal en el instante k,

que es cuando vence el título.

En la expresión (1) se observa que en t, el precio que el mercado está dispuesto a

pagar por un activo de estas características, depende de los tipos de interés que exigen los

inversores a distintos plazos. De ello se deduce que cambios en los tipos de interés, hará que

cambien los precios cotizados en los mercados de deuda, donde se negocian estos activos.

Aunque la relación mantenida entre los precios y los tipos de interés no es lineal, podemos

aproximar sus cambios mediante la siguiente expresión:

∑=

=k

i

ii

jj tdR

todR

dPdP

1

),0(),(

(2)

∑ ∑= =

=k

i

k

i

ft

i

jj dfa

todR

dPdP i

i

1 1

}{),(

y en el caso particular en que k es igual a 3,

8

Supuesto que la estructura temporal puede ser explicada por un número reducido de

k variables o factores1, los cambios en el precio de un bono pueden aproximarse por:

}{),( 321

1

321 dfadfadfatodR

dPdP f

tf

t

k

i

ft

i

jj

iii++= ∑

=

Así las variaciones porcentuales en el precio de un bono (u obligación) pueden

aproximarse linealmente por la suma de tres componentes, cada uno de los cuales recoge el

efecto que sobre el precio de estos activos tienen cambios en los tres factores explicativos de

la ETTI:

321 321dfDdfDdfD

PdP

fff

j

++= (3)

donde, 1f

D , 2f

D , 3f

D se definen como:

1

11

1( , )f i

jkfj

ti i

dPD a

p dR o t=

= ∑

2

21

1( , ) i

jkfj

f ti i

dPD a

p dR o t=

= ∑

3

31

1( , ) i

jkfj

f ti i

dPD a

p dR o t=

= ∑

1 Suponemos que la ETTI puede ser explicada por k factores, de tal forma que el tipo de interés a un

plazo it se puede expresar como:

∑=

=k

i

if

ti fatR i

i

1

),0(

donde if

ita : recoge el efecto que el factor i-ésimo tiene sobre el tipo de interés a plazo it

9

De (3) se deduce que hay tantos vectores de duración susceptibles de ser utilizados

para la gestión del riesgo de precio como modelos explicativos de la ETTI haya.

En línea con el trabajo de Barber y Cooper(1996), en este artículo el modelo

utilizado para, en primer lugar, explicar el comportamiento de los tipos de interés y, en

segundo lugar, extraer las correspondientes medidas de duración, está basado en el análisis

de componentes principales. En la siguiente sección resumimos brevemente en que consiste

este de técnicas y presentamos los resultados empíricos obtenidos en el estudio realizado

para el mercado español.

3. Un modelo de componentes principales. Resultados empíricos.

Componentes principales

El análisis de componentes principales tiene como objetivo, dadas n observaciones

de k variables, analizar si es posible representar adecuadamente esta información con un

número mínimo de variables que sean combinación lineales de las originales.

Sea X una matriz de datos de orden n × k, donde en columnas se representan las

variables y en filas las n observaciones de cada una de las k variables. Para resumir la

información contenida en X definimos el siguiente modelo.

ijipkjijijji fafafaX ,,,2

2,1

1, ... ε++++= (4)

kj ,...,1= y ni ,...,1= ,

donde jiX , es la observación i-esima de la variable jX ; imf , es la observación i-esima del

componente m y mja representa el efecto que el componente m tiene sobre la variable jX .

En términos matriciales el modelo (4) puede expresarse como:

jpkjjjj fafafaX ε++++= ...2

21

1 (7)

kj ,...,1= .

10

Los vectores 1f , 2f , ..., pf , de orden n×1 se denominan componentes principales y

se definen como:

kkmmmm XaXaXaf +++= ...2

21

1

pm ,...,1=

donde jma representa el peso que la variable jX tiene en el componente m.

El análisis de componentes principales consiste en determinar la forma en que los

componentes principales resumen óptimamente la información contenida en X , es decir en

determinar el conjunto de coeficientes jma , para kj ,...,1= y pm ,...,1= tales que el error

cometido al aproximar X por el modelo (4) es mínimo.

El conjunto de coeficientes ( kaaa 121

11 ,..., ) son los coeficientes que definen el

autovector asociado al autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y covarianzas de

X . De la misma forma, los coeficientes ( kaaa 222

12 ,..., ) son los coeficientes que definen el

autovector asociado al segundo autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y

covarianzas de X , y así sucesivamente.

Este tipo de técnicas, permiten además determinar que proporción de la varianza

total de la matriz cuya información se quiere resumir, puede ser explicada por cada

componente principal.

La varianza del primer componente principal es el máximo autovalor asociado a la

matriz de varianzas y covarianzas muestral de los datos. La varianza del segundo

componente principal es el segundo autovalor de mayor tamaño de la matriz de varianzas y

covarianzas muestral de los datos, y así sucesivamente. De ello se deriva que la proporción

de varianza total explicada por el componente principal i-ésimo viene dada por:

11

∑=

=k

j

j

iip

1

λ

λ

donde iλ es el autovalor i-ésimo de la matriz de varianzas y covarianzas de los

datos, y ∑=

k

jj

1λ es la varianza total de la matriz de datos.

Por tanto, para estimar el modelo (4) lo único que se requiere es calcular los

autovectores asociados a los p mayores autovalores de la matriz de varianzas y covarianzas

de X , donde conviene recordar que X es la matriz cuya información se quiere resumir y p

es el número de componentes principales incluidos en el modelo.

Resultados empíricos

En esta sección presentamos los resultados empíricos obtenidos al aplicar técnicas de

componentes principales sobre las variaciones semanales de un amplio conjunto de tipos de

interés cupón cero del mercado español de deuda.

Dado que el objetivo último del trabajo realizado es poder obtener un vector de

duraciones para la gestión del riesgo de precio de los bonos y obligaciones negociados en el

mercado español de deuda pública, el estudio de componentes principales se ha realizado

sobre un conjunto muy amplio de tipos de interés.

Concretamente el estudio se ha realizado sobre tipos de interés cupón cero a 66

plazos distintos2. Estos plazos no han sido seleccionados al alzar, sino que se corresponden

con cada una de las fechas pendientes de pago de 27 referencias negociadas en el mercado

español el 2 de enero de 20013.

El período muestral analizado se extiende desde el 4 de enero de 1999 hasta el 2 de

enero de 2001. En dicho período se han calculado para los 66 plazos considerados las

variaciones semanales de los tipos de interés. Sobre las series obtenidas se ha llevado a cabo

el estudio de componentes principales cuyos resultados se exponen a continuación.

2 Para la estimación de los tipos de interés cupón cero se ha utilizado el método propuesto por Nelsony Siegel (1987).

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En la tabla 1 se presentan los diez primeros autovalores de la matriz de varianzas y

covarianzas de las variaciones semanales de los 66 tipos de interés considerados.

Tabla 1 Análisis de autovaloresVarianza

Varianza Explicada

Autovalores* Explicada Acumulada0.56 72.87 72.870.18 22.92 95.790.03 4.03 99.810.00 0.18 99.990.00 0.01 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.000.00 0.00 100.00

(*) Primeros 10 autovalores

El primer componente principal explica el 72,87% de la variabilidad total de las

variaciones semanales de los tipos de interés, el 22,92% el segundo componente y el 4,03%

el tercer componente principal. De esta forma conjuntamente los tres primeros componentes

explican casi el 100% de la variabilidad total de los cambios en la ETTI.

Sobre la base de estos resultados proponemos el siguiente modelo de factores de la

ETTI:

31 21 2 3(0, )

i i i i

ff fi t t t tR t a f a f a f ε∇ = ∇ + ∇ + ∇ + (5)

donde (0, )iR t representa la variación semanal del tipo de interés a plazo it y (0, )iR t∇ sus

variaciones semanales. 1f , 2f y 3f son los tres factores explicativos de la ETTI y 1f∇ ,

2f∇ y 3f∇ representan sus variaciones semanales. Aunque la naturaleza de estas variables

1f , 2f y 3f es desconocida, aproximamos sus variaciones semanales por los tres primeros

3 En la tabla 1, al final del artículo se presentan algunas características de los bonos utilizados.

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componentes principales de los datos. Así, en el modelo (5) 1f∇ , es el primer componente

principal; 2f∇ es el segundo componente principal y 3f∇ es el tercer componente principal.

En este modelo los coeficientes 1fti

a , 2fti

a y 3fti

a , son los coeficientes que recogen

respectivamente el efecto que sobre las variaciones semanales del tipo de interés a plazo it

tienen los tres primeros componentes principales. Estos coeficientes han sido estimados en el

análisis de componentes principales.

Para evaluar la bondad de ajuste del modelo propuesto se ha calculado el error

absoluto medio y mediano cometido al aproximar las variaciones semanales de los 66 tipos

de interés por las variaciones estimadas por el modelo (5), (ver gráfico 1). En la tabla 2,

presentamos el error absoluto medio y mediano para algunos plazos determinados.

Gráfico 1. Error absoluto medio y mediano

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.4 1.0 1.4 2.1 2.6 3.2 4.2 5.2 6.2 7.6 9.2 11.1 13.6

punt

os b

ásic

os

Error Absoluto medio Error absoluto mediano

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Tabla 2. Validación del modelo de factores(*)

Años0.03 0.56 1.03 2.07 3.07 4.07 5.07 6.07 7.07 8.08 10.08 12.08 13.57

Error absoluto medio 0.5 0.0 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.4 0.3 0.1 0.6 1.0Error máximo 7.7 0.4 1.2 1.5 0.6 3.0 4.0 3.7 3.0 2.1 0.5 3.3 5.6Error mínimo -2.7 -1.1 -3.9 -2.8 -0.4 -0.9 -1.8 -2.2 -2.1 -1.5 -2.0 -4.8 -7.9Error absoluto mediano 0.4 0.0 0.2 0.2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.3 0.2 0.1 0.4 0.7(*) Los estadísticos ofrecidos estan expresados en puntos básicos

Como puede observarse el ajuste del modo propuesto es muy bueno ya que en todos

los plazos, el error medio cometido al aproximar las variaciones semanales de los tipos de

interés es inferior a 1 punto básico.

A continuación y con el objetivo de establecer algún tipo de paralelismo entre los

resultados obtenidos en este trabajo y los obtenidos en la literatura, se analiza la forma en

que los tres primeros componentes principales de los datos afectan a la ETTI. Conocer la

forma en que los tres primeros componentes principales de los datos, afecta a la estructura

temporal es interesante de cara a la formulación de escenarios por parte de un gestor

financiero.

En el gráfico 2 presentamos los coeficientes que recogen el efecto que los tres

primeros componentes principales tienen sobre la estructura temporal española, en los 66

plazos considerados. En la tabla 3 presentamos esos coeficientes para algunos plazos

determinados.

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Gráfico 2.

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.0 0.4 1.0 1.4 2.1 2.6 3.2 4.2 5.2 6.2 7.6 9.2 11.1 13.6

Primer componente principal

Tercer componente principal

Segundo componente principal

Tabla 3. Factores de CargaAños

0.03 0.56 1.0 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 10.1 12.1 13.6Primer Componente 0.07 0.09 0.11 0.13 0.14 0.14 0.14 0.14 0.13 0.13 0.12 0.11 0.11Segundo Componente -0.31 -0.22 -0.15 -0.05 0.01 0.05 0.07 0.08 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09Tercer Componente 0.21 0.05 -0.04 -0.13 -0.13 -0.10 -0.05 0.01 0.06 0.10 0.17 0.21 0.24

Como puede observarse los coeficientes que determinan el efecto que cambios en el

primer componente principal tienen sobre los tipos de interés a plazos superiores a 1 año, son

todos positivos y de tamaño muy similar, lo que sugiere que este primer componente es

responsable de cambios paralelos en el tramo medio y largo de la curva de tipos. Por otra

parte, los coeficientes que determinan el efecto que el primer componente principal tiene

sobre los tipos de interés inferiores a un año son positivos, pero mas reducidos, lo que pone

de manifiesto que cambios en el primer componente alteran la pendiente de a ETTI en su

tramo corto.

En segundo lugar, se puede observar que los coeficientes que determinan el efecto

que cambios en el segundo componente principal tienen sobre la ETTI, son de signo positivo

en los tipos a largo plazo y negativos en los tipos a corto plazo. Ello sugiere que este

segundo componente es responsable de cambios en la pendiente largo/corto plazo de la

estructura temporal.

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Por último, los coeficientes que determinan el efecto que el tercer componente

principal tiene sobre la estructura temporal, en los plazos considerados en este trabajo, son

de signo positivo en los tipos a corto y largo plazo y negativos en los tipos a medio plazo, de

lo que se deduce que este componente es responsable de cambios en la curvatura de la

ETTI.

Los resultados obtenidos, tanto en lo que se refiere al número de componentes

necesario para explicar un porcentaje suficientemente elevado de la variabilidad de la ETTI,

como la forma en que los tres primeros componentes principales afectan a la estructura

temporal, son similares a los obtenidos por Alexander(2000), Barber y Cooper(1996),

Litterman y Scheinkman (1991) y Navarro y Nave (1995) para el mercado español.

4. Representación de los componentes principales como función de los tipos

de interés.

De cara a la formulación de escenarios y por tanto a la propia gestión de carteras, tan

importante es tener una buena medida de la sensibilidad del precio de un activo ante cambios

en un conjunto de factores, como conocer la naturaleza de las variables que explican el

comportamiento de la estructura temporal, o en su defecto conocer la forma en que estas

variables afectan a la ETTI. En ausencia de esta información no será posible formular

expectativas sobre las mismas ni formular escenarios de posibles cambios en la curva de

tipos, en cuyo caso las medidas de duración derivadas de un modelo de factores de este tipo,

no tendrán utilidad de cara a la gestión activa del riesgo de precio.

En este sentido, y dado que las variables explicativas de la ETTI en el modelo (5) no

son directamente interpretables, ya que los componentes principales son combinaciones

lineales de un amplio conjunto de tipos de interés, sería interesante evaluar si estos

componentes pueden ser identificados con unos tipos de interés a unos plazos determinados,

o con algunos diferenciales de tipos de interés.

Para evaluar si los componentes principales de los datos pueden ser identificados con

unos tipos de interés a unos plazos determinados, o con algunos diferenciales de tipos de

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interés, hemos calculado algunas correlaciones cuyas estimaciones presentamos en las tablas,

4, 5 y 6.

En la tabla 4 presentamos las correlaciones estimadas entre el primer componente

principal y las variaciones semanales de los tipos de interés a unos plazos determinados:

Tabla 4. Correlaciones contemporáneas. Primer componente y variaciones de tipos de interés

Años0.03 0.56 1.03 2.07 3.07 4.07 5.07 6.07 7.07 8.08 10.08 12.08 13.57

Primer Componente 0.34 0.60 0.78 0.95 0.97 0.97 0.96 0.95 0.93 0.92 0.89 0.85 0.82

Como puede observarse en la tabla 4, el primer componente principal está altamente

correlacionado con las variaciones semanales de los tipos de interés a medio plazo,

especialmente con los tipos de interés a tres y cuatro años. De ello se deduce que el primer

componente principal podría identificarse con el tipo de interés a 3 ó 4 años.

Estos resultados son consistentes con los obtenidos por Elton, Gruber y Macaulay

(1990) y Navarro y Nave (1997). En estos trabajos sus autores utilizan técnicas de regresión

para determinar que tipo de interés explica mejor las variaciones semanales de la ETTI. El

primero de los trabajos mencionados se ha realizado con datos del mercado de deuda

americano y el segundo de ellos con datos del mercado español. El hecho de que los

resultados obtenidos sean similares pone de manifiesto la robustez de los mismos, más aun,

si se tiene en cuenta que en estos trabajos se ha utilizado una metodología diferente, y

además el período muestra analizado y los plazos considerados son algo distintos.

El segundo componente principal puede ser identificado con un diferencial de tipos

de interés a largo y corto. Para determinar entre todos los posibles cual es aquel que

mantiene una correlación mayor con el segundo componente hemos calculado algunas

correlaciones, cuyas estimaciones presentamos en la tabla 5.

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Tabla 5. Correlaciones contemporáneas. Segundo componente y diferenciales de tipos

0.32 0.56 0.65 1.03 2.075.07 0.93 0.95 0.95 0.96 0.936.07 0.95 0.96 0.96 0.96 0.897.07 0.96 0.97 0.97 0.96 0.858.08 0.97 0.97 0.97 0.95 0.819.08 0.97 0.97 0.97 0.94 0.76

10.08 0.98 0.97 0.97 0.93 0.7311.08 0.98 0.97 0.96 0.92 0.7012.08 0.98 0.96 0.96 0.91 0.6713.57 0.97 0.96 0.95 0.89 0.64

(*) Correlación:segundo componente y el diferencial de tipos a 5,07 años y 0,32 años

Como puede observarse las mayores correlaciones entre el segundo componente

principal y los diferenciales largo /corto plazo de la ETTI las mantiene con los diferenciales

entre tipos a 10 años y 4 meses, 11 años y 4 meses y 12 años y 4 meses, que es en los tres

casos de 0,98.

Elton, Gruber y Michaelly (1990) y Navarro y Nave (1997) analizan también que par

de variables explican conjuntamente mejor los cambios en la ETTI. En Navarro y Nave

(1997) se encuentra que es el diferencial de tipos a 3 años y 2 meses, la variables que junto

con el tipo a 3 años explica mejor los cambios en la ETTI.

Estos resultados son un tanto diferentes a los obtenidos en este trabajo. No obstante

ello podría explicarse por el hecho de que en los trabajos mencionados se han considerados

distintos plazos de tipos de interés, y en ninguno de los dos mencionados se han analizado

tipos de interés superiores a diez años.

Por último, el tercer componente principal puede identificarse con un diferencial de

pendientes entre el tramo largo y corto de la estructura temporal. No obstante, en este caso la

relación mantenida no es tan estrecha como la observada entre el primer componente

principal y algunos tipos de interés o como la observada entre el segundo componente y

algunos diferenciales de tipos de interés.

En la tabla 6 presentamos algunas correlaciones entre el tercer componente principal

y algunos diferenciales entre pendientes. Entre las presentadas la correlación más alta se ha

19

detectado entre el tercer componente y los diferenciales entre tipos a 10 años y 3 meses y 3

años y 9 meses.

Tabla 6. Correlaciones contemporáneasTercer componente y diferenciales de tipos

0,03/3,07 0,23/3,07 0,44/3,07 0,82/3,0713,57/3,07 0.69 0.71 0.73 0.7713,57/3,56 0.66 0.67 0.69 0.7312,07/3,07 0.69 0.70 0.72 0.7712,07/3,56 0.66 0.67 0.69 0.7311,07/3,07 0.68 0.70 0.72 0.7711,07/3,56 0.65 0.66 0.68 0.7210,07/3,07 0.68 0.69 0.71 0.7710,07/3,56 0.64 0.65 0.67 0.729,07/3,07 0.66 0.68 0.70 0.759,07/3,56 0.63 0.64 0.65 0.708,07/3,07 0.64 0.66 0.67 0.738,07/3,56 0.61 0.62 0.63 0.67

(*) correlación: tercer componente y suma de diferenciales 13.57/3.07 y 0.82/3.07

Los resultados obtenidos en esta sección son interesantes por cuanto que ponen de

manifiesto que los tres primeros componentes principales de las variaciones semanales de los

tipos de interés pueden ser identificados con unos tipos de interés a unos plazos clave, o

algunos diferenciales de tipos de interés. Para resumir podríamos decir que el primer

componente principal podría ser identificado con el tipo de interés a 3 ó 4 años. El segundo

componente principal con el diferencial 10 años/4 meses, 11 años/4 meses y/o 12 años/4

meses. Y por último, el tercer componente principal puede ser identificado con el diferencial

de pendientes entre los plazos de 10 años/3 años y 3 años/9 meses.

5. Un vector de duraciones multifactorial.

En la sección 3 de este artículo proponemos un modelo de factores para explicar los

cambios semanales en los tipos de interés de la deuda española. En este modelo las variables

explicativas de los datos, son los tres primeros componentes principales, aquellos que

20

conjuntamente explican casi el 100% de la variabilidad de los cambios semanales en la

ETTI.

Utilizando el modelo propuesto en (5), podemos aproximar linealmente los cambios

en el precio de un bono como la suma de tres componentes, tal y como se recoge en (6):

3121 321fDfDfD

PP j

fjf

jf

j

∇+∇+∇=∇

(6)

donde, 1f∇ , 2f∇ y 3f∇ representan los tres primeros componentes principales de los datos

y 1

jfD ,

2

jfD , y

3

jfD son los tres componentes del vector de duraciones. Cada uno de estos

componentes recoge respectivamente cuan sensible es el precio del bono j a cambios en el

primer, segundo y tercer componente principal, que son las variables que en el modelo (5)

explican los cambios semanales de los tipos de interés. Dichos componentes se calculan

como:

∑=

=k

i

ft

i

j

f ia

todR

dPD

1

1

1 ),(, ∑

=

=k

i

ft

i

j

f ia

todRdP

D1

2

2 ),( y ∑

=

=k

i

ft

i

j

f ia

todR

dPD

1

3

3 ),(

donde j

i

fta para 3,2,1=j , recoge el efecto que sobre el tipo de interés a plazo it tiene un

cambio en el j-ésimo componente principal. Estos coeficientes han sido calculados en el

análisis de componentes principales.

De cara a la gestión del riesgo de precio, la utilidad del vector de duraciones

propuesto en (6) queda limitada por el hecho de que, como puede observarse en (6), estos

componentes miden la sensibilidad del precio de un activo ante cambios en los tres primeros

componentes principales de los datos, variables que no son directamente interpretables. En

este sentido creemos que podría ser interesante transformar el vector de duraciones de tal

forma que sea posible expresar los cambios en el precio de un bono como una función lineal

de variables conocidas e interpretables.

21

Con tal objetivo, y sobre la base de los resultados presentados en la sección 4,

proponemos la siguiente transformación de los factores:

[ ]1 1

1 2 3 2 2

3 3

0 0

0 0

0 0

a X

f f f a X

a X

∇ ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇

(7)

donde la variable 1X representa el tipo de interés a 3 años. 2X representa el diferencial de

tipos de interés a tipo de interés a 10 años y 4 meses, y 3X representa una suma de

diferenciales, 10años/3 años y 9 meses/3 años. Los coeficientes, 1a , 2a , y 3a han sido

obtenidos al estimar por MCO las siguientes regresiones:

1 1 1 1f a X ε∇ = ∇ + (1)

2 2 2 2f a X ε∇ = ∇ + (2)

3 3 3 3f a X ε∇ = ∇ + (3)

Los coeficientes estimados, presentados en el apéndice I al final del artículo, son

todos positivos y estadísticamente significativos. El coeficiente de determinación de las

regresiones estimadas es del 95% en la primera; del 95% en la segunda y del 56% en la

tercera.

Utilizando la transformación propuesta en (7) podemos expresar los cambios en el

precio de una referencia como sigue.

321 321XDXDXD

PP j

Xj

Xj

X

j

∇+∇+∇=∇

(9)

donde, jXD

1, j

XD2, y j

XD3

son los tres componentes del vector de duración propuesto y se

calculan como:

22

111aDD j

fj

X = ; 222aDD j

fjX = y 333

aDD jf

jX =

cada uno de estos componentes mide respectivamente como cambiará el precio de un bono

cuando cambie, el tipo de interés a 3 años, diferencial de tipos de interés a 10 años /4 meses

y la suma de diferenciales a 10 años/3 años y 9 meses/3 años.

6. Aproximación lineal al riesgo de precio. Resultados Empíricos.

En esta sección presentamos los resultados empíricos obtenidos al utilizar el vector

de duraciones propuesto en (9) para estimar, bajo distintos escenarios de cambios en la

ETTI, los cambios en el precio de 27 de las referencias cotizadas en el mercado secundario

español el 2 de enero de 2001.

Para evaluar la bondad de los resultados obtenidos, comparamos dichas estimaciones

con los cambios producidos en el precio teórico de cada referencia bajo cada unos de los

escenarios propuestos.

Para la realización de este ejercicio se ha calculado previamente el vector de

duraciones sin transformar de las 27 referencias consideradas,

},,{~321

jX

jX

jX

j DDDD =

donde:

111aDD j

fj

X = ; 222aDD j

fjX = y 333

aDD jf

jX =

y recordamos que:

i

hhi

fthht

k

h

hj

jf atRtFt

PD )),0(exp(

1

1

−−= ∑=

para 3,2,1=i y 27,...,2,1=j .

El conjunto de coeficientes 1f

hta , 2f

hta y 3f

hta para los 66 plazos de tipos de interés

considerados se obtuvo del análisis de componentes principales.

23

Recordamos que los coeficientes 1f

hta , 2f

hta y 3f

hta recogen respectivamente cuan

sensible es el tipo de interés a plazos ht ante cambios en el primero, segundo y tercer

componentes principal. Para los 66 tipos de interés considerados en este trabajo estos

coeficientes fueron estimados en el análisis de componentes principales presentado en la

sección 3.

En la segundo columna de la tabla 7 presentamos la duración de Fisher y Weil, y en

las columnas 3 a 5 los tres componentes del vector de duraciones propuesto.

Tabla 7. Vector de duraciones D.Fisher Dx1 Dx2 Dx3

B4.25 1.52 1.26 -0.38 -0.20O-11.30 0.93 0.68 -0.39 -0.05B-7.90 1.08 0.81 -0.40 -0.08

O-10.30 1.35 1.08 -0.39 -0.15B-3.00 1.99 1.75 -0.26 -0.33B-5.25 1.93 1.70 -0.26 -0.32

O-10.90 2.39 2.20 -0.11 -0.41B-4.60 2.44 2.25 -0.11 -0.43

O-10.50 2.57 2.39 -0.05 -0.44O-8.00 3.01 2.87 0.16 -0.48O-4.50 3.33 3.20 0.27 -0.51B-3.25 3.77 3.66 0.48 -0.48

O-10.00 3.42 3.30 0.38 -0.42B-4.95 4.13 4.01 0.62 -0.40

O-10.15 4.00 3.86 0.64 -0.29O-8.80 4.34 4.18 0.74 -0.24O-7.35 5.05 4.80 1.01 0.00O-6.00 5.71 5.33 1.24 0.29O-8.20 6.09 5.54 1.33 0.57O-5.15 6.97 6.26 1.58 0.87O-4.00 7.39 6.52 1.71 1.12O-5.40 8.48 7.23 1.95 1.63O-8.70 7.56 6.41 1.67 1.42O-6.15 8.50 7.00 1.91 1.88O-4.75 9.91 7.84 2.23 2.53

24

Como puede observarse en la segunda columna de la tabla 7, el primer componente

del vector de duraciones, denotado por 1XD , es muy similar a la duración de Fisher y Weil

para todas las referencias. Este resultado no es extraño, ya que la duración de Fisher y Weil

mide la sensibilidad del precio de un activo ante cambios paralelos en la ETTI, y en nuestro

caso, el primer componente genera cambios casi de carácter paralelo en la ETTI.

Respecto al signo y el tamaño de los componentes de duración calculados cabe

mencionar lo siguiente:

1) En primer lugar, cabe observar que el primer componente de los vectores de

duración calculados es positivo en todos los casos. Ello significa que cambios en el

tipo de interés a tres años lleva asociado variaciones inversas en los precios de todas

las referencias. Si el tipo a 3 años aumenta, caerá el precio de todas las referencias,

mientras que si disminuye, aumentará el precio de todas las referencias. Por otro

lado, cabe señalar que la sensibilidad de los precios ante en esta variable es mayor en

los bonos y obligaciones con mayor duración tradicional y/o con mayor del tipo

1XD .

2) En segundo lugar, el segundo componente de los vectores de duración calculados es

negativo en las referencias con cupones del 4,25%, 11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%,

5,25%, 10,90%, 4,60% y 10,50% y positivo en el resto. Ello significa que un

aumento en el diferencial de tipos de interés 10 años/4 meses, generará aumentos en

el precio de las referencias con cupones del 4,25%, 11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%,

5,25%, 10,90%, 4,60% y 10,50% y caídas de precio en el resto (y viceversa).

A la vista de estos resultados, podríamos decir que a fecha del “2 de enero de 2001”

un desplazamiento ascendente y casi paralelo de la ETTI acompañado de un aumento

en su pendiente, entendida como el diferencial de tipos a 10 años y 3 meses, va a

generar menores caídas en precio en los bonos con cupones de referencia del 4,25%,

11,30%, 7,90%, 10,30%, 3,00%, 5,25%, 10,90%, 4,60%, 10,50% que en el resto (y

viceversa).

25

3) En tercer lugar, el tercer componente del vector de duración propuesto es negativo en

los bonos con un plazo residual de amortización inferior a 5,33 años y positivo para

aquellos que tienen un plazo residual de amortización superior a 7 años. Observar

además, que el tercer componente del vector de duraciones propuesto, es nulo para el

bono cupón 7,35%. Ello significa que esta referencia no es sensible a cambios en la

curvatura de la ETTI.

A continuación, presentamos los resultados obtenidos al utilizar los vectores de

duración presentados en la tabla 7, para estimar los cambios en el precio de cada referencia

ante distintos escenarios de cambios en la ETTI, y comparamos dichas estimaciones con las

producidas en el precio teórico de cada referencia bajo cada uno de los escenarios propuestos

(ver gráfico 3).

Bajo un primer escenario suponemos que el tipo de interés a 3 años aumenta 50

puntos básicos, lo que es equivalente a asumir que la ETTI se va a desplazar de forma

ascendente y casi paralela. Bajo un segundo escenario suponemos que la pendiente de la

ETTI, medida por el diferencial a 10 años/4 meses aumenta 50 pb., situándose en 100 puntos

básicos. Por último bajo un tercer escenario, suponemos que la suma de diferenciales 9

meses/3 años y 10 años/3 años aumenta también 50 puntos básicos.

En la tabla 8 presentamos los cambios estimados en las 27 referencias consideradas

bajo cada uno de los tres escenarios propuestos.

Bajo el primer escenario, donde hemos supuesto que el tipo de interés a 3 años

aumenta 50 pb., se producen caídas en el precio de todas las referencias cotizadas, y como

cabría esperar, dichas caídas son mayores en aquellas referencias que tienen una duración

tradicional mayor, y/o equivalentemente en aquellas con una duración del tipo 1XD mayor.

Bajo el segundo de los escenarios propuesto, los bonos que duraciones del tipo 2XD

negativas, experimentan aumentos de precio, mientras que aquellos que tienen duraciones

del tipo 2XD positivos experimentan caídas de precio. Por último, bajo el tercero de los

escenarios propuestos, los bonos y obligaciones con duración tradicional inferior a 5,33 años

26

experimentan aumentos en precio, mientras que el precio de las referencias con un plazo

residual de amortización superior a 7 años caerá. El precio del bono cupón 7,35% se no se

verá afectado.

En la tabla 8 presentamos también los cambios producidos en el precio teórico de

cada referencia bajo cada uno de los escenarios propuestos. Como puede observarse, los

cambios estimados por el modelo (6), son para casi todos los bonos y en los tres escenarios

propuestos, muy similares a los producidos en los precios teóricos de cada referencia. Ello

sugiere que el vector de duraciones propuestos es adecuado para la gestión del riesgo de

precio de la deuda pública española.

Estructura Temporal de Tipos de Interés (deuda pública española)

4.00

4.20

4.40

4.60

4.80

5.00

5.20

5.40

5.60

5.80

0.0 0.3 0.6 1.1 1.4 2.1 2.4 3.1 3.4 4.2 5.2 6.1 7.1 8.2 9.6 11.1 12.6

(%)

ETTI( 2ene01) Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario

27

Tabla 8. Cambios porcentuales en los precios

Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario Primer escenario Segudo escenario Tercer escenario

B4.25 -0.63 0.19 0.10 -0.63 0.19 0.10O-11.30 -0.34 0.19 0.02 -0.34 0.19 0.02B-7.90 -0.41 0.20 0.04 -0.41 0.20 0.04

O-10.30 -0.54 0.20 0.08 -0.54 0.20 0.08B-3.00 -0.87 0.13 0.17 -0.88 0.13 0.17B-5.25 -0.85 0.13 0.16 -0.85 0.13 0.16

O-10.90 -1.09 0.05 0.21 -1.10 0.05 0.21B-4.60 -1.11 0.05 0.22 -1.12 0.05 0.22

O-10.50 -1.18 0.02 0.22 -1.19 0.02 0.22O-8.00 -1.42 -0.08 0.24 -1.44 -0.08 0.24O-4.50 -1.58 -0.13 0.25 -1.60 -0.13 0.25B-3.25 -1.81 -0.24 0.24 -1.83 -0.24 0.24

O-10.00 -1.63 -0.19 0.21 -1.65 -0.19 0.21B-4.95 -1.98 -0.31 0.20 -2.01 -0.31 0.20

O-10.15 -1.91 -0.32 0.15 -1.93 -0.32 0.15O-8.80 -2.06 -0.37 0.12 -2.09 -0.37 0.12O-7.35 -2.36 -0.50 0.00 -2.40 -0.50 0.00O-6.00 -2.62 -0.61 -0.14 -2.67 -0.62 -0.14O-8.20 -2.73 -0.66 -0.28 -2.77 -0.66 -0.29O-5.15 -3.08 -0.79 -0.43 -3.13 -0.79 -0.43O-4.00 -3.21 -0.85 -0.56 -3.26 -0.86 -0.56O-5.40 -3.57 -0.98 -0.81 -3.61 -0.98 -0.81O-8.70 -3.14 -0.83 -0.71 -3.20 -0.84 -0.71O-6.15 -3.43 -0.95 -0.93 -3.50 -0.96 -0.94O-4.75 -3.84 -1.11 -1.25 -3.92 -1.12 -1.26

Cambios en los precios teóricos Cambios en precios estimados por el modelo

7. Conclusiones

En este artículo se propone un vector de duraciones para la gestión del riesgo de

precio de activos de renta fija. El vector propuesto parte de los modelos basados en el

análisis de componentes principales. A partir de un modelo de este tipo, y mediante una

simple transformación de los factores explicativos de los cambios en la ETTI, que en estos

modelos son los tres primeros componentes principales de los datos, se obtiene un vector de

duraciones tridimensional cuyos componentes miden la sensibilidad de los precios a cambios

en unos tipos de interés a unos plazos clave, o diferenciales de tipos de interés. El primer

componente mide la sensibilidad de los precios a cambios en el tipos de interés a 3 años. El

segundo componentes mide la sensibilidad de los precios a cambios en el diferencial de tipos

28

de interés a 10 años y 4 meses. Por último, el tercer componente, mide la sensibilidad de los

precios a cambios en la curvatura de la ETTI, la cual pude ser medida por la siguiente suma

de diferenciales: el diferencial de tipos 10 años/3 años y 9 meses/3 años.

Para la obtención del vector de duraciones propuesto en este trabajo se han aplicado

técnicas de componentes principales sobre un amplio conjunto de tipos de interés,

concretamente sobre tipos de interés a 66 plazos distintos. En línea con los resultados

obtenidos en la literatura encontramos que los tres primeros componentes principales de los

datos explican conjuntamente casi el 100% de la variabilidad total de los cambios en la

ETTI. Dichos resultados sugieren que se necesita un mínimo de tres variables para explicar

las variaciones semanales de los tipos de interés de la deuda pública española.

En este trabajo además de determinar cuántas variables son necesarias para explicar

los cambios en la curva de tipos, se ha analizado la relación mantenida entre los tres

primeros componentes principales de los datos y los tipos de interés a unos plazos

determinados, así como algunos diferenciales de tipos de interés. Fruto de tal análisis se ha

encontrado que el primer componente principal podría ser identificado con la variación

semanal del tipo de interés a 3 años. Con esta variable mantiene una correlación del 0,97. El

segundo componente principal podría ser identificado con las variaciones semanales del

diferencial de tipos de interés a 10 años y 4 meses, con respecto al cual mantiene una

correlación de 0,98. Por último, el tercer componente principal podría ser identificado con

una suma de diferenciales: el diferencial 10 años/3 años y el diferencial 9 meses /3 años. Con

respecto a esta variable la correlación estimada es del 0,77%.

Teniendo en cuenta estos resultados hemos transformado los tres primeros

componentes principales de los datos, que quedan explicados por unos tipos de interés a unos

plazos clave. Utilizando dicha transformación s posible explicar los cambios en el precios de

cada referencia por la suma de tres componentes, cada uno de los cuales recoge el efecto que

sobre los precios tendrán cambios en el tipo de interés a 3 años, el primero de ellos; en el

diferencial de tipos de interés a 10 años y 4 meses el segundo; y en la suma de diferenciales:

a 10 años/3 años y 9 meses/3 años, el tercero.

29

APÉNDICE I: ANÁLISIS DE REGRESIÓN

Modelo estimado para transformar los factores explicativos de cambios en la ETTI:

[ ]

+

∇∇∇

=∇∇∇

3

2

1

3

2

1

3

2

1

321

00

00

00

εεε

X

X

X

a

a

a

fff

donde:

Variables dependientes:

1f∇ : Representa el primer componente principal

2f∇ : Representa el segundo componente principal

3f∇ : Representa el tercer componente principal

Variables independientes:

1X∇ : representa las variaciones semanales de tipo de interés a 3 años

2X∇ : representa las variaciones semanales del diferencial de tipos 10 años/4 meses

3X∇ : representa las variaciones semanales de la suma de diferenciales: 10 años/3años y 9 meses/3

años

RESULTADOS DE LAS ESTIMACIONES ECONOMÉTRICAS

Variablesdependientes

Variablesindependientes

Coeficientes(std)

Estadísticot- student

p-valor 2R

1f∇ 1X∇ 1a 6.93(0.005)

95.42 0.00 0.95

2f∇ 2X∇ 2a 2.75(0.001)

98.16 0.00 0.95

3f∇ 3X∇ 3a 1.31(0.002)

26.85 0.00 0.59

30

Tabla 1. BONOS Y OBLIGACIONES DEL ESTADOFecha de Plazo residual de Duración

Amortización amortización Fisher-WeilB4.25 30-jul-02 1.57 1.52

O-11.30 15-ene-02 1.04 0.93B-7.90 28-feb-02 1.16 1.08

O-10.30 15-jun-02 1.45 1.35B-3.00 31-ene-03 2.08 1.99B-5.25 31-ene-03 2.08 1.93

O-10.90 30-ago-03 2.66 2.39B-4.60 30-jul-03 2.57 2.44

O-10.50 30-oct-03 2.82 2.57O-8.00 30-may-04 3.41 3.01O-4.50 30-jul-04 3.58 3.33B-3.25 31-ene-05 4.08 3.77

O-10.00 28-feb-05 4.16 3.42B-4.95 30-jul-05 4.58 4.13

O-10.15 31-ene-06 5.08 4.00O-8.80 30-abr-06 5.33 4.34O-7.35 31-mar-07 6.24 5.05O-6.00 31-ene-08 7.08 5.71O-8.20 28-feb-09 8.16 6.09O-5.15 30-jul-09 8.58 6.97O-4.00 31-ene-10 9.08 7.39O-5.40 30-jul-11 10.58 8.48O-8.70 28-feb-12 11.16 7.56O-6.15 31-ene-13 12.09 8.50O-4.75 30-jul-14 13.58 9.91

(*) Datos correspondientes al 2 de enero de 2001

31

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