uma proposta para o estudo da probabilidade no...
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PRODUTO EDUCACIONAL
UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DA PROBABILIDADE NO ENSINO MÉDIO
UTILIZANDO A CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA
VALDSON DAVI MOURA SILVA
JOSÉ LAMARTINE DA COSTA BARBOSA
VALDSON DAVI MOURA SILVA
JOSÉ LAMARTINE DA COSTA BARBOSA
UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DA PROBABILIDADE NO ENSINO MÉDIO
UTILIZANDO A CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA
Produto Educacional, cumprindo exigência do
programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
e Educação Matemática, da Universidade Estadual
da Paraíba, área de concentração em Educação
Matemática, como requisito parcial para obtenção do
grau de mestre em Ensino de Ciências e Educação
Matemática.
CAMPINA GRANDE - PB
2018
LISTA DE FIGURAS
Figura1: Luca Paccioli (1445 - 1514). Retirado da página
http://123matematic.blogspot.com.br/ em 10 de março de 2018....................................10
Figura 2: Imagem retirada da dissertação (SÁ 2015, p. 63)............................................22
Figura 3: Árvore de probabilidades do problema da moeda de Bertrand........................24
Figura 4: Triângulo ABC inscrito na circunferência ....................................................26
Figura 5: Circunferência de centro O, corda CD e diâmetro AB.................................26
Figura 6: Corda CD perpendicular ao segmento OM......................................................27
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Soma dos números das faces igual a 9............................................................15
Tabela 2: Soma dos números das faces igual a 10..........................................................16
SUMÁRIO
Introdução .............................................................................................................................6
História dos jogos de azar....................................................................................................7
Problema dos Pontos ............................................................................................................8
Problema do Grão-duque da Toscana para Galileu Galilei .................................................11
Problema dos dados de Chevalier de Méré .........................................................................15
Problema da agulha de Buffon ............................................................................................17
O Enigma de Monty Hall ....................................................................................................18
O Problema da moeda de Bertrand ......................................................................................21
O Problema dos Três prisioneiros .......................................................................................23
Problema do paradoxo de Bertrand .....................................................................................24
Considerações finais ............................................................................................................27
Referências ..........................................................................................................................28
7
INTRODUÇÃO
Ao concluirmos nossa dissertação, elaboramos e apresentamos este Produto
Educacional, como exigência do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Educação Matemática da Universidade Estadual da Paraíba, para obtenção do título de
mestre. Nossa pretensão com esta produção é contribuir de forma significativa com o
ensino de Probabilidade na Educação Básica, utilizando aspectos da História da
Matemática como artifícios metodológicos.
Nas 4 coleções do Ensino Médio que analisamos, verificamos que há uma
abordagem bastante sucinta do conteúdo objeto da nossa pesquisa, necessitando, no
processo de ensino e aprendizagem do mesmo, de um tratamento mais significativo.
Propomos, portanto, como Produto Educacional desta dissertação, um material didático
de ensino de Probabilidade para aplicação no Ensino Médio, por meio de atividades
envolvendo questões clássicas que normalmente não são apresentadas na Educação
Básica e que deram início ao estudo da Teoria da Probabilidade.
Elaboramos, assim, uma proposta didática com o objetivo de apresentar um
material, envolvendo questões clássicas que iniciaram e impulsionaram o
desenvolvimento da Teoria da Probabilidade, explorando a contextualização histórica,
tentando, com isso, despertar o interesse dos educandos, e ainda, oferecer um suporte
para os professores de matemática que tenham um interesse pelo tema em questão.
Relataremos a seguir um pouco da história dos jogos de azar e destacaremos os
seguintes problemas:
● Problema dos pontos;
● Problema do Grão-duque da Toscana para Galileu Galilei;
● Problema dos dados de Chevalier de Méré;
● Problema da agulha de Buffon
● O Enigma de Monty Hall;
● O Problema da moeda de Bertrand;
● O Problema dos Três prisioneiros;
● Problema do paradoxo de Bertrand;
8
História dos jogos de azar
Os jogos de azar estão presentes em nossa civilização há milhares de anos, sendo
a palavra "azar" derivada de al zahr, cujo significado é "dado" em árabe. Existem
registros de pinturas egípcias feitas em 3500 a.C, mostrando pessoas jogando dados
feitos de um osso do calcanhar (astragalus) que tinham 4 faces. Já no norte do Iraque
foram encontrados dados de 6 faces datados de 3000 a.C. O baralho moderno surgiu na
França no século XX e, durante as Cruzadas, vários jogos de dados foram trazidos para
o Ocidente.
Conta-se que os Romanos também eram apaixonados por jogos de dados e
cartas, que eram proibidos pela Igreja Católica durante a Idade Média. Os jogos de azar
sempre exerceram um grande fascínio sobre os homens. Todavia, afirma-se que não
houve nenhum tratamento matemático da probabilidade até o final do século XV e
início do século XVI. Há relatos de que os jogos de cartas surgiram na Europa, no
século XIV, ou na China no século IX, local também da primeira loteria, sendo esta
bem mais antiga, datada de antes de Cristo.
Os cassinos que conhecemos surgiram no século XIX em Mônaco, quando aram
apenas salas enormes, usadas para jogar Pôquer, BlackJack e Roleta. Posteriormente,
com as tecnologias, veio o Slot Machines e outros jogos, assim como a criação de
casinos virtuais.
Para Andrade (2017, p, 14) os jogos de azar são aqueles cuja probabilidade de
derrota é superior a de vitória, e não dependem de sorte ou azar, nem somente das
habilidades do jogador, mas sim, de uma realidade que foi produzida baseada em
probabilidade matemática. As derrotas dos jogadores acabam sendo bem maiores e
financiam os jogos dos jogadores vitoriosos. Andrade (2017, p, 14) reitera também que
jogos de azar envolvem apostas e dinheiros, de forma que a maioria dos jogos de azar
são proibidos, sendo legalizados somente os jogos da loteria de azar.
No Brasil, temos o jogo do bicho e os jogos em cassinos considerados ilícitos.
Os jogos de azar são proibidos desde 1941, por conta de um Decreto-Lei n º 3.688,
publicado no governo de Getúlio Vargas, que alegava que:
1- Este tipo de atividade é altamente viciante, e por isso há grande risco de abuso
de aposta. Políticos que defendem a não legalização dos jogos como o Jogo do Bicho,
9
dizem que as pessoas acabam viciadas e isso pode endividar famílias e destruir
patrimônios.
2- O dinheiro movimentado pelos jogos não é controlável pelo Estado, e por isso
não pagam impostos. Com exceção das Loterias da Caixa, que não é só regulada como
também pertence ao Estado, o dinheiro arrecadado com qualquer outro tipo de jogos e
apostas não terá retorno algum a sociedade, já que não são taxados.
Problema dos Pontos
Em 1654, Antonio Gombaud (1607-1684), cujo título era Chevalier de Méré,
pediu para Blase Pascal1 (1623-1662) a resolução para um problema muito famoso,
conhecido como Problema dos Pontos ou da divisão das apostas, que foi tratado
inicialmente pelo Frei italiano, Luca Pacioli (1445-1517), professor e frade franciscano.
Pacioli não conseguiu resolver corretamente, bem como vários outros matemáticos que
tentaram, entre os quais estava Niccolo Fontana (1499-1557), que também era
conhecido por Tartaglia2. Pascal e Fermat
3 trocaram num total de 7 cartas (ressalte-se
que a primeira se perdeu) para resolver o Problema em questão, o qual deu início a
Teoria da Probabilidade.
1 Blaise Pascal (1623-1662) interessou-se pela matemática. Aos 16 anos contribuiu de forma notável para
geometria com a obra Essay pour les coniques. Quando estava com 17 anos planejou a primeira máquina
de calcular onde o modelo definitivo é de 1652. Ele se dedicou à Física e também contribuiu
significativamente para teoria das probabilidades.
2 Niccolo Tartaglia (1499-1557) foi um matemático italiano, cujo nome está ligado ao triângulo de
Tartaglia e à solução de equações do terceiro grau. Também realizou cálculos de probabilidade em seu
Tratado geral sobre números e medidas publicado em Veneza em 1556.
3 Pierre de Fermat (1601-1665) nascido na França era um jurista por profissão e um apreciador da
Matemática, onde deu contribuições importantes para Geometria, Teoria dos Números e Probabilidade.
Ficou muito conhecido por suas proposições, entre elas destaca-se Último Teorema de Fermat que foi
demonstrado 356 anos depois que muitos matemáticos tentaram e não conseguiram demonstrar, entre eles
Gauss e Euler.
10
Figura1: Luca Paccioli (1445 - 1514). Retirado da página
http://123matematic.blogspot.com.br/ em 10 de março de 2018.
O Problema dos Pontos como ficou historicamente conhecido, consiste em
determinar qual deve ser a divisão das apostas quando um jogo é interrompido antes do
seu final. Vamos supor que uma partida entre dois jogadores que é vencida pelo
primeiro que fizer 6 pontos. Na hipótese dos dois jogadores terem a mesma habilidade
no jogo, como se deve dividir esse bolo de aposta, se a partida for interrompida quando
um dos jogadores tiver 5 pontos e outro 3 pontos?
Pacioli resolveu este problema propondo
do prêmio para o primeiro jogador e
do prêmio ao segundo jogador. Assim como Pacioli, outros matemáticos tentaram
solucionar o problema e não obtiveram êxito.
Intervenção Pedagógica:
11
Mostrar ao aluno porque Paciole e outros matemáticos erraram na resolução dos
problemas dos pontos, mostrando a solução correta, como faremos a seguir.
Resolução:
A solução sugerida é de dividir o bolo de apostas proporcionalmente as chances
que cada jogador tem de vencer o jogo. Porém, a grande ideia estava em torno de
calcular essas chances. Christian Huygens4 foi o primeiro a perceber que não se tratava
apenas de jogos de azar, mas uma grande teoria viria a surgir.
Temos que o primeiro jogador tem 5 pontos, enquanto o segundo tem 3 pontos.
Assim, se o primeiro jogador vencer mais uma partida no jogo, ele ganha o prêmio. Por
sua vez, o segundo jogador necessita vencer três partidas para ficar com o prêmio.
Considerando que as chances de vitória em cada partida sejam iguais para os dois
jogadores, a probabilidade de o segundo jogador ganhar o prêmio é dada por
, uma vez que dos 2.2.2 = 8 resultados possíveis para as partidas, em somente um caso
o segundo jogador ganha. Agora, utilizando a probabilidade do evento complementar,
concluímos que a probabilidade do primeiro jogador ganhar o prêmio é dada por:
e, portanto, o primeiro jogador deve ganhar
da aposta, enquanto o
segundo jogador deve ganhar
do valor do prêmio.
Devemos reforçar para os alunos que, nesse problema, estamos considerando um
espaço amostral equiprovável.
4 Christian Huygens (1629-1695), mais conhecido pelas importantes contribuições à Astronomia, à Ótica
e à Teoria Ondulatória da Luz, em 1657 fez a primeira publicação sobre Teoria das Probabilidades,
chamado De Ratiociniis in Ludo Aleae. Em 1655, ano que descobriu a primeira lua de Saturno, foi visitar
Paris onde ficou sabendo da correspondência entre Pascal e Fermat sobre os problemas de Probabilidade.
Huygens resolveu vários problemas relacionados a jogos de azar sem utilizar Análise Combinatória,
elaborando seu livro que se tornou famoso e que foi reeditado diversas vezes e usado até o século XVIII
como um livro à Teoria da Probabilidade.
12
Problema do grão-duque da Toscana Para Galileu Galilei5
O Problema do Grão-duque da Toscana para Galileu Galilei foi outro problema
histórico e famoso, conforme foi nomeado, trata-se de uma proposta do Grão-duque da
Toscana, Cosme II de Médicis, ao final do século XVI, ao Italiano Galileu Galilei (1564
– 1642).
De acordo com Moraes (2014, p. 6), o matemático italiano Galileu Galilei - além
de físico e astrônomo- fez um estudo completo do número possível de resultados em
jogos de dados em seu trabalho “Sopra le scorpeta dei dadi” (Sobre o jogo de dados), a
pedido do grão-duque, mesmo sem grande interesse no assunto, segundo alguns
historiadores.
O problema proposto pelo Grão-duque a Galileu consistia em apresentar uma
resposta para o fato de que, ao serem lançados três dados, a soma dos três números
obtidos igual a 10 aparece com maior frequência do que a soma igual a 9. Naquela
época, os italianos eram viciados em jogos de azar e faziam muitas apostas sobre o total
de pontos obtidos no lançamento de 3 dados onde somavam-se as faces que ficavam
5 Galileo Galilei (1564-1642) realizou algumas pesquisas voltadas à Probabilidade. Ele fez um estudo
completo do número possível de resultados em jogos de dados em sua obra Sopra le scorpeta dei dali
(Sobre jogos de dados), em que, provavelmente, tinha conhecimento dos resultados desenvolvidos por
Cardano. Porém, teve uma notável percepção analisando o comportamento dos erros em observações
astronômicas, identificando características nesses que posteriormente foram descritas pela distribuição
normal, tais como aglomeração simétrica em torno do resultado verdadeiro e de que a probabilidade do
erro decresce com seu tamanho.
13
voltadas para cima. Eles acreditavam que a possibilidade de obter um total de 9 pontos
era a mesma possibilidade de obter soma total de 10 pontos, ou seja, que existiam 6
possibilidades para obter nos três dados soma no total de 9 pontos:
● 1,2,6
● 1,3,5
● 1,4,4
● 2,3,4
● 5,2,2
● 3,3,3
Assim como também existiam 6 possibilidades para soma no total de 10 pontos:
● 1,3,6
● 1,4,5
● 2,2,6
● 2,3,5
● 2,4,4
● 3,3,4
Como os italianos jogavam com bastante frequência, começaram a notar que a
soma 10 aparecia com um pouco mais de frequência que a soma 9, e foi então que
solicitaram a Galileu que os justificasse essa aparente contradição.
Intervenção Pedagógica:
O professor pode trabalhar com os alunos fazendo uma simulação do problema
acima, utilizando dados de mesma cor e depois de cores diferentes para chegar à
conclusão que Galileu obteve.
14
Resolução: Galileu teve uma grande ideia em tentar resolver essa situação usando dados
de cores diferentes.
O matemático percebeu que o resultado (3,3,3) só teria uma forma de acontecer
para dar soma 9, porém, o resultado (2,3,5) tem 6 formas de acontecer: (2,3,5),
(2,5,3),(3,2,5), (3,5,2), (5,2,3) e (5,3,2). Observando esses resultados para as
possibilidades de soma 9, montou a seguinte tabela:
1ª Dado 2ª Dado 3ª Dado
1 2 6
1 3 5
1 4 4
1 5 3
1 6 2
2 1 6
2 2 5
2 3 4
2 4 3
2 5 2
2 6 1
3 1 5
3 2 4
3 3 3
3 4 2
3 5 1
4 1 4
4 2 3
4 3 2
4 4 1
5 1 3
15
5 2 2
5 3 1
6 1 2
6 2 1
Tabela 1: Soma dos números das faces igual a 9.
Raciocinando de modo análogo, para os resultados em que os dados têm soma
10 pontos, temos as seguintes possibilidades:
1ª Dado 2ª Dado 3ª Dado
1 3 6
1 4 5
1 5 4
1 6 3
2 2 6
2 3 5
2 4 4
2 5 3
2 6 2
3 1 6
3 2 5
3 3 4
3 4 3
3 5 2
3 6 1
4 1 5
4 2 4
4 3 3
4 4 2
4 5 1
16
5 1 4
5 2 3
5 3 2
5 4 1
6 1 3
6 2 2
6 3 1
Tabela 2: Soma dos números das faces igual a 10.
Comparando as tabelas 1 e 2, concluímos que a soma 10 aparece em 27
situações, enquanto a soma 9 em 25 situações e, portanto, é 8% mais provável a soma
10 que a soma 9.
Problema dos dados de Chevalier de Méré
Segundo os historiadores, Chevalier de Méré6 tinha o costume de desafiar os
frequentadores da sua casa com uma aposta fulminante. Ao lançar um dado quatro vezes
seguidas, ele teria que conseguir “pelo menos” uma vez a face 6. Caso não conseguisse,
perdia a aposta (SÁ 2015, p. 51). Méré acumulando mais vitórias que derrotas sobre os
adversários nesse desafio, decidiu criar uma nova forma de jogo, em que lançava dois
dados simultaneamente e tentaria obter um duplo 6. Para continuar em vantagem sobre
os seus oponentes, ele teria calculado a necessidade de 24 lançamentos para isso. O seu
raciocínio errôneo foi que, se o conjunto de resultados possíveis era seis vezes maior
que o anterior, ele precisaria apenas multiplicar por seis o número de lançamentos. No
decorrer das apostas, percebeu que na nova experiência, a clientela para essa aposta
aumentou de forma considerável, tendo prejuízo Chevalier de Méré. Foi aí que Pascal
explicou o porquê de o número de derrotas serem maiores do que o de vitórias no
segundo tipo de aposta.
6 Antoine Gombaud, denominado Chevalier de Méré (1607-1684), foi um nobre e jogador francês. Seu
nome é relacionado ao cálculo matemático de jogos de azar e em 1654, buscou auxílio de Blaise Pascal
porque não estava obtendo sucesso com seus jogos.
17
Intervenção Pedagógica:
Essa situação, exemplificando o problema dos dados acima de Chevalier de
Méré, proposto no século XVII, pode ser resumida e trabalhada com os alunos da
seguinte forma:
Determine a probabilidade de obter:
1- Ao menos um 6 em quatro lançamentos de um dado;
2- Ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados;
Resolução:
a) Para encontrar essa probabilidade, vamos inicialmente determinar a probabilidade de
não obtermos algum número 6 nos quatro lançamentos de um dado. Temos que em um
lançamento, a probabilidade de não obter um 6 equivale a
. Dessa forma, em quatro
lançamentos a probabilidade de não obter algum 6 é dada por
.
48,22531%
Assim, utilizando a probabilidade do evento complementar, tem-se que a probabilidade
de se obter ao menos um seis em quatro lançamentos de um dado é
%
b) Para encontrar essa probabilidade, iremos determinar a probabilidade de não se obter
nenhum duplo 6 em vinte e quatro lançamentos de um par de dados. Lançando um par
de dados, a probabilidade de obter um duplo 6 é igual a
. Assim, a probabilidade de
não obtenção de um duplo 6 é igual a
18
Portanto, a probabilidade de não obter um duplo seis em 24 lançamentos é igual
a
(
)
50,86 %
De acordo com a probabilidade do evento complementar, temos que a
probabilidade de obter ao menos um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados
é, aproximadamente,
Problema da agulha de Buffon7
No que concerne ao Problema da agulha de Buffon, faremos apenas uma
referência ao mesmo visando apenas seu contexto histórico, visto que a sua resolução é
um pouco complexa e foge do nosso objetivo. O problema em questão surgiu a partir de
um problema delineado por um francês denominado Georges Louis Leclere (1707-
1788), o conde de Buffon. Ele propôs o famoso problema da agulha de Buffon em 1777,
que consiste em determinar a probabilidade de uma agulha de comprimento x atravessar
um feixe de paralelas, distante d unidades uma da outra, sendo e considerando o
lançamento da agulha um experimento aleatório.
Intervenção Pedagógica:
Esse tipo de problema pertence a um campo muito interessante, chamado de
Probabilidade geométrica e que muitas vezes é deixado de lado no Ensino Médio.
Porém, é interessante e envolve probabilidades a partir da escolha aleatória de pontos
em espaços amostrais representados por entes geométricos.
7 Georges Louis Leclerc, conhecido como conde de Buffon, nasceu em Montbard em 7 de setembro de
1707 e faleceu em Paris em 16 de abril de 1788. Foi um naturalista, matemático e escritor francês. As
suas teorias influenciaram duas gerações de naturalistas, entre os quais se contam Jean Baptiste de
Lamarck e Charles Darwin.
19
O professor pode trazer outros problemas que envolvem a ideia da probabilidade
geométrica para ser trabalhada em sala. Deixaremos nesse material um exemplo, como
também sua resolução ficará a cargo do leitor:
(Enem 2001) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas
antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
a) 20%.
b) 25%.
c) 30%.
d) 35%.
e) 40%.
Enigma de Monty Hall
O Enigma de Monty Hall também denominado “problema dos Bodes” ou
“problema das portas”, ficou conhecido como “Enigma de Monty Hall”, em
homenagem ao apresentador Monty Halperin que ficou famoso pelo programa de
televisão, que tinha um quadro chamado Let’s Make a Deal? (Vamos fazer um
acordo?), entre os anos de 1963 a 1976, nos Estados Unidos e teve uma grande
repercussão nessa época. Esse programa ficou tão conhecido que foi relançado em
outros programas de televisão em vários países.
O apresentador faz um desafio num jogo muito divertido em que há três portas e
apenas atrás de uma delas existe um grande prêmio, enquanto que atrás das outras duas
não existe nada demais, ou apenas um prêmio simbólico. O jogador terá que ter a
“sorte” de escolher a porta premiada; assim, é conduzido a tomar a decisão de escolher
uma porta, enquanto o apresentador, que sabe onde está o prêmio, abre uma das outras
duas portas que não foi escolhida e, logicamente, aquela onde não está o prêmio e dá a
opção de o jogador trocar de porta ou manter sua escolha. Esse problema consiste em
20
saber se a troca de porta é mais vantajosa ou se a troca é indiferente no que diz respeito
à probabilidade de ganhar o prêmio.
Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de
uma destas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O
candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador ( sabe qual é a
porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato,
mostrando necessariamente um bode. A seguir ele pergunta se o candidato
mantém sua escolha ou deseja trocar a porta. O candidato deve trocar ou não?
(Elon Et al 2006, p.145).
Intervenção Pedagógica:
Podemos fazer uma simulação para “facilitar” o raciocínio neste tipo de problema e
trabalhar com os alunos três questões relevantes:
Questão 1: A troca da porta escolhida é a mais vantajosa ou não? Justifique sua
resposta.
Questão 2: Calcule a probabilidade de o jogador ganhar o prêmio se trocar de porta?
Questão 3: Calcule a probabilidade de o jogador ganhar o prêmio se não trocar de
porta?
Resolução:
Sejam A, B e C as três portas e consideremos que atrás de uma delas esteja um
carro. Vamos supor que o participante tenha escolhido a porta A, por exemplo. Como
temos três portas e apenas um carro, a probabilidade de que o carro esteja atrás da porta
A é igual a
. Consequentemente, utilizando a probabilidade do evento complementar,
a chance de que o carro não esteja atrás da porta A, ou seja, nas outras duas portas B e
C, é igual a
.
Escolhida a porta A, o apresentador, sabendo que tem atrás das outras portas (e
logicamente não abrirá a porta que tem o carro), abre uma das outras duas e revela um
bode. É evidente que ele possui tal condição, pois, se atrás da porta A há um bode, ainda
há outro bode atrás de uma das outras portas, e se atrás da porta A estiver o carro, atrás
21
das outras duas portas há bodes e, dessa forma, o apresentador pode escolher
aleatoriamente uma das portas (B ou C) para abrir.
Supondo que seja escolhida a porta B, por exemplo, é importante ressaltarmos
que no caso em que a escolha inicial do participante é errada, o apresentador não abre
ao acaso uma das portas que não foram selecionadas, pois ele irá mostrar a porta que
não está o carro. Dessa forma, o apresentador intervém no que, até agora, tinha sido um
processo aleatório.
Com essa atitude do apresentador, ele dará uma informação relevante, uma vez
que o carro estava em uma das portas que não foi escolhida inicialmente (B ou C), então
o prêmio só pode estar na porta que não foi aberta, ou seja, na porta C. Assim, toda vez
que o participante fizer a escolha inicial da porta que não possui o carro, ao trocar de
porta o participante ganhará o prêmio.
Sabendo que as chances de que tenha errado em sua escolha inicial são de
,
então caso troque de porta, suas chances de ganhar o carro serão de e,
consequentemente, a probabilidade que ganhe permanecendo na porta inicial é de
.
Portanto, podemos concluir que trocando de porta é o dobro da probabilidade não
trocando de porta. Abaixo, segue um resumo da situação, por meio de uma ilustração da
revista The Economist, em 1999.
22
Figura 2: Imagem retirada da dissertação (SÁ 2015, p. 63).
Segundo Sá (2015, p.65), muitos matemáticos e estudiosos do tema simularam
através de recursos computacionais, entre eles o matemático húngaro Paul Erdös(1913-
1966), com as mesmas regras do programa Let’s Make a Deal, obtendo resultados bem
próximos dos apresentados na resolução acima que foi apresentada. As estatísticas que
foram realizadas a partir do programa de televisão demonstram o fato de que houve
duas vezes mais vencedores entre as pessoas que mudaram de escolha, do que entre
aquelas que ficaram com a escolha inicial.
Vale salientar que alguns problemas famosos são resolvidos de modo análogo ao
problema de Mont Hall, dentre os quais o O Problema da moeda de Bertrand e o
Problema dos três prisioneiros, e ambos serão abordados a seguir neste trabalho.
O Problema da moeda de Bertrand8
8 Joseph Louis François Bertrand (1822- 1900) nasceu e passou a maior parte de sua
vida em Paris inclusive chegando a falecer na sua terra natal. Foi um matemático,
historiador de ciências e acadêmico francês.
23
O Problema da moeda de Bertand foi proposto pelo matemático Joseph Louis
François Bertrand (1822-1900), na obra Calcul des probabilités, em 1889, é também
conhecido como o Paradoxo da caixa de Bertrand e tem como enunciado:
Considere três caixas idênticas. A primeira contém duas moedas de ouro; a
segunda contém uma moeda de ouro e outra de prata; e a terceira contém duas de prata.
Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma é escolhida uma moeda ao acaso. Se a
moeda escolhida é de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa
escolhida seja de ouro?
Resolução:
Considere três caixas A, B, e C. Como a caixa A é a única que possui duas
moedas de ouro, a probabilidade pedida é a mesma da probabilidade condicional
, onde “ ”, é o evento relacionado ao sorteio da moeda de ouro. Assim, uma
pergunta equivalente à pergunta do enunciado, seria expressa da seguinte forma:
Sabendo que a moeda escolhida é de ouro, qual a probabilidade de que a moeda seja
proveniente da caixa A?
Utilizando o Teorema de Bays,
( ) (
)
Ou seja, sabendo que a moeda escolhida é de ouro, a probabilidade de que a
moeda seja proveniente da caixa A é
.
Ou Podemos utilizar também na resolução dessa questão a árvore de
probabilidade (figura 3):
24
Figura 3: Árvore de probabilidades do problema da moeda de Bertrand
Intervenção Pedagógica:
Para o Problema da moeda de Bertrand, podemos trabalhar além do contexto
histórico, a resolução por meio do diagrama, ou árvore de probabilidade com os alunos.
ou ainda, inseri-lo após o estudo do Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de
Bays como exemplo de aplicações desses teoremas.
O Problema dos três prisioneiros
O Problema dos três prisioneiros é do matemático americano Martin Garner
(1914-2010), um problema apresentado na revista Scientific American, em 1959. No
enunciado que trazemos foram feitas pequenas alterações do texto original.
Três prisioneiros, A, B, C, estão em celas separadas, e por terem cometido
crimes graves foram condenados à morte. Posteriormente, o governador decidiu
conceder indulto a um deles ao acaso. O diretor da prisão sabe qual deles será perdoado,
mas não tem permissão para revelar o nome do prisioneiro que será solto. Sabendo
disso, o prisioneiro A implora ao diretor que ele pelo menos revele a identidade de um
dos outros dois que vai ser executado, já que um deles ao menos terá esse destino.
Diante de muita insistência, o diretor acaba cedendo a esse pedido e diz para A que o
prisioneiro B vai ser executado.
Intervenção Pedagógica:
25
Com essa informação, o prisioneiro A acredita que a sua probabilidade de
sobrevivência subiu de
para
, uma vez que agora ou ele ou C será solto. Esta
probabilidade de sobrevivência está correta? Qual a probabilidade de que C receba o
indulto?
Utilizando o raciocínio semelhante ao do problema de Monty Hall, a
probabilidade que C receba o indulto é igual a
.
O paradoxo de Bertrand
O matemático francês Joseph Louis François Bertrand (1822-1900), estudou os
mais variados temas, como por exemplo, a Álgebra, Probabilidade, Mecânica,
Aritmética e Termodinâmica. Em 1889, em seu livro Cálculo das Probabilidades,
apresentou um problema que o deixou famoso na comunidade científica por apresentar
maneiras distintas na resolução para cada procedimento de construção feito. Este
problema, conhecido como paradoxo de Bertrand, tem como enunciado:
Escolhendo ao acaso uma corda de uma circunferência, qual é a probabilidade de
que o comprimento dela seja maior que a medida do lado do triângulo equilátero
inscrito nessa circunferência?
Intervenção Pedagógica:
O professor pode mostrar as resoluções abaixo para que o aluno entenda o
porquê de o problema ser considerado um paradoxo.
Resolução:
Considere uma circunferência de raio de comprimento 1. Utilizando a lei dos
cossenos, obtemos a medida do lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência
em questão igual a √ . Temos, portanto, que o comprimento das cordas que são maiores
que o lado do triângulo em questão, deve ser maior que √ e menor ou igual a 2
(diâmetro da circunferência) e essas cordas devem determinar arcos de medida , de
maneira que 120° < 180°. Daí, tem-se as seguintes soluções:
Primeira Solução:
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Tomando-se um ponto A qualquer na circunferência , e Sendo B e C dois
pontos em , de modo que A, B e C dividam em três partes iguais, proporcionando
assim a construção do triângulo equilátero ABC, conforme a figura 4.
Figura 4: Triângulo ABC inscrito na circunferência
Considere um ponto K , de forma que a corda AK seja maior que √ , o ponto
K deve pertencer ao arco menor BC. Como a probabilidade do ponto K pertencer ao
arco menor BC é , a probabilidade de que o comprimento de uma corda seja maior
que a medida do lado do triângulo equilátero inscrito em é igual a
.
Segunda Solução:
Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB medindo 2.
Considerando qualquer corda perpendicular a AB (por exemplo, a corda CD),
evidencia-se que AB contém todos os pontos médios dessas cordas, entre os quais os
pontos M e N, são os pontos médios dos raios AO e OB, conforme figura 5.
Figura 5: Circunferência de centro O, corda CD e diâmetro AB.
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Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OMD, em que OM mede
, e
OD é o raio de que mede 1. Daí, MD mede √
, e como CD equivale ao dobro MD,
temos CD medindo √ . Assim, temos que qualquer corda perpendicular a AB cujos
pontos médios pertencem ao segmento MN, possui comprimento maior que √ .
Dessa interpretação, observa-se que escolher uma corda significa escolher um
ponto de AB e, por conseguinte, a probabilidade de que um ponto de AB, escolhido
aleatoriamente, pertença a MN é igual a
.
Conclui-se pelo que foi apresentado acima, que a probabilidade de que o
comprimento de uma corda seja maior que a medida do lado do triângulo equilátero
inscrito em é igual a
.
Terceira Solução:
Seja a circunferência de centro em O e raio medindo 1. Tomando-se um ponto
M qualquer no interior de , considere a corda CD que passa pelo ponto M, de acordo
com a figura 6.
Figura 6: Corda CD perpendicular ao segmento OM.
De acordo com as informações dadas, caso OM tenha comprimento
, então
CD mede √ . No caso do comprimento de OM ser maior que
, então CD √ . Além
disso, caso , onde é a medida do arco determinado pela corda na
circunferência CD √ .
Desse modo, pode-se inferir que para uma corda ser maior que o lado do
triângulo equilátero inscrito em , a distância dela ao centro O tem de ser menor que
.
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Assim, tem-se que o conjunto de todos os pontos cuja distância ao centro O de é um
círculo de raio de medida
, concêntrico ao primeiro. Daí, a probabilidade de que um
ponto no interior de , escolhido ao acaso, esteja no interior da circunferência de raio
unitário é dada por:
Portanto, a probabilidade de que o comprimento de uma corda seja maior que a
medida do lado do triângulo equilátero inscrito em é igual a
.
Observa-se que nessa terceira resolução, a construção da corda passa pela
escolha de um ponto M qualquer no interior da circunferência, sendo M ponto médio
dessa corda.
Por fim, apresentadas essas três resoluções do problema inicial, comprova-se
que para cada maneira adotada para a construção da corda, existe um caminho que
conduz a um resultado diferente, gerando um paradoxo. Caso se deseje não recair nessa
situação paradoxal, faz-se necessário o esclarecimento pleno de como será a escolha da
corda.
Para esse problema, além da possibilidade da exploração histórica, podemos
destacar e explorar com os alunos a Probabilidade Geométrica que muitas vezes não é
trabalhada no Ensino Médio.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Buscamos apresentar nesse material uma proposta elaborada a partir dos
principais problemas que impulsionaram os estudos sobre Probabilidade, aliando assim,
a História e a Matemática. Os problemas matemáticos aqui apresentados geralmente não
são tratados nos livros didáticos, os quais abordam a contextualização histórica com
informações resumidas, conforme observamos durante a análise de dados da nossa
dissertação.
Dessa forma, todo o apanhado feito para a elaboração deste Produto
Educacional, consiste em um material complementar que pode ser utilizado na
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Educação Básica, uma vez que pode auxiliar o professor oferecendo-lhe meios para
utilizar efetivamente a História da Matemática como ferramenta metodológica na sala
de aula.
REFERÊNCIAS
ANDRADE, Rafael Thé Bonifácio de. A probabilidade aplicada aos jogos de azar, 1ª
edição, João Pessoa, UFPB, 2017.
LIMA, ELON LAGES et. al. Temas e Problemas Elementares, 2ª edição, Rio de
Janeiro: SBM, 2006.
MORAES, Luiz C. L. Ensino de Probabilidade: Historicidade e Interdisciplinaridade.
Dissertação de Mestrado apresentada ao Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional, Rio de Janeiro: UFRRJ, 2014.
SÁ, Marcelo Alessandro Amorim Franco de. Análise e resolução de problemas
clássicos de probabilidade para o Ensino Médio, Dissertação, Teresina, UFPI, 2015.
SILVA, Valdson D. M. Abordagem das Noções de Probabilidade nos livros do Ensino
Fundamental II, Dissertação do Profmat, Campina Grande: UEPB 2015.
________. A Abordagem da História da Matemática no Ensino Médio da Probabilidade
nos Livros Didáticos Do Ensino Médio, Dissertação de Mestrado Profissional em
Ensino De Ciências e Educação Matemática, Campina Grande: UEPB 2018.