uls mic3 unmodelodinmicodeequilibriogeneral v 2012 141003222147 conversion gate01

8/19/2019 Uls Mic3 Unmodelodinmicodeequilibriogeneral v 2012 141003222147 Conversion Gate01

1/26

Un Modelo Dinámico de Equilibrio General

(El Modelo de Ramsey) J.C.Segura-r!i"

Uni#ersidad de $a Salle

%ogo!á& D.C.

' Es!a Re#isin Mayo& *+,*


2/26

n!ro

• Considere a/ora un modelo dinámico en el que los agen!es

ado0!an decisiones econmicas en el dominio del !iem0o en

los mercados abier!os en cada = 1, ⋯ , ∞.• El agen!e decide sobre su consumo ac!ual y su consumo

1u!uro y 0or !an!o& ado0!a decisiones de consumo& 0ero

!ambi2n sobre cuan!o a/orrar.

• Se 0resen!a un modelo básico de dos 0eriodos como

in!roduccin al modelo de a/orro 0!imo de Ramsey (,3*4)


3/26

,.

Un Modelo %ásico de Consumo de Dos 5er6odos

Considere una econom6a sim0le como la de Robinson Crusoe

∄ 5roduccin ∄ Dinero

∄ ncer!idumbre

∄ n#en!arios o 1ormas de almacenamien!o ∄ Gobierno 7ay un 8nico bien de consumo que es no 0roducido es una

es0ecie de maná que cae del cielo 0eridicamen!e.

El agen!e re0resen!a!i#o #i#e 0eriodos.


4/26

,.,.

5re1erencias E9is!e una 1uncin de u!ilidad 'su0ues!o C que re0resen!a las

0re1erencias del agen!e sobre un con:un!o de canas!as

in!er!em0orales

∙ = , , ⋯ , .

∙ es adi!i#a y se0arable& i.e.& 0uede ser re0resen!ada como lasuma de una serie de 1unciones de subutilidad en cada ins!an!e del!iem0o.

Si las 0re1erencias son es!ables en el !iem0o& la 1uncin desubu!ilidad es cons!an!e en el !iem0o y 0uede ser! sumada a !ra#2s

del !iem0o !eniendo en cuen!a que ;la vida es ahora” & i.e.& el indi#iduo

no e#al8a de la misma 1orma el consumo a/ora y el consumo 1u!uro.

Ergo se debe descon!ar el bienes!ar 1u!uro 0ara com0ararlo con el

0resen!e.


5/26

$a 1uncin de u!ilidad& con dic/as consideraciones es

∙ = 11 + En !iem0o con!6nuo&

∙ 1

1 +

Siendo ≥ 0 la !asa de 0re1erencias in!er!em0oral 0ara desocn!ar lau!ilidad 1u!ura& & !asa sub:e!i#a de descuen!o<

mide la impaciencia del agen!e. = mayor

mayor im0aciencia. Si

= 0

el agen!e es indi1eren!e en!re el consumo 0resen!e y el consumo 1u!uro.

Se su0ondrá que es como resul!a en el su0ues!o C.


6/26

Si el consumo 1uera cons!an!e en & es decir si = , ∀ y si se su0one ∞& las 0re1erencias 0ueden ser re0resen!adas 0or ( ver Sydsae!er and7ammond& ,33>)∙ = 11 + = "1 + # + #$ + #% + ⋯ &

Con # = '( Si además ) 0& en!onces # * 1 mien!ras que-."1 + # + #$ + #% + ⋯ & / 11 11 + = 1 +

∙ = 1 + 2 ∞ Si = 0& la u!ilidad de un indi#iduo que #i#e un n8mero in1ini!o de0eriodos será in1ini!a. Un caso 0oco in!eresan!e.


7/26

,.*.

El =mbien!e

Robinson #i#e solo en una isla consumiendo lo que 0roduce =3& 0ues el maná es 0erecedero. Su0onga que /ay o!ras 0ersonas y que e9is!e un mercado de bonosreales en el que el agen!e 0uede in!ercambiar bienes de /oy 0or una0romesa de consumo de los bienes ma?ana.

ndi#idualmen!e& un agen!e 0uede a/orrar 0res!ando a o!ros 0ar!e de

su racin de maná hoy en !an!o que el endeudado 0ara con 0ar!e de

su racin de maná de mañana.

$a sociedad como un !odo no 0uede 0res!ar& 0or lo que las deudassiem0re se 0agan en cada momen!o del !iem0o.


8/26

En es!e mercado de deudas cada indi#iduo en1ren!a una secuencia de0recios de consumo ma?ana en !2rminos de los bienes de /oy. Sean

4 el 0recio de los bienes de /oy en !2rminos del bien corrien!e( numeraire)< 4 = 5657 = '8 el 0recio del consumo del bien de ma?ana en

!2rminos del 0recio corrien!e< y 49 = : '8;9 donde


9/26

El 0roblema del consumidor consis!e en ma9imi"ar su u!ilidadin!er!em0oral s.a. la res!riccin 0res0ues!al de que no 0uede consumir

más allá de lo que le 0ermi!e el #alor 0resen!e de su ingreso& i.e.& su

do!acin de maná

4 * 43 + @ • El agen!e 0uede resol#er el 0roblema eligiendo de una 8nica #e" la

secuencia de consumos o bien !omar decisiones secuencialmen!e.

Como no /ay incer!idumbre& los dos en1oques dan decisiones

id2n!icas.

•

El mercado de bonos 0ermi!e !rans1erir recursos a !ra#2s del !iem0o&aunque la econom6a como un !odo no 0ueda /acerlo<

• Com0e!encia 0er1ec!a agen!es price takers .


10/26

El 0roblema queda

-ABCDEFEG7H 11 + su:e!a a

4 * 43 + @


11/26

$a 1uncin de $agrange es

I∙ = 1

1 +

+ J K @ + 43 4

L

@..C.

"&M N J4 = 0"&M 1

1 + N J4 = 0

"J&M @ + 43 4 = 0


12/26

Considere una econom6a de dos 0er6odos. En!onces& el 0roblema general

queda

Ma9 ∙ = , = + # su:e!a a + 4 = @ + 3 + 43

IO = + # + J" @ + 3 + 43 4& @..C.

"&M N J4 = 0"&M #N J4 = 0

"J&M @ + 3 + 43 4 = 0


13/26

De las @..C. se deri#an las condiciones es!ándar de equilibrio

NN =

11 +

14

1 + <1 + =

NN

Grá1icamen!e se ob!iene el mismo resul!ado se 0ueden com0arar las

0endien!es de la cur#a de indi1erencia de1inida 0ara , y de lares!riccin dinámica de 0resu0ues!o.

$a 0endien!e de la Cur#a de ndi1erencia se ob!iene di1erenciando

!o!almen!e la u!ilidad en un #ecindario en el cual la u!ilidad es cons!an!e

= N + 11 + N = 0

11 +

N

= N

=

NP 1 +


14/26

$a 5endien!e de la Ecuacin de 5resu0ues!o

4 + 4 = @ + 43 + 43 4 = @ + 43 + 43 4

= @ + 43 + 43 44

= @4 + 44 3 + 3 44 = Q 4

4 RS = RT S + URV


15/26


16/26

$a condicin de o0!imalidad es!á carac!eri"ada 0or la igualdad de

0endien!es& 0or !an!o

NP 1 + = 1 +


17/26

*.

cio (!raba:o) en la @uncin de U!ilidad

El agen!e re0resen!a!i#o #i#e una can!idad de 0er6odos de

!iem0o

= 1, X , ∞ en el que dis1ru!a del consumo de

secuencia de ces!as CF. que es un argumen!o 0ara lama9imi"acin de una 1uncin de u!ilidad !i0o C. Considere una #ariacin que im0lica o!ro argumen!o de esa 1uncin es el ocio&es decir& el !iem0o duran!e el cual el consumo se /ace e1ec!i#o

, Y = ZY Donde necesariamente & P∙ ) 0& PP∙ 2 0& ZP∙ ) 0& ZPP∙ )0 de modo que mien!ras el ocio genera u!ilidad& !raba:o generadesu!ilidad crecien!e en la u!ilidad y de ser cier!o que en laeconom6a no /ay un 0la!o de so0a gra!is&


18/26

El agen!e deberá 1inanciar el consumo de las mercanc6as queen!ran en con la #en!a de sus do!aciones iniciales al 0recioque el mercado de esa mercanc6a indique< su0oniendo dos0eriodos 0ara ilus!rar es!o& el agen!e en1ren!a el siguien!e

balance de recursos + 1 +


19/26

Con # = 1 1 + _` es un 1ac!or de descuen!o in!er!em0oral y_ la !asa in!er!em0oral de descuen!o. $as condicionesrele#an!es 0ara el 0!imo son

a

0 = J + P0 = J1 +


20/26

mien!ras que de las condiciones 0rimera y !ercera& y de lasegunda y la 8l!ima se ob!ienen las condiciones de equi#alenciamarginal 0ara consumo y !raba:o (-ocio)

P = ZPY \` P = ZPY \` Es!as condiciones son& en 1orma esquemá!ica& las que

carac!eri"arán la solucin del modelo com0u!able agregado. Elres!o de condiciones generales 0uede encon!rarse en un !e9!ode microeconom6a a#an"ado como Mas-Colell e!.alli (,33A) ode Econom6a Ma!emá!ica como Baayama (,3A) y no se

0onen aqu6 0or considerarse conocidas.


21/26

.

$a Econom6a y la 5roduccinEl modelo dinámico de EG se basa en el modelo de crecimien!o deRamsey.

Como en %en/abib& Rogerson and Frig/! (,33,) y en Greenood&Rogerson y Frig/! (,33A) el 0roblema consis!irá en resol#er una 1ormaes!ocás!ica del 0roblema del 0laneador cen!ral (Hegis/i)

-ABDE,dE e f # , Y. g Donde

e es el o0erador de es0eran"a ma!emá!ica&

Y es la in#ersa

adi!i#a del !raba:o y los demás s6mbolos !ienen el signi1icado yaes!ablecido.


22/26

El 0laneador cen!ral ma9imi"a es!a 1uncin obser#ando las siguien!esres!ricciones

+ h * 3 3 = ijEklm[l k' = 1 nk + h

Y + m = 1 Donde es el consumo& h la in#ersin& 3 el 0roduc!o& kel ca0i!al& m el !raba:o (0or lo !an!o a/ora

Y es el ocio y

es crecien!e en 2l) y

ijE

re0resen!a la 0roduc!i#idad mul!i1ac!orial o 5B@& y es una #ariable

alea!oria que se asume ophOhOO qj^ rj$.


23/26

=demás

# es el 1ac!or in!er!em0oral de descuen!o&

n la !asa de

de0reciacin del ca0i!al y& si se su0one 0or el momen!o& que la

!ecnolog6a es de la clase Cobb-Douglas s es la 1raccin del 0roduc!o quese des!ina a 0agar el ca0i!al< no /ay ra"n 0ara 0ensar que la 0roduccinse e1ec!8a ba:o rendimien!os crecien!es. $a 1orma 0aram2!rica de la1uncin de u!ilidad se asume

, Y = t + t Y Siendo la im0or!ancia rela!i#a del ocio en la 1uncin de u!ilidad delindi#iduo re0resen!a!i#o.

Iariables de Con!rol consumo& ocio& in#ersin& !raba:o y el s!oc deca0i!al del siguien!e 0eriodo. El 0laneador cen!ral& a 1in de ma9imi"ar la

1uncin ob:e!i#o& debe /allar una secuencia #ariables de decisinC , Y , h , m , k'F. .


24/26

Su0oniendo 0or el momen!o

eo = qj = 0 y& sin 02rdida de

con!inuidad que el gas!o se 1inancia con im0ues!os de suma 1i:a& el0roblema 0uede& con es!as ano!aciones 0onerse de la siguien!e 1orma

-AB u #. Ct + t1 mF su:e!a a

f + h = ijEklm[lk' = 1 nk + h $a 1uncin de $agrange asociada a es!e 0roblema admi!e la siguien!e1orma

I∙ = #Ct + t1 mF Jv + h ijEklm[lw J$"k' 1 nk h&


25/26


26/26

# : DE[J; = 0 DEJ

#' :J'ijEk'l[m'[l + J$1 n; = #J$

#"J$ J& J$ = J

#'# :J'ijEk'l[m'[l + J$1 n; = J$ = J = 1

# :J'ijEk'l[m'[l + J$1 n; = 1

# ‰ 1

'ijEk'l[m'[l + 1

1 nŠ = 1

uls mic3 unmodelodinmicodeequilibriogeneral v 2012 141003222147 conversion gate01

Documents