Untuk pasangan data lebih besar dari 25 (n > 25), pengujiannya menggunakan nilai Z, yaitu :

 

 

Langkah-langkah pengujiannya sama dengan langkah-langkah pengujian sebelumnya, menggunakan distribusi Z.

Pengujian-pengujian rank sangan kuat, oleh karenanya sangat populer. Pengujian-pengujian ini ditemukan oleh Mann-Whitney yang konsep-konsep dasarnya telah kita uraikan dimuka. Pengembangan dan penyederhanaan dari pengujian dengan konsep-konsep tersebut dinamakan Pengujiaan Rank Wilcoxon. Pengujian ini untuk dua sampel yang independen. Jumlah rank Wilcoxon (W) didefinisikan sebagai jumlah dari semua rank yang ada pada sampel yang lebih kecil (atau terkecil) setelah dilakukan ranking secara keseluruhan. Jika besar sampel pertama (n1) lebih kecil dari sampel  yang lain, nilai W yang diharapkan, E(W), dan kesalahan, SE, standard dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus sebagai berikut (Subiyakto, 1994) :

 

Nilai statistik Z sampel :

 

Untuk menguji hipotesis bahwa µ = µ0 bagi populasi setangkup yang kotinu atau µ1 = µ2 bagi dua populasi setangkup yang kontinu dengan uji peringkat bertanda Wilcoxon, pertama-tama kita harus membuang semua selisih yang sama dengan nol, dan kemudian memberi peringkat pada di yang tidak sama dengan nol tanpa memperhatikan tandanya. Peringkat 1 diberikan pada di dengan nilai absolut terkecil, peringkat dua pada terkecil berikutnya, dan demikian seterusnya. Bila ada dua atau lebih di  yang nilainya mutlak sama, berikan kepada masing-masing selisih itu peringkat rata-ratanya. Misalnya bila selisih yang ke-5 dan ke-6 sama nilai mutlaknya, maka berikan pada keduanya peringkat 5,5. Seandainya hipotesis µ = µ0 atau µ1 = µ2 benar, maka jumlah total peringkat bagi selisih yang positif hampir sama dengan jumlah total peringkat bagi selisih yang negatif. Kita misalkan kedua total itu dengan w+ dan w-, selanjutnya kita definnisan w sebagai yang terkecil diantara w+ dan w- (Walpole, 1994).

Bila contoh itu diambil berulang-ulang, kita dapat membayangkan bahwa w+ dan w- , dan juga w, bervariasi. Jadi kita dapat memandang w+, w- dan w sebagai nilai peubah acak W+,W-, dan W. Hipotesis nol µ = µ0  atau (µ1 = µ2) akan ditolak dan alternatifnya µ < µ0

(atau µ1 < µ2) akan diterima hanya bila w+ besar dan w- kecil. Bila alternatifnya dua arah, kita tolak H0 dan terima H1 bila w+ atau w- yang berarti juga w cukup kecil (Walpole, 1994).

 sedangkan rumus uji Wilcoxon yang digunakan apabila

sampel lebih besar dari 25 menurut Riwidikdo (2007, pp. 70-71)

adalah:

Penggunaan Tabel Distribusi(Tabel z : Distribusi Normal Baku)

 

Standard Deviasi (SD)

- 3 SD - 2 SD - 1 SD Mean + 1 SD + 2 SD - 3 SD

 

Kurve normal dari suatu distribusi normal adalah kurve simetri. Oleh sebab itu tiap-tiap ordinat yang didirikan di atas titik + 1 SD dan – 1 SD akan sama tingginya. Demikian juga ordinat-ordinat yang didirikan di atas titik + 2 SD dan – 2 SD, dan di atas – 3 SD dan + 3 SD. Ordinat-ordinat ini mewakili banyaknya frekwensi variable pada titik-titik itu.

2.1 Uji Wilcoxon

Uji jenjang bertanda Wilcoxon yang diperkenalkan oleh Frank Wilcoxon dalam

tahun 1945 merupakan penyempurnaan dari “Uji Tanda” yakni di samping

memperhatikan tanda positif dan negatif, besarnya perbedaan juga diperhatikan. Uji

ini digunakan untuk menguji kondisi (variabel) pada sampel yang berpasangan

dengan skor data yang minimal berskala ordinal atau juga untuk penelitian dengan

data sebelum dan sesudah. Anggapan yang diperlukan dalam penggunaan uji bertanda

Wilcoxon adalah bahwa pasangan data diambil secara acak dan tiap-tiap perbedaan

antara pasangan skor (d i ) (distribusi populasi) yang simetris (Djarwanto, 1996).

Asumsi-asumsi uji ini adalah :

a. Data untuk analisis terdiri atas n buah beda D i = Y i – X i . Setiap pasangan hasil

pengukuran (X i , Y i ) diperoleh dari pengamatan terhadap subjek yang sama

atau terhadap subjek-subjek yang telah dijodohkan menurut suatu variabel atau

lebih. Pasangan-pasangan (X i , Y i ) dalam sampel ini diperoleh secara acak.

b. Selisih variabel (Y i – X i ) mewakili hasil-hasil pengamatan terhadap suatu

variabel acak yang kontinu.

c. Distribusi populasi (d i ) tersebut setangkup (simetri).

Hipotesis nihil (H 0 ) yang akan diuji mengatakan bahwa dua populasi identik.

Apabila H 0 benar dapatlah diharapkan bahwa jumlah jenjang yang bertanda positif

kira-kira akan seimbang dengan jumlah jenjang yang bertanda negatif. Jika dua

Universitas Sumatera Utara

jumlah jenjang tersebut sangat berbeda antara yang satu dengan yang lain dapatlah

disimpulkan bahwa dua populasi itu tidak identik, dan dengan demikian kita menolak

H 0 . Dengan perkataan lain H 0 ditolak jika salah satu jumlah jenjang positif atau

negatif sangat kecil (Djarwanto, 1996).

Uji jenjang bertanda Wilcoxon dapat didasarkan pada sampel kecil (n ≤ 25) atau

didasarkan pada sampel besar (n ≥ 25). Untuk sampel kecil, pengujian didasarkan

pada nilai T. Nilai T adalah jumlah yang lebih kecil antara jumlah jenjang positif

dengan jumlah jejang negatif. Nilai T dapat dilihat pada tabel harga kritis T dalam tes

ranking bertanda data berpasangan Wilcoxon dengan taraf signifikasi 0.05, 0.02, dan

0.01 untuk pengujian satu sisi atau dua sisi. Untuk sampel besar, pengujiannya

dilakukan dengan pendekatan distribusi normal, dimana mean dan standar deviasi

dari distribusi sampling nilai T dihitung dengan rumus (Djarwanto, 1996):

Mean =

4

) 1 ( +

=

n n

T

µ

Standar Deviasi :

24

) 1 2 )( 1 ( + +

=

n n n

T

σ

Harga uji statistik Z =

T

T

T

σ

µ −

Z =

24

) 1 2 )( 1 (

4

) 1 (

+ +

+ −

n n n

n n T

Universitas Sumatera Utara

Langkah- langkah untuk uji jenjang bertanda Wilcoxon diringkaskan sebagai

berikut : (Djarwanto, 1996)

1. Untuk setiap pasangan skor hitunglah beda atau selisihnya (d i ). Beda ini bisa

positif dan bisa negatif.

2. Berikan jenjang harga-harga d i tanpa memperhatikan tandanya, dari yang

terkecil sampai yang terbesar. Bila ada harga-harga d yang sama maka

hitunglah jenjang rata-ratanya.

3. Bubuhkan tanda positif atau negatif pada jenjang untuk tiap-tiap beda sesuai

dengan tanda dari beda itu. Beda 0 tidak diperhatikan. Bila terdapat beda 0,

tetapkan kembali n yaitu banyak total harga d yang memiliki tanda.

4. Tetapkan nilai T yaitu jumlah yang lebih kecil dari dua kelompok jejang

yang memiliki tanda yang sama, positif atau negatif.

5. Prosedur yang digunakan dalam menetapkan signifikansi harga T sampel,

tergantung pada besarnya n :

a. Apabila n ≤ 25, tabel harga-harga nilai kritis T menyajikan harga-

harga T untuk berbagai ukuran n (n ≤ 25). Jika harga T observasi <

nilai T tabel maka H nol ditolak.

b. Apabila n > 25, harga H 0 diuji dengan menggunakan pendekatan kurve

normal.

STATISTIKABiologi, Pertanian, dan Sains

« Tabel r

Uji r »

UJI Z

Pendahuluan

Uji Z adalah salah satu  uji statistika yang  pengujian hipotesisnya didekati dengan distribusi normal.  Menurut teori limit terpusat, data dengan ukuran sampel yang besar akan berdistribusi normal.  Oleh karena itu, uji Z dapat digunakan utuk menguji data yang sampelnya berukuran besar.  Jumlah sampel 30 atau lebih dianggap sampel berukuran besar.  Selain itu, uji Z ini dipakai untuk menganalisis data yang varians populasinya diketahui.  Namun, bila varians populasi tidak diketahui, maka varians dari sampel dapat digunakan sebagai penggantinya.

Kriteria Penggunaan uji Z

1.  Data berdistribusi normal

2.  Variance  (σ2) diketahui

3.  Ukuran sampel (n) besar, ≥ 30

4.  Digunakan hanya untuk membandingkan 2 buah observasi.

Contoh Penggunaan Uji Z

1. Uji-Z dua pihak

Contoh kasus

Sebuah pabrik pembuat bola lampu pijar merek A menyatakan bahwa produknya tahan dipakai selama 800 jam, dengan standar deviasi 60 jam. Untuk mengujinya, diambil sampel sebanyak 50 bola lampu, ternyata diperoleh bahwa rata-rata ketahanan bola lampu pijar tersebut adalah 792 jam. Pertanyaannya, apakah kualitas bola lampu tersebut sebaik yang dinyatakan pabriknya atau sebaliknya?

Hipotesis

H0 :  = μ (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)

HA :  ≠ μ  (rata ketahanan bola lampu pijar tersebut tidak sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)

Analisis

Nilai Ztabel dapat diperoleh dari Tabel 1.   Dengan menggunakan Tabel 1, maka nilai Z0,025 adalah nilai pada perpotongan α baris 0,02 dengan α kolom 0,005, yaitu 1,96.  Untuk diketahui bahwa nilai Zα adalah tetap dan tidak berubah-ubah, berapapun jumlah sampel.  Nilai Z0,025 adalah 1,96 dan nilai Z0,05 adalah 1,645.

Tabel 1.  Nilai Z dari luas di bawah kurva normal baku

α 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009

0.00 3.090 2.878 2.748 2.652 2.576 2.512 2.457 2.409 2.366

0.01 2.326 2.290 2.257 2.226 2.197 2.170 2.144 2.120 2.097 2.075

0.02 2.054 2.034 2.014 1.995 1.977 1.960 1.943 1.927 1.911 1.896

0.03 1.881 1.866 1.852 1.838 1.825 1.812 1.799 1.787 1.774 1.762

0.04 1.751 1.739 1.728 1.717 1.706 1.695 1.685 1.675 1.665 1.655

0.05 1.645 1.635 1.626 1.616 1.607 1.598 1.589 1.580 1.572 1.563

0.06 1.555 1.546 1.538 1.530 1.522 1.514 1.506 1.499 1.491 1.483

0.07 1.476 1.468 1.461 1.454 1.447 1.440 1.433 1.426 1.419 1.412

0.08 1.405 1.398 1.392 1.385 1.379 1.372 1.366 1.359 1.353 1.347

0.09 1.341 1.335 1.329 1.323 1.317 1.311 1.305 1.299 1.293 1.287

0.10 1.282 1.276 1.270 1.265 1.259 1.254 1.248 1.243 1.237 1.232

Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Jika |Zhit|  < |Ztabel|, maka terima H0

Jika |Zhit|  ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA

Kesimpulan

Karena harga |Zhit| = 0,94  < harga |Ztabel | = 1,96, maka terima H0

Jadi, tidak ada perbedaan yang nyata antara kualitas bola lampu yang diteliti dengan kualitas bola lampu yang dinyatakan oleh pabriknya.

2. Uji Z satu pihak

Contoh kasus

Pupuk Urea mempunyai 2 bentuk, yaitu bentuk butiran dan bentuk tablet.  Bentuk butiran lebih dulu ada sedangkan bentuk tablet adalah bentuk baru.  Diketahui bahwa hasil gabah padi yang dipupuk dengan urea butiran rata-rata 4,0 t/ha.  Seorang peneliti yakin bahwa urea tablet lebih baik daripada urea butiran.  Kemudian ia melakukan penelitian dengan ulangan n=30 dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Hasil gabah padi dalam t/ha

4,0 5,0 6,0 4,2 3,8 6,5 4,3 4,8 4,6 4,1

4,9 5,2 5,7 3,9 4,0 5,8 6,2 6,4 5,4 4,6

5,1 4,8 4,6 4,2 4,7 5,4 5,2 5,8 3,9 4,7

Hipotesis

H0 :  =   (rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet sama dengan padi yang dipupuk dengan urea butiran)

HA :  >    (rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan urea butiran)

Analisis

= 4,0 t/h

= 4,9 t/h

S   = 0,78 digunakan sebagai estimasi σ

Zhit = (yt – yb)/(σ/√n) = (4,0 – 4,9)/(0,78/√30 = – 6,4286

Ztabel = Zα= Z0,05 = 1,645

Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Jika |Zhit|  < |Ztabel|, maka terima H0

Jika |Zhit|  ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA

Kesimpulan

Karena harga |Zhit| = 6,4286  > harga |Ztabel | = 1,645, maka tolak H0 alias terima HA

Jadi, rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet nyata lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan urea