fluide s séance 1 en passerelle scientifique introduction

Philosophie & premieres definitions Calcul tensoriel TD - Questions ?

Mecanique des milieux continus solides et fluides

Seance 1 en passerelle scientifiqueIntroduction au calcul tensoriel (differentiel)

Emmanuel Plaut

1 Philosophie & premieres definitions

2 Elements de calcul tensoriel (differentiel)

3 Infos sur le TD - Questions ?

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

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1 Philosophie de la mecanique des milieux continus solides et fluides

But : la physique : la mecanique des solides et fluides.

Moyen : modele mathematique : le modele du milieu continu.

• On definit les objets de l’etude ;

• on adopte une demarche de physicien qui observe et modelise...

• en utilisant les mathematiques.

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1eres definitions en mecanique des milieux continus solides et fluides

• Mecanique (du grec mekhane = machine) :

art de predire et controler les mouvements de la matiere,

en reponse a des forces appliquees.

• Le solide possede une forme propre

independante du support sur lequel il est pose.

• Le fluide (liquide ou gaz, selon sa densite + ou − grande)

epouse la forme du support sur ou dans lequel il est pose.

• Science du mouvement = cinematique (du grec kinema = mouvement)...

Cf. la seance 0 et l’annexe A Cinematique fondamentale du tome 1 !..

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Modele du milieu continu ?

Cf. un cristal :

echelle 5 A : milieu discontinu :

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Cf. un cristal :

echelle 10 nm : on commence a voir une « texture » quasi-homogene :

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Cf. un cristal :

echelle 10 µm : milieu « continu » :

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Modele du milieu continu !

Consideree a une echelle suffisamment « grande »,

la matiere peut souvent etre vue comme un continuum de « points materiels »

= volumes elementaires representatifs en quasi-equilibre thermodynamique

En ces « points materiels » on peut definir

• une masse volumique moyenne ρ(x,t) ;

• une vitesse moyenne v(x,t) ;

• une temperature moyenne T (x,t)...

=⇒ possibilite de decrire le mouvement par la cinematique,

et d’analyser tous les champs impliques avec le calcul tensoriel,

introduit ici en melangeant algebre et analyse pour des questions de temps...

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2 Introduction au calcul tensoriel

T0 = { tenseurs d’ordre 0 = scalaires }, ex. T (x) temperature.

T1 = { tenseurs d’ordre 1 = vecteurs } = R3 euclidien,

ex. ∇xT gradient de temperature :

definition intrinseque : dT = T (x+ dx)− T (x)︸︷︷︸

δT

linearise = ∇T · dx

��

��

��

��

��

��

dx

x

x+ dx

dT

T

T (x)

T (x+ dx)∇T

∇T est l’application lineaireT1 −→ T0dx 7−→ dT = ∇T · dx

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Introduction au calcul tensoriel : gradient d’un champ scalaire

Definition intrinseque dT = T (x+ dx)− T (x)︸︷︷︸

δT

linearise = ∇T · dx

=⇒ sur une carte meteo,

• ∇T est perpendiculaire aux isothermes,

• ∇T pointe vers les regions chaudes...

Carte des services meteo allemands (Wetterzentrale) du 11 septembre 2020 a 17h

temperature a 2 m du sol en °C9/22


Introduction au calcul tensoriel : gradient d’un champ vectoriel

En mecanique on s’interesse aussi a des champs vectoriels ;

ex. : le champ de vitesse.

Son gradient se definit en considerant dv fonction linearisee de dx

δv = v(x+ dx)− v(x) ≃ dv = ∇v · dx

≃ dx1

dx2

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Introduction au calcul tensoriel : gradient d’un champ vectoriel

En mecanique on s’interesse aussi a des champs vectoriels ;

ex. : le champ de vitesse.

Son gradient est un champ de tenseurs d’ordre 2,

c’est-a-dire un champ d’endomorphismes :

definition intrinseque : dv = v(x+ dx)− v(x)︸︷︷︸

δv

linearise = ∇v · dx

��

��

��

dx

x

x+ dx dv

v(x)

v(x + dx)

∇v est l’application lineaireT1 −→ T1

dx 7−→ dv = ∇v · dx

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Tenseur d’ordre 1 (T1) :

∇T application lineaireT1 −→ T0dx 7−→ dT = ∇T · dx

Tenseur d’ordre 2 (T2) :

∇v application lineaireT1 −→ T1

dx 7−→ dv = ∇v · dx

D’ou la definition par recurrence d’un tenseur d’ordre n + 1 :

Tn+1 application lineaireT1 −→ Tnh 7−→ Tn+1(h) = Tn+1 · h

→ gradient d’un tenseur A d’ordre n :

∇A ∈ Tn+1 est l’application lineaireT1 −→ Tndx 7−→ dA = ∇A · dx

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Definition par recurrence d’un tenseur d’ordre n :

Tn application lineaireT1 −→ Tn−1

h 7−→ Tn(h) = Tn · h

Definition par recurrence du produit tensoriel :Pour n vecteurs a1, · · · ,an , leur produit tensoriel est le tenseur d’ordre n

a1 ⊗ · · · ⊗ an application lineaireT1 −→ Tn−1

h 7−→ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 (an · h)

etant entendu que

a1 ⊗ a2 application lineaireT1 −→ T1h 7−→ a1 (a2 · h)

→ ecriture en composantes dans base orthonormee choisie :

v =∑

i

viei , T =∑

ij

Tijei ⊗ ej , T =∑

ijk

Tijkei ⊗ ej ⊗ ek , etc...

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Convention de sommation sur les indices repetes « muets » :

v =∑

i

viei v = viei =⇒ T1 espace vectoriel de dim. 3

T =∑

ij

Tijei ⊗ ej T = Tijei ⊗ ej =⇒ T2 espace vect. de dim. 32

T =∑

ijk

Tijkei⊗ej⊗ek T = Tijkei⊗ej⊗ek =⇒ T3 espace vect. de dim. 33

Merci Einstein !

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Calcul des composantes de a⊗ b en coordonnees cartesiennes

Partir de la definition intrinseque :

a ⊗ b :T1 −→ T1x 7−→ (a⊗ b) · x = a (b · x)

Dans la base orthonormee {ei} et le repere cartesien associe,

a = aiei , b = bjej , x = xkek , Mat(a ⊗ b,{ei}) = [Lij ] .

a ⊗ b = ai bj ei ⊗ ej

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Calcul des composantes de ∇v en coordonnees cartesiennes

Definition intrinseque : ∇v est l’application lineaireT1 −→ T1

dx 7−→ dv = ∇v · dx

Dans la base orthonormee {ei},

v = viei , x = xkek , Mat(

∇v,{ei})

= [Gij ] .

∇v =∂vi

∂xjei ⊗ ej

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Au fait c’est quoi ce · ?

C’est le point du produit de contraction :

si A = Ai1i2···inei1 ⊗ · · · ⊗ ein ∈ Tn , B = Bj1 j2···jmej1 ⊗ · · · ⊗ ejm ∈ Tm ,

alors A ·B = Ai1i2···in−1kBkj2···jmei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm

A ·B ∈ Tn−1+m−1 = Tn+m−2

Ex. : A ·B est l’endomorphisme compose A ◦ B = AikBkjei ⊗ ej .

On definit aussi le produit doublement contracte :

A : B = Ai1···in−2qkBkqj3···jmei1 ⊗ · · · ⊗ ein−2 ⊗ ej3 ⊗ · · · ⊗ ejm

A : B ∈ Tn−2+m−2 = Tn+m−4

Ex. : A : B est le scalaire tr

(

A ·B)

= tr

(

A ◦ B)

= AqkBkq .

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Produit simplement contracte :

Si A = Ai1i2···inei1 ⊗ · · · ⊗ ein ∈ Tn , B = Bj1 j2···jmej1 ⊗ · · · ⊗ ejm ∈ Tm ,

alors A ·B = Ai1i2···in−1kBkj2···jmei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm

A ·B ∈ Tn−1+m−1 = Tn+m−2

Produit doublement contracte :


A : B ∈ Tn−2+m−2 = Tn+m−4

Application : definition de la divergence :

Si T ∈ Tn avec n ≥ 1, div T = ∇T : 1 ∈ Tn+1+2−4 = Tn−1

Ex. : divergence d’un champ de vecteurs v en coordonnees cartesiennes :

divv =∂vi

∂xi.

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Produit doublement contracte :


A : B ∈ Tn−2+m−2 = Tn+m−4

Application : definition de la divergence :

Si T ∈ Tn avec n ≥ 1, div T = ∇T : 1 ∈ Tn+1+2−4 = Tn−1

Application : definition du laplacien :

si T ∈ Tn, ∆T = div ∇T = ∇∇T : 1 ∈ Tn+1−1 = Tn

Ex. : laplacien d’un champ de vecteurs v en coordonnees cartesiennes :

∆v =∂2vi

∂xj∂xjei .

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Il y aurait encore beaucoup d’autres choses a presenter sur le calcultensoriel...

• la definition des tenseurs comme applications multilineaires

Tn forme n-lineaireR

3 × · · · × R3 −→ R

(X1, · · · , Xn) 7−→ Tn(X1, · · · , Xn)...

• par exemple

a⊗ b :R

3 × R3 −→ R

(x,y) 7−→ (a · x)(b · y)

• le tenseur alterne fondamental ǫ qui permet de definir le produit vectoriel

x ∧ y = ǫ : y⊗ x

et le rotationnel d’un champ de vecteur

rot(v) = ǫ : ∇v ...

• les formules integrales...

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Grace aux 2 cours - TD de calcul tensoriel,au poly, aux seances de mecanique,

et a votre travail personnel,vous finirez bien par maıtriser le calcul tensoriel !

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TD de 9h45 a 11h45 :• 4 exercices d’algebre tensorielle :

1.3 De l’interet de la notation produit tensoriel

1.4 Transposition d’un produit tensoriel

1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant

1.13 Formule du double produit vectoriel

dont les 2 derniers vous permettront de « rencontrer » ǫ...

• en bonus, pour les plus rapides, 1 exercice d’analyse tensorielle :

A.1 Etude locale d’un champ de vecteur analytique

Prochaine seance vendredi 1er octobre, cf.

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc!

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