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UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES

Annales de sujets d’examen

Licence 2 S3 (premier semestre)

Table des matières :

Economie du budget, de la fiscalité et de la protection sociale (sujets, p. 3)

Théories et mécanismes monétaires (sujets et éléments de correction, p. 9)

Macroéconomie 1 (sujets et corrigés, p. 18)

Mathématiques 2 (sujets corrigés, p. 39)

UNIVERSITE PARIS 1 – UFR D’ECONOMIE - ANNEE UNIVERSITAIRE 2012-2013Licence 2ème année

ÉCONOMIE DU BUDGET, DE LA FISCALITÉ ET DE LA PROTECTION SOCIALE

Première session. Janvier 2013Durée de l'épreuve : 2 heures.Aucun document n'est autorisé.

Question de cours1. La redistribution secondaire du revenu.

a) Qu'est-ce qu'un impôt progressif ? En quoi un impôt progressif est-il plus redistributifqu'un impôt proportionnel ? Comment la place de la progressivité a-t-elle évolué dans lesystème fiscal français depuis 25 ans ? (4 points)b) Par quels procédés les administrations publiques modifient-elles la distribution primairedu revenu ? Comment ces éléments ont-ils évolué au cours de trente dernières années ?(4 points)

Questions de réflexion2. L'État inséré :

a) Expliquez ce qu'est l'État inséré pour André et Delorme. Précisez quelle conception del'État (libérale, marxiste ou autre) correspond le mieux à cette période et justifiez votreréponse. (2 points)b) Dans quelle mesure cette notion d'État inséré s'applique-t-elle à la période des années1990 et 2000 ? A quelle conception de l'État cette période correspond-elle le mieux ?Justifiez vos réponses. (2 points)

3. Commentez le graphique ci-dessous. (4 points)4. En matière de protection sociale, distinguez le système bismarkien du système beveridgien

et expliquez comment se positionne la France. (4 points)

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

0

20

40

60

80

100

120

140

Dettes publiques par rapport au PIB en %, pays du G7, 1950-2010Source : IMF, Global Financial Stability Report, avril 2010, p.4Pays composant le G7 : Allemagne, Canada, États-Unis, France, Italie, Japon, Royaume-Uni.

UNIVERSITE PARIS 1 – UFR D’ECONOMIEANNEE UNIVERSITAIRE 2012-2013

Licence 2ème année

ECONOMIE DU BUDGET, DE LA FISCALITÉ ET DE LA PROTECTION SOCIALE

Deuxième session. 20 Juin 2013Durée de l'épreuve : 2 heures.Aucun document n'est autorisé.Le barème est indicatif

I- Questions de cours

1) Quelle différence y-a-t-il au Moyen-âge entre les recettes ordinaires de l'État et les recettes

extraordinaires de l'État ? (2 points)

2) Le taux de socialisation du revenu ajusté des ménages : a/ donnez sa définition ; b/

expliquez ce qu'il mesure ; c/ comment a-t-il évolué depuis 1960 ?; d/ comment ont évolué ses

composantes ? (4 points)

3) Le solde budgétaire évolue-t-il seulement en raison de la politique intentionnelle du

gouvernement ? Pourquoi ? (2 points)

4) Décrivez les mécanismes à court et à moyen terme d'une politique d'austérité et précisez

ses effets sur les finances publiques. (4 points)

II- Dette et déficit publics. Vous répondrez aux questions suivantes en soignant

particulièrement votre argumentation économique

Tableau 1 : données relatives à la situation économique et des finances publiques françaises

Taux d'intérêt nominal sur

titre d'emprunt public à 10 ans en décembre de

l'année

Variation des prix à la

consommation en %

Variation du PIB en volume

en %

Déficit public au sens de

Maastricht en % du PIB

Dette publique au sens de

Maastricht en % du PIB

2007 4,35% 1,5% 2,3% -2,7% 64,2%2008 3,51% 2,8% -0,1% -3,3% 68,2%2009 3,48% 0,1% -3,1% -7,5% 79,2%2010 3,33% 1,5% 1,7% -7,1% 82,4%2011 3,16% 2,1% 2,0% -5,3% 85,8%2012 1,99% 2,0% 0,0% -4,8% 90,2%05/2013 1,81% - - - -

Sources : INSEE, Agence France Trésor.

5) A partir des données figurant dans le tableau ci-dessus et de vos propres connaissances,

quelles sont les principaux facteurs expliquant l'évolution du déficit et de la dette publics

depuis 2007. (4 points)

6) Qu'est-ce que l'effet boule-de-neige ? La crise fait-elle disparaître l'effet boule-de-neige ?

Vous pouvez vous aider du tableau. (4 points)



ECONOMIE DU BUDGET, DE LA FISCALITÉ ET DE LA PROTECTION SOCIALE

Deuxième session. Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 heures.Aucun document n'est autorisé.

Chaque question est notée sur 5 points.

1/ Quels sont les grands principes à l'œuvre dans chacun des deux principaux modèles de protection sociale que sont ARS et TSI ?

2/ Décrivez les liens et les mécanismes qui existent entre dette privée et dette publique au cours du cycle économique.

3/ Écrivez la formule du TGPO.− Le numérateur et le dénominateur sont-ils des indicateurs homogènes ? Que peut-on en

déduire ?− Expliquez le lien entre dépenses publiques et recettes publiques en terme de multiplicateur.

Que peut-on en déduire ?

4/ Expliquez les mécanismes par lesquels, lorsque l'assureur ne peut observer les états de santé individuels, une politique de tarification uniforme peut conduire à un effondrement du marché de l'assurance. Quelles en sont les conséquences pour comprendre l'émergence des assurances sociales ?

UNIVERSITE PARIS 1 – UFR D’ECONOMIE ANNEE UNIVERSITAIRE 2011-2012


ECONOMIE DU BUDGET, DE LA FISCALITE ET DE LA PROTECTION SOCIALE Première session. Jeudi 12 janvier 2011 – 14 h – 16 h

Durée de l'épreuve : 2 heures. Aucun document n'est autorisé. Barème indicatif. Veillez à privilégier la qualité de vos réponses sur la quantité.

Questions de cours : 1. Comment Norbert Elias analyse-t-il l'apparition de l'impôt à la fin du moyen âge ? Détaillezles processus, les étapes et les mécanismes. (2 points)

2. Auto-financement et multiplication des prélèvements obligatoires : expliquez. (4 points)

3. Expliquez les mécanismes par lesquels, lorsque l'assureur ne peut observer les états de santéindividuels, une politique de tarification uniforme peut conduire à un effondrement du marché de l'assurance. (4 points)

Question de réflexion 4. Donnez deux causes ayant pu jouer un rôle dans la tendance haussière du ratio dette/PIB aucours des trente dernières années. Veillez à bien expliquer les mécanismes en jeu. (5 points)

5. Définissez chaque notion figurant dans le graphique ci-dessous et analysez-le. (5 points)



Economie du budget, de la fiscalité et de la protection sociale

Deuxième session ; mardi 21 juin 2011 – 18h30 – 20 h 30

Durée de l'épreuve : 1h30.Aucun document n'est autorisé.

Barème indicatif

Veillez à privilégier la qualité de vos réponses sur la quantité.

Questions sur les finances sociales et la protection socialeQuestion 1 (6 points) : Dans le domaine de la protection sociale, qu'est-ce que la doctrine des 3 U ? Comment a-t-elle été appliquée en France ?

Question 2 (4 points) : Quelles sont les principales évolutions intervenues depuis 20 ans du point de vue des recettes de la protection sociale ?Questions sur la dette publique

Question 3 (4 points) : Le solde budgétaire évolue-t-il seulement en raison de la politique intentionnelle du gouvernement ? Pourquoi ?Question 4 (6 points)

Question 4-1 : Qu'est-ce que l'effet boule-de neige ? Comment influence-t-il l'évolution du ratio dette/PIB ? (2 points)Question 4-2 : A partir du tableau ci-dessous, calculez l'effet boule de neige pour chaque période (complétez le tableau). (1 point)

Question 4-3 : A l'aide du tableau 1 ci-dessous vous expliciterez quelle a pu être l'influence relative de l'effet boule-de-neige sur le ratio dette/PIB pour chaque période considérée. (3 points)

Tableau 1

TCAM dette/PIB

solde pri-maire/PIB

moyen (sans 2009)

TCAM PIB volume

taux d'inté-rêt réel moyen

Effet Boule-de-neige

1978/1987 5% -0,16 2% 3,81987/1991 2% 0,16 3% 6,11991/1997 8% -1,3 1,30% 5,21997/2001 -1,70% 1 3,10% 3,92001/2005 3,70% -0,24 1,60% 2,42005/2007 -1,50% 0 2,20% 2,22007/2009 10% -0,3 -0,9 2,3

Note : TCAM = Taux de croissance annuel moyen

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Licence 2è année

Economie du budget, de la fiscalité et de la protection socialePremière session ; mercredi 19 janvier 2011 – 19h30 – 21 h 30

Durée de l'épreuve : 2 heures.Aucun document n'est autorisé.

Barème indicatif

Veillez à privilégier la qualité de vos réponses sur la quantité.

Questions de cours

1) Quelle fut la nouveauté introduite par la loi du 9 avril 1898 sur l'indemnisation desaccidents du travail au regard du droit libéral qui prévalait jusque là ? (2 points)

2) Précisez les principales caractéristiques du modèle ARS d'Assurance du Revenu Salarial(Bismarck) de protection sociale, et du modèle TSI des Transferts Sociaux par l'Impôt (Beveridge). Le système français de protection sociale peut-il être rattaché à l'un de ces deux modèles ou s'en différencie-t-il ? Comment ? (3 points)

3) Expliquez les principes des stabilisateurs automatiques. (2 points)

4) A partir du texte de F. Lordon étudié en TD, expliquez le mécanisme par lequel il y amonétisation des dettes publiques dans le système actuel. (2 points)

5) La dette publique est-elle un transfert intergénérationnel ? (2 points)

Questions de réflexion

6) Analysez le lien entre les fluctuations de la conjoncture économique, mesurées par le tauxde croissance du PIB, et l'évolution de la dette publique. Vous étayerez votre réponse à partir d'une analyse du cas français depuis 30 ans en précisant bien le rôle et l’évolution des variables-clés. (5 points)

7) Protection sociale : quelles tendances et quelles réformes au cours des trois décenniespassées ? (4 points)

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Université Paris 1 (Panthéon-Sorbonne) EXAMEN ANNÉE 2013-2014

Session de juin 2014

Licence de Sciences Économiques (L2) Théories et mécanismes monétaires

Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Bruno Tinel (division 2) Durée : 2 heures

IMPORTANT - Le barème utilisé pour la notation est précisé pour chaque question posée. - Rédigez vos réponses en bon français (évitez le style télégraphique et les abréviations) et soignez la présentation. Une très mauvaise orthographe sera pénalisée (les étudiants étrangers peuvent l’indiquer sur la copie). - Les calculatrices et les téléphones portables sont strictement interdits. ___________________________________________________________________________

MARCHES FINANCIERS

Question 1 (5 points) : Expliquez la différence entre un financement par actions et un financement par obligations.

TAUX D’INTERET

Question 1 (5 points) : Les anticipations de taux court suffisent-elle à expliquer le niveau des taux longs ?

MONNAIE

Question 1 (5 points) : La masse monétaire croit-elle à proportion de la base monétaire ?

POLITIQUE MONETAIRE

Question 1 (5 points) : Quelles sont les marges de manœuvre de la politique monétaire quand les taux directeurs sont au plancher ?


Session de janvier 2014


Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Bruno Tinel (division 2) Durée : 2 heures


MARCHES FINANCIERS Question 1 (3 points) : Expliquez la différence entre un marché organisé et un marché de gré à gré. Question 2 (3 points) : Les transactions ont globalement peu baissé sur les marchés dérivés pendant la crise. Expliquez pourquoi.

TAUX D’INTERET Question 1 (3 points) : Soit une obligation classique, nommée A, de 100€ émise à période 1 et donnant lieu à versement de 5€ par an. À la période 2, les conditions du marché ont changé et les obligations, nommées B, rapportent désormais 10€ par an pour 100€ de valeur faciale.

a/ Quel est le cours auquel s'échange désormais (en période 2) l'obligation de type A ? Détaillez le calcul. b/ Expliquez en détail les mécanismes d'ajustement par lesquels on aboutit à ce résultat. c/ En période 3, les obligations C émises à 100€ de valeur faciale rapportent seulement

2,5€ par an. Que se passe-t-il pour les obligations de type A et B ? Détaillez les mécanismes et les calculs. Question 2 (3 points) : Expliquez la préférence pour la liquidité chez Keynes comme fondement théorique du taux d'intérêt.

MONNAIE Question 1 (2 points) : Qu'est-ce que la neutralité monétaire ? En quoi ce principe peut-il être mis en doute ? Question 2 (2 points) : Que peut-on dire de la distinction entre monnaie et titres ?

POLITIQUE MONETAIRE Question 1 (4 points) : En 1969, Milton Friedman affirmait : « Pour soigner la déflation, il suffit de jeter de la monnaie d’un hélicoptère ». Qu’en pensez-vous à l’aune de la crise actuelle ?


Session de juillet 2013


Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Emmanuel Carré (division 2) Durée : 2 heures


MARCHES FINANCIERS

Question 1 (4 points) : Expliquez ce qu’est une obligation souveraine. Expliquez la situation du marché de ces obligations souveraines pendant la crise de la dette souveraine en zone euro.

Question 2 (4 points) : Quels sont les avantages et les limites d’une taxation sur les transactions financières, comme par exemple celle décidée par la Commission européenne en février 2013 ?

TAUX D’INTERET

Question 1 (3 points) : Qu’est-ce qu’un taux de rendement actuariel ? Expliquez comment il s’obtient dans le cas d’une obligation. Peut-il être négatif ?

MONNAIE

Question 1 (3 points) : Le degré de concentration du secteur bancaire a-t-il une incidence sur la capacité de création monétaire des banques ?

POLITIQUE MONETAIRE

Question 1 (3 points) : Pourquoi certains économistes préconisent-ils d’élargir la palette des variables incluses dans la règle de Taylor ?

Question 2 (3 points) : Pourquoi les politiques monétaires non conventionnelles menées par les banques centrales pour gérer la crise n’ont pas provoqué d’inflation jusqu’à présent?




Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Dany Lang (division 2) Durée : 2 heures


MARCHES FINANCIERS

Question 1 (3 points) : Expliquez ce qu’est un CDS et en quoi ces produits financiers peuvent s’avérer problématiques. Question 2 (3 points) : Indiquez l’impact de la crise sur les segments de marché suivants : marché monétaire, marché boursier, marché obligataire, marchés dérivés.

TAUX D’INTERET

Question 1 (3 points) : La théorie des anticipations permet-elle de comprendre les courbes de taux ? Question 2 (2 points) : En 2005, Alan Greenspan avait été confronté à un problème qu’il avait lui même qualifié de « conundrum ». De quoi s’agissait-il ?

MONNAIE

Question 1 (3 points) : Certains économistes craignent que, si la Banque centrale européenne venait à garantir la dette publique, l’inflation augmenterait. Expliquez les fondements théoriques puis les limites de leur raisonnement. Question 2 (2 points) : La Banque centrale contrôle-t-elle la quantité de monnaie en circulation ?

POLITIQUE MONETAIRE

Question 1 (3 points) : Qu’est-ce que la règle de Taylor ? Question 2 (2 points) : Les banques centrales ont-elles un objectif de stabilité financière ?

Université Paris 1 (Panthéon-Sorbonne)

ANNÉE 2010-2011

Session de rattrapage 2011

L2 Sciences Economiques

Théories et mécanismes monétaires

Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Dany Lang (division 2)

Durée : 2 heures

IMPORTANT

- Le barème utilisé pour la notation est précisé pour chaque question posée.

- Rédigez vos réponses en bon français (évitez le style télégraphique et les abréviations) et

soignez la présentation. Une très mauvaise orthographe sera pénalisée (les étudiants étrangers

peuvent l’indiquer sur la copie).

- Les calculatrices et les téléphones portables sont strictement interdits.

___________________________________________________________________________

SYSTEMES FINANCIERS

Question (3 points) : Doit-on interdire la titrisation des créances ?

TAUX D’INTERET

Question 2 (2 points) : Expliquez la relation de Fisher.

Question 3 (3 points) : En quoi la forme de la courbe des taux nous donne-t-elle une indication

sur les anticipations des agents ?

MONNAIE

Question 1 (3 points) : Pourquoi, dans la théorie classique, le seul motif de détention monétaire

est-il nécessairement le motif de transaction ? Quelles sont les limites de cette vision de la

détention monétaire ?

Question 2 (3 points) : La banque centrale contrôle-t-elle la quantité de monnaie en circulation ?

POLITIQUE MONETAIRE

Question 1 (4 points) : La crise financière de 2007-2009 est-elle due au non-respect de la règle de

Taylor par les banques centrales ?

Question 2 (2 points) : Les banques centrales ont-elles échappé à la trappe à liquidité ?

Université Paris 1 (Panthéon-Sorbonne)

EXAMEN ANNÉE 2010-2011


Licence de Sciences Économiques (L2)

Théories et mécanismes monétaires

Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Dany Lang (division 2)

Durée : 2 heures

IMPORTANT

- Le barème utilisé pour la notation est précisé pour chaque question posée.

- Rédigez vos réponses en bon français (évitez le style télégraphique et les abréviations) et

soignez la présentation. Une très mauvaise orthographe sera pénalisée (les étudiants étrangers

peuvent l’indiquer sur la copie).

- Les calculatrices et les téléphones portables sont strictement interdits.

___________________________________________________________________________

SYSTEMES FINANCIERS

Question (2 points) : Les obligations d’Etat sont-elles des actifs sans risque ?

Question (2 points) : Comment améliorer la sécurité sur les marchés de produits dérivés ?

TAUX D’INTERET

Question 1 (2 points) : Expliquer la relation de Fisher.

Question 2 (3 points) : Quelle incidence les variations de taux directeurs ont-elles sur les taux à

long terme ?

Question 3 (3 points) : Quelle incidence une augmentation de la masse monétaire a-t-elle sur le

niveau des taux d’intérêt ?

MONNAIE

Question 1 (2 points) : Qu’est-ce qu’un bon intermédiaire des échanges ?

Question 2 (2 points) : Commentez l’expression « les crédits font les dépôts ».

POLITIQUE MONETAIRE

Question 1 (3 points) : Jusqu’en 2007, les banques centrales se sont essentiellement concentrées

sur le ciblage d’inflation. Ce faisant, quels risques essentiels ont-elles négligés ?

Question 2 (2 points) : Qu’est-ce que le canal du crédit au sens large ou canal du bilan ?

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

EXAMEN ANNÉE 2009-2010 Seconde session septembre 2010


Jézabel Couppey-Soubeyran (division 1) et Jean-Bernard Chatelain (division 2)

Durée : 2 heures

- Rédigez vos réponses en bon français (évitez le style télégraphique et les abréviations).

Soignez la présentation. (Une très mauvaise orthographe sera pénalisée. Les étudiants étrangers

peuvent l’indiquer sur la copie). Calculettes INTERDITES.

___________________________________________________________________________

BANQUES & SYSTEMES FINANCIERS

Question (3 points) : Comment la supervision prudentielle devrait-elle évoluer à l’issue de la

crise ?

Question (3 points) : Les Français ont-ils raison ou tort de peu participer aux marchés financiers ?

TAUX D’INTERET

Question 1 (1 point): Qu’est-ce qu’un taux actuariel ?

Question 2 (3 points) :

2.1 Une rente perpétuelle est émise (sur le marché primaire) à la date t=0 au taux nominal (=taux

le jour de l’émission) i(t=0)=10%, pour un montant nominal ou prix à l’émission de p(t=0)=100.

Calculez le COUPON annuel versé à perpétuité. (1 point)

2.2 De nouvelles rentes perpétuelles sont émises à la date t=T>0. Elles ont un taux nominal

différent à l’émission, i(nouvelles obligations)=20%. A la date T, quel est le prix de revente sur le

marché secondaire de la rente perpétuelle émise à la date t=0 ? (1 point).

2.3 Tracer le graphe de la fonction donnant le cours de la rente perpétuelle émise à la date t=0 en

fonction du taux d’intérêt d’une rente perpétuelle émise à la date T>0 (i(nouvelles obligations)>0), et

indiquer le point de la courbe correspondant à la question précédente.


3.1. Décrivez très précisément quels sont les grandeurs représentées sur chacun des axes d’une

« courbe des taux ».

3.2. A quoi peut servir une « courbe des taux » ?

3.3. Un taux au comptant pour un emprunt de 3 mois vaut 6% et un taux au comptant pour un

emprunt de 6 mois vaut 3% émis par le même créditeur. Expliquez pourquoi cette observation est

possible ou impossible ?

MONNAIE

Question 1 (2 point) : Comment évoluent les agrégats monétaire en période de crise ?

Question 2 (3 points) : La période actuelle fait-elle courir un risque inflationniste ou au contraire

déflationniste ?

Question 3 (2 points) : La politique monétaire des grandes banques centrales a-t-elle un rôle à

jouer pour diminuer l’occurrence des crises financières ?

Eléments de correction :

TAUX D’INTERET

Question 1 (1 point): Qu’est-ce qu’un taux actuariel ?

Un taux actuariel est la solution d’une équation actuarielle associant le prix d’un actif défini

comme une valeur actuelle correspondant à la somme actualisé des revenus futurs de cet actif par

le « taux actuariel ». Dans une équation actuarielle, le prix et les flux de revenus futurs sont

donnés, le taux actuariel est l’inconnue de l’équation qu’il faut calculer.

Par exemple, le taux actuariel d’un crédit aux particuliers va inclure dans les flux de revenus les

commissions et « frais de dossiers » ajoutés par la banque en plus des intérêt sur leur taux

d’intérêt affiché pour la clientèle. Dans ce cas, le taux actuariel sera une mesure plus précise du

coût du crédit, et plus élevé que le taux affiché pour la clientèle.

Question 2 (3 points) : rente perpétuelle : cours d’une obligation et taux d’intérêt.

titi

ip

ti

CtpFonction

ti

ip

ti

CtpSecondaire

ipCi

CpDateEmission

i

C

i

iC

Tp

T

100)0()(:

502.0

1.01000)0()(:

101.01000)0(0

)0(:0__

1

11

lim0

Le graphe indique une fonction décroissante, d’asymptote verticale pour i(t)=0, d’asymptote

horizontale pour i(t) tendant vers l’infini, de valeur NOMINALE p(0)=100 pour le taux

NOMINAL i(t)=i(0)=10%=0,1, de valeur p(t)=50 lorsque i(t)=20%=0,2.


Question 3.1. Axes d’une courbe des taux.

L’axe vertical d’une courbe des taux correspond aux taux au comptant r(0,n)

- pour des obligations zéro coupon

- commençant à la date 0 (par exemple aujourd’hui)

- d’un même émetteur (par exemple l’Etat français)

- dans la même devise (un Etat peut émettre des obligations dans différentes devises

-en fonction des échéances ou maturité (date n).

3.2. A quoi peut servir la courbe des taux ? (donner aux moins deux réponses sur 4 pour

avoir 1 point).

1. Evaluer les anticipations sur les taux futurs anticipés (taux forward): faut-il investir ou

emprunter maintenant ou dans un an?

2. En particulier, déduire les anticipations des marchés obligataires sur la décision future de

modification du taux REFI du marché interbancaire de la banque centrale, par exemple à

trois mois.

3. Trouver des taux d’actualisation d’obligation zéro coupon pour chaque maturité, pour

évaluer les obligations ou les investissements.

4. Prévoir des récessions ou la baisse de l’activité: un écart entre un taux long et un taux

court est un indicateur avancé de l’activité économique.

3.3. Un taux au comptant pour un emprunt de 3 mois vaut 6% et un taux au comptant pour

un emprunt de 6 mois vaut 3% émis par le même créditeur. Expliquez pourquoi cette

observation est possible ou impossible ?

POSSIBLE. Il s’agit d’une « inversion de la courbe des taux ». Selon la théorie des anticipations,

Les investisseurs anticipent une baisse du taux d’intérêt anticipé ou forward pour les emprunts

commençant dans 3 mois et se terminant dans six mois. Ceci correspondant à une anticipation de

baisse des taux directeurs de la banque centrale en moyenne sur la période commençant dans 3

mois et se terminant dans 6 mois. Cette anticipation de baisse des taux peut elle-même provenir

d’une anticipation de baisse de l’activité économique associée à une anticipation de baisse de

l’inflation.

Cette anticipation de baisse des taux anticipés peut contrecarrer l’effet de la prime compensant la

perte de liquidité et conduisant à une hausse des taux pour les prêt de maturité plus longue.

Universite Paris 1 Pantheon-Sorbonne

Licence 2

Annee Academique 2013-2014

Premier Semestre

ANNALES D’EXAMEN

Macroeconomie

Cours de Elisabeth Cudeville et Jean-Olivier Hairault

EXAMEN 2eme session – Juillet 2013 (Duree : 2 heures)

Question de cours (8 pts)

Vrai-Faux – Reponses courtes : repondez par vrai ou faux en justifiant votre reponse (toute reponse

non justifiee sera consideree comme fausse).

1. Dans une economie conforme aux hypotheses du modele IS-LM, une politique de relance budgetaire est

toujours efficace. [1 pt]

2. La courbe de Phillips decrit une relation structurelle negative entre le taux d’inflation et le taux de

chomage. [1 pt]

3. D’apres le modele de Solow, les pays riches et les pays pauvres devraient finir par converger vers un meme

niveau de revenu par tete. [1 pt]

4. Quand le PIB nominal augmente, la quantite de biens disponible dans l’economie augmente. [1 pt]

5. Une depreciation du taux de change nominal relance toujours l’activite economique. [1 pt]

6. Les salaires dependent positivement du taux de chomage dans l’economie. [1 pt]

7. Reduire le pouvoir de monopole des entreprises peut permettre d’accroıtre la production globale de biens.

[1 pt]

8. Une baisse du taux de chomage correspond a une diminution du nombre de chomeurs. [1 pt]

1

Probleme (12 pts)

On considere le modele IS/LM suivant :

C = 0, 8Y

I = I − αi avec α ≥ 0

G = G

Md = P (Y − 5i)

M s = M

Y , C, I, Md, P , M s, i, G sont respectivement le revenu, la consommation, l’investissement, la demande de

monnaie, le niveau general des prix, l’offre de monnaie, le taux d’interet et les depenses publiques. G et M

representent le niveau exogene des depenses publiques et de l’offre de monnaie. I est la composante exogene

de l’investissement.

1. Definissez et ecrivez l’equation des courbes IS et LM. [2 pts]

2. Definissez et determinez l’expression du revenu d’equilibre macroeconomique. [1 pt]

On considere deux economies A et B conformes au modele precedent. Dans un contexte de recession mondiale,

le gouvernement du pays A, comme celui du pays B, decident de mettre en oeuvre une politique monetaire

pour soutenir l’activite. La masse monetaire est accrue de 1 milliard dans chacune des economies. Assez

rapidement, l’effet positif sur l’activite se fait sentir dans le pays A alors que, dans l’economie B, cette

mesure est sans effet.

3. Qu’en deduisez-vous concernant la valeur du parametre α dans chacune des economies. Expliquez. [2 pts]

4. Representez graphiquement l’effet du choc sur l’equilibre macroeconomique dans les deux cas et expliquez

les mecanismes economiques a l’oeuvre.[2 pts]

5. Definissez la courbe de demande globale, donnez son equation et representez la graphiquement dans

chacune des economies. Expliquez. [2 pts]

6. Quel sera l’effet de la relance monetaire sur les prix, quand ceux-ci pourront s’ajuster, dans les economies

A et B, sachant que la courbe d’offre globale est la meme dans les deux economies et est croissante dans le

repere (Y, P ). [3 pts]

2

EXAMEN 1ere session – Janvier 2013 (Duree : 2 heures)

Question de cours (5 pts)

Pourquoi les industriels francais se plaignent regulierement de la parite Euro/Dollar ? Leur souhait d’apprecia-

tion du dollar ameliorait-il necessairement la balance commerciale ? Comment la Banque Centrale europeenne

pourrait-elle, par son intervention, les satisfaire ? Vous repondrez sur la base du modele Mundell-Fleming.

Probleme 1 (10 pts)

On considere le modele IS/LM suivant :

C = 0, 9(Y − T )

I = I

T = 0, 1Y

G = G

Md = P (Y − 2i)

M s = M

Y , C, I, Md, P , M s, i, T , G sont respectivement le revenu, la consommation, l’investissement, la demande

de monnaie, le niveau general des prix, l’offre de monnaie, le taux d’interet, l’impot et les depenses publiques.

G et M representent le niveau exogene des depenses publiques et de l’offre de monnaie. I est la composante

exogene de l’investissement.

1. Definissez le revenu d’equilibre macroeconomique et montrez qu’il s’ecrit :

Y =10

1, 9(I + G)

2. Le gouvernement, s’il veut peser sur l’activite economique, doit-il privilegier l’instrument budgetaire ou

monetaire ? Pourquoi ? Expliquez.

3. Calculez les effets sur la production et le deficit budgetaire de l’Etat d’une baisse de 1 milliard de

l’investissement des entreprises. Expliquez precisement les effets.

4. Le gouvernement cherche a neutraliser les effets de cette baisse de l’investissement sur son deficit bud-

getaire, que doit-il faire ? Quel sera l’effet de son intervention sur la production ? Expliquez precisement les

effets sans calculs.

3

5. Calculez maintenant precisement l’ampleur de son intervention et son effet sur le revenu d’equilibre.

Probleme 2 (5 pts)

On considere une economie qui produit une quantite de biens Yt au cours de la periode t en combinant du

capital physique Kt et des travailleurs N (dont la quantite est supposee constante au cours du temps) selon

la fonction de production :

Yt = Kαt (AtN)1−α

On suppose que le progres technique At provient des innovations de la recherche publique qui est financee

par impot : At = τYt avec τ le taux d’imposition compris entre 0 et 1.

Comme la population de travailleurs est constante, on posera sans pertes de generalite N = 1 et par la suite

on ecrira donc :

Yt = Kαt A

1−αt

1. Montrez que la production Y peut s’ecrire : Yt = Ktτ1−αα . Si le stock de capital augmente, la produc-

tion augment-elle plus, moins ou proportionnellement ? Qu’en concluez-vous concernant les rendements de

l’accumulation du capital physique ? Expliquez precisement les raisons de ce resultat.

2. Sachant que l’investissement It est egal a s(1 − τ)Yt et que le taux de depreciation est egal a δ, montrez

que le taux de croissance du stock de capital Kt+1−KtKt

est egal a : s(1 − τ)τ1−αα − δ.

3. Montrez que le long de la trajectoire d’equilibre de l’economie, le taux de croissance de la production

s’ecrit :

4. Pourquoi le taux d’epargne a-t-il un effet permanent sur le taux de croissance de l’economie ? Ce resultat

est-il conforme au modele de Solow ?

4

Licence 2 d’Economie Le 15 juin 2012

Université Paris 1 Panthéon‐Sorbonne Durée : 2 heures

Partiel de Macroéconomie

2ème Session

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

I. On considère une économie fermée, caractérisée par les comportements suivants :

, avec0 1et 0

,avec 0et 0

, avec 0

, avec 0

ℓ ,avecℓ 0

où C représente la consommation réelle, Y le revenu réel, i le taux d’intérêt, la prime de

risque, G les dépenses publiques réelles et la demande réelle de monnaie.

Dans cette économie, les prix et les salaires sont fixes.

1. Définissez et écrivez l’équation de IS. Représentez la graphiquement dans le repère , .

[2 pts]

2. Etudiez l’effet sur IS d’une augmentation de la prime de risque de à avec .

Expliquez précisément les mécanismes économiques à l’œuvre. Représentez l’effet du

choc sur la courbe IS, dans le repère , . [2 pts]3. Comment interpréter un tel choc, quels facteurs peuvent‐en être à l’origine ? [1 pt]

4. Définissez et écrivez l’équation de LM. Représentez la graphiquement dans le repère

, . [2 pts]

5. Définissez et calculez le revenu et le taux d’intérêt d’équilibre IS‐LM. [2 pts]

Universite Paris 1 Pantheon-SorbonneMacroeconomie, Emploi, Chomage — E. Cudeville et J-O. HairaultLicence 2, Annee 2011-2012Duree : 2 heures

Partiel, Premiere sessionVendredi 13 janvier 2012 (17h30-19h30)

I) Considerons une economie fermee a prix et salaires fixes caracterisee par lescomportements suivants :

C = c(Y − T ) + C0 0 < c < 1

I = I0 − i

T = T

G = G

ou Y,C, I, T,G representent respectivement le revenu, la consommation, l’investis-sement, les impots et les depenses publiques, toutes ces grandeurs agregees etantexprimees en termes reels. i est le taux d’interet. C0, I0, G et T sont des reels positifs.

On supposera par la suite que l’equilibre du marche monetaire est telque le taux d’interet est egal a i, sa valeur minimale (situation de trappea liquidite).

1) Montrez que le revenu d’equilibre macroeconomique est egal a l’expression sui-vante :

Y =C0 + I0 +G− cT − i

1− c

Representez graphiquement l’equilibre macroeconomique dans le plan (Y, i).

2) La crise financiere mondiale se traduit dans l’economie par une baisse de l’in-vestissement ∆I0 < 0. Representez graphiquement l’effet de ce choc sur l’equilibremacroeconomique.

3) Determinez la variation du revenu ∆Y induite par cette baisse de l’investissementa l’equilibre macroeconomique. Decrivez les mecanismes economiques expliquantl’ampleur de la contraction de l’activite.

4) Pourquoi l’ajustement du taux d’interet aurait-il permis de limiter cette contrac-tion economique dans le cas du modele IS-LM traditionnel (ou le taux d’interet n’apas atteint sa valeur minimale) ? Faites un graphique.

5) On suppose que face au choc d’investissement, le gouvernement decide d’inter-venir en modifiant le niveau des ses depenses publiques d’un montant ∆G.a. Calculez l’impact du double choc (choc d’investissement et choc de depensespubliques) sur le revenu d’equilibre macroeconomique.b. Quelle est la variation des depenses publiques ∆G exprimee en fonction de ∆I0qui permet de stabiliser le revenu d’equilibre macroeconomique (i.e. d’annuler savariation) ?

Universite Paris 1 Pantheon-Sorbonne

Licence 2

Annee Academique 2011-2012

Premier Semestre

MACROECONOMIE

Cours de Elisabeth Cudeville et Jean-Olivier Hairault

Annales d’examen

EXAMEN 2eme session – Juin 2011 (Duree : 2 heures)

On considere une economie conforme aux hypotheses du modele IS/LM : les entreprises produisent au niveau

de la demande a prix et salaires fixes et l’economie est caracterisee par les comportements suivants :

C = 0, 8Y + C

I = I − 2i

G = GMd

P= Y − 10i

M s

P= m

Y , C, I, Md, P , M s, i et G sont respectivement le revenu, la consommation, l’investissement, la demande

de monnaie, le niveau general des prix, l’offre de monnaie, le taux d’interet et les depenses publiques. G et

m representent le niveau exogene des depenses publiques et de l’offre de monnaie. C et I sont des constantes

positives.

1. Ecrivez l’equation de la courbe IS apres l’avoir definie et representez la graphiquement. [2 pts]

2. Ecrivez l’equation de la courbe LM apres l’avoir definie et representez la graphiquement. [2 pts]

3. Definissez et calculez le revenu et le taux d’interet d’equilibre. [1 pt]

4. Suite a la crise financiere, les banques reduisent leur octroi de credit aux particuliers, ce qui se traduit par

une baisse de la consommation autonome des menages : ∆C = −2. Calculez l’effet de ce choc sur le revenu,

le taux d’interet et l’investissement d’equilibre. [1,5 pts]

5. Expliquez ces effets en decrivant les mecanismes economiques a l’oeuvre et en vous appuyant sur un

graphique. [2,5 pts]

6. Le gouvernement, pour relancer l’activite, decide d’accroıtre son offre de monnaie : ∆m = 10, calculez

l’impact de cette mesure sur le revenu et le taux d’interet d’equilibre. [1 pt]

1

Page 37

7. Cette politique permet-elle de restaurer le niveau d’emploi d’avant la crise ? Expliquez les mecanismes

economiques a l’oeuvre. [2 pts]

8. Sous l’hypothese de petite economie ouverte en regime de changes flexibles avec mobilite parfaite des

capitaux, l’effet de la crise sur le revenu aurait-il ete plus faible ou plus fort ? Et l’effet sur le taux d’inte-

ret ? Justifiez votre reponse en decrivant rigoureusement les mecanismes economiques a l’oeuvre et en vous

appuyant sur un graphique. [2 pts]

9. Le niveau general des prix P est suppose maintenant suivre la regle suivante : P = (1 + µ)W . µ est le

taux de marge et W le niveau general des salaires. Justifiez cette relation. [2 pts]

10. Le niveau general des salaires W est suppose suivre la regle suivante : W = P eF (u, z). P e est le prix

anticipe et F(u,z) est une fonction decroissante par rapport au taux de chomage u et croissante par rapport

aux allocations-chomage z. Justifiez cette relation. [2 pts]

11. L’effet de la crise sur le revenu est-il plus faible ou plus fort ? Justifiez votre reponse en decrivant

rigoureusement les mecanismes economiques a l’oeuvre et en vous appuyant sur un graphique. [2 pts]

EXAMEN 1ere session – Janvier 2011 (Duree : 2 heures)

Probleme 1 (10 pts)

On considere une economie qui produit une quantite de biens Yt au cours de la periode t en combinant du

capital physique Kt et des travailleurs N (dont la quantite est supposee constante au cours du temps) selon

la fonction de production :

Yt = K0.5t N0.5

1. Montrez que la production par travailleur y peut s’ecrire en fonction du capital par travailleur comme :

yt = k0.5t . [1 point]

2. Sachant que la loi d’evolution du capital est Kt+1 = (1 − δ)Kt + It et que It = sYt avec δ le taux de

depreciation et s le taux d’epargne, montrez que le taux de croissance du capital par travailleur peut s’ecrire :

kt+1 − ktkt

= sk−0.5t − δ

[1 point]

3. Si kt = 1, que vaut le taux de croissance du capital par travailleur entre t + 1 et t ? Quelle est son

evolution au cours du temps et vers quelle valeur converge-t-il ? Decrivez precisement les mecanismes a

l’oeuvre. [3 points]

2

Page 38

4. Soit un pays ayant les memes caracteristiques structurelles mais dote d’un stock de capital par travailleur

en t inferieur a 1. Comparez son taux de croissance avec celui du pays precedent et expliquez. Quelles

experiences historiques cet exemple peut-il illustrer ? [3 points]

5. Faut-il en deduire que tous les pays dont le stock de capital est inferieur a 1 sont dans cette meme

situation de croissance ? Expliquez. [2 points]

Probleme 2 (10 pts)

En reponse a la crise financiere qui se traduit par une deterioration du chomage, le gouvernement convoque

deux economistes pour l’aider a dessiner un plan de relance de l’economie. Ils s’accordent sur la representation

suivante de l’economie conforme aux hypotheses du modele IS/LM : les entreprises produisent au niveau de

la demande a prix et salaires fixes et l’economie est caracterisee par les comportements suivants :

C = 0, 9Y + C

I = I − 0, 2i

G = G

Md = P (Y − 2i)

M s = M

Y , C, I, Md, P , M s, i et G sont respectivement le revenu, la consommation, l’investissement, la demande de

monnaie, le niveau general des prix, l’offre de monnaie, le taux d’interet et les depenses publiques. G et M

representent le niveau exogene des depenses publiques et de l’offre de monnaie. C et I sont des constantes

positives.

1. Montrez que le revenu d’equilibre macroeconomique s’ecrit :

Y = 5(C + I + G

)+ 0, 5

M

P

[2 points]

2. Le premier economiste propose un plan de relance base sur une politique monetaire expansionniste.

Determinez son multiplicateur. Vous decrirez precisement les mecanismes economiques sous-jacents a cette

politique. [2,5 points]

3. Le second economiste propose un plan base sur une politique de depenses publiques expansionniste, parce

qu’elle serait plus efficace. Montrez qu’il a raison. Expliquez pourquoi sur la base des comportements des

menages et des entreprises. [2,5 points]

4. Le plan de relance budgetaire est finalement mis en oeuvre, le chomage dans un premier temps diminue

mais se remet a augmenter apres quelques trimestres, en meme temps que le niveau general des prix. Le

cadre economique propose par les deux economistes permet-il d’expliquer ces evolutions ? Quelles hypotheses

faut-il modifier ? Decrivez alors les mecanismes permettant d’expliquer les faits. [3 points]

3

Page 39

Université Paris 1 Panthéon-SorbonneUFR 02 – L2

EXAMEN – Janvier 2011Macroéconomie (Durée : 2 heures)

Problème 1 (10 pts)

On considère une économie qui produit une quantité de biens Yt au coursde la période t en combinant du capital physique Kt et des travailleurs N(dont la quantité est supposée constante au cours du temps) selon la fonctionde production :

Yt = K0.5t N0.5

1. Montrez que la production par travailleur y peut s’écrire en fonction ducapital par travailleur comme : yt = k0.5t .

[1 point]

Yt = K0.5t N0.5 = N

(Kt

N

)0.5

d’oùyt = k0.5t

(rendement d’échelle constant) .

2. Sachant que la loi d’évolution du capital est Kt+1 = (1− δ)Kt + It et queIt = sYt avec δ le taux de dépréciation et s le taux d’épargne, montrez quele taux de croissance du capital par travailleur peut s’écrire :

kt+1 − ktkt

= sk−0.5t − δ

[1 point]

Kt+1 = (1− δ)Kt + It = (1− δ)Kt + sYt

d’oùkt+1 − kt = −δkt + syt

1

Page 42

et finalement:kt+1 − kt

kt= sk−0.5

t − δ

3. Si kt = 1, que vaut le taux de croissance du capital par travailleur entret+ 1 et t ? Quelle est son évolution au cours du temps et vers quelle valeurconverge-t-il ? Décrivez précisément les mécanismes à l’oeuvre.

[3 points]

Le taux de croissance vaut s− δ [1 point]. Au fur et à mesure que le capitals’accumule, on remarque que son taux de croissance diminue puisque k−0.5

t

décroit. Il converge à long terme vers une valeur nulle qui correspond àune valeur constante du capital par travailleur égale à

(sδ

)2 ([1 point]. Eneffet, au fur et à mesure que le capital s’accumule, sa productivité diminueet donc le surcroit d’investissement est de plus en plus faible pour devenirjuste suffisant pour remplacer le capital usagé: à ce niveau d’accumulation,le capital devient stationnaire, son taux de croissance nul.

4. Soit un pays ayant les mêmes caractéristiques structurelles mais dotéd’un stock de capital par travailleur en t inférieur à 1. Comparez son tauxde croissance avec celui du pays précédent et expliquez. Quelles expérienceshistoriques cet exemple peut-il illustrer ?

[3 points]

Si un pays a les mêmes caractéristiques il possède alors le même état station-naire. Dans ce cas, il est plus éloigné de son état stationnaire que le premierpays. Son taux de croissance est plus élevé car la productivité du capitalest plus élevée dans ce pays pour un taux d’épargne et un taux de dépré-ciation identiques[1,5 points]. Cet exemple peut permettre de comprendrepourquoi les pays de l’OCDE en retard au début du 20ieme siècle ont connuune croissance plus forte ensuite (rattrapage), pourquoi il y a eu les TrentesGlorieuses dans certains pays ayant subi des dégradations fortes de leur stockde capital pendant la guerre. On peut aussi comprendre la forte croissancedes dragons asiatiques qui ont vu leur taux d’épargne converger vers celuides pays développés au début des années 60 [1,5 points].

5. Faut-il en déduire que tous les pays dont le stock de capital est inférieurà 1 sont dans cette même situation de croissance ? Expliquez.

[2 points]

Non car ces pays n’ont pas nécessairement les mêmes taux d’épargne: sile taux d’épargne est plus faible, un pays avec un capital plus faible peut

2

Page 43

connaître un taux de croissance plus faible malgré une productivité du capitalplus élevée. Il est plus proche de son état stationnaire [1 point]. Le modèlede Solow prédit une convergence conditionnelle et non absolue [1 point].

3

Page 44

Problème 2 (10 pts)

En réponse à la crise financière qui se traduit par une détérioration du chô-mage, le gouvernement convoque deux économistes pour l’aider à dessiner unplan de relance de l’économie. Ils s’accordent sur la représentation suivantede l’économie conforme aux hypothèses du modèle IS/LM : les entreprisesproduisent au niveau de la demande à prix et salaires fixes et l’économie estcaractérisée par les comportements suivants :

C = 0, 9Y + C

I = I − 0, 2i

G = G

Md = P (Y − 2i)

M s = M

Y , C, I, Md, P , M s, i et G sont respectivement le revenu, la consommation,l’investissement, la demande de monnaie, le niveau général des prix, l’offrede monnaie, le taux d’intérêt et les dépenses publiques. G et M représententle niveau exogène des dépenses publiques et de l’offre de monnaie. C et Isont des constantes positives.

1. Montrez que le revenu d’équilibre macroéconomique s’écrit:

Y = 5(C + I + G

)+ 0, 5

M

P

[2 points]

A l’équilibre du marché des biens, les entreprises produisant au niveau de lademande à prix et salaires fixes, on a :

Y = 0, 9Y + C + I − 0, 2i+ G⇔ 0, 1Y = C + I + G− 0, 2i

⇔ Y = 10(C + I + G

)− 2i (IS) [0,5]

A l’équilibre sur le marché de la monnaie, offre et demande de monnaie sontégales, soit :

M = P (Y − 2i)⇔ M

P= Y − 2i

⇔ −2i =M

P− Y (LM) [0,5]

4

Page 45

A l’équilibre macroéconomique, les marchés des biens et de la monnaie sontéquilibrés, on déduit des relations IS-LM l’expression du revenu d’équilibre :

Y = 10(C + I + G

)+M

P− Y ⇔ 2Y = 10

(C + I + G

)+M

P

⇔ Y = 5(C + I + G

)+ 0, 5

M

P[1]

2. Le premier économiste propose un plan de relance basé sur une politiquemonétaire expansionniste. Déterminez son multiplicateur. Vous décrirezprécisément les mécanismes économiques sous-jacents à cette politique. [2,5points]

D’après l’expression du revenu d’équilibre, on a :

∂Y

∂(M/P )= 0, 5 [0,5]

Une augmentation de l’offre de monnaie de 1 conduit à une augmentation duproduit réel d’équilibre de 0,5.

En augmentant l’offre de monnaie, la banque centrale crée un excès d’offred’encaisses réelles qui conduit à une baisse du taux d’intérêt [1]. La baissedu taux d’intérêt réduit le coût du capital et permet ainsi aux entreprisesd’investir plus. La demande globale augmente donc, et les entreprises pro-duisant au niveau de la demande augmentent leur production [1].

3. Le second économiste propose un plan basé sur une politique de dépensespubliques expansionniste, parce qu’elle serait plus efficace. Montrez qu’il araison. Expliquez pourquoi sur la base des comportements des ménages etdes entreprises. [2,5 points]

Le multiplicateur budgétaire est plus élevé que le multiplicateur monétaire.En effet, d’après l’expression du revenu d’équilibre, on a :

∂Y

∂G= 5 >

∂Y

∂(M/P )= 0, 5 [0,5]

La politique budgétaire est donc bien plus efficace.

L’efficacité relative des politiques monétaire et budgétaire dépend des com-portements de demande de monnaie des ménages et d’investissement desentreprises.

5

Page 46

• Plus la demande de monnaie est sensible au taux d’intérêt, plus faibleest la variation du taux d’intérêt nécessaire au rééquilibrage du marchéde la monnaie. Dans le cas de la politique monétaire, le taux d’intérêtbaissera peu suite à l’excès d’offre qui apparaît sur le marché de lamonnaie. Toutes choses égales par ailleurs l’investissement augmenteradonc peu. La politique budgétaire, quant à elle, parce qu’elle relancela demande directement et indirectement via le multiplicateur conduitles entreprises à produire plus et cette hausse du revenu, parce qu’elleconduit les agents à demander plus de monnaie, sucite un excès dedemande au contraire sur le marché de la monnaie. Le taux d’intérêtva donc augmenter mais peu. Cette hausse du taux d’intérêt conduitles entreprises à réduire leur investissement, ce qui freine la hausse dela demande globale et donc l’effet expansionniste de la relance budgé-taire. C’est l’effet d’éviction qui sera d’autant plus faible que le tauxd’intérêt aura augmenté peu. Ainsi, on comprend que plus la demandede monnaie est sensible au taux d’intérêt, moins la politique monétaireest efficace car plus la baisse du taux d’intérêt et donc la relance del’investissement qu’elle suscite est faible, et plus la politique budgétaireest efficace car plus l’effet d’éviction lié à la hausse du taux d’intérêtest faible. [1]

• D’autre part, bien évidemment, moins l’investissement est sensible autaux d’intérêt, moins une variation donnée du taux d’intérêt affecteral’investissement. Donc plus l’élasticité de l’investissement par rapportau taux d’intérêt est faible, moins la relance monétaire est efficace carmoins la relance de l’investissement qu’elle suscite est forte, et plus lapolitique budgétaire est efficace puisque l’éviction de l’investissementest plus limitée. [1]

Dans l’économie considérée, la demande de monnaie est relativement sen-sible au taux d’intérêt et l’investissement peu sensible ⇒ la politique moné-taire est moins efficace que la politique budgétaire pour relancer l’activité.

4. Le plan de relance budgétaire est finalement mis en oeuvre, le chô-mage dans un premier temps diminue mais se remet à augmenter aprèsquelques trimestres, en même temps que le niveau général des prix. Le cadreéconomique proposé par les deux économistes permet-il d’expliquer ces évo-lutions ? Quelles hypothèses faut-il modifier ? Décrivez alors les mécanismespermettant d’expliquer les faits. [3 points]

Non, dans l’économie décrite par les experts, suite à une relance budgétaire,les firmes augmenteront leur production et donc embaucheront plus (le chô-mage diminuera) à prix et salaires constants.

6

Page 47

Pour comprendre ces évolutions, il faut lever l’hypothèse de rigidité des prixet des salaires [0,5]. Les firmes en concurrence monopolistique fixent lesprix en appliquant un taux de marge au salaire nominal. Le salaire nominalest quant à lui négocié entre les firmes et les salariés en fonction du niveaudes prix, du taux de chômage et des opportunités extérieures au marché dutravail. Plus les prix sont élevés, plus le taux de chômage est faible et plus lesopportunités extérieures sont favorables aux salariés, plus le salaire nominalnégocié sera élevé.La relance budgétaire, parce qu’elle accroît la demande globale de biens,conduit les entreprises à produire plus et donc à embaucher plus, ce qui réduitle chômage. La baisse du chômage accroît le pouvoir de négociation relatifdes travailleurs qui sont donc en mesure de négocier un salaire nominal plusélevé [0,5]. Les firmes réagissent à la hausse du salaire négocié en augmentantleur prix afin de maintenir leur marge [0,5], ainsi, le niveau général des prixse met à augmenter. La hausse des prix, parce qu’elle réduit la valeur réelledes encaisses monétaires détenues par les ménages crée un excès de demandesur le marché de la monnaie [0,5], qui pousse le taux d’intérêt à la hausse[0,5]. La hausse du taux d’intérêt conduit à une baisse de l’investissementqui devient plus coûteux et donc à une baisse de la demande globale debiens. Les entreprises réduisent alors leur production, elles débauchent et lechômage augmente conformément à l’évolution constatée [0,5].

7

Page 48

Université Paris 1 Panthéon-SorbonneUFR 02L2

EXAMEN-Janvier 2010Macroéconomie-Division 1 (Durée: 2 heures)

Exercice 1 : Le multiplicateur de dépenses publiques (9 pts)

On suppose que les entreprises produisent au niveau de la demande agrégéeà prix et salaires donnés (modèle IS/LM).

C = c0 + c1(Y − T ) (1)I = b0 − b1i (2)G = G (3)T = T (4)

Md = PY L(i) (5)(6)

Y , C, I, Md, P , i, T et G sont respectivement le revenu, la consomma-tion, l’investissement, la demande de monnaie, le niveau général des prix, letaux d’intérêt, les impôts et les dépenses publiques. G et T représentent leniveau exogène des dépenses publiques et des impôts. L(.) est un fonctiondécroissante. L’offre de monnaie est exogène.

1) Déterminez la condition d’équilibre sur le marché des biens à tauxd’intérêt donné (IS). [1pt]

Les entreprises produisant au niveau de la demande à prix et salairesdonnés, à l’équilibre, sur le marché des biens, la production est égale à lademande, somme de la consommation, de l’investissement et des dépensespubliques. L’équilibre du marché des biens s’écrit donc :

Y = C + I +G = c0 + c1(Y − T ) + b0 − b1i+G

d’où:

Y =c0 − c1T + b0 − b1i+G

1 − c1

L’équilibre sur le marché des biens définit donc une relation décroissante entrele revenu et le taux d’intérêt, c’est la courbe IS. Pour un niveau donné du tauxd’intérêt, le revenu d’équilibre apparaît comme une fonction décroissante desimpôts et croissante des dépenses publiques.

1

Page 49

2) Calculez le multiplicateur des dépenses publiques sur le niveau durevenu à taux d’intérêt donné. Pourquoi cet effet dépend-il de la propen-sion marginale à consommer?

L’équation de IS nous permet de déterminer l’effet d’une variation desdépenses publiques sur le revenu pour un niveau donné du taux d’intérêt etdes impôts :

∆Y

∆G=

1

1 − c1([1pt]) Une augmentation d’une unité des dépenses publiques acroît le revenuréel d’équilibre plus que proportionnellement. En effet, 1

1−c1 > 1 puisque parhypothèse 0 < c1 < 1.

Les dépenses publiques augmentent directement la demande globale etdonc la production et le revenu distribué augmentent d’autant. Mais à ceteffet direct viennent s’ajouter des effets induits car l’augmentation du revenuconduit les ménages à augmenter leur consommation proportionnellement àc1, suscitant ainsi une nouvelle hausse de la demande qui conduit les en-treprises à produire plus et donc à distribuer plus de revenu, etc... C’est leprincipe du multiplicateur. Bien sûr cet effet est d’autant plus grand que lavariation de la consommation induite par la hausse des dépenses publiquesest grande, i.e. que la propension marginale à consommer le revenu c1 estgrande. ([1pt])

3) Commentez le comportement de demande de monnaie.La demande de monnaie répond au principe de la préférence pour la

liquidité : dans une économie monétaire, les agents souhaitent détenir de lamonnaie car elle leur permet de réaliser les transactions, ils demanderont ainsid’autant plus de monnaie que le volume des transactions et donc le revenuréel est grand. Mais l’existence de titres financiers rapportant intérêt limiteleur demande de monnaie. En effet, il y a un coût d’opportunité à détenirde la monnaie plutôt que des titres puisqu’il faut alors renoncer aux intérêtsque procurent les titres. Ainsi, la demande de monnaie est décroissante dutaux d’intérêt. ([1pt])

4) Expliquez sans calcul supplémentaire, pourquoi l’effet des dépensespubliques est plus faible à l’équilibre macroéconomique que dans la question2).

A l’équilibre macroéconomique, les marchés des biens et de la monnaiesont à l’équilibre. Suite à la hausse des dépenses publiques, nous avons vuà la question 1 que sur le marché des biens, le revenu réel augmente pourrestaurer l’équilibre. Cette hausse du revenu crée un excès de demande sur lemarché de la monnaie car, comme nous l’avons vu à la question 3, la demandede monnaie est une fonction croissante du revenu. Cet excès de demande surle marché de la monnaie pousse le taux d’intérêt à la hausse de manière à

2

Page 50

rétablir l’équilibre. Sur le marché des biens, la hausse du taux d’intérêt,parce ce qu’elle rend l’investissement plus coûteux, conduit les entreprises àréduire leur demande d’investissement. Cette baisse de l’investissement vientlimiter la hausse de la demande globale de biens liée à l’augmentation desdépenses publiques : c’est l’effet d’éviction qui freine l’effet de relance de lapoloitique budgétaire. ([1pt])

5) Pourquoi l’effet des dépenses publiques serait plus faible en économieouverte ? Vous raisonnerez (sans calcul) d’abord à taux d’intérêt donnépuis en prenant en compte l’ajustement du taux d’intérêt en supposant quel’économie fonctionne en régime de changes flexibles.

A taux d’intérêt donné, la hausse du revenu induite par la hausse desdépenses publiques augmente les importations et donc détériore le solde dela balance commerciale, freinant ainsi la demande globale de biens ([1pt]).Suite à l’augmentation du taux d’intérêt, les capitaux entrent, les titres do-mestiques étant plus attractifs, ce qui crée un excès de demande de monnaienationale sur le marché des changes, en conséquence le taux de change nom-inal (et réel) s’apprécie. Cette appréciation, décourage les exportations etrelance les importations (on suppose la condition de Marshall-Lerner véri-fiée), ce qui dégrade encore la balance commerciale et donc limite l’effetexpansionniste de la politique budgétaire([1pt]). Ainsi, en économie ouverte,en régime de changes flexibles, la politique budgétaire perd de son efficacitécar elle conduit à une détérioration de la balance commerciale = eviction parle commerce extérieur.

6) Supposons que c0 baisse. Comment interpréter ce choc? Calculez l’effetde cette baisse sur le revenu à taux d’intérêt donné. Comparez à l’effetde cette baisse dans une économie où le gouvernement introduit des impôtssur le revenu: T = t Y 0 < t < 1.

Ce choc peut s’interpréter comme un choc de confiance ou de crédit :toutes choses égales par ailleurs, les ménages réduisent leur consommation(parce qu’ils ont moins confiance en l’avenir, ou que les banques, à tauxd’intérêt donné, on réduit leur octroi de crédit). A taux d’intérêt donné,l’effet de ce choc est donné par l’équation de IS :

∆Y

∆c0=

1

1 − c1([1pt]).

Une baisse de c0, parce qu’elle réduit la demande globale de biens, poussentles entreprises à produire moins.

Si les impôts sont endogènes, le multiplicateur devient:∆Y

∆c0=

1

1 − c1(1 − t)

3

Page 51

La baisse du revenu est plus faible car les stabilisateurs automatiques jouent:lorsque le revenu baisse, les impôts baissent, ce qui limite la baisse du revenudisponible des ménages et donc de la consommation et de la demande glob-ale([1pt]).

Exercice 2 : La courbe de Phillips (7 pts)

Une économie est caractérisée par la courbe de Phillips suivante:

πt = πt−1 + (µ+ z) − αut

πt et ut sont respectivement le taux d’inflation et le taux de chômage l’annéet. µ et z sont respectivement le taux de marge et les allocations-chômage. αest un réel positif.

1) Expliquez pourquoi le taux de marge et les allocations-chômage appa-raissent dans la courbe de Phillips, en faisant référence à des comportements(sans calculs). Comment interpréter le paramètre α?

La courbe de Phillips dérive de la fixation des prix et des salaires. Leniveau des prix est fixé par les entreprises comme résultant de l’applicationd’un taux de marge sur le salaire (concurrence imparfaite et pouvoir demarché). Comme le salaire nominal dépend du pouvoir de négociation dessalariés qui est influencé par le niveau des allocations-chômage (opportunitésextérieures), le niveau des prix dépend du taux de marge et des allocations-chômage. ([1pt])

Le paramètre α mesure le degré de rigidités réelles sur le marché dutravail: il reflète le degré d’ajustement des salaires au niveau du chômage;plus les salaires s’ajustent en réponse à un déséquilibre sur le marché dutravail, i.e. plus l’ajustement est concurrentiel, plus α est élevé (rigiditésréelles faibles) ([1pt]).

2) Calculez le NAIRU.Le NAIRU est le taux de chômage correspondant à une inflation con-

stante, c’est un indicateur du taux de chômage structurel déterminé par lescaractéristiques structurelles du marché des biens et du travail. Plus lesmarchés de biens et du travail sont imparfaits, plus le chômage structurel estélevé. Dans l’économie considérée, d’après la courbe de Phillips, pour uneinflation constante (i.e. πt = πt−1), on obtient : Nairu=µ+z

α. Le NAIRU est

d’autant plus élevé que les rigidités réelles sont importantes sur le marché dutravail (α grand), que les allocations chômage sont importantes (z grand) etque la concurrence est imparfaite sur le marché des biens (taux de marge µelevé.)([1pt])

4

Page 52

3) La courbe de Phillips estimée est égale à: πt = πt−1+8%−ut. Calculezle ratio de sacrifice. Comment le réduire? Citez deux mesures possibles.

Le ratio de sacrifice est égal au surcroît de chômage par rapport au chô-mage structurel (Nairu) due à une baisse de 1 point de l’inflation ([1pt]).Il est ici égal à 1. On peut le réduire en indexant les salaires sur les prixcourants ou en rendant la banque centrale indépendante. ([1pt])

4) On observe un taux de chômage de 10%. Quel type de choc s’est-ilproduit dans les deux cas suivants :

a) si le taux d’inflation est constant. Selon la courbe de Phillips estiméele NAIRU est de 8%. Si on observe un taux de chômage supérieur avec untaux d’inflation constant, c’est que la courbe de Phillips s’est déplacée versle haut : le chômage naturel est plus élevé. Or les chocs de demande sontsans effets sur le chômage naturel qui dépend uniquement des caractéristiquesstructurelles des marchés des biens et du travail. C’est donc l’offre globalequi a baissé à cause d’une hausse du taux de marge ou d’une hausse desrigidités réelles sur le marché du travail. Les prix et les salaires ont fini des’ajuster, mais il reste du chômage ([1pt]).

b) si le taux d’inflation est en baisse: cela reflète un choc de demandenégatif qui crée une baisse de l’inflation mais une hausse du chômage. Leprocessus d’ajustement des prix et des salaires n’est pas achevé, le chômagen’a pas encore convergé vers son niveau structurel, l’inflation n’est pas encorestabilisée ([1pt]). Suite à un tel choc, à terme, le chômage retrouvera sonniveau initial (8%) mais l’inflation sera durablement plus faible.

Question de cours (6 pts)Quelles sont les conséquences des rendements décroissants dans l’accumulation

du capital sur la convergence (ou non) des pays dans le monde? Le modèlede Solow est-il invalidé par les faits dont on dispose sur la convergence?

Les conséquences des rendements décroissants sont, qu’au fur et à mesureque l’accumulation du capital se produit, le surcroît de production va endiminuant ([1pt]): l’augmentation de l’investissement est de plus en plusfaible et à terme permet juste de compenser la dépréciation du capital ([1pt]).C’est pourquoi un pays en retard dans le processus d’accumulation croît plusvite; mais attention cela n’est vrai que par rapport à un pays partageant lemême état stationnaire: on parle de convergence conditionnelle et non deconvergence absolue ([2pt]).

Dans les faits, on observe une convergence conditionelle, i.e. une conver-gence entre les pays structurellement proches, ce qui va dans le sens de Solow([2pt]).

5

Page 53

Eléments de corrigé 2014

1

EXERCICE 1 (14,5 points) – Soient les trois vecteurs de IR3 :

C1 = , C2 =

et C3 =

.

1. Calculer le déterminant de la matrice M :

M = (C1 C2 C3). (1 point)

Dét(M) = dét

dét

car le déterminant d’une matrice ne change pas si l’on ajoute à une de ses lignes (ici la troisième) un

homothétique d’une autre de ses lignes (ici la première ligne multipliée par – 1).

On peut ensuite calculer le déterminant de cette dernière matrice par rapport à sa seconde colonne :

Dét(M) = (– 1)dét

.

2. En déduire :

a. que B = {C1, C2, C3} est une base de IR3. (1 point)

Tout système libre de trois vecteurs de IR3 est une base de IR3. Ce qui est le cas de B.

En effet, B est un système de trois vecteurs de IR3. En outre, comme dét(M) 0, les colonnes de M

(autrement dit les vecteurs de B) sont linéairement indépendantes : B est donc un système libre.

b. que l’application linéaire f( ), de IR3 dans IR3, définie par : f(X) = MX est bijective. (1 point)

Une application linéaire est bijective lorsque son rang est égal à la dimension de son espace de

départ et à celle de son espace d’arrivée.

La dimension de IR3, espace de départ et d’arrivée de f( ), étant égale à 3, l’application f( ) est bijective

si et seulement si son rang est égal à 3.

Comme : rangf = rangM

et comme : rangM = 3 (puisque le rang d’une matrice est égal au nombre maximum de colonnes

linéairement indépendantes que cette matrice comporte et que les trois colonnes de M sont

linéairement indépendantes),

on a : rangf = 3. En conséquence, l’application linéaire f( ) est bijective.

c. le nombre de solutions du système [1] :

[1] MX = U, où U est un vecteur quelconque de IR3. (1 point)

L’application f( ) étant bijective, quel que soit le vecteur U de IR3, il existe un unique vecteur X de IR3

tel que f(X) = U, autrement dit tel que MX = U : le système MX = U a une solution unique.

(On peut aussi passer par le fait que B est une base et que les coordonnées d’un vecteur dans une base

sont uniques).

3. Soit la matrice N :

N =

.

a. Effectuer le produit NM. Commenter. (1 point)

NM =

. (0,5 point)

La matrice N est donc l’inverse de la matrice M. (0,5 point)

b. En déduire les coordonnées du vecteur U = dans la base B… (1 point)


2

Les coordonnées du vecteur U dans la base B sont données par le vecteur colonne X = vérifiant :

U = xC1 + yC2 + zC3,

autrement dit vérifiant : U = MX.

Or, de U = MX, on déduit NU = NMX, et donc NU = X.

On a donc : X = NU =

.

Les coordonnées du vecteur U = dans la base B sont données par le vecteur :

.

c. ainsi que l’application réciproque de l’application f( ). (1 point)

L’application f( ) étant bijective, elle admet une application réciproque, notée f – 1( ) de IR3 dans IR3 et

définie par la relation :

[1] f(f - 1(Y)) = Y, quel que soit le vecteur Y de IR3.

Comme, f(X) = MX, la relation [1] peut s’écrire :

Mf - 1(Y) = Y,

ce qui donne :

NMf - 1(Y) = NY ;

Ou encore :

f - 1(Y) = NY.

L’application f – 1( ) est donc définie par la relation : f - 1(Y) = NY avec N =

.

4. Soit l’application linéaire g( ), de IR3 dans IR3, définie par :

g(X) = AX, avec A =

.

a. Qu’appelle-t-on valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice carrée ? (1 point)

Le nombre λ est appelé valeur propre de la matrice A s’il existe un vecteur P non nul tel que AP = λP.

Le vecteur P est alors appelé vecteur propre de A associé à λ.

b. Montrer que C1, C2 et C3 sont trois vecteurs propres de la matrice A. (1,5 points)

Comme AC1 =

, le réel est valeur propre de A et le

vecteur C1 l’un de ses vecteurs propres associés.

Comme AC2 =



Comme AC3 =



c. En déduire les valeurs propres de A… (1,5 points)

La matrice A étant d’ordre 3, elle a trois valeurs propres.


3

Comme C1 et C2 sont linéairement indépendants, le sous-espace propre de A associé à la valeur

propre est au moins de dimension 2. Comme la multiplicité algébrique d’une valeur propre est

supérieure ou égale à la dimension du sous-espace propre qui lui est associé, le réel est donc une

valeur propre au moins double de la matrice A. (1 point)

Comme A a également le réel pour valeur propre, on en conclut que cette matrice a pour

valeur propre simple et pour valeur propre double. (0,5 point)

d. … ainsi que la matrice de l’application linéaire g( ) par rapport à la base B. (1 point)

Les trois colonnes de cette matrice sont les coordonnées dans B des images par g( ) des trois

vecteurs de B respectivement (i.e. de g(C1), de g(C2) et de g(C3) respectivement).

Première colonne de la matrice :

g(C1) = AC1 =

dans la base B.

Deuxième colonne de la matrice :

g(C2) = AC2 = =

dans la base B.

Deuxième colonne de la matrice :

g(C3) = AC3 =

=

dans la base B.

La matrice recherchée est donc :

D =

5. Peut-on écrire la matrice A sous la forme du produit PDP – 1, où D est une matrice diagonale ? Le cas

échéant, expliciter les matrices P, D et P – 1. (2 points)

La matrice A est diagonalisable. En effet, elle a trois vecteurs propres linéairement indépendants : C1, C2

et C3. On peut donc écrire la matrice A sous la forme : PDP – 1, où D est une matrice des valeurs propres

de A et où P est une matrice des vecteur propres correspondante (0,5 point).

On peut donc poser : D =

, P = M et donc P – 1 = N (0,5 point par matrice).

6. Exprimer At, etc. où t est un entier naturel quelconque. (0,5 point)

De A = PDP – 1, on déduit : At = PDtP – 1 = MDtN.

EXERCICE 2 (6,5 points) – Soient les deux matrices colonnes :

U =

et V =

.

1. On note la transposée de la matrice U. Effectuer le produit V. Que peut-on en déduire ?

V = (1 2 – 2) . (0,5 point)

Les vecteurs (ou matrices) colonnes U et V sont donc orthogonaux. (0,5 point)


4

2. Déterminer l’ensemble des matrices colonnes de IR3 orthogonales à U et à V. On notera W l’une de ces

matrices colonnes.

L’ensemble des matrices colonnes orthogonales à U et à V vérifient le système :

,

autrement dit le système :

,

dont la solution est :

.

L’ensemble des matrices colonnes orthogonales à U et à V est donc :

.

3. La matrice colonne W =

appartient-elle à cet ensemble ? (0,5 point)

W =

= 1

il est donc bien de la forme

.

4. Déterminer , et .

Comme (0,25 point), on a :

= (0,25 point),

= , (0,25 point)

et = . (0,25 point)

5. En déduire :

a. Une matrice Q telle que Q – 1 = (1 point);

Si l’on divise chacune des colonnes de C par son module, on obtient une matrice Q telle que Q – 1 =

.

D’où Q =

.

b. Une base orthonormée de IR3 (1 point).

Une base orthonormée de IR3 est une base de IR3 dont les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et

de norme unitaire. Les trois vecteurs U, V et W de IR3 sont orthogonaux deux à deux. Ils forment

donc une base de IR3 dont les vecteurs sont orthogonaux deux à deux. Si on veut qu’ils soient en

outre de norme unitaire, il faut les diviser chacun par leur norme. Les trois colonnes de Q forment

donc une base orthonormée de IR3.

6. Soit C = (U V W). Calculer le produit C’C, où C’ est la transposée de C. En déduire C – 1. (1 point)

C =

La matrice C – 1 vérifie C – 1C = I (la matrice identité d’ordre 3).


5

Comme les colonnes de C sont orthogonales deux à deux, on a :

C’C =

, où C’ est la transposée de C : C’ =

.

En divisant la première ligne de C’ par = 9, la deuxième, par et la troisième, par

, on obtient donc la matrice C – 1. D’où :

C – 1 =

Soient les matrices :

M =

, N =

, P =

et Q =

.

1. Calculer le déterminant de la matrice M. (1 point)

Dét(M) = dét

= dét

car le déterminant d’une matrice ne change pas lorsqu’on ajoute à une de ses

colonnes une combinaison linéaire de ses autres colonnes (ici C2 a été

remplacée par C2 + C1).

D’où : dét(M)= dét

(formule de calcul du déterminant par rapport à la

première ligne de la matrice).

On a donc : dét(M) = 1(1) – 0(1)=1.

2. En déduire que les colonnes de M forment une base de IR3 (que l’on notera B

par la suite). (1 point)

Tout ensemble libre de trois vecteurs de IR3 est une base de IR3.

Les trois colonnes de M sont des vecteurs de IR3. En outre, elles sont

linéairement indépendantes puisque le déterminant de M est non nul. Elles

forment donc une base de IR3.

3. Calculer le déterminant de la matrice N. La matrice N est-elle inversible ? (1

point)

Dét(N) = dét

dét

(C3 remplacée par C3 + C1)

D’où : dét(N) = 0. La matrice N ayant un déterminant nul, elle n’est pas

régulière ; elle n’est donc pas non plus inversible.

4. Qu’appelle-t-on rang d’une matrice ? (1 point)

On appelle rang d’une matrice le nombre maximum de lignes ou de colonnes

linéairement indépendantes que cette matrice comporte.

5. Déterminer le rang de la matrice Q. En déduire son déterminant. (1 point)

RangQ = 2. Cette matrice de rang 3 a en effet une colonne de 0 ; son rang est

donc inférieur ou égal à 2. Et ses deux dernières colonnes ne sont pas

proportionnelles, de sorte que son rang est supérieur ou égal à 2.

La matrice Q n’étant pas de plein rang, son déterminant est nul.

6. Calculer le produit MP. Commenter. (1 point)

MP =

.

Comme MP = I, la matrice P est l’inverse de la matrice M (et réciproquement).

7. Donner les coordonnées du vecteur de IR3 dans la base B. (1 point)

La base B de IR3 est formée par les colonnes de la matrice M. Les coordonnées

du vecteur dans cette base sont donc données par le vecteur

solution

du système :

.

La matrice M étant inversible et d’inverse P, ce système a pour unique

solution :

,

Ce qui donne :

.

8. Soit l’application linéaire f( ), de IR3 dans IR3, définie par : f(X) = NX.

a. Qu’appelle-t-on image d’une application linéaire ? Qu’appelle-t-on base

d’une espace vectoriel ? (1 point)

On appelle image d’une application linéaire f( ) de E dans F l’ensemble des

image par f( ) des vecteurs de E.

On appelle base d’un espace vectoriel E tout système de vecteurs libre et

générateur de E.

b. Donner une base de l’ensemble Imf. (1 point)

Imf est l’ensemble des vecteur Y tels que Y = f(X) = NX, où X est un élément

de IR3. On a donc :

Imf = {NX, X IR3}.

L’ensemble Imf est donc l’ensemble des combinaisons linéaires des

colonnes de la matrice N : c’est le sous-espace vectoriel de IR3 engendré

par les colonnes de N.

Comme dimImf = rangN = 2 (N est une matrice singulière d’ordre 3, mais

dont les deux premières colonnes sont linéairement indépendantes

puisque non proportionnelles), tout ensemble libre de deux vecteurs de

Imf forme une base de Imf.

Les deux premières colonnes de N étant deux vecteurs linéairement

indépendants de Imf, ils forment une base de Imf.

c. Déterminer la dimension de l’ensemble kerf. (1 point)

D’après le théorème des dimensions, on a, pour toute application linéaire

f( ) dont l’espace de départ est E :

DimE = dimKerf + dimImf.

Comme ici E = IR3, comme dimIR3 = 3 et comme dimImf = 2, on a :

dimKerf = 3 – 2 = 1.

d. Effectuer le produit N . En déduire l’ensemble kerf. (1 point)

N

.

Kerf est l’ensemble des vecteurs X de IR3 vérifiant NX = . Il a donc pour

élément le vecteur .

Comme dimkerf = 1 (réponse à la question précédente), tout vecteur non

nul de kerf forme une base de kerf. Ceci étant le cas du vecteur , celui-

ci forme une base de kerf.

L’ensemble kerf est donc l’ensemble des homothétiques du vecteur .

e. Donner les coordonnées du vecteur dans la base B. (1 point)

Les coordonnées du vecteur dans la base B sont (voir réponse à la

question 7) :

,

à savoir :

.

9. Qu’appelle-t-on trace d’une matrice carrée ? Déterminer la trace des matrices

N et Q. (1 point)

On appelle trace d’une matrice carrée A, la somme, notée tr(A), des termes

situés sur la diagonale principale de cette matrice.

On a donc tr(N) = – 1 + 1 + 3 = 3 et tr(Q) = 0 + 1 + 2 = 3.

10. Qu’appelle-t-on valeur propre d’une matrice carrée ? (1 point)

On dit que le nombre λ est valeur propre d’une matrice A s’il existe un

vecteur colonne non nul P tel que AP = λP. Au passage (cela servira pour la

suite), le vecteur P est alors appelé vecteur propre de A associé à λ.

11. Effectuer le produit MQP. (1 point)

MQP =

=

.

12. En déduire :

a. que la matrice N est diagonalisable, (1 point)

Une matrice A est diagonalisable s’il existe une matrice P régulière et une

matrice D diagonale telles que : A = PDP – 1.

Comme MQP = N, comme M est régulière, comme P = M – 1 et comme Q est

diagonale, la matrice N est donc bien diagonalisable.

b. les valeurs propres de N, (2 points)

De N = MQP, on déduit, en post-multipliant les deux membres de cette

égalité par M : NM = MQ.

En notant C1, C2 et C3 les trois colonnes de M, ceci donne :

N(C1 C2 C3) = (C1 C2 C3)

ou encore :

(NC1 NC2 NC3) = (0 C2 2C3).

On a donc :

NC1 = 0 = 0 C1 : le réel 0 est valeur propre de N et C1 un vecteur

propre de N associé à 0.

NC2 = 1 C2 : le réel 1 est valeur propre de N et C2 un vecteur propre

de N associé à 1.

NC3 = 2 C3 : le réel 2 est valeur propre de N et C3 un vecteur propre

de N associé à 2.

c. le sous-espace propre associé à chacune des valeurs propres de N. (2

points)

Les valeurs propres de N étant distinctes deux à deux, leurs sous-espaces

propres associés sont de dimension un.

Le sous-espace propre de N associé à 0 est donc l’ensemble des

homothétiques de C1 (remarque : c’est kerf), le sous-espace propre de N

associé à 1, l’ensemble des homothétiques de C2, et le sous-espace propre

de N associé à 2, l’ensemble des homothétiques de C3.

Exercice 1 (1 point par question) – Soit la matrice M :

M =

.

1. Qu’appelle-t-on rang d’une matrice ?

On appelle rang d’une matrice le nombre maximum de colonnes (ou de lignes) linéairement

indépendantes que cette matrice comporte.

2. Déterminer le rang de M selon les valeurs du paramètre m.

rangM = rang

= rang

= rang

Si m 1, alors cette matrice est une matrice triangulaire d’ordre 3 ne comportant aucun 0

sur sa diagonale principale. Son rang est donc égal à 3.

En revanche, si m = 1, cette dernière matrice ne contient que deux lignes non nulles. Son

rang est don au plus égal à 2. Et, comme ses deux premières colonnes ne sont pas

proportionnelles, le rang de cette matrice est au moins égal à 2. Ainsi, lorsque m = 1, on a :

rangM = 2.

3. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m, les colonnes de M forment-elles une base de IR3 ?

Tout ensemble libre de trois vecteurs de IR3 forme une base de IR3. Les trois colonnes de M

sont des vecteurs de IR3. Ils forment donc une base de IR3 s’ils sont linéairement

indépendants, autrement dit si rangM = 3. Comme rangM = 3 si et seulement si m 1, les

trois colonnes de M forment une base de IR3 si m 1.

4. On suppose que m = 0.

M =

a. Résoudre le système MX =

En posant X = ,

MX =

.

Pour m = 0, le système MX = a pour unique solution X =

.

b. En déduire les coordonnées du vecteur dans la base formée par les colonnes de M.

Les coordonnées du vecteur dans la base formée par les colonnes de M sont

données par le vecteur solution du système MX = , à savoir :

.

5. A quelle(s) condition(s) sur le paramètre m le système MX = U a-t-il une unique solution

quel que soit le vecteur colonne U de IR 3 ?

Le système MX = U a une unique solution si et seulement si les colonnes de M forment une

base de IR 3, donc si et seulement si m 1

6. On suppose que m = 1.

M =

a. Sans le résoudre, montrer que le système MX = U peut n’avoir aucune solution.

Le système MX = U n’a pas de solution si et seulement si on a :

Rang = 1 + rangM.

Comme, pour m = 1, rangM = 2, le système n’a aucune solution si et seulement si :

Rang = 3,

ce qui est, par exemple, le cas pour U = (première colonne de la matrice M lorsque

m = 0)

b. Déterminer les vecteurs U pour lesquels le système MX = U a au moins une solution.

Les vecteurs U pour lesquels ce système a une solution sont les vecteurs que l’on peut

écrire sous la forme d’une combinaison linéaire des colonnes de M. L’ensemble de ces

vecteurs est donc le sous-espace vectoriel de IR3 engendré par les trois colonnes de M

ou, ce qui revient au même, puisque rangM = 2, par les deux premières colonnes de M

(puisque celles-ci ne sont pas proportionnelles).

Exercice 2 (1 point par question).

Soit l’application linéaire f( ), de IR3 dans IR3, définie par :

f(X) = AX, où A =

.

1. Qu’appelle-t-on matrice symétrique ?

Une matrice symétrique est une matrice qui, comme A, est égale à sa transposée.

2. Sans faire aucun calcul, pouvez-vous dire si la matrice A est diagonalisable ?

Comme A est symétrique, elle est diagonalisable.

3. Calculer le déterminant de A.

Dét(A) = dét

= dét

= dét

= 0 (deux colonnes identiques).

4. En déduire une valeur propre de cette matrice.

Comme dét(A) = 0, le réel 0 est valeur propre de A.

5. Déterminer un vecteur propre de A associé à cette valeur propre. On notera ce vecteur P1.

Si l’on note C1, C2 et C3, les trois colonnes de A, on a : C1 – C2 + C3 = .

On a donc :

A

= = 0A.

Le vecteur P1 =

est donc un vecteur propre de A associé à 0.

6. Montrer que le vecteur P2 =

est un vecteur propre de A et déterminer la valeur

propre de A à laquelle il est associé.

AP2 =

.

Le réel 1 est donc valeur propre de A et P2 l’un de ses vecteurs propres associés.

7. Déterminer la trace de la matrice A.

La trace d’une matrice A est le nombre, noté tr(A), égal à la somme des termes situés sur la

diagonale principale de cette matrice.

D’où : tr(A) = 1 + 2 + 1 = 4.

8. En déduire la troisième valeur propre de A.

A étant une matrice d’ordre 3, elle a trois valeurs propres, que l’on notera , et .

La somme des valeurs propres d’une matrice étant égale à sa trace, on a :

Tr(A) = + + .

Comme : tr(A) = 4, = 0 et = 1, il s’ensuit que : = 4 – 0 – 1 = 3.

9. Déterminer un vecteur propre de A associé à cette troisième valeur propre. On notera ce

vecteur P3.

A – 3I =

.

Si l’on note C1, C2 et C3, les trois colonnes de A – 3I, on a : C1 + 2C2 + C3 = .

On a donc :

(A – 3I) = ,

et donc :

A

.

Le vecteur P3 = est donc un vecteur propre de A associé à 3.

10. Calculez les produits scalaires suivants : P1 P2, P1 P3, P2 P3. Commentez.

P1 P2 = 1 + 0 – 1 = 0 ; P1 P3 = 1 – 1 = 0 ; P2 P3 = 1 – 2 + 1 = 0.

Les vecteurs P1, P2 et P3 sont donc orthogonaux deux à deux. Ceci est normal puisque ce

sont des vecteurs propres associés respectivement aux trois valeurs propres distinctes

d’une matrice symétrique.

11. Déterminer la norme euclidienne des vecteurs P1, P2 et P3.

; ;

;

12. Déterminer une matrice P telle que A = PDP’ (où P’ est la transposée de P et où D est une

matrice diagonale que l’on explicitera).

En posant :

P =

=

,

on a :

A = PDP’, avec D =

.

13. Bonus : déterminer la matrice représentant l’application linéaire f( ) par rapport à la base

{P1, P2, P3}.

La matrice représentant f( ) par rapport à la base {P1, P2, P3} est la matrice D déterminée à

la question 12.

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