AS T R 0 N 0 M IS C H E N A C H R I C H TEN.

bekannten Lage dreier P u n k t e und deli, von einem vierlcn B U S gemessenerr Winl ie ln zwischen denselben, die Lage des vierten zu finclen '' scheincii alles ctrrchiipft zu Iiaben, w a s sich iiber die Berechnung dieser r iufpbe sagen l a l i t ;

N . 60.

auf den n l e t t i s c k niederzulegen, noch verhessert werdeit liihnen. - Lehrnnnn lest , i n seiner Anleitung zuui vor- tlieilhaftesicn und zwcclimabigsten Gebraiiche Jes lllels- tisches, grofses Gewicht auf die Aufliisurig dieser Aiifgabr

aus a aus b. M. Z. Corn. ostl. nBrdl. I Cem.ost1. siidl. I AR. DecI. I AR. DecI

195 Nr. 60. durch Versuche Zuni Ziele f i ih r t ; die andereri, m i r he- kannt gemordenen Auflijsungcn setzeti entweder mccha- nisclie Hiilfsmi!tel, oder die Construction eincs Kreises, oder zweier Kreise, auf den1 Blchlisclle vorar~s ; w a c , iueines Erachtens, nic h t verslattet wertlrn liann , indcm, auf freicm Felde, n u r die allereinfachsten Operationen gut pelingen kiinrien. D c r nl( lsliscl: celbst giebt n u r das lllittel, den \Yinkel zv-isclien z\\-ei siclitbaren Ol)iecten, on jeden Yunht einer 1~cliel)igen geratlen Linie anf deiu I'apiere, zu verzcichnen: durcli djeses RIitrcl allein iuufs also die Aufsahe aufg1iist.t werden.

Ich nehine 3 Punl i te a u f dein F e l J e a n , weIche icli, 60 \vie inan sie ron der liiiken l iand nac!i der reclilcn erscheinen s ieht , durcli A, B, C 1)ezcicliiie; die l'ro- jeclionen dicscr Punkte auf deiii hI~~ls t iscLe, bezeichne ich clurcli a , 6 , C ; den v ic r tm Piitild durcli D und seine Projection durch d. Es liiituiiit niin tlarauf a n , den AIels- iiech so ZLI Ftellen, clals die Sciten tles Drciecks abc , den Seiten des Dreiecks A B C ~ : r r a l l t l sinti; sol)ald e r diese Stellung ha t , findet inan den Pulllit d dadurcl!, dals man die Schzrfe dcs Dii)pterlinials erst attf a, dann auf 6 Iegt, und i n den Richtuugen Drl und D B geratle Litticn zieht, deren Durchschnitt tler P u n k t d ist. V e r f i h r t inaii ehen so iii Beziehung auf den P u n k t c, so miissen die z.,vci nerien Durclischnittt, w-clche man daclurcli erhll i , init den1 voriseii zusainmenfallcii j - die Erfiillnng oder Niclit- erfiil.lung dieser Eediapring zeigt, 01) der BIefstisch richtig orientirt war, oder niclit.

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Uin diese Orieiitirung zu erhol:en, nehme ich, ansser den 3 Punkten a, 6, c nocli zmei andere auf dem M e k - tische a n , niimlich a' a u t der Seite ba oder ihrer Ver- Iiingerung, so d d s ba ' = b c , und c' auf der Seite b c oder ihrer Verlangerung, so dals 6 c ' = b a ; legt inan dann durch u' eine Lin ie , welche niit u'b, nach der Seiie des Beolmcliters, den W i n k e l AD B rnacht, durch C ) eine anilere, welclie niit c'b eben SO den W i n k e l CDB inacht, so schneiden sich diess Lfnicn i n t inem P u n k t e e, w-cl- cticr auf der geraden Linie b d l k g t , und daher unalittel- liar die Orientirung des JIefsiischcs giebt. - In Fig. 1,2,3 habe ic-h die drei niiiglichen F d l e der AufSabe dargestelli j

die Auflasung ist fiir a l le dieselbe.

Will man die Dimensionen tler Figur anf tic:n Jrcf+ iische, auf der Charte n i c l i t vernaclillssigcn, so muls man Sorge tragen, boim Anirgcn Jcr TYinliel, (lie P u n k l e

d uiid C' s e n k r e c t t iiber D zu stellen j doe11 w i r d der, ails der I-ernachlZssigung d k e r Fordcrung eiitstehen(le I e h l e r , a n € deiu N a a l s t a l ) e d e r C,liarte, wul11 ilunlcr unnierklich segti, wenn nur tlcr Mittelpunkt des Afcrs- tiscLcs seiilirecht iiher D ist. - Sollte (lie S c l i ~ i e r i g k e i t eiiitreten, d d s der P u n k t e aiisser den Grenzen des Papiers auf dem I\Icl.~tisclie, liegl, so Itann m a n sie daclurch vcr- uieiden, daIi i i i m die ITinkel A D B und B D C ~iiclit ati

a' unti c', sonclerii a n eiti P c a r a i d e r e l'unkte Icgi, n.eIclle niihcr an 6 , auf einer init n'c' parallclen Linie licgcn. - I n d e u i I a l l e , \\o clie Aiifgabe beinalie unl)ccIitiiiiit \! irJ, wird die Fignr dieees dadiirc'u andeutcr l , d a k die I,iilieti, dercn Durchschni t t deli Punkt e bestininit , tic.h in eincni sehr spilzeii W i n k e l , odcr selir nahe a n b durdischtiei(Ien.

Ditsc AuFiisung heriilit avf einer 13grnscliaft dcr F i g u r , von der icli nik.lit wtlilb, oh 5ie friihcr bciuerbt \\-orJc.n i.1 ; - it11 \ ~ c r t l c Eie a n c i w n i dtxr tlrei FiilIe erlEulern. Lcgt man ii;imlicli (Fig. 4.) ;in u dcn l j - i t ikcl b a e = b d c und an c dcn \I-inld 6 c e = b d a , untl zieht man clie Liiiie b e , S O is1 TP' . e b c I lr7. n b d untl ,V . e b a = l V . c b d. Der Beweis davon iet kicl i i : 11ia11

verlziigert b c bis j ' , SO dafs 6f = h a und zicht fg p. rallel mit c e ; das Dreieck 6 fg legt man an La, SO l lak f init u und g init h zusanimcnfalleii. Uanii ha t inan, i n den Vier.ecl,cn a h 6 e untl a b c d,

7V. h u b = W. a d 6 W. L a e = W , b d c PV. h b e == FV. n b c

h e : b e = I g : b e = b f : b c z b a : b e also die beideti Viereckc iilinlich, und folslicli

W . r b c = CY.hba = W . a b d W . e b a = Ctr. c b d .

Man sieIit hieraus, dafs die Piinkfe a' uud L" niir in die Coiistruclion gehracht sind , UIU den Durchschnittapunkt e

i n der Lage zii erhal ien, i n welcher e r wi rk l ich vor- kiiniint j iunn kiinnte die Auftragung dieser P u n k t e ver- rneideti , w e n n man den Winl ie1 e b a nacIi c b d iibertrngeii wollte, welrhes entweder wit dem Zirkel, otler mittelst eines erttfcrnten Hiilfsol)jecls, welches niit eineni aiidt*ren 01)- j e d e diesen W i n k e l inacltt , geschchen ltiinute. BIir scheint aber die vorgelragrne -4itiliisung zwecIrtniif+igcr 211 s c ~ t ) ,

zuiiialtl (la mail d i e Lciden Punkle a) und c', welche nian, bei cler Aufnahme cines gewissen l l i c i l s d e r Charle Z L ~

henutzen gedenkt, nicht erst a u l dein Peide aufiutragcn I,raiiclit, aondern diezes vorher , mi€ der griilsten Gcnauig- licit, bewerksfelligen kann.

B e s s e d .