PIII. Ueber &a Beziehung zwhchen der Ge- schwindigkeit unJ der Ldnge einkr Licht- web; con J o h n T o v e y .

(Phil. Magarinc, Srr. ZII Yvl. YIII p. 5 . )

Professor Powel l hat neuerlich.in dem PhiZosoph. Ma- gazine einen Abrifs von Hrn. C a u clip ys Uudulations- theorie gegeben, in welchem e r unter andcrii sagt: es scheine, als sey durch C a u c h y ’ s Untersuchungen eine Relation -zwischen der Gescliwindigkcit und der Lange eincr W e l l e festgestellt, sobald die Molecule so gelagert seyen, d a t ihre gegenseitigen Abstande ein inerkliches Ver- IiVltnifs zur Wellenliiuge haben. Seitdem icli dieses ge- lesen bin ich zu deinsclben Resultnt gelangt, durch cine weniger complicirte Melhode, welche ich hier vorlegen will. Ich thue diefs mit einigem Mifstrauen, da ich au- fser dem cben erwahnten Abrifs und Hrn. Prof. Ai ry’s Tracts niclits uber diesen Gegcnstaud gclesen habe.

Es seyen m, m’, m” u. s. w. die Massen der Aether- theilchen , und die rechtwinkligen Coordinaten

von m . . . J Y 2

- m’ . . . x + A x , y + A y , z + A z - m” . . . z + A x ’ , y - t A y ’ , z+Az’

u. 6. \Y.

Ferner sey: r = V A X ~ + ~ y + A Z ~ -

r ’=Vnx’z + ~ y ” + - ~ . z ’ 2

Gesetzt, die Theilchen haben alle gleiche Masseo, und die Kraft von einem auf eiu anderes sey eine Function ilires Abstandes, mriltiplicirt durch m; aiich werde nuf jedes Tbeilchen nur dnrch die Anziehungen und Absto- i’sungen der iibrigen Theilclien eingewirkt. Die Cosinus der Winke l , welche r mit den positiven Richtungen von

11. s. w.

361

A X x , y , z macht, sind - r - r ' r e, und SO haben wir

nach den Grundsatzen dcr Statik, wenn das System im Gleichgewicht ist:

m ~ k ) ~ z - = O : r n ~ ~ ) A y d ; m X - A z d l , f i r ) , (1) d r r r Die Summen erstrccken sich auf alle Theilchen in-

nerhaib der Anziehungs- oder Abstofsungssphare des Theil- chens rn, welches ein jedes in dem System seyn kann.

Nun moge das Gleicbgewicbt des Systems, gestijrt werden, so dafs nach Ablauf der Zeit t das Theilchen rn in den Richtungen von X , y , z die Verschiebungen t , 11, 5 erfdire, und m' die: f t A E , .li+Aii, 5 t A C ; dabei niilgen AE, A?, A 5 so klein seyn, dals man ihre Quadrate und Producte vernachlassigen kann. Dann ist der gegenseitige Absland dieser Theilchcn:

und:

- -- r+A=vW+A& +(Ay+Ali) ' +(&+A<)

AzAt+AyAvtAzA5 A= r

Die Cosious der Winkel, welche r + A r mit x, y, z maclit, werden s e p :

und, wenn man die Suminen der Componenten der in den l\ichtungen X, y , z auf m wirkendm Krzfie X, Y, Z ncnnt, so bat man:

362

wenn man fur Ar seinen vorbin gefundenen Werth sub- stiluir I.

Schreiben wir nun y ( r ) fiir f f und ~ ( r ) fur r

(=-@), d f ( r ) und substituiren diefs in der ersten der

Gleichungen (2), so liaben wir verm6ge der ersten der Gleichungen (I):

XMy(r>AS-t . l /~<r> * (AzAE+AyAq+AzAr;>x]- Die zweite und dritte der Gleichungen (2) sind der

ersten ~ahulich; folglich, wenn wir sie auf dieselbe Weise urnformen, und, gerntifs dcn Grundsatzen der Dynamik, d Z 5 i d2' n', dt2 , d/2

'3 fur X, Y, Z setzen, so haben wir:

%-3y(r)AE+Y(r) . (AxAt+AyAv+AzAC)Ax] d2 dt q=mYry(r>Avl-W-) . (AxAk+AyAv+AzAOAy]

d' d t 2 '=mqy(r)AC-W(r) (A~AS+AyAv+A~AOAz] Aus diesen allgemeinen Gleicbungen (3) lakt sich.

fur besondere Fdle eine Anzahl yon Integralen aoffin- den. Kehmen wir an, die Vibrationcn der Tbeilcbeii gescbaben in geraden Lioien, uiid s~inmtlich in Einer Hichtung. Diefs ist der Fall des polarisirteu Liclites. Es liege x in der Richlung der Vibrationen, d a m werden 77

und 5 Null seyu, und die erste der Gleicliungen ( 3 ) wird gcbcu:

d2 E -- di2 - m 2 ' [ ~ O ( r ) + ~ ( r ) ~ x 2 ] , 2 * a . *

Bun sey $ einc Function von z uud t ; danii kiiu- nen wir fiir A t setzcn:

363 d t d Q t nz= d3E A z 3 d i g n z 4 d.2 2.3 d z 2 . 3 . 4 '

Substituiren wir diesen Werth VOD A6 in der Glei- chung ( 4 ) uud nehmen an, die Theilchen seyen in ilirem Gleic~gewichtszustai~de so angeordnet, dafs fur jedes Theil- clien auf der einen Seite von m, innerhalb dessen Wir- kungssphare, sich ein anderes auf der gegenuberstehen- den Seite in gleichem Abstande befinde, so kiinnen wir die Summe 2 in zwci Theile Iheilen, eioen, welchel; die positiveu W e r h e von A Z einschliefst, und den andern, der die negativen uinfafst; fur jcdes Glied in dem eiaen Theil werden wir dann ein gleiches mit derselben Po- teoz von A Z in dein andern haben. Allein in dem ei- nen Theil werden nlle ( l ieder , die ungerade PotenZen von AZ einscbliefsen, positiv seyn, und in dem andern negativ. Folglich werden alle diese Glieder verschwiu- den, und da die iibrigen Glieder alle positiv sind, wird die Suinme des einen 'l'heils gleich seyn der des andern. Folglich wird die Gleichung (4 ) werden:

- A z + ~ . ~ + d % * --+T - -

wo die Summe nur auf die positiven Wertlie von Az auszudelinen ist.

Nun schreibe man s2 fur m 2 [ r p ( r ) + y ( r ) A r Z ] A z 2

und sf2 - n t S [ c p ( r ) + ~ ( r ) A x z ] ~ z Z dann wird die letzte Gleichung werden :

d 2 t d2iE dq6 dt2- dz2 dz -5.1 ;+s'2 y . . . . . . . . ( 5 )

Lassen wir in dieser Gleichung das letzte Glied fort, so wird sie ganz die fur die Fortpflanzung des Schatls, und sie giebt danu keine Relation zwischen der Ge- schwindigkeit und LYnge der Welle. Integriren wir aber diese Gleichung, wie sie ist, so erhalten wir eice Rela- tion dieser Art, und diese Relation liefert eine Theon2 der Dispersion des L i c k

364 Da !j eine Function von .Z und t ist, so kann es

ausgedriickt werden durch eine Reihe von Gliedern wie p sin nt+9 cos nt, worin p nnd 9 Functionen von z sind und n eine constante Grbfse ist I) .

f = p sin n t + q cos nt nnd substituiren diesen Werth von (5), so wird dieselbe werden:

Setzen wir also:

in der Gleichung

Diese Gleichung m u t wahr seyn fiir alle Werlhe von i ; folglich mufs seyn:

Da nun p eine Function von z ist, so kann es aus- gedriickt werden durch eine Reihe von Gliedern, wie asin k z + b sin kt, worin Q, b, k constante Griilsen siud. Substituiren wir also asin k z + b s i n k z fir p in der Gleichung ( 6 ) , so wird dieselbe:

foldich :

.nahe. k 2

Da die Gleichungen ( 6 ) uud ( 7 ) einander ahnIich sind, und da wir a s i n k z t b c o s k z fur p gesetzt ha- ben, so mussen wir a's inkz- t -b 'coskz fur q setzeu, worin a' und b' zwei andere constante Grijlsen sind.

1) P o i s s o n , TraifC de Nicanipue, 2mc Edit. 5.514.

365

Folglicb kann 5 ausgedriickt werden durch eine Reihe von Gliedern, wie: (os inLz+bcoskz)s in nt+(a’sinkz+b’cos kz)cosnt .

Mit Bezug auf irgend einen besonderen Werth von z gelit dieses Glied durch alle seine Werthc, wahrend

t durch 27d wachst; und in Bezug auf irgend einen beson-

deren Werth von C geht es durch alle seine Werthe, wlh-

rend z durch 2n wachst; folglich stellt es eioe Licbtwelle

vor, welche sicb in der Ricbtung z bewegt mit der Geschwin-

digkeit deren Wertb, wie vorhin gefunden, gleich ist:

n

k

n %I

k 2 S’2

Professor Powel l ’ s Ausdruck fur diese GriiLe ist:

s ( 1--- 2 . 3 . 4 . F ) .

welcher sehr nabe gleich ist mit:

H I-- { 2.3.12 = 2 r 2 n 2 >

Da Hr. P. statt der Summe s2 und sr2 ttur eio Glied betrachtet, uod da r , n, I in seiner Bezeichnuog diesel-

ben sind mie AZ uod - in unserer, so sind die beiden

Ausdriicke in der That einander gleich. Untersucht man die Zusammensetzung der Grtifsen

272 k

S12 - so sieht man, dals die Relation zwischen der Lange s2 ’ und der Geschwindigkeit der Welle nicht blofs abhangt von dem Verbdtoifs der gegenseitigen Abslnde der Theil- cheo zur WellenlSoge, sondern auch von dem Radius ihrer Wirkuogssphare.

Nach diesem Grundsatz khnen wir, glaube ich (wie

366 F r e s n e l vennuthet zu babea scheint) '), die Dispcr- sion des Lichts erkllren, ohne anznnehmeu, dafs die M'ellen sich in dern freien ltherischen Medium mit ver- scbiedencn Geschwindigkeiten bewegrn, eine Annahmc, welcher untiberwindliche Einwiirfe entgegcn zu stehen scheinen z) .

In meiner ntichsten Mittheilung hoffe ich zeigen zu kiinnen , dafs wenn die Vibrationcn der Aethertheilchen iiach drei rechtwiukligen Riclitungen zerlegt wcrdeu, voii denen zwei senkrecht auf, und die eine in der Richtung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichts liegt, sich die Vibrationen in jeder dieser Richlungen einzelu be- rechnen lasseu, und dafs man aiif diese Wci se einen ge- nfigenden Grund angeben kann, warurn die Vibrationen in Riclitung der Fortpflanzung unmerklich sind ( A i r y ' s Trait. tj. 101) *).

XIV. Ueber die Lage dcr h e n optischer Elu- sticitut in Krystulfcn des hemi-primatischen Systems; con W. H. Miller.

Lchrer am St. John's College und Professor der Minerdogie in Cambridge.

( A m dem Trunsnef. of the Cumbridge Plrilosoph. Soc. Vol. V In einern bcsonderen Abzuge vom IIrn. Verfasrer iibcr- p t . ZII.

randt.)

1) F r e s n e l hat bewiesen, dafs, was fiir eine re- gelmafsige Anordnung das Mittel, welcbes durch seine Elasticitat die optisclien Eigenschaften eincs Krystalls her- vorbringt, auch besitzen mag, es doch immer drei auf

1) A i r y ' s Trocfs, p.285 Note.

2) Ebendaselbst.

3) Siehe aoch F r e s o e l , diese Annel. Bd. XXIII S. 404. P.