Ban11 5. Heft 1 Augltst 19% nergniann , Illagnetisches Feld in einem Einpliasen-Transformator 319

Uber die Berechnung des magnetischen Feldes in einem Einphasen-Transformator.

Von STEPHAN BERGMANN in Berlin. I )

er normale Einphasentransformator der Kerntype besteht aus einem mit Kupferdraht umwickelten EisenkSrper von der in Abb. 1 angegebenen Gestalt. FlieDt in der Wicklung ein elektrischer Strom, so entsteht im Eisen ein magnetisches Feld. Der

Zweck der folgenden Arbeit ist es, ein Verfahren zu besprechen, das zur Berechnung dieses Feldes dient und zwar unter folgenden vereinfachenden Annahmen:

1. daf? der Transformator sich in der Tiefenrichtung beiderseits ins Unendliche

2 . da8 die Permeabilitat des Eisens konstant (unabhlngig von der Feldstlrke) und

Infolge dieser Annahmen reduziert sich das urspriinglich dreidimensionale Problem auf ein zweidimensioneles nnd die Aufgabe, die Kraftlinien nnd die Niveauflaohen des magnetischen Feldes zu berechnen, wird (was wir aua der mathematischen Physik als bekannt voraussetzen) Xquivalent einem Problem der Theorie der konformen Abbildung ; in unserem Falle der Aufgabe, das Rechteck R in Abb. ‘7 auf das Gebiet G (Abb. 3)

D erstreckt (h = m);

unendlich groD im Vergleich zur PermeabilitLt der Luft ist.

t” m --X

I‘ c&f

B a

Abb. 1 . Abb. 2 . Abb. 3 .

konlorm abzubilden, wobei die Punkte a, c, d, f in die Punkte A, C, D, F ubergehen miissen. Die zur x-Achse parallelen Geraden im Rechtecke werden dabei in die Kraftlinien des magnetischen Feldes im Transformator iibergefiihrt.

Anstatt direkt die Abbildnng von 1L’ auf G vorzunehmen, bilden wir R zuerst auf die obere Halbebene I1 ab, was mit Hilfe der Funktion suant geschieht, nnd dann erst II auf G.

Nach H. A. S c h w a r z liiDt sich die Abbildungsfunktion der oberen Halbebene auf

einen polygonalen Bereich G dureh das Integral J ( z ) = dz ( z - z ~ ) ~ ’ ( z - z ~ ) ~ ? . . ( z -z,J1’n

darstellen, wo die zr diejenigen Punkte der reellen Achse, die den Ecken von G enl- sprechen, und die yY die zugehorigen AuBenwinkel sind. Im Falle eines Treppenbereiches (der hier rorliegt) reduziert sich J auf ein hyperelliptisches Integral. Aber die Berechnung der zx aus den gegebenen Seitenlangen des Bereiches G und/die Auswertung des Integrals J bietet die eigentlichen Schwierigkeiten. Wir zeigen nun im 9 1, da6 man J duroh einen Ansdruck J’ , der eine Summe von rationalen und logarithmischen Funktionen und elliptischen Integralen ist, approsimieren kann. Wir bmprechen weiter den Weg, wie man bei rorgegebenem Gebiete G‘ den Approximationsausdruck J’ gewinnen kann. Im Gegensatz zu dem Integral J, das 3 wesentliche Konstanten enthlilt und die allgemeine Form der Abbildungsfunktion liefert, gibt es jedoch keine allgemeine Uestalt fur J’ . Wir erhalten vielmehr j e nach dem Grade der gewunschten Annaherung verschiedene Funktionen J ’ , von denen jede nnr 2 Konstanten enthglt. Dementsprechend liefert ein

‘1 Icb mbchte die Gelegenhdt wahrnehmen, meinem Freunde Herrn Dr. E. J. G u m b e l in Heidelberg fur mannigfaltige Ratachltige bei dieaer Arbeit ’zn danken. Der Verfasser.

Da der Verf. nicht erreichbar Ist, hat Hr. Dr. G u m b e l auch die BeSOrgMg der Korrektor freundlicherweire Ubernommen. Der Herausgeber.

0 i

Ztschr t a n ew wi I : I - Y < 111 :L I I n . Rfrrgnetisrllw Feld in einem Einpliaseli-TI:lnsPollnntor hl;ltll Drld &:ec,i:

tmtimmies J' die Abbildungsfunktion fiir den Bereich (I' nur dann, wenn zwischen den Seitenlangen des Bereiches eine gewisse Beziehung besteht. Unsere Losung besteht darin, da0 wir eine genugend grof3e Anzahl von J' aufstellen, die besprochenen Beziehungen zwischen den Seitenlangen feststellen nnd die darin noch vorhandenen Konstanten be- stimmen. In der vorliegenden Arbeit ist die einfachste Form von J' besprochen. An- schlieDend an den ersten erwtihnten Fall wird an Hand eines Beispieles die Aufgabe der Auswertung des elliptischen Iutegrales in J' behandelt, die mit Hilfe von Zahlen- tafeln fur elliptische Integrale und einfachen Zahlenrechnungen erfolgt.

Dieselbe Frage der Abbildong der oberen Ralbebene auf den in Abb. 3 angegebenen Bereich kommt auch in anderen technischen Oebieten vor. Genannt sei nur das Problem der Schubspannungen In Balken mit den in Abb. 4 angegebenen Querschnitten.

0 I. Die theorethehen Grundlagen. Im foi-

genden sol1 ein Verfahren beschrieben werden, das zur Bestimmung derjenigen harmonischen Funktion U dient, die i n dem in Abb. 5 angegebenen Gebiete harmonisch ist nnd auf beiden Berandungslinien konstante Weitc annimmt. Diese Aufgabe ist mit folgender identisch : Es ist eine Funktion U zu bestimmen, die in dem in Abb. 3 angegebenen Gebiete G reguliArharmonisch ist, langs der Linien A B C und FED konstant ist und deren Niveaulinien die Qeraden A F and DC untcr rechtem Winkel schneiden. Durch entsprechende Spiegelnng des Gebietes ABCDEF a n der x- bzw. y-Achse gelangen wir zu dem in Abb. 5 angegebenen Gebiet. Die Funktion U ist also die eesnchte Losune.

Y a

Um tr zu bestimmcn, bedienen wir uns eines Verfahrens, das in der Fnnktionen- theorie unter dem Namen konforme Rbbilduiig bekannt ist. Es gibt bekanntlich Gebiete, fur die die Losung von Randwertaufgaben, also die Aufstellung einer Fanktion, die im Inneren des betreffenden Oebietes harmonisch ist und auf der Berandung teils vor- gegebene Werte annimmt, teils anderen linearen Bedingungen genugt, bedeutend ein- facber ist als in dem urspriinglichen Oebiete G. Durch konforme Abbildung eines Gebirtes auf das andere gehen:

1. die Randlinien des ersten Gebietes i m allgemeinen indie Randlinien deszweiten uber, 2 . die Niveaulinien einer in dem ersten Oebiete harmonischen Funktion in die

3. I.:s bleiben die Winkel, unter denen 2 Knrven sich schneiden, erhalten (antler

Kennt man die Losung der betreffenden Randwertanfgabe fur ein Gebiet R und dasjenige Funktionenpaar X(x,y) , Y(x,y), das das Oebiet R auf das Gebiet G konform abbildet, so ist die Randwertaufgabe auf Grund der angegebenen Eigenschaften der konrormen Abbildung auch fiir das Gebiet G gelost.

Nehmen wir in unserem Falle als Ausgangsgebiet R ein Rechteck, so ist die Liisung unserer Aufgabe U = X. Die PuDersten Niveanlinien dieser Funktion fallen mit den Seiten ca und df znsammen und sanitliche Niveanlinien schneiden die Rand- linien cd und af unter einem rechten Winkel. Unsere urspriingliche Anfgabe reduziert sich somit auf die Auffindnng des Funktionenpaares X(z,y) und Y ( z , y), das das Gebiet Ii auf unser Gebiet C konform abbildet, wobei die Punkte a in A, f in E', d i n D nnd c in C ubergehen. Durch diese letzte Fordernng wird das Seitenverhaltnis des Rechteckes durch das Gebiet G eindeutig bestimmt. Die Linien z = konst. gehen dann in die Niveanlinien der gesuchten Funktion U uber.

Ein grundlcgender Saiz der Funktionentheorie besagt, dab der reelle Teil X ( z , y) = 91 ( f (z)) und der imagingre Teil Y (x, y) = J (f(zl) einer analytischen Fonktion f ( z ) = X + z )* einer komplexen Variablen 2 = x + ly die xy-Ebene (innerhalb des Definitionsbereiches von f ( z ) ) snf ein Qebiet der XY-Ebene im allgemeinen konform abbildet. Nach einem zweiten grnndlegenden Satze ist es mijglich, zu zwei gegebenen einfachausammenhiingen- den Gebieten R (der z-Ebene) nnd G (der f-Ebene) stets eine analytiscbe Fnnktion f ( z ) herzustellen, durch deren reellen und imaginttren Teil das Qebiet R auf G abgebildet wird I).

I ) Verxl. iiazii ctwa L. 13 i e b e r b . i c h , Einfll i irui~g in die konforn~e Abbi ldu i ig , ~ S ~ i i n n l i u i ~ g

Niveaolinicn einer in dem zweiten Gebiete harmonischen Funktion.

in einzelnen Punkten).

GOsc-lienq, SP 1 u 1 7 oder andere Lehrbllc'ler der Funktionentheorie.

Wir wollen entsprechend dem Gesagten eine Funktion einer komplexen Verander- lichen z finden, die den Bereich R anf G abbildet. Bus rechnerischen Griinden werden wir die eben erwshnte Fnnktion nicht direkt berechnen, sondern wir schalten in unsere Betrachtung ein drittes Gebiet - die obere Halbebene H - ein nnd wollen zwei 'ana- lytische Funktionen bestimmen, von denen die erste R auf 11, die zweite H auf G abbildet.

Aus der Tbeorie der elliptischen Funktionen ist es bekannt, daO das Rechteck R durch die Funktion snam auf die obere Halbebene abgebildet wird; ferner wird nach H. A. S c h w a r s die Abbildnng der oberen Halbebene auf ein polygonales Gebiet durch das Integral

jzl-z). ' (28- 2)"s . . . ( z , - z > ~ ~ ~ d z . . . . . . . (1) 0

geleistet. Die Konstanten zk sind dabei diejenigen Punkte der reellen Achse (Verzwei- gungspunkte des Integrales), die den Eckpunkten von G entsprechen und die rx die ent- sprechenden AuIlenwinkel des polygonalen Bereiches l).

I n nnserem Falle, wo der Bereich G nur reohte Winkel aufweist, ist -nrr entweder '/a n oder 3/9 m. Unter dem Integralzeichen treten somit nnr Qaadratwnrzeln auf. Ein solcbes Integral heifit ein hyperelliptisches. In diesem Integral treten in unserem Falle 3 unbekannte Konstanten anf. Es entsprecben namlioh den 6 Eckpunkten von G (i Ver- zweigungspunkte von J, von denen wir 3 beliebig festsetzen konnen, etwa in den Punkten 0, 1 nnd 00. Trotz der Einfachheit der Darstellung der Abbildungsfnnktionen der Form (1) bietet die weitere Durchfiihrung der Aufgabe Schwierigkeiten zwei- facher Art:

I. Wenn die D i m e n s i o n e n des Bereiches G (auf dem wir H abbilden) gegeben sind, ist die Bestimmung der in (1) auftretenden Konstanten zx Bufierst schwieriga).

It. Auch wenn die Konstanten bekannt sind, fiihrt die tatslcbliche Auswertung des Integrals (1) fur jeden Wert von z = z + i y auf eine umfangreiohe Approximations- rechnung. Im allgemeinen muS man eine ganze Reihe von Punkten z ubertragen. Dies verursacht einen solchen Aufwand von rechnerischer Arbeit, da$ man zu anderen Methoden greifen muB, nm schneller zum Ziele zn kommen. Eine Methode, die dies er- moglicht, wollen wir besprechen.

Der Hanptgedanke unseres Verfahrens stiitzt sich auf folgende Tatsachen. Es ist bekannt, daS ein hyperelliptisches Integral unter Umsthden sich auf elliptische Integrale reduzieren lafit. Die Berechnung von elliptischen Integralen lU3t slch (wie wir noch zeigen werden) mit Hilte bestimmter Tafeln verhiiltnismBSig leicht bewerkstelligen. Wir werden nun zeigen, dad man j edes hyperelliptische Integral darch ein rednzierbares a p p r o x i m i er e n kann.

Ein bekannter Ab elschcr Satz lantet: W i d das hyperelliptische Integral erster

Gattung i F ( z , s) d z mit s9 = p (2) durch eine Substitution 0

I = (1, (2,s) c's (1 - i ) (1 - c") = p (2, s) . . . . . . (2),

wo (1) (z, s) und YI (2, s) rationale Funktionen von z und s sind, auf das elliptische Integral ~~ .~ reduziert, so setzen sich seine zwei 2 p Periodizitatsmoduln m a

(a = I , 2 . . . ., 2 p ) aus den beiden Periodirit&tsmoduln zll und v1 dieses letzteren in

zusammen, wo die nz ganze Zahlen bezeichnen. Setzen sich umgekehrt die zwei Periodi- zitiitsmodulen ou einee hyperelliptischen Integrals aus zwei GroOen u1, va in der Form (3) zusammen, so ist dasselbe stets durch eine Substitution von der Form (2) auf ein ellip- tisches Integral reduzierbar ">.

dE

S l / a c t - e , ( l - 2 I )

der Form w , = m a , v1+ m,, v3 . . . . . . . . . . (3)

l) Vergl. H. A. S c h w a r z , BUeber elnige Abbildungsaufgaben., ges . Werke, Rtl. 11, S. 6 4 bis 8 3 oder S t u d y und B l n s c h k e , DVorlesungen ilbrr ausgew. Oegenstllnde iler Geometries, Heft 11, I$ 9, 1 0 .

'1 Vergl. A. Wein s t e i n , Der Kontlnuitiitsbeweis des AbbildungilQntzes fiir 1'~)Iygone. 3l;ithc- matiscbe Zeltschrift Bd. 21, 1924, S. 72-84.

3, Vergl. A p p e l l untl O o u r s a t , TliBorie des fonctilns algebriques et de leurs int&zrdes, Paris 1895, S. 3 6 8 : oder K r a t L e r , Lehrbucli der Thetafunktioneii, Lelpzig 1903, S. 4 7 1 .

Ztsrhr f qnxc>w. I I ( 2 r g I I I n II 11 , hlngnctiscl~es Fold in einem EinpIiagon-Transforiii~t~r hl.ith. ;I;; i i t - , . i l .

2 p )

322

Andererseits lassen sich zu jeder Folge von komplcxen Zahlen ( u = 1, 2 , . . . zwei Zahlen GI und v9 so bestimmen, daO

( 4 ) ma. - m X i , v, -ma, ~ 1 1 < E . . . . . . . ist, wo E eine vorgegebene kleine Zahl ist und die m?,,, ganze rationale Zahlen bedeuten.

Wie aus bekannten, hier nicht niiher zu streifenden Ueberlegungen hervorgeht, sind die Seitenlbgen des Bereiches G nichts anderes als die Periodizitatsmoduln des byperelliptischen Integrals. Ails dem A b e l schen Satz folgt :

Zu jedem Hereich G kann man einen Bereich G' konstruieren, der folgende Eigen- schaften bat:

1. Die Seitenllngen von G' sind beliebig wenig von den Seitenllngen des ursprung- lichen Bereiches G verschieden.

2. Diejenige I'anktion J' (z ) , die die obere Halbebene auf C,' abbildet, la& sich a d ein elliptisches Integral reduzieren.

Wir gehen nnnmehr zu der Frage uber, wie man das gesuchte Integral J' nnd die fraglichen Substitutionen (2) zum vorgegebenen Bereich G bestimmen kann.

Unser Oebiet G hat vier Seiten, deren Langen voneinander nnabhtingig sind. Da man noch eine Seitenlange - durch entsprechende Festsetzung den Mabstabes - gleich eins setzen kann, so besitzt der Bereich 3 Parameter, von denen die Abbildungsfunktion wesentlich abhiingt. Dementsprechend besitzt das Integral J drei Konstanten. I m Falle, dab J sich reduzieren laat, bestehen zwischen diesen Konstanten eine oder zwei Glei- chungen. Es lassen sich dann zwischen den Seitenltingen eines Bereiches G , der anf ein rednzierbares Integral J' fiihrt, eine bezw. zwei Beziehungen aufstellen. Es wiire das nlchstliegende, eine allgemeine Beziehung zwischen den Seitenltingen des Bereiches G, die sich aul a l l e J' bezieht, anzugeben, die eine notwendige und hinreichende Bedingung dafiir ware, dai3 sich die erhaltenen J uberhaupt reduzieren, und &us welcher wir zugleich auf die Form der Beziehungen zwischen den Konstanten des Integrals schlieflen konnten. E s ist aber leider im allgemeinen unmoglich, eine Beziehung dieser Art aufzustellen. Wir werden deshalb eine Anzahl von solchen Integralen J' aufstellen mussen und in jedem einzelnen Falle die fraglichen Beziehungen berecbnen. 1st uns nun ein Bereich G vorgelegt, so werden wir (in einer im weiteren auseinandergesetzten Weise) feststellen mussen, welcher der Bereiche G' ihm ))am nachsten liegtcc (im Sinne der Beziehung (4)). Dann ersetzen wir G durch G'. Da die Abbildungsfunktion J' sich dann in Form eines elliptischen lntegrals darstellen liibt, so bietet die Ausreohnung der zwci ubrig bleibenden Konstanten bzw. die Auswertung des Integrals keine Schwierigkeiten.

Sind nns die Konstanten des Integrals, d. h. die Verzweigungspnnkte bekannt, so miissen wir noch das SeitenverhMtnis von R berechnen. Dieses Verhtiltnis ist durch

den zweifach zusammenhangenden Bereich (Abb. 5 ) eindeutig bestimmt. (Es ist eine Funktion des sogenannten Moduls des zweifach zusammenhiingenden Bereiches ) Bei der konformen Abbildung darf man 3 l'ankte der Berandung in 3 beliebige Randpunkte des zweiten Bereiches uberfuhren. Nach unserer Forderung (vergl. S. 320) sollen aber 4 Punkte a, b, c, d in diejenigen Punkte der reellen Achse uberfiihrt werden, die den Punkt>en A, F, D, C von G entsprechen. Wir bezeichnen diese Punkte - die uns jetzt bekannt aind - mit A', F', D', C'. Da die obere Halbebene umgekehrt auf H durch ein elliptisches Integral abgebildet wird, so sind die Seiten u c und von l l die Perioden eines Integrals mit den Verzweignngspunkten in A', F', D', C. Man kann somit das Verhaltnis leicht bestimmen.

die auf eine S u mm e von elliptischen Integralen redozierbaren Integrale betrachtet.

when Fall zu.

n C

c d Es werden hier nicht nur die auf e i n elliptisohes Integral, sondern allgemeiner

Wir wenden nns nunmehr dem eintachsten, dem sogenannten L e g e n d r e - J a c o b i -

2. Die Legendre- Jacobische Transformation. In diesem Abschnitt sol1 die von L e gen d r e und J a c o b i stammende Reduktion des hyperelliptischen Integrals (1) abgeleitet und besprochen werden'). Fuhren wir im Integral

' 1 J , & I 41b i , Gesumnielte Werke, L h I I

Band 5, Heft 1 .\ugust, 1925 B u r g m a n u , Magnetisclies Felt1 in oinein Eiiiphasen-'l'ransformator 3.33

d x wobei x und 1 reel1 nnd I. < x < 1 (1)

~~~

eine neue Vergnderliche 1 + x l . 9 . . . . . . . . . . . . P' ( 2 )

ein, so geht en in

iiber. Denn es ist ( 1 - x) (1 + lo) (1 - x L a c ) (1 + X 2) = 1 + (- 1 + I + x - x l )z

+ ( - I . + XI.- x + x I - - x I ~ ) & + ( x I ~ - I x + x ' l - l l ' x ' ) z : ' + x * I ' o : ' (1).

D a x'pl = 1 + 22129 + x"l'x~ . . . . . . . . . (5)

ist, so geht der Ansdrnck (4), nachdem wir ( 5 ) einsetzen und die Koeffirienten von x nnd o3 zusammenfassen, i n (- 1 + I + I( - X I ) ( 1 + XlX')Z + (p' - a x I - I. + 2 X I - x - XI. ' - X " ) 2 Z

= ( - I + l + x - X x l ) ~ , ~ " ( p a - I - x - X x l ' - x ~ I . ) ~

(1 - 2) (1 + 1 .c)(l - x a z ) ( l + xx) = iql' - ( I + 4 1 c p + (I + .)I . . (6).

- - "?[pa + p( - 1 - x ?. + ?. + x) - (I . + x + + X'I)] = x2 c p - ( 1 + X 111 rp + (1. + .)I iiber. Somit ist

Andererseits ist xp = 1 + x l z 3 oder

z ( p + 2 f x n ) = (1 + V X I Z ) ' ; Z ( p - 2 f X 1 ) = (1 - 1 x l Z ) ' - ~~

and

erhalten wir 2z1h = p + 2 X I + f p - 2 1'2. nach o erhalten wir

2 ' / 1 1 / p f 2 ~ = 1 + I ' ~ z ; 0 1 / 2 1 / p - 2 1 / x L = l - - l X l Z . . . . (7) .

Addieren wir die beiden Formeln (7) nnd bringen xlk auf die andere Seite, so Durch Diflerentiation dieses Ausdrackes j- -1'-

Mit Benntzung von (6) und (8) erhalten wir aus ( I ) dnrch die Transformation ( 2 ) den Ausdruck (3).

Wir wollen noch die beiden Integrale in der Formel (3) ant die L e g e n d r e s c h e Normalform rednzieren. Wir fiihren im ersten bezw. zweiten Integral eine neue Substitution

- (1 + x h und t'=* p - 2 l x r 2 p + 2 P X ? .

. . . . . . . (9) z'l = 2)- ( 1 + X I . )

ein. Dann geht (3) iiber in

wo

ist. Umgekehrt ist - (1 + i.1 + 2 l ' ~ h Z

1 '2 P = Das Integral J in (1) reduziert sich somit aul J'=(10). Wir miissen noch unter-

suchen, in welche Kurven die reelle Achse der 2-Ebeue bei unseren Substitutionen uber- geht, damit wir den Znsammenhang zwischen den Periodirittltsmodulen von J (Seiten- liingen des Bereiches) und den Periodizittitnmodulen Kl und R l ' i bezw I<' nnd K2'i des ersten bezw. zweiten Integrals in (10) feststellen.

Ztschr f a n ew l i e r g n i a i i n , Magnctisches Feld in einem Einphascn-Tr,znsform,ztor Math.;nd && 32.1

______ X

aIif der reellen Achec von 0 bis 1 - 1

rut der reellen Achse von 1 bis - iz - _ - - 1 1

ant der reellen Acbse von -- bfs - i;i -.-. -.-

1 u.4

muf der reellen Achse von - bis m . . . . . 1

suf der reellen Aohse von - a bis - - x

P

1 rut der reellen Achse von - - bis

1 x - -- -. -+-* - f x 2

1 auf der reellen Achsc von

1 -- - " - .. - .. - A

1 1 -mf der reellen. Aehsc von - - bis 0

9

auf der reellen Aches von ao bls ( l + x l )

suf der reellen Aehse von (1 + r& bis 2 va

an! der reellen Achse von 2 t x bla (1 + x i )

auf der reellen Aehse von (l+xh bis (D

ruf der reellen Achse von m bis - ( x + b

ruf der reelleo Ache von - (x +b 'bis - 2 va

auf der reellcn Achse von - 2 va biS - ( K + h

auf 'dcr recllen Achse von - f x + b bis 30

Z a 11 1 c n

2

-. . _ _ . .. .. .. . . . . . . . . .. .&-. - auf der reellen Aehse Ton 1 bis 0

&of der fmsginllren Achsc von 0 bis a0

mf der imagioiben Aahse von m bis 0

anf der reellenpchse von 0 big 1

rut der retillen Aehre von vii+m) .

1 bis (uc+ VA)

)/(l+x) (1+0

(VX+ m aul der reellen Achse von - bis +e I)

ruf der reellen Achse von Y bia . V ( l + X ) (1+&

V ( l + X l (l+k (VL+ va auf der reellen Aehse von

bis 1

In der Zahlentafel I sind die Bahnen zusammengestellt, in die ein Punkt in den Ebenen p , z, 1, wl , Wa, w uberfuhrt wird, falls sich der entsprechende Punkt x in der r-Ebene langs der reellen Aohse bewegt.

Die Rbbildong der p- ant die e-Ebene ist zweideutig, ond duroh die Substitution (2) wird die e-Ebene anf eine zweiblllttrige Riemannsche Flfiche mit den Verzweigungs- punkten in 2 v x l und in - '? abgebildet. Die Fanktionen wl nnd u12 sind nnendlich vieldentig, den zwei verschiedenen Blllttern in der z- (bezw. in der t-) Ebene entsprechen zwei verschiedene Zweige von w I (bezw. w,).

Bezeichnen wir mit a eine (vorlllnfig unbestimmte) Konstante, 60 ersehen wir aus nuserer Zahlentafel I, daO die Seitenlsnge

1 I

A% = a(Kl + Al) C D = 2 K a a

F%= (K, - K 2 ) a

B C = (K1' + K2') u D-E=(K,'- K2')a . . . . . I 1 2 )

F A = 2 Klla - _ _

I ) WII liabeii einige Puiiktc nicht nusgtrechnet, da sio fllr uns ohne Interesse sind.

Baud 5, Heft 4 August 1925 B e r g m a n n , Magnetisclies Fold i n e inem Einplinsen-Transformntor 425 -_ __

nu! der reellen Achse von 1 bis 0

wf der lmaginiiren Achse voii 0 bis * I)

ta fe l 1.

parallel zur reellcn Achse aof der reellen Achse von parallel zur reellen Achse von (KI--hj)+21Yi‘i bis 2Kl’lli von l i l t - 2 Kl’ i bis 2 l i l ’ i - l i 2 bis 0

-__ _ _ _ . ~ I

1 von 0 bls * auf der imaginllreu Achse , auf der lmaginllren Achve auf der imaglniiren Achse von

vou 2 K1’ i bis KI’ i 2 K i ’ i bls *

1-1 I i, i C.E.Z.-

I I

.. . . . . . . . .. . . .. .

nuf der lmaginllren Achse von * bis 0

m i 1 der reellen Achse von 0 bis 1

~ ._ -

auf der iinaginllren Aclise nut der imaginllren Achse I auf der imaginiiren Achse von

I * I’ von K l ’ l bis 0 von * bie 0 (zurUck)

~~ ~ _ _ _ _ ~

nu! der reellen Achse von anf der reellen Achse von aul der reellen Achse yon 0 0 his 0 bis K i bls (KI + K,) i

I ’ _ _ _ ~ I I

auf der reellen Aclise von 1 parallel zur imaglnlren parallel zurimaginlren Achae 1/(1+.nl+- 1) AchsevonKlbla K , + l i l ’ i von Kz bis K2 + l i 9 ‘ 1

bis ~ -__

I __ (4;- 0) -

vOn (KI + Ka) his (Kl+ l is) pnrallel zur iriiaginikreu A r h ~

+ (Kl’ + K2’) I --__ ~~

: r u f dar reellen Achse von

atli der reellen Aclise von m parallel zur reellen Achse 1 pnrallel zur rcellen Achse I / C l - t G 7 l + X ) von * bis KI + K , ’ 1 von Ka’i bis - K a + h j ’ r

his - (zurllck) (VK- V.)

Iiarellel zur reellen Achse parallel zur reellen Achse parallel zur reellen A&se V O ~ K1 + Ki’i bis * VOn Ka + K1’ 5 bis l i a r i (K1 + g,) + ( K l ’ + K ~ ’ ) i

parallel z ~ r reellen Achse voll * b i s ( K ~ - K l ) + ( l i ~ ’ + H ~ ) r

I

n i i f der reellen Achse von parallel zur lmaginllreii -~ ~

___ 1iarnllel zurimaginllren Achee I Imrnllel zur imaginllren Aclise

Daraus konnen wir K1, KI’ nnd K2, 4’ berechnen; hieraof kann a aus zwei ver- schiedenen Gleichungen beetimmt werden. Die no twendige und h inre ichende

I / ( l + w ) (l+h bia 1

w x - m

Wir haben eiulge Punkte nicht ausgereohnet, da ale fur uns ohne Interease sind.

Achse von Kl + Kl’ibis von -Kz+Ka’r his -h-z I 1011 ( K l - K 2 : + ( ~ I ’ + ~ L ’ ) I l i l t 2 K l ’ I Ill. lh71 - Kl) + 2 XI’ I

Ztschr. f angew B e r g m a n t i , Magnetisclies Feld in einem Einpliasen-Tratisformator Math. & ~ ~ ~ h : 32'6 .- -____.

- r 0

0,160 0.319 0 ,479 O,F:j!I 0,7!l!l 0,959 1 , 1 1 9 1,27R 1 . 4 3 s 1 , 5 9 8

0 0 , 1 7 2 i 0,331 i 0,519 i 0,74 i

1,977 i 1,98:i i 3,12 i 6.3989 i

1,018 i

r

Zah len ta fe l 11. D i e W e r t e d e r

0 0,163 0,648 0,324 0,486 Linio

0 1 2 :I 4

I;

7 x 9

I 0

,

l4=

r 0

0,2.70 0.501 0,751 1,002 1 ,252 1,703 1,753 2,004 2,254 2,.;0 4

0 0 , 2 5 0 i 0,525 i 0,838 i 1,216 i 1,70 i 2,393 i 3,TBOO i 18,524 i

11.675 i L

0,163 0 ,166 + 0,2SO i 0 , 1 8 0 + 0 , 5 1 5 i 0.217 + 0,822 i 0,276 + 1 , 1 7 0 i 0,325 + 1,68 1 i 0,53,7 + 2,32 i 0,882 + 3,22 i 1 . 8 1 5 + 4 , 9 7 2 i .-),468 + 8,138 i

12,902

0,3 18 0 , 3 2 7 + 0,239 i 0 , 3 6 3 + 0,492 i 0,426 + 0,784 i 0 , 5 3 3 + 1 , l O . j i 0,707 + 1,571 i 0,999 + 2,116 i 1 , 5 7 7 + 2 , 8 8 i 2,852 + 3,820 i 5,840 + 4,251 i

9,194

0 ,465 0,482 + 0,222 i 0,530 + 0,457 i 0,620 + 0,718 i 0,767 + 0,980 i 1 ,OOS + 1,408 i

1 , 3 6 + 1 , 7 8 2 i

3,201 + 2,65.-1 i

6,281j

2 , 0 1 8 + 2 , 2 8 i

5.02R + 2,268 i

0,799 0 , 6 1 9 + 0 , 1 9 5 i 0.666 + 0,406 t 0,789 + 0,636 i 0.961 + 0,877 i

1 , 6 2 + I J l i 2,246 + I ,8 I i

I,?:] + 1 7 1 9 5 i

3,201 + 1,890 f

1 . 2 8 9 + 1 , : i i G 4.877

Zah len ta fe l 111. Die Wer te d e r ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~

0 , 2 i 7

0,270 0,278 + 0,150 i 0,274 + 0,305 i 0,334 + 0,474 i 0,398 + 0,661 i 0,505 + 0,884 i 0,690 + 1,128 i

1,03 + 1,456 i 1,694 + 1,746 i 2,898 + 1 ,564 i

3,Y?

0,554 0 ,830

0,685 0 , 6 9 4 + 0,088 1

0,721 + 0,173 i 0.770 + 0,252 z 0,845 + 0,325 0,94,*, + 0,383 z 1,066 + 0,405 t 1,210 + 0,396 z 1,358 + 0 , 3 2 4 z 1,457 + 0.1Y2 I

1,512

Linic

0 1 2 :I .4

1;

7 S 9

10

,

1.107

0 , 8 1 0 0,81 6 + 0 ,058 i 0,839 + 0,119 i 0 , 8 7 5 + 0 , 1 6 3 i 0,928 + 0,202 i 0,992 + 0,228 i 1,06S+0,228 i 1,141 + 0,212 i

1.21 + 0,16:I i 1,249 + 0 , O S f l i

1.278

0,305 0,515 + 0,121 i 0,545 + 0,267 i 0,599 + 0,367 i 0,680 + 0,493 f

0 , 8 1 2 + 0 , 6 1 5 i 0,994 + 0,?06 i 1,259 + 0,771 i 1 , 5 8 2 + 0,709 I

1 , 8 9 5 + 0,443 1

2,O.j

Z a h l e n t a f e l IV. D ie Wer te d e r

0 0,160 0 , 3 1 9 0,479 0,639 Liiiiv

0 I 2 :1 I

lj

8 9

10

,

II =

I .

0 0 ,277 0,554 0 ,s 30 1 , l O i 1 , 3 8 4 1,661 1.93s 2,214 2,491 2.768

_ _ _ _ _ _ ~ ~

0 , 3 1 4 O , R 3 + 0,27 i 0,37 + 0,55 i 0,44 + O,R8 i 0,56 + 1,29 i 0,713 + 1,81 i 1 , O Y + 2,52 i l , 7 S +:+, .TI i 3,20 + 4,86 i 7,11 + 5,81 i

12,306

0 0 ,28 i 0,:,9 i 0 , 9 4 i 1,38 i 1,97 i ",SO i 4,13 i 6 , 5 6 i

1 J , 7 2 i X

0, I59 0 ,16 + 0 , 2 8 i 0,19 + 0 ,58 i 0,22 + 0,92 i 0,29 + 1,36 i 0 , 3 9 + 1,9R i 0,58 + 2 , 7 2 i O,96 + 3 , 9 6 i 1,94 + 6,04 i 6,12 + 10,23 i

22,916

0,460 0,4S + 0,23 i 0,54 + 0,51 i 0,64 + 0,82 i

1.08 + 1,64 i

2 , 3 5 + 2,93 i 3,74 + 3,60 i 6,36 + 3,30 L

8,394

0,s1+ 1,18 i

1,52 + 2 , 2 1 i

0,1,!14

O?G9 + 0,46 i

1,03 + 1,05 i

1 , Y 4 + 1,RF i 2.69 + 2,R-I i

0,62 + 0 , 2 2 i

0 , 8 ? + 0,;s i

l J 5 + 1 , 4 3 i

3,85 + a,&:, i 5,32 + 2,02 i

6 , 4 9 8

B e d i n g u n g d s t e l l en l i S t , ge w onnenen

.afi ir , d a b d i e A b b i l d u n g s f n n k t i o n J s i c h in d e r F o r m (10) d a r - b e s t e h t n u n o f f e n b a r d a r i n , d a 8 d i e b e i d e n anf d i e s e Wei se

Q i i be re ins t immen . Diem Bedingung l W sich in der Form - -

. . (14)

formulieren, wobei K,' und

F a l l e rwi ihnen , d a 0 A B = CB, A F = CD u n d E D = h- ist.

die LSsungen der Qleichung (13) sind.

Als w ich t igen S p e z i a l f a l l , i n dem J d i e F o r m (10) h a t , w o l l e n w i r d e n

und !!?! der beiden Integral0 aus (13) bekannt, so

lassen sioh die beiden Moduln kl und kl bestimmen nnd an8 (11) die gesuchten Ver- zweignngspunkte I nnd x des Integrals J.

4 li, ' Ka'

1st das Periodenverhaltnis

F n n k t i o n w=.snnm (z , 20": wobei z = PL + u i.

0,SlO

0,718

0,s 1 2 + 0,344 i 0.931 + o,r,4.-1 i 1 , 1 2 2 + 0 , 7 3 7 i

1,40 + 0,986 i 1 . 7 9 0 + 1,20 i 2 , 3 4 0 + 1 . 3 5 7 i :i,oso + 1,901; i 3,7.-12 + 0,866 i

4.073

0 , 7 3 8 + 0 , 1 7 1 5 i

0,972 1,134 1.296

G,818 0,845 + 0,140 i

0,92 + 0,286 i 1,051 + 0 , 4 4 0 i 1,230 + 0,591 i 1.538+0,781 i 1,891 +0,914 i

2,940 + O,S96 i 3.380 + 0,56 I i

3 ,.-I 7 6

2,377 + 0,99 i

~1,891

1,005 +0,212 i 0,921 + 0,1066 i

1,138 + 0,330 i 1,332+0,441 i 1 ,616+0 ,569 i 1,950 + 0,66 i 2.36.3 + 0,691 i 2 ,830 + 0.605 i :3,146+0,966 i

3,283

0,9<34 0,980 + 0.071 1,063 + 0,145 1.200 + 0,221 1.410 + 0,291 1,657 + 0,367 1,988 + 0,422 2,350 + 0,43 1

2,736 + 0,366 '1,965 + 0 , 2 1 6

3,065

F u n k t i o n w = s n a m ( z , 7 5 O ) ; wobei z = i ~ + v i .

1,384 1 1,661 1,948 2,214

0,891 0,897 + 0,036 i 0,912+0,071 i 0,936 + 0,099 i

1.009 + 0,193 r 1,0,-11; + 0,129 i 1 , 0 9 2 + 0 , 1 1 6 i 1,l "3 + 0,087 i 1 ,143+ 0,046i

1,161

0.969 + 0,122 i

0,942 0,945 + 0,022 i 0,955 + 0,043 i

0,991 +0,071 i 0,970 1- 0,059 i

1,015 + 0,077 i 1,040 + 0,076 i 1,068 + 0,063 i 1,079 + 0,048 i 1,085 + 0,025 i

1,099

0,97 I 0,974 + 0.013 i 0,980 + 0,02.3 i 0,990 + 0,034 i

1,016+0.043 i 1,032 + 0,041 i 1,046 + 0,036 i 1,050 + 0,026 i 1,053+0,014 i

1,002 + 0,040 i

1 , 0 6 ,-I

0,989 0,990 + 0,007 i 0,994 + 0,013 i 1,000 + 0,019 i

l , 0 1 7 + 0 , 0 2 : l i 1,027 + 0,022 I'

1,035 + 0,019 i 1,036 + 0,014 i 1,046 + 0,007 i

1,047

1,008 + 0,022 i

F n n k t i o n w = s n a m (z, Is0); wobei z = u + v i. 0.799

0,7 1 3 0,74 + 0,19 i 0,s.l + 0,40 i 0,98 + 0,63 i 1,21 + 0,89 i I , j C + 1,20 i 2,07 + 1-50 i 2.87 + 1,SO i 3,;s + 1,83 / 4,8Y + 1,27 i

5,420

1,158 I , I 0,988

1,015+0,0316 i 1 1.100+0,073 i 1,230 + 0,110 i 1,440 + 0,147 1

1,698 + 0,183 L 2,003 + 0,207 z 2,333 + 0,20S z ' 2,679 + 0.175 i 2.87.3 + 0,103 i ,

2,958 I

l , ( i?0 -- 1

1,028 1,111 1,2>0 1,456 1,70 2,005 2,3:: 2,6::n 2,84.1 2,924

2,491

0,997 0,998 + 0,008 i 1,001 + 0,003 i 1,006 + 0,008 i 1,011 + 0,009 i 1,017 + 0,010 i 1,028 + 0,009 i 1,029 + 0,008 1

1,037 + 0,003 i 1,034 + 0,006 i

1,038

2,768 -- 1

,0005 ,003 ,007 .012 ,017 ,023 ,028 ,03? ,034 . 0 :: .-,

0,814

0,94 + OJ2 i

1,36+0,71 i 1,72 + 0,94 i 2 ,23 i- 1,13 i ?,9.3 + 1,32 i

O;s4+0,16 i

1,11 +0,51 i

3,6S + 1,26 i 4 ,34 + 9,82 i

4,746

0,894

l ,03 + 0,2.3 i 0,03 + 0,12 i

1,2 1 + 0,39 i 1 , 4 7 + 0,:IG i 1,83 + 0 , i l i

3,54 + 0,Y6 i

2,33 + 0,82 i 2,98 + 0.94 i

4,09 + 0,51 i 4,320

0,952

1,09 + 0,17 i 0 ,99+0 ,08 i

1,28 + 0,26 i

1,9t +0 ,47 i 1,55+0,:$7 i

2,3Y + 0 , 5 2 i 2,99 + 1,60 i 3,44 + 0,54 i 3,88 + 0 , 3 2 i

4,055

0,988

1,13+0.09 i 1,:32+0,13 i 1,59+0,1S i 1,95 + 0,23 i 2,40 + 0,22 z ?,99 + 0,29 i 3,3S + 0,26 / 3,77 + 0,14 i

3,909

1,02 + 0,04 < 1

I ,04

1,33 1 ,li 1

2,41

1,1r

1,97

2,!10 3J1; :1,72

3,862(;

K Urn die Berechnung von kl und kz zu vereinfachen, wnrde vorher 4 ah Funktioii 4

von (pl, wobei sin ql = kl gesetzt wurde, berechnet.

Wir wollen an Hand eines Beispiels die aus den Belrachtungen des 2 sich ergebende Methode der konformen Abbildung von R auf G crlautern.

3. Ein numefiches Beispiel.

Es kommen dabei eigentlich zwei verschiedene Fragen in Betracht : 1. festzastellen, da6 die Abbildungsfunktion sich in der Form (10) darstellen labt,

2. naahdern dies geschehen, ist zu zeigen, wie man praktisch bequem die im Laufe

Es sei der Bereich G mit den Seiten C B = A B = 4,36 , C D = A F = 3, l : ) G , Man sieht von vornherein, d a l die Abbildnngsfunktion J

und die Konstanten 1 und x an berechnen;

der Rechnnng vorkommenden elliptischen Integrale answerten kann.

U b; = E F = 1,16 vorgelegt.

sich in der Form (10) darstellen 1aEt. Wir ? nollen aber trotzdem iibungshalber alle vor-

geschriebenen Rechnungen durchfuhren. ,411s (13) folgt

3,19fi 4.Jti -

li 1 2 - = ? = 1 , 7 4 lill 5,196

Mit Hilfe der Tafeln fur die elliptischen Integralel) erhalten wir v1 = ?'so, qS = 1 5 0 und kl = sin rf l = 0,!)6i:, k, = 0,25!) , KI =

Die Bedingung (14) ist befricdigt, derrri: 3,19f i 3 ,196

1,598 l , S ! ) S

Bus (1 I ) in 2 bestimmen w i r 1 = I und

I " Wir konnen jetzt das Seitenverhaltnis

von IZ bestimmen. IZ mu6 60 beschaffcn sein, da6 bei der Abbildnng auf H die

~ Punkte a, b, c, t l in die Pnnkte - 2,!)?; - 1 :

2 ,768 , K I ' = 1,398, ZC2 4,5,98, K,' = 1',7Cd.

- a = -

x = 2,92.

11 c

- I ) 8 . I < . .J u l i i i k c i i i i (1 ISniiIe. 1:unktioiientalrlii.

I,eipziE w i d Berlin 190!1. S. 1 F l f .

2,9 2 ubergehen. Letztere Punkte sind die Verzweigungspunkte

f 2 W

des Integrals I

d z ~ , das H ant R abbildet, (: = sin 2 0 0 ) ; die Seiten des Rechteokes R

J f O -zq)( l - ;2 2 ) 0 - sind a c = I,(;?, a f = 2,504ti. R wird durch s n a m (2, 200) aul H abgebildet.

Damit haben wir beide Funktionen t

22

L - I

' Abb. 11.

gewonnen nnd gehen dazu iiber, zu zeigen, wie man snnm und die elliptische Integrale praktisch bequem auswerten kann.

h 5 9 J

1 i i

1

A,; r-- ; ; J r 3 1

Abb. 10.

Es gibt bekanntlich Tafeln fiir snam fiir reelle Argumente. Die Funktionswerte fur komplexe Ar-

7''' gumente kann man mit Hilfe des Additionstheorems '6Br' a m den Werten fur reelk Argumente leicht aus-

rechnen. Bekanntlich ist

n T ':..:j

C

;r.' f

~~ ~~

wobei r n a m =v1 - s7iam2; A = v i - z 2 " . s n a m 2 ~ x der Modul, x1 = v1 -7 der kom- plenientare Modul ist.

Das Rechteck 12 (Abb. 6) werde dnrch ein rechteckiges Gitter in 100 Teile geteilt. Die eine der das Gitter eraeugenden Scharen sind die Niveaulinien der Funktion x = konst , die wir auf G ubertragen wollcn, die andere Schar die orthogonalen Trajektorien dazu. Die den Gitterpunkten von R entsprechcnden Punkte baben wir nach f~ (2) berecbnet und in der Zahlentafel I1 zusammengestellt.

In Abb. 7 haben wir in d r r ~ E b e n e die Punkte markiert und durch Kurven rerbunden. Das auf diem Weise erhaltene Netz ist die konforme Abbildung des Recht- eckgitters i n R.

Schliedlich ist noch das erhaltene Netz auf G 211 uberlragen. Die Wer!e TOU z und t kiinnen wir recbnerisch oder grapbisch rnit Hilfe der SubEtitntionen (9) ermitteln.

Schwieriger ist die Bestimmung der Werte der beiden in (10) vorkommenden elliptischen Integrale. Das geschah Iiier (lurch graphiscbe Interpolation auf folgendem Wege: Die zu dem elliptischen Integral inverse Funktion ist snam. Diese bildet ein bestimmles Rechteck lil auf die obere Halbebenc ab. Wir legen, wie friiber, ein geniigend dichtes Rechtecksgitter in Rl und bilden es init s ) i a m auf die obere IIalbebene ab.

S u n markieren wir in der oberen Halbebene die obere Grenze des InteErals und mit Hilfe nnseres Netzes iibertragen wir es zuriick auf Rl . Der erhaltene Wert gibt uns den Wert des Integrals.

In der Zahlentafel I11 haben wir d i e Werte fur snam (2, 75O) zusammengestellt nnd rnit Hilfe dieser Zahlentafel die Abb. 9 konstruiert. In Abb. 9 haben wir die Punkte z markiert und durch Kurven (stiirker ausgezogen) verbnnden. Dieselben wnrden auf das Rechteck, Abb. 8, ubertragen. Genau dasselbe geschah fur das zweite Integral mittels Zahlentafel IV, Abb. 10 nnd Abb. 11.

Addieren wir die in den Abb. 8 nnd 10 erhaltenen entsprechenden Werte, markieren die Supmenwerte in der w-Ebene iind verbinden sie durch entsprechende Kurven, so gelangen wir zur Abb. 1 2 . Dies sind die gesucbten Kraftlinien und jhre orthogonalen Trajektorien, die Linien konstanten magnetischen Potentials (konstanten magnetischen Widerstandcs). "6

Zweibein und Kreisel. Von EMK WAELSCH in BrUnn.

ie Trzgheit eines Kreisels kann, in gegenuber Drehstreckungen invarianter Weise, bestimmt werden durch ein Z w e i b e i n ' ) , das ist das Gebilde, welches aus zwei gleichlangen von einen Punkt ausgebenden Vektoren besteht, und durch einen Skalar.

Durch dieses Zweibein nnd diesen Skalar konnen dann die GroSen des Problems und seine Differentialgleichungen in invarianter Weise dargestellt werden.

Es wird im Folgenden die ,)Basis(< i3es Zweibeins behandelt, welche die ganzen und rationalen Komitanten (Invarianten nnd Hovarianten) desselben enthalt, durch die sich alle anderen ganz und rational ausdriicken.

I n den Fallen des schweren symmetrischen und dcs krlftefreien Kreisels ergeben sich die zugehorigen elliptischen Differentialgleichungen aus einem gemeinsamen Qesicbts- punkt: der Aufliisnng der BSchiefe., indem das Quadrat einer schiefen Komitante (d. h. einer solchen, die bei Aenderung der Richtung sgmtlicher Vektoren ihr Vorzeichen Sindert) durch gerade Komitanten ausgedriickt wird.

Zum Schlusse werden auch die Falle von S t a u d e und H e S in Betracht gezogen, wobei sich neue Beeiehnngen der auftretenden vektorischen GroSen ergeben.

D

I) Sielie meine Arheiten i n Coin~ites rendus 11. \Vien. Mon:itsliefte fiIr Math U. Phys. 1906 sowie l ~ * z . der in folg. verweadeteteii . T i e l I ~ e i n r e c h n u n g q : ~I'olynomi:~l~oktor:inalyse uod ICugelIunktic~nrii., Xvitsclir. 1. :ingem. Mith. n hlerli. 1 9 3 3 . dle in folg. linter ,Pc zitirrt wird , u. vcrpl nueh nieine voraui- .@i~lideil Ar1)eiti.n llber ~13inkrannlyse~ . Hez. cler 'Spliilroiiome~ , d. s I n r, 11. z canze ratiuiiale nnd homogene Kugelfunktloiien s. I]., C'omptos rendiis 1 9 0 7 t i . TVien. Mon:itsliefte 1 9 0 9 .

22"