Uber das Verhalten der Integrale 1. Gattung bei Abbildungen, insbesondere in der Theorie

der elliptischen Modulfunktionen.

Von E. HECKE in Hamburg.

Besitzt ein algebraischer Funktionenk(irper einer komplexen Vari- abeln vom Geschlecht p analytische ein-eindeutige Transformationen in sich (Automorphismen), so erfhhrt das System der p Integrale 1. Gattung bei jedem Automorphismus eine lineare ganze Transformation, und die homogenen Bestandteile dieser ergeben eine Darstellung der Gruppe der Automorphismen des Gebildes durch eine Gruppe linearer homogener Substitutionen in p Variabeln, welche kurz als die Gruppe der I n t e - g ra le bezeichnet sei. Diese ist, wenn aquivalente Darstellungen als nicht verschieden betrachtet werden, durch das algebraische Gebilde v(illig bestimmt, und ihre Frobeniusschen Gruppencharaktere mfissen sich also aus den Bestimmungsstficken des Gebildes berechnen lassen. Fiir das algebraische Gebilde, welches durch die elliptischen Modulfunktionen einer beliebigen Primzahlstufe q definiert ist, habe ich die Charaktere der Integralgruppe ermittelt 1) _ bis auf eine gleich zu besprechende Unbestimmtheit. Als Gruppe der Automorphismen liegt dabei jene mit

der Modulargruppe ~ (q) der Ordnung q (q~--1) . 2 lsomorphe Gruppe yon

Abbildungen zugrunde, welche durch die Gesamtheit der Modul- substitutionen, ausgefibt auf das Argument v der Funktionen q-ter Stufe. in diesen induziert wird.

Herr REIDEMEISTER hat nun mir gegentiber die Meinung ausge- sproc.hen, dal] die Bestimmung der Integralgruppe sich auch durch die rein topologische Untersuchung des algebraischen Gebildes miisse bewerk- stelligen lassen, unter Hinweis darauf, da~ die Integrale 1. Gattung be- kanntlich sich in bestimmter Art den Querschnitten der Riemannschen Fli~che zuordnen lassen u n d e s sich dann nur um das Verhalten des Systems der Querschnitte bei den Abbildungen handele. Es zeigt sich indessen, dal~ diese beiden Probleme nicht immer i~quivalent sind, sondern nur fiir bestimmte Arten yon Abbildungsgruppen.

In dem folgenden w 1 behandele ich diese Frage fiir ein allgemeines algebraisches Gebilde. Die w167 2 und 3, die fibrigens yon w 1 unabhangig

I) t~ber ein Fundamentalproblem aus der Theorie tier elliptischen Modulfunktionen. Diese Abh., Bd. VI (1928), p. 235.

272 E. Hecke.

sind, beziehen sich nur auf die Modulfunktionen der Primzahlstufe q. Es wird hier die vtlllige Bestimmung der Integralgruppe gegeben, d.h. ihre Zerlegung in irreduzible Bestandteile. Die in meiner vorigen Arbeit ~) angegebene Zerlegung wird hier dahin vervollstitndigt, daft auch

q ~ l die Vielfachheit der beiden Bestandteile des Grades ~ bestimmt wird,

welche ich friiher nicht voneinander trennen konnte. Das Ergebnis scheint mir arithmetisch interessant: Fiir q ---- 1 (mod. 4) sind die

q ~ l be iden Gruppen des G r a d e s ~ g le ich oft in der I n t e g r a l -

g ruppe e n t h a l t e n ; d a g e g e n ist fiir q ~ - 3 (rood. 4) die D i f f e r e n z q - -1

der M u l t i p l i z i t a t e n der be iden Gruppen vom Grade ~ g le ich

tier K l a s s e n z a h l h des Kfirpers K ( I --/-~-). Die K la s senzah l kommt bei der H e r l e i t u n g a l le in durch die D i r i c h l e t s c h e K l a s s e n z a h l f o r m e l hinein.

w Satz 1. Sei ~ eine Gruppe yon Transformatione~ des al.qebraische,n

Gebildes in sicb, ~ die dt~rch ~ induzierte Gr~tppe der Integrcde. Dann ist die Gr~ppe

= ~+~

iiquivale~, tmit einer Gruppe mit ganzen r a tion alert S~t bstilu tio~skoeffizie'n te~t. Der Querstrieh bedeutet dabei wie auch im folgenden den (~ber-

gang zum Konjugiert-Imaginaren. Zum Beweise bedenke man, dal~, wenn w~, -.-. wr die p linear-

unabhangigen Integrale 1. Gattung bedeuten, die reellen und imagin~tren Teile der w offenbar die 2p reellen Potentiale 1. Gattung des Gebildes sind; diese sind also linear i~quivalent mit den 2p Funktionen w~,. . . . wp, i{~, . . . , h,p. Die durch ~ unter den 2p reellen Potentialen indu- zierte Gruppe ist daher grade mit der obigen Gruppe 2~ itquivalent.

Die Gruppe der Potentiale ist nun aber sehon v(illig bestimmbar, wenn allein der topologisehe Charakter der in ~ vorkommenden Ab- bildungen bekannt ist; man braucht nichts [~ber die analytisehe Natur dieser Abbildungen zu wissen. Man wahle niimlich in der bekannten Art ein aus 2p Kurven bestehendes kanonisches Querschnittsystem (2 auf dem Gebilde und verstehe unter u~, . . . , ~t.,v das zu Q geh6rige System der reellen Normalpotentiale 1. Gattung, definiert durch die Forderung: ~,, ist derart additiv vieldeutig auf dem Gebilde, dal3 es an den beiden Ufern des n-ten Querschnittes die Wertdifferenz 1 aufweist, dagegen an den andern Querschnitten die Differenz 0. Durch eine zu ~ geh(irige Abbildung des Gebildes auf sich geht das Querschnittsystem Q wieder in

Verhalten der Integrale bei Abbfldungen. 273

ein kanonisches System Q' fiber und die u,, in ein zu Q' gehOriges System yon Normalpotentialen u'n. Die additiven Perioden, welche die u~ an irgendeinem Querschnitt, also auch an den Querschnitten yon Q annehmen, sind abet ganze Zahlen, weil jeder Querschnitt aus den in Q' vorkommenden topologisch komponiert werden kann. Es gibt also lineare Kombinationen der ~tn mit ganzen rationalen Koeffizienten, welche an den Querschnitten yon Q dieselben Perioden aufweisen wie u~ und welche daher mit ~ bis auf eine additive Konstante identisch sein miissen, d. h. die durch ~ in den u,, induzierte Grappe ~ hat wirklich ganze rationale Koeffizienten. Man sieht, dal] die Werte dieser Koeffi- zienten allein davon abhangen, wie sich bei den Abbildungen yon T das Querschnittsystem Q topologisch verJindert.

Um nunmehr die Zerlegung yon ~ in irreduzible Bestandteile zu untersuehen, seien %~, . . . , ~:m siimtlicher versehiedenen irreduziblen Darstellungen der abstrakten Gruppe ~, und die Zerlegung yon @ sei

8

wo 'rs die Multipliziti~ten, also ganze rationale Zahlen bedeuten, wi~hrend Z (R) bzw. Z~ (R) die Charaktere yon ~ bzw. ~e sind, wobei R die Ele- mente von ~ durchli~uft. Bekanntlich gilt dann

hrs = , ~ z ( R - 1 ) z,(R). R

tt ist die Anzahl der Elemente R. Sei jetzt allgemein s' derjenige Index. fiir den der Charakter Zs' (R) konjugiert imagimtr zu Xs(R) ist. Dann folgt

(2) h(,'s @ re') = ~_~ (Z (R-') + z-(R-~)). X~ (R), R

und da Z (R)@ z(R) der Charakter von ~3 ist, so gilt Satz 2. Die Summe der beiden Multiplizit~iten rs-4-rs, l~iflt sich

aus do" tol~ologischen Beschaf[bnheit der Abbildungen ~i berechnen, w~'~ die einfache~ Chm'aktere der abstrakten Gruppe ;s bekannt sind.

Ist insbesondere der Charakter Zs yon ~s reell, so ist s = s' und aus (2) rs selbst bestimmt. D.ie Charaktere sind bekanntlich Zahlen eines algebraischen (Abelschen) ZahlkOrpers. Ist nun Zt (R) ein algebraisch- konjugierter Charakter zu Zs (R), so sind beide gleichzeitig reell oder nicht, und da in (2) nach Satz 1 die Faktoren Z (R) + I (R) ganz rational sind, so folgt

Satz 3. 1st Zs (R) ein reeller einfacber Charakter yon ~ and 7.t (R) algebraisch konjugio*t mit Xs (R), so ist rs = rt, d. h. die Dar- ,~tell~tnge~ ~s ~nd ~t sind in der [ntegralgruppe ~ gleich oft enthalte~.

274 E. Hecke.

Sind endlich al le einfachen Charaktere der abstrakten Abbildungs- gruppe ~: reell, so ist ~ = 2 @ und die Bestimmung der Integralgruppe auf die der Gruppe der Potentiale !l~ zurfickgeftihrt; sie ist also nach Satz 2 ein rein topologisches Problem. Gibt es dagegen nicht-reelle Charaktere yon ~:, so muii man, um die Gruppe ~ aus ~ zu gewinnen, die Periodenwerte der Integrale 1. Gattung selbst in die Betrachtung hineinziehen.

w Wir betraehten jetzt das algebraisehe Gebilde, welches dutch die

elliptischen Modulfunktionen der Primzahlstufe q (q ~ 3) definiert ist, und gebrauchen die Bezeichnungen tier in Anm. 1) zitierten Arbeit. Das Gebilde besitzt eine Gruppe von Abbildungen in sich, welche dutch die Gesamtheit der Modulsubstitutionen,. ausgefibt auf das Argument ~, erkl~rt werden; die Abbildungen sind so auf das System der Modulsubstitutionen. mod. q reduziert, bezogen und isomorph mit der Modulargruppe ~ (q) der

0rdnung q(q~-- 1) Die so induzierte Gruppe der Integrale 1. Gattung 2

ist in ihre irreduziblen Bestandteile zerlegt

!

2 2 i "

Dabei sind die @n, (~) die verschiedenen mtiglichen irreduziblen Dar- q--1

stellungen von !I~(q), n dabei der Grad, ~ ~-- (--1) 2 ; die Multiplizitaten x, ui, v~ und au•erdem yl + Y~ ~ Y wurden bereits yon mir berechnet. Es so l len j e t z t yj, y~ e inze ln bes t immt werden. Das gelingt auf folgende Weise:

Wir fragen nach der Anzahl der Integrale 1. Gattung, welche beim Ubergang v o n � 9 zu ~ + 1 sich nur um eine gegebene q-te Einheits- wurzel (~: 1) als Faktor verandern. Diese Anzahl lalit sich .einerseits au8 den Charakteren der Gruppe ~ berechnen, und dabei treten Yl, Y~ nicht symmetrisch auf; andererseits wird sie funktionentheoretisch aus dem Riemann-Rochschen Satz ermittelt, und durch Vergleichung beider Resultate ergeben sich ?/1, y~ selbst.

Ffir die erste Methode nehmen wir zuni~chst etwas modifizierte Voraussetzungen. Es sei ~t(v), . . . , ~:(~) ein System yon f Modul- funktionen q-ter Stufe, welches bei beliebigen Modulsubstitutionen sich homogen linear substituiert, und zwar die Transformationen einer irre- duziblen Darstellung @:von !l~(q) erfahren m0ge. Der Substitution

P: r' -~ �9 + 1

Verhalten tier Integrale bei Abbildungen. 275

entspricht dabei in (~ eine Matrix P* von bekannter Spur, ni~mlich von dem Charakter

~ ~ V~-q z(P) = 0 , 2 , 1 , - - 1

ftlr die Darstellungsgrade

f = q, q + e 2 ' q + l , q - -1 .

Die Anzahl der unabh/~ngigen Elemente in der linearen Schar der % (v), . . . , ~f(v), welche bei P den Faktor

2z~i - - n ~n = e q

(mit gegebenem ganzen n) annehmen, ist offenbar die Vielfachheit der Wurzel ~n der charakteristischen Gleichung der Matrix P*, die mall bekanntlich aus den Potenzen yon P* und deren Spur berechnen-kann. In unserem Falle kann man wegen der Werte yon f u n d g(P) etwas bequemer noch so schliel~en:

P* hat keine anderen charakteristischen Wurzeln als die ~*, und es sei p(n) die Vielfachheit von ~'~ fiir n ~ 0, 1 . . . q - - 1 . Dann ist die Spur

q--1

(3) z (P ) = p 00 ~ ~ 0

und aulterdem q--1

(4) f = ~;~ p (n).. n = 0

Da die algebraische Zahl ~ den Grad q hat, lassen sich diese Gleichungen bei gegebenem f , X auf h6chstens eine einzige Art durch rationale Werte p(n) 10sen. Man findet leicht

fiir f = q: p(n) = 1 ftir alle n,

f = q + l : p(0) = 2, p(1) = p ( 2 ) . . . . p ( q - - 1 ) ~--- 1,

f = q - - l : p(0) = 0, p ( l ) . . . . . p (q - -1 ) = 1.

Bei diesen irreduziblen Darstellungen gibt es also in der linearen Schar der ~i(r) genau ein Individuum (bis auf einen konstanten Faktor), welches bei P den Faktor ~ annimmt. Bei den beiden Darstellungen

des Grades f - - q + e 2 , welche nach Fnonsmus noeh existieren, liegt

die Sache abet anders. Denn aus der bekannten Formel ffir die Gaugschen Summen

n m o d . q n m o d . q

276 E. Hecke.

(mit positivem bzw. positiv-imaginarem V ~ q ) ergibt sich aus (3), (4) mit.

f _ q + e e___ ] /eq 2 ' x ( P ) - - 2

1 + . p(0) - - 2 , /o(n) = 1-4- , ( n = 1 , 2 , . . . , q - - I ) ,

d. h. bei der einen dieser Darstellungen ist p(n) = 1 ffir aUe quadratischen Reste n und p ( n ) = 0 fiir die Nichtreste n, dagegen umgekehrt ffir die andere Darstellung. Die Bezeichnung wollen wir so festsetzen, dal~

(~q+s die Darstellung mit p ( 1 ) = 1,

(5) (~'q-.2 die Darstellung mit p(1) ~--- 0

2

sein soll; die erste heil3e ,,zugeordnet den Resten", die zweite ,,zu- geordnet den Nichtresten".

Liegt jetzt ein System yon Modulfunktionen q-ter Stufe vor, die sich bei beliebigen Modulsubstitutionen linear umsetzen gemafi einer Gruppe mit der Zerlegung

i t (i~ ( i )

2 2 * z

(wo die a, $, f', 7i, $i die Multiplizitaten bedeuten), so ist die Anzahl der linearen Verbindungen in dem System, welche bei P den Faktor ~- annehmen, gleich der Summe aller Ausdrficke p(1) ftir alle in (~ vor- kommenden irreduziblen Bestandteile, also nach dem Vorangehenden gleich

(6) a -4- f -~-S ~'i ~- ~.~ ~i,

worin also das Glied fir fehlt." Wir wenden dieses Resultat auf folgende spezielle Frage an:

Man betrachte das System aller ganzen Modulformen der Stufe q und der.Dimension - - 2. Wieviel linear unabhi~ngige EleInente gibt es darin, welche sich bei der Substitution P um den Faktor ~ andern? Das System besteht nach der allgemeinen Theorie aus der Schar aller Inte- granden 1. Gattung und denjenigen Integranden 3. Gattung, deren Ver- zweigungen nur in den rationalen Spitzen liegen. Das letztere System ist ein invariantes System, das bekanntlich durch die .9~-Teilwerte erzeugt werden kann; diese setzen sich bei Modulsubstitutionen nach einer Gruppe um mit der Zerlegung

Verhalten der Integrale bei Abbildungen. 277

Das ganze System erf~hrt also die Gruppe ~ + ! ~ , und die gesuchte Anzahl z ist daher

z ---- x + l + y l + ~ - ~ 4 i

Yl--Y~ ~ q - - 1 Y _

(7)

Naeh den Formeln (6), (7), 1. e. 1) p. 241, ist

2 + g + v + x = = + z

_ _ q ~ - - I q - - 1 24 4 '

Yl - - Y~ + ~ _ _ ~ q 2 - 1 z - - 2 24

w Jetzt berechnen wir z auf funktionentheoretischem Wege. Es heifie U

die Gruppe der Modulsubstitutionen, welche mod. q kongruent einer Potenz der Substitution P sind, und Uq die rood. q reduzierte Gruppe innerhalb !l~ (q). Die" ganzen Modulformen der Dimension - - 2 , welche sich bei P u m den Faktor ~ i~ndern, bilden eine lineare Funktionsschar mit genau z unabhangigenElementen. Is t~ eine solchenichtidentischverschwindende

5[odulform und ~i irgendeine weitere, so ist ~1 eine Funktion der

Gruppe U, deren Pole h0chstens die Nullstellen yon ~ sind; es ist also z die Anzahl linear unabh~ngiger Funktionen der Gruppe 1I, welche htichstens bei den Nullstellen yon ~ Pole besitzen. Um auf diese Frage den Riemann-Rochschen Satz anwenden zu ktinnen, miissen wir beriick- sichtigen, dag ~ nicht zur Gruppe U geh(irt und daher gebrochene Ordnung in manchen Nullstellen haben kann, gemessen in der Gruppe U, wi~hrend die Ordnung nattirlich ganzzahlig ist, gemessen in tier Gruppe F(q), der Hauptkongraenzgruppe q-ter Stufe. Nun ist im Innern tier oberen Halbebene ffir jeden Punkt die Ortsuniformisierende ffir/ ' (q) stets auch eine solche ftir 113); die Ordnungszahlen einer Funktion stimmen als(~ hier ffir beide Gruppen iiberein. Lediglich in den rationalen Randpunkten

kann eine Abweichung stattfinden. In einem rationalen Punkte r ist s

die 0rtsuniformisierende t fiir F(q) stets auch eine ftir U, wenn alle

Modulsubstitutionen aus 11, welche r festlassen, bereits zu F(q) gehSren; s

im andern Falle ist erst tq 0rtsuniformisierende fiir 11; die 0rdnungszahl

5) Wenn q ~ 3.

278 E. Hecke.

in 1% ist im letzteren Falle daher der q-te Teil der 0rdnungszahl in F(q) .

Nun sind die Substitutionen mit dem Fixpunkt r__ bekanntlich 8

1 - - n r s n r ~ I - - n s ~ 1 - ~ - n r s ] n ~ O, 4 - 1 , -4-2, . . . ,

wenn wir r , s als teilerfremde ganze Zahlen gewi~hlt denken. Wenn eine solche Substitution zu 1I geh(iren soll, so mug

n r s =~ O, n s'--~- 0 (mod. q)

sein. Wenn s ~-O(q) , so folgt daraus n ---- O(q), und die Substitution gehtirt also bereits zu F(q) , wenn sie zu 1I gehtirt.

Eine Abweichung des 0rdnungsmal]es tr i t t also nut in den Punkten r s

auf, wo s ----- 0 (q) ist. Als Repr~tsentanten dieser Punkte wi~hle man etwa

(8) __r fiir r = 1, 2, . . . q - 1 q 2

Jeder Punkt L dieser Art ist nach F(q) mit einem dieser q 1 Punkte 8

aqmvalent und, wie man leieht bes 'ttigt, sind diese q - - 1 Punkte aueh 2

nach 1I nieht aquivalent. Das Verhalten der Modulform ~ der Stufe q in einem rationalen Randpunkte ist nun nach Definition so, dal~

(9) ( c ~ + d ) ~ - - ,~=o

eine Potenzreihe in t ist, und das Verhalten dieser Reihe bei t -~- 0 (d. h.

= ~ ) beschreibt das Verhalten yon ~(v) im rationalen Punkte a . c

Dabei ist a t + b

l ' = M(v ) =- cv + d

eine ]~odulsubstitution. Ist --a einer der obigen Punkte --,r so ist erst c q

tq Ortsuniformisierende ftir 1I; da n u n ~q ZU 1I geh0rt, so ist die q-te Potenz der Reihe (9) eine Potenzreihe in tq, bleibt also beim t~bergang yon v zu v-4-1 invariant, die Reihe (9) selbst kann sich also bei dieser Substitution nur um eine Potenz yon ~ andern, folglieh k0nnen in der Reihe (9) nur die Exponenten einer festen Restklasse mod.q auftreten, und diese Restklasse ist fiir alle Formen ~o der Schar die gleiehe, weil

Verhalten der Integrale bei Abbildungen. 279

der Quotient zweier dieser ~ eine Reihe in t q sein mug, als Funktiort yon 11. Zur Bestimmung dieser Restklasse hat man also festzustellen, wie sich ~(M(v)) bei tier Substitution P, d.h. ~(v) bei tier Substitution M P M -1 verhi~lt. Man rechnet nun sofort aus, daft

M P M -1 -~ P~ (mod. q), wenn c ~ 0 (rood. q)

Als Form der Stufe q i~ndert sich also ~ bei M P M -1 ebenso wie bei pa,, d.h. es nimmt den Faktor ~a' an. Das bedeutet: In tier Reihe (9) kommen nur die Exponenten n mE a s (mod. q) vor. Damit ist gezeigt:

Satz 4. In einem rationalen Punkt r hat jede der Modulformen q

eine Nullstelle yon der Ordnung .q + R (r---~ ), .qemezsen in der Gruppe U;

in allen anderen Punkten hat ~ ganzzahlige Ordnung. Dabei ist g eine nicht-negative ganze Zahl und R(x), wie iiblich,

der Bruchbestandteil der reellen Zahl x, so dab 0 =~ R ( x ) < l und x - R(x) ganz ist.

Die Gesamtzahl der Nullstellen yon ~, gemessen in U, ist nun

1 q 2 1 der Index yon U innerhalb der ~Iodul- bekanntlich ~- ~, wo tt ~- 2

gruppe. In dem Quotienten ~___L erseheint dann der Punkt r als Pol q

yon h(ichstens der Ordnung g, und die Zahl z ist also die Dimension der Funktionsschar yon 11, welche ht~chstens

q--I

' k (q) m = -6-t~-- R r~ r ~ l

gegebene Pole hat, also nach RIEMANN-RocH

Hier ist z = m - - p + l , wenn m ~ 2 p - - 2 .

(q - - 5) (q - - 7) P ~ 24

das Geschlecht yon U. Nun ist die Gesamtheit der Zahlen R (~-)

gleich der Menge der Brfiche - - , won alle quadratischen Reste zwischen 1 q

und q --I durchlituft, und daher kann man mit Benutzung des quadratischen Restsymbols

280 E. Heeke.

auch setzen q--1

( ~ ) 1 ~ l n__ (i _t_ x (e)) = q - - i 1 ~1 k R - - 2 n = l q 4 3r-2q~'-lnz(n)" r = l

Die Ungleiehung m >= 2p- -2 ist ferner wirl~lich erffillt, weil

-

Mithin ergibt sich schlie~lich

q--l" q ' + 6 q - - 7 1 ~ ,,Vnx~n~ '

24 2q ,~=1

Die Vergleichung mit dem in (7) gefundenen Werte z liefert endlieh die gesuchte Differenz

q--1 (10) y l - - y 2 - 1 ~ n x ( n ) .

qn=l !

Hier ist die rechte Seite bekanntlich 0, wenn q eine Primzahl ---- 1 (mod. 4) ist, weil dann x(q--n) -~ x(n). Ist aber q ~- 3 (mod. 4), q~3, so ist nach DIRICHLET die rechte Seite positiv und gleich der Klassenzahl h des K0rpers K ( I /~ - q ).

Danach ist das Resultat meiner Arbeitl) auf Seite 253 dahin noch zu erg~nzen, daft

Y (11) Y~ --~ Y~ - - 2 far q --~- 1 (mod. 4),

Y + h Y - - h (12) Y~ - - 2 ' Y~ - - 2 ffir q ~- 3 (mod. 4),

wo h die Klassenzahl in K ( V - - q ) . Ganz Ahnliche Formeln bestehen auch ffir die Modulformen q-ter Stufe

einer Dimengion- -k mit k ~ 2 , vgl. die Arbeit yon H:. FELDMANNS). Stets tritt in der Zerlegung der Gruppe bei den Vielfachheiten die Klassenzahl h als Term auf. In diesem Zusammenhang wird dann die Tatsache bemerkenswert, daft im Falle einer Stufe q ~ 3 (mod. 4) sich dutch bini~re Thetareihen, welche mit den Klassen quadratischer Formen der Disk r iminan te - -q zusammenhi~ngen, besonders einfach gerade

h Systeme yon je q - 1 Formen der Dimension - - k bilden lassen, auf 2

~) H. FELDMANN, Ober das Verhalten der ganzen Modulformen einer Primzahl- stufe bei beliebigen Modulsubstitutionen. Diese Abhandlungen, n~chstes Heft.

Verhalten der Integrale bei Abbildungen. 281

deren Konstruktion schon der Begrfinder der Theorie aufmerksam geworden ist, wi~hrend fiir q --~ 1 (rood. 4) der entsprechende Ansatz versagt.

Wir wollen zum Schlu~ noch sehen, wie weit man fiir diese Fragen mit den allgemeinen Si~tzen aus w I kommt. Hierbei ist nun entscheidend, daft bei q ~ 1 (rood. 4) alle einfachen Charaktere yon !l~(q) reell sind; da fiberdies die Charaktere von (~q+~ und @q+l konjugiert sind, so mfissen

2 2

in der Integral~uppe ~ diese beiden Darstellungen nach Satz 3 gleich oft auftreten. Die Aussage (11) ist damit sehr einfach ohne Rechnung bewiesen. Die Aussage ~12) liegt anscheinend viel tiefer, da ffir q ~ 3 (rood. 4) die Charaktere gerade nicht reell sind und also mit den Satzen aus w 1 nicht untersucht werden k0nnen. Dagegen sind alle anderen einfachen Charaktere fiir alle q immer reell, und die Anwendung von Satz 3 ergibt dann einen einfachen Beweis ffir den Hilfssatz ~) fiber Modulformen, wenigstens bei der Dimension--2. - - Ich benutze die Gelegenheit zu einer Richtigstellung: In meinem Bericht 4) fiber den Beweis dieses Hilfssatzes ist yon einer Form die Rede, welche im Innern tier oberen Halbebene :~ 0 ist und bei der Substitution P den Faktor ~ an-

nimmt. Als solche Form bezeichnete ich f~lschlich die Funktion A (~-); t ~

/ ~ j [ t

man muff statt dessen natiirlich, wie HURWITZ es in seinem Beweis tat, einen geeigneten, dort naher angegebenen ~-Teilwert einffihren.

4) Loc. c. 1), pg. 250.

H a m b u r g , Mathematisches Seminar, September 1930.

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