u2g probtotytbayes

Instituto Tecnológico Superior del Sur del Estado de Yucatán

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PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

UNIDAD 2

OBJETIVO El estudiante resolverá problemas que incluyan el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de eventos.

FUNDAMENTOS DEPROBABILIDAD

SUBTEMAS:

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

2Arturo A. Alvarado Segura

REGLA DE PROBABILIDAD TOTALAL GRANO (y a manera de resumen)

TEOREMA DE BAYES

Sea A1, A2, … una sucesión finita o infinita de eventos exhaustivos y mutuamente excluyentes y sea P(Ai)>0 para toda i. Si B es cualquier evento, entonces

donde la sumatoria se extiende sobre toda i.

)(BPAPABP

BAP jjj

ii

i APABPBP )(

Si P(B)>0, entonces

para cualquier j.



REGLA DE PROBABILIDAD

TOTALLa regla de probabilidad total nos sirve para plantear el teorema de Bayes (puede observar esta relación en la diapositiva anterior).

Para entender el teorema de probabilidad total, requerimos los siguientes conceptos: (a) eventos exhaustivos y (b) eventos mutuamente excluyentes.

SUBTEMA

(Desgranando un poco…)



EVENTOS EXHAUSTIVOS Y MUTUAMENTE EXCLUYENTES

A1 A2

A3 A4

Una colección de eventosA1, A2, A3, A4…es exhaustiva y mutuamente excluyente si la unión de todos ellos forman el espacio muestral S, y sus intersecciones son mutuamente excluyentes para cualquier par AiAj, con ij.

Eventoseguro

A1

A2

A3

A4



DESCOMPOSICIÓN DEL EVENTO B

A1 A2

A3 A4

B

Todo evento B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) (B∩A2 ) ( B∩A3 ) ( B∩A4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.

S

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

Observe, de la gráfica, que las componentes de B, (B∩A1), (B∩A2), ( B∩A3) y (B∩A4) son mutuamente excluyentes. Entonces la probabilidad de esa unión es simplemente la suma de sus respectivas probabilidades individuales.



TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTALSea A1, A2, … una sucesión finita o infinita de eventos exhaustivos y mutuamente excluyentes y sea P(Ai)>0 para toda i. Si B es cualquier evento, entonces

donde la sumatoria se extiende sobre toda i.

Nota. Observe que P(Ai) P(BAi) = P(AiB), por la regla multiplicativa que es posible obtener despejando de la definición de probabilidad condicional, esto es, de P(BA) = [P(AB)] / P(A) revisada en la sección anterior.

En las dos diapositivas siguientes, se ejemplifica la probabilidad total para cuatro y para dos eventos. Después se escriben ejemplos numéricos.

i

ii ABPAPBP )(



EJEMPLO: UN CASO PARA 4 EVENTOS

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de cuatro eventos, entonces podemos calcular la probabilidad de B. Observe:

P(B) = P(BA1) + P(BA2 ) + P(BA3 ) + P(BA4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3)+ P(A4) P(B|A4)



EJEMPLO

A Ac

B

El caso más sencillo de la regla de probabilidad total aplica para el caso de dos eventos A1 y A2, a los cuales llamaremos ahora A y Ac, respectivamente. Como siempre, se supone que B es un evento cualquiera. Es claro que AAC = S (esto es, A y AC son eventos exhaustivos) y que AAC = (esto es, A y AC son eventos mutuamente excluyentes).

En el diagrama vemos que B está particionado en la parte roja (AB) y la parte verde (AcB). Esto nos permite escribir

B = (AB) (AcB)Entonces

P(B) = P [(AB) (AcB)]

(Probabilidad total para dos eventos)

Puesto que [(AB) (AcB)]= P [(AB)(AcB)]=P(AB)+P(AcB). Usando ahora la regla multiplicativa para la intersección de eventos, tenemos que

P(B) = P(A) P(B|A) + P(Ac) P(B|Ac)

Esta última expresión es la regla de probabilidad total para dos eventos que es un caso particular del caso general. Siguen ejemplos numéricos

A B Ac B



EJEMPLO. En una urna se han colocado 4 bolas rojas y 3 blancas, y en una segunda urna, 3 rojas y 5 blancas. Se saca una bola de la primera urna y, sin verla, se mete en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola que se extraiga al azar de la segunda urna sea blanca?

SoluciónSea B el evento de que la segunda bola extraida de la urna II es blanca y sea A que la bola transferida es blanca. Entonces P(B|A) = 6/9 puesto que habrán 3 bolas rojas y 6 bolas blancas en la urna II al momento de la segunda extracción si es que A ocurre. Análogamente P(B|Ac)=5/9. Tenemos también que P(A)=3/7 y en consecuencia P(Ac) =4/7

P(B) = P(AB) + P(AcB) = P(A) P(B|A) + P(Ac) P(B|Ac) =3/7 x 6/9 + 4/7 x 5/9 = 38/63

Respuesta: La probabilidad de que una bola extraida al azar de la segunda urna sea blanca es de 38/63 = 0.6032



EJEMPLO (Urnas con bolas rojas y blancas) Ampliación de la solución: visualización.

Urna 14 R, 3 B

Urna 23 R, 6 B

Urna 24 R, 5B

P(A)=3/7

P(A c)=4/7

P(B|A)=6/9

P(Bc|A)=3/9

P(B|Ac)=5/9

P(AB)=3/7 x 6/9 = 2/7

P(Bc|Ac)=4/9

P(ABc)=

P(AcB)=4/7 x 5/9 = 20/63

P(AcBc)=

Observe que en el diagrama de árbol, la solución se obtiene siguiendo la flecha roja; esto es, los dos eventos en que sale bola blanca en la segunda urna y que corresponden a los eventos AB y AcB. Sus probabilidades son 2/7 y 20/63, respectivamente, que sumadas dan 38/63 que es la respuesta mostrada en la transparencia anterior. Resumen gráfico a la derecha.

Sale bola blanca

Sale bola roja

Sale blanca de urna 2

Sale blanca de urna 2

Respuesta:

A Ac

B

72

6320



EJEMPLO. En la Cd de Mérida el 60% de las personas son propietarios (D) de la casa donde viven. De ellos el 20% aprueba (A) el aumento al impuesto predial. De los no-propietarios, el 70% lo aprueba. ¿Qué porcentaje de ciudadanos Aprueba el aumento al impuesto predial?

Solución. Se nos pide P(A)P(A) = P(DA) + P(DcA)

= P(D) P(A|D) + P(Dc) P(A|Dc) =0.6 x 0.2 + 0.4 x 0.7

= 0.40 Ciudadano

PropietarioNo al

aumento

No espropietario

Sí al aumento

No alaumento

Sí alaumento

0.6

0.2

0.70.4

0.3

0.8

Para obtener el porcentaje de ciudadanos que aprueban (A) el aumento al predial, multiplicamos la probabilidad resultante por 100 %

Respuesta: 40% de las personas en Mérida aprueban el aumento al predial



EJEMPLO. En este aula el 70% de los alumnos son varones. De ellos el 20% son fumadores. De las mujeres, son fumadoras el 10%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay?P(F) = P(HF) + P(MF)

= P(H)P(F|H) + P(M)P(F|M) =0.7 x 0.2 + 0.3 x 0.1

= 0.17

Teorema de Probabilidad Total.Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de eventos

Estudiante

Hombre

No fuma

Mujer

Fuma

No fuma

Fuma

0.7

0.2

0.10.3

0.9

0.8

En el diagrama• Los caminos a través de nodos representan

intersecciones.• Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Para obtener el porcentaje de fumadores, multiplicamos la probabilidad resultante por 100Respuesta: Tenemos así un 17% de personas del salón que son fumadores



RESUMEN DEL EJEMPLO 2:

M HF

El evento F, puede ser descompuesto en:F = (F M) (F H )

S

H

M

F

F

Recuerde: Este resultado se obtuvo aplicando la regla de probabilidad total.

Así que P(F) = P(HF) + P(MF) = P(H)P(F|H) + P(M)P(F|M)

=0.7 x 0.2 + 0.3 x 0.1 = 0.17

P(F|H)=0.2

P(F|M)=0.1

P(H)=

0.7

P(M)=0.3

Respuesta: hay un 17% de estudiantes del salón que fuman



TEOREMA DE BAYES

SUBTEMA



TEOREMA DE BAYES

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y mutuamente excluyente de eventos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada evento Aj.

donde P(B) se calcula usando el teorema de probabilidad total:

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) + …

= P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4) + …

)(BPAPABP

BAP jjj



EJEMPLO. En una urna se han colocado 4 bolas rojas y 3 blancas, y en una segunda urna, 3 rojas y 5 blancas. Se saca una bola de la primera urna y, sin verla, se mete en la segunda.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola que se extraiga al azar de la segunda urna sea blanca?

b) Si se sabe que la bola extraida de la urna II es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida haya sido también blanca?

SoluciónSea B el evento de que la segunda bola extraida de la urna II es blanca y sea A que la bola transferida es blanca. En un ejercicio anterior obtuvimos que P(B) = 38/63, así respondemos al inciso a). En el inciso b) se pide P(A|B); por probabilidad condicional (en este caso es un ejemplo numérico de Bayes para dos eventos), resolvemos:

Respuestas. Del inciso a) ya habíamos calculado que es 38/63. Del inciso b) la respuesta es 9/19; ésta es la probabilidad de que la bola transferida haya sido blanca (recuerde que no la vimos) dado que la extraida en la urna II fue blanca.

199

)()()(

633872

6338

96

73

BPABPAP

BPBAPBAP

T. Bayes: ejemplo de las bolas en las urnas



EJEMPLO (Urnas con bolas rojas y blancas) Continuación de la solución: visualización.

Como dijimos en la diapositiva anterior, en el inciso b) se nos pide P(A|B) que se resuelve por teorema de Bayes y usando el resultado del inciso a). La solución ha sido desglosada también en la diapositiva anterior. Gráficamente el planteamiento puede ser visto como el cálculo de una probabilidad condicional como se representa en la gráfica de la derecha. Esto es, ha ocurrido B y queremos calcular la probabilidad de que ocurra A. El espacio muestral original se ha reducido a B.

A Ac

B

72

6320

Podemos imaginar el planteamiento del problema de las dos urnas con bolas rojas y blancas con el diagrama de la izquierda que ya hemos usado. El inciso a) nos pide la P(B) que por la regla de probabilidad total obtuvimos 38/63.

199

633872

BAP

6338

6320

72

72

T. Bayes: ejemplo de las bolas en las urnas



EJEMPLO. En la Cd de Mérida el 60% de los votantes registrados son propietarios (D) de la casa donde viven. De ellos el 20% aprueba (A) el aumento al impuesto predial. De los no-propietarios(Dc), el 70% lo aprueba. ¿Qué porcentaje de los votantes registrados quienes favorecen el incremento predial son propietarios?Solución. Se nos pide calcular P(DA). Sea A el evento que un votante seleccionado al azar aprueba el incremento predial y D el evento que un votante seleccionado al azar sea un propietario. Para calcular P(DA) necesitamos dividir P(DA) entre P(A); sabemos que P(A)=0.4 obtenida por probabilidad total en un ejemplo anterior. Ahora, P(DA)= P(D) P(A|D). Así

Para obtener el porcentaje, multiplicamos la probabilidad resultante por 100 %.Respuesta: En Mérida, el 30% de los votantes registrados que favorecen el incremento predial, son propietarios.

T. Bayes: ejemplo del aumento al predial

()P 30.0

40.012.0

)7.04.0()2.06.0(2.06.0

)((

cc DAPDPDAPDP

DAPDPAPDAPADP

D Dc

A

0.12 0.28 3.0

40.012.0 ADP

0.12

0.12 0.28



EJEMPLO. En el grupo 2 A el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

Estudiante

Mujer(M) No fuma

(Fc)

Hombre(Mc)

Fuma(F)

No fuma(Fc)

Fuma(F)

P(M)=0.7

P(M c)=0.3

P(F|M)=0.1

P(Fc|M)=0.9

P(F|Mc)=0.2

P(Fc|Mc)=0.8

MF

MFc

McF

McFc

Punto muestral

1. ¿Qué porcentaje de fumadores hay?2. Se elije a un estudiante al azar y es fumador

¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

PREGUNTAS:

T. Bayes: ejemplo de fumadores(as)



SOLUCIÓN AL EJEMPLO DE FUMADORES Y NO FUMADORES Sean los eventos M: es mujer; Mc : no es mujer (es hombre) y

F: que fuma ¿Qué porcentaje de fumadores hay en el 2 A?

Respuesta: Hay un 13% de fumadores (Resuelto antes, un ejemplo muy parecido por el teorema de probabilidad total)

Se elije a un individuo al azar y resulta que es fumador¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

Respuesta: Si se elije a un individuo al azar en el aula, la probabilidad de que sea un hombre dado que es fumador es 0.46

46.013.0

2.03.0)()(

FPMFPMP

FPFMPFMP

cccc

13.02.03.01.07.0

)()()()()(

cc MFPMPMFPMPFP

Por el teorema de Bayes y usando el resultado anterior

T. Bayes: ejemplo de fumadores(as)



En un estado de la República, se agrupa a los conductores con licencia en las siguientes categorías de edad: (1) 16 a 25; (2) 26 a 45; (3) 46 a 65; y (4) más de 65. La proporción de conductores con licencia para cada categoría de edad y la proporción de conductores en el grupo que tuvieron accidentes, se escribe en la siguiente tabla:

Solución. Sean los eventos:

A: que un conductor con licencia seleccionado al azar tenga accidente.

Bk: que un conductor con licencia seleccionado al azar se encuentre en la categoría de edad k, con k=1,2,3,4.

Continúa la solución...

TEOREMA DE BAYES EN LA VIDA REAL: ACCIDENTES DE TRÁFICO

Grupo Tamaño Proporción de accidentes

1 0.151 0.0982 0.356 0.0443 0.338 0.0564 0.155 0.086

PREGUNTASa) Qué proporción de

conductores con licencia tuvieron accidentes?

b) ¿Qué proporción de conductores con licencia que tuvieron accidentes tenían más de 65 años?

T. de Bayes en los accidentes de tráfico.Libro M. Woodroofe. Univ. de Michigan



…Solución. En el inciso a) se requiere P(A) y en el inciso b), P(B4A). Como datos tenemos P(Bk) y P(ABk) en las columnas “tamaño” y “proporción de accidentes”, respectivamente. Así

P(A)=P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2) + P(AB3)P(B3) + P(AB4) P(B4) =(0.098)(0.151)+(0.044)(0.356)+(0.056)(0.338)+(0.086)(0.155) =0.06272.Ahora,

TEOREMA DE BAYES EN LA VIDA REAL: ACCIDENTES DE TRÁFICO

Grupo Tamaño Proporción de accidentes

1 0.151 0.0982 0.356 0.0443 0.338 0.0564 0.155 0.086

PREGUNTASa) Qué proporción de

conductores con licencia tuvieron accidentes?

b) ¿Qué proporción de conductores con licencia que tuvieron accidentes tenían más de 65 años?

212532.0

06272.0155.0086.0

)(44

4 APBPBAP

ABP

Respuesta: a) De los conductores con licencia, una proporción de 0.06272 (6.3%) tuvieron accidentes; b) De los conductores con licencia que tuvieron accidentes, un 21.25% tenían más de 65 años

T. de Bayes en los accidentes de tráfico. Libro M. Woodroofe. Univ. de Michigan



ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Imprima y resuelva los siguientes problemas. Se ha nominado a tres miembros de un club privado para ocupar la

presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al Sr Aké es 0.3; la de que se elija al Sr Baas, de 0.5 y la que gane la Sra Caamal, de 0.2. En caso de que se elija al Sr Aké, la probabilidad de que la cuota de ingreso aumente es de 0.8; si gana Sr Baas o Sra Caamal, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son de 0.1 y 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de ingreso al Club?, b) Una persona considera entrar al club pero retrasa su decisión por varias semanas y se encuentra ahora que las cuotas de ingreso han aumentado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido al Sr Baas como presidente del club?

En el centro del país, los registros pasados reportan que el 2% de los adultos mayores de 40 años tienen cáncer. Si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a una persona con cáncer que sí tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque de 0.06. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le diagnostica cáncer, verdaderamente tenga la enfermedad?

La policía planea reforzar el respeto a los límites de velocidad mediante la utilización de sistema de radar en 4 diferentes sitios de la ciudad. Los sistemas de radar en cada sitio S1, S2, S3 y S4, se ponen a funcionar el 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, respectivamente. Si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por alguno de estos sitios, a) ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten una multa?, b) Si una persona es infraccionada por conducir muy rápido, ¿cuál es la probabilidad de que haya pasado el radar que se encuentra en el sitio S2?



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Arturo A. Alvarado Segura

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