Unidad 2Prueba de Hipótesis

ESTADÍSTICA 2 UE Siglo 21

CR. Juan A. Miranda

Objetivos

●Desarrollar la metodología de las pruebas de hipótesis como técnica para la toma de decisiones sobre parámetros de población basado en estadísticos muestrales.

●Determinar los riesgos involucrados en la toma de decisiones a partir de sólo información muestral.

●Describir diversas pruebas de hipótesis prácticas para una sola muestra.

CR. Juan A. Miranda

Introducción

●Desarrollamos una metodología, pruebas de hipótesis, que permite hacer inferencias acerca del parámetro poblacional con el análisis de las diferencias entre los resultados observados y los resultados que se espera obtener si en realidad se cumple una hipótesis.

CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesis● Una prueba de hipótesis comienza con alguna teoría,

declaración o aseveración relativa a cierto parámetro de una población.

● La hipótesis de que el parámetro poblacional es igual a la especificación recibe el nombre de hipótesis nula (H0).

● Si H0 se considera falsa, algo mas debe ser cierto. Entonces también, siempre se debe especificar también una hipótesis alternativa (H1)

● El rechazo de H0 se basa en la evidencia de la muestra de que es mucho más probable que la H1 sea cierta. Nunca se podrá probar que una H0 es correcta, porque la decisión se basa sólo en información de la muestra, no en la población.

● Sino se rechaza la H0, sólo se puede concluir que existe evidencia insuficiente para garantizar su rechazo.

CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesisPuntos claves:● La H0 es la hipótesis que se prueba siempre.● La H1 se establece como el opuesto de la hipótesis nula y

representa la conclusión que se apoya si la hipótesis nula se rechaza.

En las pruebas de hipótesis clásicas:● La H0 siempre se refiere a un valor específico del parámetro

de la población (como �) y no al muestral como ( ).● La expresión de la hipótesis nula siempre contiene un signo

igual respecto al valor especificado del parámetro de población (Ejemplo, H0���=368 gramos).

● La expresión de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo igual respecto al valor especificado del parámetro de población (Ejemplo, H1������368 gramos). CR. Juan A.

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Metodología para la prueba de hipótesisValor Crítico del estadístico de prueba● Ejemplo intuitivo, para determinar si se acepta H0:H0: �=368 H1: �=368

● La metodología de pruebas de hipótesis proporciona definiciones explícitas para evaluar esas diferencias y permite cuantificar el proceso de toma de decisiones de modo que la probabilidad de obtener un resultado dado de la muestra se puede encontrar si la H0 es cierta.

● Se logra determinando:○ 1) la distribución muestral del estadístico de interés ( ). Por lo

general es la normal o la t.○ 2) calcular el estadístico de prueba específico ( ) basados en

la muestra.CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesisRegiones de rechazo y no rechazo● La distribución muestral del estadístico de prueba se divide en dos

regiones, una región de rechazo y una de no rechazo.

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● Si el estadístico de prueba está dentro de la región de no rechazo, la hipótesis nula no se puede rechazar. Si en cambio el estadístico de prueba esta en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza.

● La región de rechazo sería un grupo de valores cuya probabilidad de ocurrencia es baja si la hipótesis nula es verdadera

● Para tomar una decisión primero se determina el valor crítico del estadístico de prueba. CR. Juan A.

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Metodología para la prueba de hipótesisRiesgo en la toma de decisiones● Al usar un estadístico muestral para tomar decisiones respecto a un

parámetro de población existe el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. Pueden ocurrir 2 tipo de errores:

● Error Tipo I: la hipótesis nula H0 se rechaza cuando de hecho es cierta y no debe rechazarse. La probabilidad que ocurra este tipo de error I es ��

● Error Tipo II: la hipótesis nula H0 no se rechaza cuando de hecho es falsa y debe rechazarse. La probabilidad que ocurra este tipo de error II es ��

● Nivel de Significancia, es la probabilidad de cometer el error Tipo I, conocido como ���Como���se especifica antes de realizar la prueba de hipótesis, el riego � esta bajo control del investigador.

● Coeficiente de Confianza, es el complemento (1-�) de cometer el error tipo I. Es la probabilidad de que la hipótesis nula H0 no se rechace cuando es cierta y no debe rechazarse. CR. Juan A.

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Metodología para la prueba de hipótesisRiesgo en la toma de decisiones● Riesgo �, probabilidad de cometer el error tipo II. A diferencia del

error tipo I que se controla al seleccionar a, la probabilidad de cometer un error tipo II depende de la diferencia entre el valor hipotético y el valor real del parámetro poblacional.

● Potencia o Poder de una prueba, es el complemento (1-�) de la probabilidad de un error tipo II. Es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa y debe rechazarse.

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Metodología para la prueba de hipótesisRiesgo en la toma de decisiones● Cuadro Resumen:

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MUCHAS GRACIAS

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P (potencia) = 1-�P (error tipo I) = �OKError (tipo I)Se rechaza H0

P (error tipo II) = �P (confianza) = 1-�Error (tipo II)OKNo se rechaza H0

Falsa H0Cierta H0Decisión estadísticaSituación Real

Metodología para la prueba de hipótesisRiesgo en la toma de decisiones

●El riego tipo I se puede reducir si se disminuye ��

●Sin embargo al disminuir � aumenta �. Es decir que si disminuimos el error tipo I aumenta el error tipo II.

CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesisPrueba de Hipótesis Z para la media (� conocida)● Caso Práctico:n=25H0; � = 368H1; � = 368�� = 0.05Se debe buscar los valores críticosY se rechaza H0 si Z > +1.96 o Z < - 1.96, de otra manera no se rechaza H0

Entonces para una muestra con = 372.5, buscamos el valor crítico y Z=1.50

Como -1.96< +1.50 < +1.96, la decisión es no rechazar H0. Y concluir que la media de la población es igual a la planteada en H0. O por lo menos que no existe evidencia suficiente que la media sea diferente.

CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesisPasos para la prueba de hipótesis1. Establecer la H0.2. Establecer la H1.3. Elegir el nivel de significancia. (�).4. Elegir el tamaño de la muestra (n).5. Determinar la técnica estadística adecuada (Ej: Z, t)6. Establecer valores críticos que dividen las regiones de rechazo

y aprobación.7. Recopilar datos y calcular el valor muestral del estadístico.8. Determinar si el estadístico esta en región de rechazo o no

rechazo.9. Tomar una decisión estadística

10. Expresar la decisión estadística en términos de una situación particular.

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Metodología para la prueba de hipótesisConexión entre intervalos de confianza y prueba de hipótesis● Los intervalos de confianzas se usan para estimar

parámetros.● La prueba de hipótesis se usan para la toma de

decisiones acerca de los valores específicos de los parámetros de la población.

● En lugar de probar la hipótesis nula de que � = 368, se puede llegar a la conclusión si se obtiene la estimación del intervalo de confianza de �. Si el valor hipotético de �=368 está en el intervalo, la hipótesis nula no se rechaza.

CR. Juan A. Miranda

Metodología para la prueba de hipótesisPruebas de una cola● Hasta ahora la hipótesis alternativa H1 contenía dos opciones, que el

valor sea menor o mayor al de la hipótesis nula H0. Por esto la región de rechazo se dividía entre las dos colas de la distribución muestral de la media.

● Pero a veces la hipótesis alternativa se centra en una dirección específica, y entonces:

Entonces la región de rechazo está contenida por completo en la cola superior de la distribución muestral de la media.

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Metodología para la prueba de hipótesisPruebas de una cola● Ejemplo práctico:�=0.05 => Z=1.645Entonces, se rechaza H0 si Z>+1.645

Dada la siguiente muestra:n=25= 372.5 gramos�= 15gramos

Tenemos:

Debido a que Z=1.50 < 1.645 la decisión es no rechazar H0 y se concluye que no existe evidencia suficiente de que el promedio de llenado por caja en todo el proceso sea mayor a 368 gramos. CR. Juan A.

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Metodología para la prueba de hipótesisPruebas de una colaPuntos claves:● La H0 es la hipótesis que se prueba siempre.● La H1 se establece como el opuesto de la hipótesis nula y

representa la conclusión que se apoya si la hipótesis nula se rechaza.

En las pruebas de hipótesis de una cola:● La H0 siempre se refiere a un valor específico del parámetro

de la población (como �) y no al muestral como ( ).● La expresión de la hipótesis nula siempre contiene un signo

mayor / igual o menor / igual respecto al valor especificado del parámetro de población (Ejemplo, H0������368 gramos).

● La expresión de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo igual respecto al valor especificado del parámetro de población (Ejemplo, H1�����368 gramos).

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Metodología para la prueba de hipótesisPrueba de Hipótesis t para la media (� desconocida)● Cuando � no se conoce, se estima con S.

● A su vez suponemos que la población tiene una dist. Normal, la distribución muestral de la media sigue una distribución t con n-1 grado de libertad.

● Caso Práctico:n=12H0; � = 120 dólaresH1; � = 120 dólares�� = 0.05Se debe buscar los valores críticosY se rechaza H0 si t > t11=+2.2010 o t < -t11= - 2.2010, de otra manera no se rechaza H0

Entonces para una muestra con = 112.85 y S= 20.80, buscamos el valor crítico y t=-1.19

Como -2.2010< -1.90 < +2.2010, la decisión es no rechazar H0. Y concluir que la media de la población es igual a la planteada en H0. O por lo menos que no existe evidencia suficiente que la media sea diferente. CR. Juan A.

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Metodología para la prueba de hipótesisPrueba de Hipótesis t para la proporción (� desconocida)

● Si el número de éxitos (X) y fracasos (n-X) son por lo menos cinco cada uno, la distribución muestral sigue una distribución normal. Entonces podemos evaluar una prueba de hipótesis usando el estadístico Z.

CR. Juan A. Miranda

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Metodología para la prueba de hipótesisPrueba de Hipótesis t para la proporción (� desconocida)

● Caso Práctico:n=12H0; p 0.10H1; p <0.10�� = 0.05Se debe buscar los valores críticosY se rechaza H0 si Z < -1.645 de otra manera no se rechaza H0

Entonces para una muestra con X = 11 y n= 200, buscamos el valor crítico y Z= -2.12

Como -2.12< -1.645 la decisión es rechazar H0. Y concluir que existe evidencia que la proporción de defectuosos con el nuevo sistema es menor a 0.10.

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MUCHAS GRACIAS

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