u1- movimientos oscilatorios
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Apuntes de fsica II
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MOVIMIENTOS OSCILATORIOSUno de los fenmenos ms interesantes que trata la fsica es la del movimiento que se repite a intervalos iguales o regulares de tiempo. A esta clase de movimientos se les llama peridicos u oscilatorios. En este capitulo en especial se trata con un movimiento oscilatorio simple al cual se le llama armnico simple o ms bien M.A.S. Es importante anotar que se est familiarizado con estos movimientos oscilatorios en nuestra vida cotidiana, pues son extensos los ejemplos visibles en donde ellos se presentan, tales como el movimiento de una masa atada a un resorte, un pndulo, las vibraciones de una cuerda de un instrumento musical, las hojas de una rama de un rbol, los amortiguadores de un vehculo y otros ms y as tambin los que nos son invisibles, pero que se detecta con los aparatos de medida, como las vibraciones de los tomos en un cristal, las corrientes elctricas alternas, las ondas electromagnticas y en general todos aquellos movimientos en la naturaleza que se repiten as mismos. La mayor parte de lo que trata este capitulo es la del movimiento armnico simple o simplemente M.A.S, que es una aproximacin sencilla de todos los movimientos oscilatorios que se observan en nuestro diario transcurrir. Para ser ms realistas con este tipo de movimientos oscilatorios se tendr en cuenta otros tipos de movimientos oscilatorios no armnico simples tales como, las oscilaciones amortiguadas y las oscilaciones forzadas. 1.1 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. Se dice que una partcula que se mueve a lo largo del eje x presenta un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x, desde la posicin de equilibrio, varia en el tiempo de acuerdo con la funcinx(t ) = A cos( t + )
1.1
donde A, y son constantes. La cantidad ( t + ) se le conoce como la fase del M.A.S, y a la constante de fase. Aunque se ha definido el M.A.S en trminos de la funcin coseno, tambin se puede definir en trminos de seno, simplemente la diferencia de fase entre las dos funciones es / 2 . El mximo desplazamiento de la posicin de equilibrio ocurre cuando la funcin coseno (seno) es 1 o sea que x(t)max. = A. Por lo tanto A es la amplitud del M.A.S. La amplitud A y la constante de fase , se encuentran determinadas por las condiciones iniciales o por condiciones equivalentes a ellas. Como la funcin coseno (seno) es peridica x( t) = x( t + T) o sea que:cos( t + ) = cos( (t + T ) + )
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De aqu, se debe cumplir que T = 2
T = 2 /
1.2
Es el perodo que se mide en segundos y es el tiempo en el que el movimiento se repite as mismo y a se le llama la frecuencia angular que tiene como unidades rad-s-1. El significado de esta ltima constante se dar ms adelante. Al nmero de veces que el movimiento se repite as mismo en la unidad de tiempo se le conoce como frecuencia y generalmente se denota con f = 1/T y su unidad es el ciclo-s-1 o Hertz ( Hz).f = 1 / T = / 2
1.3
La velocidad de la partcula en el M.A.S es:v(t ) = dx (t ) = Asen( t + ) dt
1.4
La aceleracin de la partcula en el M.A.S es:
a( t ) =
dv ( t ) = 2 A cos(t + ) dt
1.5
10 5 0 -5 -1 0
A =2cm T =3s 0 = /3
X ( t) V ( t) a (t)
t
3
6
Figura 1.1 Las expresiones 1.4 y 1.5 muestran que v(t) y a(t) difieren de x(t) por una fase de / 2 y respectivamente tal como se muestra en la figura 1.1.
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Es importante observar que en el punto de equilibrio del sistema v mx. = A , mientras que a mx. = A 2 se obtiene en los puntos de mximo desplazamiento. Una de las caractersticas ms importantes que identifica al M.A.S y que resulta de la ecuacin 1.5 es que la aceleracin es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento y se escribe como: a (t ) = 2 x(t ) Ejemplo 1. Exprese la A y del M.A.S en trminos de la v(t) y x(t) en t = 0. De 1.1 y de 1.4 x(0) = x 0 = A cos y v(0) = v0 = Asen Eliminando A de estas dos ecuaciones se obtiene: tan = v 0 / x02 Adems, tomando la suma x 0 + (v 0 / ) 2 = A 2 (cos 2 + sen 2 ) se halla A, que es:
1.6
v A= x0 + 0 2
2
Ejemplo 2. Una partcula, con masa de 1 gramo, ejecuta un M.A.S alrededor del origen. En el tiempo t = 0 se encuentra en x = 0, con la velocidad de -5 m-s-1. Regresa al origen 1 segundo despus. Determinar A, f, y x(t). Para el M.A.S, en cualquier tiempo el desplazamiento y la velocidad estn dados por x(t ) = A cos( t + ) y v (t ) = Asen ( t + ) respectivamente. Cuando t = 0, se tiene que x(0) = A cos = 0 lo que implica que = / 2 y en ese mismo tiempo v (0) = Asen = 5m s 1 . Como A y son intrnsecamente positivas, se tiene que = /2. Ahora bien, una partcula con M.A.S regresa a su posicin dos veces en cada perodo, una vez en un sentido y en la otra en el otro sentido. As, como regresa en un segundo, se tiene que T/2 = 1s por lo que T = 2s. Entonces, f = 1/T = 0.5 Hz, = 2f= rad-s-1 y como A = A = 5m-s-1 por lo que A=(5/)m. x (t ) = (5 / ) cos( t + / 2) = (5 / ) sen ( t )
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1.2 FUERZA Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. El sistema mostrado en la figura 1.2 est formado por una masa M y un resorte de constante elstica K. Se Puede entender cualitativamente lo que sucede cuando se desplaza la masa M una distancia x de su posicin de equilibrio como en las figuras 1.2 a) y c), el resorte ejerce una fuerza sobre M en ambos casos dada por la ley de Hooke,F = Kx (t )
1.7
Esta fuerza es lineal recuperadora ya que es linealmente proporcional al desplazamiento y siempre se dirige hacia la posicin de equilibrio, y opuesta al desplazamiento. Esto es, cuando la masa se desplaza hacia la derecha figura 1.2 a), x es positiva y la fuerza recuperadora es hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza a la izquierda de x = 0, entonces x es negativa y F es hacia la derecha.
a)
b)
c) Figura 1.2 Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de M se tiene:Ma (t ) = Kx (t )
1.8
Dividiendo la ecuacin anterior por M y recordando que a = d 2 x / dt 2 se expresa 1.8 como:
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d 2 x(t ) K = x(t ) M dt 2 Si se define a 2 = K / M . Por lo tanto la ecuacin diferencial 1.9 es: d 2 x(t ) + 2 x(t )=0 2 dt
1.9
1.10
La anterior ecuacin es equivalente a la ecuacin 1.6, por lo tanto la solucin de esta ecuacin diferencial lineal de segundo orden homognea es:x(t ) = A cos( t + )
1.11
Donde, A y son constantes de integracin dadas por las condiciones externas al problema particular tratado. Mientras que es una constante natural del sistema, independiente de las condiciones externas. Es importante hacer notar que cada sistema oscilatorio en particular tiene su propio y por lo tanto su propio T . El perodo es isocrnico para estos sistemas. Para concluir, cualquier sistema cuya ecuacin de movimiento sea de la forma de la ecuacin 1.10, corresponde a un movimiento armnico simple y tiene como solucin a la ecuacin 1.11. La ecuacin diferencial 1.10 se puede integrar dos veces y resulta la ecuacin 1.11. Entonces, cul es la primera integral?. Para ello se escribe la ecuacin 1.10 de la siguiente forma:dv (t ) + 2 x (t ) = 0 dt
1.12
Si a la ecuacin 1.12 se multiplica por v(t) y M y se tiene en cuenta que K = M 2 se obtiene:dv (t ) dx (t ) d 1 1.13 +K x (t )= Mv 2 + Kx 2 =0 dt dt dt 2 que no es ms que la derivada de una constante que se define como E y que se escribe como: 1 1 1.14 Mv 2 + Kx 2 = E 2 2 M v (t )
(
)
El primer trmino de la ecuacin anterior es la energa cintica U K asociada a la masa del cuerpo, y el segundo, la energa potencial elstica asociada al resorte,
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y E que es una constante de integracin y que es igual a la energa mecnica del sistema, resultado que era de esperarse, ya que el sistema masa-resorte es conservativo.
E = UK +UP
1.15
Si se expresa la energa 1.14 del oscilador armnico simple en trminos de la ecuaciones 1.1 y 1.4 y con K = M 2 se tiene:1 1 1 E = M A 2 2 sen 2 ( t + 0 ) + K A 2 cos2 ( t + 0 ) = K A 2 2 2 2
1.16
Esta ecuacin muestra que la energa es constante y que es proporcional a la amplitud al cuadrado del movimiento del sistema, y no es ms que una constante de integracin de la ecuacin 1.10 y por lo tanto depende de las propiedades externas al sistema. Como conclusin se tiene que un movimiento armnico simple para un sistema masa resorte muestra como caracterstica importante que, la energa mecnica es proporcional al mximo desplazamiento de su posicin de equilibrio al cuadrado y que otros sistemas conservativos con movimientos oscilatorios semejantes, tambin cumplen con esta propiedad.
( 1 /2 ) K A 2
U K
(1 /2 ) K A
2
U
U K
t-A A
a) b) Figura 1.3 La figuras 1.3 a) y b) muestran que la energa se transforma continuamente entre la energa potencial almacenada en el resorte y la energa cintica de la masa. De hecho, por ejemplo en la posicin de equilibrio, x = 0 y Up = 0, de tal manera que toda la energa es cintica. Es decir, en x = 0, v mx. = A entonces. U K = (1 / 2) M 2 A 2 = (1 / 2) KA 2 Finalmente, es posible usar la conservacin de la energa para obtener la velocidad para un desplazamiento arbitrario x expresando la energa total como:
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1 1 1 E =U K +U p = M v 2 + K x 2 = K A 2 2 2 2
v =
K 2 2 A x = A 2 x 2 M
(
)
1.17
1.3 PENDULO. Pndulo simple. Un pndulo simple es otro sistema oscilatorio. Est formado por una masa puntual m suspendida de un punto fijo por medio de un hilo inextensible y sin peso como se muestra en la figura 1.4. Las fuerzas que actan sobre la masa m son la r r tensin de la cuerda T y el peso mg .
Figura 1.4 La fuerza tangencial del peso es una fuerza recuperadora dirigida hacia = 0, en direccin opuesta al desplazamiento. Por consiguiente, la ecuacin de movimiento se puede escribir como: d 2 ( L ) dt 2 La ecuacin diferencial anterior se puede escribir tambin como: mg sen = m d 2 g + sen = 0 dt 2 L 1.18 a
1.18b
Esta ltima ecuacin corresponde a un movimiento que no es armnico simple puesto, que la funcin sen no es lineal. Sin embargo, para ngulos pequeos aproximadamente 150 , sen tan . Por lo tanto la ecuacin 1.8b queda
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d 2 g + =0 dt 2 L
1.19
Ecuacin de la misma forma que 1.10. Por lo que este movimiento corresponde a un M.A.S con una frecuencia angular dada por
=El perodo del movimiento esT=
g L
1.20
2
= 2
L g
1.21
El perodo y la frecuencia de un pndulo simple dependen nicamente de la longitud y la gravedad del lugar. La anterior aseveracin permite usar al pndulo como un cronmetro y tambin como un dispositivo preciso y adecuado para determinar la g del lugar sin necesidad de que el cuerpo caiga realmente, ya que L y T pueden medirse con facilidad. Ejemplo 3. Encuentre la frecuencia angular del pndulo simple a partir de su ecuacin de energa.
Para la trayectoria mostrada en la figura entre el 0 inicial y = 0 la energa del sistema es 1 d E = m L2 + mgy dt 22
Donde y est medido desde el nivel ms bajo del movimiento del pndulo. 2! 4! por lo que la ecuacin de energa esy = L(1 cos ) como cos = 1
2 4+
+L entonces para pequeo
y L 2 2 ,
mg L 1 d E = m L2 + dt 2 22
2
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Dividiendo por L2 la ecuacin anterior se tienemg 1 d E ' = m + 2 dt 2L2 2
al comparar esta ecuacin con la 1.14 y por similitud se tiene un K = mg/L, entonces
=
K g = semejante a la ecuacin 1.20 m L
Pndulo fsico. Un pndulo fsico, o compuesto como el de la figura 1.5, es el formado por cualquier cuerpo rgido de forma arbitraria que gira alrededor de un eje fijo que pasa por O; la recta que une O con el centro de gravedad forma un ngulo (t) con la vertical. Si h es la distancia del pivote al centro de gravedad; el peso origina un momento o torque recuperador
= mgh sen = I
1.22
Al abandonar el cuerpo as mismo, oscilar alrededor de su posicin de equilibrio, pero, como en el caso del pndulo simple, el movimiento no es armnico simple, ya que el torque no es proporcional a sino a sen. Sin embargo, si es pequeo, se puede sustituir sen por y el movimiento es aproximadamente M.A.S. Utilizando esta aproximacin, se obtiene: d 2 = (mgh) = I 2 dt Por lo que, de acuerdo con 1.19 1.23
2=
mgh I
1.24
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Figura 1.5 Se pueden usar estos resultados para medir el momento de inercia de cuerpos rgidos planos. Es siempre posible encontrar un pndulo simple equivalente cuyo perodo sea igual al de un pndulo fsico dado. Si L es la longitud del pndulo simple equivalente,T = 2 L = 2 g I ; mgh
por lo tanto,L= I mh
As, en lo que concierne al perodo de oscilacin, la masa de un pndulo fsico puede imaginarse concentrada en un punto cuya distancia al eje de rotacin es L= I/mh. Este punto se denomina centro de oscilacin del pndulo. Ejemplo 4. Una barra delgada uniforme de longitud a puede girar alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos, oscilando como un pndulo fsico. Hllese el centro de oscilacin del pndulo. El momento de inercia de la barra respecto a un eje que pasa por un extremo es1 I = ma 2 3
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La distancia del eje al centro de gravedad es h=a/2. Por lo tanto, la longitud del pndulo simple equivalente ser:2 1 I 2 3 ma = = a L= mh m(a ) 3 2
El centro de oscilacin se encuentra a la distancia 2a/3 del eje. 1.4 SUPERPOSICIN DE M.A.S. Superposicin de dos M.A.S en la misma direccin y con la misma frecuencia. Cuando una partcula est sometida a ms de una fuerza armnica, cada una intentando mover a la partcula en la misma direccin con M.A.S, se dice que existe una interferencia de movimientos armnicos simples. Se superponen dos M.A.S en la misma direccin y la misma frecuencia, el primero con amplitud A1 y fase inicial 1.
x1 = A1 cos( t + 1 )El segundo con amplitud A2 y fase 2.
1.25
x2 = A2 cos( t + 2 )
1.26
La superposicin de estos dos movimientos armnicos simples d como resultado un M.A.S.x = x1 + x 2 = A cos( t + )
1.27
La amplitud A y la fase , se obtienen a partir de la figura 1.6 para t = 0 en 1.25, 1.26 y 1.27 as
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Figura 1.6 r r r r r r r r 2 A A = A 2 = ( A1 + A2 ) ( A1 + A2 ) = A12 + A2 + 2 A1 A2
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos
1.28
con
= 1 2Asen = A1 sen1 + A2 sen 2A cos = A1 cos 1 + A2 cos 2entonces
tg =
A1 sen 1 + A2 sen 2 A1 cos 1 + A2 cos 2
1.29
Se consideran algunos casos importantes, que se pueden emplear posteriormente en los movimientos armnicos ondulatorios.
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9 6 3 0A1 A2 A1+A2
3
6
t 9
X(t)
-3 -6 -9
Figura 1.7a
4 2X(t)
A1 A2 [A1-A2]
0
t3 6 9
-2 -4
Caso 1. 1.7a
Figura 1.7b Si = 0 , 1 = 2 que corresponde a dos M.A.S en fase A=A1+A2 figura
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Caso 2.
Si = , 2 = 1 + que corresponde a dos M.A.S en contrafase
A = A1 A2 figura 1.7b.Superposicin de dos M.A.S en direcciones perpendiculares y con la misma frecuencia. Si dos M.A.S tienen la misma frecuencia y oscilan perpendicularmente entre s, el movimiento resultante presenta una trayectoria que, en general, es una elipse. Para simplificar se toma a x = Ax cos ty = Ay cos( t + )
1.30a 1.30b
Para encontrar la trayectoria se elimina t de las ecuaciones paramtricas. Se desarrolla la ecuacin 1.30b comoy = Ay cos t cos Ay sen tsen
1.30cx Ax
dividiendo la anterior ecuacin por Ay y remplazando cos t =
y x cos = sen tsen Ay AxElevando al cuadrado a ambos miembros de la ecuacin 1.30d se tiene: y x cos = sen 2 tsen 2 = (1 cos 2 t ) sen 2 A y Ax2
1.30d
1.30e
por lo tanto la trayectoria es:2 xy x2 y2 + 2 cos = sen 2 2 Ax Ay Ax Ay
1.31
lo que corresponde a una elipse. Si = 0 o = , la elipse degenera en una lnea recta que pasa por el origen y tiene la pendiente o positiva o negativa, como se muestra en la figura 1.8a.
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3y(t)
3
y(t)
A=4 , B=3=0
-4
0
0
x(t) 4
-4=
0
0
x(t) 4
A=4 , B=3
-3
-3
Figura 1.8a En otros casos, la resultante es una elipse cuya orientacin relativa a los ejes x, y depende de la diferencia de fase como en la figura 1.8b que corresponde = . 2 Ax= y= A, la resultante es una circunferencia: En el caso especial en el que, = 2 x = Ax cos t , y = Ay sen ( t ) entonces la partcula se mueve en una circunferencia de radio A y velocidad angular constante .
3
y (t)
= /2
x (t)-4 0 0 4
-3
Figura 1.8b
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As, la combinacin de dos MAS perpendiculares entre si que tienen la misma amplitud y frecuencia y la diferencia de fase, = es equivalente a un movimien2 to circular uniforme. Recprocamente, la proyeccin de un movimiento circular uniforme sobre uno de sus ejes es un MAS. 1.5 OSCILACIONES AMORTIGUADAS. Aunque hasta ahora no se ha dicho, las oscilaciones macroscpicas reales siempre experimentan como mnimo una pequea fuerza de rozamiento que tiende a eliminar o, como se dice comnmente, a amortiguar su movimiento. Por lo tanto ser tema de esta seccin estudiar el movimiento de un oscilador amortiguado. Se considera un oscilador en el que la fuerza que produce la oscilacin obedece a la ley de Hooke y el cuerpo oscilante est sometido a la friccin de un fluido, figura 1.9. Como los cuerpos oscilantes no son muy grandes o no realizan un movimiento rpido, capaz de producir turbulencia, se supone que la fuerza amortiguadora de la friccin del fluido tiene un valor proporcional a la primera potencia de la velocidad del cuerpo, como en la ley de Stokes, o sea es de la forma -bv donde b es un constante y el signo menos indica que siempre se opone al movimiento. De acuerdo a la figura 1.9 se puede escribir la segunda ley de Newton como sigue:
Figura 1.9r r r M a = FH + f
1.32
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M
dx d2x 2 = Kx b dt dt
1.33
la anterior ecuacin se puede escribir como d2 x dx + 02 x = 0 2 +2 dt dt Donde, 1.34
=
b K y 2= . 0 2M M
La solucin de esta ecuacin se dar ac sin demostracin y para, < 0 que corresponde a un movimiento subamortiguado es x = A0 e t cos( t + ) 1.35
2A0e- t
1x(t)
0
3 t
6
-1
Figura 1.10 donde la frecuencia del movimiento es:
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= 2 2 0
1.36
La figura 1.10 muestra como varia x(t) contra t. Aunque el movimiento es oscilatorio, no es estrictamente peridico debido a la disminucin de la amplitud. Como la amplitud del oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, la energa de la partcula tambin lo hace. La energa perdida es absorbida por el medio circundante o radiada de alguna manera. La energa total del oscilador es:E=2 1 dx m + 02 x 2 2 dt
y la rata temporal de cambio de E es: dE dx d 2 x = m 2 + 02 x dt dt dt
de la ecuacin 1.34 anterior se tiene
dx d2x 2 por lo tanto al reemplazar en la ecuacin 2 + 0 x = 2 dt dt dE = 2m dt dx dt 2
1.37
El signo menos indica disipacin de energa. En el instante t, la energa total E es2 1 dx (t ) E (t ) = m + 02 x (t ) 2 2 dt
En el instante t+T (un perodo despus).2 1 dx (t + T ) E (t + T ) = m + 02 x (t + T ) 2 2 dt
1.38
perox (t + T ) = A0 e ( t +T ) cos( (t + T )+ ) = A0 e t e T cos( t + ) = e T x (t ) 1.39
entonces
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dx (t + T ) dx (t ) T = e dt dt
1.40
que al reemplazarla en 1.38 se sigue E ( t + T ) = e 2 T E ( t ) 1.41
La energa, despus de un intervalo T tiene un valor e 2 T veces el que tenia al comienzo del intervalo. La energa se ha disipado, gradualmente el oscilador alcanzar el reposo. 1 La cantidad es conocida como tiempo de relajacin, tiempo necesario para 2 que la energa despus de cada perodo se reduzca a 1/e su valor (al comienzo del perodo). 1.6 OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA. Eventualmente, un oscilador amortiguado alcanzar el estado de reposo y su energa mecnica se habr disipado, a menos que una fuerza externa le proporcione energa mecnica. Por ejemplo, un muchacho puede columpiarse durante horas si su padre da ocasionalmente empujones al columpio en la direccin de su velocidad. Muchas de las oscilaciones que ocurren en la maquinaria o en los circuitos elctricos son oscilaciones forzadas, oscilaciones que se producen y se mantienen mediante una fuerza o influencia externa. La fuerza externa ms sencilla es aquella que en s misma oscila como un seno o un coseno. Supongamos que se aplica una fuerza FEx a un oscilador que se mueve a lo largo del eje x, como por ejemplo un bloque enganchado a un resorte. Entonces, la componente de la fuerza externa a lo largo del eje se puede escribir comoFEx = F0 cos f t
1.42
Donde F0 es el mdulo mximo de la fuerza y la componente de la fuerza oscila sinusoidalmente con frecuencia angular f . Generalmente, la frecuencia de la fuerza externa es diferente a la frecuencia natural 0 = k / m del oscilador, que es una frecuencia natural del sistema cuando no hay amortiguamiento ni fuerza externa. Si se incluye la componente de la fuerza dada por la ecuacin 1.42 en la segunda ley de Newton aplicada al oscilador armnico amortiguado, se tieneF0 cos f t kx bv = ma
1.43
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Esto es, estn actuando tres fuerzas: una fuerza externa, una fuerza restauradora, y una fuerza de amortiguacin. Dividiendo por la masa, se obtiene la ecuacin del movimiento F d2x dx 2 + 2 + 0 x = 0 cos f t 2 dt m dt2 Donde 0 =
1.44
k y = b/2m al igual que antes. m Las tcnicas para resolver la Ecuacin 1.44 estn ms all del alcance de este curso, sin embargo, se describen algunas caractersticas importantes de la solucin. La solucin es una suma de dos trminos. Uno se denomina solucin transitoria, y es la solucin para el oscilador armnico amortiguado discutido en la ltima seccin. La forma de esta solucin depende de las condiciones iniciales, pero finalmente se atenuar hasta cero y slo quedar el otro trmino, que se denomina solucin estacionaria. Esta es la solucin debida a la fuerza externa y persiste despus de que la solucin transitoria se ha atenuado. Se supone que el movimiento comenz con suficiente anterioridad, de modo que para t 0 solamente permanece la solucin estacionaria. La solucin estacionaria oscila con la misma frecuencia que la fuerza externa. Esta solucin tiene una amplitud fija o estacionaria A0 y una diferencia de fase E definida, con respecto a la fuerza externa. La solucin se puede verificar fcilmente, y que para todos los efectos ac esx = A0 cos( f t E )
1.45
DondeA0 = F0 / m2 ( 0 ) 2 + 4 2 2 f 2 f
tg E =
2 f2 0 2 f
La amplitud del movimiento, A0, es proporcional a la amplitud de la fuerza externa, F0.
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8=0.0 =0.1 =0.5 =1.0
A(wf )
4
A00 1
wf 2
3
Figura 1.11 La amplitud tambin depende de la frecuencia externa f . Esto es, el oscilador responde de forma distinta a fuerzas externas de la misma amplitud pero con frecuencias distintas. Para comprender esta respuesta, se supone que la frecuencia natural 0 es fija y la frecuencia externa f es variable. Para cada valor de 0 , se puede determinar la amplitud del movimiento A0 . Esta dependencia se muestra en la Figura 1.11 para varios osciladores con diferentes constantes de amortiguacin. Observe que la amplitud del movimiento es pequea tanto si f es mucho mayor como si es mucho menor que la frecuencia natural 0 . La amplitud es mxima cuando f 0 . En este caso la fuerza externa est aproximadamente en fase con la velocidad, de modo que esta fuerza realiza un trabajo positivo durante la mayor parte del ciclo. As pues, el oscilador puede recibir ms energa de la fuerza externa y alcanzar una gran amplitud. Obsrvese tambin en la figura que a medida que, el amortiguamiento disminuye la amplitud aumenta. Al drstico incremento en la amplitud del movimiento que se produce para f 0 se le denomina resonancia. La resonancia tambin puede ocurrir cuando un sistema oscilante est acoplado a otro sistema oscilante, siempre que las frecuencias sean parecidas. En efecto, el acoplamiento entre dos sistemas es mximo si tie-
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nen la misma o casi la misma frecuencia, de tal manera que, dependiendo de las circunstancias, la resonancia puede, o no, ser deseable. Por ejemplo, la estructura caracterstica de una guitarra permite un acoplamiento resonante entre la cuerda vibrante y el aire que vibra dentro de la caja resonadora del instrumento. Un receptor de radio o de televisin se sintoniza de tal forma que est en resonancia con la frecuencia de las seales que recibe. En cuanto los aspectos no deseables, cabe citar que en un sistema mecnico pueden aparecer vibraciones perjudiciales de gran amplitud si dicho sistema entra en resonancia. Un ejemplo espectacular fue el derrumbamiento del puente de Tacoma en 1940, donde la vibracin destructiva de gran amplitud ocurri como consecuencia de un acople resonante debido a vientos intensos. PROBLEMAS PROPUESTOS
OSCILACIONES1.1 La figura muestra un bloque de madera de dimensiones a, b y c, que flota en agua con la dimensin a vertical. Pruebe que el movimiento es armnico simple. Llame y ' las densidades del bloque y del agua, respectivamente.
Solucin:
El lado izquierdo de este dibujo muestra al bloque en equilibrio, de tal manera que una longitud d, desconocida, est sumergida, y una longitud a d est por encima del nivel del agua. A la derecha aparece el bloque levantado una cantidad y: ahora la longitud sumergida es d y. Procedemos a averiguar la incgnita d, en la situacin de equilibrio: la fuerza de Arqumedes debe igualar al peso total del bloque: ' bcdg = bcag, de donde: -1d= a '
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Ahora, para la situacin de no equilibrio escribamos la ecuacin de moviv v miento F = ma , reconociendo que hay dos fuerzas: la de Arqumedes hacia arriba, y el peso hacia abajo:
' bc ( d y ) g bcag = bca
d2y ; dt 2 d2y ' dg ag ' gy = a 2 dt
dividir todo por bc:
Ahora usar - 1 - en el primer trmino del lado izquierdo:
' gy = a
d2y dt 2
es decir:
d 2 y 'g + y=0 a dt 2Que se reconoce como la ecuacin del movimiento armnico simple, con frecuen 'g cia angular , es decir aP = 2
a ' g
1.2 Una partcula ejecuta un movimiento armnico simple con respecto al punto x = 0; para t = 0 tiene una elongacin x = 0.37 cm y una velocidad cero. Si la frecuencia del movimiento es 0.25 s-1, determinar a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la amplitud, d) la elongacin para un tiempo t arbitrario, e) la velocidad para cualquier tiempo t, f) la velocidad mxima, g) la aceleracin mxima, h) la elongacin para t = 3.0 s, i) la velocidad para t = 3.0s. Los datos son: -1-2-3-4-5-6-7x (0) = 0.37 cm. V (0) = 0. = 0.25Hz el MAS se describe en general as: x(t ) = A cos( t + ) dx = Asen( t + ) v(t ) = dt dv a (t ) = = 2 x = 2 A cos( t + ) dt = 2v
Apuntes de fsica II
24
-8-
P=
1 v
a) Con - 8 - y - 3 - encontramos P = (0.25 s-1)-1= 4 s. b) Con - 7 - y - 3 - encontramos = 2 ( 0.25 s-1) = 1.57 s-1. c) - 2 - indica que en t = 0 el oscilador tiene elongacin mxima, que es A. Entonces A = 0.37 cm. d, e) Segn - 5 - vemos que v es cero cuando el seno vale cero.sen( 0 + ) = 0 de donde = 0 , entonces - 4 - 5 - 6 - quedan :
x(t ) = (0.37cm)cos 1.57s -1 t - 10 - v(t ) = 0.58cm s 1 sen 1.57s 1 t - 11 - a (t ) = 0.91cm s 2 cos 1.57s 1 t -9-
( (
[
) [ ) [
]
] ]
f) Segn - 10 - la magnitud de la velocidad mxima ocurre cuando el seno vale uno: Vmx = 0.58 cm s-1 . g) Segn - 11 - la magnitud de la aceleracin mxima ocurre cuando el coseno vale uno: amx = 0.91cm s-2 h) Segn - 9 -: x(3s) = (0.37cm) cos[1.57 3] 3 = (0.37cm) cos 2 =0 i) De acuerdo con h), para t = 3 s se tiene que la fase total t + toma el valor 3 . Entonces - 10 - queda: 2v(3s ) = (0.58cm s 1 )sen 3 = 0.58cm s 1 = v mx. 2
1.3 Una partcula tiene movimiento armnico simple con amplitud 2 metros y perodo 1 segundo. Halle la velocidad cuando la partcula est a un metro de distancia de la posicin de equilibrio.x(t ) = A cos( t +
2
)
pero =
x(t ) = (2m) cos(2s 1 t +
2
2 ; A = 2m. P
)
Apuntes de fsica II
25
v(t ) = (4m s 1 )sen(2 s 1 t +
2
)
Hallemos el valor de la fase 2s 1t +(2m) cos(2 s 1 t + 2s 1 .t +
2
cuando x(t) = 1m:
2
) = 1m
es decir cos( 2 s 1 t +
2
)=
2
=
3
1 : 2
,
entonces:
v(t ) = (4m s 1 )sen
3
= 10.88m s 1
Podemos tambin resolver este problema usando la ley de la conservacin de la 1 1 energa; E = mv 2 + m 2 x 2 . 2 2 Cuando la partcula est en el punto de mximo desplazamiento, toda su energa es potencial: -1E= 1 m 2 A 2 2 A la energa se escribe as: 22
Cuando pasa por x =
1 1 A E = mv 2 + m 2 . Igualar esto con - 1 -: 2 2 2 1 2 1 1 A mv + m 2 = m 2 A 2 , de donde 2 2 2 2 3 v 2 = 2 A 2 , es decir 4 3 v= A = 2 3 ms 1 = 10.88ms 1 . 22
1.4 Dos resortes estn unidos entre s, y a una masa m, como se muestra en la figura.
Apuntes de fsica II
26
Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen constantes k1 y k2, k1 k 2 1 . demostrar que la frecuencia de oscilacin es 2 (k1 + k 2 )m
La figura superior muestra el sistema en equilibrio, cuando los dos resortes tienen su longitud natural. La figura inferior muestra el sistema en un instante en que el resorte 1 tiene un alargamiento x1 y el resorte 2 tiene un alargamiento x x1: -1resorte 1 tiene alargamiento x1 -2resorte 2 tiene alargamiento x x1 Las figuras muestran el punto de empate E, el cual se supone que tiene masa v v cero. La ley de Newton F = ma dice que sobre un punto de masa cero la fuerza total es cero; vemos pues que la fuerza total sobre E es cero, y esto con -1-2dice: k1 x1 = k 2 ( x x 2 ) , con F1 = k1 x1 y F2 = k 2 ( x x1 ) (ver figura). Donde: k2 x x1 = -3k1 + k 2 De otro lado, sobre m se ejerce la fuerza del resorte 2, y entonces - 2 dice que: Fuerza sobre m es F2= k2 (x x1) ma = k2 (x x1) usar - 3 2 kk d x = 1 2 x , pero a = 2 k1 + k 2 dt
Apuntes de fsica II
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d 2 x 1 k1 k 2 + x=0 dt 2 m k 1 + k 2
Esta es la frmula que identifica al movimiento armnico simple; reconocemos la frecuencia angular : -42 =k k 1 1 2 , m k1 + k 2
entonces
=
1 = 2 2
k1 k 2 m ( k1 + k 2 )
Cuando hay un solo resorte de constante k se tiene 2 = con - 4 - vemos que el sistema de dos resortes k1 y k2 equivalente a un solo resorte con una k dada pork =
k , y al comparar esto m conectados en serie es
k1 k 2 , que tambin se escribe as: k1 + k 2
1 1 1 = + k k1 k 2
1.5 Dos resortes de constantes k1 y k2 estn unidos a una masa m, y sus extremos libres se unen a dos soportes fijos, como se muestra en la figura. Las superficies carecen de rozamiento. Demostrar que m tiene movimiento armnico simple, hallar el perodo. El dibujo superior muestra la situacin en equilibrio, en esta condicin la fuerza total sobre m es cero:
Apuntes de fsica II
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El dibujo inferior muestra un instante en que las longitudes de los resortes se han deformado x. Las variables x, v y a significarn la posicin, velocidad y aceleracin de la masa m; en la situacin del dibujo inferior escribimos la energa total: -1E=1 1 1 k1 x 2 + k 2 x 2 + mv 2 2 2 2
A la ecuacin - 1 - le tomamos la derivada temporal, y aparece porque la energa se conserva:
dE , que es cero dt
0 = k1 xv + k 2 xv + mvaDividir ambos lados por v se obtiene : ma + (k1 + k2)x = 0, d 2 x k1 + k 2 + x=0 m dt 2 Esta es la frmula que identifica al movimiento armnico simple; reconocemos la frecuencia angular : -22 =k1 + k 2 , m
es decir:
entoncesk1 + k 2 m
v=
1 = 2 21 = 2 v
P=
m k1 + k 2
Apuntes de fsica II
29
k , y al comparar esto con m - 2 vemos que este sistema de dos resortes es equivalente a un solo resorte con una k dada por k = k1 + k2
Cuando hay un resorte de constante k, se tiene 2 =
Este problema tambin se puede resolver estudiando directamente las fuerzas que actan sobre m. Bosquejaremos rpidamente la idea : Sobre m actan dos fuerzas recuperadoras debidas a las deformaciones x de los resortes de constantes elsticas k1 y k2, dadas por F1 = k1 x y F2 = k 2 x respectivamente, por lo tanto la fuerza neta sobre la masa es: m d 2x = k1 x k 2 x = ( k1 + k 2 ) x dt 2
-3-
d 2 x k1 + k 2 + x=0 m dt 2
y esta ecuacin coincide con las ecuaciones desarrolladas a partir de la conservacin de la energa; basta entonces repetir a partir de 3- el mismo proceso desarrollado desde 2-.
1.6 Un cilindro macizo de radio R y masa m puede rodar sin resbalar sobre una mesa horizontal, como muestra la figura.
La constante k del resorte es 3.0 N m 1 . Si se suelta el sistema a partir del reposo en una posicin en la cual el resorte est estirado 0.25 metros, encontrar la energa cintica de traslacin y la energa cintica de rotacin del cilindro en el instante en que pasa por la posicin de equilibrio. Demostrar que el centro del cilindro eje3m cuta movimiento armnico simple con periodo P = 2 . 2k Llamamos la velocidad angular de cilindro, y x, v, a la posicin, velocidad y aceleracin del centro de masa del cilindro; el momento de inercia respecto al eje
Apuntes de fsica II2
30
R del cilindro es I = m . La condicin de rodar sin deslizar se expresa como 2 1 2 v v = R , es decir = ; como la energa cintica de rotacin es I , teneR 2 mos:
1 1 R v 1 E. cin. rot. = I 2 = m = mv 2 2 2 2 R 4E. cin. transl. =1 mv 2 . 2
2
2
La energa total es
E=
-1-
1 2 kx + E. cin. rot + E. cin. transl. 2 1 3 = kx 2 + mv 2 2 4
En la situacin inicial x = xmax y v = 0 y - 1 - da: -2E=1 2 kx max 2
En la situacin final x = 0 y v = vmax y - 1 - da: -3E=3 2 mv max 4
Por la ley de la conservacin de la energa, igualar - 2 - y - 3 -:1 2 1 2 1 1 mv max = kx max = 3 (0.25) 2 J = J 2 3 3 16
E. cin. rot. mx. =
1 2 1 mv max = J 4 32 1 2 1 mv max = J 2 16
E. cin. transl. mx. =
Para probar que se trata de movimiento armnico simple le tomamos la derivada dE temporal a la ecuacin - 1 -, y aparece , que es cero porque la energa se dt conserva:
Apuntes de fsica II
31
0 = kxv +
3 mva 2
dividir ambos lados por v y hacer a = d 2 x 2k + x=0 dt 2 3m
d 2x : dt 2
Que se reconoce como la ecuacin del movimiento armnico simple con frecuen2k 3m , es decir, con perodo P = 2 . cia angular = 3m 2k
1.7 Un disco slido de radio R se cuelga de un eje horizontal B a una distancia h del centro como muestra la figura. Calcule la longitud del pndulo simple equivalente l. Cul debe ser el valor de h para minimizar el periodo?.
Solucin: El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto al eje B es I h = mh 2 + I 0 , donde I0 es el momento de inercia respecto al eje del disco1 1 2 1 2 2 2 2 I 0 = mR ; entonces I h = mh + mR = m h + R . El radio de giro k se 2 2 2 2 define de tal modo que I h = mk : 1 mk 2 = m h 2 + R 2 , 2 1 k 2 = R2 + h2 2
es decir
Sabemos que el perodo del pndulo compuesto es
k2 P = 2 , gh
es decir:
Apuntes de fsica II
32
P (h) = 2
R2 + h2 2 gh
Un pndulo simple de longitud l tiene perodo 2 encontramos l:
l ; igualando esto a P(h) g
R2 + h2 l= 2 hd2p dp Para hallar mximos y mnimos tomar y : dh dh 2
R2 1 2 dp 2h = -1dh g R2 2 2 +h h
-2-
d p = dh 2
2
R 1 2h 2 g R2 2 +h h 2 h3 2
R 2
2 3 g R2 2 2 2 +h h
g
Los mximos y mnimos de P ocurren cuando el numerador de - 1 - sea cero; pero vemos que cuando el numerador de - 1 - es cero entonces el segundo trmid2p no de - 2 - es cero y en consecuencia > 0 : concluimos as que hay P mnidh 2 R . mo cuando el numerador de - 1 - sea cero: P es mnimo para h = 2R2 + h2 2 hg
Pmin = 2
evaluando en h =
R 2
= 2
2R g
Apuntes de fsica II
33
En esta curva P versus h, despus de pasar por el mnimo de la curva asciende muy lentamente: P( R) 1.03 R P 2
slo asciende 3%
1.8 Un pndulo simple, en el vaco, tiene un perodo P0 = 2 s y amplitud 2. Luego se sumerge en un fluido y se nota que despus de 10 oscilaciones su amplitud se ha reducido a 1.5. Hallar la constante de amortiguamiento . Antes de sumergirlo en el fluido la amplitud es 2, constante, y la frecuencia 2 angular 0 es = s 1 ; al sumergir el pndulo en el fluido ocurren dos modifiP0 caciones: primero que todo la amplitud decrece exponencialmente segn 2 e t y, segundo, la frecuencia angular toma el valor2 0 2 = ( s 1 ) 2 2 . Para
este nuevo valor de la frecuencia angular hallar el perodo P: -1P= 2 ( s 1 ) 2 2
Sabemos que cuando han pasado diez perodos P, la amplitud es 1.5:2 e 10 P = 1.5
Apuntes de fsica II
34
e 10P =
1 .5 3 = . 2 4
Tomar logaritmo natural a ambos la-
dos:3 10P = ln . 4
Pero ln
3 = 0.29 : 4
-2-
10P = 0.29
Para resolver - 2 - utilizar - 1 - : -3dos: -4P= 20 = 0.29 s
s 2 22
Elevar al cuadrado a ambos la-
[(20 ) 2 + (0.29) 2 ] 2 = (0.29) 2 2 s 2 .
En el lado izquierdo de - 4 - comparemos numricamente los dos sumandos: (20 ) 2 = 3947.8 , mientras (0.29) 2 = 0.08 , es decir (0.29)2