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8/18/2019 TXTMATBASUNAC.IMPRESIONdoc

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NOLAN JARA JARA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS - UNAC 1

RELACIONES Y FUNCIONESPRODUCTO CARTESIANOSi tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el productocartesiano de los dos conjuntos. Se escribe:AxB

RELACIÓNSe llama relación R entre los elementos de los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios otodos los que forman parte de A x B. por lo tanto:R⊂ AxB .Dados dos conjuntosA y B (≠φ) R es una relación deA enB siR ⊂ A x BA x B {(a,b)/a∈A b∈B} Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva,simétrica y transitiva.Propiedad reflexivaUna relación es reflexiva si todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo.

aRaPropiedad simétricaUna relación es simétrica si cada vez que un elemento está relacionado con otro, éstesegundo también está relacionado con el primero.aRb bRa⇔ Propiedad transitivaUna relación es transitiva si cada vez que un elemento está relacionado con otro, y esteestá a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con eltercero.

aRb bRc aRcSi ∧ ⇒ Relación de equivalencia

Una relación de equivalencia es aquella que cumple las propiedades reflexiva, simétrica ytransitiva.

Elementos de una relación

Elconjunto de salida A es aquel del cualsalen las flechas que representan la relación.


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Elconjunto de llegada B es aquel al cualllegan las flechas que representan la relación.

ElDominio es el conjunto de losprimeros elementos de cada par ordenado. De cadaelemento del dominio salepor lo menos una flecha. El Dominio es un subconjunto delconjunto de salidaA, ya que algunos elementos de la salida pueden no formar parte de la

relación.

Dom (R) {a∈A / aRb (a,b)∈R}; Dom (R)⊂ A


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ElCodominio o Rango es el conjunto de lossegundos elementos de cada par ordenado.En una relación, a cada elemento del codominio llegapor lo menos una flecha. ElCodominio o Rango es un subconjunto del conjunto de llegada, ya que algunos elementodel conjunto de llegada pueden no formar parte de la relación.

Ran (R) {b∈A / aRb (a,b)∈R} Ran (R)⊂BRESUMIENDO

Dados dos conjuntos A y B (≠φ) R es una relación de A en B siR ⊂ A x BA x B={(a,b)/a∈A ; b∈B} Dominio y Rango de una RelaciónDom (R) ={a∈A / aRb; (a,b)∈R}; Dom (R) ⊂ ARan (R) ={ b∈A / aRb; (a,b)∈R}; Ran (R) ⊂B

Ejemplo. Sean: A={1,3,5,7,9} ; B={2,4,6,8} ; R={(a,b)∈ AxB / a+b≤ 7} R ={(1,2); (1,4); (1,6); (3,2); (3,4); (5,2)} ⊂ AxBDom (R)={1, 3, 5} ⊂ A ; Ran (R)={2, 4, 6} ⊂ B

Observación. Si A= B= R ⇒ AxB= R x R= R 2 R 2 = {(x,y)/x∈ R, y∈ R }… Plano Cartesiano

A BR

Dom R Ram R

CONJUNTOPARTIDA

CONJUNTOLLEGADA


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Ejemplos1. Si R= {(x,y)∈ R 2/ x+y≤ 7}

y

¿(0,0)∈R?0+0 < 7..... (v)⇒ (0,0)∈ R x+y=7

Dom (R): x∈ R ; Ran (R): y∈ R

2. Sea R= {(x,y)∈ R 2 / (x-5)(y-4)=0}R: x-5=0 v y-4=0 R: x=5 v y=4 x=5Dom (R): x∈ RRan (R): y∈ R

x(0,0)

3. Sea R= {(x,y)∈R 2/ x∈ [-1,2] ; y∈[1,3] }

4. R= {(x,y)∈ R 2 / x y+ ≤ 2}R: 2 2 x y x y+ ≤ ∧ + ≥ −

R

(0,0)x

yy=4

R

y

2x

-1

y=3

y=1


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5. Sea R= {(x,y)∈R 2 / |x| + |y|≤ 2}

|x| = x, x≥ 0-x, x < 0

|y| = y, y≥ 0-y, y < 0

R: |x| + |y|≤ 2 ..... (*)

1) Si x≥ 0∧ y≥ 0⇒ x + y≤ 22) Si x≥ 0∧ y < 0⇒ x - y≤ 23) Si x < 0∧ y≥ 0⇒ -x + y≤ 24) Si x < 0∧ y < 0⇒ -x - y≤ 2

Graficando: (0,0)∈R

Dom (R): x∈ [-2,2] ; Ran (R): y∈ [-2,2]

6. Sea R= {(x,y)∈ R 2 / x≤ y ≤ x3}R: y≤ x3 ∧ y≥ xIntersecando las líneas: y = x∧ y= x3⇒ x(x2-1)= 0 ⇒ x = {-1, 0, 1} ; y = {-1, 0, 1}

y

x-x+y=2

(0,2)x+y=2

(2,0)(-2,0)

-x-y=2x-y=2

(0,-2)

R


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Dom ( R): x∈ [-1, 0] U [1,∞ > ; Ran (R): y∈ [-1, 0] U [1,∞ >

7. Sea R ={(x,y)∈R 2 / 8≤ x2 + y2 ≤16, |x| + |y|≤ 4}. Hallar el área de la región RR: x2 + y2 ≤ 16∧ x2 + y2 ≥ 8∧ |x| + |y|≤ 4

Dom (R): x∈ [-4, 4] ; Ran (R) : y∈ [-4, 4] ; A(R)= 32 - 8π

8. Sea R = { (x,y)∈ R² / 2x ² – 3xy ² + y4 < 0}R: 2x ² – 3xy ² + y4 < 0 2 2( )(2 ) 0 x y x y⇔ − − <


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2 2 2 2

2 2 22 2 2

(( ) 0 (2 ) 0) (( ) 0 (2 ) 0)

( ) ( )2 2 2

x y x y x y x y

y y y x y x x y x x y

⇔ − > ∧ − < ∨ − < ∧ − >

⇔ > ∧ < ∨ < ∧ > ⇔ < <

y

0 x

Problema: Hallar el dominio rango y graficar la siguiente relación:R = {(x,y)∈ R 2 / 5x2 – 6xy + 5y2 -32≤ 0}PROBLEMAS

Hallar el dominio de las siguientes relaciones:y2 – y2x3 – x = 04x2 – y² - 8x – 4y – 4 = 0y² - xy² - 4x = 0Hallar el dominio rango y graficar las siguientes relaciones:R = { (x,y) € R² / x²y – x² - 4y = 0}R = { (x,y) € R² / x² - xy – 2x + y +2 = 0 }R = { (x,y) € R² / xy² - y² - 4x = 0 }R = { (x,y) € R² / xy² + 4x + 4y² - 5 > 0 }R = { (x,y) € R² / (x-1)/y-1/ = x }R = { (x,y) € R² / x² - 6x – 4y + 21 > 0 }

R = { (x,y) € R² / 6x²+xy – y² +6x +3y < 0}R = { (x,y) € R² / 8


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DefiniciónSe llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le correspondesólo un elemento y del codominio.Esto se expresa: y = f (x) o f x y → Se observa que:De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha. Decada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.


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GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden representar los gráficos de las relaciones y funciones enforma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el ejehorizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos

del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del producto cartesiano que pertenecen a la relación o función generándose así el grafico dela relación o función dada.

En este tipo de gráficos pueden representarse distintasvariables en función del tiempo: Cada punto del gráfico nos permite conocer la situaciónde la variable en un instante determinado.Las líneas nos permiten conocer la evolución de la variable en el transcurso del tiempo.

Ejemplos1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no unafunción.( justifique su respuesta )

a){ }(2 1, ) /t t t R+ ∈ b){ }(3 ² 1, ) /t t t + ∈ℜ

Solución:a)

b)

2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descenderautomáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura)

Se da la temperaturaT en grados centígrados en función del tiempot (de 0 a 24 horas).Se pide:a) EstimarT (5) yT (16). b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) =T (t-1).

¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) =T (t)-1.

¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

2 1 x t = +1

; ( ) es función2

x y t t R y f x

−= ∈ ⇒ = =

23 1 ;

x t

y t t

= += ∈

2 13 1 no es función3

x x y y

−= + ⇒ = ±


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( )T t =

16 ; 0 6 6 20 ; 6 7 ; 16 22 22 ; 7 20

6 142; 20 21 ; 16 22 16 ; 21 24

si t

t si t T

si t

t si t T

si t

≤ <− ≤ < ≤ <

≤ <− + ≤ < < ≤

≤ ≤

( ) ( 1) H t T t = − =

16 ; 1 7 6 26 ; 7 8 ; 16 22 22 ; 8 21

6 148; 21 22 ; 16 22 16 ; 22 25

si t

t si t H

si t

t si t H

si t

≤ <− ≤ < ≤ <

≤ <− + ≤ < < ≤

≤ ≤

T

tSolución:

a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C

b)

Los cambios de temperatura ocurren una hora después.H

t

3 9 12

10

6 15 18 21 24

22

16

28(7,22) (20,22). .

3

9

12

10

6

15 18 21 24

22

16

28

(8,22) (21,22)

(1,16) (25,16)


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( ) ( ) 1 J t T t = −

15 ; 0 6 6 21 ; 6 7 ; 15 J


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A V=(50,3750)

x(100,0)

5) Un pequeño empresario ha determinado que el costo de fabricar 1000TERMOSTATOS semanalmente es de 9000 dólares y que 1500 TERMOSTATOS le

cuestan 12000 dólares: exprese el costo como función del número de TERMOSTATOSfabricados, suponiendo que es lineal. Trace la grafica. ¿Cuál es la pendiente de la graficay que representa? ¿Cuál es la intersección con el eje Y y que representa?6) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y

que soporta una capacidad de 1000, es p(t) = t e −+900100100000

Donde t se mide en años. Grafique esta función y estime cuanto tarda la población enllegar a 900. Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. Use lafunción inversa para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900.7) Un granjero decide vallar un terreno rectangular adyacente a un río. Dispone de 100metros de valla y el lado que da al río no precisa valla.

Expresar el área A del terreno como función de la longitud x de los lados paralelos al río.¿Cuál es el dominio de A?Dibujar la función A( x) y estimar las dimensiones que proporciona el área máxima delterreno.

Problemas desarrollados1) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una

función.( justifique su respuesta )a){ }(2 3 , ) /t t t R− ∈ b){ }(3 2 ², ) /t t t R− ∈

Solución:

b)

b)

2 3 x t = −2 ; ( ) es función

3 x

y t t R y f x−= ∈ ⇒ = =

23 2 ;

x t

y t t R

= −= ∈


x x y y

−= − ⇒ = ±


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( )T t =

18 ; 0 4

6 6 ; 4 5 ; 18 24

24 ; 5 21

6 150; 21 22 ; 18 24

18 ; 22 24

si t

t si t T

si t

t si t T

si t

≤ <− ≤ < ≤ <

≤ <− + ≤ < < ≤

≤ ≤

( ) ( 1) H t T t = − =

18 ; 1 5 6 12 ; 5 6 ; 18 24 24 ; 6 22156 6 ; 22 23 ; 18 24 18 ; 23 25

si t

t si t H

si t

t si t H

si t

≤ <− ≤ < ≤ <

≤ <− ≤ < < ≤

≤ ≤

2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descenderautomáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura)Se da la temperaturaT en grados centígrados en función del tiempot (de 0 a 24 horas).Se pide:

d) EstimarT (3) yT (15).e) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) =T (t-1).¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

f) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) =T (t)-1.¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

T

t

Solución:

c) T(3) = 18º C; T(15) = 24º C

d) .

Los cambios de temperatura ocurren una hora después.

2

6

…

10

4

… 20 22 24

24

18

32 (5,24) (21,24)


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( ) ( ) 1 J t T t = −

17 ; 0 4 6 7 ; 4 5 ; 17 J


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2 21 1( ) (120 ) ( ) ( 60) 36002 2

A x x x A x x = − ⇒ = − − −

A(x) = 1800 -

( ) max1 60 ² 1800 1800 ²2

x A u− ≤ ⇒ = ; cuando x = 60 u ; y = 30 u.

A V=(60,1800)

x(120,0)

4) en los ejercicios a y b , determinar si el conjunto de pares ordenados es o no unafunción.( justifique su respuesta )a){ }(2 1, ) /t t t R+ ∈ b){ }(3 ² 1, ) /t t t R+ ∈

Sol:

2 1 x t = +1 ; ( ) es función

2 x y t t R y f x−= ∈ ⇒ = =

23 1 ;

x t

y t t R

= += ∈


x x y y

−= + ⇒ = ±


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1002 100 ; 0 100

2 x

x y y x−+ = ⇒ = < <

2 21 1( ) (100 ) ( ) ( 50) 25002 2

A x x x A x x = − ⇒ = − − −

6) Sea:≥


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8) Hallar el Dominio de la función1 2

( ) ² 1 x

f x x

− −

= − Solución:a)

2

2 2

1 2( )

1( ) : /1 2 0 1 0 2 1 11 3 ( 1 1) 1,3]... ( )

x f x

x

D f x x x x x

x x x x D f

− −=

−∈ℜ − − ≥ ∧ − > ⇒ − ≤ ∧ >

⇒ ≤ ≤ ∧ < −∨ > ⇒ ∈ <

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADAf: R→ R / f(x)=√xDom (f): x≥ 0 ; Ran (f) : y≥ 0

x

A

v = (50,1250)


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Ejemplo: x y x xg −−=−−= ;)( • ( ) / ( ) Dom g x R y x R= ∈ = − − ∈

00 ≤⇒≥− x x

• ( ) ( ) / 0 Ran g y x R x= = − − ∈ ≤ 000 ≤−−⇒≥−⇒≥− x x x

y 0≤

FUNCION VALOR ABSOLUTOf: R + R / f(x)= / x / ; ( y = / x / )Dom ( f ) : x∈R ; Ran ( f ) : y 0≥

x

y

g =-√-x


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FUNCIÓN POLINOMIAL

f: R + R / f(x)= ao xn + an-1 xn-1 +.....+ an, a 0 ≠ 0, n∈ Z+ Dom (f): x∈R

Obs: (1)Sea f(x)= x2n; x∈R ; n∈Z+ Ran(f): y = x2n = (xn)2 ≥ 0 ∀ x∈R ⇒ y ≥ 0

Observación (2):Sea g(x)= x2n+1; x∈R ; n∈Z+ Ran(f): y = x2n+1 x= (x2n x)∈R⇒ y∈R . (Si x≥ 0⇒ y ≥ 0; si x


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( ) : / 01( ) : 0.... ( ) 0 0... ( )

Dom f x R x

Ran f x Dom f y Ran f x

∈ ≠

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠

Gráfico:x→ y→

- ∞ + 0

- 2- 1/2

- 1- 1

- 1/2- 2

→ 0-

→ - ∞ → 0+

→ ∞ 1/22

11

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

x

y

y (x,y)=(cost, sent)

(-1,0)=(cosπ, senπ)

x2+y2=1

1

xt

(0,-1) 3 3(cos , )2 2

senπ π =


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FUNCIÓN SENO:

f: R → R/ f(x) = senx (y = senx)Dom ( f ): x∈RRan f: y∈ [-1,1]

Sen(-x) = -sen(x)Sen(x+2π)= senx 2π = Período

FUNCIÓN COSENO:f: R → R/ f(x) = cos(x) ; y = cos(x)Dom (f): x∈ R ; Ran f: y∈ [-1,1] Cos(-x) = Cos(x) ; Cos(x+2π) = Cos(x) ; 2π = Período


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FUNCIÓN EXPONENCIALf: R → R/ f(x) = ax ; ( y = ax ) ; a>0∧ a≠1Dom(f): x∈ RRan(f): y = ax >0; y > 0

→0, Si x→ ∞ 1º) Si 0


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FUNCIÓN LOGARITMOf: R→ R/ f(x) = loga x ; ( y = loga x ) ; a>0; a≠1Dom(f): x>0Ran(f): y∈R

1º) Si 0


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FUNCION: PAR – IMPAR Y PERIÓDICA:Sea f:R→R / y=f(x)1º) f es par⇔ f(-x) = f(x),∀ x, -x∈ Dom(f)

El gráfico de f es simétrico al eje y2º) f es impar⇔ f(-x) = -f(x),∀ -x, x∈ Dom(f)

El grafico de f es simétrico con respecto al origen.3º) f es periódica Sii: f(x+p) = f(x)∀ x, x+p∈ Dom(f)P: Período; P>0

Ejemplo.1) Sea 1log)( 2 ++= x x x f a ¿f es impar?Dom ( f ): x∈Rf(-x) = -f(x)∀-x, x∈ Dom(f)

x x x f a −+=− 1log)( 2 Racionalizando

f ( -x )

++= 11

log 2 x xa ( )

2

log 1a x x= − + + )( x f −=

2) Sea 2 24 4( ) , ( )

1 1 x x

h x y x x

= =+ +

R x∈ … Dom(h)

24( ) : ( ) / ( )

1 x

Ran h y R x Dom f x

= ∈ ∈+

( ) 0441 22 =+−⇒=+ y x yx x y x 24 16 4

2 y

x y

± −=


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22 4 y x R

y

± − = ∈ ⇔ 24 0 0 4 0 y y y y− ≥ ∧ ≠ ⇔ ≤ ∧ ≠ ⇔ 022 ≠∧≤≤− y y

Pero si 0)0(0 ==⇒= y f x

[ ]2,2−∈∴ y

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Sean f,g: R→ R

( ){ } Domf x x f y R y x f ∈=∈= ),(/, 2

( ){ } Domg x xg y R y xg ∈=∈= ),(/, 2

1º) f=g⇔ Dom(f) = Dom(g) y f(x) = g(x)∀x∈ Dom( f )Ejemplo:

( )( )51)( −+= x x x f ( ) 1 5g x x x= + −

Solución:∞∪−−∞∈ ,51,:)( x f Dom

( ) : 5, Dom g x∈ ∞ > Dom ( f )≠ Dom ( g ) f ≠g

2º)( ) ( ){ }2, / ( ) ( ); f g x y R y f g x f x g x x Domf Domg± = ∈ = ± = ± ∈ ∩

3º)( ) ( ){ }2, / ( ) ( ) ( ), fg x y R y fg x f x g x x Domf Domg= ∈ = = ∈ ∩

4º)

( ) ( )2 ( )/ , / / ( ) ; / ( ) 0( )

f x f g x y R y f g x x Df Dg x g x

g x

= ∈ = = ∈ ∩ − =

)()( g Dom f Domg f

Dom ∩=

tal que g(x)≠0


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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si f,g: R→R(fog)(x) = f(g(x)) ; fog∃⇔Dom(fog)≠0

{ }( ) / ( ) ( ) ( ) Dom fog x R x D f g x D f = ∈ ∈ ∧ ∈ { }( ) / ( ) ( ) x Dom g g x Dom f = ∈ ∈ Generalmente: fog≠ gofEjemplo:1) Sean f(x) = 3x-5, 0≤ x ≤ 6

x2-2x ; -1≤ x ≤ 2 …. g1 g(x)=

√x ; 2 < x≤ 4 … g2 ¿f+g?Solución

)1)....(()()( 2121 g f g f gg f g f +∪+=∪+=+

* [ ]2,0)()()( 11 =∩=+ g D f Dg f D ∃+⇒ )( 1g f D

)()()( 11 xg x f xg f +=+ 5253 22 −+=−+−= x x x x x

)2.....(20;5)( 21 ≤≤−+=+→ x x x xg f

** ]4,2)( 22 =∩=+ Dg Df g f D ∃+⇒ 2g f

x x xg f +−=+ 53)( 2

)3.....(42;53)( 2 ≤


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42;53 ≤


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Donde: f-1 = (y,x)∈BxA / x∈Domf Tal que: Dom ( f ) = Ran (f-1)

Ran( f ) = Dom (f-1)Una forma práctica para hallar la función inversa de f ( f-1) consiste:A partir de y = f(x) intercambiar variables obteniéndose x = f (Y)

Luego despejamos Y ; Y = f-1

(x)Propiedades:(f -1) -1 = ff o f-1= f -1o f = I …función identidad(f o g)-1 = g-1 o f -1 Ejercicios:1. Sea 2( ) ( 1) f x ln x x= + + Hallar f-1 Si ∃

Solución:f -1 ∃ si f es inyectivaf es inyectiva si y solo si: f(x1) = f(x2)⇒x1 = x2∀x∈Dom( f ) = R

En efecto: Si )()( 21 x f x f = 2 2

1 1 2 2( 1) ( 1)ln x x ln x x⇒ + + = + + 2 2

1 1 2 21 1 x x x x⇒ + + = + + ⇒22

122

221 )11()( +−+=− x x x x

2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 22 1 1 2 ( 1)( 1) x x x x x x x x⇒ − + = + + + − + + 2 21 1 2 22 0 x x x x⇒ − + = ⇒ 21 2( ) 0 x x− = ⇒ 1 2 1 20 x x x x− = ⇒ =

∴ f es inyectiva⇒ ∃ f -1 A partir de: 2( 1) y ln x x= + +

x Y Y, Y = f-1(x)2

( 1) x ln Y Y = + + ⇒2 2 2 2

1 ( ) ( 1) x x

e Y Y e y Y = + + ⇒ − = + 2 2 22 1 x xe e Y Y Y − + = + ⇒ 1; ( )

2

x xe eY Y f x

−−−= =

)(2

)(1 xSenhee x f x x

=−=∴−

−

1

2

2; 2...2. ( )

; 4... x x x f

Sea f x x x x f

+ + >=

− − < −

Hallar f-1 si∃

Solución.∃ f-1

⇔ i) f es inyectivaii) Ran( f 1 )∩ Ran( f 2 ) =φ i) f es inyectiva si y solo si f 1 y f 2 son inyectivas

• f 1 es inyectiva si y solo si f 1 (x1) = f 1(x2)⇒ x1 = x2∀ x > 2 …. D(f 1)en efecto, si f 1 (x1) = f 1(x2)

1 1 2 22 2 x x x x⇒ + + = + + ⇒1 2 1 es x x f inyectiva= ⇒ • f 2 es inyectiva si y solo si f 2 (x1) = f 2(x2)⇒ x1 = x2 ∀ x < - 4 …. D(f 2)

en efecto, si f 2 (x1) = f 2(x2)


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NOLAN JARA JARA


………….

inyectivaes f x x 221 ⇒=

ii)

• Ran (f1): ,2)(1 ++== x x x f y )()(,2 111 −==∞∈ f R f D x 1

1 14, ( ) ( ) y R f D f −

∈ ∞ = = • Ran (f2): 12 2 2( ) ; , 4 ( ) ( ) y f x x x x D f R f −= = − − ∈ −∞ − = =

12 2, 6 ( ) ( ) y R f D f

−∈ −∞ − = =

Como 4,∞ ∩ -∞,-6 = φ De ( i ) y ( ii ) f-1 existef = f 1 ∪ f 2 ⇒ f -1 = f 1-1 ∪ f 2-1 a) ¿ f 1-1?

A partir 2)(1 ++==

x x x f y x y y, y = f 1-1(x)

2 22 2 2 x y y y x xy y= + + ⇒ + = − + 02)12( 22 =−++−⇒ x y x y

2 1 4 92

x x y

+ − +⇒ =

1

1

2 1 4 9( ) ; 4,2

x x f x x

− + − +∴ = ∈ ∞

b) ¿ f 2-1? x x y −−= y y x −−=

2 22 1 (2 1) 42

x x x y

− + − −⇒ =

1

2

2 1 1 4( ) ; 62

x x y f x x−

− + −= = < −

2 1 4 9 ; 42

x x x

+ − + >

)(1 x f − =

6;2

4112 −


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NOLAN JARA JARA


LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REALBola abierta de centro xo y radio δ . Se define y denota:

{ }( , ) / ; 0o o B x x R x xδ δ δ = ∈ − < > o o x x x xδ δ δ − < ⇔ − < − < o o x x xδ δ ⇔ − < < +

, .... ( , ) :o o o x x x B xδ δ δ ∈ − + Entorno o vecindad del punto Po = xo

xo – δ xo + δ

Bola reducida de centro xo y radio δ . Se define o denota:{ }´( , ) / 0o o B x x R x xδ δ = ∈ < − <

{ }(́ , ) ( , )o o o B x B x xδ δ ⇒ = − (́ , ) : , ,o o o o o B x x x x x xδ δ δ ∈< − >∪ < + >

xo – δ xo + δ

Punto de acumulación. Sea D R⊂ y xo ∈R ( xo no necesariamente pertenece a D)xo es un punto de acumulación del conjunto D Si toda bola reducida de centro xo yradio δ ( δ >0) interceptada con el conjunto D es diferente del vació, es decir B´(xo, δ)∩ D≠ φ

(́ , )o B x Dδ ϕ ∩ ≠ xo: Punto de acumulación del conjunto D.

1 1´( , ) B x Dδ ϕ ∩ ≠ x1: Punto de acumulación del conjunto D.

2 2´( , ) B x Dδ ϕ ∩ = x2: no es punto de acumulación.

δ δ

xo R

δ δ

xo R

B´(xo,δ)

xo-δ xo+δ x o x2 x1

x2-δ2 x2+δ2 x1-δ1 x1+δ1 R

D


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NOLAN JARA JARA


Ejemplo:

0 : D∉ Punto de acumulación de D

D∈1 ; 1 no es punto de acumulación de D

Límite de una función en un punto. Propiedades.Definición (Limite finito)Sea : / ( ) f D R R y f x⊂ → = ; xo punto deacumulación del conjunto D, entonces:lim ( ) 0, 0;( ( ))

o x x f x L ε δ δ δ ε

→= ⇔ ∀ > ∃ > = Tal que ε


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1 1

2 2

( )

( )

f x L x x

f x L x x

ε δ

ε δ

− < ⇔ − <− < ⇔ − <

Observación: Si0

lim ( ) x x

f x→

∃ es único

Definición (Limite infinito)

Interpretación geométrica

L+ε

L- ε

L

f(x 2)

f(x 1)

x 0+ δ x x 2 x 1 x 0- δ

y

x

C: y=f(x)

δ

ε


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Propiedades.Sean f, g: R→R ; xo un punto de acumulación de la intersección de los dominios de f y g; C una constante real

1) 0

lim x x

C C →

=

2) ( )0 0

lim ( ) lim ( ) x x x x

Cf x C f x→ →

=

3)

( )0 0 0lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x

→ → →± = ±

; siempre que no aparezca laindeterminación∞ − ∞

4) ( )0 0 0

lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( ) x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

= ; siempre que no aparezca la

indeterminación0.∞

5) 00

0

lim ( )( )lim( ) lim ( )

x x

x x x x

f x f xg x g x

→

→→

=

; siempre que no aparezca las indeterminaciones0 ,0

∞ ∞

6) 0 0 0

lim ( ) lim ( ); si ( lim ( )) 0 x x x x x x

f x f x f x→ → →= ≥

7) ( )0 0

lim( ( )) lim ( ) ; 0n

n

x x x x f x f x n

→ →= ≠ ; siempre y cuando tengan sentido

las potencias que aparecen.


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NOLAN JARA JARA


8) ( ) ( )00 0

lim ( )( )lim ( ) lim ( )

x xg x

g x

x x x x f x f x

→

→ →= ; siempre y cuando tengan sentido las

potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos0 0, 0 ,1 ∞∞

9) ( )0 0 0

lim log ( ) log (lim ( )) (lim ( )) 0a a x x x x x x f x f x f x→ → →= ⇔ >

Observación.

*00 0

1 1 1lim , lim ; lim x x x x x x+ − →→ → = ∞ = −∞ = ∞

;

*1

lim 0 x x →∞

=

* 0 00 , , , ( 1) , , 0 ,0. ........0

∞∞ ∞ − ∞ → ∞ ∞∞ son indeterminacionesEjercicios:1) Demostrar que:

1lim x→

(2x2 + 3x + 1) = 6Demostración:y = f(x) = 2x2 + 3x +1, x0 = 1, L = 6Dom (f): x∈R

1lim x→

(2x2 + 3x +1)=6⇔∀ε>0∃ δ>0 ; (δ=δ( ε)) Tal que |(2x2 + 3x +1)-6|


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1 45

x x

ε + − <−

Siempre que |x-7|


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NOLAN JARA JARA


δ= min {δ 1,δ2}=δ2 = ε/23∴∀ ε>0 ∃ δ = ε/23Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.Ejemplo.

1) Calcular el siguiente limite

2

21

1 3lim

1 1 x x x x x→ + +− − −

Solución:

2

211 3 2 4lim det min1 0 01 x

x x in er ado x x→ + +− = − = ∞ − ∞ − → →−

Levantamos la indeterminación2 2 2

21 1 1 1

1

2

21

1 3 ( 1) ( 3) 2 2 2( 1)lim lim lim lim

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)1

2 2lim 1

( 1) 2

1 3lim 11 1

x x x x

x

x

x x x x x x x x x x x x x x

x

x x x x

→ → → →

→

→

+ + + − + − −− = = = − − + − + − +− = = = + + +

∴ − = − −

3) Calcular el siguiente limite

22

2 2lim3 6 2 5 2 x x x x→ − − − +

Solución:

22

2 2 2 2lim det min3 6 0 02 5 2 x

in er ado x x x→ − = − = ∞ − ∞ − → →− +

Levantamos la indeterminación

22 22 2lim 2lim3 6 2 5 2 x x x x x→ → − = − − + 1 13( 2) ( 2)(2 1 x x x − − − −

22lim

x→= =

−−−

)12)(2(3)2(2

x x x

2

4 1 4lim3 2 1 9 x x→

=−

22

2 2 4lim3 6 92 5 2 x x x x→

∴ − = − − +


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NOLAN JARA JARA


B) INDETERMINACIÓN0.∞ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.Ejemplo

Solución:2

20

1 0 1lim 0 det min

1 1 0 x x x

in er ado x x→ +⋅ = ⋅ = ⋅∞ − − →

Levantamos la indeterminación2

20 0 0

2

20

1 1 1 1 1lim lim lim 11 1 1 1 1

1lim 11

x x x

x

x x x x x x x x

x x x x

→ → →

→

+ + + ⋅ = ⋅ = = = − − − − −

+∴ ⋅ = − −

C) INDETERMINACIÓN00

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con factorizar el numerador y eldenominador.Ejemplo

Solución:3 2 2

21 1 1

3

21

1 ( 1)( 1) 1 3lim lim lim( 1)( 1) 1 21

1 3lim21

x x x

x

x x x x x x x x x x

x x

→ → →

→

− − + + + += = = − + +− −

∴ = −

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta conmultiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.Ejemplo

Solución:


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NOLAN JARA JARA


2 20 0 0

0 0 0

0

(1 1 ) (1 1 )lim lim lim

1 1 (1 1 ))(1 1 ) 1 ( 1 )

(1 1 ) (1 1 )lim lim lim(1 1 ) 1 1 2

1 (1 )

lim 21 1

x x x

x x x

x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x

x

→ → →

→ → →

→

+ − + −= = − − − − + − − − + − + −= = = + − = + =− −

∴ = − −

D) INDETERMINACIÓN∞∞

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.

O también factorizar en el numerador y en el denominador a la variable en sus mayores potencias, respectivamente.

Ejemplo 1.

2

2

4 1lim

1 x x x

x→∞ + + +

Solución:2

2 2 2

22

2 2

2

2

1 1 1 1 1 1(4 ) (4 ) 44 1lim lim lim1 1 11

(1 ) (1 ) 14 0 0 4

1 04 1lim 4

1

x x x

x

x x x x x x x

x x x x

x x x

→∞ →∞ →∞

→∞

+ + + + + + + + ∞ ∞= = = + + + +∞

+ += =+

+ +∴ = +

Ejemplo 2.

2

lim x x x x→∞ +

Solución:


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NOLAN JARA JARA


222

2

1(1 ) . 1 1. 1 1

lim lim lim lim

. 1 1 1 1lim lim 1 1 1 0 1

lim 1

x x x x

x x

x

x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞ →∞

→∞

+ +++ = = =

+= = + = + = + =∞

+∴ =

E) INDETERMINACIONES , ,Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anterioreso por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguienteigualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

Solución:


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NOLAN JARA JARA


( ) ( )

22 21 3 12 ( ) 1

2 210

1 02 2 2 ( ) 21 3 2 1 3 1 0( ) ( ) 2

2 2 21 10 0

2

2

1 32

lim

20

lim lim 2

1 32

220

1lim

1

1lim

1

x x

x x x

x x x x x x x x

x

x

x

e

x

x

x

xe

x

e e e

xe

x

+ + − − →

+ + + − − − → →

+

→

=

+

→

+ = −

= = =

+∴ = −

LIMITE NOTABLE 1.

( )10

1lim 1

1 0

lim 1

t

t

T

T

et

Si T T t

Entonces

T e

→∞

→

+ =

= ⇒ →

+ =

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es el:

LIMITE NOTABLE 2

0

( )lim 1t

sen t t →

=

IMPORTANTEEs importante recordar que:

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

( )( );

( )( ); 2 1;

n n n n n n

n n n n n n

x y x y x x y x y y n

x y x y x x y x y y n k k

− − − −

− − − −

− = − + + + + ∈Ν+ = + − + − + = + ∈Ν

EJEMPLOS: calcular los siguientes límites.


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NOLAN JARA JARA


1) L =2

lim→ x

+−−

− 2522

632

2 x x x.Solución:

L =2

lim2

→ x

1 1

3( 2) ( 2)(2 1) x x x

− − − −

=2

lim2

→ x=

−−−

)12)(2(3)2(2

x x x lim4 1 4

23 2 1 9 x x

=→ −

2) L = =+

−−+→ )1(

2110

lim 43 2

x x x x

x

+−−+

+−+

→ )1(211

)1(11

0lim 43 2

x x x

x x x

x

2

2 34 4 43 32 2 2

lim (1 ) 1 1 (1 2 )0 ( 1)(1 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) )( 1)( 1 ) ( 1 1)


+ − − −= + → + + − + − + −+ + + + +

2/1....lim ==

3) L =2

3

lim 6 6lim

3 1 2 x x x

x x →− − + =

→ + −

2 9 3 61 2 1 2

x x

x x

− − ++ + − + −

3lim x→ )63)(3(

)21)(3()3(

)21)(3)(3(++−++−+

−++−+=

x x

x x x

x x x

3

1( 1 2) 70lim(( 3))( 1 2) )33 6 x

x x x

x→− + += + + + + =

+ +

4) L =

−

+→ 221

)(11

0lim

xh xhh

++>+−

→=

22

222

)(2(1

0lim

h x xhh x x

hh

322

2))(()2)((

0

lim

xh x xhh xh

h−=

++

→−

=

5)3lim 1 1

0 1 1 x

h x x

+ − =→ + − − 23 3

lim (( 1 ) ( 1 )) 2 10 3(2) 3(1 ) (1 1)(2 )

x x xh x x x

+ + − = =→ + + + +

6) L =3lim 8 2 2

4 4 x x x

x x− + −

→ −=

3lim 2(4 ) ( 2) (2 24 4

x x x x x

− + − + − → −

= lim4 x →

12/23)2(222)(4(

28)2)(4(

42

2332 −=

++−−+

+−−+−

x x x

x

x x

x


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NOLAN JARA JARA


7) L = 0;10

lim >−→ a x

a x

x

Sea: )1(log...(*)1 t xt a a x +=⇒=− ; Si 00 →⇒→ t x

L = )1(log0lim10lim t t

t xa

x a

x

+→=−→ )1(log11

0lim

t t

t a +

→=

t a t t

/1)1(log1

0lim

+→=

t a t t

/1)1(0

limlog

1

+→

= aae ea

lnloglog

1 ===

0,ln1

0

lim >=−→

∴ aa x

a x

x

8) =−→ xSen x

x x

435

0

lim 766 7(5 1) (3 1)

lim40 4

4

x x

xsen x x

x

− − −

→

−−

−

→=

x x

Sen

x x

x

x x

44

713

76

156

0

lim

76

43ln75ln6 −=

9) =++++

∞→ 763985lim

2

2

x x

x x

x 3

5

765

985

lim

22

22

=

++

++

∞→ x x

x

x x x

x

10) =++++

∞→ 763985lim

3

2

x x x x

x0

576

3

985

lim

323

22

=∞

=

++

++

∞→ x x

x

x x x

x

11) )11(lim 332/3 −−+

∞→ x x x x 11)2(lim

33

2/3

−++∞→=

x x

x x

32/3

32/3

2/3

1111

lim2

x x

x x

x x −++∞→

=

331111

1lim2

x x

x −++∞→=


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NOLAN JARA JARA


=

∞−+

∞+

=21

21

11

1

12 =1

12) Calcular los siguientes límites:a) ( )lim 7 1 x x x x→∞ + − + , b) 0lim→ x

1 11 1

x

x x

+ −+ − −

c)0

lim→ x x x

x−−+

−+11113 , d)

2

1 1lim3 6 2 ² 5 2 x x x x→ − − − +

, e)3 2lim 1 1 2

0 ( 1) x x

x x x

+ − − → +

Solución.a) ( )lim 7 1 x x x x→∞ + − + =

lim x→∞(6) 6 6 6

327 1 7 1 7 11 1 1 1

x x

x x x

x x x x

= = = = + + + + + + + + +

b)0

lim→ x

1 11 1

x

x x

+ −+ − −

=0

lim→ x

( 1 1 ) 1 1 2 12(2) 22 ( 1 1) 2( 1 1)

x x x x x

x x x

+ + − + + −= = =+ + + +

c)0

lim→ x

x x

x−−+

−+11113 =

0lim

→ x

31

)11)1((2

)11(33 2

=++++

−++ x x x

x x x

d)

+−−

−→ 2521

631

2lim

2 x x x x

))2)(12(3

)2(2 (

2lim

))2)(12(3

3)12( (

2lim

))2)(12(

1)2(3

1(

2lim

−−−

→=

−−−−

→=

−−−

−→=

x x x

x

x x x

x

x x x x

lim 2 2 3(2 1)

2 1 2.3 (2(2) 1) 9

x x= → −

= =−


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NOLAN JARA JARA


e)3 2lim 1 1 2

0 ( 1) x x

x x x

+ − − → +

3 2lim 1 1 1 2 10 ( 1) ( 1)

x x x x x x x

+ − − −= − → + +

1)121)(1(

20

lim)]121)[(1(

2] )[1(0

lim 2

=+−+→

=

+−+

++→

=

x x x

x x x

x x x

x x

Práctica: Calcular los siguientes limites

1)lim 1

1 1

n n n

P P

nx x nx x x x x x x

− − +→ − − +

; n,P∈Z+ .

Solución.1 2lim lim1 ( 1) ( 1)( .... 1)

1 11 ( 1) ( 1)

n n n n n n

P P P

nx x nx x nx x x x x x x x x x x x x x

− −− − + − − − + + +=→ →− − + − − −

1 2lim ( .... 1)1 1

n n n

P

nx x x x x

− −− + + +=→ −

)1.....)(1()1....)(1(.....)1)(1()1)((1()1(

321

212321

++++−+++−++++−++−+−= −−−

−−−−−

PPP

nnnnn

x x x x x x x x x x x x x x x x

lim 1 2 3 ..... ( 1)

1 2n n n

x P P

+ + + + += =→

2)3 2 4lim 1 1 2

0 ( 1) x x

x x x

+ − −→ +

Solución.3 2 4lim 1 1 2

0 ( 1) x x

x x x

+ − −→ +

=

+−−+

+−+

→ )1(211

)1(11

0lim 43 2

x x x

x x x

x=

2

2 34 4 43 32 2 2

lim (1 ) 1 1 (1 2 )0 ( 1)(1 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) )( 1)( 1 ) ( 1 1)


+ − − −+ → + + − + − + −+ + + + +

0lim .... 1 / 2 x→

= =

3)2lim 6 6

3 1 2 x x

x x

− − +→ + −

Solución.2lim 6 6

3 1 2 x x

x x

− − +→ + −

2

3

9 3 6lim1 2 1 2 x

x x

x x→ − − += + + − + −


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NOLAN JARA JARA


3

( 3)( 3)( 1 2) (3 )( 1 2)lim( 3) ( 3)(3 6) x

x x x x x x x x→

+ − + + − + += +− − + +

3

1( 1 2)lim ( 3))( 1 2)3 6 x

x x x

x→

− + += + + + + + +

3lim(....) 70 / 3 x→

=

4)

−

+→ 221

)(11

0lim

xh xhh

++>+−

→=

22

222

)(2(1

0

lim

h x xhh x x

hh

322

2

))((

)2)((

0

lim

xh x xh

h xh

h

−=+

+

→

−=

5)3lim 1 1

0 1 1 x

x x x

+ −→ + − −

=23 3

lim (( 1 ) ( 1 )) 2 10 3(2) 3(1 ) (1 1)(2 )

x x x x x x x

+ + − = =→ + + + +

6)4

2284

lim 3

−−+−

→ x x x x

x =

−−+−+−

→ 422()2()4(2

4lim 3

x x x x

x

2 23 34

4 8 2lim 2 23 /12

( 4)( 2) ( 4)(2 2 2 ( 2 ) x x x

x x x x x→

− −= − + + = − − + − + +

7)3 53 10

3 44

lim 8 320 4 16

x x L

x x x

− + −=→ + − +

3 53 10

3 44

lim ( 8 2) ( 32 2)0 ( 4 2) (2 16)

x x x x x

− + + − −=→ + − + − +

3 53 10

3 4 3 44 4

lim 8 2 32 20 ( 4 2) (2 16) ( 4 2) (2 16)

x x x x x x x

− + − −= + → + − + − + + − + − +

3 4 3 44 4

3 53 10

lim 1 10 ( 4 2) (2 16) ( 4 2) (2 16)

8 2 32 21 1

*1 2

x x x x x

x x

L L L

= + → + − + − + + − + − + − + − −

= +


46/104

NOLAN JARA JARA


( )( )

( )

3 44

3 33 30

3 34 3 2 3 23 33 3 2 3 2

3 30 3 4 3 4 2 44 4 4

3 33 2 3 23 33 2 3 2

30

4 2 1 621 lim8 2 8 2

( 8) 2 8 2( 8) 2 8 2 )lim( 4 2) ( 16) 2( 16) 4 16 8

( 8) 2 8 2( 8) 2 8 2lim4 2 (

x

x

x

x x L

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x

→

→

→

+ − + −= − − + − + − − − +− − − + = − + + + + + + + +

− − − +− − − += −+ + ( )4 3 4 2 44 4 416) 2( 16) 4 16 8

12 0 34 32

1 3 *1

x x

L

+ + + + + +

= − =

=

( )

3 44

5 100

3 44

5 510 100

5 5 5 53 10 4 10 3 2 10 2 3 10 4

10 30

5 5 54 10 4 10 3 2 10 2

0

( 4 2) (2 16)2 lim32 2

4 2 1 62lim32 2 32 2

( 32 ) 2( 32 ) 2 ( 32 ) 2 32 2 )lim

( 4 2)

( 32 ) 2( 32 ) 2 ( 32 )lim

x

x

x

x

x x L

x

x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

→

→

→

→

+ − + − +=− −

+ − + −= − − − − − − + − + − + − +

=− + +

− + − + − +−53 10 4

10 4 3 4 2 44 4 4

5 5 5 510 4 10 3 2 10 2 3 10 4

7 30

5 5 5 510 4 10 3 2 10 2 3 10 4

6 4 3 4 2 44 40

2 32 2 )

(( 16) 2( 16) 4 16 8)

( 32 ) 2( 32 ) 2 ( 32 ) 2 32 2 )lim( 4 2)

( 32 ) 2( 32 ) 2 ( 32 ) 2 32 2 )lim(( 16) 2( 16) 4

x

x

x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x

→

→

− +− + + + + + +

− + − + − + − +=− + +

− + − + − + − +++ + + + +4 16 8)+

…concluir el cálculo del límite

EJEMPLOS: calcular los siguientes límites.

1) L = 2lim

→ x

+−−− 2522

632

2 x x x .Solución:

L =2

lim2→ x

1 13( 2) ( 2)(2 1) x x x − − − −

=2

lim2→ x

=−−

−)12)(2(3

)2(2 x x

x lim4 1 423 2 1 9 x x

=→ −

2) L = 2 2lim 1 1

0 x

x x−

→ . Solución:


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NOLAN JARA JARA


L =0

lim→ x

=− x

x x 212

0

2

0

lim 1 = 1

lim 1 = -1

x

x

x

x

+

−

→

→

−

− −

Como 1≠-1 2 2lim 1 10 x

x x⇒ − ∃/→

3) L = =+

−−+→ )1(

2110

lim 43 2

x x x x

x

+−−+

+−+

→ )1(211

)1(11

0lim 43 2

x x x

x x x

x

2

2 34 4 43 32 2 2

lim (1 ) 1 1 (1 2 )0 ( 1)(1 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) )( 1)( 1 ) ( 1 1)


+ − − −= + → + + − + − + −+ + + + +

2/1....lim ==

4) L =2

3

lim 6 6lim

3 1 2 x x x

x x →− − + =

→ + −

2 9 3 61 2 1 2

x x

x x

− − ++ + − + −

3lim x→ )63)(3(

)21)(3()3(

)21)(3)(3(++−++−+

−++−+=

x x

x x x

x x x

3

1( 1 2) 70lim(( 3))( 1 2) )

33 6 x x

x x x→

− + += + + + + =+ +

5) L =

−

+→ 221

)(11

0lim

xh xhh

++>+−

→=

22

222

)(2(1

0lim

h x xhh x x

hh

322

2))(()2)((

0lim

xh x xhh xh

h−=

++

→−=

6)3lim 1 1

0 1 1 x

h x x

+ − =→ + − − 23 3

lim (( 1 ) ( 1 )) 2 10 3(2) 3(1 ) (1 1)(2 )

x x xh x x x

+ + − = =→ + + + +

7) L =3lim 8 2 2

4 4 x x x

x x

− + −→ −

=3lim 2(4 ) ( 2) (2 2

4 4 x x x

x x

− + − + − → −

= lim4 x →

12/23)2(222)(4(

28)2)(4(

42

2332 −=

++−−+

+−−+−

x x x

x

x x

x


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NOLAN JARA JARA


8) L = 0;10

lim >−→ a x

a x

x

Sea: )1(log...(*)1 t xt a a x +=⇒=− ; Si 00 →⇒→ t x

L =)1(log0

lim10

limt

t t x

a x a

x

+→=−

→ )1(log11

0lim

t t

t a +

→=

t a t t

/1)1(log1

0lim

+→=

t a t t

/1)1(0

limlog

1

+→

= aae ea

lnloglog

1 ===

0,ln1

0lim >=−→

∴ aa x

a x

x

9) =−→ xSen x

x x

435

0lim 76

6 7(5 1) (3 1)lim

40 44

x x

xsen x x

x

− − −

→

−−

−

→=

x x

Sen

x x

x

x x

44

713

76

156

0lim

76

43ln75ln6 −=

10) =++++

∞→ 763985lim

2

2

x x

x x x 3

5765

985lim

22

22

=

++

++

∞→ x x

x

x x x

x

11) =++++

∞→ 763985lim

3

2

x x x x

x05

763

985lim

323

22

=∞

=

++

++

∞→ x x

x

x x x

x

12) )11(lim

332/3 −−+∞→ x x x x 11 )2(lim

33

2/3

−++∞→= x x x x

32/3

32/3

2/3

1111

lim2

x x

x x

x x −++∞→

=

331111

1lim2

x x

x −++∞→=


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NOLAN JARA JARA


=

∞−+

∞+

=212

1111

12 =1

LIMITES NOTABLES1) Demostracion del limite notable

lim 1

0Sent

t t =

→

A∆OAP

< AOAP


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NOLAN JARA JARA


Sea: T = 1/t; Si t→∞ ⇒ T→0 eT T

T =+→

⇒

1

)1(0

lim

En general:

Si α(x)→0 cuando x→x0 e x x x x =+→⇒

)(

1

0))(1(

limα α

Ejercicios:

1) 0;10

lim >−→

a x

a x

x

Solución:Sea )1(log...(*)1 t xt a a x +=⇒=− ; Si 00 →⇒→ t x

)1(log0lim1

0lim

t t

t xa

x a

x

+→=−

→ )1(log11

0lim

t t

t a +

→=

t a t t

/1)1(log1

0lim

+→=

t a t t

/1)1(0

limlog

1

+→

= aae ea

lnloglog

1 ===

0,ln1

0lim >=−→

∴ aa x

a x

x

2) =−→ xSen x

x x

435

0lim 76

−−−→

x xsen

x x

x x

444

)13()15(0

lim 76

−−

−

→=

x x

Sen

x x

x

x x

44

713

76

156

0lim

76

43ln75ln6 −=

3)0

lim→ x

1 cos( ) x x

xe x

− =− 0lim→ x

(1 cos( )) / ² 1/ 2 1( 1) / 1 2 x

x xe x

− = =−

Resolver los siguientes límites:


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LIMITES LATERALES.Límite por la izquierda:

Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y porla izquierda) y ambos coinciden.

TEOREMA: Si existe el límite, éste es único.

1) L = 2 2lim 1 1

0 x

x x−

→ .

Solución:

L =0

lim→ x

=− x

x x 212

0

2

0

lim 1 = 1

lim 1 = -1

x

x

x

x

+

−

→

→

−

− −

Como 1≠-1 2 2lim 1 1

0 x

x x⇒ − ∃/

→

EJERCICIOS

1) sea f(x)=e x1

para x diferente de 0, discutir los limites laterales de f en x=0.

2) se f(x)= e

e para x

x

x

1

1

10

−≠, ; discutir los limites laterales de f

Y xf(x) en x=0.3) calcular, si existe, 20

1lim 36

9 x x

x→−


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4) sea f(x)=

x x x x

six

x x six

3 22 5 63

3

6 3

13

3

− − +− <

+ −

−≥

;

; .

Hallar3

lim x→

f(x), si existe.

5) hallar53

lim 3 4 x

x x→

+ + , si existe.

6) hallar lim x x x x

x→− − +

−23 22 4 8

2, si existe.

7) hallar3 2

1

3 3lim1 x

x x x x→

− + −−

, si existe.

8) hallar lim

2

6

3lim2 1 x

x x

x→

−

+ , si existe.

9) hallar−∞→ x

lim 5 543 4 111²1³ ++++− −+ x

x x x x

x x , si existe.

TEOREMA DE SANDWICH

Sean f, g, h : R→ R/ )()()( xh xg x f ≤≤ 0(́ , ) x B x δ ∀ ∈ aplicando0

lim x x→

Obtendremos que0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x

f x g x h x→ → →

≤ ≤ y si:

0 0lim ( ) lim ( )

x x x x f x h x L

→ →= =

0lim ( )

x xg x L

→⇒ =

Por Ejemplo

Calcular lim x

senx x→∞

Solución.

1 11 1 0

1 1lim lim lim 0 lim 0 lim 0

lim 0

x x x x x

x

senxSenx x R x

x x xsenx senx senx

x x x x xsenx x

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

→∞

−− ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ∀ >

−⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ =

∴ =

Observación.

lim , 1, x

n x

aa n N

x→∞= ∞ > ∈

lim 0,0 1, x

n x

aa n N

x→∞= < < ∈


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NOLAN JARA JARA


CONTINUIDADSea f: D⊂ R → R / y = f(x) ; f es continua en x0 si y solo si:1) f (x0)∈ R; (∃ ó esté definida en x0)2) ( )

0 0

lim ( ) ; lim ( ) , x x x x

f x f x L L R→ →

∃ = ∈

3) 0lim ( ) x x f x→ 0( ) f x= Si alguna de las tres condiciones no se cumple⇒se dice que f es discontinua en x0 Observación 1: f es continua en x0 si y solo si:

0lim ( )

x x f x

→ 0( ) f x=

O también:f es continua en x0 si y solo si: 0( ) f x =

0 0


f x f x− +→ →

=

Observación 2: Si f es discontinua x0, y si:1)

00lim ( ) x x f x x→ ∃⇒ : Punto de discontinuidad evitable

Es decir: podemos evitar la discontinuidad de f en x0, redefiniendo a f en x0 como:

00( ) lim ( ) x x f x f x L→= =

2)0

lim ( ) x x

f x→

( )ó es∃ ± ∞ ⇒/ x0: Punto de discontinuidad esencial, tal que:


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NOLAN JARA JARA


i) Si0 0


f x f x− +→ →

≠ ⇒x0: Punto de discontinuidad esencial de primer tipo.

ii) Si0

lim ( ) x x

f x→

= ± ∞⇒x0: Punto de discontinuidad esencial de segundo tipo.


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PRINCIPALES TEOREMAS DE LAS FUNCIONES CONTINUASTEOREMA: Si

0

lim ( ) x x

g x→

= L y f es continua en g(xo) y si x0 es un punto de

Acumulación del Dom (fog)0 0

lim ( ( )) ( lim ( )) ( ) x x x x

f g x f g x f L→ →

⇒ = = COROLARIO:Si g(x) es continua en x0 y f es continua en g(x0), entonces fog escontinua en x0.TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO: Si f es continua en [a, b], tal que f(a)< f(b)y si y0 ∈R 0)(/ ya f < < f ( b) ⇒ 000 y)f(xquetal ba,x)( =>∈< ba , / f (x0) = 0.TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: Si f escontinua sobre [a, b]⇒ f está acotada sobre [a, b].CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN INTERVALOS

Definición 1. Una función f: R→ , es continua en si es continua en todo>∈< ba x , .

Definición 2. a) Una función f es continua porla derecha en x =a si + → a x lim f (x) = f (a).b) Una función f es continua porla izquierda en x =a si )()(lim a f x f a x = → −

Definición 3. Una función es continua en si:i) f es continua en y.


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ii) f es continua por la derecha ena . Definición 5. Una función es continua en [a, b] si:i) f es continua en ,ii) f es continua por la derecha ena y.iii) f es continua por la izquierda enb.

EJERCICOS

1) Sea≠

Ζ∈==

+

n1

xsi,0

n;n1

xsi,)(

x x f ¿es f continua en x = 0 ?

2) Sea


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7) Analice la continuidad de fog y gof ; donde<=>

=0x,2-

0x,00 x,2

)( x f ; g(x)=x(4-x²)

8) Sea ( ) ( 1)sen x f x

x xπ = − ; 0 < x < 1. Definir f(0) y f(1) tal que f sea continua en

[0,1]

9) Sea 32(1 cos( ²)) , x 0

( )1 , x 0

x f x x senx

− ≠= =

¿es f continua en x = 0?

10) Sean ≥<

=−=0x,x²0x,x

g(x) ; 2

)( x x x f Hallar los valores de x donde fog es

continua.

11) Sea

=


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NOLAN JARA JARA


15) Sea

9 , 1 x 22

( ) 3x a-2x , 2 x 318 , x 2

b x

f x

≤ <

= < <=

Hallar a y b tal que f sea continua en x = 2

16) Sea f(x) =

, - x 0

ax b , 0 xcosx , x 2

senx x

π

π

π π

< <

+ ≤ <≤ <

Hallar a y b tal que f sea continua en x ={0,π }

En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltosen la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la funciónes discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los criterios de continuidad deuna función en un número. En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función esdiscontinua en el númeroa . Luego determine si la discontinuidad es evitable o esencial.Si es evitable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.

http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#9_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#8_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#7_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#6_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#5_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#4_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#3_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#2_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#1_


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S o l u c i o n e s

1. Solución:

x -4 0 2 f ( x) -6 -2 0

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criteriosde continuidad no se cumple; conclusión:

http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#21_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#20_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#19_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#18_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#17_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#16_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#15_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#14_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#13_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#12_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#11_http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id381_m.htm#10_


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f es discontinua en -3.

2. Solución:

x -6 -1 0 2 3 5 6 9 h( x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de loscriterios de continuidad no se cumple; conclusón: f es discontinua en 4.

3. Solución:


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x -4 -3 -2 -1 0 8 y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1

4. Solución:

x -6 -2 -1 0 1 2 6 y 0.025 0.125 0.2 0.25 0.2 0.125 0.025

5. Solución


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Por lo tanto, f es discontinua en 0.

6. Solución:

7. Solución:

x ... ...

y ... -2 -1 0 1 2 ...


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8. Solución:

9. Solución:

10. Solución:11. Solución:


64/104

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12. Solución:

13. Solución:

14. Solución:


65/104

NOLAN JARA JARA


15. Solución:

16. Solución:

17. Solución:

18. Solución:

19. Solución:


66/104

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20. Solución:

21. Solución:


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Continuidad en un intervalo


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LA DERIVADA

DEFINICIÓN. Sea f: R → R / y = f(x) y sea x0 ∈ Dom (f); la derivada de f con respectoa x en x0 se denota como 0( )

df x

dx o también como 0´( ) f x y se define:

0 00

lim ( ) ( )( ) ;0

f x h f xdf x si

hdx h

+ −= ∃→

. Donde: h =∆x = x-x0 ; si h 0 ⇒ x→ x0

00

0 0

lim ( ) ( )( ) , f x f xdf

x si x xdx x x

−⇒ = ∃

→ −

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Teorema.Si f: R → R / y = f(x) es derivable en un punto x0 , entonces f es continua enx0.

Demostración. Si f es derivable en x0⇒ 000 0

lim ( ) ( )´( ) f x f x

f x x x x x

−=→ −

( )0 0 00

( ) ( )( ) ( )( )

f x f x f x x x f x

x x

−= − +−

⇒

00 0

0 00 0 0

lim ( ) ( )( )lim lim lim( ) ( ) f x f x

f x x x f x x x x x

x x x x x x

−= − + ⇒→ −

→ → →

0 0 0

0

lim ( ) ( ). 0 ( ) ( ) f x f x f x f x x x

′= + =→

0 0

0

lim ( ) ( ). es continua en x . f x f x f x x

= ∴⇒

→

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función seacontinua en un punto no implica que la función sea derivable en él.

Si una función no es continua en un punto implica que la función no es derivable en el.

Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definicionessobre derivadas laterales.

Definición. Si f es una función continua definida en x 0 , entonces:

La derivada lateral por la derecha. se denota f ´(x0+) y se define:


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0

00

0

( ) ( )( ) lim ; si x x

f x f x f x

x x++

→

−′ = ∃−

La derivada lateral por la izquierda. se denota f ´(x0-) y se define:

0

00

0

( ) ( )( ) lim ; si x x

f x f x f x x x−

−

→−′ = ∃−

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que f ´( x0 ) existe si y solo siexisten las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así: 0 0 0( ) ( ) ( ) f x f x f x+ −′ ′ ′∃⇔ =

Ejemplos:

1) Sea f(x) = |x| ; ¿f es continua en x = 0? ; ¿ f ´( 0 )∃?. Solución:

i) f(0) = 0

ii)0 0

lim ( ) lim 0 x x

f x x→ →

= =

iii)0

(0) lim ( ) 0 es continua en x = 0 x

f f x f →

= = ⇒

(́0) lim ( ) (0)

0 0

f f x f

x x

= −

→ − x x

x 0

lim

→=

lim(́0 ) 1

0 x

f x x

++= =→

; lim(́0 ) 10

x f

x x−

−−= = −

→

(́0 ) f + ≠ (́0 ) f − ∃/⇒ )0´( f

2) Consideremos la función f definida por:

Determinar si f es continua en x = 1 y si f ´(1) existe.

Para lo primero tenemos que:


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;

Entonces

Luego f es continua en pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

( )

( )

1 1

1 1

3 2( ) (1)(1 ) lim lim 11 1

1 2( ) (1)(1 ) lim lim 11 1

x x

x x

x f x f f

x x

x f x f f x x

+ +

− +

+

→ →

−→ →

− + −−′ = = = −− −

+ −−′ = = =− −

Como (1 ) (1 ) (1) no e xiste f f f + −′ ′ ′≠ ⇒ .

Luego, se ha comprobado que aunque f es continua en se tiene que f no es derivableen .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que en la gráfica de f tiene un "pico", siendo precisamente en donde noes derivable la función.

Consideremos la función f definida por:

Determine si f´(0) existe y si f es continua en

Función Derivada.Si f : D⊂ R → R / y = f(x); entonces f ´: D⊂R → R / y´ = f ´ (x )


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lim ( ) ( )( )0

f x h f x f x

h h

+ −′ =→

Ejemplo. Hallar f ´ (x), si:

1) f(x) = C, C: constante real. Solución.

lim ( ) ( )( )0

f x h f x f x

h h

+ −′ =→ h

C C h

−→

=0

limhh0

0lim→

= 00

lim→

=h

0=

0)´()´( ==→ C x f

2) f(x) = xn, n∈Z+ . Solución.

lim ( ) ( )( )0

f x h f x f x

h h

+ −′ =→ h

xh xh

nn −+→

= )(0

lim

n términos

h x xh xh xh

h

nnn ).....)()((0

lim 121 −−− +++++→

= 1 1 1 1....n n n n x x x nx− − − −= + + + =

1(́ ) ( )n n f x x nx n R−′= = ∀ ∈

3) f(x) = ax, a > 0, a≠ 1. Solución.

lim ( ) ( )( )0

f x h f x f x

h h

+ −′ =→

lim0

x h xa ah h

+ −=→

lim 10

h x aa

h h

−= → aa x ln=

´( ) ( ) ln ; 0 x x f x a a a a′∴ = = >

4) 0);(log)( >= a x x f a . Solucion.

lim ( ) ( )´( )0

f x h f x f x

h h

+ −=→ h

xh xh

aa log)(log0

lim −+→

=

+

→=

xh x

hh alog1

0lim


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+

→=

xh

hh a1log1

0lim

+

→=

h

a xh

h

1

1log0

lim

+

→=

h

a xh

h

1

10

limlog

xh

x

a xh

h

1

10lim

log

+→= 0

1 1lim

log logh x xa ae e→= = 1

ogal e x=

1(́ ) (log ) loga a f x x e x′∴ = =

5) f(x) = Cos x. Solución.

lim ( ) ( )´( )0

f x h f x f x

h h

+ −=→ h

Cosxh xCosh

−+→

= )(0

lim

hCosxSenxSenhCosxCosh

h

−−→

=0

lim lim ( 1)0

Cosx Cosh SenxSenhh h h

− = − →

+

−

→−

=h

SenhSenx

hCosh

Cosxh

10

limSenx−=

(́ ) ( ) f x Cosx Senx′∴ = = −

( )Senx Cosx′ =

REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f, g:R → R derivables y sea C: constante real

1) ( ( ))( ( ))d d f xCf x C dx dx

=

2) ( ) ( )( ( ) ( ))d df x dg x f x g xdx dx dx

± = ±

3) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )d d d f x g x g x f x f x g xdx dx dx

= +

Demostración:

Sea J(x) = ( f.g)(x) = f(x).g(x)


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( )( ( ) ( )) ( )d d f x g x J xdx dx

=h

x J h x J h

)()(0

lim −+→

=

h xg x f h xgh x f

h)()()()(

0lim −++→

=

h xg x f x f h xgh xg x f h xgh x f

h))()()()(()()()()((

0lim −+++−++→

=

lim ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))0

g x h f x h f x f x g x h g xh h

+ + − + + −=→

( ). ( ) ( ). ( )g x f x f x g x′ ′= +

( ( ). ( )) ( ) (́ ) ( ). (́ ) f x g x g x f x f x g xd dx

= +∴

4) 2( ) ( ) (́ ) ( ) ( )( ) ( ( ))

d f x g x f x f x g xd x g x g x

′ −=

Observación. 21 (́ )( ) ( ( ))

d g xd x g x g x

−=

5) “Regla de la cadena”(Derivada de la función compuesta)

Sea: ( )( )Y fog x= ))(( xg f = ( ( ( )) ( ( )). ( )dY d f g x f g x g xdx dx

′ ′⇒ = =

( ); ( )Si y f u u g x∴ = = .dy dy dudx du dx

⇒ = )´().´( xuu f =

Ejemplos Hallar :, sidxdy

1) y = tg x. solución:

( )dy d tgx d Senxdx dx dx Cosx

= = 2( ) ( )Cosx Senx Senx Cosx

Cos x

′ ′− xCos xCos

xSen xCos22

22 1=+

2( )Tanx Sec x′∴ =


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2) y = arc tgx. Solución:

y = y(x) ; x = tgy ( )tgy xd

d dx xd

)()( =

=dxdy

dytgyd )(1 2 .

dySec y

dx=

yCos ySecdx

dy 22

1 ==∴ ; tancomo y x=1

12 +

=⇒ xdx

dy

211)( x

arctgx

dxd

+=

1

3) y = arc Senx y´(x) =21

1 x−

4) xarctg y = . Solución.

Solución. Sea: 2/1 x xu == 2/1; x xuarctgu y ===→

1/ 221 1. .1 2

dy dy du xdx du dx u

−→ = = + 1 1 1.1 2 2 (1 ) x x x x= =+ +

)1(21)(

x x

xarctgdxd

+=∴

5) 22 xSen y = . Solución.

2 2( ) y Senx= ; u = x2 ; v = Senu ; y = v2

. .dy dy dv dudx dv du dx

= 2 . .2vCosu x= 22 . .2Senu Cosx x= 2 2(2 )2Senx Cosx x=

2 2 2( ) 2 (2 )d

Sen x xSen xdx

∴ =

Observación. Si u =φ(x):

yx√x2+1


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1( ) . ( )n nd u nu u xdx

− ′=

1(( ( )) ) ( ( )) . ( )n nd

x n x xdx

φ φ φ − ′= ; Donde n∈ R

( ) ln . . ( ); 0u ud a a a u x adx

′= >

( ) ( )( ) ln . . ( ) x xd

a a a xdx

φ φ φ ′=

log(log ) . ( )aaed

u u xdx u

′=

(log ( ( )))ad xdxφ log . ( )

( )a e x

xφ

φ ′=

( ) ( ). ( )d

Senu Cosu u xdx

′=

( ( ( )))d

Sen xdx

φ ( ( )). ( )Cos x xφ φ ′=

2

1( ) . ( )1

d arctgu u x

dx u′=

+

2

1( ( ( )) . ( )

1 ( ( ))d

arctg x xdx x

φ φ φ

′=+

Ejercicio: ¿ )( x xdxd ? Solución.

Sea ; ( ) ln ln x y x y y x y x x= = ⇒ = (ln ) ( ln )d d y x xdx dx

⇒ =

1 ( ) ln (ln )dy

x x x x y dx

′ ′⇒ = +

+= x

x xdxdy

y1ln1 1ln += x

)1(ln += x ydxdy

(ln 1) x x x= + . ( ) (ln 1) x xd x x xdx

∴ = +


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En general: Si u = u(x); v = v(x) ¿?)( =⇒ vudxd Solución.

Sea: y = uv; y = y(x) uv y lnln = )ln()(ln uv

dxd y

dxd =

1 .ln (ln ).dy dv d

u u v y dx dx dx

= + ( )( ).ln . u xv x u vu

′′= +

( )1( )( ( ).ln . ) ( ).ln . . ( )vdy u x y v x u v u v x u v u u xdx u

−′′ ′ ′= + = +

1( ) .ln . ( ) ( )v v vd

u u u v x vu u xdx

−′ ′∴ = +

Observación. Sea f:R →R / y = f(x) es invectiva⇒∃ f -1. Luego tendremos que1( ) ( ) y f x x f y−= ⇔ =

1) x = 1 1( )( ) ( ( )) f of x f f x− −= 1( ) f y−=

1( ) ( ( ))d d x f ydx dx

−→ = 11 ( ( )).d dy f ydy dx

−→ = = .dx dydy dx

Ejercicio: Hallar :;sidxdy

1)3 452

1

x y

−= . Solución. 3/143/14 )52()52(

1 −−=−

= x x

y

[ ]3/14 )52( −−= xdxd

dxdy

))4)(5(()52(31 33/44 x x −−−= −

3

3 4 4 43

1 20

2 5 3 (2 5 )

dy x

dx x x

′ ⇒ = =

− −


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2)2/1

2

2

11

+−=

x x

y . Solución.1/ 22 2

2 21 1 1´( )2 1 1

x x y x

x x

− ′ − −= + +

1/ 22 2 2

2 2 2

1 1 ( 1)2 ( 1)22 1 ( 1)

x x x x x x x

− − + − −= + +

2

2 22

1 2( 1)1

x x x x

+= +− 2/322 )1(1

2+−= x x

x

2

2 2 4

1 21 ( 1) 1

dy x xdx x x x

′ −= = + + −

3) 22 xex x y −= . Solución: 2 2 22 2 2´ ( ) ( ) ( ) x x x y x e x e x e− − −′ ′ ′= = + 2 22 22 ( ( ) ) x x xe x e x− − ′= + −

))2((222 2 xe x xe x x −+= −− = 2 22 (1 ) x xe x− −

2 22 2 ´ ( ) 2 (1 ) x x y x e xe x− −′∴ = = −


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TABLA DE DERIVADAS

Sean u = f(x), v = g(x) y w = h(x), c una constante,ℜ∈n

1)dx

dc = 0 2) 1=dx

dx

3) ( )dxdw

dxdv

dxdu

wvudxd −+=−+ 4) ( )

dxdu

ccudxd =

5) ( )dxdu

vdxdv

uuvdxd += 6) 2v

dxdv

udxdu

v

vu

dxd

−=

7) ( ) 1−= nn nx xdxd 8)

dxdu

nuudxd nn 1)( −=

9) si Y=F(u) y u=f(x)dxdu

dudY

dxdY =→ 10) ( )

dxdu

uu

dxd 1ln =

11)dxdu

ueu

dxd log)(log = 12) ( )

dxduee

dxd uu =

13)dxdu

aaadxd uu ln)( = , 0>a 14) ( )

dxdv

uudxdu

vuudxd vvv .ln1 += −

15) ( ) usenudxd

cos=dxdu 16) ( )

dxdu

senuudxd −=cos

17) ( )dxdu

utgudxd 2sec= 18) ( )

dxdu

uecgudxd 2coscot −=

19) ( )dxdutguuu

dxd .secsec = 20) ( )

dxduguecuecu

dxd cot.coscos −=

21) ( )dxdu

uarcsenu

dxd

211−

= 22) ( )dxdu

uu

dxd

211arccos

−−=

23) ( )dxdu

uarctgu

dxd

211

+= 24) ( )

dxdu

uguarc

dxd

211cot

+−=

25) ( )dxdu

uuuarc

dxd

11sec2 −

= 26) ( )dxdu

uuecu

dxd

11arccos2 −

−=

27)dx

du

u

uu

dx

d = 28) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) xg xg f xg f dx

d ′′=


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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO

Si f: R → R / y = f(x) es derivable en x0 ∈ Dom (f) ; entonces

0 0

0

lim ( ) ( )(́ ) ; si

0

f x x f x f x

x x

+ ∆ −= ∃∆ → ∆

01

01

x x

y ym LS −

−= 1 0 0 01 0

( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x f x x x x

− + ∆ −= =− ∆

0 0lim ( ) ( )0 LT

f x x f xm

x x

+ ∆ − =∆ → ∆

0 ( ) LT f x m′ = : Pendiente de la recta tangente LT a la curva C: y = f(x) en el puntoP0 (x0, y0): punto de tangencia.

0 0 0: ( ) (́ )( )T L y f x f x x x− = − ; 0 00

1: ( ) ( )´( ) N

L y f x x x f x

−− = −

0( ) (́ ) LT Tg m f xφ = =

x

y LT LS

P1=(x1,y1)

C:y = f(x)y1

y0

0

P0=(x0,y0)

x0 x1 ∆x = x1- x0 → x1= x0 + ∆x

L N

Bx0

f(x0)

P0 y0

A x

C: y = f(x)LT

L N y

φ


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Ejercicios:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C:2

21)(

+=

x x x f en x = 1. Solución.

)1´();1(4: f m xm y L LT LT T =−=− …*

2 2(́ ) ( )d f x x xdx

− = + = 2 32( )(1 2 ) x x x− −+ − 2 3

1 22 1 x x x

= + −

(́1) 2(2)( 1) 4 f ⇒ = − = − en * : 4 8 0T L y x+ − =

2) y = 9x –6 es la ecuación de recta tangente a la curva C:( )2 3

ax f x

x=

+

en x = -2 para a = ¿?. Solución.

LT : y = 9x – 6 ).....(*)2´(9 −== f m LT


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2 2(2 3) (2) 3(́ ) ( 2) 3 ...(*1)

2 3 (2 3) (2 3)d ax x a ax a

f x f adx x x x

+ − ′= = = ⇒ − = + + +

De * y *1: 9 = 3a a = 3

3) Hallar la ecuación recta que pasa (3,9) y es tangente a C: f(x) = x2 + 1

Solución.

LT : y –9 = f ´(x0) (x-3) ....(*)

f´(x) = 2x→ f´(x0) = 2x0 ; ¿x0?

)´( 0 x f m LT = 00

0 23

9)( x

x

x f =−

− 200

0

( 1) 92

3 x

x x

+ − =−

086 02

0 =+− x x x0={2,4}

{ })4(2);2(2)´( 0 = x f ={4,8}

: 9 4( 3)T L y x⇒ − = − ; 9 8( 3) y x− = −

4) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C: x x

ee

y −−

+=

1

3

en (0,1/2)

Solución: x + 2y – 1 = 0


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5) Sea f: R → R / f(x) = x11+3x7+4x+6. Hallar (f-1)´(6)

Solución: 11 7( ) 3 4 6 y f x x x x= = + + +

1( ) ( ) y f x x f y−= ⇔ =

0 6

1)().( 00 = ydydx

xdxdy

6

)(1)(

0

0

xdxdy

ydydx =

0610 /)42111(

1=++

= x x x 4

1=

0

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Si f: R → R / y =f(x); entonces

)´( x ydxdy

= = ( ) ( ).....d

f x f xdx ′= Derivada ordinaria de primer orden

2

2( ) ( )d d fx d f x

dx dx dx =

( )..... f x′′= derivada ordinaria de segundo grado

2 3

2 3

( ) ( )( )

d d f x d f x f x

dx dx dx

′′′= =

derivada ordinaria de tercer grado

( 1) ( )( )

1

( ) ( )( )

n nn

n n

d d f x d f x f x

dx dx dx

−

−

= = derivada ordinaria de orden n

DERIVACIÓN IMPLÍCITA


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Seaε(x, y) = 0 la ecuación de una curvaϐ ⊂ R 2 y si y = f(x) implícitamente, para hallardydx

derivamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x teniendo en cuenta que y

depende de x .

También se puede utilizar la siguiente formula:

dy xdx

y

ε

ε

∂∂= −∂∂

Ejemplo: Hallar2

2 22 , ( , ) : 9 0

d ysi x y satisface la ecuación x y

dx+ − =

Solución.

2 2 2 2( 9 )0, ( ) ( ) ( ) 0 2 2 . ( ) 0d d d dy x

x y y f x x y x y y xdx dx dy dx y

′+ − = = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −

Observación: 2/122 )9(9 x x y −=−=1

2 21 (9 ) ( 2 )2

dy x xdx

−

− −⇒ = y x

x

x −=−

−=29

2

2

yd d dydx dx dx

= d xdx y

−= 2 2( ) ( ) . ;d x y x x y y x y x y

dx y y y y

′ ′ ′ − − ′= − = − = − = −

2 2 2

2 2 3

( ) x

y xd y y x ydx y y

− − + ⇒ = − = −

DERIVADA DE FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA

Si C es la curva dada en forma parametrica mediante las ecuaciones:( )( )

x t

y t

φ

ϕ

==


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t : parámetro real, entonces ´( )(́ )

dydy y t dt

dxdx x t dt

= =

2

2d y d dydx dx dx

= (́ ) (́ ); ( )(́ ) (́ )

d y t y t z t d x x t x t

α = = =

2

2

d y dzdx dx

⇒ =)´()´(

t xt z=

=

)´()´(.

)´(1

t xt y

dt d

t x

−=

2))´(()(").´()(")´(

.)´(

1t x

t xt yt yt xt x

32

2

))´(()´()(")(")´(

t xt yt xt yt x

dx yd −=∴

VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTANEA

Supongamos que una partícula P se mueve a lo largo del eje de abscisas de modo que su posición en el instante t esta dado por la funcion s = f(t).

En el instante t0 la partícula estará en s0 = f(t0); en el instante próximo t0+∆t , estará ens1= f(tO+∆ t)

0 s0 s1 X

f (t0) f (t

0+∆ t)

Por lo tanto, la velocidad media durante este intervalo de tiempo es

vm= f t t f t

t ( ) ( )0 0+ −∆

∆

Y ahora definimos la velocidad instantánea v en el instante t0 mediante

v(t0) =lim v lim f t t f t

t t m t ∆ ∆∆∆→ →=

+ −0 0

0 0( ) ( )= f ’(t0)

|V(t0)|:rapidez instantánea

La aceleración instantáneaa en el instante t0 se define como:

a(t0) = v´(t0) = f ´´(t0)


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LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO:

Si f: R →R / y = f(x) es derivable en xo 0 00lim ( ) ( )(́ )

0 f x x f x

f x x x

+ ∆ −⇒ =

∆ → ∆

=∆∆ x y Razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo[x0,x0+∆x]

0 0( ) ( ) f x x f x y x x

+ ∆ −∆ = ⇒∆ ∆

0 00

lim ( ) ( ) ( )0

f x x f x f x

x x

+ ∆ − ′=∆ → ∆

:Razón de cambio de y ò

f con respecto a x en x0.

f´(x0) : Razón de cambio instantánea de f con respecto a x en el punto (x0, y0)

La velocidad es solamente una de muchas razones de cambio, la velocidad es la razón decambio de la distancia con respecto al tiempo. Otras razones de cambio son: la densidadde un alambre (la razón de cambio de la masa con respecto a la distancia), la corriente(razón de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo). En cada caso se debedistinguir entre la razón de cambio promedio en un intervalo y la razón de cambioinstantánea en un punto. La frase razón de cambio sin un adjetivo significa razón decambio instantánea.

xy0

y

f(x)=y (x,y)C:y =f(x)

x0 x = x0+∆x

(x0,y0)y - y0 =∆y=f(x) – f(x0)=f(x0 + ∆x) – f(x0)

∆x0


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Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su mismanaturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambiocuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se estéconsiderando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medirel cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio

(infinitesimal) en la segunda cantidad o variable independiente.Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot,y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall. De

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