tutorijal_4

Senzori i pretvarači Tutorijal 4

1

UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

SENZORI I PRETVARAČI

Zadaci za Tutorijal 4 – Mjerne trake

ZADATAK 1: Objekat čija se težina G mjeri postavljen je na dva jednaka metalna oslonca oblika valjka poluprečnika r = 4 cm. Na oslonce su zalijepljene mjerne trake i spojene u most kao na slici. Karakteristike mjernih traka su: R = 120 Ω, k = 2, Imax = 20 mA. Oslonci su napravljeni od materijala čiji je Yangov modul elastičnosti Ey = 1,9⋅1011 N/m2 i Poasonov koeficijent μ = 0,33. Odrediti naponsku osjetljivost mosta za maksimalno dozvoljeni napon napajanja. 1 2 F1 G F2 R R Uizl R R 2 3 1 4 3 4

E RJEŠENJE: Ovakvim načinom lijepljenja traka ostvareno je mjerenje ukupne težine bez obzira da li je teret postavljen simetrično ili ne. Oslonci su pri nesimetrično raspoređenom teretu opterećeni različitim silama F1 i F2 pri čemu je

1 2F G F F= = + .

Mjerne trake 2 i 3 su opterećene na istezanje (uzdužno naprezanje) pa vrijedi

12

y

Fε

S E= −

⋅, 2

3y

Fε

S E= −

⋅.

Mjerne trake 1 i 4 su opterećene poprečnom deformacijom ( τ μ ε= − ⋅ ) pa vrijedi

11

y

μ Fτ

S E⋅

=⋅

, 24

y

μ Fτ

S E⋅

=⋅

.

Promjene otpornosti traka ΔR

k εR

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

iznose

1 1

1

Δ

y

R μ k FR S E

⋅ ⋅=

⋅ , 2 1

2

Δ

y

R k FR S E

⋅= −

⋅, 3 2

3

Δ

y

R k FR S E

⋅= −

⋅, 4 2

4

Δ

y

R μ k FR S E

⋅ ⋅=

⋅.

Izlazni napon mosta je

( ) ( )1 4 2 3

1 2 3 4izl

R R R RU E

R R R R−

= ⋅+ ⋅ +

.

Uvrštavajući u prethodnu jednačinu da je R1 = R + ΔR1 , R2 = R + ΔR2 , R3 = R + ΔR3 , R4 = R + ΔR4 , dobije se izlazni napon (uz uvjet da je ΔR/R << 1) kao

1 4 2 3Δ Δ Δ Δ4izl

R R R RU E

R+ − −

= ⋅⋅

.


2

Uvrštavajući u prethodni izraz vrijednosti za promjene otpora ΔRi/Ri dobije se

( ) ( ) ( )1 2

1 1

4 4izl uy y

k μ k μU E F F E G S G

E S E S

⋅ + ⋅ += + = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅,

gdje je sa Su označena naponska osjetljivost mosta. Maksimalno dozvoljeni napon napajanja dobije se iz uvjeta

max2 2 120 0,02 4,8 VE R I= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .

Naponska osjetljivost mosta za maksimalno dozvoljeni napon napajanja je

( ) ( ) 911 2

1 2 0,33 1 V nV4,8 3,34 10 3,34

4 4 1,9 0,04 N Nuy

k μS E

E S π−⋅ + ⋅ +

= = = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

ZADATAK 2: Date su dvije mjerne trake sa karakteristikama R1 = 200 Ω k1 = 2,2 i R2 = 150 Ω k2 = 2,0. Potrebno je pomoću pasivnih otpornika izvršiti ujednačavanje otpornosti i osjetljivosti mjernih traka i to tako što se prvoj traci doda paralelno otpor RP a drugoj traci serijski otpor RS. Odrediti vrijednosti otpora RP i RS kojima se ovo može postići uz uslov maksimalne osjetljivosti. RJEŠENJE: Osjetljivost mjerne trake otpora R definisana je izrazom

1 dRk

ε R= ⋅ ,

Δlε

l= .

U slučaju kada se ekvivalentni otpor senzora Re sastoji od kombinacije otpornosti mjerne trake i otpornosti pasivnog otpora osjetljivost je definisana kao

1 e ee

e e

dR dRRk k

ε R R dR= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Da bi se izvršilo ujednačavanje otpornosti mjernih traka treba otpornost serijske kombinacije biti jednaka otpornosti paralelne kombinacije, pa mora vrijediti

e ep esR R R= = ,

odnosno

12

1

ps

p

R RR R

R R

⋅= +

+.

Da bi se izvršilo ujednačavanje osjetljivosti mjernih traka treba da osjetljivosti kod oba spoja budu jednake, to jest vrijedi da je

e es epk k k= = ,

gdje je

2 22 2

2 2

1eses

es s

dRR Rk k k

R dR R R= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

+,

( )2

1 11 1 12

11 11

1

ep p pep

pep pp

p

dR R RR Rk k k k

R RR dR R RR RR R

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ +++

.

Sada je

RPR1

R2

RS


3

22 1

2 1

p

s p

RRk k

R R R R⋅ = ⋅

+ +

Iz prethodne relacije i relacije za ekvivalentni otpor 12

1

ps

p

R RR R

R R

⋅= +

+ dobije se

12

1 1

2 2

200150 15,14Ω

2,2 2002 150

s

RR R

k Rk R

= − = − =⋅ ⋅

⋅⋅

1

1 1

2 2

200947,6Ω

2,2 20011

2 150

p

RR

k Rk R

= = =⋅ ⋅

−−⋅⋅

22

2

1502 1,82150 15,14e

s

Rk k

R R= ⋅ = ⋅ =

+ +

ZADATAK 3: Date su dvije mjerne trake sa karakteristikama R1 = 200 Ω k1 = 2,2 i R2 = 200 Ω k2 = 2,0. Potrebno je pomoću pasivnih otpornika izvršiti ujednačavanje otpornosti i osjetljivosti traka i to tako što se prvoj traci doda paralelno otpor RP i serijski serijski otpor RS. Odrediti vrijednosti otpora RP i RS kojima se ovo može postići uz uslov maksimalne osjetljivosti. RJEŠENJE:

1

1 1

2 2

4098Ω

1p

RR

k Rk R

= =⋅

−⋅

; 12

1 1

2 2

9,3Ωs

RR R

k Rk R

= − =⋅⋅

; 2,0ek =

ZADATAK 4: Mjerenje promjene otpornosti mjerne trake najčešće se vrši pomoću mjernog mosta. Uz pretpostavku da je unutrašnji otpor izvora zanemarivo mali Rg ≈ 0 i da je otpornost izlaznog instrumenta znatno velika Rizl ≈ ∞ odrediti ovisnost promjene izlaznog napona od promjene otpornosti mjernih traka usljed deformacije za: a) četvrtinski most (mjerna traka je otpornik R1 sa podužnom

deformacijom, a otpornici R2, R3 i R4 su fiksni otpornici), b) polovični most (mjerne trake su otpornici R1 i R2 sa podužnom

deformacijom, a otpornici R3 i R4 su fiksni otpornici), c) dvočetvrtinski most (mjerne trake su otpornici R1 i R4 sa podužnom

deformacijom, a otpornici R2 i R3 su fiksni otpornici), d) puni most (mjerne trake su otpornici R1, R2 , R3 i R4 sa podužnom deformacijom). RJEŠENJE: Uz konstantan napon napajanja mosta E i uvjete Rg ≈ 0 i Rizl ≈ ∞ vrijede relacije

1 21 2

EI I

R R= =

+, 3 4

3 4

EI I

R R= =

+.

Izlazni napon se dobije kao

RPR1

R2

RS

R2

Uizl

R4

R1

E

R3


4

( ) ( )( ) ( )

1 3 4 3 1 21 3 1 3

1 2 3 4 1 2 3 4izl

R R R R R RE EU U U R R E

R R R R R R R R

+ − += − = ⋅ − ⋅ = ⋅

+ + + ⋅ +.

Iz prethodne relacije se dobije izlazni napon mosta kao

( ) ( )1 4 2 3

1 2 3 4izl

R R R RU E

R R R R⋅ − ⋅

= ⋅+ ⋅ +

.

U uravnoteženom stanju je Uizl = 0 pa za otpore u mjernom mostu vrijedi relacija

1 4 2 3 0R R R R⋅ − ⋅ = ⇒ 1 4 2 3R R R R⋅ = ⋅ .

Ako se otpori mijenjaju tokom vremena jednačina za izlazni napon ima oblik

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 4 4 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 4 4

Δ Δ Δ Δ

Δ Δ Δ Δizl

R R R R R R R RU E

R R R R R R R R

+ ⋅ + − + ⋅ += ⋅

+ + + ⋅ + + +.

a) Za četvrtinski most (mjerna traka je otpornik R1 sa podužnom deformacijom, a otpornici R2, R3 i R4

su fiksni otpornici) vrijedi relacija

2 3 4Δ Δ Δ 0R R R= = = i 1Δ ΔR R= .

Ako je most potpuno simetričan, tj. 1 2 3 4R R R R R= = = = izlazni napon mosta je

ΔΔ

Δ4 2Δ 4 24 2izl

RR k εRU E E E

RR R k εR

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ + + ⋅ ⋅+ ⋅.

Izlazni napon je nelinearna funkcija istezanja. Za male promjene otpora ΔR može se ΔR u nazivniku zanemariti pa se dobije linearna zavisnost napona od istezanja

Δ4 4izl

R E kU E ε

R⋅

= ⋅ = ⋅⋅

.

b) Za polumost (mjerne trake su otpornici R1 i R2, sa podužnom deformacijom (da bi postojao izlazni napon potrebno je da deformacije budu suprotnog smjera), a otpornici R3 i R4 su fiksni otpornici) vrijede relacije

1 2Δ Δ ΔR R R= − = i 3 4Δ Δ 0R R= = ,

pa je izlazni napon potpuno simetričnog mosta mosta jednak

Δ2 2izl

E R E kU ε

R⋅

= ⋅ = ⋅ .

Izlazni napon je linearna funkcija istezanja. Osjetljivost polumosta je dva puta veća nego osjetljivost četvrtinskog mosta, to jest promjena izlaznog napona za isto istezanje je dva puta veća kod polumosta.

c) Za dvočetvrtinski most (mjerne trake su otpornici R1 i R4 sa podužnom deformacijom, a otpornici R2 i R3 su fiksni otpornici) vrijede relacije

1 4Δ Δ ΔR R R= = i 2 3Δ Δ 0R R= = ,

pa je izlazni napon potpuno simetričnog mosta mosta jednak

Δ2 Δ 2 1izl

E R E k εU

R R k ε⋅

= ⋅ = ⋅+ + ⋅

.


5

Izlazni napon je nelinearna funkcija istezanja. Za male promjene otpora ΔR može se ΔR u nazivniku zanemariti pa se dobije linearna zavisnost napona od istezanja

Δ2 2izl

R E kU E ε

R⋅

= ⋅ = ⋅⋅

Osjetljivost ovog mosta je dvostruko veća od osjetljivosti četvrtinskog mosta. d) Za puni most (mjerne trake su otpornici R1, R2 , R3 i R4 sa podužnom deformacijom)

1 4 2 3Δ Δ Δ Δ ΔR R R R R= = − = − = ,

pa je izlazni napon mosta jednak: Δ

izl

RU E E k ε

R= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Izlazni napon je linearna funkcija istezanja. Osjetljivost punog mosta je dva puta veća od osjetljivost polumosta i četiri puta veća od osjetljivosti četvrtinskog mosta. Do sada je razmatran potpuno simetričan mjerni most. Ako se radi o mostu koji nije simetričan tada vrijede druge jednakosti. Tako se na primjer za često korišteni most kod koga je zadovoljen uvjet R1 = R2 , R3 = R4 i za koji su promjene otpora male ( ΔRi/Ri << 1) dobije:

( )31 2 41 2 3 4

1 2 3 4

ΔΔ Δ Δ4 4izl

RR R RE E kU ε ε ε ε

R R R R

⎛ ⎞ ⋅= ⋅ − − + = ⋅ − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

ZADATAK 5: Mjerenje ubrzanja u pravcu x–ose vrši se pomoću tanke aluminijske konzole dimenzija b x h = 30 x 2 mm na čijem kraju se nalazi uteg mase m = 0,2 kg. Na kraju konzole čiji je modul elastičnosti Ey = 5,1⋅1010 N/m2, na udaljenosti l = 10 cm od utega zalijepljene su četiri jednake mjerne trake karakteristika R = 300 Ω, Imax = 15 mA, k = 2. Trake su vezane u mjerni most čiji se izlazni napon mjeri. Kako treba postaviti mjerne trake da osjetljivost mjerenja duž y–ose i z–ose bude jednaka nuli, a osjetljivost duž x–ose bude maksimalna? Odrediti naponsku osjetljivost mosta za maksimalno dozvoljeni napon napajanja mosta.

RJEŠENJE:

Sve mjerne trake treba zalijepiti uzdužno i to trake 1 i 4 sa desne, a trake 2 i 3 sa lijeve strane aluminijske konzole.

Normalno naprezanje usljed savijanja dobije se kao odnos momenta savijanja i momenta otpora na savijanje

s

Mσ

W= .

Moment savijanja se dobije kao proizvod sile F koja izaziva savijanje i kraka sile l

b

l

x

m

h

R2

y

h Uizl

R4

R1

E

R3


6

M F l= ⋅ .

Moment otpora na savijanje za aluminijsku konzolu pravougaonog presjeka dimenzija b x h (dimenzija h u pravcu x –ose) iznosi

2

6b h

W⋅

= .

Sada je normalno naprezanje usljed savijanja jednako

2

6s

F lσ

b h⋅ ⋅

=⋅

, xF m a= ⋅ .

Relativna promjena dužine mjernih traka iznosi

2 2

6 6sx

y y y

σ F l l mε a

E b h E b h E⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.


1 4 2 3Δ Δ Δ Δ4izl

R R R RU E

R+ − −

= ⋅⋅

,

gdje je

31 4 2 ΔΔ Δ Δ RR R Rk ε

R R R R= = − = − = ⋅ .

Sada je

2

6izl x u x

y

E k m lU a S a

b h E⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

,

gdje je sa Su označena naponska osjetljivost mosta

2

6u

y

E k m lS

b h E⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

.

Maksimalno dozvoljeni napon napajanja mosta je max2 9 VE R I= ⋅ ⋅ = , pa je osjetljivost u tom slučaju

jednaka

42 2 10 2

6 9 2 6 0,2 0,1 V3,53 10

0,03 0,002 5,1 10 m/suy

E k m lS

b h E−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

ZADATAK 6: Radi određivanja modula elastičnosti materijala od njega je napravljena konzola dužine L = 20 cm, pravougaonog presjeka b x h = 30 x 2 mm. Na rastojanju l = 15 cm od kraja konzole zalijepljene su dvije mjerne trake, jedna ispod druge. Mjerne trake imaju sljedeće karakteristike: R = 300 Ω, k =2 i uključene su u most koji se napaja iz izvora napona E = 4,5 V. Ako pri djelovanju tega mase m = 0,1 kg na kraju konzole instrument pokazuje napon Uizl = 180 μV odrediti modul elastičnosti materijala Ako su dimenzije konzole i rastojanja određeni sa greškom od 0,5 %, a parametri trake i izlazni napon sa 1 % odrediti vjerovatnu grešku mjerenja modula elastičnosti.

b

L

R2

F

Uizl

R4R1

E

R3h

R1 R2

l


7

RJEŠENJE:

Normalno naprezanje na savijanje iznosi:

2

6s

F lσ

b h⋅ ⋅

=⋅

,

gdje je

F m g= ⋅ .

Relativna promjena dužine mjernih traka iznosi

2 2

6 6s

y y y

σ F l l m gε

E b h E b h E⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Kako je mjerna traka 1 postavljena sa gornje strane, a mjerna traka 2 sa donje strane konzole vrijede relacije

1 2Δ ΔR Rk ε

R R= − = ⋅ , 34 ΔΔ

0RR

R R= = .


2

62 2izl

y

E E k m l gU k ε

b h E⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅

.

Modul elastičnosti je

112 2 4 2

6 4,5 2 6 0,1 0,15 9,811,84 10 184 GPa

2 2 0,03 0,002 1,8 10yizl

E k m l g NE

b h U m−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

Vjerovatna greška mjerenja posredno mjerene veličine y = f(x1, x2, ... xn) računa se kao

2

1

Δn

ii i

fG x

x=

⎛ ⎞∂= ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ .

U datom slučaju dobije se:

22 2 2 2

Δ Δ Δ Δ Δy y y y yEy izl

izl

E E E E EG k U l b h

k U l b h

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )22 2 2 2

ΔΔ Δ Δ 2 Δ% 100 1,87%izl

Eyizl

Uk l b hG

k U l b h

⎛ ⎞ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Vjerovatna greška mjerenja modula elastičnosti iznosi 1,87 %. ZADATAK 7: Četiri mjerne trake (k = 2,5) su nalijepljene na konzolu kao na slici (po dvije trake sa obe strane konzole). Konzola je napravljena od materijala čiji je modul elastičnosti Ey = 190 GPa. Nacrtajte Wistonov most i označite kako su mjerne trake povezane u mostu uz uvjet dobijanja maksimalne osjetljivosti. Da li je spoj temperaturno kompenziran. Izlazni napon je pozitivan za smjer djelovanja sile kao na slici. Ako se most napaja iz izvora napona E = 10 V, izlazni napon iznosi Uizl = 16,25 mV. Odredite silu F koja djeluje na konzolu. RJEŠENJE: ( trake 1 i 4 sa donje strane, trake 2 i 3 sa gornje strane konzole, F = 13,93 N, puni most je uvijek temperaturno kompenziran)


8

ZADATAK 8: Četiri jednake mjerne trake A, B, C i D su nalijepljene na konzolu kao na slici. Spoj se koristi kombinovano za mjerenje momenta savijanja M i aksijalne sile F.

Kako bi trebalo vezati mjerne trake u mjerni most uz makismalnu osjetljivost pa da se:

a) Mjeri samo moment savijanja M

b) Mjeri samo aksijalna sila F

Za oba slučaja naći naponsku osjetljivost mosta i uporediti ih. Da li je most temperaturno kompenziran.

RJEŠENJE: Izlazni napon mosta je dat kao

( )31 2 41 2 3 4

1 2 3 4

ΔΔ Δ Δ4 4izl

RR R RE E kU ε ε ε ε

R R R R

⎛ ⎞ ⋅= ⋅ − − + = ⋅ − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a) Kod mjerenja momenta savijanja mjerne trake B i C osjetljive su

na uzdužnu deformaciju, a mjerne trake A i D na poprečnu deformaciju ( Mε je deformacija usljed momenta M):

MAε μ ε= − ⋅ , M

Bε ε= , MCε ε= − , M

Dε μ ε= ⋅ .

Da bi se dobila maksimalna osjetljivost mosta potrebno je trake vezati na sljedeći način:

Mjerne trake B i D – grana 1 i 4 Mjerne trake A i C – grane 2 i 3

Svejedno je da li se mjerna traka B veže u granu 1 ili u granu 4.

Izlazni napon mosta je u ovom slučaju:

( ) ( )14 2

M M M M M Mizl u

E k E kU ε μ ε ε μ ε μ ε S ε

⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

R2

Uizl

R4

R1

E

R3


9

Temperaturni uticaji pri radu sa mjernim trakama mogu znatno uticati na rezultate mjerenja. Zbog toga se mora posvetiti velika pažnja odstranjivanju tih uticaja. Najjednostavniji način kompenzacije postiže se mosnim spojevima.

Posljedica temperaturnih uticaja na mjernom mostu je smetnja sa temperaturnim istezanjem mjerne trake εT. Temperaturna kompenzacija nastupa ako se sve mjerne trake nalaze na istom materijalu i na istoj temperaturi i tada je temperaturno istezanje εT jednako za sve trake. Zbog toga jednačina punog mosta dobija oblik

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44izl T T T T

E kU ε ε ε ε ε ε ε ε

⋅⎡ ⎤= ⋅ + − + − + + +⎣ ⎦ .

Vidi se da je u datom slučaju mjerni most temperaturno kompenziran

( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 2

M M M M Mizl T T T T

E k E kU ε ε μ ε ε ε ε μ ε ε μ ε

⋅ ⋅⎡ ⎤= ⋅ + − − ⋅ + − − + + ⋅ + = + ⋅⎣ ⎦ .

Naprezanja usljed djelovanja aksijalne sile F su( Fε je deformacija usljed sile F):

FAε μ ε= − ⋅ F

Bε ε= FCε ε= F

Dε μ ε= − ⋅

Za dati aranžman mosta izlazni napon usljed djelovanja aksijalne sile F je

( ) 04

F F F Fizl

E kU ε μ ε ε μ ε

⋅= ⋅ + ⋅ − − ⋅ =

Dakle ovako aranžiran most mjeri samo moment savijanja. b) Kod mjerenja aksijalne sile F mjerne trake B i C osjetljive su na uzdužnu deformaciju, a mjerne

trake A i D na poprečnu deformaciju:

FAε μ ε= − ⋅ , F

Bε ε= , FCε ε= , F

Dε μ ε= − ⋅ .

Da bi se dobila maksimalna osjetljivost mosta potrebno je trake vezati na sljedeći način:

Mjerna trake B – grana 1 Mjerne traka A – grana 2

Mjerne traka D – grana 3 Mjerne traka C – grana 4

Izlazni napon mosta je u ovom slučaju

( ) ( )14 2

F F F F F Fizl u

E k E kU ε μ ε μ ε ε μ ε S ε

⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ .

Osjetljivost mosta je ista za oba mjerenja.

Provodeći postupak kao u slučaju a) lako se pokaže da je spoj i u ovom slučaju temperaturno kompenziran i da je izlazni napon u funkciji momenta savijanja jednak nuli.

ZADATAK 9: Mjerenje sile vrši se pomoću metalne konzole i mjernih traka kao na slici. Na strani opterećenja nalaze se dvije jednake mjerne trake A (poprečno naprezanje) i B (podužno naprezanje). Jangov modul elastičnosti konzole iznosi Ey = 200 GPa, a Poasonov koeficijent iznosi μ =0,285. Koeficijent osjetljivosti mjerne trake je k = 2,5. Kako treba spojiti mjerne trake u most da se dobije pozitivno očitanje izlaznog napona za dati smjer sile, uz maksimalnu naponsku osjetljivost. Izračunati naponsku osjetljivost. Izračunati izlazni napon mosta kod djelovanja sile od 25 N. Napon napajanja mosta je E = 6 V.


10

RJEŠENJE:(mjerna traka A – grana 2 ili 3, mjerna traka B – grana 1 ili 4 Uizl = 829 μV Su = 3,315⋅10–5 V/N)

ZADATAK 10: Za mjerenje mase tereta koristi se pretvarač u obliku vertikalnog valjka prečnika d = 5 cm i dužine l = 8 cm. Na gornjem kraju nalazi se platforma mase mp = 8 kg, znatno veće od mase valjka mv. Valjak je od aluminijuma modula elastičnosti EY = 7,1⋅1010

N/m2,

Poasonovog koeficijenta µ= 0,33 i maksimalno dozvoljenog normalnog naprezanja σmax = 6,6⋅106

N/m2. Na valjku su zalijepljene 4

jednake mjerne trake spojene u most. Karakteristike traka su R = 120 Ω, Imax= 20 mA i k = 2,05. Kao indikator koristi se milivoltmetar sa maksimalnim naponom 199,9 mV. a) Nacrtati most i označiti način lijepljenja traka na valjak. Odrediti osjetljivost mosta pri

maksimalnom naponu napajanja i potrebno pojačanje pojačala A ako najveća masa koja se mjeri iznosi mmax = 199,9 kg. Smatrati da je most uravnotežen dodatnim otpornicima (koje nije potrebno crtati) nakon dodavanja platforme mp. Potrebno pojačanje pojačala odrediti iz uvjeta da je izlazni napon Uizl = 199,9 mV pri opterećenju od m =199,9 kg.

b) Pri istim spoljašnjim dimenzijama valjka osjetljivost se može povećati bušenjem, čime on dobiva oblik cijevi, slika b. Odrediti maksimalnu vrijednost unutrašnjeg prečnika du ako opseg mjerenja iznosi 0 – 100 kg. Odrediti potrebno pojačanje u ovom slučaju.

c) Odrediti sopstvenu frekvenciju neopterećenog pretvarača u gornja dva slučaja. Ako u prvom slučaju koeficijent prigušenja iznosi ξa = 0,2, odrediti koeficijent prigušenja u drugom slučaju ξb . Koeficijent elastičnosti ke se računa iz relacije F = – ke⋅Δl .

RJEŠENJE:


11

a) Na slici 1. prikazani su načini lijepljenja mjernih traka, kao i mjerni most.

Slika 1. (a) Način lijepljenja mjernih traka i (b) povezivanje u mjerni most

Izlazni napon mjernog mosta iznosi

1 4 2 3Δ Δ Δ Δ.

4i

R R R RU E

R+ − −

= (1)

Pretpostavlja se da postoje dodatne otpornici za nulovanje mosta, čime se obezbjeđuje da je izlazni napon mosta kada nema dodatnog tereta na platformi jednak nuli.

Relativne promjene otpornosti mjernih traka usljed deformacije pretvarača su 1Δ ΔR lk

R l= − i

2Δ ΔR lμk

R l= , gdje je Δl promjena dužine valjka koja se dobija na osnovu Hukovog zakona

2

Δ 4

Y

l mgl πd E= .

Izlazni napon mjernog mosta može se napisati u funkciji mjerene mase m, koja se postavlja na platformu i ima sljedeću vrijednost

( )

2

2 1i

Y

k μ EgU m S m

πd E

+= − = ⋅ , (2)

gde je S osjetljivost mosta koja iznosi

( ) max

2

4 10,46μV/kg

Y

k μ RI gS

πd E

+= − = − . (3)

Potrebno pojačanje A se određuje iz uslova da je izlazni napon pri opterećenju od m = 199,9 kg jednak 199,9 mV, odnosno da je A∙S = 1 mV/kg, odakle se dobiva

222 10A = − ⋅ . (4) b) Maksimalni unutrašnji prečnik valjka dobiva se izjednačavanjem maksimalnog dozvoljenog normalnog napona sa normalnim naponom koji stvara teret od 100 kg


12

( )( )max

max2 2

4 p

u

m m gσ

π d d

+=

−, (5)

odakle unutrašnji prečnik valjka iznosi

( )max2

max

44,8cmp

u

m m gd d

πσ

+= − ≈ . (6)

Smanjenje površine valjka rezultuje povećanjem osetljivosti mjernog mosta

( )21

' 5,87μV/kg.1 /u

S Sd d

= = −−

(7)

Vrijednost potrebnog pojačanja A' dobiva se iz uslova da je A'S' = 1 mV/kg:

2' 1,7 10A = − ⋅ . (8) c) Koeficijent elastičnosti u slučaju kada valjak nema šupljinu iznosi

2

416,2 10 N/m4

Ye

E πdk

l= = ⋅ , (9)

pa sopstvena učestanost ima sljedeću vrijednost

1

22,7Hz2

es

p

kf

π m= = , (10)

dok je za šuplji valjak koeficijent elastičnosti ekvivalentne opruge

( ) ( )

2 22 4' 1 / 1,27 10 N/m

4Y u

e e u

E π d dk k d d

l

−⎡ ⎤= = − = ⋅⎣ ⎦ (11)

a sopstvena učestanost

'1

' 6,4Hz2

es

p

kf

π m= = . (12)

Koeficijent prigušenja punog valjka dat je sljedećim izrazom

2

a

e p

cξ

k m= , (13)

pa se koeficijent prigušenja šupljeg valjka dobija zamenom koeficijenta elastičnosti punog valjka sa odgovarajućim za šuplji u prethodnom izrazu

( )2

1

2 ' 21 /

ab

e p u

ξcξ

k m d d= = ≈

−. (14)

tutorijal_4

Documents