Teorija prometa - radni materijal Tutorijal 3 - Poissonov dolazni proces

Zadatak1 Neka su 0:)(1 ≥ttN i 0:)(2 ≥ttN dva nezavisna Poissonova procesa sa intenzitetima λ1 i λ2, respektivno. U trenutku 0 bacamo novčić (koji pada i pokazuje glavu sa vjerovatnoćom p). Definišimo:

⎩⎨⎧

=pismonapokazujenovcicakotNglavunapokazujenovcicakotN

tN)()(

)(2

1

Da li je 0:)( ≥ttN Poissonov proces? Obrazloži odgovor. Zadatak3 Autobusi staju na stanicu redovno svakih 15 minuta. Taksi prolazi u skladu sa Poissonovim procesom sa intenzitetom jedan svakih 15 minuta. Student stiže na stanicu u slučajnom vremenskom trenutku.

a) Koje je očekivano vrijeme čekanja studenta na stanici dok ne stigne prvi autobus?

b) Koje je očekivano vrijeme čekanja studenta na stanici dok ne stigne prvi taksi? c) Koja je vjerovatnost da će student čekati duže od 10 minuta dok ne dođe prvi

taksi ili autobus? Zadatak4 Riješi prethodni zadatak pretpostavljajući sada da je student stigao na stanicu upravo nakon što je autobus napustio stanicu.

Teorija prometa - radni materijal Tutorijal 3 - Poissonov dolazni proces

Zadatak5 Posmatrajmo red čekanja sa jednim poslužiteljem, sa dolascima na red čekanja opisanim Poissonovom raspodjelom sa intenzitetom λ. Vremena posluživanja su nezavisna i jednako raspodijeljena. Pretpostavimo da su vremena posluživanja klijenata na poslužitelju opisana eksponencijalnom raspodjelom sa srednjom vrijednošću 1/μ. Koliki je srednji broj dolazaka u toku perioda posluživanja? Zadatak6 Dokaži da eksponencijalna raspodjela ima svojstvo odsustva memorije, tj, da za svako

( )∞∈ ,0, yx vrijedi )()( yXPxXyxXP >=>+> . Zadatak7 IP paketi stižu na ruter sa srednjom brzinom od 10 paketa u sekundi. Pretpostavimo da su dolasci opisani Poissonovom raspodjelom.

a) Koja je vjerovatnoća da će brzina biti viša od srednje brzine za 10% u toku perioda dugog 1 sekundu? Isto pitanje za interval dužine 10 sekundi?

b) U toku zagušenja mehanizam rane detekcije (Random Early Detection - RED) počinje da odbaciju pakete po slučajnom zakonu. Pretpostavimo da se paketi odbacuju sa vjerovatnoćom 0.2, a zadržavaju sa vjerovatnoćom 0.8. Kolike su sada vjerovatnosti iz a)?

Zadatak8 Tramvaji stižu na stanicu A u skladu sa Poissonovim procesom intenziteta a. Ako student sjedne na tramvaj na stanici A, potrebno je vrijeme T da student stigne kući, mjereno od trenutka kada uđe u tramvaj. Ukoliko student hoda direktno od stanice A do kuće, potrebno mu je vrijeme W da stigne do kuće. Kada student stigne na stanicu, obično čeka neko vrijeme „r“, i ako za to vrijeme ne naiđe tramvaj, ide kući pješice.

a) Odredi očekivano vrijeme od dolaska studenta na stanicu dok ne stigne kući. b) Pokaži da ako je W<1/a+T, očekivano vrijeme iz dijela zadatka pod a) može se

minimizirati postavljanjem r=0; ako je W>1/a+T, tada se isto vrijeme može minimizirati postavljanjem r=beskonačno. Kada je W=1/a +T, sve vrijednosti r daju isti rezultat.

c) Objasni zašto je dovoljno samo razmatrati slučaj r=0 i r=∞ kod minimiziranja očekivanog vremena?