Teorija prometa - radni materijal Tutorijal 2 - Slučajni procesi

1

Zadatak 1: Neka je S1, S2, … niz nezavisno identično raspodijeljenih varijabli sa raspodjelom:

za svaki Si, gdje je q=1-p. Neka je slučajna varijabla

Familija varijabli

je slučajni proces kojeg nazivamo jednostavni slučajni hod (simple random walk) X(n) u jednoj dinmenziji.

a) opišite proces X(t), u odnosu na skup parametara i indeksni skup (bez eksplicitnog računanja vjerovatnosti).

b) konstruišite tipičnu trajektoriju ovog procesa. Zadatak 2: Studenti ETF-a svaki dan poslije predavanja idu u kafić i piju kafu. Neka slučajna varijabla Xi označava količinu kafe koju student popije i-tog dana.

a) Opišite proces X(i) = 1, ≥iX i (bez eksplicitnog računanja vjerovatnosti) b) Konstrurajte tipičnu trajektoriju ovog procesa.

Zadatak 3: Posmatrajte jednostavan slučajan hod definisan u zadatku 1. Neka su Bernoullijeve slučajne varijable nezavisne i raspodijeljene prema funkciji vjerovatnosti:

Izračunajte autokorelacionu funkciju Rx(m,n), i varijansu stohastičkog procesa

Teorija prometa - radni materijal Tutorijal 2 - Slučajni procesi

2

Zadatak 4: Posmatrajmo stohastički proces definisan na sljedeći način:

gdje je Y uniformno raspodijeljeno između 0 i 1. Izračunajte srednju vrijednost E[X(t)], autokorelacijsku funkciju ),( stRx , i autokovarijansnu funkciju ),( stK x ovog procesa. Zadatak 5: Putnici na aerodromu nakon carinske kontrole odlaze u prostoriju gdje se nalazi njihova prtljaga. Pet je carinskih kontrolnih tački i na svakoj je vrijeme obrade jednog putnika raspodijeljeno eksponencijalno sa parametrom λ=1/3 [1/min]. Koliki prosječan broj putnika se očekuje u prostoriji za prtljagu u jednom satu? Zadatak 6: Neka je X(t) Poissonov proces intenziteta λ, i neka je t>s. Izračunajte vjerovatnost:

Zadatak 7: Pretpostavimo da je 8 računara spojeno na isti segment izolirane LAN mreže. Se stanice šalju u mrežu kratke pakete (ping) intenzitetom λ=100 paketa/s, sa eksponencijalno raspodijeljenim vremenom između slanja dva uzastopna paketa. Ako su svi računari spojeni na hub, koju raspodjelu, i sa kojim parametrima ima slučajni proces X (t) koji mjeri broj paketa koji su prošli kroz hub?