TUTORIAL PARA OBTENER SERIES DE FOURIER Y GRAFICARLAS EN MATLAB

Ejemplo para utilizar MATLAB en donde se verifica que las series de Fourier están bien evaluadas

SEÑAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES

Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su aplicación se estudiará esta señal:

fig. 2.13. Señal polar

En el intervalo 0 2 t la señal g(t) está dada por:

g tt

t( )

1 0

1 2

Representaremos esta señal por la serie trigonométrica de Fourier. Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno.

bT

sen n tT

sen n tdtn 2 2

00

2

0

T = 2

0

21

T entonces

bnt

n

nt

nn

2

2

2

20

2

cos cos

= 1

11

1n

nn

n

cos cos

b nn

4

0

......................... para n impar

........................... para n par

g(t) = n

nb sen n t

1

0 = 4 4

33

4

55

sen sen sent t t

La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:

f 00

2

1

2

hertz y de 4

volts de amplitud

más una señal senoidal de frecuencia f =3

2Hertz y una amplitud de

4

3volts + ...

se obtiene una señal de pulsos rectangulares.

fig 2.15. Componentes armónicos para la señal polar de pulsos rectangulares.

Ahora se graficara el resultado obtenido mediante la serie de Fourier en MATLAB .

1) ABRIR EL PROGRAMA MATLAB

2)Se recomienda utilizar el editor (notepad)de de MATLAB, siguiendo los siguientes pasos, file/new /m-file.

B)Una vez escrito el codigo, salvar como (simpre se salva en la carpeta work), y se corre el programa run(f5) o bien dar clik en icono con flecha azul (run), la figura se muestra automáticamente

C)Se debe tener la siguiente pantalla con el código escrito

% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azult=0:.1:10y=4*sin(t)/pi;plot(t,y)hold on%el segundo armonico en verde y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];hold on plot(t,y,'g')%el tercer armonico en ++++y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];hold on plot(t,y,'+')%la resultante en rojo,al sumar las armonicas, de la señal cuadrada.%siga sumando hasta 10 armonicos y observe que la resultante que se aparece mas%a la señal cuadraday=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];plot(t,y,'r')

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Al seguir sumando más armónicos se tenderá a conseguir la señal cuadrada polar original.

SEÑAL TRIANGULAR

Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t <T, la señal g (t) está definida por:

fig 2.5 Señal Diente de Sierra.

FnT

g t e dtT

A

Tt e dtjn t

Tjn t

T

o o 1 1

0 0

( )

Utilizando la fórmula integral :

xe dxe

xxx

2 1

Tenemos:

FnAe

T njn t

i

A

ne j n

A

n

jn t

oo

T

o

jn

o

2 2 20

2

2 22

2 2

1

2

1

42 1

4

Tenemos también e jn2 = cos n 2 - jsen n2 = 1

FnjA

n

A

n

A

n

jA

n

FnjA

n

2 4 4 2

2

2 2 2 2

Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o.

Fo =1 1

200 2

2

0T

f t dtT

A

Ttdt

A

T

tTT

T

( )

=A

T

T A2

2

2 2

Fo = ao

Agrupando ambos resultados:

Fn A

jA

n

2

2

Para n = 0

Para n 0 Utilizando este resultado para expresar g(t) en serie exponencial de Fourier

Tenemos :

g(t) = - jA

6 e j ot 3 - jA

4 e j t 2 -

jA

2 e j t +

A

2 +

jAe

jAej ot j ot

2 42

.......

Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase: Fn = |Fn| e j n

Fn = A

n2 e j tg 1

A

2 n0

C

0

tg 1 0902

( )

FnA

nFn an bn

22 2

`

Para n = -1, -2, -3, . . . . .

Para n = 1, 2, 3, . . . .

n

2

2

fig 2.6 Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra.

Mediante la serie trigonométrica de Fourier:

a 1

20Tf t dt

AT

( )

a nT

A

Tt n o t

T

2

0c o s

2

20

0

20

0 0

A

T

n t

n

tsen n t

n

T

cos

NOTA:

x axax

a

x sen ax

acos

cos

2

22

2

21

2 1 10

22

20 0

2

2

0

2

0

2

A

T

nT

T

nT

Tsenn

TT

n n

A

T n n

cos

Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn

g(t) = A A

sen tA

sen tA

sen t2 2

23

30 0 0

-A

sen t4

4 0 . . . . . . .

Cn= an bn bn2 2

nb n

a n

A

nt g tg tg ( )1 1 120 2

Después de haber evaluado la serie de Fourier para la señal triangular grafíquela en matlab

%SERIE DE FOURIER PARA SEÑAL TRIANGULAR

t=0:0.1:15;y=1/2-sin(t)/pi;plot(t,y,'g')hold ony=1/2-sin(2*t)/(2*pi);plot(t,y,'b')hold ony=1/2-sin(3*t)/(3*pi);plot(t,y,'r')hold ony=1/2-sin(4*t)/(4*pi);plot(t,y,'g')hold ony=1/2-sin(t)/pi-sin(2*t)/(2*pi)-sin(3*t)/(3*pi)-sin(4*t)/(4*pi);plot(t,y,'b')

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1