t/!upgvsjb-!w/!ypxpmbwb! o/!nbxbsbtwjmj-!h/!hjpshb[f-!b ... · 6 ras soris sxvaoba iyos minimaluri....

t/!Upgvsjb-!w/!ypXpmbwb!o/!nbXbsbTwjmj-!h/!hjpshb[f-!b/!ljsUb[f

t e s t e b i s a d a a m o c a n e b i s

k r e b u l i

maTematikaSi

rekomendebulia stu-s

saredaqcio-sagamomcemlo

sabWos mier damxmare

saxelmZRvanelod

umaRles saswavleblebSi

SemsvlelTaTvis

profesor t/!Upgvsjbt redaqciiT

mesame gadamuSavebuli gamocema

Tbilisi

2009

wigni warmoadgens damxmare saxelmZRvanelos

umaRles saswavleblebSi SemsvlelTaTvis. masSi

mocemuli masalis safuZvliani Seswavla uzrunvel-

yofs moswavle axalgazrdobis maTematikur momza-

debas im doneze, romelic moeTxoveba, dRevandel

pirobebSi, umaRles saswavlebelSi Semsvlels. garda

amisa, yoveli paragrafis pirvel naxevarSi mocemuli

testebi daexmareba abiturientebs unar-Cvevebis

maTematikuri nawilis momzadebaSi.

wigni rogorc damxmare saxelmZRvanelo, didad

sasargeblo iqneba saSualo skolebisaTvis.

recenzenti: profesori T/!ufuvobTwjmj ! ! ! ! ! !

© sagamomcemlo saxli `teqnikuri universiteti~, 2009

ISBN 978-9941-14-240-6

http://www.gtu.ge/publishinghouse/

yvela ufleba daculia. am wignis arc erTi nawili (iqneba es

teqsti, foto, ilustracia Tu sxva) aranairi formiT da

saSualebiT (iqneba es eleqtronuli Tu meqanikuri), ar SeiZleba

gamoyenebul iqnas gamomcemlis werilobiTi nebarTvis gareSe.

saavtoro uflebebis darRveva isjeba kanoniT.

Verba voland scripta manent

pirveli gamocemis winasityvaoba

`testebisa da amocanebis krebuli maTemati-

kaSi~ warmoadgens damxmare saxelmZRvanelos

abiturientebisaTvis. is umaRles saswavlebleb-

Si misaRebi gamocdebis programiT gaTvaliswi-

nebuli maTematikis amocanaTa krebulia. igi

Sedgeba 38 paragrafisagan. paragrafebi Sedge-

nilia Tematikis mixedviT, xolo TiToeul

paragrafSi sakiTxebi dalagebulia maTi tipebi-

sa da sirTulis gaTvaliswinebiT. amasTan pirve-

li naxevari testebia, xolo meore naxevari ki

amocanaTa krebuli. magaliTebisa da amocanebis

aseTi dalageba mkiTxvels gauadvilebs skolaSi

Seswavlili sakiTxebis gameorebas da SeZenili

codnis gaRrmavebas. masalis aseTi dalageba,

agreTve saSualebas iZleva SevadginoT sxvada-

sxva sirTulis bileTebi maTematikaSi da una-

rebSi sakiTxTa sasurveli raodenobiT.

wignSi gamoyenebulia erTiani erovnuli

gamocdebis masala da gaTvaliswinebulia am

gamocdebis Taviseburebani. moyvanilia 40 sakiT-

xiani bileTis sxvadasxva SesaZlo variantebi.

wigni ZiriTadad gankuTvnilia moswavleebisa

da abiturientebisaTvis misaRebi gamocdebisa-

Tvis mosamzadeblad. wigni gamoadgeba agreTve

yvelas, vinc maTematikis saskolo kursiT aris

dainteresebuli.

avtorebi siamovnebiT miiReben mkiTxvelis

yvela saqmian SeniSvnas, romelic gaTvaliswine-

buli iqneba wignis Semdgom gamocemaSi.

3

meore gamocemis winasityvaoba

meore gamocemaSi gasworebulia SemCneuli

uzustobani. wigni mTlianad gadamuSavebulia da

arsebiTad Sevsebulia.

avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc mog-

vawoda SeniSvnebi SemCneul xarvezebze.

mesame gamocemis winasityvaoba

mesame gamocema mTlianad gadamuSavebulia da

arsebiTad Sevsebulia. kerZod, damatebulia

albaTobis Teoriisa da maTematikuri statis-

tikis elementebi, veqtoruli algebra, simrav-

leTa Teoriis elementebi da figuraTa gar-

daqmna. gasworebulia SemCneuli uzustobani.

avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc

mogvawoda SeniSvnebi SemCneul xarvezebze.

4

5

!! %2/!bsjUnfujlvmj!hbnpUwmfcj gamoTvaleT (#1.1 , 1 .2) :

1.1. 1) ( ) 20025072:259247:564 −⋅+

A. 11600 B. 11800 C. 12000 D. 1080 2) ( ) 47:141944:2930821000 +⋅−

A. 3621 B. 4112 C. 3217 D. 3319 3) ( ) 177:230124967525174:9222 −−⋅+

A. 10690 B. 9970 C. 10780 D. 10716 4) ( ) 5:70437:2114072:32207 ⋅−−⋅

A. 92 B. 90 C. 84 D. 86 1.2. 1) ( ) ( )260120:4800:378889920583701 +−⋅−⋅

A. 9 B. 4 C. 0 D. 13 2) ( ) ( ) 100500400:50010050:300 −−+−

A. -106 B. -109 C. -89 D. -111 3) ( ) ( )( )9:361843219:39 −+⋅−−−

A. -59 B. -53 C. -56 D. -49 4) ( )( ) ( )( )3527:89118:2427 −+−⋅−−

A. -350 B. 350 C. -240 D. 240 1.3. 1) ras udris sxvaoba umcires rvaniSna da udides

SvidniSna naturalur ricxvebs Soris?

A. 2 B. 1 C. 100 D. 10000 2) ras udris sxvaoba umcires oTxniSna da umcires

samniSna ricxvebs Soris?

A. 1000 B. 2 C. 900 D. 1 3) ramdeniTaa naklebi udidesi samniSna ricxvi udi-

des xuTniSna ricxvze?

A. 80100-iT B. 900-iT C. 100-iT D. 99000-iT

4) ramdenjeraa meti udidesi oTxniSna ricxvi umci-

res samniSna ricxvze?

A. 10,1-jer B. 9,9-jer C. 9,999-jer D.99,99-jer

1.4. 1) 1-dan 6-is CaTvliT yvela cifris gamoyenebiT Sead-

gineT ori iseTi samniSna ricxvi, rom didsa da pata-

ras Soris sxvaoba iyos maqsimaluri. ipoveT es sxva-

oba.

A. 81 B. 331 C. 531 D. 650 2) 1-dan 6-is CaTvliT yvela cifris gamoyenebiT Sead-

gineT ori iseTi samniSna ricxvi, rom didsa da pata-

6

ras Soris sxvaoba iyos minimaluri. ipoveT es sxva-

oba.

A. 54 B. 68 C. 38 D. 47 3) ipoveT sxvaoba udides da umcires samniSna ric-

xvebs Soris, romelTa yoveli cifri gansxvavebulia.

A. 255 B. 100 C. 890 D. 885 4) Tu udides orniSna ricxvs davumatebT 11-s da jams

gavyofT umcires orniSna ricxvze, miviRebT

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 1.5. 1) ori aTeuli gaamravles sam aTeulze. ramdeni aTe-

uli miiRes?

A. 5 B. 30 C. 6 D. 60 2) xuTi aseuli gaamravles or aTeulze. ramdeni ase-

uli miiRes?

A. 500 B. 1000 C. 100 D. 10 3) ramdeni aTeuli miiReba eqvsi aTaseulis or aseu-

lze gayofiT?

A. 3 B. 30 C. 60 D. 300 4) ramdeni aTeuli miiReba xuTi aTaseulisa da ori

aseulis jamis or aTeulze gayofiT?

A. 260 B. 26 C. 52 D. 200 1.6. ipoveT Mmocemuli ricxvebis udidesi saerTo gamyo-

fi:

1) 56 da 84

A. 14 B. 28 C. 7 D. 2 2) 124 da 186

A. 2 B. 31 C. 4 D. 62 3) 60; 76 da 128

A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 4) 150; 180 da 240

A. 30 B. 10 C. 6 D. 25 5) 532 63 ⋅⋅ da

42 53 ⋅

A. 15 B. 9 C. 45 D. 90 6) 129753 ⋅⋅⋅⋅ da 653 22 ⋅⋅

A. 135 B. 270 C. 54 D. 540 1.7. ipoveT mocemuli ricxvebis umciresi saerTo jeradi:

1) 18 da 24

A. 36 B. 96 C. 144 D. 72 2) 32 da 48

A. 192 B. 96 C. 128 D. 160 3) 48; 64 da 96

7

A. 192 B. 256 C. 288 D. 240 4) 72; 84 da 120

A. 5020 B. 2520 C. 4080 D. 4200 5)

23 532 ⋅⋅ da 532 2 ⋅⋅

A. 30 B. 3600 C. 1800 D. 900 6) 10953 ⋅⋅⋅ da 523 32 ⋅⋅

A. 1350 B. 5400 C. 90 D. 10800 1.8. 1) naturaluri ricxvi iyofa 15-ze da 9-ze. ras udris

aseTi ricxvis gamyofebis umciresi SesaZlo raodeno-

ba? A. 8 B. 3 C. 4 D. 6

2) naturaluri ricxvi iyofa 12-sa da 16-ze. ras udris

aseTi ricxvis gamyofebis umciresi SesaZlo raodeno-

ba? A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 1.9. qvemoT CamoTvlili ricxvebidan romeli ar SeiZleba

iyos p da q naturaluri ricxvebis:

1) udidesi saerTo gamyofi? A. p B. q C. p-q D. p+q 2) umciresi saerTo jeradi? A. p B. q C. p+q D. pq 1.10. mocemuli ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT

1) 32,

21,

53

A. 53,

32,

21 B.

21,

53,

32 C.

32,

53,

21 D.

53,

21,

32

2) 85;

52; 0,3

A. 85;

52; 0,3 B.

52;

85; 0,3 C. 0,3;

52;

85 D. 0,3;

85;

52

1.11. mocemuli ricxvebi daalageT klebadobis mixedviT

1) 54,

87,

1513

−

A. 87,

1513

− ,54 B.

87,

54,

1513

− C.54,

87,

1513

− D.1513

− ,87,

54

2) 0,75; 65; 0,4

A. 0,75;65; 0,4 B.0,4; 0,75;

65 C.

65;0,75;0,4 D.

65;0,4; 0,75

8

1.12. 1) cnobilia, rom x-2=y+2=z-4. mocemuli x, y da z ric-xvebidan romelia umciresi?

A. x an z B. x C. y D. z 2) cnobilia, rom a+5=b+3=c+4. mocemuli a, b da c ricx-vebidan romelia udidesi?

A. a B. b C. c D. a an c 3) cnobilia, rom x-2=y+2=z-1=t-3. mocemuli x, y, z, t ric-xvebidan romelia udidesi?

A. z B. y C. t D. x 4) cnobilia, rom x+3=y-2=z+2=t. mocemuli x, y, z, t ric-xvebidan romelia umciresi?

A. x B. y C. z D. t 1.13. 1) wiladi, romlis mniSvnelia 8 da romelic moTavse-

bulia 21-sa da

43-s Soris, aris

A. 81 B.

83 C.

87 D.

85

2) udidesi wiladi, romlis mniSvnelia 25 da rome-

lic moTavsebulia 51-sa da

54-s Soris, aris

A. 2519 B.

2521

C. 2517

D.2515

3) wiladi, romlis mniSvnelia 12 da romelic moTav-

sebulia 0,4-sa da 0,5-s Soris, aris

A. 123 B.

124

C. 125

D.127

4) udidesi wiladi, romlis mniSvnelia 20 da rome-

lic moTavsebulia 0,7-sa da 0,9-s Soris, aris

A. 2015 B.

2017

C. 2018

D.2016

gamoTvaleT (#1.14-1 .25) :

1.14. 1) 326

321

214 −⋅

A. 65 B. 1 C.

611 D.

311

2) 321

217

5414 ⋅−

A. 2 B. 2,1 C. 2,3 D. 2,4

9

3) 512:

317

323 −

A. 32 B.

31 C.

21 D. 1

4) 511

973:

325 −

A. 0,3 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,4

1.15. 1) 614

3115,3 −⋅

A. 21 B.

31 C.

32 D.

43

2) 75:

712

314 −

A. 211 B.

321 C.

431 D.

311

3) 615

98:

315 −

A. 43 B.

65 C.

32 D.

61

4) 511

322

523 ⋅−

A. 0,2 B. 0,1 C. 0,3 D. 0,4

1.16. 1) 542,0:

52

212 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 52 B.

51 C.

53 D.

21

2) 5,1:43

322,1 −⋅

A. 0,3 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,4

3) 2745,4

311:6,1 ⋅−

A. 157 B.

31 C.

52 D.

158

4) 212:

318

9726,3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

A. 32 B.

31 C.

21 D.

43

10

1.17. 1) 5,02771:

652

431 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

2) 32:

32

32275,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

3) 5,1:4,0416

413 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

A. 0,5 B. 1 C. 0,25 D. 1,5

4) 324

4375,8:

871 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

A. 1,5 B. 2 C. 4,5 D. 3,5

1.18. 1) 1031:

538

541

325 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

A. 1321 B.

1311 C.

1331 D.

1341

2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

713

614:

213

312

A. 43155− B.

43165− C.

43305− D.

43325−

3) 5121:

4110:

1253

527 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 51 B.

31 C.

151 D.

54

4) 5,0:4321:

1675

438 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 17 B. 2 C. 15 D. 8

1.19. 1) ( )6059:65,303,0:4,2 ⋅−

A. 59 B. 30 C. 60 D. 15 2) ( )( ) 57,0:2,34,04,2 ⋅−+ A. 4 B. 8 C. -16 D. -8

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

213:2,4

315:1,3

A. 0,75 B. 3,5 C. 2 D. 3,1

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

2131:6,0

3135,1:5,0

11

A. 31 B. 2 C.

32 D.

311−

1.20. 1) 25222

411

524:

317 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 51 B.

56 C.

512 D.

411

2) 4329:

35311:

323

415 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 91 B.

181 C.

365 D.

61

3) 5,3:8712:75,2525,7 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 0,75 B. 1,5 C. 3 D. 3,5

4) 54:

343

5412

3117 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 1 B. 52 C.

21 D.

54

1.21. 1) 1271

4312:

1975

2129:

1946 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

A. 2 B. 1 C. 173 D.

171

2) 611:

83

518:

321

543 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

A. 31 B.

61 C.

41 D. 1

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

5327

522:

533

544

871

A. 11,2 B. 33 C. 22 D. 7,5

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

323

11142:

3117

53:3

A. 951 B.

313 C. -4 D. 3

1.22. 1) ( ) 5,2:023,0:29,5003,0:63,0 − A. 4 B. 10 C. -2 D. -8 2) ( ) )5,73,9(:1801,0:7,86,25 −−− A. 69 B. 169 C. 100 D. 112

12

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

6575,87,5

1361:

3231

A. 325 B.

151317 C.

5315 D.

151313

4) 831:

19626:25,31

851:75,9 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

A. 1,5 B. 197 C. 3,5 D.

16134

1.23. 1) 343

3234

11 ⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

−−

A. 83

− B. 83 C.

85

− D. 85

2) 21

3

21

432 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

−−

A. 125 B.

249 C.

2413 D.

2411

3) 121

65

211:

25 −−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

A. 2 B. 2,2 C. 2,1 D. 2,4

4) 211

32:

32

73 −−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

A. 311 B.

321 C.

312 D.

322

1.24. 1) 43

21

53:

61 31

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6

2) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

−−−

10

21

4135:

2335

A. 1512 B. 3 C. 1 D.

1521−

3) ( ) ( )15024321 2222:2222 −−−−−−− ⋅−⋅⋅−⋅

A. 21 B.

41 C. 1 D. 2

4) ( ) ( )423324 3334:3335 −−−−−− ⋅+⋅⋅−⋅

13

A. 109

7 B. 10942 C.

10935 D.

21!

1.25. 1) 23

43

15361810⋅⋅

A. 6 B. 5 C. 18 D. 10

2) 54

43

6101512⋅⋅

A. 12 B. 0,5 C. 1,125 D. 0,25

3) 35

42

5183615

−−

−−

⋅⋅

A. 18 B. 0,625 C. 0,75 D. 5

4) 13

222

86543−−

−−−

⋅⋅⋅

A. 0,48 B. 4 C. 0,25 D. 8 1.26. 1) ramden elements Seicavs A da B simravleebis

gaerTianeba, Tu {0;2;3;4}A = da {1;3;4;5}B = .

.A 8 .B 6 .C 4 .D 2

2) ipoveT A da B simravleebis TanakveTis udidesi

elementi, Tu { 4; 2;0;2;4}A = − − da {0;4;6;8}B = .

.A 4 .B 8 .C 6 .D 0

3) ramden elements Seicavs A da B simravleebis

TanakveTa, Tu { 6; 2;4;8;10;15}A = − − da { 3; 2;0;4;10;12;15}B = − − .

.A 3 .B 5 .C 4 .D 2

4) ipoveT A da B simravleebis sxvaobis umciresi

elementi, Tu {1;3;5;7;9;11;13}A = da {3;7;11;15;19}B = .

.A 1 .B 3 .C 5 .D 13

1.27. A da B simravleebisaTvis ipoveT:

1) ( )n A B∪ , Tu ( ) ( ) ( )15, 7, 0.n A n B n A B= = ∩ =

.A 8 .B 15 .C 18 .D 22

2) ( )n A B∪ , Tu ( ) ( ) ( )12, 13, 5.n A n B n A B= = ∩ =

.A 30 .B 15 .C 20 .D 25

3) ( )n A B∩ , Tu ( ) ( ) ( )50, 40, 30.n A B n A n B∪ = = =

.A 10 .B 20 .C 70 .D 120

4) ( )n A , Tu ( ) ( ) ( )63, 23, 46.n A B n A B n B∪ = ∩ = =

.A 40 .B 86 .C 89 .D 132

14

1.28. 1) skolis biblioTekidan 36 moswavlem gamoiwera

mxatvruli literatura, xolo 24 moswavlem ki gamoiwera

rogorc mxatvruli, aseve teqnikuri literatura. ramdenma

moswavlem gamoiwera mxolod mxatvruli literatura? A. 15 B. 10 C. 12 D. 13 2) 40 moswavle swavlobs inglisurs, 24 moswavle ki

germanuls, xolo 50 moswavle swavlobs inglisurs an ge-

rmanuls. ramdeni moswavle swavlobs erTdroulad ingli-

surs da germanuls? A. 16 B. 17 C. 20 D. 14 3) sportul skolaSi 36 moswavle varjiSobs fexbur-

TSi, 25 ki kalaTburTSi, xolo 21 moswavle varjiSobs ro-

gorc fexburTSi, aseve kalaTburTSi. ramdeni moswavle va-

rjiSobs fexburTSi an kalaTburTSi? A. 40 B. 42 C. 38 D. 46 4) klasSi 25 moswavle dainteresebulia maTematikiT,

10 moswavle ki fizikiT, xolo 32 moswavle dainteresebu-

lia maTematikiT an fizikiT. ramdeni moswavlea daintere-

sebuli erTdroulad maTematikiT da fizikiT? A. 3 B. 5 C. 2 D. 7

1.29. 1) moswavleebi dadian Wadrakisa da SaSis wreebze.

Wadraks TamaSobs 36 moswavle, 48 moswavle TamaSobs Wad-

raks an SaSs. ramdeni moswavle TamaSobs mxolod SaSs? A. 10 B. 12 C. 9 D. 8 2) gogonebi swavloben qsovasa da kervas. qsovas swav-

lobs 15 gogona, 8 gogona swavlobs rogorc qsovas, aseve

kervas, xolo 30 ki _ qsovas an kervas. ramdeni gogona

swavlobs kervas? A. 23 B. 21 C. 18 D. 25 3) saWidao darbazSi varjiSobs 80 moswavle. 45 mos-

wavle varjiSobs ZiudoSi, 24 varjiSobs samboSi, xolo 12

ki varjiSobs rogorc ZiudoSi, aseve samboSi. ramdeni mos-

wavle ar varjiSobs arc ZiudoSi da arc samboSi? A. 25 B. 26 C. 23 D. 19 4) sacurao kompleqsSi varjiSobs 120 moswavle. 65 va-

rjiSobs curvaSi, 40 _ wyalburTSi, xolo 15 varjiSobs

rogorc curvaSi, aseve wyalburTSi. ramdeni moswavle ar

varjiSobs arc curvaSi da arc wyalburTSi?

15

A. 29 B. 28 C. 32 D. 30 1.30. 1) Tu p da q martivi ricxvebia, maSin qp − ar SeiZ-

leba iyos:

A. -4 B. 0 C. 2 D. 7 2) Tu p da q martivi ricxvebia, maSin qp +3 ar Sei-

Zleba iyos

A. 6 B. 12 C. 17 D. 22 3) Tu a=(666444)2 da b=666443·666445, maSin A. b2=a2+1 B. a2=b2+1 C. b=a-1 D. a=b-2 4) Tu a=(555333)2 da b=555331·555335, maSin A. b2=a2-1 B. b=a-4 C. b=a+2 D. b2=a2-4 5) p da q martivi ricxvebia da pq=21, p>q. ipoveT p. A. 1 B. 3 C. 7 D. 21 6) p da q martivi ricxvebia da 2p=3q. ipoveT p. A. 3 B. 2 C. 1 D. 11 1.31. 1) erT saaTSi ostati akeTebs 16 detals, moswavle ki

4 detals. ramden saaTSi gaakeTebs orive erTad 80 de-

tals?

A. 20 B. 5 C. 6 D. 4 2) dReSi erT cxens aWmeven 15 kg Tivas, xolo erT

Zroxas _ 10 kg-s. ramden dRes eyofa 4 cxensa da 4 Zroxas

500 kg Tiva?

A. 6 B. 5 C. 4 D. 50 3) samma bavSvma, romelTagan TiToeuls oTx-oTxi ki-

logrami Tixa hqonda, sxvadasxva zomis doqebi gamoZerwa.

pirvelma TiToeuli doqisaTvis 0,4 kg Tixa gamoiyena, meo-

rem TiToeulisaTvis _ 0,5 kg, xolo mesamem _ 0,8 kg. ar-

cerT maTgans Tixa ar darCenia. sul ramdeni doqi gamouZe-

rwavT bavSvebs?

A. 23 B. 25 C. 18 D. 16 4) kedlis SesaRebad sami feris saRebavi SeiZines: wi-

Teli, lurji da TeTri, TiToeuli 10 litri. wiTeli sa-

Rebavi SeiZines 5 l tevadobis qilebiT, lurji _ 2,5 l

tevadobis qilebiT, xolo TeTri _ 0,5 l tevadobis qile-

biT. sul ramdeni qila saRebavi SeuZeniaT?

A. 20 B. 24 C. 30 D. 26 1.32. 1) giorgim iyida erTi nayini SokoladiT 80 TeTrad,

erTi plombiri 45 TeTrad da erTi nayini marwyviT 55 TeT-

rad. saSualod ramdeni TeTri YRirda erTi nayini?

A. 60 B. 55 C. 50 D. 40 2) bavSvma iyida oTxi namcxvari TiTo 45 TeTrad da

ori namcxvari TiTo 60 TeTrad. ramdeni TeTri gadaixada

16

man saSualod TiTo namcxvarSi?

A. 40 B. 48 C. 50 D. 55 3) saamqros muSebidan 20 qalia da 30 mamakaci. qale-

bis saSualo asaki 30 welia, kacebis ki _ 40 weli. risi

tolia am saamqros muSebis saSualo asaki?

A. 32 B. 36 C. 40 D. 34 4) fexburTelma 40 matCSi miiRo monawileoba. aqedan

19 SexvedraSi mas burTi ar gautania, SvidSi man TiTo bu-

rTis gatana moaxerxa, cxra TamaSSi man or-ori burTi gai-

tana, darCenil xuT TamaSSi ki _ sam-sami. ramdeni burTi

gahqonda saSualod erT TamaSSi am fexburTels?

A. 0,5 B. 3 C. 2 D. 1 1.33. 1) Tu erT Sesakrebs gavadidebT 15-iT, xolo meores

SevamcirebT 8-iT, maSin jami gadiddeba

A. 8-iT B. 23-iT C. 7-iT D. 15-iT 2) Tu saklebs SevamcirebT 5-iT, xolo maklebs gava-

didebT 7-iT, maSin sxvaoba Semcirdeba

A. 12-iT B. 2-iT C. 5-iT D. 7-iT 3) ramdenjer gadiddeba nulisagan gansxvavebuli nam-

ravli, Tu erT Tanamamravls SevamcirebT 3-jer, xolo me-

ores gavadidebT 15-jer?

A. 3-jer B. 15-jer C. 45-jer D. 5-jer

4) ramdenjer Semcirdeba nulisagan gansxvavebuli ga-

nayofi, Tu gasayofi Semcirdeba 3-jer, xolo gamyofi ki

gadiddeba 2-jer?


5) ori ricxvis namravli erT maTganze metia 5-jer,

meoreze ki _ 9-jer. ipoveT es ricxvebi.

A. 7 da 1 B. 5 da 9 C. 12 da 2 D. 9 da 7 6) ori ricxvis jami erT maTganze metia 8-iT, meoreze

ki 25-iT. ipoveT es ricxvebi.

A. 8 da 25 B. 2 da 8 C. 2 da 15 D. 8 da 17 1.34. 1) erT klasSi 8 moswavliT metia, vidre meoreSi. ram-

deniT meti iqneba pirvel klasSi moswavleTa raodenoba

meore klasSi moswavleTa raodenobaze, Tu pirvelidan me-

oreSi ori moswavle gadava?

A. 6-iT B. 4-iT C. 2-iT D. 5-iT 2) pirvel yuTSi 20-iT naklebi burTia, vidre meore-

Si. ramdeniT naklebi iqneba burTebis raodenoba pirvel

yuTSi vidre meoreSi, Tu meore yuTidan pirvelSi sam

burTs gadavdebT?

A. 14 B. 17 C. 23 D. 10

17

3) mas Semdeg, rac gaCerebaze avtobusidan 3 mgzavri

Cavida da 8 mgzavri amovida, avtobusSi 35 mgzavri aRmoC-

nda. ramdeni mgzavri yofila avtobusSi am gaCerebamde?

A. 27 B. 25 C. 26 D. 30 4) or yuTSi erTad 18 saTamaSoa. Tu erTi yuTidan me-

oreSi gadavdebT 2 saTamaSos, maSin orive yuTSi saTamaSo-

ebis raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni saTamaSo iyo pirvel

yuTSi Tavdapirvelad?

A. 15 B. 11 C. 10 D. 9 1.35. 1) giorgi beravs 5 sahaero buSts yovel 12 wuTSi. ra-

mdeni sahaero buSti eqneba mas gaberili ori saaTis Sem-

deg, Tu yoveli meaTe buSti gabervisas skdeba? A. 35 B. 50 C. 45 D. 40 2) mwvrTnels gamoyofili TanxiT fexburTis gundisa-

Tvis 30 burTi unda eyida, TiTo 20 larad. maRaziaSi mis-

vlisas man gaigo, rom yovel 5 SeZenil burTze erTs ufa-

sod umatebdnen. ramdeni lari dazoga mwvrTnelma 30 bur-

Tis SeZeniT? A. 60 B. 40 C. 80 D. 100 3) nugzari muSaobs miyolebiT 4 dRes da isvenebs me-

xuTe da meeqvse dRes. is isvenebda SabaT-kviras da muSaoba

daiwyo orSabaTs. muSaobis dawyebidan sul mcire ramdeni

dRis Semdeg daemTxveva misi dasvenebebi isev SabaT-kviras? A. 32 B. 36 C. 42 D. 40 1.36. 1) safexburTo gundma Catarebuli 22 matCidan 10

fred daamTavra da sul daagrova 31 qula. ramdeni matCi

waago gundma? (mogebisaTvis _ 3 qula, fred damTavrebuli

matCisTvis 1 qula, wagebisTvis _ 0).

A. 7 B. 6 C. 4 D. 5 2) yuTSi 17 burTula Zevs: wiTeli, TeTri da Savi. Te-

Tri burTulebi 8-jer metia, vidre wiTeli. ramdeni Savi

burTulaa yuTSi? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 1.37. 1) samniSna ricxvis naxevari iyofa 2-ze, mesamedi _ 3-ze, xolo mexuTedi _ 5-ze. ipoveT es samniSna ricxvi.

A. 900 B. 600 C. 990 D. 850 2) naturaluri ricxvis naxevari iyofa 4-zec da 5-zec.

ipoveT aseT ricxvebs Soris umciresi.

A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 1.38. 1) a da b ricxvebis 7-ze gayofis Sedegad miRebuli

naSTebia 2 da 3. ipoveT a+b ricxvis 7-ze gayofis Sedegad miRebuli naSTi.

18

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2) a da b (a>b) ricxvebis 8-ze gayofis Sedegad miRebu-li naSTebia Sesabamisad 2 da 7. ipoveT a-b ricxvis 8-ze gayofis Sedegad miRebuli naSTi.

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3) a, b da c (a+b>c) ricxvebis 9-ze gayofis Sedegad mi-Rebuli naSTebia Sesabamisad 2, 3 da 7. ipoveT a+b-c ric-xvis 9-ze gayofis Sedegad miRebuli naSTi.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4) a da b ricxvebis 5-ze gayofis Sedegad miRebuli

naSTebia 3 da 4. ipoveT a·b ricxvis 5-ze gayofis Sedegad miRebuli naSTi.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 1.39. ipoveT a ricxvis b -ze gayofisas miRebuli naSTi,

Tu:

1) 575432 −⋅⋅⋅⋅=a , 8=b A. 5 B. 7 C. 3 D. 1 2) 83142737 −=a , 9=b

A. 8 B. 1 C. 2 D. 7 3) 1375432 +⋅⋅⋅⋅=a , 12=b A. 5 B. 7 C. 3 D. 1 4) 1772551 +×=a , 5=b

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 1.40. 1) ipoveT ricxvi, romlis 13-ze gayofis dros miiReba

ganayofi 5 da naSTi 9.

A. 74 B. 72 C. 68 D. 76 2) ipoveT ricxvi, romlis 16-ze gayofis dros miiReba

ganayofi 8 da naSTi 11.

A. 143 B. 126 C. 138 D. 139 3) 68-is raime ricxvze gayofis dros miiReba ganayofi

4 da naSTi 8. ipoveT gamyofi.

A. 12 B. 15 C. 16 D. 13 4) 127-is raime ricxvze gayofis dros miiReba ganayo-

fi 6 da naSTi 1. ipoveT gamyofi.

A. 18 B. 22 C. 19 D. 21 1.41. 1) n naturaluri ricxvis 7-ze gayofis dros naSTi

udris 3-s. ras udris naSTi (n+2)-is 7-ze gayofis dros? A. 6 B. 2 C. 4 D. 5 2) raime n naturaluri ricxvis 11-ze gayofis dros

naSTi udris 5-s. ras miviRebT naSTSi (n+4)-is 11-ze gayofis dros?

19

A. 6 B. 9 C. 8 D. 7 3) raime n naturaluri ricxvis 4-ze gayofis dros na-

STi udris 3-s. ras miviRebT naSTSi (n+2)-is 4-ze gayofis dros?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 4) raime n naturaluri ricxvis 3-ze gayofis dros na-

STi udris 1-s. ras miviRebT naSTSi (n+7)-is 3-ze gayofis dros?

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 1.42. 1) ricxvis 4-ze gayofis dros naSTia 3. ras udris na-

STi amave ricxvis 8-ze gayofis dros?

A. 3 an 7 B. 3 C. 7 an 9 D. 7 2) ricxvis 6-ze gayofis dros naSTia 5. ras udris na-

STi amave ricxvis 12-ze gayofis dros?

A. 5 an 8 B. 11 C. 5 D. 5 an 11 3) ricxvis 2-ze gayofis dros naSTia 1, xolo 7-ze ga-

yofis dros ki _ 6. ras udris naSTi amave ricxvis 14-ze

gayofis dros?

A. 12 B. 11 C. 9 D. 13 4) ricxvis 3-ze gayofis dros naSTia 2, xolo 5-ze ga-

yofis dros ki _ 3. ras udris naSTi amave ricxvis 15-ze

gayofis dros?

A. 6 B. 8 C. 5 D. 7 1.43. 1) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT

4766-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 3-ze?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 5 2) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT






A. 7 B. 4 C. 6 D. 8 1.44. 1) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi 5342∗ varskvla-

vis nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaSTod

gaiyos 9-ze?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 2) ra udidesi cifri unda CavsvaT CanawerSi 4213∗

varskvlavis nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaS-

20

Tod gaiyos 3-ze da ar gaiyos 9-ze?

A. 1 B. 5 C. 3 D. 8 3) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi ∗3217 varskvla-

vis nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaSTod

gaiyos 4-ze?

A. 6 B. 0 C. 2 D. 2 an 6 4) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi ∗31732 varskvla-

vis nacvlad, rom miRebuli eqvsniSna ricxvi unaSTod

gaiyos 12-ze?

A. 8 B. 2 C. 4 D. 0 1.45. 1) yuTSi 35-ze meti da 45-ze naklebi saTamaSoa, rome-

lic Tanabrad SeiZleba gaunawildes 3 bavSvsac da 7 bav-

Svsac. ramdeni saTamaSoa yuTSi?

A. 38 B. 42 C. 40 D. 44 2) ra udidesi raodenobis erTnairi saCuqari moamza-

des, Tu amisaTvis gamoiyenes 36 mandarini da 45 vaSli?

A. 9 B. 12 C. 3 D. 5

3) 6 erTnair fanqarSi gadaixades 73 TeTrze meti da

81 TeTrze naklebi. ramdeni TeTri Rirda erTi fanqari?

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

4) moswavleebma eqskursiisaTvis Seagroves Tanxa, ro-

melic metia 350 larze da naklebia 370 larze. TiToeulma

moswavlem gadaixada 17 lari. ramdeni moswavle wasula eq-

skursiaze?

A. 23 B. 22 C. 21 D. 20 1.46. daalageT ricxvebi klebadobis mixedviT

1) 32 , xx da

4x , Tu 32

−=x

A. 42 , xx ,3x B. 32 , xx ,

4x C. 23 , xx ,4x D. 34 , xx 2x

2) 2y− ,

3y− da 4y− , Tu

31

=y

A. 32 , yy −− , 4y− B. 34 , yy −− , 2y− C. 24 , yy −− , 3y− D. 23 , yy −− , 4y−

3) 2−a ,

3−a da 4−a , Tu 1,1=a

A. 32 , −− aa ,4−a B. 23 , −− aa ,

4−a C. 34 , −− aa ,2−a D. 24 , −− aa ,

3−a

4) 2−b ,

3−b da 4−b , Tu 2,1−=b

A. 2−b , 3−b ,

4−b B. 3−b ,4−b ,

2−b C. 4−b ,2−b ,

3−b D. 2−b ,4−b ,

3−b

1.47. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT

1) 32 , xx da

4x , Tu 4,0−=x

A. 3x , 24 , xx B. 32 , xx ,

4x C. 24 , xx ,3x D. 23 , xx 4x

21

2) 2a ,

3a da 4a , Tu 7,0=a

A. 32 , aa ,4a B. 34 , aa ,

2a C. 43 , aa ,2a D. 42 , aa ,

3a

3) 2−b ,

3−b da 4−b , Tu 7,1−=b

A. 3−b , 4−b ,

2−b B. 3−b ,2−b ,

4−b C. 2−b ,3−b ,

4−b D. 4−b ,3−b ,

2−b

4) 2−y ,

3−y da 4−y , Tu 6,0−=y

A. 43, −− yy , 2−y B. 23 , −− yy , 4−y C. 24 , −− yy , 3−y D. 42 , −− yy , 3−y

1.48. a , b da c naturaluri ricxvebia. ipoveT gamosaxu-

lebis umciresi mniSvneloba

1) abc +2 , Tu 5<a , 3c

A. 42 B. 43 C. 46 D. 50 2) ( )cba −: , Tu 118 << a , 94 <c

A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 4) ( ) cba :− , Tu 6>a , 5a , 2>b , 5<c

A. 70 B. 68 C. 60 D. 48 6) ( ) cba :+ , Tu 3>a , 4>b , 10<c

A. 12 B. 0 C. 1 D. 9 1.49. a , b da c naturaluri ricxvebia. ipoveT gamosaxu-

lebis udidesi mniSvneloba 1)

cba − , Tu 82<a , 2>b , 3>c

A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 2) ( ) acb :− , Tu 2>a , 6c

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3) bca − , Tu 3<a , 14>b , 5<c

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4) ( ) acb :+ , Tu 3>a , 4<b , 6<c

A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 1.50. ra cifriT bolovdeba namravli?

1) 24642 ×××× L

A. 4 B. 6 C. 8 D. 0 2) 17531 ×××× L

A. 3 B. 0 C. 5 D. 7 3) 1714131211 ××××

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

22

4) 33312321131131 ×××××××

A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 1.51. ra cifriT bolovdeba gamosaxulebis mniSvneloba?

1) 242221282723 ××+××

A. 4 B. 7 C. 8 D. 6 2) 31 232 533 121 722 623× × − × ×

A. 0 B. 6 C. 3 D. 2 3)

3 2 312 53 17× ×

A. 1 B. 6 C. 8 D. 4 4) 732534 23432 ××−××

A. 6 B. 4 C. 0 D. 5 1.52. 1) ramdeni nuliT bolovdeba 1-dan 51-mde yvela natu-

raluri ricxvis namravli?

A. 12 B. 10 C. 14 D. 8 2) ramdeni nuliT bolovdeba 1-dan 81-mde yvela natu-

raluri ricxvis namravli?

A. 17 B. 20 C. 19 D. 18 3) ra cifriT bolovdeba

272 ?

A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 4) ra cifriT bolovdeba

153 ?

A. 7 B. 3 C. 9 D. 1 5) ra cifriT bolovdeba pirveli 51 martivi ricxvis

namravli? A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 6) ramdeni nuliT bolovdeba pirveli 65 martivi

ricxvis namravli? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1.53. orobiT sistemaSi mocemuli ricxvis gaSlili formaa:

1) 2101

.A 3 21 2 0 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ .B 2 1 01 2 0 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅

.C 3 2 01 2 0 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ .D 21 2 1 2⋅ + ⋅

2) 21010

.A 4 3 2 11 2 0 2 1 2 0 2⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .B 3 2 01 2 1 2 0 2⋅ + ⋅ + ⋅

.C 3 2 1 01 2 0 2 1 2 0 2⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .D 3 21 2 1 2⋅ + ⋅

3) 211001

.A 5 4 11 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ .B 5 4 01 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅

.C 4 3 11 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ .D 4 3 01 2 1 2 1 2⋅ + ⋅ + ⋅

23

4) 210010

.A 4 11 2 1 2⋅ + ⋅ .B 5 21 2 1 2⋅ + ⋅

.C 5 11 2 1 2⋅ + ⋅ .D 4 21 2 1 2⋅ + ⋅ 1.54. orobiT sistemaSi mocemuli ricxvis aTobiT siste-

maSi Canaweria:

1) 2110

.A 5 .B 6 .C 7 .D 8

2) 21101

.A 11 .B 12 .C 13 .D 14

3) 210101

.A 21 .B 22 .C 23 .D 24

4) 21110000

.A 110 .B 111 .C 112 .D 113

1.55. aTobiT sistemaSi mocemuli ricxvis orobiT siste-

maSi Canaweria:

1) 8

.A 2100 .B 2101 .C 21000 .D 21001

2) 11

.A 21101 .B 21011 .C 21010 .D 21100

3) 50

.A 2110010 .B 2101010 .C 2110011 .D 2101110 4) 121

.A 21111010 .B 21111011 .C 21111101 .D 21111001

1.56. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT:

1) 29, 211100 da 211011

.A 29, 211011 , 211100 .B 211011 , 29, 211100

.C 211011 , 211100 , 29 .D 211100 , 211011 , 29

2) 85, 21010011 da 21010110

.A 21010011 , 85, 21010110 .B 85, 21010011 , 21010110

.C 21010110 , 85, 21010011 .D 21010011 , 21010110 , 85

1.57. ramden erTians Seicavs mocemuli ricxvis Canaweri

orobiT sistemaSi:

1) 219

.A 3 .B 4 .C 5 .D 6

24

2) 385

.A 3 .B 5 .C 7 .D 9

1.58. ipoveT jami:

1) 2 21010 111+

.A 210101 .B 210001 .C 210011 .D 211011

2) 2 2101010 1010+

.A 2110110 .B 2110100 .C 2101100 .D 2100110

3) 11112 211111 +

.A 2111111 .B 2100000 .C 2111110 .D 2101110

4) 2 21101101 101011+

.A 210011000 .B 210101000 .C 21110110 .D 21001010

1.59. ipoveT aTobiT sistemaSi umciresi ricxvi, romelic

orobiT sistemaSi Caiwereba:

1) oTxi cifriT

.A 8 .B 10 .C 12 .D 16

2) eqvsi cifriT

.A 16 .B 24 .C 32 .D 64

1.60. ipoveT aTobiT sistemaSi udidesi ricxvi, romelic

orobiT sistemaSi Caiwereba:

1) xuTi cifriT

.A 30 .B 31 .C 32 .D 33

2) rva cifriT

.A 225 .B 235 .C 245 .D 255

1.61. 1) romelia meti 20-is gamyofebis raodenoba, Tu 25-is

gamyofebis raodenoba?

2) romelia meti 20-is martivi gamyofebis raodenoba

Tu 25-is martivi gamyofebis raodenoba?

1.62. 1) ipoveT pirveli cifri im umciresi naturaluri

ricxvisa, romlis cifrTa jami aris 12.

2) ipoveT pirveli cifri im umciresi naturaluri

ricxvisa, romlis cifrTa jami aris 101.

1.63. 1) ramdeni cifrisagan Sedgeba umciresi naturaluri

ricxvi, romelic Cawerilia mxolod 0-isa da 1-is gamoyene-

biT da romelic iyofa 15-ze?

25

2) ramdeni cifrisagan Sedgeba umciresi naturaluri

ricxvi, romelic Cawerilia mxolod 0-isa da 1-is gamoyene-

biT da romelic iyofa 45-ze? 1.64. 1) qalaqis mosaxleobam icis qarTuli an rusuli ena.

qarTuli icis mosaxleobis 85%-ma, xolo rusuli _ 75%-ma.

mosaxleobis ramdenma procentma icis orive es ena?

2) klasis yoveli moswavle dadis cekvis an simReris

wreSi. cekvaze dadis moswavleTa 32, xolo simReraze _

54

nawili. moswavleTa ra nawili dadis orive am wreSi erT-

droulad?

3) turistebis 70% laparakobs inglisurad, 60% _ ge-

rmanulad, xolo 20%-ma ar icis am ori enidan arcerTi. am

turistebis ramdenma procentma icis inglisuric da germa-

nulic?

4) metros vagonSi 100-ze naklebi adamiani iyo. mgza-

vrebi, romlebic isxdnen, iyvnen orjer meti, vidre fexze

mdgomni. gaCerebaze mgzavrebis 4% Cavida. ramdeni mgzavri

darCa vagonSi?

5) klasSi, sadac 30-ze naklebi bavSvia, biWebis rao-

denoba samjer metia gogonebis raodenobaze. ramdeni bav-

Svi darCa saklaso oTaxSi mas Semdeg, rac klasis moswav-

leTa 20% Sesvenebaze gareT gavida?

6) klasis moswavleTa naxevarma icis inglisuri ena,

xolo 40%-ma germanuli ena. ra umciresi raodenobis go-

gona SeiZleba iyos klasSi, Tu maTi ricxvi metia germanu-

lis mcodneTa raodenobaze da naklebia inglisuris mcod-

neTa ricxvze?

1.65. 1) n naturaluri ricxvisaTvis ∗n simboloTi aRvni-

SnoT pirveli n naturaluri ricxvis jami. risi tolia ∗∗ − 68 ?

2) n naturaluri ricxvisaTvis ∗n simboloTi aRvni-

SnoT pirveli n kenti naturaluri ricxvis jami. risi to-

lia ∗∗ − 58 ?

3) nebismieri a ricxvisaTvis ∗a ganvmartoT tolo-

biT: 12 +=∗ aa . gamoTvaleT ∗3 -isa da

∗5 -is namravli.

4) Tu 0≠a , maSin ∗a ganvmartoT tolobiT:

aaa 1−=∗. risi tolia ( )∗∗ + aa 1 ?

26

%3/!qspdfoufcj/!sjdywjt!obxjmjt!hbnpUwmb/!qspqpsdjfcj!

g a m oT v al eT (## 2.1; 2.2):

2.1. 1) 9000-is 65 nawili.

A. 1500 B. 7500 C. 3000 D. 4500

2) 3195 -is

43 nawili.

A. 71,5 B. 286 C. 1,2 D. 32127

3) 89,2-is 2233

nawili.

A. 2 B. 2,3 C. 1,2 D. 4,3

4) 3133 -is 0,01 nawili.

A. 311 B. 3 C. 33 D.

31

2.2. 1) 120-is 15%.

A. 16 B. 18 C. 17 D. 19 2) 105-is 40 %.

A. 42 B. 41 C. 44 D. 43 3) 114-is 20 %.

A. 22,2 B. 22,4 C. 22,8 D. 22,6 4) 84-is 15 %.

A. 12,6 B. 12,4 C. 12,8 D. 12,5

i p o v e T r i c x v i , r o ml i s (## 2.3; 2.4):

2.3. 1) 94 nawili aris 100.

A. 50 B. 225 C. 125 D. 150

2) 154

nawili aris 3185 .

A. 160 B. 85 C. 320 D. 240 3) 0,04 nawili aris 4,88 .

A. 1105 B. 884 C. 1768 D. 2210 4) 0,2 nawili aris 45,24 .

A. 122,25 B. 2445 C. 28,5 D. 244,5 2.4. 1) 12% aris 18 .

A. 120 B. 150 C. 130 D. 140

27

2) 10% aris 15 .

A. 150 B. 120 C. 140 D.130 3) 15% aris 30 .

A. 180 B. 190 C. 200 D. 210 4) 8% aris 24 .

A. 200 B. 280 C. 290 D. 300 2.5. 1) 2000-is ra nawils Seadgens 225?

A. 809 B.

83 C.

409 D.

403

2) 3133 -is ra nawils Seadgens 2?

A. 103 B.

503 C.

501 D.

1001

3) 3199 -is ra nawils Seadgens

9516 ?

A. 31 B.

61 C.

21 D.

65

4) 510,3-is ra nawils Seadgens 17,01?

A. 31 B.

101 C.

301 D.

61

2.6. 1) 500-is ramdeni procentia 352? A. 70,4 B. 27 C. 37 D. 75

2) 340-is ramdeni procentia 68? A. 10 B. 5 C. 30 D. 20 3) 885,6-is ramdeni procentia 239,112? A. 22 B. 27 C. 37 D. 32

4) 61231 -is ramdeni procentia 97,09?

A. 21 B. 35 C. 42 D. 30

2.7. gamoTvaleT

1) 900-is 32 nawilis

41 nawili.

A. 150 B. 100 C. 200 D. 250

2) 800-is 20%-is 43 nawili.

A. 160 B. 120 C. 200 D. 240

3) 880-is 25%-is 10%.

A. 120 B. 20 C. 22 D. 44

28

4) 560-is 41 nawilis 5%.

A. 7 B. 8 C. 10 D. 14

2.8. Tu a ricxvi Seadgens b-s 60%-s, xolo 30 imave b ri-cxvis 10%-ia, maSin a ricxvi aris A. 100 B. 60 C. 180 D. 360

g a m oT v al eT (##2.9; 2.10):

2.9. 1) 450-is 31-isa da 200-is

23-is jami.

A. 300 B. 500 C. 350 D. 450

2) 560 -is 41-isa da 140 -is

71-is sxvaoba.

A. 120 B. 140 C. 160 D. 100

3) 3133 -is 1,0 -isa da

2152 -is 0,2-is jami.

A.

313 B. 8 C.

6513 D.

215

4) 3266 -is

52 nawilisa da

61134 -is

51 nawilis jami.

A. 53 B.

6158 C.

6552 D.

2153

2.10. 1) 540-is 15 %-isa da 360-is 12 %-is jami.

A. 124,2 B. 100 C. 81 D. 28,8

2) 3133 -is 10%-isa da

2197 -is 20%-is jami.

A. 23 B.

6522 C.

313 D.

6115

3) 2122 -is

313 %-isa da

3198 -is

3133 %-is jami.

A. 33 B.

36532 C.

361933 D. 34

4) 5137 -is

2122 %-isa da

3117 -is

4111 %-is sxvaoba.

A. 5,21 B. 8,37 C. 1,95 D. 6,42

2.11. 1) 300 dayaviT 7-isa da 8-is proporciul nawilebad da

ipoveT am nawilebidan umciresi.

A. 120 B. 140 C. 160 D. 200 2) 960 dayaviT 11-isa da 13-is proporciul nawilebad

29

da ipoveT am nawilebis sxvaobis moduli.

A. 80

B. 440 C. 120

D. 520

3) 130 dayaviT

32-isa da

23-is proporciul nawilebad

da ipoveT am nawilebidan udidesi.

A. 40 B. 60 C. 90 D. 120

4) 261 dayaviT 65-isa da

97-is proporciul nawilebad

da ipoveT am nawilebidan umciresi.

A. 125

B. 135 C. 162 D. 120

2.12. 1) 720 dayaviT 5; 4 da 3-is proporciul nawilebad da

ipoveT am nawilebidan umciresi.

A. 300 B. 240 C. 200 D. 180 2) 3630 dayaviT 0,6; 1 da 0,4-is proporciul nawilebad

da ipoveT am nawilebidan udidesi.

A. 1815 B. 1089 C. 2030 D. 1216

3) 880 dayaviT 35;

611

da 1213

-is proporciul nawile-

bad da ipoveT am nawilebidan umciresisa da udidesis sa-

Sualo ariTmetikuli.

A. 320 B. 240 C. 180 D. 280 4) 432 dayaviT 0,6; 1; 0,8 da 3-is proporciul nawile-

bad da ipoveT am nawilebs Soris umciresi.

A. 80 B. 48 C. 24 D. 120 2.13. 1) mudmivi siCqariT moZravma matarebelma 5 saaTSi ga-

iara mTeli gzis 65 nawili. ramden saaTSi gaivlis is

mTel gzas?

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6

2) moswavlem wignis 43 nawili waikiTxa 6 dReSi. ram-

den dReSi waikiTxavs is wignis darCenil nawils?

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

3) fermerma nakveTis 98 nawili moxna 16 saaTSi. ram-

den saaTSi moxnavs is mTel farTobs?

A. 18 B. 19 C. 20 D. 22

4) avtomobilma mTeli gzis 76 nawilis gavlis dros

daxarja 18 litri benzini. ramdeni litri benzini daixar-

30

jeba darCenili gzis gavlisas?

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5) 800 grami Saqari 60 TeTriT meti Rirs, vidre 200

grami Saqari. ra Rirs erTi kilogrami Saqari? A. 80 TeTri B. 1 lari C. 1,2 lari D. 0,9 lari

6) naxevari kilogrami karaqi 1 lariT naklebi Rirs

vidre 750 grami igive karaqi. ra Rirs erTi kilogrami

karaqi? A. 6 lari B. 4,5 lari C. 4 lari D. 5 lari

2.14. 1) avtomobilma mTeli gzis 60% gaiara 9 saaTSi. ram-

den saaTSi gaivlis is gzis darCenil nawils?

A. 6 B. 8 C. 7 D. 5 2) avzis 75% wyliT gaivso 12 saaTSi. ramden saaTSi

gaivseba avzi mTlianad?

A. 14 B. 16 C. 15 D. 13 3) fermerma nakveTis 40%-ze mosavali aiRo 8 saaTSi.

ramden saaTSi aiRebs is mosavals nakveTis darCenil nawi-

lze?

A. 20 B. 18 C. 16 D. 12 4) kalaTaSi moTavsebuli vaSlebis raodenobis 45%

Seadgens 27 vaSls. ramdeni vaSlia kalaTaSi?

A. 62 B. 58 C. 60 D. 56

2.15. 1) fermerma nakveTis 54 nawili moxna traqtoriT, xo-

lo darCenili nawili ki daamuSava xeliT, razedac man

daxarja 6-jer meti dro, vidre imuSava traqtoriT. ramde-

njer metia Sromis nayofiereba traqtoriT muSaobis SemT-

xvevaSi xeliT muSaobasTan SedarebiT?


2) gza qalaqidan soflamde Sedgeboda aRmarTisa da

daRmarTisagan. aRmarTis gavlas, romlis sigrZe Seadgenda

mTeli gzis 71 nawils, velosipedistma moandoma 2-jer me-

ti dro, vidre daRmarTis gavlas. ramdenjer meti iyo ve-

losipedistis siCqare daRmarTze aRmarTze siCqaresTan Se-

darebiT?

A. 14 B. 8 C. 10 D. 12

3) turistma mTeli gzis 91 nawili gaiara fexiT, xo-

lo darCenili gza ki imgzavra avtobusiT. fexiT siaru-

lis dros man daxarja 3-jer meti dro, vidre avtobusiT.

31

ramdenjer metia avtobusis siCqare fexiT moZraobis siCqa-

resTan SedarebiT?

A. 20 B. 18 C. 24 D. 21

4) mgzavrma mTeli gzis 3266 % ifrina TviTmfrinaviT,

xolo darCenili gza imgzavra avtomobiliT. avtomobiliT

mgzavrobis dros man daxarja 4-jer meti dro, vidre fre-

nis dros. ramdenjer metia TviTmfrinavis siCqare avtomo-

bilis siCqaresTan SedarebiT?

A. 8 B. 12 C. 10 D. 6 2.16. 1) moswavlis mier wignis wakiTxuli gverdebis rao-

denoba 3-jer metia wignis waukiTxavi gverdebis raodeno-

baze. wignis ramdeni procenti waukiTxavs moswavles? A. 60 B. 75 C. 80 D. 72 2) fermeris mier moxnuli nakveTis farTobi 4-jer me-

tia darCenil mouxnav farTobze. mTeli nakveTis ramdeni

procenti mouxnavs fermers?

A. 72 B. 76 C. 84 D. 80 3) avtomobilma daxarja 9-jer meti benzini, vidre da-

rCa benzinis avzSi. benzinis mTeli raodenobis ramdeni

procenti darCa avzSi?

A. 18 B. 15 C. 10 D. 20 4) mgzavrma gaiara 8-jer meti manZili, vidre darCa

gasavleli. mTeli gzis ra nawili gaiara mgzavrma?

A. 98 B.

87 C.

97 D.

91

5) giorgis orjer meti kakali aqvs, vidre levans da

xuTjer naklebi, vidre daTos. kaklebis mTeli raodenobis

ra nawili aqvs levans?

A. 72 B.

133 C.

131 D.

61

6) avtomobilma mTeli gzis gavlas sami dRe moando-

ma. pirvel dRes man gaiara samjer meti manZili, vidre meo-

re dRes da oTxjer naklebi _ vidre mesame dRes. samive

dRes gavlili manZilis ramdeni procenti gaiara man mesa-

me dRes?

A. 75 B. 60 C. 50 D. 25 2.17. 1) fexsacmlis fasma 75 laridan 90 laramde moimata.

ramdeni procentiT gaizarda fexsacmlis fasi?

A. 10 B. 25 C. 15 D. 20 2) muSis dRiuri Semosavali 25 laridan 22 laramde

32

Semcirda. ramdeni procentiT Semcirda misi dRiuri Semo-

savali?

A. 20 B. 10 C. 12 D. 15 3) sawyobSi 1500 t xorbali iyo. pirvelad sawyobidan

gaitanes mTeli xorblis 31 nawili, Semdeg ki _ darCenili

xorblis 20%. ramdeni tona xorbali darCa amis Semdeg

sawyobSi?

A. 800 B. 900 C. 600 D. 1000 4) metros vagonSi 60 kaci da 40 qali iyo. gaCerebaze

Cavida kacebis 20% da qalebis 10%. mgzavrebis ramdeni

procenti Cavida am gaCerebaze?

A. 12 B. 16 C. 18 D. 30 2.18. 1) erTi sirofi 15% Saqars Seicavs, meore _ 20%-s.

pirveli sirofis 4 litri auries meoris 6 litrSi. ram-

den procent Saqars Seicavs miRebuli narevi? A. 16 B. 17 C. 19 D. 18 2) erTi xsnari Seicavs 10% marils, meore 20%-s. es

xsnarebi erTmaneTSi auries Sesabamisad SefardebiT 1:4.

ramden procent marils Seicavs miRebuli narevi? A. 18 B. 20 C. 15 D. 16 3) maSinac ki, roca aqlems swyuria, misi masis 60%

wyalia. wylis dalevis Semdeg misi wonaa 800 kg da wyali

Seadgens aqlemis masis 80%-s. ras udris aqlemis wona, ro-

ca mas swyuria? A. 320 kg B. 600 kg C. 400 kg D. 480 kg 4) vaSli 90% wyals Seicavs, xolo misgan miRebuli

Ciri 10% wyals. ramdeni kilogrami vaSli unda aviRoT 10

kg Ciris misaRebad? A. 80 B. 90 C. 60 D. 100 2.19. 1) avtobusSi mgzavrTa 30% mamakacia, 24% qali, dana-

rCeni ki bavSvebia. ramdeni mgzavria avtobusSi, Tu maTgan

23 bavSvia?

A. 64 B. 40 C. 60 D. 50

2) biblioTekaSi wignebis 31 rusul enazea,

41 ingli-

sur enaze, danarCeni ki qarTulia. ramdeni wignia biblio-

TekaSi, Tu maTgan qarTulia 300?

A. 600 B. 720 C. 800 D. 900 3) klasis moswavleTa 40% gogonebia. ramdeni bavSvia

am klasSi, Tu biWebi metia gogonebze 7-iT?

33

A. 24 B. 30 C. 35 D. 40

4) giorgim morwya nakveTis 113 nawili, levanma ki 2-

jer meti. ras udris am nakveTis farTobi, Tu mosarwyavi

darCa 200 m2?

A. 1100 m2 B. 1500 m2 C. 800 m2 D. 1600 m2

2.20. 1) policielis xelfasma 30%-iT gazrdis Semdeg Sea-

dgina 520 lari. ra xelfasi hqonda policiels Tavdapir-

velad?

A. 350 l B. 380 l C. 400 l D. 420 l

2) fexsacmeli 40%-iani fasdaklebis Semdeg gaiyida

180 larad. ra Rirda fexsacmeli fasdaklebamde?

A. 360 l B. 300 l C. 240 l D. 400 l

3) CanTa Rirda 24 lari. fasdaklebis Semdeg misi Ri-

rebuleba gaxda 20,4 lari. ramdeni procentiT gaiafda Can-

Ta?

A. 15-iT B. 20-iT C. 30-iT D. 40-iT 4) biblioTekaSi wignebis 10% rusul enazea, danar-

Ceni _ qarTulze. ramdenjer meti wignia qarTul enaze, vi-

dre rusulze am biblioTekaSi?


2.21. 1) erTi ricxvi Seadgens meoris 30%-s. meore ricxvis ra nawils Seadgens pirveli ricxvi?

A. 52 B.

32 C.

53 D.

103

2) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 85%-s. meore ricxvis ra nawils Seadgens pirveli ricxvi?

A. 207 B.

851 C.

2017 D.

1719

3) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 80%-s. pirveli

ricxvis ramdeni procentia meore ricxvi?

A. 140 B. 125 C. 20 D. 60

4) erTi ricxvi Seadgens meoris 72 nawils, pirveli

ricxvis ramdeni procentia meore ricxvi?

A. 350 B. 35 C. 175 D. 120

2.22. 1) qsovilis fasma moimata Tavisi fasis 31-iT. axali

fasis ra nawils Seadgens Zveli fasi?

A. 43 B.

31 C.

52 D.

73

34

2) produqciis fasma moimata Tavisi fasis 25%-iT. axa-

li fasis ramden procents Seadgens Zveli fasi?

A. 75 B. 80 C. 120 D. 125

3) qsovilis fasma moiklo Tavisi fasis 52-iT. Zveli

fasis ra nawils Seadgens axali fasi?

A. 32 B.

21 C.

53 D.

52

4) produqciis fasma moiklo Tavisi fasis 20%-iT. axa-

li fasis ramdeni procentia Zveli fasi?

A. 80 B. 120 C. 75 D. 125 2.23. 1) ipoveT a:b, Tu a ricxvis 20% tolia b ricxvis 120%-

is.

A. 16

B. 6 C. 4 D. 14

2) ipoveT a:b, Tu a ricxvis 15% samjer metia b ricxvis 115%-ze.

A. 18 B. 20 C. 25 D. 23 3) Tu a ricxvi Seadgens b-s 75%-s, b ki c-s 15%-s, xo-

lo c aris 10000-is 20%, maSin a aris A. 50 B. 75 C. 150 D. 225

4) Tu a ricxvi Seadgens b-s 53 nawilis 20%-s, xolo b

aris 10000-is 20%-is 53 nawili, maSin a aris

A. 64 B. 120 C. 144 D. 150 2.24. 1) muSis xelfasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki moi-

mata 50%-iT. ramdeni procentiT gaizarda muSis xelfasi

TavdapirvelTan SedarebiT?

A. 15 B. 40 C. 30 D. 20 2) qsovilis fasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki isev

daiklo 25%-iT. Tavdapirveli fasis ramden procents Sea-

dgens qsovilis fasi axla?

A. 40 B. 60 C. 70 D. 80 3) produqciis fasma jer moiklo 15%-iT, Semdeg ki

moimata 10%-iT. Tavdapirvel fasTan SedarebiT ramdeni

procentiT moiklo sabolood produqciis fasma?

A. 7 B. 15 C. 6,5 D. 13 4) produqciis fasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki

isev daiklo 10%-iT. Tavdapirvel fasTan SedarebiT ramde-

35

ni procentiT moiklo sabolood produqciis fasma?

A. 28 B. 72 C. 14 D. 30 2.25. 1) benzinis fasma 20%-iT daiwia. adrindelTan Seda-

rebiT ramdeni procentiT meti benzinis yidva SeiZleba ax-

la 100 lariT? A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 2) karaqis fasma 25%-iT moimata. adrindelTan Sedare-

biT ramdeni procentiT naklebi karaqis yidva SeiZleba ax-

la 50 lariT? A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 2.26. 1) sami nayinis sayidlad gogonas daaklda 40 TeTri.

man ori nayini iyida da darCa 20 TeTri. ra Rirs erTi na-

yini?

A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 2) giorgis unda eyida erTnairi kasrebi. Tu is iyidda

8 kasrs, mas Tavisi Tanxidan darCeboda 20 lari, xolo Tu

is iyidda 10 kasrs, maSin mas daakldeboda 160 lari. ram-

deni lari Rirs erTi kasri? A. 80 B. 90 C. 100 D. 120 3) qoTani TafliT iwonis 3 kg-s. rodesac qoTnidan

gadmoasxes Taflis naxevari, aRmoCnda, rom qoTani darCe-

nili TafliT iwonis 2 kg-s. ramden kilograms iwonis ca-

rieli qoTani? A. 1,5 B. 0,5 C. 1 D. 2 4) rZiT naxevrad Sevsebuli kasri iwonis 9 kg-s, xo-

lo Tu kasris mxolod meoTxedia rZiT Sevsebuli, maSin

is iwonis 5,25 kg-s. ras iwonis carieli kasri?

A. 2,5 kg B. 1 kg C. 2 kg D. 1,5 kg 2.27. 1) 800 vafli imdenive Rirs, ramdenic 100 Sokoladi;

100 vafli imdenive Rirs, ramdenic 250 kanfeti. ramdeni So-

koladis yidva SeiZleba imdenive TanxiT, ramdenic 100 kam-

fets iyidda? A. 2 B. 5 C. 10 D. 25 2) boTlsa da WiqaSi erTad imdeni siTxe Cadis, ramde-

nic doqSi. boTlSi imave raodenobis siTxe Cadis, ramde-

nic WiqaSi da qilaSi erTad; sam qilaSi ki imave raodeno-

bis siTxe Cadis, rac or doqSi. ramdeni Wiqa siTxe Cadis

erT qilaSi? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.28. 1) kasrSi aris 50 litri Rvino. gadmoasxes 10 litri

da mis nacvlad Caasxes 10 litri wyali. Semdeg, gadmoas-

36

xes 10 litri narevi da kasri isev Seavses wyliT. ramdeni

litri Rvino darCa kasrSi? A. 20 B. 28 C. 32 D. 40 2) kasrSi iyo 32 litri spirti. gadmoasxes 8 litri

da mis nacvlad Caasxes 8 litri wyali. Semdeg, gadmoasxes

8 litri narevi da kasri isev Seavses wyliT. amis Semdeg,

kidev erTjer gadmoasxes 8 litri narevi da kasri isev Se-

avses wyliT. ramdeni litri spirti darCa kasrSi? A. 18,5 B. 12 C. 15 D. 13,5

2.29. 1) 43 saaTSi mgzavrma

413 km gaiara. ra manZils gaiv-

lis mgzavri 6 saaTSi?

A. 39 B. 18 C. 26 D. 13 2) 12 saaTSi Sesrulebul samuSaoSi muSa 30 lars Re-

bulobs. ramden lars miiRebs igi 8 saaTSi, Tu muSaobis

tempi igive iqneba?

A. 18 B. 24 C. 16 D. 20 3) tvirTis gadasazidad 4,5 tona tvirTmzidaobis 28

manqanaa saWiro. 3,5 tona tvirTmzidaobis ramdeni manqana

iqneba saWiro am tvirTis gadasazidad?

A. 36 B. 32 C. 40 D. 38 4) wisqvilSi 8 saaTSi 48 t. xorbali dafqves. ramdeni

tona xorblis dafqva SeiZleba 12 saaTSi, Tu muSaobis te-

mpi ar Seicvleba?

A. 64 B. 72 C. 78 D. 66 2.30. 1) garkveuli manZilis gavlas avtomobili 2 saaTs an-

domebs. ra droSi gaivlis igive manZils avtomobili 3-jer

naklebi siCqariT? A. 2 sT B. 8 sT C. 4 sT D. 6 sT 2) garkveuli manZili motociklistma 10km/sT siCqa-

riT raRac droSi gaiara. ra siCqariT unda imoZraos mo-

tociklistma, rom igive manZili oTxjer nakleb droSi

gaiaros?

A. 16 km/sT B. 20 km/sT C. 40 km/sT D. 2,5 km/sT 3) avtomobilma 90 km/sT siCqariT garkveuli manZili

gaiara. ra siCqariT unda imoZraos avtomobilma, rom or-

jer naklebi manZili samjer nakleb droSi gaiaros?

A. 80 km/sT B. 135 km/sT C. 120 km/sT D. 150 km/sT 4) erTma velosipedistma or saaTSi gaiara mTeli man-

Zilis 21 nawili, meorem ki sam saaTSi imave manZilis

41.

ramdenjer metia pirveli velosipedistis siCqare meoris

37

siCqareze?

A. 4 -jer B. 3-jer C. 2 -jer D. 1,5-jer 2.31. 1) gogona saxlidan skolamde midis 9 wuTSi, xolo

misi Zma saxlidan skolamde misvlas da ukan dabrunebas

andomebs 12 wuTs. ramdenjer metia Zmis siCqare dis siCqa-

reze?

A. 1,5-jer B. 2 -jer C. 2,5-jer D. 3-jer

2) ufrosi Zma saxlidan skolaSi midis 30 wuTSi, xo-

lo umcrosi _ 40 wuTSi. ramden wuTSi daeweva ufrosi Zma

umcross, Tu is 5 wuTiT gvian gamovida umcrosze?

A. 15 B. 16 C. 20 D. 24 3) A da B qalaqebidan erTdroulad erTmaneTis Sesax-

vedrad gamovida ori avtomobili. gamosvlidan ramdeni sa-

aTis Semdeg Sexvdebian isini erTmaneTs, Tu A-dan gamosu-li avtomobili B-Si Cadis 4 saaTSi, xolo B-dan gamosuli

A-Si Cadis 6 saaTSi?

A. 1 B. 1,6 C. 2 D. 2,4 4) A da B qalaqebidan erTdroulad erTmaneTis Sesax-

vedrad gamosuli avtomobilebi gamosvlidan 4 saaTis Sem-

deg Sexvdnen erTmaneTs. Sexvedridan ramden saaTSi Cava A-dan gamosuli avtomobili B qalaqSi, Tu misi siCqare 2-

jer metia meoris siCqareze?

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2.32. 1) xuTi kombaini dReSi mosavals iRebs 300 ha-ze. ram-den heqtarze aiRebs mosavals erT dReSi Svidi iseTive

kombaini?

A. 400 B. 150 C. 200 D. 420 2) sami traqtori yanas 8 saaTSi xnavs. ramdeni traq-

tori moxnavs igive yanas 6 saaTSi?

A. 6 B. 2 C. 4 D. 5 3) xuT kalatozs kedeli amohyavs 6 sT-Si. ramdeni ka-

latozi aaSenebs igive kedels 10 sT-Si?

A. 5 B. 3 C. 2 D. 4 4) sami traqtori 5 dReSi 150 ha miwas xnavs, ramden heqtar miwas moxnavs 4 traqtori 7 dReSi? A. 280 B. 140 C. 70 D. 560 2.33. 1) kedlis aSenebas ori kalatozi 8 saaTs andomebs.

imave kedels 8 saaTSi eqvsi Segirdic aaSenebs. ramden sa-

aTSi aaSenebs am kedels 4 kalatozi da 12 Segirdi?

A. 4 B. 1 C. 6 D. 2 2) nakveTis moxvnas ori didi traqtori 5 dRes ando-

mebs. imave nakveTs 5 dReSi 4 patara traqtoric moxnavs.

38

nakveTis ra nawils moxnavs erT dReSi sami didi da ori

patara traqtori erTad?

A. 0,5 B. 0,4 C. 0,2 D. 0,25 3) auzis avsebas xuTi patara tumbo 4 saaTs andomebs.

igive auzs ori didi tumbo 5 saaTSi avsebs. ramden saaTSi

aavsebs am auzs oTxi patara da sami didi tumbo erTad

moqmedebiT?

A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 4 4) garkveuli farTobis yanas patara kombaini 16 wT-

Si iRebs, xolo didi kombaini 4-jer ufro swrafad. ra

droSi aiReben isini 10-jer meti farTobis mqone yanas er-

Tad muSaobiT?

A. 24 wT B. 32 wT C. 36 wT D. 40 wT 2.34. 1) 6 kombaini 8 saaTSi xorbals iRebs 288 ha farTob-

ze. ramden saaTSi aiRebs mosavals 7 kombaini 126 ha far-

Tobis nakveTze?

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 2) 9 traqtori 4 dReSi 360 ha miwas xnavs. ramdeni

traqtori moxnavs 240 ha-s 6 dReSi?

A. 6 B. 3 C. 5 D. 4 3) samma satvirTo manqanam 4 saaTSi 50 km manZilze 360

t tvirTi gadazida. ramden tona tvirTs gadazidavs 5 ase-

Tive manqana 3 saaTSi 75 km manZilze?

A. 300 B. 320 C. 250 D. 350 4) oTxma satvirTo manqanam 5 saaTSi 30 km manZilze

120 t tvirTi gadazida. ramdeni aseTi manqanaa saWiro 160

t tvirTis gadasazidad 45 km manZilze 8 saaTis ganmavlo-

baSi?

A. 6 B. 3 C. 5 D. 4 2.35. 1) miwis nakveTi naxazze 1:10000 masStabiTaa mocemuli.

cnobilia, rom naxazze or wertils Soris manZilia 3,7 sm.

ipoveT Sesabamisi manZili nakveTze.

A. 37 km B. 3,7 km C. 370 m D. 37 m 2) rukaze qalaqebs Soris manZili 12 sm-ia. ra manZi-

lia sinamdvileSi am qalaqebs Soris, Tu rukis masStabia

1:800000?

A. 84 km B. 96 km C. 960 km D. 9600 m 3) naxazze 125 metrs Seesabameba 5 sm. ra manZilia or

wertils Soris sinamdvileSi, Tu naxazze igi 7 sm-ia?

A. 175 m B. 150 m C. 200 m D. 125 m 4) naxazze stadionis zomebia 5 sm da 8 sm. sinamdvi-

leSi stadionis mcire ganzomilebaa 20 m. ipoveT stadio-

39

nis meore ganzomileba.

A. 30 m B. 32 m C. 28 m D. 24 m 2.36. 1) isrebiani saaTi, romelic dRe-RameSi win midis 4

wT-iT, gaaswores. ra umciresi drois (dRe-Rame) Semdeg aC-

venebs saaTi isev zust dros?

2) isrebiani saaTi, romelic yovel 4 saaTSi CamorCe-

ba 2 wT-iT, gaaswores. ra umciresi drois (dRe-Rame) Sem-

deg aCvenebs saaTi isev zust dros?

3) ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen

saaTis isrebi, Tu saaTis Cvenebaa 3 sT da 40 wT.

4) ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen


5) daadgineT romeli saaTia, Tu viciT, rom dRis 9

saaTidan gasuli drois naxevari udris saRamos 9 saaTam-

de darCenili drois meoTxeds?

6) ramdenjer emTxveva saaTisa da wuTis maCvenebeli

isrebi erTmaneTs dRis pirveli saaTidan momdevno dRis

pirvel saaTamde?

2.37. 1) suraTis sigrZea 50 sm, sigane 40 sm. suraTis far-

Tobi gaadides 5-jer. ramdeni kvadratuli metri gaxda su-

raTis farTobi?

2) mikroskopi yoveli sagnis farTobs adidebs 106-

jer. ramdeni kvadratuli santimetri farTobiT gamoCndeba

mikroskopSi 0,00001 mm2 farTobis mqone sxeuli?

3) evraziis rukis masStabia 1:7000000, xolo amierkav-

kasiis rukisa ki 1:3500000. ramdenjer metia amierkavkasiis

rukaze saqarTvelos farTobi evraziis rukaze mocemul

saqarTvelos farTobze?

4) saqarTvelos farTobia 70000 kvadratuli kilomet-

ri, xolo saqarTvelos rukis masStabia 1:500000. ramdeni

kvadratuli santimetri ukavia saqarTvelos rukaze?

!!!!!!

40

%4/!sbdjpobmvsj!hbnptbyvmfcfcjt!hbnbsujwfcb!eb!hbnpUwmb

g a m oT v al eT (## 3.1_3.3): 3.1. 1) yx +2 , Tu ,1−=x 3=y

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 2) yx −3 , Tu ,1−=x 3=y

A. -3 B. -4 C. -5 D. -1 3) ,4 yx − Tu ,1−=x 1−=y

A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 4) ,2yx − Tu 4=x , 2−=y

A. 0 B. 2 C. -2 D. 1 5) ,yx − Tu ,3−=x 1−=y

A. 4 B. 2 C. -4 D. -2 6) ,yx + Tu ,5−=x 2−=y

A. 7 B. -3 C. 3 D. –7

3.2. 1) yxyx

22

+−

, Tu yx 4=

A. 65 B.

31 C.

43 D.

32

2) yxyx

2732

−+

, Tu xy 3=

A. 2

13 B.

211 C. 9 D. 11

3) yx

yx46

5+−

, Tu yx 32 =

A. 2 B. 21 C.

41 D.

413

4) 22

22

2543

yxyx

−+

, Tu 034 =− yx

A. 7 B. 9 C. 6 D. 8

3.3. 1) 22 1

xx + , Tu

251

=+x

x

A. 4116 B.

414 C.

434 D.

415

41

2) 22 1

xx + , Tu 31

=−x

x

A. 11 B. 7 C. 12 D. 8

3) 25

16 2

2x

x+ , Tu 5

54

=−x

x

A. 5426 B.

5425 C. 26 D.

5326

4) 4

9 4

4x

x+ , Tu 4

23 2

2 =+x

x

A. 14 B. 13 C. 12 D. 15

5) 33 1

xx + , Tu

371

=+x

x

A. 27225 B.

27195 C.

2746 D.

2716

6) 33 1

xx − , Tu 51

=−x

x

A. 140 B. 135 C. 145 D. 130

3.4. 1) Tu 51

=ba

, maSin abbaba

33

2

2

−

+ tolia

A. 1,6 B. 16 C. 2,6 D. -1

2) Tu a:b=3:5, maSin 2

2

3232babbab

−

+ tolia

A. -3 B. 312− C.

313 D. 5

3) Tu x:y:z=5:4:3, maSin yzxyxzyzxy

52 +++ tolia

A. 0,35 B. 0,4 C. 0,47 D. 0,5

4) Tu x:y=5:2, y:z=3:4, maSin yzxy

xzyzxy3

634+

+− tolia

A. 6 B. 3 C. 5 D. 4 3.5. 1) Tu a ricxvi gaizrdeba 3-jer, xolo b _ 2-jer, maSin

2

2

59

ba gaizrdeba

A. 9 -jer B. 2-jer C. 4,5-jer D. 2,25-jer

42

2) Tu a ricxvi gaizrdeba 5-jer, xolo b Semcirdeba 2-

jer, maSin 3

2

47

ba

gaizrdeba

A. 800-jer B. 100-jer C. 200-jer D. 250-jer 3) Tu a ricxvi Semcirdeba 2-jer, xolo b Semcirdeba 5-

jer, maSin 2

3

25ba

gaizrdeba

A. 2,75-jer B. 3,125-jer C. 4,5-jer D. 5-jer 4) Tu a ricxvi Semcirdeba 4-jer, xolo b gaizrdeba 5-

jer, maSin b

a3

7 2 Semcirdeba

A. 80-jer B. 40-jer C. 140-jer D. 25-jer 3.6. 1) Tu tzzyyx −=−=− =1, maSin tx − ar SeiZleba

udrides A. -3 B. 3 C. 1 D. 2

2) Tu y<x<0, maSin 2 2x y

x y

−

−=

A. x+y B. x-y C. –x-y D. y-x

3) Tu x<0 da y>0, maSin 2 24 4

2x xy y

x y− +

−=

A. x-2y B. 2y-x C. -x-2y D. x+2y 4) Tu x<0, y>0, maSin 2x y x y− − − = A. -y B. y C. 2x-3y D. 3y-2x

5) Tu x<0, y>0, maSin 3 3

2 2

x y

x xy y

−

+ +=

A. y-x B. x-y C. x2-y2 D. (x-y)2

6) Tu a<0, b<0, maSin 2a b a b+ − + = A. -2a+b B. 2a+b C. 3b D. -b 3.7. 1) ipoveT a b− gamosaxulebis udidesi mniSvneloba,

Tu 2≤a≤5, 7≤b≤9 A. 9 B. 3 C. 4 D. 7 2) ipoveT 2a b− gamosaxulebis umciresi mniSvneloba,

Tu 1≤a≤3, 2≤b≤4 A. 0 B. 1 C. 3 D. 7

43

3) ipoveT 3 2a b+ gamosaxulebis umciresi mniSvnelo-

ba, Tu 1≤a≤3, -3≤b≤-1 A. 1 B. 0 C. 3 D. 7 4) ipoveT 2 3a b+ gamosaxulebis udidesi mniSvneloba,

Tu -2≤a≤0, 1≤b≤3 A. 0 B. 7 C. 9 D. 13

3.8. 1) Tu m da n mTeli ricxvebia da 2≤m<n≤8, maSin 2m nmn+

gamosaxulebis udidesi mniSvnelobaa:

A. 65

B. 43

C. 38

D. 57

2) Tu m da n mTeli ricxvebia da 1≤n<m≤9, maSin 3m nmn+

gamosaxulebis umciresi mniSvnelobaa:

A. 12

B. 1124

C. 1217

D. 1519

g a a m a r t i v e T d a g a m oT v al eT (## 3.9– 3.17):

3.9. 1) ,22

33

abbaabba

−

− Tu ,32 +=a 31−=b

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1

2) ,11

3

xxxx⋅

+− Tu 13 +=x

A. 3 B. 3 C. 3− D. -3

3) yx

xyxy

yx

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− , Tu ,25+=x 22+=y

A. 2 B. 5 C. 4 D. 3

4) ,1:11 22 xx

x+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − Tu 13 +=x

A. 3 B. 3− C. 3 D. -3

3.10. 1) ,11 22

22 yxyx

xy −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− Tu ,53+=x 52 −=y

A. 5 B. 5 C. 3 D. 5−

44

2) ,:11yx

yyxyx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

Tu ,24 −=x 22 −=y

A. 2 B. 1 C. 2− D. 2

3) ,1

1:1

132

2

−

+

++

−

xx

xxx Tu 15 +=x

A. 1 B. 5 C. 5 D. 3

4) ,1:1423 xxxxx

x−++

+ Tu 2=x

A. 3 B. -1 C. 1 D. 2

3.11. 1) ,333

xyyxyx

−−− Tu 152 +=x , 15 +=y

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2) ( ) ,2

22

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

++

−xy

yxyxyx Tu ,52=x 5=y

A. 24 B. 30 C. 20 D. 5

3) ,:3322

22

baba

bababa

+

+

+− Tu 7=a , 3=b

A. 7 B. 21 C. 21 D. 7

4) ( )

,32

44

baab

abbaabba

+⋅

−+

+ Tu ,7

1=a 14=b

A. 14 B. 7 C. 2 D. 14

3.12. 1) ,1551

2244

33 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

−

+

yxyxxyyx Tu 6=x ,

32

=y

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

2) ,22

36yx

yxyx

−−

− Tu ,54=x 3=y

A. 6 B. 7 C. 9 D. 8

3) ,9663

3 2

2

++

−+−

+ aaaa

aa Tu 33 −=a

A. 2 B. 3 C. 1 D. -4

4) ,133

2

2

2

yxx

xy

xy

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ Tu 1,2=x 1,1=y

45

A. 2 B. 1 C. 1,5 D. 3

3.13. 1) ,33

abbaba

−−− Tu 3=a , 2=b

A. 3 B. 2 C. 5 D. 1

2) ( ),2233

bababa

+−−− Tu ,2=a 8=b

A. 4 B. 8 C. 2 D. 1

3) ,33

abbaba

+++ Tu ,5=a 2=b

A. 5 B. 7 C. 2 D. 3

4) ,1

1:1

132 −++

+

xxxx Tu 7=x

A. 7 B. 5 C. 3 D. 6

3.14. 1) ,222 abb

abaaba

b+

++

++

Tu ,51

−=a 71

=b

A. 2 B. 12 C. 352 D. 4

2) ,105522 xa

axxa

xxa

a−

+−

++

Tu ,51

=a 71

=x

A. 2 B. 12 C. 30 D. 10

3) ( ) ,11

11

112 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

−−

xxx Tu

313=x

A. 9112 B.

919 C.

312 D.

9181

4) ,1

11

223

2

++

+−

−

+

xxx

xxx Tu

211+=x

A. 2 B. 2 C. 22 D. 4

3.15. 1) ,2

2

2

2

babbab

abaa

++−

+ Tu ,35 −=a 35+=b

A. 22 B. 25 C. -21 D. -9

2) ,:212233 nmnm

nmnm

nnm ++

+

−+

+Tu 35+=m , 31+=n

A. 4

1 B.

21 C. 326+ D. 34 −

46

3) ( ) ,3322

223

babaabbaba

++

−+−Tu ,327 +=a 3210 +=b

A. 17 B. 34 C. -3 D. -17

4) ( )

,964

54363222

223

yxyxxyyxyx

+−

−−+ Tu ,231+=x 225 −=y

A. 5 B. 25 C. 6 D. 17

3.16. 1) ,1

11

11

123 +−

++

+−

+ aaaa

a Tu 132 −=a

A. 3 B. 32 C. 63 D.

23

2) ,1212232 xyxxyx

yyxy −

+−

−+

Tu ,223−=x 223+=y

A. 6 B. 8 C. 61 D. 1

3) ( ),

344834 2

yxxyyx

++− Tu ,

413=x

315=y

A. 15 B. 29 C. 27 D. 9

4) ( ),

254025 2

yxxyyx

−−+ Tu ,325+=x 352+=y

A. 7 B. 25 C. 21 D. 29

3.17. 1) ,11

22

−−

−−

−

−

abba Tu ,53+=a 53 −=b

A. 6 B. -4 C. –3,5 D. –1,5

2) ,1

222

11 −

−−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−+

xyx

yxyx Tu ,

3181=x

7385=y

A. 3181 B. 4 C.

2124 D. 166

3) ,33

11

12

1 −

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

+

aaaa Tu 15 −=a

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4) ,111

11

11

1

−−

−−

−−

−

−

−⋅

+

axxaxa

xaax Tu ,5=a 231+=x

47

A. 6 B. 5 C. 23 D. 4 gaamartiveT da gamoTvaleT (##3.18; 3 .19) :

3.18. 1) ( ) xx

xxxxxx

21

:12

1332

23 −

+−−+− , Tu 10 << x

2) 2

1212

−+++

xxxx

, Tu 1−<x

3) ( )1

112

3

+

++−

xx

xx, Tu 2>x

4) 22

112

12

22

−−

−−

−−

xx

x

xx, Tu

210 << x

3.19. 1) 1322 =+ ba da 6=ab . ipoveT ba + .

2) 1022 =+ ba da 3−=ab . ipoveT ba − .

3) 5=+ ba da 6=ab . ipoveT 33 ba + .

4) 6=− ba da 5−=ab . ipoveT 33 ba − .

!!!

%5/!jsbdjpobmvsj!hbnptbyvmfcfcjt!hbnbsujwfcb!eb!hbnpUwmb

g a m oT v al eT (##4.1 - 4.9):

4.1. 1) 4 8125 ⋅ A. 9 B. 10 C. 15 D. 20

2) 3 2736 ⋅ A. 15 B. 12 C. 10 D. 18 3) 4 1681 ⋅ A. 24 B. 18 C. 26 D. 27 4) 3 8121 ⋅ A. 27 B. 18 C. 22 D. 20

48

4.2. 1) 5 3249 ⋅ A. 21 B. 32 C. 18 D. 14 2) 3 8225 ⋅ A. 30 B. 45 C. 15 D. 90 3) 34 1000256 ⋅ A. 4 B. 40 C. 400 D. 20 4) 54 243625 ⋅ A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 4.3. 1) 5032383182 −+−

A. 25 B. 27 C. 32 D. 98 2) 8045202 +−

A. 56 B. 180 C. 125 D. 54

3) 1084753274 −+

A. 54 B. 27 C. 32 D. 34

4) 333 128543162 −+

A. 3 29 B. 3 28 C. 3 532 D. 3 162

4.4. 1) ( ) 22503182 ⋅+

A. 22 B. 84 C. 221 D. 36 2) ( ) 333 321654 ⋅−

A. 4 B. 8 C. 3 42 D. 3 24 3) ( ) 333 95245812 ⋅+ A. 120 B. 240 C. 75 D. 100 4) ( ) 333 451282163 ⋅+ A. 12 B. 16 C. 140 D. 36 4.5. 1) ( ) 75:126278 − A. 2 B. 5,4 C. 12 D. 2,4 2) ( ) 333 23:5422503 −

A. 6 B. 3 C. 3 3 D. 39

3) 283:

1435615

−

−

A. 5 B. 3 C. 2 D. 3

49

4) 6

508:20701035 −

−

−

A. -1

B.

1

C.

6

D. -6

4.6. 1) 3

322

13 +−

+

A.

613 −

B.

323 +

C.

213 + D.

231−

2) 3535

3535

−

++

+

−

A. 2 B. 6 C. 8 D. 9

3)

612285

2522

325 ++

++

−−

A.

25 +

B.

1

C. 2 D. 2552 −

4) 2626

2626

+

−+

−

+

A.

4

B. 2

C.

6

D. 2

4.7. 1)

3471

3471

−+

+

A. 7 B. 38 C. 14 D. 34

2) 1287550

+

+

A. 5 B. 2,5 C. 5 D. 0,5

3) 4

2102

15 +⋅

−

A. 4 B. 1 C. 22 D. 2

4) 2

3213

17 −⋅

+

A. 2 B. 1 C. 6 D. 3

4.8. 1) ( ) ( )2224332334 −−−

A. 16 B. 7 C. 30 D. 324

2) ( ) ( )2232533352 −++

A. 52 B. 39 C. 47 D. 104

50

3) 2

324324 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

A. 4 B. 8 C. 316 D. 34

4) 2

137137 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

A. 26 B. 7 C. 14 D. 13

4.9. 1) 63

51652 ⋅

A. 4 B. 2 C. 5 D. 3

2) 63

257125 ⋅

A. 1 B. 4 C. 5 D. 2

3) 8 2222 ⋅

A. 4 B. 2 C. 2 D. 8 4

4) 1233 33333 ⋅⋅

A. 4 B. 3 C. 3 3 D. 3 4.10. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT:

1) 23 ; 15 ; 4

A. 23 ; 4; 15 B.4; 15 ; 23 C. 15 ; 4; 23 D. 4; 23 ; 15 ;

2) 5; 72 ; 26

A. 26 ; 5; 72 B.5; 26 ; 72 C.5; 72 ; 26 D. 72 ; 26 ;5;

3) 28 ; 302 ; 36

A. 36 ; 302 ; 28 B. 36 ; 28 ; 302 C. 28 ; 302 ; 36 D. 302 ; 36 ; 28

4) 53 ; 24 ; 3 93

A. 53 ; 24 ; 3 93 B. 24 ; 53 ; 3 93 C. 24 ; 3 93 ; 53 D. 53 ; 3 93 ; 24

5) x a= , 3y a= , z=a, Tu 0<a<1 A. x, y, z B. z, x, y C. y, z, x D. y, x, z 6) x a= , 3y a= , z=a, Tu a>1 A. x, z, y B. x, y, z C. y, x, z D. y, z, x 7) x a= , 3y a= , z= 5 a , Tu a<-1 A. x, y, z B. x, z, y C. z, y, x D. z, x, y 8) 3x a= , y=a, z= 5 a , Tu -1<a<0

51

A. z, y, x B. z, x, y C. y, x, z D. y, z, x 4.11. daalageT ricxvebi klebadobis mixedviT:

1) 25 ; 34 ; 7

A.7; 25 ; 34 B. 34 ;7; 25 C.7; 34 ; 25 D. 25 ;7; 34

2) 5; 52 ; 33

A. 33 ; 52 ;5 B. 33 ;5; 52 C. 52 ;5; 33 D.5; 33 ; 52

3) 4 32 ; 7 ; 25

A. 7 ; 4 32 ;25 B. 7 ;

25; 4 32 C.

25; 4 32 ; 7 D. 4 32 ; 7 ;

25

4) 3 282 ; 6; 34

A. 3 282 ;6; 34 B. 34 ; 3 282 ;6 C. 34 ;6; 3 282 D.6; 34 ; 3 282 5) x a= , 4y a= , z= 3 a , Tu 0<a<1 A. x, y, z B. y, z, x C. y, x, z D. x, z, y 6) 3x a= , 5y a= , z= 7 a , Tu -1<a<0 A. z, y, x B. x, z, y C. x, y, z D. z, x, y 4.12. 1) cnobilia, rom 8a3=5b2 (a>0, b>0). ramdenjer gaizrdeba a, Tu b-s gavzrdiT 2 2 -jer?

A. 8-jer B. 2-jer C. 40-jer D. 2 -jer 2) dadebiTi a da b ricxvebi dakavSirebulia tolobiT 5a2=7b3. ramdenjer gaizrdeba a ricxvi, Tu b-s gavzrdiT 3-

jer? A. 3 5 B. 3 C. 27 D. 3 3 3) dadebiTi a da b ricxvebi dakavSirebulia tolobiT 5a=3b2. ramdenjer Semcirdeba b ricxvi, Tu a-s SevamcirebT 4-jer? A. 20-jer B. 10-jer C. 2-jer D. 4-jer 4) cnobilia, rom 5a4=8b3. ramdenjer Semcirdeba b ricxvi, Tu a-s SevamcirebT 4-jer? A. 4-jer B. 34 4 -jer C. 4 2 -jer D. 38 4 -jer

g a a m a r t i v e T d a g a m oT v al eT (##4.13 - 4.19):

4.13. 1) ,24

24−

+−

−

xx

xx Tu 8=x

A. 2 B. 2,1 C. 2,4 D. 3

52

2) ( ) ,12

2

abab

ba⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

+ Tu ,22+=a 24 −=b

A. 2 B. 3 C. 2,5 D. 3,5

3) ( )

,

2

82

21

2

−−

−+

xx

xx Tu 5=x

A. 5 B. 3 C. 4 D. 5

4) ,14

4 aa

aa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+ Tu 4=a

A. 3 B. 2 C. 3 D. 2

4.14. 1) ,22

22

21

212

32

3

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−

− aa

a Tu 8a =

A. -4 B. -1 C. -3 D. 2

2) ,8

2124−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

aaa

aa Tu

52

=a

A. 32 B.

52 C.

23 D.

25

3) ,3 abba

bbaa−

−

− Tu 25,6=a 25,2=b

A. 2,1 B. 1 C. 1,5 D. 2,7

4) ,1

1:1

1xx

xxx

x−

−

++

− Tu 13 +=x

A. 3− B. 2− C. -3 D. -2

4.15. 1) ( )( ) ,2

4444 babababa+−

+− Tu a=1,44 b=1,21

A. 0,1 B. -0,2 C. 0,2 D. 0,4

2) ,11

2

4

44 3−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++

−

−

xx

xxx Tu 4=x

A. 3 B. 1,5 C. 1 D. 2

53

3) ,1

11 23

21

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx Tu 5,2=x

A. 1,5 B. 2,5 C. 3,5 D. 5

4) ( ) ,1

31

23

2

−

+−

a

aa Tu 25,2=a

A. 1 B. 2 C. 4,5 D. 5

4.16. 1) ,1

11

1+

−− aa

Tu 11=a

A. 0,2 B. 0,1 C. 10 D. 0

2) ,81

6:3

13

12 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

− bbb Tu 111=b

A. 113 B. -120 C. 102 D. -11

3) ,339 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⋅

−a

aa

aa Tu 25,6=a

A. 0,2 B. 3 C. 5,5 D. -5

4) ( ) ,18

244

42

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

+⋅

+− xx

xxx Tu 44,1=x

A. 1,2 B. 2,4 C. 0,6 D. 1,8

4.17. 1) ,4

2 babaaabba +

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+− Tu ,2=a 8=b

A. 6 B. 16 C. 24 D. 0,5

2) ,

3

33

6 2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

axxax Tu ,64=x 2=a

A. 2 B. 28 C. 8 D. 212

3) ( ) ,822

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ abba Tu 25,6=a 25,2=b

A. 0,5 B. 5,5 C. -0,5 D. 6

4) ,2

1

44

4 33

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−

+

+ xaxaxa Tu ,18=a 1024=x

A. 32 B. 23 C. 16 D. 2

54

4.18. 1) ,41

31

265

43

21 −−−

bababa Tu ,3=a 32=b

A. 3 B. 6 C. 36 D. 3

2) ,61

34

31

31

−−−⋅ xyxyxx Tu ,22=x 2=y

A. 4 B. 24 C. 2 D. 23

3) ,4 3 23 4 3 mmmm ⋅⋅ Tu 144=m

A. 12 B. 36 C. 144 D. 288

4) ,3 25 2 aaaa ⋅ Tu 8=a

A. 8 B. 2 C. 64 D. 16

4.19. 1) ,21

21

yxyx

++

−−

Tu ,2=x 18=y

A. 61 B. 6 C. 23 D.

31

2) ,21

12

xxx

xx−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−−

Tu 187=x

A. 181 B. 1872 C. 188 D. 5

3) ,2

111

2

4

2 −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+

aa

aa Tu 13=a

A. 1 B. 2 C. 8 D. 13

4) ,5

5152

44

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

aaa Tu

45

=a

A. 5 B. 2,5 C. 3,5 D. 10 4.20. 1) ipoveT ( )( )3 5a a− + , Tu 3 5a a− + + =4 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2) ipoveT 24 x− , Tu 2 2 2 2x x− + + = A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

3) Tu x<0 da y>0, maSin 2 2

2 2

2x xy yx y− +

−=

55

A. x yx y−+

B. x-y C. 1x y

−+

D. 1x y+

4) Tu x>0 da y<0, maSin 2 2

2 2

4 44

y xy xy x− +

−=

A. 22y xx y−+

B. 12x y

−+

C. 12x y+

D. 22

x yx y−+

5) Tu x<0, y>0, maSin 2 2 2 22 4 4x xy y y xy x− + + − + = A. 3x-2y B. x C. -x D. 2y-3x

6) Tu x<0, y<0, maSin 2 2 2 22 4 4x xy y x xy y+ + − + + = A. –y B. y C. 2x+3y D. -2x-3y

gamoTvaleT (##4.21; 4 .22) :

4.21. 1) 324323 −+− 2) 12

12215

125−

−+−

−

3) 13

13221

3232

−−

−−− 4) 1

34531

5755

−−

−−−

4.22. 1) ( ) ( )224525 −+− 2) ( ) ( )22

72337 −+−

3) 36123819 −−− 4) 74117823 −+−

%6/!xsgjwj!hboupmfcfcj!eb!vupmpcfcj

a m o x s e n i T g a n tol e b a (##5.1 – 5.7):

5.1. 1) 20334 −=− x

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

2) 4325

431 =− x

A. 101

− B. 51

− C. 101 D.

51

3) 9,347,2 =− x A. –0,3 B. –0,4 C. –0,5 D. -0,6

56

4) 1272

653

415 =−x

A. 911 B.

921 C.

941 D.

951

5.2. 1) xx −=+ 1023 !A. 1 B. 2 C. –1 D. –2!

2) 3452 −=− xx A. –1 B. 1 C. –2 D. 2 3) 483 +=+ xx A. –2 B. –1 C. 1 D. 2

4) 1332 +=− xx A. –1 B. –2 C. -3 D. -4 5.3. 1) 665 −=− xx A. –1 B. 0 C. 1 D. –2

2) 1922

321

214 +=− xx

A. 101 B.

103 C.

107 D.

109

3) 1,14,18,35,2 −=+ xx A. –1,5 B. 1,5 C. –2,5 D. 2,5

4) 3,11075

2121,2 −=− xx

A. 31 B.

31

− C. 0,3 D. -0,3

5.4. 1) 13

257

12 +=

− xx

A. –1 B. –3 C. -2 D. 0

2) 12

5188

5 xx −=

−

A. 3 B. 2 C. -1 D. –3

3) 14

1721

334 xx +=

+

A. –2 B. –2,5 C. -3 D. –3,5

4) 3

3,08,12

2,57,3 −=

− xx

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5.5. 1) 4362

1317 xx −

−=+

A. –1 B. –2 C. 1 D. 2

57

2) 2

7311

32 xx −−=

+

A. –1 B. 2 C. -2 D. 3

3) 9

41295

4 −−=

− xx

A. 34 B. 40 C. 32 D. 42

4) 8

3537

76 −=−

+ xx

A. 7 B. 6 C. 5 D. 8

5.6. 1) 445

47

5,053 xx +

−=+

A. –0,5 B. 0,5 C. -1 D. 1

2) 3

23522

5,234 +

=−− xx

A. 32 B.

31

− C. 32

− D. 31

3) 34

33

22

1=

++

++

+ xxx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4) 73

1210

235

4−

+=

−+

− xxx

A. 30 B. 34 C. 38 D. 42

5.7. 1) 1252

153

=−−

−−−

xx

xx

A. 11 B. 8 C. 5 D. 3

2) 1233

124

=+−

−+−

xx

xx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3) 11218

215

=−+

−−−

xx

xx

A. 131

− B. 131 C.

132

− D. 132

4) 335

232

=−−

++−

xx

xx

A. 97 B.

98 C.

971 D.

981

58

a m o x s e n i T u tolo b e b i (##5.8. - 5.10):

5.8. 1) 352 <−x

A. ] [0;−∞ B. ] [1;−∞ C. ] [3;−∞ D. ] [4;−∞ 2) 243 >−x A. ] [∞;0 B. ] [∞;2 C. ] [∞− ;1 D. ] [∞;1 3) 314 ≥−x A. [ [∞;0 B. ] ]1;−∞ C. ] ]0;−∞ D. [ [∞;1 4) 123 <− x A. ] [∞;1 B. ] [1;−∞ C. ] [∞;0 D. ] [0;−∞ 5.9. 1) ( ) ( )231715 +−≤+− xx

A. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ −∞−

87; B. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞− ;

87 C. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ −∞−

43; D. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞− ;

43

2) ( ) ( ) 121784 <−−+ xx A. ] [9;−∞ B. ] [∞;9 C. ] [∞;3 D. ] [3;−∞ 3) ( ) 162,15,14 −>−− xx A. ] [∞;3,1 B. ] [3,1;−∞ C. ] [1,3;−−∞ D. ] [∞− ;1,3 4) ( ) 9,1137,1 +−>−− xx A. ] [∞;8 B. ] [8,1;−∞ C. ] [∞;8,1 D. ] [∞;8,0 5.10. 1) ( ) ( ) 18543342 +−>−−+ xxx A. ] [∞;3 B. ] [3;−∞ C. ] [∞;1 D. ] [1;−∞ 2) ( ) xxx 493610012112 −≥+− A. [ [∞;4,4 B. ] ]4,4;−∞ C. [ [∞;8,4 D. ] ]8,4;−∞ 3) ( ) ( ) 810134,016,02 −<+−− xxx A. ] [∞;56,0 B. ] [56,0;−∞ C. ] [∞;5,0 D. ] [5,0;−∞ 4) ( ) ( ) xxx 3624512464 −≤−−+

A. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ ∞−

121; B. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ ∞−

161; C. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞;161 D. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞;121

5.11. amoxseniT utoloba da ipoveT umciresi mTeli amona-

xsni

1) 83

114

1+

+<−

− xx

A. -114 B. -116 C. -115 D. -100

2) 6

34

33

2 −>

++

− xxx

A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

59

3) 10

34

135

32 xxx −<

−−

−

A. 2 B. -2 C. -4 D. -1

4) 3

14

123

73 −>

−−

− xxx

A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 5.12. amoxseniT utoloba da ipoveT udidesi mTeli amona-

xsni

1) 410

125

3<

−+

−−

xxx

A. -3 B. 3 C. 2 D. 4

2) xxx−>

−−

− 34,0

135,0

32

A. -2 B. -3 C. -1 D. -4

3) 3,0

26,03

4,03 xxx −

<−

−+

A. -1 B. -3 C. -4 D. -2

4) 6

32423

372 −

<−

−− xxx

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

!5.13. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac:

1) ( ) 341 22 +−=− aaxa gantolebas ara aqvs amonaxsni.

2) ( ) 329 22 −+=− aaxa gantolebas aqvs uamravi amonax-

sni.

5.14. ipoveT b parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac:

1) ( )( ) 02 =−− bxx gantolebas aqvs erTi amonaxsni.

2) 032=

−−

xbx gantolebas ara aqvs amonaxsni.

5.15. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs dadebiTi amonaxsni:

1) xax 542 −=− 2) ( ) ( )xax −=− 423 5.16. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs uaryofiTi amonaxsni:

1) ( ) xaxa 422 −+=− 2) ( ) 3223 −+=− axax 5.17. ipoveT a parametris udidesi mTeli mniSvneloba,

60

romlisTvisac gantolebis amonaxsni akmayofilebs

miTiTebul utolobas:

1) ( ) ,23 xax −=+ 2>x 2) ( ) ,235 axa +=− 1<x 5.18. ipoveT a parametris umciresi mTeli mniSvneloba,

romlisTvisac gantolebis amonaxsni akmayofilebs

miTiTebul utolobas:

1) ( ) ,423 aax +=− 2>x 2) ( ) ,21225 −=− axa 1<x 5.19. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac:

1) ( ) xax 2423 +=− gantolebis amonaxsni metia

( ) xxa −=− 622 gantolebis amonaxsnze.

2) ( ) ( )xxa 534325 −=− gantolebis amonaxsni naklebia

( ) ( )xax −=− 52323 gantolebis amonaxsnze.

5.20. ipoveT a parametris is umciresi mTeli mniSvneloba,

romlisTvisac gantolebas aqvs mTeli amonaxsni:

1) ( ) 63 =+ xa 2) ( ) 432 +=+ axa !!

%7/!xsgjw!vupmpcbUb!tjtufnfcj!!

i p o v e T u tolo b aT a s i s t e m i s a m o n a x s n -

T a s i m r a vl e (##6.1 - 6.5):

6.1. 1) ⎩⎨⎧

<−>+03

063xx

A. ] [1;2 −− B. ] [0;2− C. ] [3;2− D. ] [1;2−

2) ⎩⎨⎧

>+<−01

062x

x

A. ] [1;1− B. ] [2;1− C. ] [0;1− D. ] [3;1−

3) ⎩⎨⎧

>+≤−

01206

xx

A. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤− 0;

21 B. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤− 6;

21 C. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤− 3;

21 D. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤− 4;

21

4) ⎩⎨⎧

≥+<−05013

xx

A. [ [0;5− B. ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡−

21;5 C. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡−

31;5 D. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡−

32;5

61

6.2. 1) ⎩⎨⎧

−≤−+>−

xxxx14214

523

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 5;

213 B. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡

215;3 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ 4;

213 D. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ 7;

213

2) ⎩⎨⎧

−≤+−>−

15191043

xxxx

A. ] ]1;−∞ B. ] [0;−∞ C. ] [1;−−∞ D. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ −∞−

21;

3) ⎩⎨⎧

−<−+≤−241379311

xxxx

A. ] [5;3 B. ] ]4;3 C. [ ]5;2 D. ] ]5;3

4) ⎩⎨⎧

+<−−−>−

xxxx

1623634

A. ] [∞;5 B. ] [5;5− C. ] [5;−∞ D. ] [∞− ;5

6.3. 1) ( )

( )⎩⎨⎧

−<−−>−−

2131225

xxx

A. [ [∞;0 B. ] [∞;1 C. ] [∞;3 D. ] [∞− ;1

2) ( ) ( )

⎩⎨⎧

−≥−+>−−

xxxx

452842213

A. ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ ∞− ;

211 B. ] [13;−∞ C. ] [∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞− ;13

211; U D. ] [∞;13

3) ( )( )⎩

⎨⎧

+−><−−

18123642

xxxx

A. ] [3;−−∞ B. ] [2;3− C. ] [∞;2 D. ] [2;−∞

4) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

−<−−<−

135,15,025,0443

xxxx

A. ] [2;−∞ B. ] [∞;0 C. Ø D. ] [2;0

6.4. 1) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<−+

−+

<−−

xxx

xx

424535

45433

27

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞;137 B. ] [9;−∞ C. ] [∞;9 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ 9;137

62

2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−

<−

−

103

14

103

14

xx

xx

A. ] [ ] [∞−−∞ ;329; U B. ] [3;29− C. ] [∞− ;29 D. ] [3;−∞

3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+

<+−

7175

75

17

xx

xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 3;

911 B. ] [3;−∞ C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

911 D. ] [∞;3

4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

<+

−−

<−

75

734

65

14

134

12

xx

xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞;

1346 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

1346;4 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−

1346; D. ] [∞;4

6.5. 1)

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤−−>−−>+

xxxx

xx

1125142

17732

A. ] ]1;1− B. [ [4;1 C. ] [4;1− D. ] [∞;4

2) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+<−−>−

+<−

xxxx

xx

2536232

5423

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −−

71;1 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤− 3;

71 C. ] [3;1− D. ] [1;−∞−

3) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<−<−+<−

xxxx

xx

12313

834

A. ] [0;1− B. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

31;1 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

31;0 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

31

4) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+<−<−−<−

xxxx

xx

466221415465

63

A. ] [∞;3 B. ] [3;1 C. ] [2;1 D. ] [3;2

6.6. amoxseniT utolobaTa sistema da ipoveT udidesi

mTeli amonaxsni:

1) ⎩⎨⎧

−>−−≥−253

9223xx

xx 2)

⎩⎨⎧

+>−−≤+

5474,153

xxxx

3) ⎩⎨⎧

−<−+≥−xx

xx452

5,0213 4)

⎩⎨⎧

−≥−−>+

5,54531436

xxxx

6.7. amoxseniT utolobaTa sistema da ipoveT umciresi

mTeli amonaxsni:

1) ( )

⎩⎨⎧

+<>−−

156642

xxxx

2) ( )

( )⎩⎨⎧

−<−−>−−

xxxx

2131225

3) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<−+

−+

<−−

xxx

xx

33538

25

41312

11

4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>−−

>−

−

61

413

33

122

xxx

xx

%8/!lwbesbuvmj!eb!nbt{f!ebzwbobej!!hboupmfcfcj/!vupmpcfcj

i p o v e T g a n tol e b i s u d i d e s i f e s v i

(##7.1_7.3):

7.1. 1) 571913 22 +=− xx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2) xxxx 15964 22 −=+ A. 2,4 B. 3,2 C. 3,8 D. 4,2 3) 2082 =− xx A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4) 06113 2 =++ xx

A. 32

− B. 32 C. -3 D. 3

7.2. 1) 026352 =−− xx

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

64

2) 24

595

38 22=

−+

− xx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3) x

xx

x−+

=−

+7

3334

25

A. –2 B. 2 C. -4 D. 4

4) 24

326

+−

=−−

xx

xx

A. 0 B. 3 C. 5 D. 7 7.3. 1) 0910 24 =+− xx A. 3 B. 1 C. 4 D. -3 2) 03613 24 =+− xx

A. 4 B. -3 C. 3 D. 16 3) 01617 24 =+− xx

A. 5 B. 1 C. 4 D. 16 4) 0154 24 =+− xx

A. 2 B. 41 C.

211 D. 1

i p o v e T g a n tol e b i s u m c i r e s i f e s v i

(##7.4 – 7.6):

7.4. 1) 02452 =−+ xx A. 3 B. -8 C. -3 D. 8

2) ( ) ( ) 27

1221 22

−+

=−

+xxx

A. 3 B. -3 C. 11 D. –11

3) ( ) ( ) 15

1322 22

+=−

−+ xxx

A. 135

− B. 134

− C. 133

− D. 132

−

4) 13

19

142

=−

+− xx

A. -5 B. -4 C. -3 D. –2 7.5. 1) 04 =+ xx

A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 2) 08 4 =− xx

A. 0 B. 21 C.

21

− D. –1

65

3) 032 36 =−− xx

A. 3 B. 3 3 C. -1 D. 1 4) 087 36 =−+ xx

A. 2 B. -1 C. 1 D. –2 7.6. 1) 2082 =− xx A. 8 B. 6 C. -10 D. –2 2) 0385 2 =+− xx

A. 1 B. -1 C. 53

− D. 2

3) 0823 2 =−+ xx

A. 311− B. -1 C.

311 D.

321−

4) 0853 2 =−− xx

A. -1 B. 312− C.

212 D.

322−

7.7. ipoveT gantolebis fesvTa jami:

1) 0527 2 =−− xx

A. 73 B.

71 C.

72 D.

74

2) 0232 2 =−+ xx

A. -1 B. 21

− C. 211− D. –2

3) 0523 2 =−− xx

A. -2 B. 32

− C. 32 D.

31

4) 0194 2 =−+ xx

A. 0 B. 49

− C. 49 D.

41

−

7.8. ipoveT gantolebis fesvTa namravli:

1) 0432 2 =−+ xx A. 0 B. -2 C. 2 D. 1 2) 045 2 =+ xx

A. 0 B. 54

− C. 54 D. 9

3) 054 2 =−x

66

A. 0 B. -1 C. 45 D.

45

−

4) 01623 2 =−+ xx

A. -4 B. 4 C. 3

16− D.

316

7.9. ramdeni gansxvavebuli fesvi aqvs gantolebas:

1) ( )( ) ( )( ) 03 4 12 2 22 =+−−− xxxx

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 2) ( ) ( )( ) 031 1 53 22 =−++ xxxx

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 3) ( )( )( )( ) 01371 22 =−++−+ xxxxxx

A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 4) ( )( )( ) 021684 222 =−−++− xxxxxx

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

i p o v e T u tolo b i s a m o n a x s n T a s i m r a vl e

(##7.10 - 7.13):

7.10. 1) ( )( ) 042 >−− xx A. ] [4;2 B. ] [ ] [∞−∞ ;42; U C. ] [∞;2 D. ] [∞;4

2) ( )( ) 053 >−− xx

A. ] [5;3 B. ] [ ] [∞−∞ ;53; U C. ] [∞;3 D. ] [5;−∞

3) ( ) ( ) 012 2 >−− xx

A. [ ]2;1 B. ] [1;−∞ C. ] [ ] [∞−∞ ;21; U D. ] [ ] [∞;22;1 U

4) ( )( ) 0323 2 <++ xx

A. ] [ ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −−−∞−

32;33; U B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞−

32; C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −−

32;3 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

32

7.11. 1) 04103

<+−

xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−

313; B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤−

313;4 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

313 D. ] [∞− ;4

2) 023

5≤

−−

xx

A. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ 5;

211 B. [ [∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;5

211; U C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

211 D. ] ]5;−∞

67

3) 044

55≥

+−x

x

A. ] [∞− ;1 B. ] ]1;1− C. [ [∞;1 D. ] [1;−∞

4) ( )

08

2142 >

−

−

xx

A. ] [∞;7 B. ] [ ] [∞;88;7 U C. ] [7;−∞ D. ] [8;−∞

7.12. 1) 132>

−−

xx

A. ] [∞;3 B. ] [3;−∞ C. ] [3;2 D. ] [∞;2

2) 223>

+−

xx

A. ] [2;−−∞ B. ] [2;7 −− C. ] [∞− ;7 D. ] [ ] [∞−−−∞ ;27; U

3) 3113

−>−+

xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 1;

31 B. ] [1;−∞ C. ] [∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;1

31; U D. ] [∞;1

4) 2534<

−−

xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

321;

511 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−

321; C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

511 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

321

511; U

7.13. 1) 0342 >+− xx A. ] [3;1 B. ] [∞;1 C. ] [ ] [∞−∞ ;31; U D. ] [∞;3 2) 0275 2 <+− xx

A. ] [∞⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞− ;1

52; U B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−

52; C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ 1;

52 D. ] [∞;1

3) 016 2 <−− xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

21;

31 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞− ;

21

31; U C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

21 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞−

31;

4) 0235 2 >+−− xx

A. ] [1;−−∞ B. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

52;1 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

52 D. ] [ ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−∞− ;

521; U

5) 01062 ≤+− xx A. Ø B. ] [∞−∞; C. ] [∞;5 D. ] [5;−∞

6) 0523 2 >+− xx A. ] [2;−−∞ B. ] [∞−∞; C. Ø D. ] [∞− ;2

68

7.14. 1) mocemulia ori piroba: I. a<0; II. a>2. imisaTvis, rom

davadginoT a2-4a+3 gamosaxulebis niSani:

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi

cal-calke; D. sakmarisia orive piroba cal-calke.

2) mocemulia ori piroba: I. a<-3; II. a>7. imisaTvis, rom

davadginoT ( )( )3 7 5

2 5a a

a− −

+ gamosaxulebis niSani:

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi

cal-calke;

D. sakmarisia orive piroba cal-calke.

7.15. 1) a2-2a-15 gamosaxulebis niSnis dasadgenad Semdegi

ori pirobidan: I. a<5; II. a>-2. A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi


2) 3 52 1aa−+

gamosaxulebis niSnis dasadgenad Semdegi ori

pirobidan: I. a>0; II. a<-1. A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi


7.16. ipoveT gantolebis fesvTa namravli:

1) 20642

2 =+x

x 2) 232

1582

2422 =

−+−

−+ xxxx

3) ( ) ( ) 121

11

21

2 =+

−+ xxx

4) ( ) ( ) 81326 222 =−−− xxx

7.17. ipoveT gantolebis fesvTa jami:

69

1) 263

22

632

2=

+−+

+−xxx

xxx

2) 045

352

2=+

−++

−+xxx

xxx

3) 91217 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

xx

xx 4

331016

9 2

2

7.18. ipoveT k -s is mniSvneloba, romlisTvisac:

1) 0152 =++ kxx gantolebis fesvi 5-is tolia

2) 02132 =+− xkx gantolebis fesvi 2-is tolia

7.19. SekveceT wiladi

1) 4465

2

2

++++

aaaa

2) 5623

2

2

++++

aaaa

3) 22

22

2149

babababa

−−+−

4) 22

22

35232

babababa

+−−−

7.20. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac:

1) ( )( ) 05 =−− axx gantolebas aqvs erTi amonaxsni.

2) ( ) 011 =−− xa gantolebis amonaxsnTa simravlea [ [∞;1 .

3) 0432=

−−+

axxx gantolebas aqvs erTi amonaxsni.

4) 01072=

−+−

axxx gantolebas aqvs erTi amonaxsni.

ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle

(##7.21; 7 .22) :

7.21. 1) 04

1862>

−+−

xxx 2) 0

13

2 <−+−

−

xxx

3) 08232

2

2>

+−

−+

xxxx 4) 0

2103

2

2<

−−

+−

xxxx

7.22. 1) ( )( )( ) 032413 2 <−−− xxx 2) ( )( )( ) 084162 >−−− xxx

3) 06545

2

2<

−−

++

xxxx 4) 0

1276

2

2<

+−

−−

xxxx

70

7.23. ipoveT C -s is mniSvneloba, romlisTvisac gantole-

bas aqvs erTi fesvi

1) 0124 2 =+− Cxx 2) 02416 2 =−+ Cxx 7.24. ipoveT C -s is udidesi mniSvneloba, romlisTvisac

gantolebas aqvs erTi fesvi

1) 019 2 =+−Cxx 2) 04823 2 =++ Cxx 7.25. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs erTi amonaxsni:

1) ( ) 0229822 =+++− mxmx 2) ( ) 015222 =+++− mxmx 7.26. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas ara aqvs amonaxsni:

1) ( ) 0615422 =+++− mxmx 2) ( ) 098242 =++++ mxmx 7.27. ipoveT a parametris yvela im mniSvnelobebs Soris

udidesi mTeli, romlisTvisac gantolebas aqvs ori

amonaxsni:

1) ( ) 0610105 2 =−+−− axxa 2) ( ) 01045 2 =+−+ axxa 7.28. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis fesvebi:

1) ( ) 0532 2 =++−− aaxxa 2) ( ) 051 2 =−+++ aaxxa 7.29. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs ori dadebiTi amonaxsni:

1) ( ) 0912 22 =−+−− mxmx 2) ( ) 0442 22 =−++− mxmx 7.30. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs ori uaryofiTi amonaxsni:

1) ( ) 01812 22 =++++ axax 2) ( ) 0152 22 =−+−− axax 7.31. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac gantolebas aqvs moduliT toli da niSniT

mopirdapire amonaxsnebi:

1) ( ) 012922 =+−−− axax

2) ( ) 0322322 22 =−++−+ axaaax 7.32. ipoveT a, b, c, Tu:

1) x2+bx+c=0 gantolebis amonaxsnebia 1 da 10, xolo

ax2+dx+c=0 gantolebis amonaxsnebia 25 da 5.

2) x2+bx+c=0 gantolebis amonaxsnebia -8 da 1, xolo

ax2+c=0 gantolebis erT-erTi amonaxsnia 2. 7.33. ipoveT p da q, Tu:

71

1) x2+px-12=0 da 3x2+6x+q=0 gantolebebs aqvT erTidaigi-

ve amonaxsnebi;

2) 2x2+6x+q=0 da px2+3x-4=0 gantolebebs aqvT erTidaigi-

ve amonaxsnebi. !!

%9/!jsbdjpobmvsj!hboupmfcfcj!eb!vupmpcfcj!!

a m o x s e n i T g a n tol e b a (##8.1 - 8.5):

8.1. 1) 671 =− x A. -3 B. -4 C. -5 D. -6 2) 28,02 =+x A. 1,6 B. 1,8 C. 2 D. 2,8

3) 652 =−+ x A. 4 B. -4 C. -11 D. -10

4) 3,1133,5 =+− x A. 5 B. 8 C. 16 D. 24

8.2. 1) 5,151551,3 −=+ xx

A. 2013 B.

1923 C.

2143 D.

2123

2) 6592

3113,0 −=− xx

A. 3 B. 4 C. 5 D. 215

3) 25,0412

2115,0 −=+ xx

A. 21 B.

31 C.

41 D. 1

4) 534

2113,2

312 +=+− xx

A. 53 B.

52 C.

52

− D. 53

−

8.3. 1) 22 325435 xxxx −−=−+ A. 5 B. 3 C. 1 D. 0

72

2) 15,731115,3

312 22 −+−=−− xxxx

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3) 2125,0

412

21

2115,0 22 −−=−+ xxxx

A. 31 B. 0 C.

21 D. 1

4) 212

211

2131,2 22 −−=−− xxxx

A. 0 B. 321 C. 1 D.

211

8.4. 1) 13149 2 −=−− xxx A. 1 B. 0 C. 2 D. 2,5

2) 254425 2 −=−− xxx

A. 2 B. 3 C. 21 D.

31

3) 125 −=− xx A. 2 B. –2 C. 1 D. -1 4) xx −=− 2413 A. -1 B. 0 C. -2 D. -3

8.5. 1) 1

362−+

=+x

xx

A. -3 B. 3 C. -5 D. 5

2) 3

122−

+=+

xxx

A. 1 B. -1 C. 7 D. -7

3) 2

43−−

=−x

xx

A. 313 B.

323 C.

513 D.

523

4) 5

31+

−=−

xxx

A. 1,2 B. 1,3 C. 1,4 D. 1,5

73

a m o x s e n i T u tolo b a (## 8.6; 8.7): 8.6. 1) 141 >− x A. ] [1;−−∞ B. ] [0;−∞ C. ] [1;−∞ D. ] [2;−∞

2) 3225 ≥− x A. ] ]5;−∞ B. ] ]6;−∞ C. ] ]7;−∞ D. ] ]8;−∞

3) 1123 −>+x A. [ [∞− ;4 B. [ [∞− ;3 C. [ [∞− ;2 D. [ [∞− ;1

4) 3214 −>− x A. ] ]3;−∞ B. ] ]5;−∞ C. ] ]7;−∞ D. ] ]14;−∞

5) 663 <−x A. ] [14;−∞ B. [ [14;2 C. [ [36;2 D. [ [14;4

6) 34 ≤− x A. ] ]4;−∞ B. [ [∞;5 C. [ ]4;5− D. [ ]5;4−

8.7. 1) 220 2 >− x A. ] [0;4− B. ] [4;0 C. ] [4;4− D. ] [2;2−

2) 3217 2 ≥− x A. [ ]2;2− B. [ ]3;3− C. [ ]0;2− D. [ ]0;3−

3) 311 2 ≥−+ xx A. [ ]2;3− B. [ ]3;2− C. [ ]1;2− D. [ ]2;1−

4) 325 2 −>− x A. ] [4;4− B. [ ]5;5− C. [ [4;0 D. [ ]5;0 amoxseniT gantoleba (##8.8; 8 .9) :

8.8. 1) 327 =−++ xx 2) 6315 =−+− xx

3) 32652 −=−+− xxx 4) 12291 −=−−+ xxx

8.9. 1) 1334 33 =−−+ xx 2) 112575 33 =−−+ xx

3) 124 =+ xx 4) 16161 4 =−+− xx

amoxseniT utoloba (##8.10-8 .13) :

8.10. 1) 364 +<− xx 2) 7243 +≥− xx

3) xx +≤− 44 4) xx +>− 44

74

8.11. 1) 3256 22 −−<+− xxxx 2) 10311 2 −−>+ xxx

3) ( ) 021 2 >−−− xxx 4) ( ) 023 2 <−+− xxx

8.12. 1) 012194

72

<+−

−

xx

x 2) 03

21517 2>

+−−

xxx

3) ( ) 0863 ≥−−

+xxx 4) ( ) 0

863 ≤++

−xxx

8.13. 1) xx <− 209 2) 11242 −<−− xxx

3) 13 +>+ xx 4) 2452 +>++ xxx

!!

%:/!hboupmfcbUb!tjtufnfcj!

a m o x s e n i T s i s t e m a (##9.1 - 9.6):

9.1. 1) ⎩⎨⎧

=+−=−3856

1934yxyx

2) ⎩⎨⎧

−=+=−

162543

yxyx

A. ;21

=x =y -7 B. ;21

−=x 7=y A. ;1−=x21

−=y B. ;1=x21

=y

C. ;21

−=x =y -7 D. ;21

=x 7=y C. ;1=x21

−=y D. ;1−=x21

=y

3) ⎩⎨⎧

−=−−=+

52319

yxyx

4) ⎩⎨⎧

=+−−=+

1094335

yxyx

A. ;31

−=x 2=y B. ,31

=x 2−=y A. =x -1;32

−=y B. ;1=x32

−=y

C. ;31

−=x 2−=y D. ;31

=x 2.y = C. =x -1;32

−=y D. ;1−=x32

=y

9.2. 1) ( )( )⎩

⎨⎧

+=−+=−115

1413xyyx

2) ( )( )⎩

⎨⎧

−=+−=+

xyyx

23235124

A. ;4−=x 2−=y B. ;4−=x 2=y A. ;3−=x 1=y B. ;3−=x 1−=y C. ;4=x 2−=y D. 4; 2.x y= = C. ;3=x 1−=y D. ;3=x 1=y

3) ( )( )⎩

⎨⎧

−=+−=+

xyyx

321425115

4) ( )( )⎩

⎨⎧

−=+−−=−

xyyx

412158317

A. ;32

=x 0=y B. ;32

−=x 1=y A. ;2=x 5−=y B. ;5=x 2=y

75

C. ;32

−=x 0=y D. 1 ; y=-13

x = C. ;2=x 5=y D. ;2−=x 5−=y

9.3. 1) ⎩⎨⎧

=+−−=+

5,245,0122

yxyx

2) 1,5 22 3 0,5

x yx y

− =⎧⎨ + =⎩

A. ;21

=x 1−=y B. ;1−=x21

=y A. ;21

−=x 1=y B. ;1=x21

−=y

C. ;1−=x 0=y D. ;21

=x 1=y C. ;1=x 0=y D. ;21

=x 1−=y

3) ⎩⎨⎧

−=−−=+

5,25,05,113

yxyx

4) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

3322

31

23

yx

yx

A. ;2=x 1−=y B. ;1−=x 1−=y A. ;1−=x 1=y B. ;1=x 1=y C. ;1−=x 2=y D. ;1−=x 2−=y C. ;1−=x 2=y D. ;1=x 1−=y

9.4. 1)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

83

24

132

yx

yx

2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

19312

5

1149

2

yx

yx

A. ;2=x 3=y B. ;4=x 5=y A. ;12=x 36=y B. ;36=x 12=y C. ;6=x 7=y D. ;8=x 9=y C. ;6=x 18=y D. ;18=x 6=y

3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

55

32

55

24

3

yx

yx

4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

022

325

62

yx

yx

A. ;2=x 3=y B. ;3=x 4=y A. ;4=x 3−=y B. ;4−=x 3=y C. ;4=x 5=y D. ;5=x 6=y C. ;6=x 5−=y D. ;6−=x 5=y

9.5. 1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

2

22 xyx

yx 2)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

823

4232yxy

yx

A. ;1=x 1=y B. ;2=x 1−=y A. ;2−=x 5=y B. ;1=x 1=y C. ;1−=x 2=y D. ;1−=x 1−=y C. ;0=x 2=y D. ;0=x 2−=y

3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

5

522 yx

yx 4)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

3

322 yx

yx

A. ;3=x 2=y B. ;4=x 1=y A. ;1=x 2=y B. ;2=x 1=y C. ;0=x 5=y D. ;5=x 0=y C. ;0=x 3=y D. ;3=x 0=y

76

a m o x s e n i T s i s t e m a:

9.6. 1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=+−−

309922

yxyxyx 2)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=−+

020622

xyyyx

3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=+−

36322

yxyxyx

4) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=++−+−

2093 22

xyyxxxyy

9.7. ipoveT x -is mniSvnelobebs Soris udidesi, Tu ( )yx,

wyvili sistemis amonaxsnia

1)⎪⎩

⎪⎨⎧

==+

61322

xyyx 2)

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+

204122

xyyx

3) ( )⎩⎨⎧

=⋅+=++

23

xyyxxyyx

4) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+

=++

20

9

yxyx

yxyx

9.8. 1) ipoveT a, Tu 3x+2=x2+a=5x+6 2) ipoveT a, Tu x-2=7x+10=x2-a

amoxseniT sistema (##9.9-9.10):

9.9. 1)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

61116511

yx

yx 2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

5145

881

yx

yx

3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−−

=+

+−

1,094

1,162

yxyx

yxyx 4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

−−

=+

+−

13

482

45

73

322

27

yxyx

yxyx

9.10. 1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

43

xyyx

2) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

6

5

xy

yx

3)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

25

10

xy

yx

yx 4)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

65

5

xy

yx

yx

9.11. a -s ra mniSvnelobisaTvis aqvs sistemas erTi amona-

xsni:

77

1) ⎩⎨⎧

=+=+

521234

ayxyx

2) ⎩⎨⎧

=−=+71083

ayxyx

9.12. a parametris ra mniSvnelobisaTvis ara aqvs sistemas

amonaxsni:

1) ( )

( )⎩⎨⎧

=++−=++

8523543

yaxayxa

2) ( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧

=+++=+++

16651037325

yaxayaxa

9.13. a parametris ra mniSvnelobisaTvis aqvs sistemas amo-

naxsnTa usasrulo simravle:

1) ( )

( )⎩⎨⎧

=++−=++

8523543

yaxayxa

2) ( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧

=+++=+++

16651037325

yaxayaxa

9.14. ipoveT naturalur ricxvTa yvela iseTi ( )yx, wyvili, romelic akmayofilebs tolobebs:

1) 7=xy 2) ( )( ) 521 =+− yx

3) ( )( ) 1513 =−+ yx 4) 2122 =− yx

5) abyx =− 22, sadac 2>> ba , a da b martivi ricx-

vebia.

6) x2y=200 7) x2y-x2=49 8) 2443 =+ yx 9) 3032 =+ yx

10) abbyax 4=+ , sadac ba > , a da b urTierTmar-

tivi naturaluri ricxvebia.

9.15. ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac siste-

mis amonaxsni akmayofilebs miTiTebul pirobas.

1) 3 2

2 2,

x y ax y

x y a− =⎧

>⎨ + = −⎩

2) 2 2

13 5,

x y ax y

x y+ = +⎧

+ >⎨ − =⎩

3) 2 3 5

13 2,

x ayx y

x y− =⎧

+ <⎨ + =⎩

4) 3

32 2 1,

x y ax y

x y a+ =⎧

>⎨ + = +⎩

!

78

$10. modulis Semcveli wrfivi gantolebebi da

utolobebi

10.1. amoxseniT gantoleba:

1) 321 −=− xx A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 2) xx 231 −=+

A. 31 B.

31

− C. 32

− D. 32

3) 132 −=− xx A. 0,75 B. –0,75 C. 0,5 D. –0,5 4) xx 312 −=+ A. 0,25 B. –0,25 C. 0,75 D. –0,75

10.2. amoxseniT gantoleba da ipoveT umciresi fesvi:

1) 5,23 =− x

A. 21 B.

21

− C. 31 D.

31

−

2) 21 =−x A. 3 B. -1 C. 2 D. -2 3) 113 +=− xx A. 1 B. -1 C. 2 D. 0 4) xx −=− 235

A. 65 B.

41 C. 0 D.

41

−

10.3. amoxseniT gantoleba da ipoveT udidesi fesvi:

1) 235 =+x

A. 51

− B. -1 C. 1 D. 51

2) 376 =−x

A. 321 B. 2 C.

32 D.

311

3) 234 +=− xx

A. 53 B.

431 C.

51 D.

321

79

4) xx −=− 386

A. 2 B. 761 C.

741 D. 1

a m o x s e n i T u tolo b a (##10.4; 10.5):

10.4. 1) 32 ≤−x A. [ ]3;3− B. [ ]5;1− C. [ ]4;2− D. ] [5;1− 2) 101 >− x A. ] [ ] [∞−−∞ ;119; U B. ] [11;9− C. ] [10;8− D. ] [∞− ;9 3) 34 ≤+x A. ] [∞− ;7 B. ] ]1;−−∞ C. [ ]1;7 −− D. ] ] [ [∞−−−∞ ;17; U 4) 143 ≥+x

A. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− 1;

321 B. ] ]1;−−∞ C. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞− ;

321 D. [ [∞−⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ −∞− ;1

321; U

10.5. 1) 534 −≥− xx

A. ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ ∞−

412; B. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ ∞−

21; C. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

412;

21 D. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞;

412

2) 2323 +<− xx

A. ] [∞− ;5 B. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤−

51;5 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

51 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−

51;

3) 245 +>− xx

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−

31; B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

211 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

211;

31 D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

211

31; U

4) 5223 +<− xx

A. ] [7;−∞ B. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤− 7;

53 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

53 D. ] [∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞− ;7

53; U


1) 45 +=− xx 3) xxx 32325 −=++−

2) 231 =−+− xx 4) 7352 +=−− xxx

10.7. amoxseniT utoloba:

1) 232 −>+ xx 3) 1572 <+−− xx

80

2) 02314 <+−+ xx 4) 3121 >++− xx . $11. modulis Semcveli kvadratuli gantolebebi

da utolobebi

amoxseniT gantoleba (##11.1 ; 11 .2) :

11.1. 1) 312 =−x

A. ± 2 B. ± 3 C. 2 D. ± 4 2) 452 =−x

A. ± 3 B. ± 1; ± 4 C. ± 1 D. ± 3; ± 1

3) 2542 =++ xx

A. 3 B. –3; -1 C. 1; 3 D. –4; 0 4) 1752 =+− xx

A. –2; 3 B. 3; 0 C. 2; 3 D. 1 11.2. 1) 0234 22 =+−+− xxx

A. -2 B. 1 C. 2 D. 4 2) 034293 22 =−−+− xxx

A. -3 B. 3 C. 1 D. 2 3) 0265 22 =−−+++ xxxx

A. -2 B. -3 C. 1 D. 2 4) 0343862 22 =−+++− xxxx

A. -1 B. 2 C. -2 D. 4

11.3. ipoveT gantolebis udidesi amonaxsni:

1) 07132 =−−+ xx

A. -5 B. 32+ C. 4 D. 2 2) 6952 −=+− xxx

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 11.4. ipoveT gantolebis umciresi amonaxsni:

1) 8933 2 +=−− xxx A. -5 B. 2 C. 4 D. -1 2) 176 2 +−=− xxx

81

A. 1 B. 7 C. 143− D. 143+ 11.5. ipoveT gantolebis amonaxsnTa jami:

1) 565

16−=

−−x

x

A. 10 B. -3 C. 13 D. 16

2) 01

81 =−

−−x

x

A. -3 B. -5 C. 2 D. 5

a m o x s e n i T u tolo b a (##11.6; 11.7):

11.6. 1) 362 <−x

A. ] [3;3− B. ] [0;3− C. ] [ ] [3;33;3 U−− D. ] [3;0

2) 792 ≤−x

A. [ ] [ ]4;22;4 U−− B. [ ]4;4− C. [ ]4;2 D. [ ]2;4 −−

3) 652 <− xx

A. ] [6;3 B. ] [ ] [6;3 2;1 U− C. ] [6;3 D. ] [ ] [6;3 1;3 U−

4) 1552 <+− xx

A. ] [1;0 B. ] [4;0 C. ] [1;5 −− D. ] [ ] [4;3 2;1 U

11.7. 1) 342 >−x

A. ] [1;1− B. ] [ ] [∞−∞− ;77; U C. ] [7;1 D. ] [ ] [ ] [∞−−∞− ;71;17; UU

2) 222 >−x

A. ] [ ] [∞−∞− ;2 2; U B. ] [∞;2 C. ] [2;−−∞ D. ] [2;0

3) 6242 >−− xx

A. ] [2;−−∞ B. ] [∞− ;2 C. ; 2 3 2 2 3;⎤ ⎡ ⎤ ⎡−∞ − + ∞⎦ ⎣ ⎦ ⎣U D. ] [12;0

4) 322 >− xx

A. ] [3;−−∞ B. ] [ ] [∞−∞− ;3 1; U C. ] [∞;3 D. ] [3;1−

82

11.8 . amoxseniT gantoleba

1) ( ) ( )252 −=−− xxx 3) ( ) 0965 22 =−⋅+− xxx

2) ( ) 0226 =−+−⋅− xxx 4) ( ) ( )2282 −=−− xxx

amoxseniT utoloba (##11.10; 11 .11) :

11.9. 1) 2412<

+−

xx 3) 1

412

2

2≥

+−

xx

2) 1113

2

2<

+++−

xxxx 4) 1

3122>

−+−

xxx

11.10. 1) 4

14

34+

<−+

xx

3) 3

110

33−

<−−

xx

2) 2

16

52+

<−+

xx

4) 3

13

23+

<−+

xx

$12. algebruli amocanebi !

12.1. giorgim, daTom da beqam 62 kakali Seagroves. da-

Tom Seagrova 4-iT naklebi, vidre beqam da 2-iT meti, vidre

giorgim. ramdeni kakali Seagrova giorgim? A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 12.2. sam klasSi 119 moswavlea. pirvel klasSi moswav-

leTa ricxvi 4-iT metia, vidre meore klasSi da 3-iT nak-

lebi, vidre mesame klasSi. ramdeni moswavlea meore klas-

Si? A. 40 B. 43 C. 36 D. 20 12.3. nakveTidan Seagroves 1800 kg bostneuli. kartofi-

li iyo 5-jer meti, vidre Warxali, xolo kombosto 120 kg-iT meti, vidre Warxali. ramdeni kilogrami kartofili

Seagroves? A. 1200 B. 1000 C. 1400 D. 1100

12.4. giorgim, daTom da Tornikem kalaTburTis TamaSi-

sas sul 60 qula daagroves. giorgim 3-jer meti qula da-

agrova, vidre daTom, xolo Tornikem 20 quliT naklebi,

vidre giorgim da daTom erTad. ramdeni qula daagrova gi-

orgim? A. 40 B. 20 C. 30 D. 10

12.5. oTx momdevno mTel ricxvs Soris umciresi ricxvi

83

warmoadgens udidesi ricxvis 32 nawils. ipoveT am ricx-

vebs Soris udidesi.

A. 9 B. 8 C. 10 D. 12 12.6. oTx momdevno mTel ricxvs Soris umciresi ricxvi

warmoadgens udidesi ricxvis 80%-s. ipoveT am ricxvebs

Soris umciresi.

A. 13 B. 10 C. 12 D. 11 12.7. naturaluri ricxvi Cawerilia 2-ianebis jamis sa-

xiT. Tu igive ricxvs CavwerT 5-ianebis jamis saxiT, maSin

pirvel CanawerSi 2-ianebis raodenoba aRmoCndeba 90-iT me-

ti, vidre meore CanawerSi 5-ianebis raodenoba. ipoveT es

naturaluri ricxvi.

A. 240 B. 420 C. 100 D. 300 12.8. mocemuli rva ricxvis saSualo ariTmetikulia 60.

am ricxvebidan erT-erTi 130-is tolia. ipoveT danarCeni

Svidi ricxvis saSualo ariTmetikuli.

A. 40 B. 60 C. 50 D. 45 12.9. mocemuli TxuTmeti ricxvis saSualo ariTmetiku-

lia 46. am ricxvebidan Svidi ricxvis saSualo ariTmeti-

kuli 30-is tolia. ipoveT danarCeni rva ricxvis saSualo

ariTmetikuli.

A. 60 B. 70 C. 80 D. 65 12.10. skolis moswavleTa meoTxedi TamaSobs fexburTs

da maTi saSualo asakia 12 weli, naxevari TamaSobs kalaT-

burTs da maTi saSualo asakia 14 weli, xolo danarCeni

moswavleebis saSualo asakia 8 weli. ipoveT skolis mos-

wavleTa saSualo asaki.

A. 14 B. 10 C. 8 D. 12 12.11. auditoriaSi ramdenime studenti imyofeboda. Sem-TxveviT aRmoaCines, rom maTi saSualo asaki maTi raodeno-

bis toli iyo. rodesac auditoriaSi Sevida 39 wlis pro-

fesori, auditoriaSi myofTa saSualo asaki isev maTi rao-

denobis toli aRmoCnda. ramdeni studentia auditoriaSi?

A. 17 B. 22 C. 20 D. 19 12.12. erT avzSi orjer meti benzinia, vidre meoreSi.

Tu pirveli avzidan meoreSi gadavasxamT 25 l benzins, ma-

Sin orive avzSi benzinis raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni

litri benzini iyo pirvel avzSi?

A. 50 B. 100 C. 75 D. 120 12.13. erT sawyobSi 200 tona naxSiria, meoreSi ki _ 60 tona. yoveldRiurad TiToeul sawyobSi SeaqvT 20 tona

84

naxSiri. ramdeni dRis Semdeg iqneba pirvel sawyobSi 2-jer

meti naxSiri, vidre meoreSi?

A. 3 B. 5 C. 6 D. 4 12.14. erT sawyobSi 120 t xorbalia, meoreSi ki _ 150 t. pirveli sawyobidan yoveldRiurad gahqondaT 8 t xorba-li, meoredan ki _ 12 t. ramdeni dRis Semdeg iqneba meore sawyobSi xorblis raodenoba pirvelSi darCenili xor-

blis 43 nawili?

A. 10 B. 12 C. 9 D. 8 12.15. erTi da igive manZilis gasavlelad giorgis sWir-

deba 90 nabijiT metis gadadgma, vidre daTos. ramdeni na-

biji gadadga daTom am manZilis gavlis dros, Tu 7 nabi-

jis gadadgmiT is gadis igive manZils, rasac giorgi 10 na-

bijis gadadgmiT?

A. 90 B. 150 C. 210 D. 300 12.16. erTi skolis moswavleebma Seagroves 200 lari da

iyides Teatrisa da kinos 55 bileTi. Teatris ramdeni bi-

leTi uyidiaT, Tu Teatris erTi bileTi Rirda 5 lari,

xolo kinos erTi bileTi _ 2 lari?

A. 40 B. 35 C. 25 D. 30 12.17. moswavlem 3 rveulsa da 2 fanqarSi gadaixada 65 TeTri. meore moswavlem iseTive 2 rveulsa da 4 fanqarSi gadaixada 70 TeTri. ramdeni TeTri Rirs erTi rveuli?

A. 15 B. 20 C. 25 D. 10 12.18. sagamocdo bileTi Sedgeba erTquliani, orquli-

ani da samquliani kiTxvebisagan. sul bileTSi aris 20 ki-

Txva da maTi qulebis jamia 34. erTquliani kiTxvebi imde-

nia, ramdenic orquliani da samquliani kiTxvebi erTad.

ramdeni samquliani kiTxvaa am bileTSi?

A. 4 B. 6 C. 2 D. 8 12.19. ramdeni lari Rirs wigni, Tu 16 wigni Rirs imdeni

lari, ramdeni wignic SeiZleba viyidoT 100 larad?

A. 2 B. 2,5 C. 3 D. 3,5 12.20. proporciis pirveli sami wevris jami udris 58-s.

mesame wevri Seadgens pirveli wevris 32, xolo meore pir-

velis _ 43 nawils. ipoveT proporciis meoTxe wevri.

A. 12 B. 10 C. 14 D. 8 12.21. dadebiTi ricxvebis mier Sedgenili proporciis

85

kidura wevrebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:1, xo-

lo Sua wevrebis namravlia 12. ipoveT proporciis kidura

wevrebs Soris udidesi.

A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 12.22. ori ricxvi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:2. Tu maT Soris umciress gavyofT 4-ze, udidess ki gav-yofT 9-ze, maSin pirveli ganayofi 4-iT meti iqneba meore

ganayofze. ipoveT am ricxvebs Soris umciresi.

A. 72 B. 48 C. 56 D. 64 12.23. erTidaigive sasworze givis wona 42 kg gamovida,

xolo gelas wona _ 38 kg. roca biWebi sasworze erTad

dadgnen sasworma 74 kg uCvena. mxolod amis Semdeg aRmoa-

Cines, rom sasworze wonis ararsebobis dros sasworis

isari “0” niSans ar uCvenebs. ras udris givis wona sinamd-

vileSi?

A. 38 kg B. 36 kg C. 42 kg D. 40 kg 12.24. qsovilis fasma daiklo 30%-iT, ris Semdeg qsovi-

lis fasi gaxda 42 lari. ramdeni lari Rirda qsovili Ta-

vdapirvelad?

A. 48 B. 50 C. 60 D. 65 12.25. meanabres bankSi axla aqvs 327 lari. ramdeni la-

ri Seitana man erTi wlis win, Tu wliuri danaricxia 9%?

A. 310 B. 280 C. 300 D. 290 12.26. qsovilis fasma moimata Tavisi fasis 8,5%-iT da

gaxda 43,4 lari. ra Rirda (larebSi) qsovili fasis moma-

tebamde?

A. 39 B. 38 C. 41 D. 40 12.27. erT avzSi 50 litri benzinia, meoreSi _ 35 litri.

pirveli avzis benzinis raodenobis ramdeni procenti unda

gadavasxaT pirveli avzidan meoreSi, rom orive avzSi ben-

zinis raodenobebi gaTanabrdes?

A. 20 B. 18 C. 10 D. 15 12.28. qsovilis fasma jer 40%-iT daiklo, xolo Semdeg

pirvelad daklebuli Tanxis 25%-iT gaiafda, ris Semdegac

qsovilis fasi 60 lari gaxda. ra Rirda qsovili Tavdapir-

velad?

A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 12.29. sofelSi TiToeul ojaxs hyavs Zroxa an cxeni.

Zroxa hyavs ojaxebis 80%-s, xolo cxeni _ 45%-s. sofelSi

mcxovreb 40 ojaxs hyavs Zroxac da cxenic. sul ramdeni

ojaxia am sofelSi?

A. 200 B. 160 C. 100 D. 120

86

12.30. benzinis fasi gaormagda. ramdeni procentiT unda

daiklos fasma, rom igi daubrundes Zvel fass?

A. 50 B. 25 C. 20 D. 75 12.31. produqciis fasi 5-jer gaiazarda. ramdeni proce-

ntiT unda daiklos fasma, rom igi daubrundes Zvel fass?

A. 20 B. 50 C. 75 D. 80 12.32. baRSi naZvis xeebis raodenoba aris xeebis saerTo

raodenobis 20%. 5 naZvis xis dargvis Semdeg baRSi naZvis

xeebis raodenoba gaxda 25%. ramdeni xe iyo darguli ba-

RSi Tavdapirvelad?

A. 25 B. 50 C. 75 D. 150

12.33. meanabrem bankidan gamoitana Tavisi Tanxis 61 na-

wili, ris Semdeg bankSi darCa 800 lari. ramdeni lari

hqonda meanabres bankSi?

A. 1000 B. 980 C. 960 D. 940 12.34. avtomobiliT meore mgzavrobisas daixarja pirve-

li mgzavrobisas daxarjuli benzinis 81 nawili. ramdeni

litri benzini daxarjula pirveli mgzavrobisas, Tu ori-

ve mgzavrobisas daixarja 54 litri benzini?

A. 44 B. 50 C. 48 D. 46 12.35. moswavlem meore dRes waikiTxa pirvel dRes waki-

Txuli wignis gverdebis raodenobis 111 nawili. ramdeni

gverdi waukiTxavs moswavles pirvel dRes, Tu orive dRes

wakiTxuli aqvs 180 gverdi? A. 165 B. 175 C. 160 D. 170

12.36. avzidan gamouSves masSi arsebuli wylis 52 nawi-

li, Semdeg isev gamouSves darCenili wylis 41 nawili. ra-

mdeni litri wyali iyo avzSi Tavdapirvelad, Tu sabolo-

od masSi darCa 450 litri wyali?

A. 800 B. 1000 C. 600 D. 900 12.37. matarebeli 300 metri sigrZis xids gadis 2 wuTSi,

xolo satelegrafo boZs Cauvlis naxevar wuTSi. ras ud-

ris matareblis sigrZe?

A. 80 m B. 100 m C. 150 m D. 200 m 12.38. pirvel brigadas mosavlis aReba SeuZlia 4 dReSi, meores ki 6 dReSi. ramden dReSi aiRebs mosavals orive

87

brigada erTad?

A. 2,8 B. 2,4 C. 2,6 D. 2,5 12.39. pirveli mili avzs avsebs 18 saaTSi, meore ki 24

saaTSi. ramden saaTSi aavsebs avzis 127

nawils orive mili

erTad muSaobiT?

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 12.40. orma brigadam mosavlis aReba daamTavra 12 dReSi. ramden dReSi aiRebs mosavals marto meore brigada, Tu

igive samuSaos Sesruleba marto pirvel brigadas SeuZlia

20 dReSi? A. 28 B. 32 C. 30 D. 24 12.41. ori traqtori, romelTagan pirveli 4-jer mZlav-

ria meoreze, erTad muSaobiT mindors xnavs 20 saaTSi. ra-

mden saaTSi moxnavs igive mindors marto pirveli traqto-

ri?

A. 75 B. 100 C. 50 D. 25 12.42. ori traqtoridan pirveli 5-jer mZlavria meore-

ze. ramdeni dRe dasWirdeba pirvel traqtors im samuSaos

Sesasruleblad, rasac orive traqtori erTad 20 dReSi

akeTebs? A. 21 B. 22 C. 24 D. 25 12.43. turistma mTeli gzis 0,6 nawili gaiara motocik-

liT, xolo danarCeni _ velosipediT. motocikliT moZrao-

bisas man daxarja 3-jer naklebi dro, vidre velosipediT

mgzavrobisas. ramdenjer swrafad moZraobs turisti moto-

cikliT, vidre velosipediT?

A. 4-jer B. 2,5-jer C. 6-jer D. 4,5-jer

12.44. turistma mTeli gzis 0,8 nawili gaiara velosipe-

diT, xolo danarCeni gza fexiT. velosipediT is moZraobs

2-jer meti siCqariT, vidre dadis fexiT. ramdenjer metia

fexiT moZraobisas daxarjuli dro velosipediT mgzavro-

bisas daxarjul droze?

A. 4-jer B. 2-jer C. 2,5-jer D. 3-jer

12.45. gemma manZili or navsadgoms Soris gaiara mdina-

ris dinebis mimarTulebiT 4 saaTSi, mdinaris dinebis sawi-

naaRmdego mimarTulebiT _ 5 saaTSi. ipoveT manZili navsa-

dgomebs Soris, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2 km/sT.

A. 60 km B. 100 km C. 80 km D. 90 km 12.46. katerma mdinaris dinebis mimarTulebiT 5 saaTSi

imdeni kilometri gacura, ramdenic 6 sT 15 wT-Si mdinaris

88

dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT. ipoveT kateris siCqa-

re mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2,4 km/sT.

A. 20,4 km/sT B. 21,8 km/sT C. 21,6 km/sT D.22,4 km/sT 12.47. velosipedistma soflidan qalaqSi mgzavrobas da

ukan dabrunebas moandoma 2 saaTi da 45 wuTi. ipoveT manZi-

li soflidan qalaqamde, Tu qalaqSi velosipedisti moZ-

raobda 12 km/sT siCqariT, ukan ki 10 km/sT siCqariT.

A. 20 km B. 12 km C. 15 km D. 18 km 12.48. matarebeli manZils A qalaqidan B qalaqamde ga-

dis 10 sT 40 wuTSi. matareblis siCqare rom 10 km/sT-iT nak-

lebi iyos, maSin is B qalaqSi Cava 2 sT 8 wuTiT gvian. ipo-

veT matareblis siCqare.

A. 65 km/sT B. 60 km/sT C. 50 km/sT D. 55 km/sT 12.49. soflidan qalaqisaken miemgzavrebian avtomobili

da avtobusi, xolo qalaqidan soflisaken modian velosi-

pedisti da motociklisti. avtobusi da motocikleti erT-

maneTs uaxlovdeba 90 km/sT siCqariT, avtomobili da mo-

tocikleti _ 110 km/sT siCqariT, xolo avtomobili da ve-

losipedi _ 80 km/sT siCqariT. ra siCqariT uaxlovdeba er-

TmaneTs avtobusi da velosipedi?

A. 60 km/sT B. 80 km/sT C. 65 km/sT D. 90 km/sT 12.50. nika, giga da luka erTdroulad iwyeben sirbils

2000 metrian distanciaze mudmivi siCqariT. rodesac nikam

miaRwia finiSis xazs is gigas uswrebda 200 metriT, xolo

lukas 1100 metriT. ramdeni metri darCeba lukas finiSam-

de, rodesac giga gadakveTs finiSis xazs?

A. 900 B. 1000 C. 1100 D. 1200 12.51. etlis erTi borblis wrewiris sigrZe udris 24 dm-s, meoresi ki 14 dm-s. ramden bruns gaakeTebs meore bor-

bali garkveuli manZilis gavlisas, Tu pirveli akeTebs 84 bruns?

A. 176 B. 170 C. 172 D. 144 12.52. ori matarebeli gavida qalaqidan erTidaigive mi-

marTulebiT. pirveli matarebeli saaTSi gadis 36 kilo-

metrs, xolo meore_48 km-s. ramdeni saaTis Semdeg daeweva

meore matarebeli pirvels, Tu viciT, rom pirveli matare-

beli gasuli iyo 2 saaTiT adre meoreze?

A. 8 B. 7 C. 6 D. 9 12.53. ori avtomobili gavida qalaqidan erTidaigive mi-

marTulebiT. pirveli avtomobilis siCqarea 60 km/saaTi, xo-

lo meoresi _ 75 km/saaTi. meore avtomobilis gasvlidan

89

ramdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris manZili 180 km, Tu

pirveli avtomobili gasuli iyo 2 saaTiT adre meoreze?

A. 24 B. 16 C. 12 D. 20 12.54. avtomobili moZraobs 60 km/sT siCqariT. ra siCqa-

riT unda imoZraos man, rom yoveli kilometri 13 wuTiT

Cqara gaiaraos?

A. 100 km/sT B. 80 km/sT C. 90 km/sT D. 120 km/sT 12.55. avtomobilis siCqarea 60 km/sT da igi yovel ki-

lometrs gadis avtobusze naxevari wuTiT ufro swrafad.

ipoveT avtobusis siCqare.

A. 70 km/sT B. 60 km/sT C. 40 km/sT D. 30 km/sT 12.56. velosipedisti dabidan qalaqSi Casvlas andomebs

8 saaTs, xolo motociklisti 6 saaTs. ramden saaTSi dae-

weva motociklisti velosipedists, Tu velosipedisti 1

saaTiT adre gava dabidan?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12.57. imis gamo, rom TavlaSi 30 axali cxeni moiyvanes

Tivis maragi, romelic 60 dRisTvis iyo gaTvaliswinebuli,

50 dReSi daixarja. ramdeni cxeni hyavdaT TavlaSi Tavda-

pirvelad?

A. 120 B. 150 C. 160 D. 180 12.58. A punqtidan ori mimarTulebiT, romelTa Soris

kuTxe 120°-ia, erTdroulad gavida avtomobili da avtobu-

si. maTi siCqareebia Sesabamisad 90 km/sT da 30 km/sT. ipo-

veT avtomobilsa da avtobuss Soris manZili moZraobis

dawyebidan 40 wuTis Semdeg? A. 10 10 km B. 20 13 km C. 20 km D. 10 km 12.59. Tu marTkuTxedis sigrZes SevamcirebT 4 sm-iT, xo-

lo mis siganes gavadidebT 7 sm-iT, maSin miviRebT kvad-

rats, romlis farTobi 100 kv. sm-iT meti iqneba marTkuT-

xedis farTobze. ipoveT kvadratis gverdi.

12.60. marTkuTxedis sigrZe 3-jer metia mis siganeze. Tu

marTkuTxedis siganes gavadidebT 4 m-iT, xolo mis sigrZes

SevamcirebT 5 m-iT, maSin marTkuTxedis farTobi 15 kv.m-iT

gadiddeba. ipoveT marTkuTxedis perimetri.

12.61. fotografiul suraTs, zomiT 12sm× 18sm erTnairi

siganis CarCo aqvs. ramdeni santimetria CarCos sigane, Tu

90

misi farTobi udris suraTis farTobs?

12.62. yvavilnari, romelsac marTkuTxedis forma aqvs

2m da 4m gverdebiT, erTnairi siganis bilikiT aris Semov-

lebuli. ramdeni metria bilikis sigane, Tu misi farTobi

9-jer metia yvavilnaris farTobze?

12.63. miwis ori nakveTi, romelTagan erTs wris forma

aqvs, meores ki kvadratis, SemoRobilia mavTulbadeebiT.

TiToeuli mavTulbadis sigrZe 100 metria. romeli nakve-

Tis farTobi metia da ramdeniT?

12.64. miwis ori nakveTi, romelTagan erTs wris forma

aqvs, meores ki kvadratis, SemoRobilia mavTulbadeebiT.

TiToeuli nakveTis farTobia 100 m2. romeli nakveTis Se-

moRobaze daixarja meti mavTulbade da ramdeniT?

12.65. miwis nakveTi, romlis farTobi 864 heqtaria, gayo-filia sam yanad. mesame yanis farTobi udris pirveli ori

yanis farTobTa jams. ipoveT meore yanis farTobi, Tu vi-

ciT, rom misi farTobi ise Seefardeba pirveli yanis far-

Tobs, rogorc 5:11. 12.66. miwis sami nakveTis farTobi ise Seefardeba erT-

maneTs, rogorc 831:

651:

432 . cnobilia, rom pirveli nakveTi-

dan 72 centneriT ufro meti marcvalia aRebuli, vidre me-

ore nakveTidan. ipoveT mesame nakveTis farTobi, Tu saSua-

lo mosavlianoba Seadgens 18 centners 1 ha farTobze.

12.67. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc

3:4, xolo meore mesames, rogorc 8:21. ipoveT pirveli ric-

xvis Sefardeba mesamesTan.

12.68. oTxi ricxvidan pirveli sami ricxvi ise Seefar-

deba erTmaneTs, rogorc 4:2:3, xolo mesame ricxvi ise See-

fardeba meoTxe ricxvs, rogorc 4:1. rogori proporciiT

Seefardebian mocemuli oTxi ricxvi erTmaneTs?

12.69. or WurWelSi, romelTagan TiToeulis tevadobaa

100 litri, wylis garkveuli raodenoba asxia. Tu pirveli

WurWlis wylis mesameds gadavasxamT meore WurWelSi, ma-

Sin meore WurWeli aivseba. xolo, Tu meore WurWlis

wylis naxevars gadavasxamT pirvelSi, maSin pirveli Wur-

Weli aivseba. ramdeni litri wyali asxia TiToeul WurWe-

lSi?

12.70. wiladis mricxveli 2-iT naklebia mniSvnelze. Tu

wiladis mricxvels SevamcirebT 3-jer, xolo mniSvnels

91

mivumatebT 3-s, maSin miviRebT 81-s. ipoveT wiladi.

12.71. wiladis mniSvneli 4-iT metia mis mricxvelze. Tu

am wiladis mricxvels mivumatebT 11-s, mniSvnels ki gamo-

vaklebT erTs, maSin miviRebT mocemuli wiladis Sebrune-

bul wilads. ipoveT wiladi.

12.72. meTevzeTa brigadas yoveldRiurad unda daeWira

60 c Tevzi. brigada yoveldRiurad iWerda 5 c-s gegmis ze-viT, amitom, vadamde 3 dRiT adre ara marto Seasrula geg-

ma, aramed daiWira kidev gegmis zeviT 120 c Tevzi. ramdeni

centneri Tevzi unda daeWira brigadas gegmiT?

12.73. fermers gansazRvruli vadisaTvis unda daeTesa

200 ha, magram igi yoveldRiurad 5 heqtariT mets Tesavda,

vidre hqonda gaTvaliswinebuli, da amitom Tesva vadaze 2 dRiT adre daamTavra. ramden dReSi daamTavra fermerma

Tesva?

12.74. gegmiT yoveldRiurad yvela cxenisaTvis gaicema

96 kg Tiva. Tu cxenebis raodenoba 2-iT Semcirdeba, maSin

TiToeuli cxenisaTvis yoveldRiuri ulufa gadiddeba 4

kg-iT. ramdeni cxeni iyo Tavdapirvelad?

12.75. 15t bostneulis gadasazidad moTxovnili iyo gan-

sazRvruli tvirTmzidaobis ramdenime sabarguli. aseTi

tvirTmzidaobis sabargulebis uqonlobis gamo gaigzavna

0,5 toniT naklebi tvirTmzidaobis sabargulebi da aseTi

sabargulebi gaigzavna moTxovnilze erTiT meti. ramdeni

tona bostneuli waiRo TiToeulma sabargulma?

12.76. samma brigadam erTad Seasrula garkveuli samu-

Sao, romelic mTlianad Sefasebuli iyo 6200 larad. ram-

den lars miiRebs am Tanxidan pirveli brigada, Tu is Sed-

geba 15 kacisagan da muSaobda 20 dRe, meore brigada Sed-

geba 14 kacisagan da muSaobda 10 dRe, xolo mesame _ 12 ka-

cisagan da is muSaobda 15 dRe?

12.77. mokriveTa, moWidaveTa da mocuraveTa nakrebebi,

romelTa SemadgenlobaSi sportsmenTa raodenobebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 3:5:2, gaemgzavra sazRvarga-

reT turnirSi monawileobis misaRebad Sesabamisad 10, 20

da 15 dRiT. ra dajda turnirSi moWidaveTa nakrebis mona-

wileoba, Tu sul samive gundis gamgzavrebaze daixarja

32000 lari (igulisxmeba, rom yoveli sportsmenisaTvis

dReSi erTidaigive Tanxa daixarja) ?

12.78. pirvelma ostatma 60 detalis damzadebaze 3 saa-

92

TiT naklebi dro daxarja vidre meorem. ramden saaTSi da-

amzadebs 90 detals meore ostati, Tu erTad muSaobiT erT

saaTSi isini amzadeben 30 detals?

12.79. im samuSaosaTvis, romelsac pirveli memanqane 4

saaTSi beWdavs, meores sWirdeba 6 saaTi, xolo mesames 214

saaTi. 460 gverdiani xelnaweri memanqaneebs Soris gaanawi-

les iseTnairad, rom maT erTidaigive droSi Seasrules

samuSao. ramdeni gverdi dabeWda pirvelma memanqanem?

12.80. pirvel wisqvils SeuZlia 19 centneri xorbali

dafqvas 3 saaTSi, meores 32 centneri 5 saaTSi, xolo mesa-

mes 10 centneri 2 saaTSi. 532 centneri xorbali wisqvilebs

Soris gaanawiles ise, rom maT erTidaigive droSi daamTa-

vres dafqva. ramdeni centneri xorbali dafqva meore wisq-

vilma?

12.81. ori memanqane erTmaneTisagan damoukideblad beW-

davda 72-gverdian xelnawers. pirveli memanqane 6 gverdis

beWdvas andomebda imden dros, rasac meore memanqane 5 gve-

rdis beWdvas. ramden gverds beWdavda saaTSi pirveli mema-

nqane, Tu man mTeli samuSao Seasrula 1,5 saaTiT ufro ad-

re, vidre meorem?

12.82. pirveli mgzavrobisas avtomobilma daxarja im be-

nzinis 83 nawili, rac iyo avzSi da kidev 5 litri. meore

mgzavrobisas ki darCenili benzinis 80% da ukanaskneli 4 litri. ramdeni litri benzini yofila avzSi Tavdapir-

velad?

12.83. fermerma pirvel dRes aiRo mosavali mTeli far-

Tobis 125

nawilze da kidev 3 heqtarze. meore dRes ki dar-

Cenili farTobis 75%-ze da ukanasknel 8 heqtarze. ramden heqtarze aiRo mosavali fermerma?

12.84. qsovilis fasma daiklo imdeni procentiT, rac

Rirda metri qsovili fasis daklebamde. ra Rirda metri

qsovili fasis daklebamde, Tu daklebis Semdeg misi fasi

gaxda 16 lari?

12.85. qsovilis fasma moimata imaze orjer meti procen-

tiT, rac Rirda metri qsovili fasis momatebamde. ramdeni

procentiT moimata qsovilis fasma, Tu momatebis Semdeg

misi fasi gaxda 28 lari?

12.86. garaJis StatSi iricxeba 54 mZRoli. ramdeni Tavi-

93

sufali dRe SeiZleba hqondes TiToeul mZRols TveSi (30

dReSi), Tu garaJSi arsebuli 60 manqanidan yoveldRiurad

manqanebis 75% muSaobs?

12.87. stadionze Sesasvleli bileTis gaiafebis Semdeg

mayurebelTa ricxvma 50%-iT moimata da bileTebis gayid-

viT Semosuli Tanxa 20%-iT gaizarda. ramdeni lari gaxda

bileTis fasi, Tu gaiafebamde is Rirda 10 lari?

12.88. maRaziam karaqis fasi gazarda 20%-iT, magram erT

dReSi karaqis realizaciiT Semosuli Tanxa gaizarda mxo-

lod 5%-iT. ramdeni procentiT naklebi karaqi iyideba

dReSi axla?

12.89. samuSao dRe Semcirda 8 saaTidan 7 saaTamde. ra-

mdeni procentiT unda gaizardos Sromis nayofiereba, rom

imave pirobebSi Seqmnili produqciis raodenoba gadiddes

5%-iT?

12.90. maRaziam televizori gayida Tavdapirvelad gaTva-

liswinebul fasze 10%-iT naklebad. Sedegad aRmoCnda, rom

maRaziam mainc miiRo 26% mogeba. ramden procentian moge-

bas gegmavda maRazia am televizoris gayidviT?

12.91. korporacia adidebs Tavis gamoSvebul produqci-

as yovelwliurad procentebis erTi da igive ricxviT.

ipoveT es ricxvi, Tu or weliwadSi gamoSvebuli produq-

ciis raodenoba gadidda 69%-iT.

12.92. fermeri ori nakveTidan 500 tona xorbals Rebu-

lobda. agroteqnikuri RonisZiebebis gatarebis Semdeg mo-

savali pirvel nakveTze gadidda 30%-iT, xolo meoreze

20%-iT, amitom fermerma am nakveTebidan aiRo 630 tona xo-rbali. ramdeni tona xorbali aiRo fermerma meore nakve-

Tidan agroteqnikis gamoyenebis Semdeg?

12.93. maRaziaSi televizoris fasma moimata 20%-iT, xo-

lo macivris fasi gaizarda 30%-iT. myidvelma 1240 larad

erTi televizori da erTi macivari SeiZina. fasebis moma-

tebis gamo man am nivTebSi 24%-iT meti gadaixada. ramdeni

lari Rirda televizori da macivari fasebis momatebamde? 12.94. ramdeni kilogrami wyali unda avaorTqloT 0,5 tona celulozis masidan, romelic 85% wyals Seicavs,

rom miviRoT 75% wylis Semcveli masa?

12.95. ori erTnairi moculobis boTli gavsebulia

wylisa da sirofis nareviT. boTlebSi wylis moculobis

Sefardeba sirofis moculobasTan Sesabamisad aris 3:1 da

4:1. am boTlebSi moTavsebuli siTxeebi Caasxes erT did

boTlSi. ipoveT am boTlSi wylis Tanafardoba sirofTan.

94

12.96. zRvis wyali Seicavs 5% marils. ramdeni mtknari

wyali unda daematos 30 kg zRvis wyals, rom marilis kon-

centraciam Seadginos 1,5%? 12.97. xsnari Seicavs 40 g marils. mas daumates 200 g mtknari wyali da amis Semdeg marilis koncentraciam Sea-

dgina 8%. ramdeni grami xsnari iyo Tavdapirvelad?

12.98. ramdeni litri wyali unda daematos 12% Saqris Semcvel 20 litr sirofs, rom miviRoT 10% Saqris Semcve-li sirofi?

12.99. gvaqvs oqrosa da spilenZis ori Senadnobi. pir-

vel SenadnobSi am liTonebis Sefardeba Sesabamisad aris

2:3, xolo meoreSi _ 3:5. am ori Senadnobidan gvinda mivi-

RoT 26 g liToni, romelSic oqrosa da spilenZis Sefar-

deba Sesabamisad iqneba 5:8. ramdeni grami TiToeuli Senad-

nobis aRebaa amisTvis saWiro?

12.100. tbis wyalSi marilis koncentraciaa 7%, xolo

zRvis wyalSi 2%. am ori saxis wylis Serevi|T gvinda mivi-

RoT 20 l wyali, romelSic marilis koncentracia iqneba

4%. ramdeni litri tbis da ramdeni litri zRvis wyali

unda SevurioT amisaTvis?

12.101. WurWelSi esxa spirtisa da wylis narevi, romel-

Sic spirtis moculoba 20%-s Seadgenda. mas Semdeg, rac

WurWlidan 5 litri siTxe amoiRes da mis nacvlad Caasxes

5 litri sufTa wyali, WurWelSi spirtis moculobam nare-

vis moculobis 10% Seadgina. ipoveT WurWelSi xsnaris

moculoba.

12.102. WurWelSi esxa spirtisa da wylis narevi ise,

rom spirtis moculobis Sefardeba wylis moculobasTan

iyo 1:3. mas Semdeg rac WurWlidan amoiRes 3 litri siTxe

da mis nacvlad Caasxes 3 litri sufTa wyali, es Sefar-

deba gaxda 1:5. ipoveT WurWelSi xsnaris moculoba.

12.103. ori salewi manqana Segrovil TavTavs 4 dReSi

lewavs. Tu pirveli galewavs mTeli TavTavis 32 nawils,

xolo Semdeg meore darCenil nawils, maSin mTeli samuSao

10 dReSi damTavrdeba. ramden dReSi galewavs mTel Tav-

Tavs marto pirveli manqana, Tu is ufro nela muSaobs vi-

dre meore?

12.104. ori milis erTdrouli muSaobiT avzi ivseba 6 saaTSi. Tu avzis 40%-s aavsebs marto pirveli mili da da-

rCenil nawils_marto meore, maSin avzi aivseba 13 saaTSi.

95

ramden saaTSi aavsebs avzs marto meore mili, Tu is muSa-

obs ufro swrafad vidre pirveli?

12.105. sxvadasxva simZlavris orma traqtorma erTad mu-

SaobiT 5 saaTis ganmavlobaSi moxna yanis 125

nawili. mar-

to pirvel traqtors rom 12 saaTi emuSava, Semdeg ki mar-

to meore traqtors 4 saaTi, maSin isini moxnavdnen mTeli

yanis 60%-s. ramden saaTSi moxnavs mTel yanas marto pir-

veli traqtori?

12.106. ori, sxvadasxva simZlavris, tumbos erTad muSao-

biT avzi 24 saaTSi ivseba. Tu jer marto pirveli tumbo

imuSavebs 8 saaTs, Semdeg marto meore tumbo_12 saaTs, ma-

Sin gaivseba avzis mxolod 52 nawili. ramden saaTSi aav-

sebs avzs marto meore tumbo?

12.107. orma muSam erTad muSaobiT samuSao Seasrula 6 dReSi. Tu pirveli imuSavebda igive siCqariT, xolo meore

Tavdapirvelze samjer Cqara, maSin samuSaos Sesrulebas

dasWirdeboda 4 dRe. ramden dReSi Seasrulebs samuSaos

marto pirveli muSa?

12.108. sami amwe mTeli samuSaos 32 nawils asrulebs 2

saaTSi. ramden saaTSi Seasrulebs mTel samuSaos marto

meore amwe, Tu is muSaobs 3-jer ufro swrafad, vidre pir-

veli da 2-jer ufro nela, vidre mesame?

12.109. sami milis erTad moqmedebiT avzi ivseba 20 saaT-

Si. ramden saaTSi aavsebs avzs TiToeuli mili cal-calke,

Tu es droebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 5:2:4?

12.110. 4 dRis erTad muSaobiT orma xelosanma Seasru-

la samuSaos 32 nawili. ramden dReSi Seasrulebs samuSa-

os pirveli xelosani damoukideblad, Tu mas SeuZlia am

samuSaos Sesruleba 5 dRiT adre meoreze? 12.111. pirveli mili avzs avsebs 4 saaTiT gvian, xolo

meore mili 9 saaTiT gvian, vidre orive mili erTad. ram-

den saaTSi aavsebs avzs marto pirveli mili?

12.112. ramdenime kaci eqskursiaze gaemgzavra. Tu TiToe-

uli xarjebisaTvis Seitans 12 larsa da 50 TeTrs, maSin

xarjebis dasafarad daakldebaT 100 lari. Tu TiToeuli

Seitans 16 lars, maSin zedmeti darCebaT 12 lari. ramdeni

kaci iyo eqskursiaze?

96

12.113. Tu turisti saaTSi gaivlis 35 km-s, maSin daniS-nulebis adgilze Casvla daagviandeba 2 sT-iT. Tuki is sa-

aTSi gaivlis 50 km-s, maSin Cava vadaze 1 sT-iT adre. ramden

saaTSi unda Casuliyo turisti daniSnulebis adgilze?

12.114. tvirTis gadasazidad gansazRvruli vadiT daqi-

ravebulia erTi da imave simZlavris ramdenime sabargo ma-

nqana. manqanebi rom 2-iT naklebi yofiliyo, maSin tvirTis

gadasazidad dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT meti dro; ma-nqanebi rom 4-iT meti yofiliyo, maSin tvirTis gadasazi-

dad dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT naklebi dro. ramdeni

manqana iyo daqiravebuli?

12.115. ramodenime erTi da igive simZlavris traqtors

garkveul droSi unda moexna 30 ha. Tu traqtorebi iqnebo-

dnen 4-iT meti, maSin isini samuSaos daamTavrebdnen vadaze

6 saaTiT adre. ramdeni traqtori muSaobda, Tu sami traq-

tori 4 saaTSi xnavs 4 ha miwis nakveTs?

12.116. orniSna ricxvis cifrebis jami udris 11-s. Tu am

ricxvs 63-s davumatebT, maSin miiReba imave cifrebiT, mxo-

lod Sebrunebuli mimdevrobiT Cawerili ricxvi. ipoveT

orniSna ricxvi.

12.117. Tu orniSna ricxvs gavyofT misi cifrebis jamze,

maSin ganayofSi miiReba 8 da naSTSi 2. Tu am ricxvs gav-

yofT misi cifrebis namravlze, maSin ganayofSi miiReba 5

da naSTSi 2. ipoveT orniSna ricxvi.

12.118. Tu mocemul orniSna ricxvs gavyofT misi cifre-

bis namravlze, maSin miiReba ganayofi 3 da naSTi 10. Tu ri-cxvs, Sedgenils imave cifrebiT, magram Cawerils Sebrune-

buli mimdevrobiT, gavyofT am ricxvis cifrTa namravlze,

maSin miiReba ganayofi 1 da naSTi 16. ipoveT mocemuli or-

niSna ricxvi.

12.119. ricxvi 50 warmoadgineT ori iseTi dadebiTi Se-

sakrebis saxiT, romelTa kvadratebis jami umciresi iqneba.

ipoveT es Sesakrebebi.

12.120. 36 sm sigrZis mavTulisagan unda gakeTdes udide-

si farTobis mqone marTkuTxedi. ipoveT am marTkuTxedis

sigrZe da sigane.

12.121. gemma mdinaris dinebis mimarTulebiT gaiara 48 km da amdenive dinebis winaaRmdeg, sul am mgzavrobas dasWir-

da 5 saaTi. ipoveT gemis siCqare mdgar wyalSi, Tu mdina-

ris dinebis siCqarea 4 km saaTSi.

12.122. manZili erTi navsadguridan meoremde mdinaris

97

gaswvriv 30 km-ia. motoriani navi am manZils iqiT-aqeT 6 sa-aTSi gadis, 40 wuTiT gzaSi gaCerebis CaTvliT. ipoveT mo-

toriani navis sakuTari siCqare, Tu mdinaris dinebis siCqa-

re 3km-is tolia saaTSi.

12.123. A da B qalaqebs Soris manZili 50 km-ia. A-dan B-ken gavida velosipedisti. erTi saaTis Semdeg B-dan A-ken, velosipedze orjer meti siCqariT, gamovida motociklis-

ti. ipoveT velosipedistis siCqare, Tu isini erTmaneTs Se-

xvdnen B-dan 20 km-is daSorebiT.

12.124. avtomobilma manZili qalaqidan soflamde gaiara

siCqariT 60 km/sT. ukan dabrunebisas manZilis 75% man gaia-ra pirvandeli siCqariT, xolo danarCeni gza siCqariT 40 km/sT, amitom ukan mgzavrobisas mas dasWirda 10 wuTiT me-

ti dro, vidre mgzavrobisas qalaqidan soflamde. ipoveT

manZili qalaqidan soflamde.

12.125. ori avtomobili gaemgzavra erTi qalaqidan meo-

risaken. pirvelis siCqare saaTSi 10 km-iT metia meoris siC-

qareze da amitom pirveli avtomobili 1 saaTiT adre midis

adgilze, vidre meore. ipoveT pirveli avtomobilis siCqa-

re, Tu cnobilia, rom manZili qalaqebs Soris 560 km-ia. 12.126. A punqtidan gavida velosipedisti, xolo 15 wu-

Tis Semdeg imave mimarTulebiT gavida motociklisti, ro-

melic daewia velosipedists A-dan 10 km-Si. roca motocik-listi imyofeboda A-dan 50 km-Si, velosipedisti CamorCe-

boda mas 20 km-iT. ipoveT motociklistis siCqare.

12.127. matarebeli 6 wuTiT iqna SeCerebuli gzaSi da es

dagvianeba man aanazRaura 20 km-ian gadasarbenze, romelic

gaiara 10 km-iT meti siCqariT saaTSi, vidre ganrigiT iyo

dadgenili. ipoveT ganrigis mixedviT matareblis siCqare

am gadasarbenze.

12.128. A qalaqidan B qalaqisken gaemgzavra velosipedis-

ti 15 km/sT siCqariT. 2 saaTis Semdeg mis kvaldakval gaemg-

zavra motociklisti, romelic B qalaqSi velosipedistTan

erTdroulad Cavida. ipoveT motociklistis siCqare, Tu

manZili A da B qalaqebs Soris aris 180 km. 12.129. dabidan soflisaken velosipedisti 30 wuTiT uf-

ro adre gavida, vidre motociklisti. motociklma gzaSi

gadaaswro velosipedists da roca sofelSi mivida, am

dros velosipedists soflamde darCenili hqonda gasavle-

li 3 km. ipoveT velosipedistis siCqare, Tu motociklis-

98

tis siCqare 20 km/sT-iT metia velosipedis siCqareze da ma-

nZili dabidan soflamde 12 km-ia.

12.130. ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 339 km-ia, erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili ga-

emgzavra da 3 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. vipovoT

meore avtomobilis siCqare, Tu is saaTSi 5 km-iT mets ga-

dioda, vidre pirveli avtomobili.

12.131. A da B qalaqebs Soris manZili 120 km-ia. A qala-

qidan B qalaqisaken gavida velosipedisti, erTi saaTis Se-

mdeg ki _ motociklisti. motociklisti velosipedists

ori saaTis Semdeg daewia da B qalaqSi velosipedistze sa-

mi saaTiT adre Cavida. ipoveT velosipedistis siCqare.

12.132. A da B punqtebidan erTdroulad erTmaneTis Se-

saxvedrad gamovida ori turisti. rodesac A-dan gamosul-

ma gaiara mTeli gzis naxevari, maSin meore A-dan 30 kilo-

metriT iyo daSorebuli. ipoveT manZili A da B punqtebs Soris, Tu A-dan gamosuli turisti orjer meti siCqariT

moZraobs, vidre _ B-dan gamosuli.

12.133. A da B punqtidan erTdroulad erTmaneTis Sesax-

vedrad gamovida ori turisti. rodesac A-dan gamosulma

gaiara gzis naxevari, maSin meore A-dan 24 km-iT iyo daSo-

rebuli; xolo rodesac meore turistma gaiara gzis naxe-

vari, pirveli B-dan 35 km-iT iyo daSorebuli. ipoveT manZi-

li A da B punqtebs Soris. 12.134. A da B qalaqebs Soris manZili 240 km-ia. A qala-

qidan B qalaqisaken erTdroulad ori avtomobili gavida.

rodesac pirveli avtomobili B qalaqSi Cavida, meores B qalaqSi Casasvlelad kidev 80 km hqonda gasavleli. B qa-laqSi Casvlis Semdeg pirveli avtomobili SeuCerebliv

gamobrunda ukan. avtomobilebi erTmaneTs Sexvdnen moZra-

obis dawyebidan 3 saaTis Semdeg. ipoveT pirveli avtomobi-

lis siCqare.

12.135. ori avtomobili gamovida erTmaneTis Sesaxved-

rad A da B qalaqebidan. erTi saaTis Semdeg avtomobilebi

Sexvdnen erTmaneTs da SeuCerebliv ganagrZes gza imave si-

CqariT. pirveli B qalaqSi 27 wT-iT gvian mivida, vidre me-

ore A qalaqSi. ramden kilometrs gadis erT saaTSi TiTo-

euli avtomobili, Tu manZili am qalaqebs Soris 90 km-ia?

12.136. A da B punqtebidan, romelTa Soris manZili 24

km-ia, erTsa da imave dros erTmaneTis Sesaxvedrad ori av-

tomobili gaigzavna. maTi Sexvedris Semdeg A-dan gamosu-

99

li avtomobili B punqtSi midis 16 wT-Si, xolo meore av-

tomobili 4 wT-Si midis A-Si. ramden kilometrs gadis sa-

aTSi A punqtidan gamosuli avtomobili?

12.137. ori turisti gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad A da B punqtebidan. pirveli A-dan 6 saaTiT gvian gamovida,

vidre meore B-dan. Sexvedrisas aRmoCnda, rom pirvels 12

km-iT naklebi gauvlia meoreze. ganagrZes ra Sexvedris Se-

mdeg gza imave siCqariT, pirveli mivida B-Si 8 saaTSi, xo-

lo meore A-Si 9 saaTSi. ramdeni kilometria A da B pun-qtebs Soris?

12.138. qalaqidan erTdroulad gamovida ori velosipe-

disti. erTi moZraobda samxreTis mimarTulebiT, xolo me-

ore aRmosavleTis mimarTulebiT. garkveuli drois Semdeg

velosipedistebs Soris manZili gaxda 50 km. ramdeni kilo-

metri hqonda gavlili drois am momentisaTvis pirvel ve-

losipedists, Tu misi siCqare ise Seefardeba meoris siCqa-

res, rogorc 3:4? 12.139. qalaqidan gamomaval or gzaze orma avtomobilma

erTdroulad daiwyo moZraoba erTidaigive 70 km/sT siCqa-

riT. gzebs Soris kuTxe 60°-ia. moZraobis dawyebidan ram-deni saaTis Semdeg iqneba avtomobilebs Soris manZili 210

kilometri? 12.140. A da B qalaqebs Soris manZili 15 km-ia. B qala-

qidan AB-s gaswvriv A qalaqisaken gaemgzavra motociklis-

ti. imave dros, A qalaqidan AB wrfis marTobuli mimarTu-

lebiT gavida velosipedisti. motociklistis siCqare or-

jer metia velosipedistis siCqareze. raRac drois Semdeg

maT Soris manZili aRmoCnda minimaluri. ramdeni kilomet-

ri hqonda gavlili velosipedists drois am momentisa-

Tvis? 12.141. A da B qalaqebs Soris manZili 25 km-ia. B qalaqi-

dan A qalaqisaken AB-s gaswvriv gaemgzavra qveiTi 3 km/sT

siCqariT. imave dros, A qalaqidan AB wrfis marTobuli mi-

marTulebiT gavida turisti 4 km/sT siCqariT. moZraobis

dawyebidan ramdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris manZi-

li minimaluri? 12.142. mgzavrma, romelic matarebliT midioda siCqariT

40 km saaTSi, SeniSna, rom Semxvedrma matarebelma mis gver-

diT gavlas moandoma 3 wami. ramden kilometrs gadioda

Semxvedri matarebeli saaTSi, Tu cnobilia, rom misi sig-

rZe aris 75 m?

100

12.143. avtomobilSi mjdomma mgzavrma, romelic moZra-

obda 80 km/sT siCqariT, SeniSna, rom avtomobilis mimarTu-

lebiT moZravi matareblis gverdis avlas moandoma 3 wT.

ramden kilometrs gadis matarebeli saaTSi, Tu misi sigr-

Zea 400 m? 12.144. eskalatoris safexurze mdgomi adamiani moZrav

eskalators metroSi Cayavs 36 wamSi, xolo uZrav eskala-

torze mosiarule adamiani metroSi Cadis 45 wamSi. ramden

wamSi Cava metroSi moZrav eskalatorze mosiarule adami-

ani?

12.145. uZrav eskalatorze mosiarule adamiani metroSi

Cadis 42 wamSi, xolo moZrav eskalatorze mosiarule ada-

miani ki 24 wamSi. ramden wamSi Caiyvans metroSi eskalato-

ris safexurze mdgom adamians moZravi eskalatori?

12.146. or wrewirze Tanabrad moZraobs ori wertili.

erT srul bruns pirveli 5 wamiT naklebs andomebs, vidre

meore, ris gamoc igi 1 wuTSi meoreze ori bruniT mets

akeTebs. ramden bruns akeTebs wuTSi pirveli wertili?

12.147. wrewirze, romlis sigrZe 999 m-s udris, ori sxe-uli moZraobs erTi da imave mimarTulebiT da xvdebian er-

TmaneTs yoveli 37 wuTis Semdeg. ramden metrs gadis wuT-

Si meore sxeuli, Tu cnobilia, rom misi siCqare oTxjer

metia pirvelis siCqareze?

12.148. wrewirze, romlis sigrZe udris 300 metrs, moZra-obs ori sxeuli. isini erTmaneTs xvdebian yoveli 20 wamis Semdeg, rodesac sapirispiro mimarTulebiT moZraoben. ra-

mden metrs gadis wamSi meore sxeuli, Tu misi siCqare 2-jer metia pirveli sxeulis siCqareze?

12.149. tomi da jeri stadionis sarbeni bilikis garSe-

mo darbian mudmivi siCqariT. tomi yoveli 4 wris Semorbe-

nas andomebs 15 wuTs, xolo jeri 3 wris Semorbenas 17

wuTs. orivem sirbili erTdroulad daiwyes sastarto xa-

zidan. sul mcire ramdeni wre unda Semoirbinos jerim,

rom man sastarto xazi tomTan erTad gadakveTos? 12.150. velosipedisti yovel wuTSi 500 metriT naklebs

gadis, vidre motociklisti, amitom 120 km manZilis gasav-

lelad igi xarjavs ori saaTiT met dros, vidre motocik-

listi. gamoTvaleT velosipedistis siCqare.

12.151. avtomobili yovel 12 wT-Si gadioda 2 km-iT mets,

vidre hqonda navaraudevi, amitom 100 km gaiara 322 sT-iT

101

adre, vidre gaTvaliswinebuli hqonda. ra siCqariT unda

emoZrava avtomobils?

12.152. avtomobili manZils or qalaqs Soris gadis 5

saaTSi. Tu is yovel kilometrs gaivlis 73 wT-iT ufro

Cqara, maSin mTeli manZilis gavlas moandomebs 3 saaTs.

ipoveT avtomobilis siCqare.

12.153. brigadaSi iyo 18 muSa da maTi saSualo xelfasi

Seadgenda 220 lars. mas Semdeg, rac ramdenime muSam dato-

va brigada, darCenil muSaTa saSualo xelfasi gaxda 180

lari. ramdenma muSam datova brigada, Tu maTi saSualo

xelfasi Seadgenda 300 lars?

12.154. fexburTelTa gundis (11 fexburTeli) saSualo

asaki iyo 22 weli. rodesac gundis erT-erTi wevri sxva

gundSi gadavida da misi adgili 20 wlis fexburTelma

daikava, gundis saSualo asaki 21 weli gaxda. ipoveT sxva

gundSi gadasuli fexburTelis asaki.

12.155. kalaTburTis matCi iTamaSa 5 kalaTburTelma. ma-

Tgan pirvelma daagrova mTeli qulebis 81 nawili, meorem

_ 25%, mesamem _ 125

nawili, meoTxem ki _ 325

%. ipoveT mo-

TamaSeTa mier dagrovebuli qulebis saSualo maCvenebeli,

Tu mexuTe moTamaSem daagrova 15 qula.

12.156. kursis studentTa saSualo qula maTi raodeno-

bis toli iyo. mas Semdeg, rac xuTi studenti saSualo qu-

liT 50, sxva fakultetze gadavida, am kursis studentTa

saSualo qula gaxda 82. ramdeni studenti iyo Tavidan ku-

rsze?

12.157. motociklistma 3 sT-is ganmavlobaSi imoZrava 10

km/sT siCqariT, momdevno 50 km gaiara 2 sT-Si, xolo ukana-

sknel 280 km-ze moZraobda 70 km/sT siCqariT. ipoveT moto-

ciklistis saSualo siCqare mTel gzaze.

12.158. avtomobilma mTeli gzis 76 iara siCqariT 40

m/wm. darCenili gzis 32_siCqariT 10 m/wm, xolo amis Semdeg

darCenil gzaze moZraobda siCqariT 20 m/wm. ipoveT avto-

mobilis saSualo siCqare mTel gzaze.

12.159. avtomobilma mTeli drois 92 iara sawyisi siCqa-

102

riT, xolo danarCeni dro sawyisze orjer meti siCqariT.

ipoveT ramdenjer metia mTel gzaze avtomobilis saSualo

siCqare mis sawyis siCqareze.

12.160. garaJSi mxolod avtobusebi da msubuqi avtomo-

bilebia. yoveldRiurad erTi avtobusi saSualod 80 litr

sawvavs moixmars, xolo erTi msubuqi avtomobili _ 30 li-

trs. aRmoCnda, rom TiToeul manqanaze sawvavis saSualo

yoveldRiuri xarji 70 litria. ras udris am garaJSi msu-

buqi avtomobilebis raodenoba procentebSi? 12.161. WadrakSi Sejibrebis Catarebis dros gaTamaSda

55 partia. amasTan, TiToeulma moWadrakem danarCen moWad-

rakeebTan mxolod TiTo partia iTamaSa. ramdeni moWadra-

ke monawileobda am CempionatSi?

12.162. fexburTSi pirvelobis gaTamaSebis dros Catar-

da 231 matCi. amasTan, TiToeulma gundma danarCen gundeb-

Tan mxolod TiTo matCi Caatara. ramdeni gundi monawi-

leobda gaTamaSebaSi?

12.163. gamosaSvebi klasis moswavleebi erTmaneTs ucv-

lian Tavis fotosuraTebs ise, rom yoveli moswavle Tavis

suraTs aZlevs TiToeul sxva moswavles. ramdeni moswav-

le yofila am klasSi, Tu gacvla-gamocvlisaTvis saWiroa

870 fotosuraTi?

$13. mimdevroba. ariTmetikuli progresia

13.1. mimdevroba mocemulia formuliT 23 += nxn

1) ipoveT n , Tu 11=nx

A. 3 B. 2 C. 4 D. 7! 2) ipoveT nx , Tu 5=n

A. 15 B. 17 C. 13 D. 11 13.2. ipoveT mimdevrobis zogadi wevri:

1) 1, 3, 5, 7,K

A. 23 −= nxn B. 12 −= nxn C. 1+= nxn D. 23 −= nxn

2) 21,

32,

43,

54,K

A. n

xn1

= B. 11

+−

=nnxn C.

1+=

nnxn D.

1−=

nnxn

13.3. n

nxn1

+= mimdevrobisaTvis ipoveT n -is im mniSvnelo-

103

baTa simravle, romlebisTvisac sruldeba utoloba:

1) 6≤nx

A. { }5 ,4 ,3 ,2 ,1 B. { }6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 C. { }4 ,3 ,2 ,1 D. { }2 ,1

2) 203 << nx

A. { }19,,3 ,2 ,1 K B. { }19,,5 ,4 ,3 K C. { }18,,9 ,8 ,7 K D. { }18 ,17

13.4. 1) ipoveT 362 ++−= nnxn mimdevrobis udidesi wevri.

A. 12 B. 15 C. 8 D. 9 2) ipoveT 182 +−= nnxn mimdevrobis umciresi wevri.

A. -17 B. -15 C. -13 D. –11

a r i T m e t i k ul p ro gr e s i a S i (##13.5–13.15):

13.5. 1) ,41 −=a 2=d . ipoveT 6a .

6 B. 5 C. 7 D. 4 2) ,81 =a .2−=d ipoveT 7a .

A. –2 B. -4 C. –3 D. –5 13.6. 1) 209 =a . ipoveT 17S .

A. 320 B. 340 C. 330 D. 310 2) .215 −=a ipoveT 29S .

A. -48 B. -50 C. -54 D. –58 13.7. 1) ,5330 =a .2=d ipoveT 17a .

A. 31 B. 27 C. 28 D. 32 2) ,3415 =a .5,2=d ipoveT .9a

A. 19 B. 20 C. 18 D. 17 3) ,7632 =a .3=d ipoveT 15a .

A. 30 B. 20 C. 35 D. 25 4) ,5,716 =a .5,1−=d ipoveT .12a

A. 13,5 B. 12,5 C. 13 D. 14 13.8. 1) ,131 =a 115 −=a . ipoveT 18S . A. 81 B. 54 C. 99 D. 85 2) ,81 =a .1811 =a ipoveT .13S

A. 180 B. 181 C. 182 D. 183 13.9. 1) ,121 −=a ,6=d .144=na ipoveT .n

A. 25 B. 26 C. 28 D. 27 2) ,41 −=a ,2=d .34=na ipoveT .n

A. 20 B. 18 C. 22 D. 16 13.10. 1) ,101 −=a .189 −=S ipoveT .d A. -2 B. -4 C. 2 D. 3

104

2) ,81 −=a .22020 =S ipoveT .d

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3) ,031 =S .3=d ipoveT 1a .

A. -40 B. -45 C. -47 D. –49 4) ,12816 =S .2=d ipoveT 1a .

A. 3 B. -3 C. 5 D. –7 13.11. 1) 1618 aaaa n +=+ . ipoveT n .

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2) 723 aaaa n −=− . ipoveT n .

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 13.12. 1) ,75 =a 199 =a . ipoveT .15a

A. 31 B. 34 C. 37 D. 40 2) ,44 −=a .348 −=a ipoveT .10a

A. -30 B. -34 C. -20 D. –49 3) ,481 =a 286 =a , 0=na . ipoveT n .

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 4) ,113 =a 4715 =a , 26=na . ipoveT n .

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5) a5=-a17, an=0. ipoveT n. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6) 2a10=a5, an=0. ipoveT n. A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 13.13. 1) .3615953 =+++ aaaa ipoveT .8a

A. 7 B. 10 C. 9 D. 8 2) .4411751 =+++ aaaa ipoveT .6a

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 13.14. 1) 12 −= nan . ipoveT 15S .

A. 210 B. 215 C. 225 D. 240 2) nan 31−= . ipoveT 8S .

A. -120 B. -60 C. -80 D. -100 3) .3 2 nnSn += ipoveT .d

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4) .32 2 nnSn −= ipoveT .d

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

13.15. 1) ⎩⎨⎧

=−=+

2142

310

71

aaaa

ipoveT 1a .

A. 10 B. 16 C. 20 D. 12

105

2) ⎩⎨⎧

=+−=+

6,22,0

105

115

aaaa

ipoveT d .

A. -2 B. 4 C. –2,8 D. –3,2

3) ⎩⎨⎧

=⋅=+6024

32

51

aaaa

ipoveT d .

A. 5 B. 7 C. 10 D. 2

4) ⎩⎨⎧

=⋅=−758

72

37

aaaa

ipoveT 1a .

A. –17; 3 B. 2; 5 C. –14; 3 D. 0; 5 13.16. 1) a1=2, xolo pirveli n wevris saSualo ariTmeti-

kulia 15. ipoveT an.

A. 15 B. 28 C. 20 D. 24 2) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulia 10, xo-

lo an=-2. ipoveT a1.

A. 22 B. 16 C. 20 D. 23 3) a1=2, d=3, pirveli n wevris saSualo

ariTmetikuli 14-is tolia. ipoveT n. A. 9 B. 12 C. 8 D. 10 4) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulia 8.

an=-6, xolo d=-2. ipoveT n. A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 5) pirveli n wevris saSualo ariTmetikuli 5-jer

metia pirvel wevrze. ipoveT an: a1.

A. 8 B. 11 C. 10 D. 9 6) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulisa da

pirveli wevris naxevris sxvaoba 10-is tolia. ipoveT an.

A. 19 B. 22 C. 20 D. 23 13.17. K,,, 321 aaa ariTmetikuli progresiis sxvaoba 3-is

tolia. ipoveT K,,, 321 ccc ariTmetikuli progresiis

sxvaoba, Tu yoveli 1≥n -Tvis:

1) nn ac 3= .

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 2) 3+= nn ac .

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 3) 12 −= nn ac .

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 4) 12 +−= nn ac .

A. -3 B. -6 C. 3 D. 6

106

13.18. ipoveT ariTmetikuli progresiis udidesi uaryofiTi

wevri, Tu:

1) 371 =a , .321−=d 2) 421 =a , .

211−=d

3) 281 −=a , 52

=d . 4) 401 −=a , 53

=d .

13.19. ipoveT ariTmetikuli progresiis umciresi dadebiTi

wevri, Tu:

1) 501 =a , .54

−=d 2) 481 =a , 312−=d .

3) 321 −=a , 21

=d . 4) 601 −=a , 311=d .

13.20. ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela dadebiTi

wevris jami, Tu:

1) 351 =a , 43

−=d . 2) 281 =a , 52

−=d .

13.21. ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela uaryofiTi

wevris jami, Tu:

1) 221 −=a , 31

=d . 2) 351 −=a , 43

=d .

13.22. 1) ipoveT 3-is jeradi yvela orniSna ricxvis jami.

2) ipoveT 50-is jeradi yvela samniSna ricxvis jami.

3) ipoveT yvela kenti ricxvis jami 12-dan 82-mde.

4) ipoveT yvela luwi ricxvis jami 111-dan 129-mde.

13.23. 1) ipoveT yvela iseTi orniSna naturaluri ricxvis

jami, romlebic 3-ze gayofisas naSTSi iZleva 2-s.

2) ipoveT yvela im samniSna naturaluri ricxvis

jami, romlis 17-ze gayofisas naSTi tolia 5-is.

3) ipoveT naturaluri ricxvi, romelic yvela mis

win mdgomi naturaluri ricxvis jamze 20-iT naklebia.

4) ipoveT naturaluri ricxvi, romelic yvela mis

win mdgomi naturaluri ricxvis jamis tolia.

13.24. ariTmetikuli progresiis m -uri wevri udris n -s,

xolo n -uri wevri m -s ( )nm ≠ . ipoveT am progresi-

is pirveli wevri da sxvaoba.


1) ( ) 4001531 =+++++ xL 2) ( ) 20921074 =−++++ xL 3) ( ) 11711741 =−++++ xL 4) ( ) 5153075,42 =+++++ xL

107

13.26. 1) ramden saaTSi gaivlis velosipedisti 54 km-s, Tu

pirvel saaTSi igi gadis 15 km-s, xolo yovel Semdeg

saaTSi 1 km-iT naklebs, vidre winaSi?

2) amfiTeatri Sedgeba 10 rigisagan. pirvel rigSi

100 adgilia, xolo yovel momdevno rigSi ki 20 adgiliT

meti, vidre winaSi. ramden kacs itevs amfiTeatri?

3) burTulebi samkuTxedis saxiTaa dalagebuli ise,

rom pirvel mwkrivSi erTi burTulaa, xolo yovel momdev-

noSi erTi burTuliT meti, vidre winaSi. ramden mwkriva-

daa dalagebuli burTulebi, Tu maTi saerTo raodenoba

120-s udris? 4) xelosanma pirvel dRes daamzada 8 detali, xolo

yovel Semdeg dRes amzadebda 1 detaliT mets, wina dRes-

Tan SedarebiT. ramdeni dRe imuSava xelosanma, Tu sul

daamzada 77 detali.

13.27. 1) ori dabidan, romelTa Soris manZilia 120 km, erT-

maneTis Sesaxvedrad gamovida velosipedisti da motocik-

listi. amasTan motociklisti gamovida erTi saaTiT gvian

velosipedistze. motociklisti yovel saaTSi gadis 15 km-s. velosipedistma pirvel saaTSi gaiara 5 km, xolo yovel

Semdeg saaTSi gadioda, 1 km-iT mets, vidre winaSi. motoci-

klisti moZraobis dawyebidan ramdeni saaTis Semdeg Sexv-

deba velosipedists?

2) qalaqidan soflisaken gaemgzavra velosipedisti,

xolo 2 sT-is Semdeg mis kvaldakval gavida motociklis-

ti. velosipedistma pirvel saaTSi gaiara 18 km, xolo yo-

vel Semdeg saaTSi gadioda erTi kilometriT naklebs, vi-

dre winaSi. motociklistma pirvel saaTSi gaiara 12 km, xolo yovel Semdeg saaTSi gadioda 2 km-iT mets, vidre

winaSi. motociklisti gamosvlidan ramdeni saaTis Semdeg

daeweva velosipedists?

13.28. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlis-

Tvisac:

1) 3x+1=m, 2x+2=3m da 3x+2=5m gantolebebis fesvebi

Sesabamisad warmoadgenen ariTmetikuli progresiis

pirvel, meore da mesame wevrebs.

2) 2x-1=m gantolebis x1 fesvi da x2-(2m+6)x+(m+2)(m+4)=0 gantolebis x2 da x3 fesvebi warmoadgenen ariTmetikuli

progresiis Sesabamisad pirvel, meore da mesame wevrebs.

!

108

!$14. geometriuli progresia

g e o m e tr i ul p ro gr e s i a S i (##14.1 – 14.16):

14.1. 1) ,41

1 =b 2=q . ipoveT .6b

A. 8 B. 6 C. 7 D. 10

2) ,41 −=b .31

−=q ipoveT .4b

A. 274 B.

272 C.

91 D.

92

14.2. 1) ,21 −=b .4866 −=b ipoveT q .

A. 3 B. -3 C. 2 D. –2 2) ,31 =b .3848 −=b ipoveT q .

A. -2 B. -4 C. 4 D. 2

14.3. 1) ,2561 =b ,21

=q .2=nb ipoveT .n

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

2) ,811 =b ,31

−=q .271

−=nb ipoveT .n

A. 8 B. 9 C. 7 D. 10

14.4. 1) ,2565 =b .4=q ipoveT .3b

A. 48 B. 32 C. 64 D. 16 2) ,6408 −=b .2−=q ipoveT .4b

A. 20 B. -20 C. -40 D. 40 14.5. 1) 72 =b , 565 =b . ipoveT q .

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2) 26 =b , 16210 =b , 0<q . ipoveT q .

A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 14.6. 1) 321 =b , 503 =b , 02 >b . ipoveT 2b .

A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 2) 495 =b , 99 =b . ipoveT 7b .

A. 29 B. 27 C. 23 D. 21 14.7. 1) 183 =b , 4866 =b . ipoveT 1b .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2) 10245 =b , 649 =b . ipoveT 15b .

109

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3) b9:b6= 3 . ipoveT b50:b44.

A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 9 ! ! ! 5*!b10:b5= 2 /!jqpwfU!b40:b20/!

A. 2 2 B. 2 C. 4 D. 8

14.8. 1) 321

1 =b , 1610 =b , 1=nb . ipoveT n .

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

2) 272

5 =b , 69 =b , 54=nb . ipoveT n .

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 14.9. 1) ,31 =b .2=q ipoveT .5S

A. 45 B. 63 C. 93 D. 95 2) ,21 =b .1−=q ipoveT .20S

A. 3 B. -2 C. 2 D. 0 14.10. 1) ,11 =b .22 −=b ipoveT .9S

A. 165 B. 171 C. 160 D. 172 2) ,31 =b .62 =b ipoveT .5S

A. 80 B. 73 C. 91 D. 93 14.11. 1) ,1896 =S 2=q . ipoveT .1b

A. 2 B. -2 C. 4 D. 3 2) ,804 =S .3=q ipoveT .1b

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 14.12. 1) meore da meeqvse wevrebis namravlia 16. ipoveT am

progresiis meoTxe wevri.

A. ±2 B. -6 C. -8 D. ±4 2) pirveli, mesame da mexuTe wevrebis namravlia 8.

ipoveT am progresiis mesame wevri.

A. 2 B. 2 C. 4 D. 6 3) pirveli xuTi wevris namravlia 243. ipoveT am

progresiis mesame wevri.

A. -3 B. 3 C. 4 D. -2 4) pirveli Svidi wevris namravlia 128. ipoveT am

progresiis meoTxe wevri.

A. -2 B. 3 C. -4 D. 2

14.13. 1) 23

1 =b , 21

=q . ipoveT am progresiis wevrTa jami

me-3-dan me-7-mde CaTvliT.

110

A. 12895 B.

12893 C.

12891 D.

12889

2) 43

1 =b , 2−=q . ipoveT am progresiis wevrTa jami

me-4-dan me-7-mde CaTvliT.

A. 30 B. 40 C. 20 D. 50

14.14. 1) ⎩⎨⎧

=−−=−8

4

13

12

bbbb

ipoveT 1b

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

2) ⎩⎨⎧

=−=−

615

24

15

bbbb

ipoveT q .

A. 2; 21 B. 3;

31 C. 4;

41 D. 5;

51

14.15. 1) nbbbb 6103 = . ipoveT n .

A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 2) nbbbb :: 725 = . ipoveT n .

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14.16. 1)

nnb 23 ⋅= . ipoveT 4S .

A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 2) 132 −⋅= n

nb . ipoveT 5S .

A. 80 B. 122 C. 242 D. 360 3) 323 −⋅= n

nS . ipoveT q .

A. 0,5 B. 2 C. 1,5 D. 3

4) 1313

−−

= n

n

nS . ipoveT q .

A. 31 B.

32 C.

34 D. 3

14.17. K,,, 321 bbb geometriuli progresiis mniSvneli 2-is

tolia. ipoveT K,,, 321 ccc geometriuli progresiis

mniSvneli, Tu yoveli 1≥n -Tvis:

1) nn bc ⋅= 5 .

A. 5 B. 0,5 C. 10 D. 2

2) n

n bc 1

= .

A. 0,5 B. 2 C. 4 D. 8 3) 2

nn bc = .

111

A. 0,5 B. 2 C. 4 D. 8 4) nn bc 2= .

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 14.18. amoxseniT gantoleba:

1) 1

111

102

−+

=++++x

xxxxx L

2) xxxxxxx

++

=++−+−1

1211

1032 L

14.19. 1) nb geometriuli progresiis TiToeuli wevri da-

debiTia da yoveli 3≥n -Tvis 21 −− += nnn bbb . ipoveT

am progresiis mniSvneli.

2) nb geometriuli progresiis sami momdevno wevri

yoveli 3≥n -Tvis akmayofilebs pirobas

12 732 −− =+ nnn bbb . ipoveT am progresiis mniSvneli.

14.20. 1) ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli,

romlisTvisac 8b2+2b3 gamosaxuleba Rebulobs umci-

res mniSvnelobas (b1>0)

2) ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli,

romlisTvisac 12b2-3b3 gamosaxuleba Rebulobs udi-

des mniSvnelobas (b1>0).

3) ipoveT b1-2b2-4b3 gamosaxulebis udidesi mniSvne-

loba, Tu (bn) geometriuli progresiaa pirveli wev-

riT b1=4.

4) ipoveT 3b3-2b2 gamosaxulebis umciresi mniSvnelo-

ba, Tu (bn) geometriuli progresiaa pirveli wevriT

b1=6. 14.21. geometriuli progresiis m -uri wevri udris

n2 -s,

xolo n -uri wevri m2 -s ( )nm ≠ . ipoveT am progresi-

is pirveli wevri da mniSvneli.

14.22. 1) geometriuli progresiis pirveli oTxi wevris

jami udris 30-s, momdevno oTxi wevrisa ki 480-s.

ipoveT pirveli Tormeti wevris jami.

2) geometriuli progresiis pirveli sami wevris

jamia 40, eqvsi wevrisa ki 60. ipoveT progresiis pir-

veli cxra wevris jami.

3) geometriuli progresiis pirveli sami wevris ja-

mi udris 168-s, xolo Semdegi sami wevris jami 21-s.

112

ipoveT progresiis pirveli wevri da mniSvneli.

4) ipoveT oTxi ricxvi, romlebic Seadgens klebad

geometriul progresias, Tu viciT, rom am progre-

siis kiduri wevrebis jamia 27, xolo Sua wevrebis

jami aris 18.

14.23. ipoveT luwi raodenobis wevris mqone geometriuli

progresiis mniSvneli, Tu misi:

1) yvela wevris jami 7-jer metia kent adgilebze

mdgomi wevrebis jamze;

2) yvela wevris jamis fardoba luw adgilebze

mdgomi wevrebis jamTan 1,5-is tolia.

14.24. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-

sac:

1) 3x+3=2m, 2x-1=m da 4x-7=3m gantolebebis fesvebi

Sesabamisad warmoadgenen geometriuli progresiis

pirvel, meore da mesame wevrebs.

2) x-4=m gantolebis x1 fesvi da

9x2-6(m+1)x+(m+4)(m-2)=0 gantolebis x2 da x3 fesvebi warmoadgenen

geometriuli progresiis Sesabamisad momdevno wev-

rebs. !!!

$15. logariTmis Semcveli gamosaxulebebis

gamoTvla. maCvenebliani da logariTmuli

gantolebebi. gantolebaTa sistemebi

g a m oT v al eT (##15.1 – 15.8):

15.1. 1) 32log100lg 2− A. 0 B. –2 C. –3 D. -1

2) 16log3 44log3 −

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 3) 81log4log 3

21 −

A. -6 B. –7 C. –5 D. -4 4) 27log4 3

3log2 + A. 1 B. 0 C. 12 D. 3

113

15.2. 1) 27log5 331log 2,0+

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2) 8log3 5,0

16log9 − A. 0 B. 3 C. 5 D. 7

3) 8log31

5,0

2log 3

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

A. 3 B. 413 C.

213 D.

433

4) 10log71

1,0

3log7

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

A. 1 B. 311 C.

321 D. 2

15.3. 1) 2log54log 33 − A. 2 B. 3 C. 4 D. -1 2) 3log48log2 22 − A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3) 20log425log 55 +

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

4) 43log

271log

31

22 +

A. 3 B. 2 C. -3 D. -2 15.4. 1) 3log48log

212 +

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

2) 25log

58log 5,02 −

A. 1 B. 0 C. 2 D. -2 3) 2log18log

313 +

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

4) 35log49log21

55 −

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

114

15.5. 1) 3log2log

8log27log

213

312

−

−

A. 3 B. 1 C. 2 D. -1

2) 3log2log

243log32lg

21,0

5,0

+

+

A. -2 B. -3 C. –5 D. -6

3) 32log32log 25 425 +− ⋅ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4) 154log154log 43 169 +− ⋅ A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 15.6. 1) 64logloglg 43 A. 0 B. 4 C. 1 D. 2

2) 16logloglog 423 A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

3) 125logloglog 592 A. -3 B. -2 C. –1 D. 0

4) 27logloglog 394

A. 21

− B. -1 C. –41 D. 1

15.7. 1) xy, Tu 2x=5, 5y=8 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2) xy, Tu 3x=7, y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

71 =27

A. 1 B. 3 C. -2 D. -3 3) xyz, Tu 2x=7, 7y=11 da 11z=16 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

4) xy-2z, Tu 2x=5, 5y=9 da 98

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

z

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5) 9x-2⋅3x+1+9, Tu 3x=a A. (a+1)2 B. a2-a+1 C. 2a D. (a-3)2

6) 14 2

2 2

x x

x

+−−

, Tu 2x=a

A. a B. 2a C. a-2 D. 2a-1 15.8. 1) x+y, Tu 3x=5, 3y=5,4

115

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2) 1) x+3y, Tu 2x=0,8, 8y=2,5 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3) x-2y, Tu 3x=8, 1 119 8

y⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4) x+2y-z, Tu 2x=7, 4y= 37

da 1 12 3

z⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

A. 2 B. 1 C. 0 D. –1 15.9. 1) Tu lg3=a, maSin lg810= A. a2+1 B. a4+1 C. 4a+1 D. 2a+1 2) Tu 3log 5 =a, maSin 3log 75 = A. 2a-1 B. 2a+1 C. a2+1 D. a2-1


15.10. 1) 24 =x

A. 61 B.

41 C.

31 D.

51

2) 331

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

A. -21 B.

21 C. 2 D. 3

3) ( ) 52,0 =x

A. -21 B.

21 C. 1 D. -1

4) ( )16975,0 =x

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

15.11. 1) 1612 42 =+x

A. 0 B. -2 C. –4 D. -3

2) 2515 82 =+x

A. 2 B. -4 C. –6 D. -5

3) 246 12 =−x A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

4) 227 16 =+x

116

A. 2 B. 1 C. 0 D. –1

15.12. 1) 41614

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−x

A. -1 B. 1 C. 2 D. 0

2) 9913

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−x

A. 0 B. 3 C. –1 D. 1 3) 27515 =⋅ −xx

A. 1 B. 2 C. 3 D. -1

4) 144216 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−xx

A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 15.13. 1) 3log2 =x

A. 8 B. 9 C. 31 D.

91

2) 1log21 −=x

A. 4 B. 41 C.

21 D. 2

3) ( ) 132log3 =− x

A. 31 B. -

31 C.

21 D.

21

−

4) ( ) 14log51 −=−x

A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 15.14. 1) ( ) 0log1log 32 =+ x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2) ( ) 1log2log 24 =+ x A. 2 B. 8 C. 4 D. 16 3) ( ) 1log4log 23 =− x A. 3 B. 4 C. 2 D. 8 4) ( ) 05loglog 24 =−x A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 15.15. 1) 12logloglog 3

32

33 =++ xxx A. 9 B. 6 C. 12 D. 3 2) 22log5log 2

22 =+ xx

117

A. 8 B. 16 C. 4 D. 32 3) 18loglog2 4

54 =− xx

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 4) 36logloglog 6

22

22 =++ xxx A. 24 B. 16 C. 12 D. 20 5) 2 4

2 2log log 18x x+ = A. 8 B. 4 C. ±8 D. ±4 6) 4 6

3 3log log 10x x+ = A. -3 B. 3 C. ±2 D. ±3 15.16. 1) ( ) ( )13lg2lg313lg +=+− xx A. 21 B. 19 C. 20 D. 18 2) ( ) ( )9022log3log34log 222 +=+++ xx A. -2 B. -3 C. 2 D. 1 3) ( ) ( )13lg3lg15lg −−+=− xx A. 5 B. 6 C. 7 D. 4

4) ( ) ( )94lg9lg2132lg +=+− xx

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 15.17. 1) ( ) ( ) 5log314log3log32log 7777 −−=−− xx A. 2 B. 4 C. 5 D. 3 2) ( ) ( ) 6log11log5log52log 5555 −−=−− xx A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3) ( ) ( )34log9log13log21log 3333 −+=++ xx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4) ( ) ( ) ( ) 1log12log3log3log 5555 +−=−++ xxx A. -2 B. -5 C. 4 D. 5 15.18. 1) ( ) ( ) 175log72log 33 −=−−− xx A. 14 B. 12 C. 18 D. 17 2) ( ) ( ) 28log74log 33 =−−− xx A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 3) ( ) ( ) 4112log17log 22 =−−− xx A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 4) ( ) ( ) 217log35log 55 =+−− xx A. -13 B. -15 C. -11 D. -9

118

amoxseniT gantoleba (##15.19-15 .25) :

15.19. 1) 83

89

32 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−xx

2) 32

827

94 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−xx

3) 85

825

52 21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xx

4) 52

8125

254 21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xx

15.20. 1) ( )3

2

225625,0

+− =

xx 2) 1

49

278 1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+xx

3) ( ) xx

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−+

271

913

25,01 4)

xxx

55

1011,052

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

15.21. 1) 3

32

49

278 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x

2) 2121

9271

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

3) xx

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−

271

313

3

4) ( )5110101

512 −

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ x

xx

15.22. 1) 3033 2 =++ xx 2) 1744 2 =++ xx 3) 31555 123 =++ −−− xxx 4) 43666 234 =++ −−− xxx

15.23. 1) 04234 =−⋅− xx 2) 021349 =−⋅+ xx 3) 028234 =−⋅+ xx 4) 02525 =−+ xx

15.24. 1) 0721225 3333 =+⋅−⋅ −− xx 2) 05363 2112 =+⋅− −− xx 3) 013123 2323 =+⋅− −−+ xx 4) 012122 5115 =−⋅− −− xx

15.25. 1) xxx 926349 ⋅=⋅−⋅ 2) xxx 22 2151052 ⋅=+⋅ 3) xxx 222 2512155925 ⋅=⋅+⋅ 4) 111 4981447 −−− ⋅=+⋅ xxx

15.26. ipoveT a parametris is umciresi mniSvneloba, rom-

lisTvisac gantolebas aqvs erTi fesvi:

1) 0324 =+−⋅− aa xx 2) ( ) 05325 =−⋅+− aa xx

3) ( ) 06339 =−+⋅−− aa xx 4) ( ) 026326 2 =−⋅+− aax

x


15.27. 1) ( ) ( )53log13log15log2122 −++=− xx

2) ( ) ( )52lg13log3lg 1,0 +=−++ xx

3) ( ) ( )xx −+−=− 9log32lg15lg 1,0 4) ( ) ( )53log3log145log 222 −++=− xx

119

15.28. 1) ( ) ( ) 5lg124log13log21

10110 +=+−− xx

2) ( ) ( ) 29log12log21

10110 =−−− xx

3) ( ) ( ) xxx lg192log203log21

10110 =−+−

4) ( ) 002,0lg5loglog21

10110 =++− xx

15.29. 1) 02log3log 323 =+− xx 2) 02loglog 2

22 =−− xx

3) xx lg41

31lg

121 2 −= 4) 1

lg12

lg51

=+

+− xx

15.30. 1) 05)(loglog3 22

22 =−−− xx

2) 01log2)(log4 24

24 =++− xx

3) ( ) ( ) 041log31log2 22

22 =++−−− xx

4) ( ) ( ) 092log2log3 23

23 =−−−−+ xx

15.31. 1) ( ) 283log3 +=+− xx 2) ( ) xx −=+ 4324log3

3) ( ) xx −=+ − 347log 2 4) ( ) xx −=+ 5214log 2 amoxseniT sistema (##15.32; 15 .33) :

15.32. 1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=⋅

29123

xy

yx 2)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=⋅ −

120052

yx

xy

3) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=⋅+

3427 1

xy

yx 4)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=− 243381

927yx

yx

15.33. 1) ⎩⎨⎧

=−=+

152lglg

yxyx

2) ⎩⎨⎧

=−+=+

169log1loglog 444

yxyx

3) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=⋅

2log97223

3 yx

yx

4) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+=⋅

3lg2lglg28193

xyx

xy

!

120

$16. maCvenebliani da logariTmuli

utolobebi !

i p o v e T u tolo b i s a m o n a x s n T a s i m r a vl e

(##16.1 - 16.7):

16.1. 1) 24 <x

A. ] [1;−−∞ B. ] [∞− ;1 C. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−

21; D. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞;

21

2) 16 ≥x A. [ [∞;0 B. [ [∞;1 C. ] ]0;−∞ D. ] ]1;−∞

3) 2551

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

A. ] [2;−∞ B. ] [1;−∞ C. ] [∞;1 D. ] [∞− ;2

4) 121 1

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+x

A. ] [0;−∞ B. ] [1;−−∞ C. ] [∞;0 D. ] [∞;1

16.2. 1) 212 1 >+−x

A. ] [∞;2 B. ] [2;−∞ C. ] [1;−∞ D. ] [∞;3

2) 16141 >−x

A. ] [∞;2 B. ] [∞;3 C. ] [3;−∞ D. ] [∞;0

3) 2515 2 <+−x

A. ] [4;−∞ B. ] [5;−∞ C. ] [∞;5 D. ] [∞;4

4) 412 4 <+−x

A. ] [∞;6 B. ] [6;−∞ C. ] [∞;4 D. ] [∞;0

16.3. 1) ( ) 09,03,0 1 >−x A. ] [0;−∞ B. ] [∞;3 C. ] [3;−∞ D. ] [∞;1

2) ( )2512,0 13 <−x

A. ] [∞;1 B. ] [1;−∞ C. ] [∞;2 D. ] [0;−∞

3) ( ) ( ) xx −− ≥ 242 4,04,0 A. ] [0;−∞ B. ] ]2;−∞ C. [ [∞;0 D. [ [∞;2

121

4) 131 24

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−x

A. ] ]0;−∞ B. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

21;0 C. ⎥⎦

⎤⎥⎦⎤ ∞−

21; D. ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ ∞;

21

16.4. 1) 14423 221 >⋅ −− xx A. ] [3;−∞ B. ] [∞;3 C. ] [∞;1 D. ] [∞;0

2) 32

427

92 33

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xx

A. ] [2;−∞ B. ] [∞;2 C. ] [2;0 D. ] [3;1−

3) xxxx 7272 ⋅<⋅ A. ] [∞;1 B. [ [∞;0 C. [ [1;0 D. ] [1;1−

4) 425

8125

52 22

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− xx

A. ] [3;−∞ B. ] [∞;3 C. ] [3;2 D. ] [∞;2

16.5. 1) 57333 31323 <−+ +− xxx A. ] [1;−∞ B. ] [∞;1 C. ] [1;0 D. ] [3;0

2) 11333 21 <−+ −− xxx A. ] [4;−∞ B. [ [∞;0 C. [ ]2;0 D. [ [4;0

3) 7222 21 <++ −− xxx A. ] [2;0 B. ] [∞;2 C. ] [0;−∞ D. ] [2;2−

4) 6655253 21 <+⋅−⋅ −− xxx A. ] [4;−∞ B. ] [∞;1 C. [ [4;0 D. [ [∞;0 16.6. 1) 2log3 <x A. ] [∞;9 B. ] [9;0 C. ] [9;−∞ D. ] [8;1 2) 0,2log 2x > − A. ] [25;0 B. ] [∞;25 C. ] [25;−∞ D. ] [∞;0 3) 0log5 >x A. ] [1;0 B. ] [1;−∞ C. ] [∞;1 D. ] [∞;0 4) 1log

41 −<x

A. ] [4;−∞ B. ] [∞;0 C. ] [4;0 D. ] [∞;4 16.7. 1) ( ) 012log3 >+x

122

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤− 1;

21 B. ] [∞;0 C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

21 D. ] [1;−∞

2) ( ) 122,2log 2,0 <− x A. ] [1,1;−∞ B. ] [∞;1 C. ] [1;−∞ D. ] [∞;1,1

3) ( )213log9 <+x

A. ] [∞;0 B. ] [0;−∞ C. ] [∞− ;3 D. ] [0;3− 4) ( ) 18log 25,0 −>− x A. ] [8;4 B. ] [8;−∞ C. ] [∞;4 D. ] [4;1 16.8. ricxvebi daalageT zrdis mixedviT:

1) 3log 5a = , 5log 3b = , c=2 A. a, b, c B. a, c, b C. b, a, c D. b, c, a 2) 4log 20a = , 7log 2b = , c= 5log 7 A. a, c, b B. c, b, a C. b, a, c D. b, c, a 3) a=1, 1

2log 3b = , c= 3log 5

A. b, a, c B. b, c, a C. a, b, c D. c, a, b

4) 5log 1a = , 31log2

b = , c= 12

log 5

A. b, a, c B. c, b, a C. a, b, c D. b, c, a !!

ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle (##16.9-

16 .12) :

16.9. 1) 913 32

≤− xx 2) 1524 ≥−xx

3) xxx −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

162

91

31

2

4) 12 862<+− xx

16.10. 1) 12551 1

12

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+x

x

2) 8113 2

13

≤−−x

x

3) 04,05 132

≥−−x

x

4) 2516

25 3

14

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−x

x

16.11. 2*! 224 ≤− xx! ! ! 3*! 55625 −⋅< xx

!

123

! 4*! 455 12 +>+ xx!! 5*! 3

312

91

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

!

16.12. 2* 0659243 <⋅−⋅+⋅ xxx 2) 095152253 ≤⋅−⋅−⋅ xxx

3) xxx112

5025,42510 ⋅≥+ 4) xxx111

946549 ⋅≤⋅+⋅ 16.13. gamoarkvieT 1-ze metia, naklebia Tu tolia x :!

2*!2

155log71

32

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x ! ! 3*!

3156log2

23

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x !

! 4*!4

127log3

54

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x ! ! 5*!

( ) ( )223log223log21

21

52 ++−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x !

16.14. ipoveT! a -s! yvela mniSvneloba, romlisTvisac miTi-

Tebuli utoloba iqneba samarTliani!

! 2*! 13,0

311

52log

>

−

a !! 3*! 15,0195

54log

>

−

a !

! 4*! 158 6

154log

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+a

! ! 5*! 132 2

321log

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−a

!

16.15. 1) amoxseniT utoloba! ,412 ++ > xx aa !Uv! 2=x !ar aris am

utolobis amonaxsni.

2) amoxseniT utoloba!15213 ++ < xx aa -! Uv! 5−=x !aris am

utolobis amonaxsni.

ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle

(##16.16-16 .20) :

16.16. 1) ( ) ( )xx −>+ 6lg2lg 2) ( ) ( )xx −<− 7log93log3

13

1

3) ( ) xx 22 log42log <− 4) ( ) ( )xx −>− 5log1log2

12

1

16.17. 1) ( ) ( )323log2log2 88 >−−− xx

2) ( ) ( ) ( ) 15log1log1log 333

1 <−++−− xxx

3) ( ) ( ) 62log214log4

12 <+−+ xx

4) ( ) ( ) ( )14log22log212log 9

313 +<−−+ xxx

16.18. 1) ( ) ( )12log55log3

12

31 −<+− xxx

124

2) ( ) 23log 22 <+ xx

3) ( ) 22log 2

21 −>−+ xx

4) ( ) ( )52log1log 7,02

7,0 −<+ xx

16.19. 2) 03log2log 323 ≤−+ xx 2) 02lglg2 ≤−+ xx

3) 3loglog 22

25,0 >− xx 4) 02log6log4

12

21 ≤+− xx

16.20. 1) ( ) xx >−⋅ 932log3 2) ( ) xx <−+ 42log 12

4*! ( )2

82log 14

xx ≤−+! ! 5*! ( ) 15235log5 +>⋅− xx

!

16.21. ipoveT x cvladis mniSvnelobaTa simravle,

romelTaTvisac

1) ( )0,3log 3x − , ( )20,3log 3x − , ( )30,3log 3x − ,... ariTmetiku-

li progresia aris zrdadi.

2) ( )0,1log 2 x− , ( )20,1log 2 x− , ( )30,1log 2 x− ,... ariTmetiku-

li progresia aris klebadi.

3) ( )0,5log 2x − , ( )20,5log 2x − , ( )3

0,5log 3x − ,... geometriuli

progresia aris zrdadi.

4) 1, ( )2lg 3x − , ( )4lg 3x − ,... geometriuli progresia

aris zrdadi.

$17. trigonometriul funqciaTa mniSvnelobebis

gamoTvla

17.1. ipoveT ,sinα Tu:

1) ;53cos =α

20 π

<α<

A. 52

− B. 52 C.

54

− D. 54

2) ;1312cos −=α oo 18090 <α<

A. 135

− B. 135 C.

137

− D. 137

3) ;6,0cos =α oo 360270 <α< A. –0,8 B. –0,4 C. 0,8 D. 0,4

125

4) ;257cos −=α παπ

23

<<

A. 2524 B.

2524

− C. 2512 D.

2512

−

17.2. ipoveT ,cosα Tu:

1) ;54sin =α oo 900 <α<

A. 52

− B. 52 C.

53

− D. 53

2) ;54sin −=α π<α<π

23

A. 53 B.

21 C.

21

− D. 53

−

3) ;135sin =α oo 18090 <α<

A. 1312 B.

23 C.

1312

− D. 23

−

4) ;8,0sin −=α π<α<π 223

!!!!!!!A. 0,6 B. –0,6 C. 0,4 D. -0,4 17.3. ipoveT ,αtg Tu:

1) ,54sin =α

20 π

<α<

A. 34 B.

34

− C. 1 D. –1

2) ,23sin =α π<α<

π2

A. 3 B. 3

1− C.

31 D. 3−

3) ;53cos =α π<α<π 2

23

A. 43 B.

34

− C. 32

− D. 34

4) ;8,0cos −=α π<α<π23

A. 21 B.

34 C.

43 D.

54

17.4. ipoveT ,cosα Tu:

126

1) ;34

=αtg 2

0 π<α<

A. 53

− B. 54

− C. 53 D.

54

2) ;43

−=αtg π<α<π2

A. 54 B.

54

− C. 21 D.

21

−

3) ;2−=αtg oo 360270 <α<

A. 33 B.

33

− C. 21 D.

21

−

4) ;5

12=αtg oo 270180 <α<

A. 135

− B. 135 C.

1312

− D. 1312

17.5. ipoveT ,sinα Tu:

1) ;125

=αtg 2

0 π<α<

A. 135

− B. 135 C.

1312

− D. 1312

2) ;43

=αtg π<α<π23

A. 53 B.

54

− C. 54 D.

53

−

3) ;940

−=αtg π<α<π 223

A. 4140

− B. 4140 C.

419

− D. 419

4) ;724

−=αtg π<α<π2

A. 2524 B.

2524

− C. 257 D.

257

−

17.6. ipoveT ,2sin α Tu:

1) ;53sin =α

20 π

<α<

A. 2524 B.

2524

− C. 2512 D.

2512

−

127

2) ;135sin =α oo 18090 <α<

A. 16960 B.

16960

− C. 169120 D.

169120

−

3) ;54cos =α oo 360270 <α<

A. 2524

− B. 2524 C.

2512

− D. 2512

4) ;53cos −=α π<α<π

23

A. 2524

− B. 2524 C.

2512

− D. 2512

17.7. ipoveT ,2cos α Tu:

1) 31sin =α

A. 91 B.

92 C.

97 D.

98

2) 75sin =α

A. 491

− B. 491 C.

4910

− D. 4910

3) 32cos =α

A. 91 B.

91

− C. 94 D.

94

−

4) 65cos −=α

A. 187 B.

187

− C. 1811 D.

1811

−

17.8. ipoveT ,2

sin α Tu:

1) ;53cos =α

20 π

<α<

A. 5

1 B. 5

2 C. 5

3 D. 5

4

2) ;53cos −=α π<α<π

23

128

A. 5

1− B.

51 C.

52

− D. 5

2

3) ;28,0cos =α oo 360270 <α< A. –0,6 B. 0,6 C. –0,8 D. 0,8

4) ;1312cos −=α π<α<π

23

A. 265 B.

265

− C. 267 D.

267

−

17.9. ipoveT ,2

cos α Tu:

1) ;87cos =α

20 π

<α<

A. 43 B.

47 C.

411 D.

415

2) ;87cos −=α oo 270180 <α<

A. 41 B.

41

− C. 43 D.

43

−

3) ;54cos −=α π<α<π

23

A. 103

− B. 103 C.

101

− D. 101

4) ;68,0cos −=α oo 18090 <α< A. –0,4 B. 0,4 C. –0,2 D. 0,2 17.10. ipoveT:

1) ,sinα Tu 52=

αtg

A. 133 B.

134 C.

135 D.

136

2) ,cosα Tu 52=

αtg

A. 1312

− B. 1312 C.

135

− D. 135

3) ,αtg Tu 32=

αtg

A. 41 B.

41

− C. 43 D.

43

−

129

4) ,2αtg Tu 2=αtg

A. 34

− B. 34 C.

43

− D. 43

17.11. ipoveT:

1) ( ),45sin o+α Tu ,53sin =α

20 π

<α<

2) ( ),30sin o−α Tu ,73sin =α

oo 18090 <α<

3) ( ),60cos o−α Tu ,131cos −=α π<α<

π2

4) ( ),45o−αtg Tu 3=αtg

17.12. ipoveT:

1) ( )β+αcos , Tu 54cos =α ,

135cos −=β ,

20 π

<α< , π<β<π2

.

2) ( )β−αsin ,Tu 54sin −=α ,

1312cos −=β , π<α<

π 22

3,

23π

<β<π .

3) ( )β−αcos ,Tu 53cos −=α ,

1312sin =β , π<α<

π2

, π<β<π2

.

4) ( )β+αsin , Tu 53sin =α ,

257cos −=β , π<α<

π2

, π<β<π2

.

17.13. ipoveT funqciis umciresi dadebiTi periodi:

1) xy 2sin= 2) 3

cos xy = 3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

= 55

3sin xy

4) 3xtgy π

= 5) xy sin= 6) xy 3cos=

!$18. trigonometriul gamosaxulebaTa

gamoTvla

g a m oT v al eT (##18.1 - 18.18):

18.1. 1) oo 4560cos tg−

A. 0 B. 21 C.

21

− D. 31

−

2) oo 150cos120sin +

130

A. 0 B. 23 C.

23

− D. 1

3) oo 180cos135 +tg

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

4) oo 225150sin tg−

A. 21 B. 1 C.

21

− D. -1

18.2. 1) 3

36

cos23

sin4 π+

π−

π tg

A. 3 B. 32 C. 33 D. 34

2) π+π−π43cos2

32

32

32sin32 tg

A. 2 B. 3 C. 4 D. 32

3) π−π−π43sin2

432

47cos23 tg

A. 2 B. 22 C. 33 D. 4

4) π−π+π67cos3

65sin2

353tg

A. -0,5 B. - 3 C. 0,5 D. 3

18.3. 1) oo

oo

3003240150cos5120sin3

tgtg −− 2)

oo

oo

210sin360cos300sin150

−tg

A. -1 B. 0 A. 21 B.

31

C. 1 D. 1,5 C. 21

− D. 31

−

3) oo

oo

240sin421063303330cos4

−−

tgtg 4)

45

67cos3

6113

35sin4

π+

π

π−

π

tg

tg

A. 21 B.

32 A. 32 B. 32−

C. 43 D.

54 C. 3 D. 3−

131

18.4. 1)o

oo

585420cos3750sin5

tg− 4)

o

oo

510sin2870cos48403 +tg

A. 1 B. 2 A. 5 B. -5

C. 3 D. 4 C. 35 D. 35−

3)

49

617sin5

37cos7

π

π−

π

tg 4)

625sin

619cos2

320

π

π+

πtg

A. 1 B. 2 A. 3 B. 32−

C. 3 D. 4 C. 33 D. 34− 18.5. 1) oooo 20cos80cos10cos70cos +

A. 1 B. 21 C.

31 D.

32

2) oooo 26cos86cos4cos64cos +

A. 31 B.

21

− C. 31

− D. 21

3) oooo 54sin84cos6cos36sin −

A. 21 B. 0 C.

21

− D. 1

4) 1211sin

127cos

12cos

125sin ππ

+ππ

A. 21 B.

22 C.

23 D. 1

5) oo

oo

356513565

tgtgtgtg

+

−

A. 0 B. 3

1 C. 1 D. 3

6)

92

91

92

9ππ

−

π+

π

tgtg

tgtg

A. 3− B. 3 C. 3

1− D.

31

132

18.6. 1) o

o

1511522tg

tg−

2) o

o

7517522tg

tg+

A. 3

1− B.

31 A. -1 B.1

C. 3− D. 3 C. 21

− D. 21

3) o

o

751751

2

2

tgtg

+

− 4)

121

121

2

2

π+

π−

tg

tg

A. 23

− B. 23 A.

23

− B. 23

C. 33

− D. 33 C.

33

− D. 33

18.7. 1) oo 75sin15sin6 2) 8

3cos8

cos ππ

A. 1,5 B. 2 A. 22 B.

42

C. 2,5 D. 3 C. 23 D.

43

3) πππ

65cos

1213cos

12sin8 4) ooo 330cos255cos75sin

A. 3− B. 3 A. 83

− B. 83

C. 32 D. 32− C. 43

− D. 43

18.8. 1) oo 75cos15cos 22 − 2) 8

3sin8

sin 22 π−

π

A. 22

− B. 22 A.

23

− B. 23

C. 23

− D. 23 C.

22

− D. 22

3) 2

12cos

12sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π 4) ( )275sin75cos oo −

133

A. 1 B. 23 A. 1 B.

23

C. 21 D. 2 C.

21 D. 2

18.9. 1) o

oo

10cos50sin40sin 2)

94cos

18cos

9sin

ππ

π

A. 41 B.

21 A.

21 B. 1

C. 1 D. 23 C.

23 D. 2

3) o

oo

5sin50sin40sin21

2− 4)

oo

o

10sin70sin10cos34

22 −

A. 1 B. -1 A. 8 B. 2 C. -2 D. 2 C. 4 D. 1

18.10. 1) 321arccos

23arcsin arctg+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

A. π B. 3π C.

32π

− D. 0

2) ( )3

121arccos31arcsin arctg−⋅+−

A. 0 B. 3π C. π− D.

2π

3) 12

1arccos2

1arcsin arctg+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

A. 4π

− B. 0 C. 2π D.

4π

4) ( )31arccos0arcsin −−+ arctg

A. 0 B. π− C. 3π D. π

18.11. 1) 2 2sin 8cos 1α α− + , Tu 1cos3

α =

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2) 2 25cos sin 2α α− + , Tu 1cos5

α =

134

A. 1 B. 2,2 C. 3,2 D. 4

3) 24 2

cos α− , Tu 0,5tgα =

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1,5

4) 25 2

sin α+ , Tu 5tgα =

A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

18.12. 1) 2 47cos 49sinα α− , Tu 1cos7

α =

A. -35 B. -30 C. -25 D. -20

2) 4 281cos 27sin 1α α− + , Tu 1sin3

α =

A. 60 B. 62 C. 64 D. 66

3) 22

6 3sincos

αα− , Tu 2ctgα =

A. 4 B. 6 C. 8 D. 9

4) 2245cos

sinα

α− , Tu 2tgα =

A. 4 B. -5 C. 9 D. –4

18.13. 1) 7sin 5cos4sin 3cos

α αα α−+

, Tu 12

tgα =

A. –0,5 B. 2 C. 0,5 D. –0,3

2) 3cos 5sin2sin 7cos

α αα α+−

, Tu 3tgα =

A. –18 B. -20 C. 6 D. 15

3) 7sin 3 cos3sin 3 cos

α αα α−+

, Tu 3 3tgα =

A. 5 B. 2 C. -3 D. 1

4) ( )6sin 30

cos

α

α

+ o

, Tu 2 3tgα =

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24

5) ( )2cos 60

cos

α

α

− o

, Tu 5 3tgα =

A. 12 B. 18 C. 15 D. 16

6) ( )4sin 60

2sin 3 cos

α

α α

−

−

o

, Tu 3 3tgα =

135

A. 0,8 B. 1 C. 1,2 D. 0,6

18.14.!! ! 2*! ,cos1sin1

2

2

α−α−

!Uv! 2=αtg !

A.!21 !!!!!!!B.!

41 !!!!!!! C. 2!!!!!!! D. 4

2) ,cos1

sin 2

α−α Uv!

41cos =α !

A. 41 B.

43 C.

45 D.

47

! ! !3) ( ),1cos1 222 +αα−α+ tgtg Uv!31cos =α !

A. 91 B.

92 C.

31 D.

32

!

!!!!!! 4) ,11 α

α+⋅

α+α

ctgctg

tgtg

!Uv! 4=αtg !

A. 41 B.

21 C. 2 D. 4

18.15.! 1) ( ) ,coscos

sinβαβ+α Uv! 2=αtg !eb! 3=βtg !

A. 6 B. 5 C. -5 D. -4!

!!!!!!! 2) ( ) ,coscos

cosβαβ−α

!Uv! 3=αtg !eb! 2=βtg !

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7!

!!!!!!!!! 3) ( )( ) ,

sincossincossinsin

βα+β−αβα−β+α Uv! 2=αtg !eb! 3=βtg !

A. 5 B. 6 C. 32 D.

23

!

!!!!!!!!! 4) ( )( ) ,

sinsincoscoscoscos

βα+β+αβα−β−α !Uv! 2=αtg !eb! 3=βtg !

A. 5 B. 6 C. 32 D.

23

18.16. 1) 2 2

2 216sin 3cos8sin 3cos

α αα α

−+

, Tu 0,5tgα =

A. 1,2 B. 1 C. 0,5 D. 0,2

2) 2 2

2 25sin 3cos3sin 5cos

α αα α+−

, Tu 2tgα =

A. 13 B. 8 C. 15 D. 5

136

3) 2

25sin 24cos 5

αα−+

, Tu 5tgα =

A. 1934

B. 1334

C. 517

D. 1

4) 2 2

22sin 3cos

5cos 2α α

α+

−, Tu 2tgα =

A. 5 B. 2 C. -7 D. –9

18.17.! ! 1) ,2coscossin ααα Uv!414sin =α !

A. 81 B.

121 C.

241 D.

161

!

!!!!!!!! 2) ,2

cos2

sin2

cos2

sin2 22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

−ααα Uv!

312sin =α !

A. 61 B.

61

− C. 121 D.

121

− !

!!!!!!!! 3) ( ),cossin814 22 αα− !Uv!214cos =α !

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4!

!!!!!!!! 4) ,2

cos2

sin4cos3 222 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ αα

−α Uv!432cos =α !

A. 412 B.

213 C.

212 D.

431

18.18. 1) ,sin

cos1αα− Uv! 4

2=

αtg !

A. 41 B.

21 C. 2 D. 4!

!!!!!!!! 2) ,3sin

3cos1αα+ Uv! 3

23

=αtg !

A. 31 B.

61 C. 3 D. 6!

!!!!!!!!! 3) ,sin22sinsin22sin

α−αα+α Uv!

21

2=

αtg !

A. 2 B. -4 C. 21 D.

21

− !

!!!!!!!!! 4) ,cos

2cossin

2sinαα

−αα Uv!

41cos =α !

137

A. 41 B.

21 C. 4 D. 2

18.19. 1) Tu ;2πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin sin sin cos cosα α α α⋅ + ⋅ =

A. 1 B. cos 2α− C. cos 2α D. –1

2) Tu 3;2πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin sin sin cos cosα α α α⋅ + ⋅ =

A. 1 B. sin 2α C. cos 2α D. –1

3) Tu 3;2πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin

sincos

tgα

αα

+ =

A. 0 B. 2tgα C. 2tgα− D. 1

4) Tu ;2πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin cos sintgα α α⋅ − =

A. 0 B. 2sinα− C. 2sinα D. sin 2α

18.20. 1) Tu 3 ;22πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin sin cos sinα α α− − =

A. cosα− B. cosα C. 0 D. 2sin cosα α−

2)Tu ;4 2π πα ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin ( )cos sin cos sin cos 2α α α α α− ⋅ + + =

A. 2cos 2α B. 1 sin 2α+ C. -1 D. 0

3)Tu ;2πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠,maSin ( ) 2cos sin cos sin 2cosα α α α α− ⋅ + + =

A. 1 sin 2α− B. cos 2α C. 1 D. -1

4) Tu 3 ;22πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, maSin 2 cos sin cos sin 2α α α α− + =

A. 2sin 2α B. 22cos α C. 22cos α− D. 1 18.21. daalageT zrdadobis mixedviT

1) o10sin ,

o87cos da o18sin

A. o87cos ,o10sin ,

o18sin B. o10sin ,o18sin ,

o87cos

C. o18sin ,o87cos ,

o10sin D. o87cos ,o18sin ,

o10sin 2) o25sin , o20cos da

o25cos A. o20cos ,

o25cos ,o25sin B. o25sin ,

o25cos ,o20cos

C. o25cos ,o25sin ,

o20cos D. o20cos ,o25sin ,

o25cos 3) o35tg , o25sin da o40tg

138

A. o35tg ,o25sin ,

o40tg B. o40tg ,o25sin ,

o35tg

C. o35tg ,o40tg ,

o25sin D. o25sin ,o35tg ,

o40tg

4) o250cos , o640sin da o580sin

A. o580sin ,o250cos ,

o640sin B. o250cos ,o580sin ,

o640sin

C. o640sin ,o580sin ,

o250cos D. o640sin ,o250cos ,

o580sin

gamoTvaleT (##18.22-18 .26) :

18.22. 1) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

222 51515cos ooo tgtg

2) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+⋅

2210110110 ooo tgtgctg

3) ( ) ( )oooo 5cos5sin35cos5sin2 4466 +−+

4) oo

o

10cos10sin20sin34

66

2

+−

18.23. 1) oo 72cos36cos ⋅ 2) 5

4cos5

2cos ππ⋅

3) ooo 80cos40cos20cos ⋅⋅ 4)

74cos

72cos

7cos π

⋅π

⋅π

18.24.!1) ,cos2cos12cos14 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α−α⋅

α−α+ tg Uv!

43sin =α !

!!!!! 2) ,sin1sin116

α+α−

⋅ Uv!43

24=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

−πtg !

!!!!!!3) ,2424⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

−π tgtg Uv!

21cos =α !

!!!!!!4) ( ) ( ) ,coscossinsin 22 β+α+β+α Uv!23

2cos =

β−α!

18.25. 1) ,2sin α Uv!51cossin =α+α !

2) ,cossin 33 α+α Uv!21cossin =α+α !

!!!!!!3) ,22 α+α ctgtg Uv! 6=α+α ctgtg !

4) ,2sin α Uv! 12=α+α ctgtg !

18.26. 1) o15sin 2) o75tg 3) o105cos 4) o255sin

139

$19. trigonometriuli gantolebebi

! !


19.1. 1) 233sin =x

A. ( ) kk ππ+−

31 B. ( ) kk

391 ππ

+− C. kππ+

3 D. kππ

+±18

2) ( )2112sin =−x

A. ( ) kk ππ+−

61 B. ( ) kk

2121 ππ

+− C. ( ) kk

221

121 ππ

++− D. kπ

3) 21

4cos =

x

A. kππ 234

+± B. kππ 832

+± C. kππ 834

+ D. kππ 834

+±

4) 1102

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ox

A. ko720 B. koo 72020 + C. koo 72010 + D. koo 36010 +

19.2. 1) ( )233cos −=− x

A. kππ 26+± B. kππ 2

653 −± C. kππ 2

6+± D. kππ 2

33 −±

2) 23

63sin −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πx

A. ( ) kk ππ+− +

31 1 B. ( ) kk ππ

+−3

1 C. kππ+

6D. ( ) kk πππ 31

21 +−+ +

3) ( ) 1652 =− oxtg

A. koo 9045 + B. koo 9055 + C. koo 180110 + D. koo 18045 +

4) 343

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πxtg

A. kππ 34+ B. kππ 3

4+− C. kππ

+−3

D. kππ 33+−

19.3.!!! ! 1) 0sin2sin 2 =− xx

A. kπ B. kπ+π−

2 C. kπ+π

2 D. kπ+π

4

2) 0cos32sin =− xx

140

A. kπ B. kπ+π4

C. kπ+π3

D. kπ+π2

3) 5,0sincos 22 =− xx

A. kπ+π±

6 B. kπ+π

±4

C. kπ+π±

3 D. kπ+π

±2

4) 02

sin4sin =−xx

A. kπ+π2

B. kπ+π−

2 C. kπ2 D. kπ

19.4. ipoveT gantolebis amonaxsni miTiTebul SualedSi

2*!21sin =x , ] [oo 180;90

A. 30 o B. 120 o C. 150 o D. 135 o

2) 23cos =x , ] [oo 0;90−

A. 360 o B. -45 o C. 300 o D. -30 o

3) 233sin −=x , 30 ;0⎤ ⎡−⎦ ⎣

o o

A. -20 o B. 100 o C. -10 o D. 20 o 4) 34 =xtg , ] [oo 90;30

A. 15 o B. 60 o C. 45 o D. 30 o !

a m o x s e n i T g a n tol e b a d a i p o v e T m i T i -

T e b ul i a m o n a x s n i (##19.5 – 19.9):

19.5. 1) xx cos2sin = )umciresi dadebiTi*

!!! A. 6π B.

2π C.

4π D. π

2) xx sin2sin = (udidesi uaryofiTi)!

A. π− B. 2π

− C. 3π

− D. π−32

!

3) xx 2sin22cos = )udidesi uaryofiTi)!

!!!! A. 4π

− B. 6π

− C. 3π

− D. π−32

!

4) xx 22 cos1sin += )umciresi dadebiTi)!

A. 3π B.

2π C.

4π D.

6π

!

19.6. 1) xx sinsin2 2 = )umciresi dadebiTi)!

141

A. π B. 3π C.

4π D.

6π

!

2) xx 2cos2cos3 = (udidesi uaryofiTi*!!

A. 3π

− B. 6π

− C. 4π

− D. 2π

− !

3) xx cos21sin 2 =− (udidesi uaryofiTi*!

A. 2π

− B. 4π

− C. 3π

− D. 6π

− !

4) xx 2sin22cos −= (umciresi dadebiTi)!

A. 3π B. π C.

4π D.

6π

19.7. 1)! 03cos2cos2 =−− xx !!!(umciresi dadebiTi)!

A. 4π B.

2π C. π D.

23π

! ! 2)! 02sin5sin2 2 =+− xx !!(umciresi dadebiTi)!

A. 6π B.

4π C.

2π D. π

! ! 3)! 0232 =+− tgxxtg !!(umciresi dadebiTi)

A. 6π B.

3π C.

2π D.

4π

! ! 4)! 0343 2 =+− tgxxtg !!(umciresi dadebiTi)

A. 6π B.

4π C.

3π D.

2π

19.8. 2*! 04sin23cos2 2 =−+ xx !!(umciresi dadebiTi)

A. 6π B.

4π C.

3π D.

2π

3*! 0cossin2 2 =+ xx !(udidesi uaryofiTi)

A. 2π

− B. π− C. 4

3π− D.

6π

−

! ! 4*! 01sincos2 2 =−+ xx !!(udidesi uaryofiTi)

A. π− B. 4π

− C. 3π

− D. 6π

−

! ! 5*! 024cos

12 =+− tgx

x!!(umciresi dadebiTi)

A. 6π B.

3π C.

4π D.

2π

142

19.9. 1) xx cos12

cos += (umciresi dadebiTi)

A. 2π B. π C. π

23 D. π

32

2) xx cos12

sin2 −= (udidesi uaryofiTi)

A. π− B. π−23 C. π−2 D. π−

32

3) 02

cossin =−xx (umciresi dadebiTi)

A. π B. 3π C. π

21 D.

6π

4) 02coscos1 =++ xx (udidesi uaryofiTi)

A. π− B. π−32 C.

2π

− D. 3π

−


19.10. 2*! 02cos2sin =− xx !!! ! 3*! 0cos3sin =− xx !!!!

! 4*! 0cossin3 22 =− xx !!! 5*! 0cos27sin 33 =− xx !!!

19.11. 2*! 0cos6cossin33sin 22 =+⋅− xxxx !

! 3*! 0cos32cossin7sin3 22 =+⋅− xxxx !

! 4*! 1coscossinsin2 22 =−⋅+ xxxx !!

! 5*! 2coscossin2sin3 22 =−⋅− xxxx !!

19.12. 1) xx cos1sin −= 2) xx cos1sin3 += !

3) ( )xx 2cos132sin += 4) ( )xx cos13sin +=

19.13. 2*! xx cos2cos = !! ! 3*! 5,0cossin 22 =− xx !!!

! 4*! 5,0sincos 44 =− xx !! ! 5*! xxx sin32

sin2

cos 44 =− !!!

19.14. 1) 04sin6sin =− xx 2) 07cos3cos =+ xx !3) xtgtgx 2= 4) tgxxtg =4 !

19.15. 2*! tgxxxtgx +=+⋅ cos21cos2 !!!

! 3*! 0cos21cos2 =+++⋅ tgxxxtgx !!

! 4*! xxxxxx cossin2sin2coscos2sin ⋅=⋅−⋅ !!

! 5*! xxxxx 2sinsin2sincos2cos =⋅+⋅ !!!

143

19.16. ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

gantolebas aqvs amonaxsni:

1) sinx=a+1; 2) 2-cos3x=a; 3) sin22x-(a-2)sin2x-2a=0; 4) cos23x-2(a+2)cos3x-8a-32=0

$20. funqciis gansazRvris are, mniSvnelobaTa

simravle. funqciis udidesi da umciresi

mniSvnelobebi

20.1. 1) Tu ( ) 3 2 1f x x x= − − + , maSin f(-2)= A. 8 B. 7 C. -7 D. 5 2) Tu ( ) 1

2log 3 1 2 xf x x −= − − , maSin f(-1)= A. -2 B. 0 C. 4 D. 6 3) Tu ( ) 3 3log 6 6 log 1f x x x= − − + , maSin f(-5)= A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4) Tu ( ) ( ) 23 1 2 3 7f x x x x x= − ⋅ − + − − , maSin f(-1)=

A. 10 B. 21 C. -9 D. –28 20.2. ipoveT funqciis gansazRvris are

1) 1316 +−−= xxy

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤− 16;

31 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

31 C. ] [16;∞− D. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡− 16;

31

2) 1

17−

+−=x

xy

A. ] ]7;1 B. ] [∞;1 C. ] [7;1 D. ] [∞;7 3) ( ) ( )62log321log 52 +−−= xxy

A. ] [3;−∞− B. ] ]1;3− C. ] [5,0;3− D. ] [∞;5,0 4) ( ) ( )xxy −+−= 4log23lg2 2

A. ] [∞;4 B. ] [4;5,1 C. ] [4;∞− D. ] [5,1;∞−

5) 128 +−= xy

A. [ [∞;2 B. [ ]2;0 C. ] ]2;∞− D. ] [0;∞− 6) ( )224lg +−= xy

A. ] [0;∞− B. ] [∞;0 C. ] [0;4− D. ] [4;0

ipoveT funqciis udidesi mniSvneloba (20.3; 20.4):

144

20.3. 1) 13 +−= xy A. 3 B. 2 C. 4 D. 0 2) ( ) 732 2 +−−= xy

A. 7 B. 5 C. -2 D. 9 3) 5y x= − A. 6 B. 5 C. 0 D. 10 4) 8 2 1y x= − + A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

5) 62

yx

=+

A. 1 B. 2 C. 6 D. 3

6) 55 3 2

yx

=+ −

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 20.4. 1) 322 ++−= xxy A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 2) 2sin5 −= xy

A. -2 B. 3 C. -7 D. 0

3) 3cos2

5+

=x

y

A. 5 B. 0 C. 1 D. 3

4) 24

2y

x=

+

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5) 274 5

yx x

=− +

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

6) 29

2 4 5y

x x=

− +

A. 3 B. 2 C. 4 D. 9

ipoveT funqciis umciresi mniSvneloba (20.5 ;

20 .6) :

20.5. 1) 32 −= xy

A. 2 B. -5 C. -3 D. 0 2) 523 ++= xy

145

A. 0 B. 3 C. 8 D. 5 3) 45 2 −= xy

A. -4 B. 5 C. 1 D. -9 4) ( )2153 −+= xy

A. 5 B. 3 C. -2 D. 0 20.6. 1) 652 +−= xxy

A. 41

− B. 21

− C. 6 D. 2

2) 132 2 +−= xxy

A. 61

− B. 81

− C. 121

− D. 91

−

3) xy cos32 −=

A. 1 B. 5 C. -1 D. -3

4) 4sin3

7−

=x

y

A. -7 B. -1 C. 1 D. 0

ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle (##20.7; 20.8):

20.7. 1) 222 ++= xxy A. ] [∞∞− ; B. [ [∞;1 C. [ [∞;2 D. [ [∞;0 2) 265 xxy −+= A. ] ]14;∞− B. ] ]5;−∞ C. ] [∞∞− ; D. ] ]9;∞−

3) xy −= 3

A. ] ]3;∞− B. [ ]3;0 C. [ [∞;3 D. [ [∞;4

4) 6332 −−= xy

A. ] [0;∞− B. ] ]2;∞− C. [ ]3;0 D. [ [∞;2 20.8. 1) xy sin21−=

A. [ ]1;0 B. [ ]0;3− C. [ ]3;1 D. [ ]3;1− 2) 2cos3 −= xy

A. [ ]1;0 B. [ ]1;5− C. [ ]5;0 D. [ ]2;5 −−

3) 3sin2

5−

=x

y

A. [ ]1;5 −− B. [ ]0;5,2− C. [ ]0;5− D. [ ]5;0

4) x

ycos34

7−

=

146

A. [ ]4;0 B. [ ]5,3;1 C. [ ]7;1 D. [ ]1;7−

ipoveT funqciis gansazRvris are (##20.9-20.12):

20.9. 1) 22 164 xxy −+−= 2) 6322 −−= xxy

3) 422 ++−= xxy 4) x

xy−+

=3

42

20.10. 1) ( )27log xxy −= 2) ( )4lg 2 −= xy

3) ( ) 13lg1

+−=

xy 4)

5lglg1

−−

=xxy

5) ( )34log 23 −−= xxy 6) ( ) ( )22

2 9lg45log xxxy −−+−=

20.11. 1) 3349 +⋅−= xxy 2) 24225 −⋅−⋅= xxy

3) 5log4log 222 −+= xxy 4) xxy 2

33 log2log3 −−=

20.12. 1) x

xy2

2

log23log

−−

= 2) 51log 3,0 +

−=

xxy

3) ( ) ( )3 2log 5 2xy x−= − 4) ( ) ( )21log 4 3xy x x+= − +

20.13. ipoveT funqciis udidesi mniSvneloba

1) 12

2 −−= xy 2) 222

31 −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y

3) ( )186log 2

31 +−= xxy 4) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

4455log 2

51 xxy

20.14. ipoveT funqciis umciresi mniSvneloba

1) 1227 +−= xxy 2)

542

21 −+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y

3) ( )25124log 22 +−= xxy 4) ( )172log 2

4 ++= xxy ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle (##20.15-20.17):

20.15. 1) 522 ++= xxy 2) 228 xxy −−=

3) 342 +−= xxy 4) 24 xxy −=

20.16. 1) 2

10 xy −= 2) 5423 ++= xxy

147

3) 222

31 +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y 4)116 2

51 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xx

y

20.17. 1) ( )10lg 2 += xy 2) ( )25log 2

51 += xy

3) ( )1log 2

22 += xy 4) ( )1log 2

55 −= xy

20.18. ipoveT funqciis udidesi da umciresi mniSvneloba

miTiTebul segmentze 1) ,56 xy −= [ ]3;1∈x 2) ,74 −= xy [ ]6;4∈x

3) ,22 xxy −= [ ]3;0∈x 4) ,142 +−−= xxy [ ]3;0∈x

5) ,sin3 xy = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

∈3

;4

x 6) ,cos6 xy = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ−∈

4;

4x

20.19. ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle

miTiTebul segmentze 1) ,23 −= xy [ ]4;1−∈x 2) ,53 xy −= [ ]3;0∈x

3) ,742 −−= xxy [ ]4;2∈x 4) ,65 2xxy −+= [ ]1;3 −−∈x

! 5) 2sin4 −= xy , [ ]π∈ ;0x 6) xy cos23−= , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

∈2

3;3

x

20.20. GgamoTvaleT

1) ( )( )3 ,f g Tu ( ) ( )2 1, 2;f x x g x x= − = +

2) ( )( )1 ,f g − Tu ( ) ( )22 3, 2 ;f x x g x x= − = −

3) ( )( )30 ,f g o Tu ( ) ( )2 1, sin ;f x x x g x x= − + =

4) ( )( )2 ,f g Tu ( ) ( )283, log .f x x g x x= − + =

20.21. ipoveT

1) ( )( )f f x , Tu ( ) 3 2;f x x= +

2) ( )( )f f x , Tu ( ) 2 5;f x x= +

3) ( )( )f g x , Tu ( ) ( )2 1, 2;f x x g x x= + = +

4) ( )( )f g x , Tu ( ) ( )2 , 1 .f x x x g x x= + = −

148

$21. koordinatTa sistemebi.

funqcia. funqciis grafiki

21.1. ipoveT manZili M da N wertilebs Soris, Tu:

1) ( ) ( )7 , 13M N

A. 20 B. 6 C. 8 D. 7 2) ( )8M − , ( )3N A. 5 B. 8 C. 11 D. 9 21.2. ipoveT manZili P da Q wertilebs Soris, Tu:

1) ( )1;3−P , ( )1;4Q

A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2) ( )1;5 −−P , ( )7;5−Q

A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 3) ( )5;2−P , ( )9;1Q

A. 3 B. 4 C. 5 D. 5 4) ( )6;7 −−P , ( )1;5 −Q

A. 13 B. 13 C. 12 D. 5

21.3. 1) Tu ( ) 3xf x = , maSin ( )( )

31

f xf x

+

−=

A. 9 B. 27 C. 81 D. 243

2) Tu ( ) 12

x

f x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, maSin ( )( )

21

f xf x

−

+=

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

3) Tu ( ) sinf x x= , maSin 2 2

f x f xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

A. 0 B. 2 C. 2sinx D. 2cosx

4) Tu ( ) 2logf x x= , maSin ( ) ( )1 12 22 4

f xf x −+ − =

A. –1 B. -2 C. 2 D. 3 21.4. 1) naxazze mocemulia toli

sigrZis da urTierTmarTo-

buli PQ da RS monakveTebi.

ipoveT S wertilis koo-

rdinatebi.

)2,1(−P )2,7(Q

0

S

)3,2( −R

y

x

149

A. (-2;5) B. (2;5) C. (-2;-5) D. (2;-5) 2) urTierTmarTobuli MN da KL monakveTebi

ikveTebian. ipoveT L wertilis koordinatebi, Tu

M(-4,1), N (2,1), K (1,-8) da MNKL 2= .

A. (1;4) B. (-4;2) C. (2;4) D. (1;-4) 21.5. 1) ipoveT f(x+2)=0 gantolebis amonaxsni, Tu f(x)=0 gantolebis amonaxsnia mxolod x=-3. A. -5 B. -2 C. -6 D. –4

2) ipoveT f(3-x)=0 gantolebis amonaxsni, Tu y=f(x) fu-nqciis grafiki abscisTa RerZs kveTs mxolod (1;0)

wertilSi.

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 3) ipoveT y=f(x) funqciis grafikis abscisTa RerZTan

gadakveTis wertili, Tu f(x+5)=0 gantolebis amonax-

snia mxolod x=-3. A. (2;0) B. (-3;0) C. (-8;0) D. (-5;0) 4) ipoveT f(x)=0 gantolebis amonaxsni, Tu f(2x-1)=0 gantolebis amonaxsnia mxolod x=3. A. 7 B. 3 C. 2 D. 5 21.6. ipoveT funqciis grafikis Ox RerZTan gadakveTis we-

rtilis koordinatebi:

1) 11

5−

−=

xy

A. ( )0;6 B. ( )0;2 C. ( )0;3− D. ( )6;0

2) 342 +−= xxy A. ( )0;0 B. ( )0;0 da ( )0;1 C. ( )0;3 da ( )0;2 D. ( )0;1 da ( )0;3 3) xy 5log1−= A. ( )0;1 B. ( )1;0 C. ( )0;5 D. ( )0;25

4) 421

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

y

A. ( )0;2 B. ( )0;1 C. ( )2;0 D. ( )0;2− 21.7. ipoveT funqciis grafikis Oy RerZTan gadakveTis we-

rtilis koordinatebi:

1) 325 2 +−= xxy A. ( )0;3 B. ( )2;0 − C. ( )3;0 D. ( )0;0

150

2) 1

3−

=x

y

A. ( )0;0 B. ( )0;3− C. ( )3;2 D. ( )3;0 − 3) 53 −= xy A. ( )5;0 B. ( )5;0 − C. ( )0;5− D. ( )0;0 4) xy cos3=

A. ( )0;0 B. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π 3;

2 C. ( )3;0 D. ( )1;0

21.8. a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs ( )3;aM werti-

li funqciis grafikze:

1) 12 2 −= xy

A. 3± B. ± 1 C. 2± D. 2±

2) 1

3−

−=x

y

A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 3) xy 3= A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 4) xy 2log= A. 1 B. 8 C. 4 D. 3 21.9. b -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs ( )bM ;2

wertili funqciis grafikze:

1) 3

2−

−=x

y

A. -1 B. 2 C. 3 D. -3 2) xxy 32 2 +−= A. -6 B. -4 C. -2 D. 0 3) xy 4log2= A. 2 B. 4 C. 8 D. 1

4) 4

sin3 xy π−=

A. 3 B. -3 C. 1 D. –1 21.10. a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs M wertili

funqciis grafikze, Tu:

1) ( )5;2M , 3−= axy A. 4=a B. 1=a C. 4−=a D. 2=a

151

2) ( )2;2M , 11+

−=

xay

A. 4=a B. 1=a C. 1−=a D. 0=a 3) ( ),5;1−M 322 +−= xaxy

A. 1=a B. 2=a C. 1−=a D. 0=a 4) ( ),24;1M 15 −= axy

A. 1=a B. 0=a C. 2=a D. 2−=a ipoveT c , Tu funqciis grafiki gadis M da

N wertilebze (#21.11-21 .13) : 21.11. 1)

xay = , ( )1;3M , ( )2;N c−

A. 9 B. 3 C. 31 D.

91

2) xay = , ( )1;2M , ( );8N c

A. 3 B. 1 C. 2 D. 0,5 3) xy alog= , ( )2;1M , ( )8;N c

A. 31 B. 1 C. 3 D. 6

4) xy alog= , 1 ; 13

M ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( );2N c

A. 3 B. 9 C. 6 D. 2 21.12. 1) 5xy a= ⋅ , M(1;25), N(c;125) A. 1 B. 2 C. 3 D. –4 2)

xy c a= ⋅ , M(1;8), N(2;4) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3) 3logy a x= ⋅ , M(9;1), N(c;2) A. 81 B. 27 C. 9 D. 3 4) ( )logay cx= , M(1;2), N(8;3) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

21.13. 1) siny a x= , M ; 22π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠, N ;

6cπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

A. -1 B. 1 C. 2 D. –2

2) y atgx= , M ;16π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠, N ;

3cπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

A. 1 B. -1 C. 3 D. -3

152

3) ky

x c=

+, M(2;-1), N(-2;3)

A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 4)

3y ax= , M(1;2), N(-2;c) A. 2 B. 16 C. -16 D. –8 21.14. ipoveT c, Tu:

1) cosy kx= funqcia 0;2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

SualedSi nulis to-

li xdeba mxolod 4

x π= wertilSi da misi grafiki gadis

3 ;8

cπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

wertilSi.

A. -1 B. 1 C. 22

− D. 22

2) y tgkx= funqcia 0;2π⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠ SualedSi erTis toli

xdeba, mxolod 16

x π= wertilSi da misi grafiki gadis

;12

cπ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

wertilSi.

A. 3 B. - 3 C. 1 D. –1 21.15. ipoveT Semdegi funqciebis grafikebis gadakveTis

wertilTa raodenoba: 1) 5y = , 2 1y x= +

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2) 5y x= − , 3 2y x= −

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3) 2 1y x= + , y x=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4)

2 4 3y x x= − + , 2y x= +

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5) 3 6

y x xπ π⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, siny x=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

153

6) 6 3

y x xπ π⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, cosy x=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 21.16. x -is ra mniSvnelobebisaTvis Rebulobs tol mniSvne-

lobebs funqciebi:

1) 652 −−= xxy da 1+= xy

A. -1; 7 B. 1; 7 C. 2; 3 D. 3; 4 2) 352 2 −+= xxy da xxy 32 +=

A. -1;-3 B. 1; 3 C. -3; 1 D. 3; -1

21.17. ipoveT funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilebi:

1) xy31

−= , 1=y

A. (1;3) B. (-3;-1) C. (3;1) D. (-3;1) 2) ,13 −= xy xy −= 3 A. (-1;2) B. (1;2) C. (2;1) D. (-2;1) 3) ,1223 =+ yx 75 =− yx A. (2;3) B. (-2;3) C. (2;-3) D. (3;2) 4) ,532 +−= xxy 2+= xy A. (1;3), (3;5) B. (3;1), (3;5) C. ((1;3), (5;3) D. (1;4) 21.18. ipoveT parabolis wveros koordinatebi: 1) 46 2 −−= xxy A. ( )4;1 B. ( )4;2 C. ( )5;3 D. ( )11;1 −−

2) 182 2 +−= xxy A. ( )1;0 B. ( )5;1 − C. ( )11;1− D. ( )7;2 −

3) 2483 xxy −−= A. ( )7;1 B. ( )7;1− C. ( )3;0 D. ( )5;2 −

4) ( ) 363 2 +−= xy A. ( )12;1 B. ( )39;0 C. ( )3;2 D. ( )84;1−

21.19. romel sakoordinato meoTxedSi mdebareobs

cbxaxy ++= 2 parabolis wvero, Tu:

1) 0>a , 042 <− acb , 0>b ;

A. I B. II C. III D. IV 2) 0<a , 042 >− acb , 0a , 042 >− acb , 0<b ;

154

A. I B. II C. III D. IV 4) 0<a , 042 <− acb , 00 B. 02ba

− < C. b>0 D. b2-4ac<0

2)naxazze gamosaxulia 2y ax bx c= + +

funqciis grafiki. grafikis mixed-viT

daadgineT romeli utolobaa WeSmariti.

A. c<0 B. b>0 C. 02ba< D. b2-4ac<0

3) cnobilia, rom 2y ax bx c= + + parabolis arcerTi

wertili mesame meoTxedSi ar mdebareobs. Semdegi

utolobebidan romelia mcdari? A. a>0 B. c<0 C. ac>0 D. c>0 4) cnobilia, rom

2y ax bx c= + + parabolis arcerTi

wertili mesame da meoTxe meoTxedSi ar mdebareobs.

Semdegi utolobebidan romelia aucileblad WeSma-riti?

A. 02ba< B. 0

2ba> C. b2-4ac≤0 D. c<0

21.21. 1) cnobilia, rom y=ax2+2x+c parabolis arcerTi

wertili meore meoTxedSi ar mdebareobs. Semdegi

daskvnebidan romelia WeSmariti? A. a>0, c<0 B. a<0, c<0 C. a>0, c>0 D. a<0, c>0 2) cnobilia, rom y=ax2+2x+c parabolis arcerTi

wertili meore meoTxedSi ar mdebareobs. Semdegi

daskvnebidan romelia mcdari? A. a<0 B. c<0 C. c>0 D. ac>0 3) cnobilia, rom y=ax2+bx+3 parabolis wvero meoTxe

meoTxedSi mdebareobs. Semdegi daskvnebidan rome-lia

WeSmariti? A. a<0, b<0 B. a>0, b2<12a C. a>0, b<0 D. a>0, b>0 4) qvemoT moyvanili pirobebidan SearCieT is, romelic

uzrunvelyofs imas, rom y=3x2+bx+c parabolis wertilebi

mxolod mesame meoTxedSi ar mdebareobdnen (e. i. mdeba-

y

0x

y

x0

155

reobdnen pirvel, meore da meoTxe meoTxedebidan

TiToeulSi).

A. c<0, b>0, b2-12c>0 B. c>0, b<0, b2-12c>0 C. c>0, b>0, D. c<0, b>0, 21.22. ipoveT funqciis zrdadobis Sualedi:

1) 1

3+

−=x

y

A. ] [1;−−∞ da ] [∞− ;1 B. ] [∞;2 C. ] [1;1− D. ] [1;−−∞

2) x

y−

=2

1

A. ] [1;−∞ B. ] [2;−∞ da ] [∞;2 C. ] [∞;2 D. ] [2;2− 3) 182 2 +−= xxy A. ] [2;−∞ B. ] [2;2− C. ] [∞;2 D. ] [∞;0 4) 2215 xxy −−=

A. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞;

45 B. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−

45; C. ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤−

45;

45 D. ] [0;−∞

21.23. ipoveT funqciis klebadobis Sualedi:

1) 1

2−

=x

y

A. ] [0;−∞ B. ] [1;−∞ da ] [∞;1 C. ] [1;1− D. ] [ ] [∞−∞ ;00; U

2) 2

2+

=x

y

A. ] [2;−−∞ da ] [∞− ;2 B. ] [2;2− C. ] [0;−∞ da ] [∞;0 D. ] [2;0 3) xxy 62 −=

A. ] [∞;3 B. ] [3;3− C. ] [0;−∞ D. ] [3;−∞ 4) 362 ++−= xxy A. ] [3;−∞ B. ] [3;3− C. ] [∞;3 D. ] [0;−∞ 21.24. y=kx+b wrfivi funqciis (k≠0)grafiki aucileblad

gadakveTs:

1) ordinatTa RerZis dadebiT nawils, Tu

A. k>0 B. b>0 C. b<0 D. k<0 2) ordinatTa RerZis uaryofiT nawils, Tu

A. k>0 B. b>0 C. b<0 D. k<0 3) abscisTa RerZis dadebiT nawils, Tu

A. k>0, b<0 B. k>0, b>0 C. k<0, b<0 D. k=b 4) abscisTa RerZis uaryofiT nawils, Tu

A. k<0, b>0 B. k>0, b<0 C. k>0, b>0 D. k=-b 5) abscisTa RerZis dadebiT nawils, Tu

156

A. k=2b B. k>b C. k=-b D. k=b 6) abscisTa RerZis uaryofiT nawils, Tu

A. k>b B. k=-b C. k=-2b D. k=b 21.25. mocemulia y=kx+b funqcia da Semdegi ori piroba: I. b>0, II. k=-1

imisaTvis, rom gavarkvioT am funqciis grafiki gaivlis Tu

ara sakoordinato sibrtyis meore meo-TxedSi, mocemuli

pirobebidan

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;

B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;

C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc

erTi cal-calke; D. sakmarisia orive piroba cal-calke.

21.26. mocemulia y=kx+b wrfivi funqcia (k≠0) da Semdegi ori piroba:

I. k=b II. b>0 imisaTvis, rom gavarkvioT am funqciis grafiki gadakveTs

Tu ara abscisTa RerZis uaryofiT na-wils, mocemuli

pirobebidan

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia I da II piroba erTad, magram arc


21.27. mocemulia y=kx+b wrfivi funqcia (k≠0) da Semdegi ori piroba:

I. k=-2b II. k<0 imisaTvis, rom gavarkvioT am funqciis grafiki gadakveTs

Tu ara abscisTa RerZis dadebiT nawils, mocemuli

pirobebidan

A. sakmarisia I da II piroba erTad, magram arc

erTi cal-calke; B. sakmarisia orive piroba cal-calke;

C. sakmarisia I piroba, II piroba ki ar aris

sakmarisi; D. sakmarisia II piroba, I piroba ki ar aris

sakmarisi.

21.28. 1) f(x)=x2+px+q funqciisaTvis mocemulia ori piroba:

I. q>0 II. f(2)=-3

157

x2+px+q=0 gantolebis fesvebis raodenobis dasadgenad:

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi; B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi; C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc


21.29. mocemulia y=x2+bx+c kvadratuli funqcia da

Semdegi sami piroba:

I. b2-4c<0 II. c>0 III. b<0 imisaTvis, rom gavarkvioT romel sakoordinato me-

oTxedSia am kvadratuli funqciis grafikis wvero,

mocemuli pirobebidan

A. sakmarisia I da II piroba erTad; B. sakmarisia II da III piroba erTad; C. sakmarisia I da III piroba erTad; D. sakmarisia samive piroba cal-calke.

21.30. 1) )(xfy = zrdadi funqcia mocemulia cxriluri sa-

xiT da iRebs mxolod naturalur mniSvnelobebs.

x 1 2 3 4 5 6 y 2 m n 7 20 21

SearCieT m da n ise, rom funqciis mniSvnelobebis

saSualo ariTmetikuli 10-is toli iyos.

2) )(xfy = cxriluri saxiT mocemuli zrdadi funqcia

iRebs mxolod kent naturalur mniSvnelobebs.

x 1 2 3 4 5 6 y m n k 15 17 19

SearCieT m , n da k ise, rom funqciis mniSvnelobebis saSualo

ariTmetikuli 10-is toli iyos.

3) mocemulia zrdadi funqciis mniSvnelobebi:

x 1 2 3 4 y m n 14 32

SearCieT m da n ise, rom funqciis mniSvnelobaTa

saSualo ariTmetikuli iyos 15 da am oTxeulidan

moiZebnos erTi wyvili, romlis saSualo ariTmetikuli 10-

ia.

4) mocemulia eqvsi ricxviTi monacemi:

I II III IV V VI

3 7 9 17 8 16

romeli ori ricxvi unda amoviRoT, rom darCenili

158

monacemebis saSualo ariTmetikuli ar Seicvalos?

21.31. 1) ipoveT m, Tu wertilebi (m;-1) da (-8;m2)

koordinatTa saTaveze gamaval wrfeze mdebareoben.

2) ipoveT m, Tu wertilebi (m;1) da (8;m) im para-

bolaze mdebareoben, romlis wvero koordinatTa

saTaveSia.

21.32. SeadgineT wrfis gantoleba, romlis kuTxuri koefi-

cienti udris k -s da gadis mocemul wertilze, Tu:

1) ( )3, 0;2 ;k M= 2) ( )4, 0; 4 .k M= − −

21.33. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic abscisaTa

RerZis dadebiT mimarTulebasTan adgens α kuTxes da

gadis mocemul wertilze, Tu:

1) ( )45 , 0;3 ;Mα = o 2)

23πα = , ( )0; 4 .M −

21.34. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic paraleluria

mocemuli wrfis da gadis mocemul wertilze, Tu:

1) ( )2 1, 1;2 ;y x N= − 2) ( )3 7, 2; 1 .y x N= − + − −

21.35. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic gadis or

mocemul wertilze, Tu:

1) ( ) ( )1; 2 , 2;3 ;M N− − 2) ( ) ( )4;2 , 3; 1 .M N− −

21.36. ipoveT sakoordinato RerZebiTa da mocemuli wrfe-

ebiT SemosazRvruli figuris farTobi:

1) ,4−=x 6−=y 2) 6+−= xy 3) 623 =− yx 4) xy344 −=

21.37. 1) ipoveT cxxy ++= 62 parabolis Ox RerZTan gadak-

veTis wertilebi, Tu is Oy RerZs kveTs ( )8;0

wertilSi.

2) ipoveT cxxy ++= 32 parabolis Oy RerZTan gadak-

veTis wertili, Tu misi Ox RerZTan gadakveTis erT-erTi

wertilia ( )0;3 .

3) ipoveT b da c , Tu cbxxy ++= 22 parabolas Ox Re-rZTan aqvs erTaderTi saerTo wertili ( )0;1 .

4) ipoveT b da c , Tu cbxxy ++−= 2 funqciis grafiki

Ox RerZs kveTs ( )0;1 da ( )0;3 wertilebSi.

5) ipoveT b da c , Tu cbxxy ++= 2 funqciis grafiki

Oy RerZs kveTs ( )5;0 wertilSi, xolo Ox RerZs ( )0;1 wer-

159

tilSi.

6) ipoveT cbxxy ++= 2 parabolis wvero, Tu es para-

bola Ox RerZs kveTs wertilebSi ( )0;1 da ( )0;3 .

21.38. 1) ipoveT a da c , Tu cxaxy +−= 82 funqcia umcires

mniSvnelobas iRebs 2=x wertilSi da es mniSvneloba 0-is tolia.

2) ipoveT a da c , Tu cxaxy ++= 42 funqcia udides

mniSvnelobas iRebs 1=x wertilSi da es mniSvneloba 8-is tolia.

3) ipoveT b da c, Tu cbxxy ++−= 2 funqcia nuli xdeba

mxolod 2−=x -sTvis.

4) ipoveT b da c, Tu cbxxy ++= 22 funqcia nuli xdeba

mxolod 3=x -sTvis.

21.39. 1) ipoveT b da c , Tu cbxxy ++= 2 funqciis grafikis

simetriis RerZia 1=x wrfe da es grafiki Oy RerZs kveTs

( )3;0 wertilSi.

2) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

( ) 2321 2 −++−= kkxxky parabolas Ox RerZTan aqvs erTade-

rTi saerTo wertili.

3) ipoveT k-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

6+= kxy wrfes 42202 ++= xxy parabolasTan erTaderTi

saerTo wertili aqvs.

4) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

12 += kxy wrfes 382 ++= xkxy parabolasTan aqvs erTader-

Ti saerTo wertili.

5) ipoveT a , b Dda c , Tu axy +−= wrfes

cbxxy ++= 2

41

parabolasTan aqvs erTaderTi saerTo werti-

li ( )8;2M .

6) 922 +−= xxy parabolas da axy = wrfes ( )0>a

aqvT erTaderTi saerTo wertili. ipoveT am wertilis ko-

ordinatebi.

21.40. 1) cbxaxy ++= 2 funqciis grafiki Ox RerZs kveTs

1−=x da 3=x wertilebSi, xolo Oy RerZs 2−=y werti-

lSi. ipoveT a , b da c .

160

2) ipoveT a , b Dda c , Tu cbxaxy ++= 2 parabolis

wveroa (1,2) wertili da gadis (0,3) wertilze.

3) ipoveT a da b , Tu axy += 2 wrfe da

102 ++−= bxxy parabola erTmaneTs kveTs sakoordinato

RerZebze.

4) ipoveT a , b da c , Tu cbxxy ++−= 2 parabola da

axy +−= wrfe erTmaneTs kveTs M (5,7) wertilSi, xolo

meore TanakveTis wertili Oy RerZze mdebareobs.

21.41. 1) cbxxy ++= 2 da xy −= funqciebis grafikebi erTma-

neTs kveTs koordinatTa saTaveSi da parabolis wveroSi.

ipoveT b da c . 2) cbxxy ++= 2

funqciis grafikis Oy RerZTan gadak-

veTis wertilis ordinatia 4. garda amisa, parabolis wve-

ro meoTxe meoTxedSia da misi ordinatia –5. ipoveT b da

c . 3) ipoveT b da c . Tu cxxy ++−= 22

da 42 ++= bxxy

parabolebs aqvT saerTo wvero.

4) ipoveT a da b , Tu 322 ++= xaxy da 242 ++= xbxy

parabolebs aqvT saerTo wvero.

21.42. 1) y=-x2+px+q funqciis grafiki ordinatTa RerZs

kveTs y=-4 wertilSi. garda amisa parabolis wvero meoTxe

meoTxedSia. ipoveT p da q, Tu cnobilia, rom y=2(p-1)x+q+16 wrfe parabolas exeba.

2) y=2x2+bx+c da y=cx+1 funqciaTa grafikebi erTma-

neTs kveTs sakoordinato RerZebze. ipoveT b da c. 3) y=x2+px+q da y=-x2+(p-1)x-3 funqciaTa grafikebis ga-

dakveTis erTi wertili mdebareobs abscisTa RerZze, xo-

lo meore ordinatTa RerZze. ipoveT p da q. 4) mocemulia ori parabola y=x2+px+q da y=ax2+bx+4. pirvelis wvero meoris abscisTa RerZTan gadakveTis wer-

tilSi mdebareobs, xolo meore parabolis wvero _ pirve-

lis ordinatTa RerZTan gadakveTis wertilSi. ipoveT a, b, p da q. 21.43. 1) ipoveT a da p, Tu y=ax2+2x-3 da y=x2+(p-1)x+3 funqciebis grafikebis gadakveTis orive wertili absci-

sTa RerZze mdebareobs.

161

2) ipoveT b da c, Tu y=-3x2+bx-9 da y=5x2+20x+c funqci-aTa grafikebis gadakveTis orive wertili mdebareobs ab-

scisTa RerZze.

21.44. 1) ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlis-

Tvisac y=x2-4ax+4a2+1 parabolis wvero koordinatTa saTave-

dan daSorebulia 5 -is toli manZiliT.

2) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, rom-

lisTvisac y=-x2+6ax-9a2-1 parabolis wvero (6;-1) wertili-

dan daSorebulia 3-is toli manZiliT. 3) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, rom-

lisTvisac y=ax2-2(a+2)x+a-3 parabolis wvero moTavsebulia

meore meoTxedSi.

4) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, rom-

lisTvisac y=x2-4ax+4a2+5a+10 parabolis wvero moTavsebu-

lia mesame meoTxedSi.

21.45. 1) cnobilia, rom cbxaxy ++= 2 kvadratul samwevrs

aqvs erTnairi niSnis fesvebi da 0<a . daadgineT c -s ni-Sani.

2) cnobilia, rom cbxaxy ++= 2 kvadratul samwevrs

ara aqvs fesvebi da ( ) 02 >y . daadgineT c -s niSani.


ara aqvs fesvebi da ( ) 01 <y . daadgineT c -s niSani.


ara aqvs fesvebi da 0<+− cba . daadgineT c -s niSani. 21.46. 1) gansazRvreT c-s niSani, Tu y=ax2+bx+c funqciis gra fiki mdebareobs mxolod mesame da meoTxe meoTxedSi.

2) romel sakoordinato meoTxedSi mdebareobs

y=x2+bx+c parabolis wvero, Tu b>0 da b2-4c<0. 21.47. 1) ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

y=x2-2ax+a+2 parabolis abscisTa RerZTan TanakveTis orive

wertili mdebareobs abscisTa RerZis dadebiT nawilSi.

2) ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

y=(a2+a+1)x2+(2a-3)x-2 parabolis abscisTa RerZTan gadakve-

Tis wertilebi mdebareoben x=1 wrfis sxvadasxva mxares. 3) ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

y=x2-2ax+a parabolis abscisTa RerZTan TanakveTis orive

wertilis abscisa moTavsebulia ]0;3[ SualedSi.

162

4) ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

y=ax2-4x+a+3 parabola orive sakoordinato RerZs kveTs da-

debiT nawilSi.

21.48. sakoordinato sibrtyeze daStrixeT Semdegi utolo-

bis an utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle:

1) 2 5x< < 2) 3 2y− ≤ < 3) 3 2y x> − 4) 5 1y x≤ − +

5) 2y x x> − 6)

2 2y x x≤ − + + 7) 4yx

< 8) 2yx

≥ −

9) 3

2xy>⎧

⎨ < −⎩ 10)

1 42 1

xy

≤ ≤⎧⎨− < ≤⎩

11) 2 4

1 2

x

y

⎧ − <⎪⎨

+ >⎪⎩ 12)

2 34 3

y xy x≤ −⎧

⎨ < − +⎩

13) 6 4

3 4y xy x> +⎧

⎨ ≤ − −⎩ 14)

3 75 4

y xy x≤ −⎧

⎨ < +⎩ 15)

2y xy x

⎧ >⎨

<⎩ 16)

2

2 3y xy x

⎧ ≤ −⎨

> −⎩

17)

2 2 34 5

y x xy x

⎧ > − −⎨

< − +⎩ 18)

2 5 66 6

y x xy x

⎧ ≤ − + +⎨

≥ +⎩ 19)

43

2

y xy xy

< +⎧⎪ < − +⎨⎪ >⎩

20)

42 33

x yx yy

− ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≥⎩

21)

32 42 0

y xy xx

− <⎧⎪ + >⎨⎪ − >⎩

22)

44 9 2

0

x yx y

x

+ ≥⎧⎪ − ≤⎨⎪ ≥⎩

$22. kombinatorika 22.1.! 1) yuTSi 8 TeTri da 6 wiTeli burTia. burTebis ra

udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxedavad) yuTi-

dan, rom yuTSi darCes TiToeuli feris TiTo burTi

mainc?

A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 2) yuTSi 10 wiTeli da 9 yviTeli burTulaa. burTu-

lebis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxeda-

vad) yuTidan, rom yuTSi darCes erTi feris ori burTula

da meore feris erTi burTula mainc?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 5 3) kalaTaSi 13 wiTeli da 10 yviTeli vaSlia. vaSle-

bis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxeda-

vad) kalaTidan, rom kalaTaSi darCes TiToeuli feris

or-ori vaSli mainc?

A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 4) kalaTaSi 20 wiTeli da 17 yviTeli vaSlia. vaS-

lebis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxeda-

163

vad) kalaTidan, rom kalaTaSi darCes romelime erTi fe-

ris ori vaSli mainc?

A. 15 B. 34 C. 24 D. 32 22.2. 1) yuTSi 10 wiTeli, 8 TeTri da 7 Savi burTulaa.

burTulebis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT

(Cauxedavad) yuTidan, rom yuTSi darCes oTxi cali erTi

feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan

TiToeuli feris TiTo burTula mainc?

A. 6 B. 8 C. 9 D. 16 2) yuTSi 5 lurji, 6 wiTeli da 3 Savi burTia. ra

umciresi raodenobis burTi unda amoviRoT (Cauxedavad)

yuTidan, rom amoRebul burTebSi aucileblad iyos 3 ma-

inc erTi feris burTi?

A. 5 B. 3 C. 7 D. 6 3) yuTSi 4 TeTri, 8 Savi da 7 wiTeli burTia. ra

umciresi raodenobis burTi unda amoviRoT (Cauxedavad)

yuTidan, rom amoRebul burTebSi aucileblad iyos ori

sxvadasxva feris TiTo burTi mainc?

A. 6 B. 8 C. 5 D. 9 4) kalaTaSi 26 lurji, 32 wiTeli, 18 mwvane da 24

Te-Tri burTia. ra umciresi raodenobis burTebi unda amo-

viRoT (Cauxedavad) kalaTidan, rom maT Soris erTi feris

20 burTula mainc iyos?

A. 58 B. 68 C. 80 D. 76 22.3. 1) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis pirve-

li cifria 5, xolo bolo ori cifri erTidaigivea?

A. 9 B. 12 C. 20 D. 10 ! ! 2) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis bolo

cifria 5, xolo pirveli ori cifri erTidaigivea?

A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 ! ! 3) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis pirve-

li cifria 5 an 6, xolo bolo ori cifri erTidaigivea?

A. 10 B. 20 C. 18 D. 21 ! ! 4) ramdeni oTxniSna ricxvi arsebobs, romlis pirve-

li cifria 2, 3 an 4, xolo bolo sami cifri erTidaigivea?

A. 36 B. 27 C. 30 D. 20 22.4. 1) kaxas daaviwyda nacnobis telefonis nomris bo-

lo sami cifri, Tumca axsovda rom daviwyebuli cifrebi-

dan pirveli cifri iyo 6 an 8, xolo meore cifri 5-iT nak-

lebi iyo mesameze. minimum ramdeni sxvadasxva nomeri unda

akrifos kaxam, raTa man aucileblad SeZlos nacnobTan

dakavSireba?

A. 9 B. 8 C. 20 D. 10

164

! ! 3) patruls daaviwyda damrRvevi avtomobilis samci-

friani nomeri, Tumca mas axsovda, rom pirveli cifria 4

an 5, xolo bolo ori cifris jamia 8. minimum ramdeni

sxvadasxva samniSna ricxvi unda Camoweros patrulma, rom

maT! Soris aucileblad iyos damrRvevi avtomobilis no-

meri?

A. 18 B. 20 C. 9 D. 8 ! ! 3) rezos daaviwyda Tavisi sabanko angariSis oTxci-

friani nomeri. Tumca mas axsovda rom nomris pirveli da

bolo cifri erTidaigive kenti ricxvi iyo, xolo danarCe-

ni ori cifris jami _ 6. minimum ramdeni oTxniSna ricxvi

unda Camoweros rezom, rom maT Soris aucileblad iyos

misi sabanko angariSis nomeri?

A. 30 B. 35 C. 24 D. 40 ! ! 4) molares daaviwyda seifis kodis bolo sami cif-

ri, Tumca axsovda rom daviwyebuli cifrebidan pirveli

cifri iyo luwi, xolo bolo or cifrs Soris erTi 4-iT

meti iyo meoreze. minimum ramdeni sxvadasxva kodi unda ak-

rifos molarem, raTa man aucileblad gaxsnas seifi?

A. 72 B. 36 C. 60 D. 30 22.5. gamoTvaleT:

1) 4 6PP + A. 732 B. 744 C. 748 D. 764 2) 2 1

56A A− A. 31 B. 36 C. 25 D. 41 3) 7 3: 510C C A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4) 2

7 43 2A P− A. 78 B. 79 C. 80 D. 81 5) 4 6:8 10A C A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6) 5:6 87P C A. 30 B. 60 C. 90 D. 120!

22.6. 1) ramdeni xerxiT SegviZlia davsvaT merxze erTma-

neTis gverdiT sami bavSvi?

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2) ramdeni xerxiT SegviZlia davsvaT merxze erTma-

neTis gverdiT oTxi bavSvi?

A. 12 B. 36 C. 16 D. 24

165

3) ramdeni sxvadasxva xerxiT SeiZleba davaxuroT 5

gansxvavebuli feris qudi 5 bavSvs?

A. 24 B. 140 C. 120 D. 1 4) ramdeni sxvadasxva xerxiT SeiZleba SevinaxoT! 6

beWedi 6 seifSi ise, rom TiToeul seifSi erTi beWedi

iyos?

A. 1080 B. 720 C. 240 D. 120 22.7. 1) oTxi kandidatidan unda SeirCes samkaciani gundi.

ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi gundis Sedgena?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ! 2) oTxi kandidatidan Sejibrebaze unda gaigzavnos

orkaciani gundi. ramdeni xerxiT SeiZleba gundis Sedgena?

A. 12 B. 4 C. 8 D. 6 !!!!!!!!3) saWadrako turnirSi 15 moWadrake monawileobs.

ramdeni partia gaTamaSdeba am turnirze, Tu yoveli

moWadrake danarCen moWadrakeebTan TiTo partias

iTamaSebs?

A. 105 B. 210 C. 120 D. 80! 4) sibrtyeze mocemulia 10 wertili. ipoveT am wer-

tilebis wyvil-wyvilad SemaerTebeli yvela SesaZlo mo-

nakveTebis raodenoba/!

A. 25 B. 40 C. 90 D. 45 22.8/! 1) sportuli asparezobis finalur etapze monawi-

leobs 10 sportsmeni. ramdeni xerxiT SeiZleba ganawil-

des pirveli sami saprizo adgili?

A. 120 B. 320 C. 520 D. 720 2) ramdeni gansxvavebuli samniSna ricxvis Sedgena

SeiZleba cifrebisagan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 ise, rom ricxvis

CanawerSi arcerTi cifri ar gameordes?

!!!!!!!!A. 40 B. 60 C. 210 D. 420 3) ramdeni xerxiT SeiZleba gamoiwvios oTxma vaJma

eqvsi gogona wyvilSi sacekvaod?

!!!!!!!!A. 360 B. 15 C. 720 D. 420!

4) ori sxvadasxva aviakompania Tbilisidan londonis

mimarTulebiT kviraSi asrulebs TiTo reiss gansxva-

vebul dReebSi. ramdeni xerxiT SeiZleba Sedges erTi

kviris frenis ganrigi londonis mimarTulebiT?

A. 21 B. 28 C. 35 D. 42 22.9. 1) maTematikis bileTSi unda iyos 3 algebris da 2

geometriis amocana. ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi

bileTis Sedgena 6 algebrisa da 5 geometriis amoca-

nisagan?

A. 100 B. 200 C. 240 D. 300

166

2) gvaqvs 7 fanqari da 8 avtokalami. ramdeni xerxiT

SeiZleba maTgan 4 fanqrisa da 5 avtokalamis SerCeva?

A. 840 B. 1600 C. 1960 D. 2040 3) fermerma 12 Zroxis, 10 cxenis da 8 kameCisagan gasa-yidad unda SearCios 10 Zroxa, 8 cxeni da 7 kameCi.

ramdeni xerxiT SeuZlia mas amis gakeTeba?

A. 23760 B. 24520 C. 28310 D. 36760 4) yuTSi Zevs 12 burTi. oTxi bavSvidan TiToeuli

erTmaneTis miyolebiT yuTidan iRebs 3 burTs. ramdeni

xerxiT SeuZliaT maT amis gakeTeba?

A. 184200 B. 324600 C. 370200 D. 369600 5) ipoveT im luwi xuTniSna ricxvebis raodenoba,

romelTa CanawerSi pirveli cifri kentia.

!!!!!A. 25000 B. 50000 C. 20000 D. 55000 6) ipoveT kenti xuTniSna ricxvebis raodenoba,

romelTa CanawerSi pirveli cifri luwia/!

A. 150000 B. 20000 C. 25000 D. 30000 !

$23. kuTxeebi 23.1. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu is or-

jer metia meoreze.

A. o60 B. o120 C. o150 D. o140 23.2. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu is sam-

jer naklebia meoreze.

A. o90 B. o30 C. o45 D. o60

23.3. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu erTi ma-

Tgani o30 -iT metia meoreze.

A. o105 B. o115 C. o125 D. o120

23.4. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu maTi

sxvaoba o40 -is tolia.

A. o75 B. o80 C. o60 D. o70

23.5. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu isini

ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 3:7. A. o48 B. o50 C. o52 D. o54

23.6. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu isini

ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 22:23. A. o105 B. o88 C. o92 D. o94

23.7. ipoveT kuTxe, romelic Tavisi mosazRvre kuTxis 73-s

udris.

167

A. o54 B. o55 C. o56 D. o53

23.8. ipoveT kuTxe, romelic Tavisi mosazRvre kuTxis

114-s udris.

A. o50 B. o48 C. o52 D. o54 23.9. ras udris kuTxe, Tu misi mosazRvre ori kuTxis

jami o100 -s Seadgens?

A. o130 B. o80 C. o120 D. o100

23.10. ori wrfis gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe 4-jer

metia meoreze. ipoveT maT Soris udidesi.

A. o136 B. o140 C. o144 D. o148

23.11. ori wrfis gadakveTisas miRebuli kuTxeebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 11:25. ipoveT maT Soris um-

ciresi.

A. o55 B. o50 C. o45 D. o40

23.12. ori wrfis gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe o50 -iT

naklebia meoreze. ipoveT maT Soris umciresi.

A. o75 B. o55 C. o70 D. o65 23.13. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris ori Siga

calmxrivi kuTxis sxvaoba 30°-s udris. ipoveT maT Soris

umciresi.

A. o65 B. o75 C. o80 D. o85

23.14. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris ori Siga

jvaredini kuTxis jami o150 -s udris. ipoveT am kuTxeebis

sxvaoba.

A. o0 B. o20 C. o40 D. o60

23.15. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris Sesabamisi

kuTxeebis jamia 130 o . ipoveT Siga calmxrivi kuTxeebis

sxvaobis moduli.

A. o40 B. o60 C. o50 D. o80 23.16. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi parale-

lur wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris udi-

desi, Tu erTi maTgani 90 o -iT metia meoreze.

23.17. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi parale-

lur wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris um-

ciresi, Tu erTi maTgani 8-jer metia meoreze.

168

23.18. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi parale-

lur wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris um-

ciresi, Tu isini ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 7:11. 23.19. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore

kuTxis gverdebis Semcveli wrfeebis perpendikularul

wrfeebze mdebareobs. erTi kuTxe 4-jer naklebia meoreze.

ipoveT am kuTxeebs Soris udidesi.

23.20. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore


wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris udidesi,

Tu erTi maTgani 20 o-iT metia meoreze.

23.21. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore


wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris umciresi,

Tu isini ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 13:5. 23.22. mocemulia 48 o

-is toli kuTxe. wertilze, romelic

kuTxis gverdebze ar mdebareobs, gavlebulia kuTxis erTi

gverdis paraleluri da meore gverdis perpendikularuli

wrfe. ipoveT am wrfeebiT Sedgenili kuTxeebidan umciresi.

23.23. mocemulia 64 o-is toli kuTxe. wertilze, romelic

kuTxis gverdebze ar mdebareobs, gavlebulia mocemuli

kuTxis gverdebis paraleluri wrfeebi. ipoveT am wrfe-

ebiT Sedgenili kuTxeebidan udidesi.

23.24. ras udris mocemuli kuTxis biseqtrisasa da gve-

rds Soris kuTxe, Tu mocemuli kuTxe 52 o-is tolia.

23.25. ipoveT kuTxe, Tu misi biseqtrisa gverdTan 89 o -ian kuTxes adgens.

23.26. ipoveT mocemuli kuTxis biseqtrisasa da misi erT-

erTi gverdis gagrZelebas Soris kuTxe, Tu mocemuli kuT-

xe udris 50 o-s.

23.27. ipoveT kuTxis sidide, Tu kuTxe am kuTxis biseq-

trisasa da misi erT-erTi gverdis gagrZelebas Soris aris

140 o . 23.28. OC sxivi gadis 160 o

-iani AOB kuTxis gverdebs

Soris. OA gverdis perpendikularuli OD sxivi COB ku-

Txis biseqtrisas warmoadgens. ipoveT COB kuTxis sidide.

23.29. OF sxivi gadis 140 o-iani AOB kuTxis gverdebs

Soris. OA gverdis perpendikularuli OE sxivi FOB ku-

Txis biseqtrisas warmoadgens. ipoveT AOF kuTxis sidide.

169

23.30. ABC da CBD kuTxeebi mosazRvrea. o40=∠CBD . B

wverodan gavlebulia ABC kuTxis biseqtrisa da AB

wrfis perpendikularuli wrfe. ipoveT kuTxe am biseqtri-

sasa da perpendikularul wrfes Soris.

23.31. 108 o -is toli ABC kuTxis wveroze gavlebulia

misi biseqtrisis perpendikularuli MN wrfe. ipoveT MN

wrfiTa da ABC kuTxis gverdebiT Sedgenili udidesi ku-

Txis sidide.

23.32. MON kuTxe 46 o-ia da NOP kuTxe ki 20 o . ras ud-

ris kuTxe maT biseqtrisebs Soris.

23.33. ABC kuTxe 70 o-ia da DBC kuTxe ki 40 o . ras udris

kuTxe maT biseqtrisebs Soris.

!%35/!tbnlvUyfefcj

24.1. samkuTxedis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 4:5:6. ipoveT samkuTxedis kuTxeebidan udidesi.

A. 48 o B. 72 o C. 60 o D. 70 o 24.2. ipoveT tolferda samkuTxedis ferdebs Soris kuT-

xe, Tu fuZesTan mdebare kuTxea 55 o . A. 70 o B. 60 o C. 80 o D. 65 o 24.3. ipoveT tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare

kuTxe, Tu ferdebs Soris kuTxea 80 o . A. 55 o B. 45 o C. 50 o D. 40 o 24.4. tolferda samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe

udris 30 o-s. mis ferdze daSvebulia simaRle. ipoveT kuT-

xe, romelsac es simaRle fuZesTan Seadgens.

A. 25 o B. 20 o C. 10 o D. 15 o

24.5. tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare kuTxe ud-

ris 30 o -s. ipoveT kuTxe, romelsac erTi ferdi meore fer-

dze daSvebul simaRlesTan Seadgens.

A. 30 o B. 40 o C. 35 o D. 45 o

24.6. tolferda samkuTxedis fuZeze daSvebul simaRlesa

da ferds Soris kuTxe 20 o-iT naklebia fuZesTan mdebare

kuTxeze. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe.

A. 65 o B. 60 o C. 80 o D. 70 o

170

24.7. tolferda blagvkuTxa samkuTxedis ferdis simaR-

lesa da meore ferds Soris kuTxe 24 o-iT naklebia fuZes-

Tan mdebare kuTxeze. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdeba-

re kuTxe.

A. 102 o B. 104 o C. 106 o D. 98 o

24.8. tolferda ABC samkuTxedSi, romlis fuZea AC ,

gavlebulia CD biseqtrisa. ipoveT ABC samkuTxedis wve-

rosTan mdebare kuTxe, Tu ADC kuTxe udris 60 o -s. A. 30 o B. 40 o C. 20 o D. 50 o

24.9. tolferda samkuTxedis Siga kuTxeebisa da erT-

erTi gare kuTxis jami udris 210 o -s. ipoveT samkuTxedis

fuZesTan mdebare kuTxe.

A. 15 o B. 20 o C. 10 o D. 25 o

24.10. tolferda samkuTxedis erT-erTi gare kuTxe ud-

ris 70 o -s. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe.

A. 35 o B. 110 o C. 60 o D. 100 o 24.11. samkuTxedis kuTxeebi adgenen ariTmetikul prog-

resias. ras udris sididiT saSualo kuTxis gradusuli

zoma?

A. 45 o B. 60 o C. 30 o D. 75 o 24.12. ABC samkuTxedis AC gverdis gagrZelebaze

aRebulia D da E wertilebi ise, rom A wertili mdebare-

obs D da C-s Soris, xolo C wertili A-sa da E-s Soris. amasTan AD=AB da CE=CB. ipoveT DBE samkuTxedis kuTxeebs

Soris umciresi, Tu ,40o=∠BAC o80=∠ACB .

A. 30 o B. 50 o C. 40 o D. 20 o

24.13. ABC tolferda samkuTxedis AC fuZe 12-ia, xolo

BD simaRle 8. ipoveT A kuTxis kosinusi.

A. 43 B.

53 C.

32 D.

54

24.14. ABC samkuTxedSi 5== BCAB da 6=AC . ipoveT A

kuTxis tangensi.

A. 35 B.

53 C.

34 D.

43

24.15. Tu samkuTxedis gverdia 10, maSin danarCeni ori

gverdis jami SeiZleba iyos

171

A. 9 B. 9,1 C. 10 D. 10,1 24.16. Tu samkuTxedis gverdebia 2 da 7, maSin mesame gve-

rdi SeiZleba iyos

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 24.17. Tu samkuTxedis gverdia 8, maSin danarCeni ori gve-

rdis sxvaoba SeiZleba iyos

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 24.18. Tu samkuTxedis perimetria 100, maSin samkuTxedis

gverdi ar SeiZleba iyos

A. 45 B. 48 C. 49 D. 50 24.19. Tu samkuTxedis gverdia 12, maSin samkuTxedis peri-

metri ar SeiZleba iyos

A. 28 B. 24,5 C. 23,5 D. 25 24.20. Tu 5=AB da 2=BC , maSin AC SeiZleba iyos

A. 3 B. 2 C. 8 D. 9 24.21. samkuTxedis ori gverdia 5 da 1. ipoveT mesame gve-

rdi, Tu cnobilia, rom is mTeli ricxvia.

A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 24.22. samkuTxedis perimetria 13, xolo erT-erTi gverdi

ki 1. ipoveT danarCeni ori gverdi, Tu isini mTeli ricxve-

bia.

A. 6; 6 B. 2; 12 C. 5; 7 D. 3; 6 24.23. tolferda samkuTxedis perimetri 15,6-is tolia.

ipoveT samkuTxedis fuZe, Tu is ferdze 3-iT naklebia.

A. 3,4 B. 3,2 C. 3 D. 3,6 24.24. tolgverda samkuTxedis simaRlea 30. gansazRvreT

ra manZilzea misi gverdebidan biseqtrisebis gadakveTis

wertili.

A. 20 B. 10 C. 5 D. 15 24.25. tolferda samkuTxedis ferdia 17, xolo fuZe ki

16. ipoveT fuZeze daSvebuli simaRle.

A. 12 B. 10 C. 15 D. 20 24.26. tolferda samkuTxedis fuZea 4, masTan mdebare ku-

Txe ki 45 o. ipoveT ferdi.

A. 22 B. 3 C. 24 D. 2 24.27. ipoveT tolferda marTkuTxa samkuTxedis farTo-

bi, Tu misi hipotenuza udris 12-s. A. 36 B. 32 C. 40 D. 30 24.28. ipoveT tolferda samkuTxedis farTobi, Tu misi

fuZea 120, ferdi ki 100. A. 4200 B. 5400 C. 4800 D. 4400

172

24.29. ABC samkuTxedSi AB=10, BC=20. A wertilidan gavle-

buli simaRle udris 5-s. ipoveT C wertilidan gavlebuli

simaRle.

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 24.30. tolferda samkuTxedis fuZea 30, masze daSvebuli

simaRle ki 20. ipoveT ferdze daSvebuli simaRle.

A. 20 B. 24 C. 30 D. 32 24.31. tolferda samkuTxedSi fuZeze daSvebuli simaR-

lea 3, ferdze daSvebuli simaRle ki 4. ipoveT samkuTxe-

dis fuZe.

A. 5

512 B. 510 C. 5

58 D. 6

24.32. ABC samkuTxedis BD mediana AC gverdis naxe-

vars udris. ipoveT samkuTxedis B kuTxe.

A. 30 o B. 120 o C. 90 o D. 60 o 24.33. ABC samkuTxedSi A kuTxis biseqtrisa AC gverdi-

sadmi gavlebuli medianis marTobulia. ipoveT AC gverdis sigrZe, Tu AB gverdis sigrZe 4 sm-ia. A. 8 sm B. 6 sm C. 2 sm D. 16 sm

24.34. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe 25 o -is to-lia. marTi kuTxis wverodan gavlebulia simaRle da biseq-

trisa. ipoveT kuTxe maT Soris.

A. 5 o B. 10 o C. 20 o D. 40 o 24.35. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan ga-

vlebul simaRlesa da biseqtrisas Soris kuTxe aris 15 o . ipoveT samkuTxedis didi maxvili kuTxe.

A. 60 o B. 65 o C. 70 o D. 75 o

24.36. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe 50 o -is to-lia. marTi kuTxis wverodan gavlebulia simaRle da medi-

ana. ipoveT kuTxe maT Soris.


vlebul simaRlesa da medianas Soris kuTxe aris 20 o . ipo-veT samkuTxedis mcire maxvili kuTxe.

A. 5 o B. 15 o C. 25 o D. 35 o 24.38. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxea 15 o . marTi

kuTxis wverodan gavlebulia mediana da biseqtrisa. ipo-

173

veT kuTxe maT Soris.


vlebul medianasa da biseqtrisas Soris kuTxea 10 o . ipoveT

samkuTxedis mcire maxvili kuTxe.


vlebulia mediana, biseqtrisa da simaRle. medianasa da bi-

seqtrisas Soris kuTxea 40 o . ipoveT kuTxe medianasa da si-

maRles Soris.


vlebulia mediana, biseqtrisa da simaRle. medianasa da si-

maRles Soris kuTxea 30 o . ipoveT kuTxe biseqtrisas da si-

maRles Soris.

A. 25 o B. 20 o C. 15 o D. 10 o 24.42. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wrewiris

centria. ipoveT ACO kuTxis sidide, Tu ∠CAO=25° da

∠CBO=40°. A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°

24.43. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 16 da 12. ipoveT hipotenuzis mediana.

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 24.44. manZili, marTkuTxa samkuTxedis medianebis gadakve-

Tis wertilidan marTi kuTxis wveromde, 8 sm-ia. ipoveT hi-

potenuzis sigrZe.

A. 12 sm B. 16 sm C. 24 sm D. 27 sm 24.45. Tu marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza 12-ia, maSin

hipotenuzaze daSvebuli simaRle ar SeiZleba iyos:

A. 6 B. 7 C. 5 D. 4 24.46. Tu marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza 6-ia, maSin

marTkuTxa samkuTxedis farTobi SeiZleba iyos:

A. 12 B. 9 C. 11 D. 10 24.47. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 15 da 20. ipoveT

hipotenuzaze daSvebuli simaRle.

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 24.48. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis namravli 12-jer

metia hipotenuzaze. ipoveT marTi kuTxis wverodan hipote-

nuzaze daSvebuli simaRle.

174

A. 12 B. 14 C. 13 D. 10 24.49. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis namravli 25-jer

metia marTi kuTxis wverodan gavlebul simaRleze. ipoveT

hipotenuza.

A. 25 B. 20 C. 18 D. 30 24.50. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan ga-

vlebuli simaRlisa da hipotenuzis namravli 3-jer metia

erT-erT kaTetze. ipoveT meore kaTetis sigrZe.

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 24.51. ipoveT marTkuTxa samkuTxedis farTobi, Tu misi

simaRle hipotenuzas 32-isa da 18-is tol monakveTebad

yofs.

A. 600 B. 550 C. 700 D. 650 24.52. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe udris 60 o -s.

hipotenuzisa da mcire kaTetis jamia 1,8. ipoveT hipote-

nuza.

A. 1,4 B. 1,2 C. 1,3 D. 1,5 24.53. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori

daxrili. erTi maTganis sigrZea 13, xolo misi gegmili

wrfeze 12-is tolia. ipoveT meore daxrilis sigrZe, Tu is

wrfesTan 30 o -ian kuTxes adgens.

A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 24.54. ABC marTkuTxa samkuTxedSi C kuTxe marTia da

∠A=30°. AC kaTetze aRebulia D wertili ise, rom ∠ABD=15° da DC=7 sm. ipoveT AB hipotenuzis sigrZe. A. 28 sm B. 21 sm C. 12 sm D. 14 sm

24.55. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 3:4:5, xolo perimetri udris 60-s. ipoveT im samku-

Txedis udidesi gverdi, romlis wveroebic mocemuli sam-

kuTxedis gverdebis SuawertilebSia.

A. 7,5 B. 10 C. 12,5 D. 15 24.56. ABC samkuTxedSi ∠C=105°, ∠B=45° da BC=2 2 sm.

ipoveT AB gverdis sigrZe. A. 2+2 3 sm B. 4+ 3 sm C. 8 sm D. 8 3 sm

24.57. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 7:8:9. im samkuTxedis perimetri, romlis wveroebic

mocemuli samkuTxedis gverdebis SuawertilebSia, udris

24-s. ipoveT mocemuli samkuTxedis umciresi gverdi.

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 24.58. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,

175

rogorc 4:5:6. ipoveT misi msgavsi samkuTxedis perimetri,

Tu am ukanasknelis umciresi gverdi 8-is tolia.

A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 24.59. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 2:4:5. ipoveT misi msgavsi samkuTxedis udidesi gve-

rdi, Tu am ukanasknelis perimetri 55-is tolia.

A. 25 B. 27,5 C. 30 D. 32,5 24.60. samkuTxedis perimetria 10, xolo misi farTobi ki

3. ipoveT mocemuli samkuTxedis msgavsi samkuTxedis peri-

metri, Tu misi farTobia 12. A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 24.61. ori tolferda samkuTxedis ferdebs Soris mdeba-

re kuTxeebi tolia. erTi samkuTxedis ferdi da fuZe Sesa-

bamisad 17 da 10-ia, meore samkuTxedis fuZe udris 8-s. ipo-veT misi ferdi.

A. 13,6 B. 12,8 C. 14,2 D. 13,8 24.62. or tolferda samkuTxedSi wverosTan mdebare ku-

Txeebi tolia. pirveli samkuTxedis perimetria 544. ipoveT

misi fuZe, Tu meore samkuTxedis ori gverdi ise Seefar-

deba erTmaneTs, rogorc 1:2. A. 109 B. 108,6 C. 106,4 D. 108,8 24.63. ipoveT naxazze mocemuli

ABC da AED samkuTxedebis farTob-

Ta Sefardeba, Tu BE=12 sm, AE=8 sm, CD=14 sm da AC=10 sm.

A. 54

B. 2524

C. 169

D. 117

24.64. mocemul naxazze ABC da ADG samkuTxedebi tolia.

amasTan AD=AC=1 sm, AB=AG=5 sm.

ipoveT ADEC oTxkuTxedis far-

Tobi, Tu ABC samkuTxedis far-

Tobia 1,8 sm2.

A. 0,6 B. 0,8 C. 0,4 D. 1,2

24.65. ABC samkuTxedSi gavlebuli medianebi ikveTebian

O wertilSi. ipoveT AOB samkuTxedis farTobi, Tu ABC

samkuTxedis farTobia 27.

14

12

8C

E D

B

A 10

E

G4

4

1

C

D

B

A 1

176

A. 9 B. 18 C. 6 D. 12 24.66. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu am samkuTxedis

gverdebis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxe-

dis farTobia 4.

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 24.67. ABC samkuTxedis farTobi tolia 18-is. D wertili

AC gverdze aRebulia ise, rom DC=2AD. ipoveT BCD samkuT-

xedis farTobi.

A. 6 B. 9 C. 12 D. 14 24.68. ABC samkuTxedis AC gverdze aRebulia D werti-

li ise, rom 3:5: =DCAD . ipoveT ABC samkuTxedis farTo-bi, Tu BDC samkuTxedis farTobia 6.

A. 18 B. 24 C. 16 D. 8 24.69. samkuTxedis fuZesTan mdebare didi kuTxe 45 o -ia,

xolo simaRle fuZes 20-is da 21-is tol nawilebad yofs.

ipoveT didi ferdi.

A. 21 B. 24 C. 31 D. 29 24.70. samkuTxedis gverdebia 5 da 8, maT Soris mdebare

kuTxe ki 60 o . ipoveT samkuTxedis mesame gverdis sigrZe.

A. 7 B. 12 C. 10 D. 8 24.71. samkuTxedis gverdebia 6 da 10, maT Soris mdebare

kuTxe ki 120 o. ipoveT samkuTxedis mesame gverdis sigrZe.

A. 9 B. 14 C. 11 D. 5 24.72. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi gverdebia 13,

14 da 15. A. 84 B. 78 C. 80 D. 86 24.73. samkuTxedis gverdebia 25, 29 da 36. ipoveT umciresi

simaRle.

A. 15 B. 25 C. 20 D. 30 24.74. samkuTxedis gverdebia 9, 10 da 17. ipoveT udidesi

simaRle.

A. 8 B. 14 C. 12 D. 16 24.75. ABC samkuTxedSi AB=4 sm, ∠C=35°. ABC samkuTxedisa-

Tvis mocemulia kidev ori piroba:

I. AC=4 sm; II. B kuTxis biseqtrisa AC gverdis marTobulia.

imisaTvis, rom gamovTvaloT B kuTxis gradusuli zoma

A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;

177

C. sakmarisia I da II piroba erTad, magram arc erTi

cal-calke;

D. sakmarisia orive piroba cal-calke.

24.76. tolferda samkuTxedis mediana yofs am samkuTxe-

dis perimetrs 15 da 6-is tol nawilebad. ipoveT samkuTxe-

dis ferdis sigrZe.

24.77. tolferda ABC samkuTxedSi, romlis fuZea AC ,

gavlebulia BD mediana. ipoveT misi sigrZe, Tu ABC sam-

kuTxedis perimetria 50 , xolo ABD samkuTxedis ki 40. 24.78. ABC tolferda samkuTxedSi AB ferdi udris 14-s.

misi D Suawertilidan am ferdisadmi gavlebuli perpendi-

kularuli wrfe BC ferds kveTs E wertilSi. E wertili

SeerTebulia A-sTan. AEC samkuTxedis perimetria 24. ipoveT

AC-s sigrZe. 24.79. ABC tolferda samkuTxedSi AB=BC=14. AB ferdis D

Suawertilze gavlebuli perpendikulari samkuTxedis fu-

Zes kveTs E wertilSi. E wertili SeerTebulia B wertil-

Tan. ipoveT ABC samkuTxedis AC fuZe, Tu BEC samkuTxedis

perimetri 40 sm-ia. 24.80. tolgverda samkuTxedis simaRle udris 33 . ipo-

veT am samkuTxedis farTobi.

24.81. tolferda samkuTxedis ferdisadmi gavlebuli me-

dianaa 30, romelic fuZesTan adgens 30 o-ian kuTxes. ipoveT

fuZeze daSvebuli simaRle.

24.82. ipoveT tolferda samkuTxedis fuZe, Tu misi sima-

Rle udris 35-s, xolo fuZe ise Seefardeba ferds, ro-

gorc 48:25. 24.83. tolferda samkuTxedis perimetri udris 64-s, xo-

lo misi ferdi fuZeze 11-iT metia. ipoveT fuZeze daSvebu-

li simaRle.

24.84. tolferda samkuTxedis medianebi udris 15, 15 da 18-s. ipoveT samkuTxedis farTobi.

24.85. tolferda samkuTxedSi ferdis medianis sigrZe

tolia m-is da fuZesTan α sididis kuTxes Seadgens. ipo-

veT am samkuTxedis farTobi, Tu m=10, 54cos =α .

24.86. tolferda samkuTxedis perimetria 36. fuZeze daS-vebuli simaRlis Suawertilze gavlebulia erT-erTi fer-

178

dis paraleluri wrfe. ipoveT mokveTili samkuTxedis pe-

rimetri.

24.87. tolferda samkuTxedis gverdebia AB=BC=50 da

AC=60. gavlebulia AE da CD simaRleebi da D da E werti-lebi SeerTebulia. ipoveT DE monakveTis sigrZe.

24.88. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 30 da 40. marTi kuTxis wverodan hipotenuzaze daSvebulia simaRle. ipo-

veT miRebuli samkuTxedebis farTobebidan umciresi.

24.89. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis biseqtrisa

mopirdapire kaTets yofs 4-is da 5-is tol monakveTebad.

ipoveT samkuTxedis farTobi.

24.90. wrfidan 10-is tol manZilze aRebuli wertilidan

am wrfisadmi gavlebulia ori daxrili, romelTa sigrZe-

ebis Sefardebaa 1:2. umciresi daxrili wrfesTan adgens

30 o -ian kuTxes. ipoveT udidesi daxrilis sigrZe.

24.91. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori


wrfeze 15-is tolia. ipoveT meore daxrilis gegmili

wrfeze, Tu is wrfesTan 45 o -ian kuTxes adgens.

24.92. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis Sefardebaa 3:2, simaRle ki hipotenuzas yofs or monakveTad, romelTagan

erTi 10-iT metia meoreze. ipoveT hipotenuza. 24.93. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis medianebia 52

da 73 . ipoveT hipotenuza.

24.94. samkuTxedis ferdi dayofilia oTx tol nawilad

da dayofis wertilebze gavlebulia fuZis paraleluri

wrfeebi. ipoveT wrfeebis ferdebs Soris moTavsebuli mo-

nakveTebidan umciresis sigrZe, Tu fuZis sigrZea 12.

24.95. samkuTxedis ferdi dayofilia sam tol nawilad


wrfeebi. ipoveT ferdebs Soris moTavsebuli monakveTebis

sigrZeebi, Tu samkuTxedis fuZea 6.

24.96. ipoveT samkuTxedis ori gverdis Suawertilebisa

da medianebis gadakveTis wertiliT miRebuli samkuTxedis

farTobi, Tu mocemuli samkuTxedis farTobia 120.

24.97. samkuTxedis simaRlea 22 . wverodan ra manZilzea

am samkuTxedis farTobis Suaze gamyofi da fuZis parale-

luri wrfe?

24.98. samkuTxedis gverdis paraleluri wrfe am samkuT-

xeds toldid nawilebad yofs. ipoveT mcire samkuTxedis

179

perimetri, Tu mocemuli samkuTxedis perimetria 52. 24.99. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD wrfe ise, rom

ABCBDC ∠=∠ . AC gverdze miRebulia monakveTebi AD da DC. ipoveT BC, Tu AD=9 da DC=16.

24.100. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD wrfe ise, rom

ACBABD ∠=∠ . AC gverdze miRebulia monakveTebi AD da DC. ipoveT DC, Tu AB=6, AC=9.

24.101. samkuTxedSi, romlis fuZe udris 30-s da simaRle

10-s, Caxazulia marTkuTxa tolferda samkuTxedi ise, rom

misi hipotenuza mocemuli samkuTxedis fuZis paralelu-

ria da marTi kuTxis wvero am fuZeze Zevs. ipoveT hipote-

nuza.

24.102. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT DC monakveTi, Tu AB=10, BC=15 da AC=20.

24.103. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT BC gverdi, Tu AD:DC=8:5 da AB=16.

24.104. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT AC gverdi, TuU AB:BC=2:7 da DC-AD=10.

24.105. samkuTxedis gverdebia 23 , 8 da 10. ipoveT udi-

desi gverdisadmi gavlebuli mediana.

24.106. samkuTxedis perimetria 32. erT-erTi kuTxis biseq-

trisa gverds yofs 5-is da 3-is tol nawilebad. ipoveT sa-

mkuTxedis udidesi gverdis sigrZe.

24.107. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi ori gver-

dia 17 da 21, xolo mesame gverdis mediana ki 5. 24.108. samkuTxedis gverdi udris a -s, xolo masTan mde-

bare kuTxeebia α da β . ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu

,10=a ,21

=αtg 31

=βtg .

24.109. samkuTxedis gverdebia 6 da 12, xolo maT Soris

kuTxe ki 120 o. ipoveT am kuTxis biseqtrisa.

24.110. samkuTxedis gverdebia a da b , xolo maT Soris

kuTxe udris α -s. ipoveT am kuTxis biseqtrisa, Tu a=5,

b=10, 53

2cos =

α .

24.111. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi gverdebia 5 da 10, xolo am gverdebs Soris moTavsebuli biseqtrisaa 4.

180

24.112. ABC samkuTxedSi BM simaRlea 4 sm, AN simaRle

ki 6 3 sm. am simaRleebs Soris kuTxea 60°. ipoveT ABC sa-mkuTxedis farTobi.

24.113. samkuTxedis gverdebia 6 da 8. am gverdebisadmi gavlebuli medianebi urTierTmarTobulia. ipoveT samkuT-

xedis mesame gverdi.

24.114. M da N Sesabamisad ABC samkuTxedis AB da BC gverdebis Sua wertilebia, xolo K wertili MN monakveT-

ze Zevs. ipoveT AKC samkuTxedis farTobi, Tu ABC samkuT-

xedis farTobia 44 sm2.

24.115. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi ori mediana

urTierTmarTobulia da maTi sigrZeebia 5 da 9. 24.116. tolferda ABC samkuTxedSi 8== BCAB . BC gver-

dze aRebulia D wertili ise, rom 4== ACAD . ipoveT BD.

24.117. ABC samkuTxedis BD simaRle AC gverds yofs 3 da 7-is tol monakveTebad. ipoveT B kuTxis tangensi, Tu

4=BD .

24.118. M wertili aris ABC samkuTxedis AD medianis

Suawertili. BM wrfe AC -s kveTs N wertilSi. vipovoT

BNMN : .

24.119. ABC samkuTxedis AD medianis Suawertilze da

B wveroze gavlebuli wrfe AC gverds kveTs M wertil-

Si. ra SefardebiT yofs ( A wveros mxridan) M wertili

AC gverds?

24.120. ABC samkuTxedSi AC ∠⋅=∠ 2 da BCAC ⋅= 2 . ipo-

veT samkuTxedis umciresi kuTxe.

24.121. samkuTxedis ori gverdis sigrZeebia 6=a da

4=b . ipoveT mesame gverdis sigrZe, Tu misi mopirdapire

kuTxis sidide orjer metia b gverdis mopirdapire kuT-

xis sidideze.

24.122. ABC samkuTxedSi C kuTxe marTia. A da B kuT-

xis wveroebidan gavlebulia Sesabamisad mediana da biseq-

trisa. ipoveT manZili maTi gadakveTis wertilidan AC -

mde, Tu 12=AB da 8=BC .

24.123. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD mediana, xolo

ABD samkuTxedSi AK biseqtrisa. ipoveT AKD samkuTxe-

dis farTobi, Tu 3:1: =ABAC da ABC samkuTxedis farTo-

bia 28. 24.124. ra SefardebiT yofs tolferda samkuTxedis far-

Tobs fuZeze daSvebuli simaRlis Suawertilze da fuZis

wveroze gavlebuli wrfe?

181

24.125. ABC samkuTxedSi AB da BC gverdebze Sesabamisad aRebulia M da N wertilebi ise, rom AM:MB=2:3 da

BN:NC=1:4. K wertili MN monakveTis Sua wertilia. ipoveT

AKC samkuTxedis farTobi, Tu ABC samkuTxedis farTobi

30 sm2-ia.

%36/!nsbwbmlvUyfefcj

25.1. oTxkuTxedis sami kuTxea 88o, 93

o da 97

o. ipoveT me-

oTxe kuTxe.

A. 82 o B. 92 o C. 72 o D. 84 o 25.2. oTxkuTxedis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 2:3:6:7. ipoveT umciresi kuTxe.

A. 20 o B. 40 o C. 60 o D. 100 o 25.3. oTxkuTxedis sam wverosTan mdebare gare kuTxeebia

70o , 80 o da 120 o . ipoveT meoTxe wverosTan mdebare gare ku-

Txe.

A. 60 o B. 80 o C. 90 o D. 70 o 25.4. oTxkuTxedis or wverosTan mdebare gare kuTxe ma-

rTia, xolo erT-erTi Siga kuTxea 60o . ipoveT Siga kuTxe-

ebidan udidesi.

A. 100 o B. 150 o C. 130 o D. 120 o 25.5. ipoveT xuTkuTxedis kuTxeebis jami.

A. 540 o B. 450 o C. 520 o D. 420 o 25.6. ipoveT wesieri rvakuTxedis kuTxe.

A. 145 o B. 135 o C. 130 o D. 120 o 25.7. ra udidesi raodenobis maxvili kuTxe SeiZleba

hqondes aTkuTxeds?

A. 5 B. 4 C. 3 D. 7 25.8. ra umciresi raodenobis blagvi kuTxe SeiZleba

hqondes rvakuTxeds?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 25.9. ra udidesi raodenobis marTi kuTxe SeiZleba hqon-

des SvidkuTxeds?

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 25.10. ipoveT cxrakuTxedSi gavlebuli diagonalebis ra-

odenoba.

A. 9 B. 27 C. 18 D. 36 25.11. mravalkuTxedis erTi wverodan SeiZleba mxolod

182

xuTi diagonalis gavleba. ramdeni gverdi aqvs am mraval-

kuTxeds?

A. 8 B. 7 C. 10 D. 9 25.12. mravalkuTxedis ori mosazRvre wverodan gavle-

buli diagonalebis raodenobaa 12. ramdeni gverdi aqvs am

mravalkuTxeds?

A. 11 B. 10 C. 9 D. 12 25.13. mravalkuTxedis ori aramosazRvre wverodan gav-

lebuli diagonalebis raodenobaa 13. ramdeni gverdi aqvs

am mravalkuTxeds?

A. 11 B. 10 C. 9 D. 12 25.14. mravalkuTxedis diagonalebis raodenobaa 44. ram-

deni gverdi aqvs am mravalkuTxeds?

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 25.15. mravalkuTxedis diagonalebis raodenoba 2-jer me-

tia gverdebis raodenobaze. ramdeni gverdi aqvs am mraval-

kuTxeds?

A. 7 B. 8 C. 6 D. 9 25.16. ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, Tu misi gve-

rdebisa da diagonalebis raodenoba tolia?

A. 6 B. 5 C. 4 D. 8 25.17. mravalkuTxedis erTi wverodan gavlebulia yvela

SesaZlo diagonali. mravalkuTxedSi miRebuli samkuTxede-

bis raodenobaa 9. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 25.18. Tu oTxkuTxedis sami gverdia 3, 4 da 5, maSin meo-

Txe gverdi ar SeiZleba iyos

A. 13 B. 11 C. 10 D. 9 25.19. YTu oTxkuTxedis sami gverdia 5, 6 da 13, maSin me-

oTxe gverdi ar SeiZleba iyos

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 25.20. Tu oTxkuTxedis momdevno gverdebia 2, 3, 4 da 6,

maSin oTxkuTxedis diagonali ar SeiZleba iyos

A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 25.21. wesieri eqvskuTxedis gverdia 4. ipoveT am eqvskuT-

xedis didi diagonali.

25.22. wesieri eqvskuTxedis gverdia 32 . ipoveT am eqvs-

kuTxedis mcire diagonali.

25.23. wesieri eqvskuTxedis gverdia 4 32 . ipoveT wesieri

183

eqvskuTxedis farTobi.

25.24. ABCDE xuTkuTxedis B , D da E kuTxeebi marTia.

ipoveT am xuTkuTxedis perimetri, Tu 8== CDAE , 12=AB

da 5=BC .

25.25. ABCDE xuTkuTxedis A da C kuTxeebi marTia.

ipoveT am xuTkuTxedis farTobi, Tu 2=== DEBCAB da

1== CDAE .

25.26. ABCD oTxkuTxedis AC da BD diagonalebi Sesa-

bamisad CD da AB gverdebis marTobulia. ipoveT oTxkuT-

xedis umciresi diagonali, Tu 10=AB , 16=CD da o30=∠ADB .

25.27. ABCD oTxkuTxedis A da B kuTxis biseqtrisebi

M wertilSi ikveTebian. ipoveT AMB kuTxis sidide, Tu o100=∠D da

o120=∠C .

25.28. ABCD oTxkuTxedis AC da BD diagonalebi urTi-

erTmarTobulia. gamoTvaleT 22 CDAB + , Tu 3=AD da

4=BC .

25.29. oTxkuTxedis diagonalebi urTierTmarTobulia.

ipoveT diagonalebis gadakveTis wertilidan gverdebis

Suawertilebamde manZilebis jami, Tu am oTxkuTxedis pe-

rimetria 30.

25.30. oTxkuTxedis mopirdapire gverdebis Suawertile-

bis SemaerTebeli monakveTebi tolia. ipoveT kuTxe oTxku-

Txedis diagonalebs Soris.

%37/!lwbesbuj/!nbsUlvUyfej

26.1. kvadratis diagonalis sigrZea 4. misi gverdi meore kvadratis diagonalis tolia. ipoveT meore kvadratis gve-

rdis sigrZe.

A. 1 B. 2 C. 4 D. 0,5 26.2. kvadratis gverdis sigrZea 1. misi diagonali meore

kvadratis gverdis tolia. ipoveT meore kvadratis diago-

nali.

A. 0,5 B. 3 C. 2 D. 1 26.3. kvadratis diagonalis sigrZea 12. kvadratis wveroe-

bze gavlebulia diagonalebis paraleluri wrfeebi. ipo-

veT miRebuli oTxkuTxedis gverdis sigrZe.

A. 10 B. 12 C. 8 D. 6 26.4. kvadratis gverdis sigrZea 22 . kvadratis wveroeb-

184

ze gavlebulia diagonalebis paraleluri wrfeebi. ipoveT

miRebuli oTxkuTxedis perimetri.

A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 26.5. ipoveT im kvadratis gverdi, romlis farTobis da

perimetris ricxviTi mniSvnelobebi tolia.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 26.6. ipoveT im kvadratis gverdi, romlis farTobi ric-

xobrivad 2-jer naklebia perimetrze.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 26.7. kvadratis Siga wertilze gavlebulia gverdebis pa-

raleluri wrfeebi. miRebuli oTxi marTkuTxedidan sami

momdevnos farTobia 6, 8 da 20. ipoveT kvadratis farTobi.

A. 36 B. 49 C. 64 D. 81 26.8. kvadratis farTobis ra nawils Seadgens misi sami

gverdis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxedis

farTobi?

A. 21 B.

31 C.

41 D.

51

26.9. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kvad-

rati ise, rom misi ori wvero hipotenuzaze mdebareobs,

danarCeni ki kaTetebze. ipoveT kvadratis gverdis sigrZe,

Tu hipotenuzis sigrZea 3. A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2 26.10. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kva-

drati ise, rom misi ori wvero hipotenuzaze mdebareobs,

danarCeni ki kaTetebze. ipoveT kvadratis diagonalis sig-

rZe, Tu hipotenuzis sigrZea 26 .

A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 3 26.11. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kva-

drati ise, rom maT aqvT saerTo marTi kuTxe da kvadratis

am kuTxis mopirdapire wvero hipotenuzaze mdebareobs.

ipoveT kvadratis gverdis sigrZe, Tu kaTetis sigrZea 4. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

26.12. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kva-

drati ise, rom maT aqvT saerTo marTi kuTxe da kvadratis

am kuTxis mopirdapire wvero hipotenuzaze mdebareobs.

ipoveT kvadratis diagonalis sigrZe, Tu kaTetis sigrZea

22 .

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 26.13. ipoveT kvadratis farTobi, Tu misi diagonalis

sigrZea 4.

185

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 26.14. mocemuli kvadratis diagonalze, rogorc gverdze,

agebulia meore kvadrati. ipoveT mocemulisa da miRebuli

kvadratebis farTobebis Sefardeba.

A. 41 B.

21 C.

31 D.

61

26.15. ori kvadratis farTobTa Sefardebaa 4:7. ipoveT

mcire kvadratis gverdis sigrZe, Tu didi kvadratis gve-

rdis sigrZea 72 .

A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 26.16. ori kvadratis gverdebis sigrZeTa Sefardebaa 1:2,

xolo am kvadratebis farTobTa jamia 20. ipoveT mcire kva-

dratis gverdis sigrZe.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26.17. marTkuTxedis diagonalebi 50 o -is tol kuTxes ad-

genen erTmaneTTan. gansazRvreT kuTxe diagonalsa da mar-

TkuTxedis did gverds Soris.

A. 15 o B. 25 o C. 20 o D. 45 o

26.18. marTkuTxedis diagonaliT da gverdiT Sedgenili

kuTxe udris 36 o . ipoveT diagonalebs Soris umciresi kuT-

xis sidide.

A. 72 o B. 48 o C. 36 o D. 50 o

26.19. marTkuTxedis wverodan diagonalze daSvebuli pe-

rpendikulari marT kuTxes yofs SefardebiT 3:1. ipoveT

kuTxis sidide am perpendikularsa da meore diagonals

Soris.

A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 15 o

26.20. marTkuTxedis diagonali gverdTan adgens 30 o -is tol kuTxes. marTi kuTxis wverodan am diagonalze daSve-

bulia perpendikulari. ipoveT kuTxe am perpendikularsa

da meore diagonals Soris.

A. 15 o B. 30 o C. 45 o D. 60 o

26.21. marTkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,

rogorc 3:4. ipoveT marTkuTxedis sigane, Tu misi perimet-

ria 140. A. 20 B. 50 C. 40 D. 30

26.22. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertili-

dan gverdebamde manZilebia 4 da 6. ipoveT marTkuTxedis pe-

186

rimetri.

A. 40 B. 50 C. 30 D. 20 26.23. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertili,

mcire gverdidan 2-iT ufro Sorsaa, vidre dididan. marT-

kuTxedis perimetria 56. ipoveT didi gverdi.

A. 18 B. 16 C. 20 D. 14 26.24. marTkuTxedis farTobia 36, xolo misi gverdebis

Sefardebaa 4:9. ipoveT marTkuTxedis perimetri.

A. 26 B. 13 C. 28 D. 14 26.25. marTkuTxedis perimetria 14, xolo misi gverdebis

Sefardebaa 3:4. ipoveT marTkuTxedis farTobi.

A. 10 B. 12 C.14 D. 16 26.26. marTkuTxedis sigrZe samjer metia siganeze. ipoveT

am marTkuTxedis perimetri, Tu misi farTobia 27. A. 18 B. 24 C. 30 D. 29 26.27. marTkuTxedis kuTxis biseqtrisa did gverds yofs

Suaze. ipoveT marTkuTxedis farTobi, Tu misi mcire gver-

dis sigrZea 2. A. 8 B. 4 C. 6 D. 10

26.28. marTkuTxedis gverdebis sigrZeebia 2 da 3. ipoveT

misi msgavsi marTkuTxedis farTobi, romlis mcire gverdi

5-is tolia.

A. 35,5 B. 36,5 C. 37,5 D. 38,5 26.29. ABCD marTkuTxedis CD gverdis sigrZe 8 sm-ia. am

marTkuTxedis AD gverdze aRebulia M wertili ise, rom

MD=2 sm. ipoveT AM monakveTis sigrZe, Tu BMC samkuTxe-

dis farTobi 24 sm2-ia.

A. 6 sm B. 5 sm C. 4 sm D. 2 sm 26.30. naxazze mocemulia ori kvadrati.

erTis gverdis sigrZea 6 sm, meoris _ 3 sm.

ipoveT gamuqebuli figuris farTobi.

A. 6 sm2 B. 9 sm2 C. 12 sm2 D. 18 sm2

26.31. ABCD marTkuTxedSi O aris AC da BD diagonale-

bis gadakveTis wertili. K aris BC gverdis Sua wertili,

xolo P warmoadgens AK da BD monakveTebis TanakveTis we-

rtils. ipoveT AC:PO.

A. 8:1 B. 13:3 C. 3:1 D. 6:1 26.32. ABCD marTkuTxedis BD diagonalze agebulia

BMND marTkuTxedi ise, rom MN gverdi BD diagonalis pa-

3 sm6 sm

187

raleluria da gadis C wveroze. ipoveT BMND marTkuTxe-

dis farTobi, Tu AB=3 sm da AD=4 sm.

A. 8 sm2 B. 10 sm2 C. 12 sm2 D. 15 sm2 26.33. ABCD marTkuTxedSi BC gverdze aRebulia E werti-

li ise, rom BE=1 sm, EC=9 sm da ∠AED=90°. ipoveT AB gve-rdis sigrZe.

A. 2 sm B. 3 sm C. 6 sm D. 9 sm 26.34. ABCD kvadratis BC gverdze aRebulia E wertili,

xolo AE monakveTze F wertili ise, rom AE⊥DF, AF=3 sm, DF=4 sm. ramdeni santimetria BE monakveTis sigrZe? A. 2,75 B. 3 C. 3,75 D. 4,5

26.35. kvadrati ori urTierTmarTobuli wrfiT gayofi-

lia or marTkuTxedad da or kvadratad ise, rom erTi

marTkuTxedisa da erTi kvadratis farTobebia Sesabamisad

10 sm2 da 25 sm2. ipoveT mocemuli kvadratis gverdi.

A. 6 sm B. 7 sm C. 8 sm D. 10 sm 26.36. marTkuTxedis diagonalebs Soris kuTxis sididea

60 o . orive diagonalisa da orive mcire gverdis jamia 18. ipoveT diagonalis sigrZe.

A. 8 B. 6 C. 10 D. 12 26.37. marTkuTxedis Siga wertilze gavlebulia gverde-

bis paraleluri wrfeebi. miRebuli oTxi marTkuTxedidan

sami momdevnos farTobia 2, 5 da 15. ipoveT marTkuTxedis

farTobi.

A. 26 B. 24 C. 30 D. 28 26.38. samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi ori

wvero fuZeze mdebareobs, danarCeni ori ki ferdebze. ipo-

veT kvadratis gverdi, Tu samkuTxedis simaRlea 6, fuZe ki 12.

26.39. samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi ori

wvero fuZeze mdebareobs, danarCeni ori ki ferdebze. ipo-

veT samkuTxedis simaRle, Tu samkuTxedis fuZis sigrZea 6, xolo kvadratis gverdis sigrZea 2.

26.40. ABCD kvadratis gareT aRebulia N wertili ise,

rom BCN tolgverda samkuTxedia. ipoveT DNC samkuTxe-

dis farTobi, Tu 8=AB .

26.41. ABCD kvadratis gverdia 6. AD gverdis Suawerti-

lia N . AC da BN monakveTebi M wertilSi ikveTebian.

ipoveT ABM samkuTxedis farTobi.

188

26.42. M da N wertilebi aris ABCD kvadratis AB da

AD gverdebis Suawertilebi. ipoveT AMCN oTxkuTxedis

farTobi, Tu kvadratis farTobia 12.

26.43. ABCD kvadratis AB da AD gverdebze Sesabamisad

aRebulia M da N wertilebi ise, rom 3:2:: == NDANMBAM .

kvadratis farTobis ra nawils Seadgens AMCN oTxkuTxe-

dis farTobi?

26.44. kvadratis diagonalebi dayofilia sam tol nawi-

lad. dayofis wertilebi SeerTebulia mimdevrobiT. ipoveT

miRebuli figuris perimetri, Tu kvadratis gverdia 9.

26.45. marTkuTxedis wverodan mis diagonalze daSvebuli

perpendikulari am diagonals yofs SefardebiT 1:3. ipoveT diagonalis sigrZe, Tu marTkuTxedis mcire gverdis sig-

rZea 8. 26.46. marTkuTxedis perimetria 10, xolo misi farTobi 6.

ipoveT gverdebis sigrZe.

26.47. samkuTxedSi Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi

didi gverdi fuZeze mdebareobs, ori wvero ki ferdebzea

moTavsebuli. marTkuTxedis gverdebis Sefardebaa 2:3. ipo-veT marTkuTxedis didi gverdis sigrZe, Tu samkuTxedis

simaRlea 4, fuZe ki 6. 26.48. samkuTxedSi Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi

mcire gverdi fuZeze mdebareobs, ori wvero ki ferdebzea

moTavsebuli. marTkuTxedis gverdebis Sefardebaa 2:3. ipo-veT marTkuTxedis mcire gverdis sigrZe, Tu samkuTxedis

simaRlea 6, fuZe ki 4. 26.49. marTkuTxedis ori wverodan diagonalze daSvebu-

li perpendikularebi am diagonals yofs sam tol monakve-

Tad. marTkuTxedis mcire gverdis sigrZea 23 . ipoveT di-

di gverdi.

26.50. marTkuTxedis ori wverodan diagonalze daSvebu-

li perpendikularebi am diagonals yofs sam monakveTad,

romelTa sigrZeebis Sefardebaa 1:2:1. ipoveT didi gverdis

sigrZe, Tu mcire gverdis sigrZea 3 .

26.51. marTkuTxedis sigrZe 2-jer metia siganeze. marTku-

Txedis wveroebidan gavlebulia biseqtrisebi. biseqtrise-

bis gadakveTis wertilebiT miRebuli figuris farTobia 8. ipoveT marTkuTxedis farTobi.

26.52. ABCD marTkuTxedis M Siga wertilidan A , B da

C wertilebamde manZilebia Sesabamisad 5, 2 da 10. ipoveT

189

MD monakveTis sigrZe.

26.53. ABCD marTkuTxedis AB gverdis sigrZea 5, BC

gverdis ki 3. E wertili am marTkuTxedis CD gverdze

mdebareobs, xolo AF monakveTi A wverodan BE monakve-

Tze daSvebuli marTobia. risi tolia ADEF oTxkuTxedis

farTobi, Tu AFB da ECB marTkuTxa samkuTxedebi erTma-

neTis tolia?

26.54. marTkuTxedis gverdebia 2 da 4. ipoveT oTxive ku-

Txis biseqtrisebiT miRebuli figuris farTobi.

26.55. marTkuTxedis gverdebia 2 da 6. ipoveT oTxive ku-

Txis biseqtrisebiT miRebuli figuris farTobi.

26.56. M aris ABCD kvadratis BC gverdis Sua wertili,

xolo N warmoadgens AM monakveTisa da BD diagonalis

gadakveTis wertils. ipoveT ABN samkuTxedisa da ABCD

kvadratis farTobebis Sefardeba.

26.57. M aris ABCD marTkuTxedis BC gverdis Sua

wertili, xolo N warmoadgens AM monakveTisa da BD

diagonalis gadakveTis wertils. ipoveT ABN samkuTxedis

farTobi, Tu AB=2 sm da BC=3 sm. 26.58. ABCD marTkuTxedis AD gverdze aRebulia M

wertili ise, rom AM=3 sm da MD=2 sm. BM monakveTze

daSvebulia CN marTobi. gamoTvaleT CDMN oTxkuTxedis

farTobi, Tu marTkuTxedis AB gverdi 4 sm-ia. 26.59. ABCD kvadratis gverdi 8 sm-ia. AB da BC

gverdebze aRebulia Sesabamisad M da N wertilebi ise,

rom ∠MND=90° da DN=10 sm. ipoveT AMND oTxkuTxedis

farTobi.

26.60. ABCD kvadratis gverdis sigrZe 4 sm-ia. M, N, K da L wertilebi Sesabamisad AB, BC, CD da AD gverdebis Sua

wertilebia, xolo E aris MN monakveTis Sua wertili.

ipoveT LEK samkuTxedis farTobi.

26.61. M, N, K da L wertilebi Sesabamisad arian ABCD

marTkuTxedis AB, BC, CD da AD gverdebis Sua wertilebi.

T aris KL monakveTis Sua wertili. ABCD marTkuTxedis

farTobis ra nawils Seadgens MNT samkuTxedis farTobi?

26.62. samkuTxedSi, romlis fuZis sigrZea a sm da

simaRlea h sm, Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi ori

wvero samkuTxedis fuZeze mdebareobs, xolo danarCeni

ori wvero samkuTxedis ferdebze. ipoveT am tipis

marTkuTxedebis farTobebs Soris udidesi.

190

26.63. samkuTxedSi, romlis fuZesTan mdebare kuTxeebia

60° da 45°, Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi ori wve-

ro samkuTxedis fuZeze mdebareobs, xolo danarCeni ori

wvero _ samkuTxedis ferdebze. ipoveT am tipis marTkuTxe-

debs Soris udidesi farTobis mqone marTkuTxedis gverde-

bis Sefardeba.

26.64. ABC marTkuTxa samkuTxedis AB hipotenuzaze age-bulia kvadrati ABMN (kvadrati ar faravs samkuTxeds).

ipoveT ACBMN tipis mravalkuTxedis farTobTa Soris um-

ciresi, Tu AC+BC=6. !

%38/!qbsbmfmphsbnj 27.1. paralelogramis ori kuTxis sxvaobaa 60 o . ipoveT

paralelogramis blagvi kuTxe.

A. 100 o B. 120 o C. 150 o D. 160 o 27.2. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxe, Tu is 5-jer

naklebia paralelogramis blagv kuTxeze.

A. 30 o B. 50 o C. 60 o D. 62 o

27.3. paralelogramis kuTxeebi ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 3:7. ipoveT paralelogramis blagvi kuTxe.

A. 26 o B. 154 o C. 126 o D. 92 o

27.4. ABCD paralelogramis BD diagonali CD gverd-

Tan adgens 68 o -is tol kuTxes. ipoveT ADB∠ , Tu o114=∠ABC .

A. 32 o B. 14 o C. 22 o D. 46 o

27.5. ABCD paralelogramis AC diagonali DC gverdTan ad-

gens 40 o -is tol kuTxes. ipoveT CAD∠ , Tu o110=∠ABC .

A. 50 o B. 20 o C. 40 o D. 30 o 27.6. paralelogramis maxvili kuTxis wverodan gavle-

bul simaRleebs Soris kuTxe udris 112 o -s. ipoveT parale-

logramis maxvili kuTxe.

A. 68 o B. 78 o C. 52 o D. 75 o

27.7. paralelogramis ori kuTxe ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 1:4. ipoveT kuTxe paralelogramis maxvili

kuTxis wverodan gavlebul simaRleebs Soris.

A. 36 o B. 72 o C. 108 o D. 144 o

191

27.8. ABCD paralelogramis B blagvi kuTxis wverodan

gavlebuli BM simaRle AB gverdTan adgens 20 o -ian kuTxes. ipoveT kuTxe amave wverodan gavlebul meore simaRlesa

da BC gverds Soris.

A. 50 o B. 60 o C. 20 o D. 80 o

27.9. paralelogramis ori kuTxe ise Seefardeba erT-

maneTs, rogorc 2:3. ipoveT kuTxe paralelogramis blagvi

kuTxis wverodan gavlebul simaRleebs Soris.

A. 36 o B. 72 o C. 108 o D. 80 o 27.10. ABCD paralelogramSi B wverodan AD gverdze

daSvebuli simaRle am gverds Suaze yofs. ipoveT parale-

logramis perimetri, Tu BD=5 da AD=7. A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

27.11. ABCD paralelogramSi B wverodan AD gverdze daS-vebuli marTobi am gverds Suaze yofs. ipoveT AD gverdi, Tu BD=10, xolo paralelogramis perimetri 52-is tolia.

A. 10 B. 20 C. 25 D. 16 27.12. paralelogramSi blagvi kuTxe udris 120 o -s. para-

lelogramis blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle

mopirdapire gverds Suaze yofs. ipoveT paralelogramis

mcire gverdi, Tu perimetri 32-is tolia.

A. 2 B. 16 C. 4 D. 8 27.13. paralelogramis maxvili kuTxea 60 o . paralelog-

ramis blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle para-

lelogramis gverds Suaze yofs. ipoveT paralelogramis

mcire diagonali, Tu perimetri 60-is tolia.

A. 10 B. 20 C. 15 D. 5 27.14. ABCD paralelogramSi B blagvi kuTxis wverodan

gavlebuli simaRle AD gverds Suaze yofs. ipoveT parale-

logramis perimetri, Tu BD=5 da o60=∠ADB .

A. 20 B. 10 C. 5 D. 15 27.15. paralelogramis blagvi kuTxis biseqtrisa mopir-

dapire gverds yofs SefardebiT 2:1, maxvili kuTxis wve-

ros mxridan. ipoveT paralelogramis mcire gverdi, Tu mi-

si perimetria 50. A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

27.16. paralelogramis blagvi kuTxis biseqtrisa mopir-

dapire gverds yofs SefardebiT 3:2, maxvili kuTxis wve-

ros mxridan. ipoveT paralelogramis perimetri, Tu para-

192

lelogramis mcire gverdi 15-is tolia.

A. 80 B. 70 C. 100 D. 60 27.17. paralelogramis erTi kuTxe 3-jer metia meoreze.

blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle mopirdapire

gverds maxvili kuTxis wveros mxridan CamoWris 4-is tol

monakveTs. ipoveT paralelogramis simaRle.

A. 2 B. 8 C. 4 D. 1 27.18. ABCD paralelogramSi gavlebulia C kuTxis biseq-

trisa, romelic AD gverds E wertilSi gadakveTs. ipoveT

AE, Tu AB=3, BC=8. A. 8 B. 3 C. 5 D. 2 27.19. paralelogramis gverdebia 10 da 4. mis did gverd-

Tan mdebare kuTxeebis biseqtrisebi mopirdapire gverds

yofen sam nawilad. ipoveT am nawilebiadan umciresi.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 27.20. paralelogramis gverdebia 15 sm da 8 sm. mis did

gverdTan mdebare kuTxeebis biseqtrisebi mopirdapire gve-

rds yofen sam nawilad. ipoveT am nawilebidan umciresi.

A. 7 B. 1 C. 0,5 D. 5 27.21. ABCD paralelogramSi diagonalebis gadakveTis we-

rtilze gavlebulia wrfe, romelic AB da CD gverdebze CamoWris monakveTebs: AE=2, DK=7. ipoveT AB.

A. 2 B. 5 C. 3 D. 9 27.22. paralelogramis diagonalebia 6 da 22 , xolo

maT Soris mdebare kuTxea 45 o . ipoveT paralelogramis fa-

rTobi.

A. 6 B. 3 2 C. 4 D. 9 27.23. paralelogramis farTobia 9. ipoveT misi toldidi

kvadratis gverdis sigrZe.

A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 27.24. paralelogramsa da marTkuTxeds Sesabamisad to-

li gverdebi aqvT. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxe,

Tu misi farTobi marTkuTxedis farTobis naxevaria.

A. 30 o B. 45 o C. 90 o D. 60 o

27.25. paralelogramSi gverdisadmi gavlebuli simaRle

oTxjer naklebia am gverdze. ipoveT es gverdi, Tu para-

lelogramis farTobia 64. A. 4 B. 16 C. 20 D. 24 27.26. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu misi gverde-

bia 3 da 32 , xolo maT Soris kuTxea 60 o .

193

A. 3 B. 8 C. 6 D. 9 27.27. paralelogramis farTobia 18, xolo misi gverdebia

4 da 9. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxis gradusuli

zoma.

A. 15 o B. 90 o C. 30 o D. 60 o

27.28. paralelogramis gverdebia 10 da 6. manZili did

gverdebs Soris aris 3. ipoveT manZili mcire gverdebs So-

ris.

A. 2 B. 4 C. 6 D. 5 27.29. ABCD paralelogramis BC gverdze aRebulia M

wertili. paralelogramis farTobis ra nawils Seadgens

AMD samkuTxedis farTobi.

A. 31 B.

32 C.

41 D.

21

27.30. paralelogramSi simaRleebi ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 2:3. ipoveT paralelogramis mcire gverdi,

Tu misi didi gverdia 9. A. 4 B. 6 C. 2 D. 8

27.31. paralelogramis gverdebis Suawertilebi SeerTe-

bulia mimdevrobiT. ipoveT miRebuli oTxkuTxedis farTo-

bi, Tu paralelogramis farTobia 64. A. 8 B. 32 C. 16 D. 48

27.32. paralelogramis gverdebis Suawertilebi SeerTe-

bulia mimdevrobiT. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu

miRebuli oTxkuTxedis farTobia 8. A. 8 B. 32 C. 16 D. 20

27.33. paralelogramis gverdebia 5 da 10. ipoveT parale-

logramis Siga kuTxeebis biseqtrisebis gadakveTiT miRebu-

li oTxkuTxedis diagonali.

A. 1 B. 5 C. 6 D. 4 27.34. tolferda samkuTxedis ferdia 10. am samkuTxedis

fuZeze mdebare wertilidan gavlebulia gverdebis para-

leluri ori wrfe. ipoveT miRebuli paralelogramis pe-

rimetri.

A. 15 B. 20 C. 22 D. 25 27.35. tolferda samkuTxedis fuZeze mdebare wertili-

dan gavlebulia ferdebis paraleluri wrfeebi. miRebuli

paralelogramis perimetria 50. ipoveT samkuTxedis ferdi.

A. 25 B. 20 C. 22 D. 27 27.36. paralelogramis kuTxeebi ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 2:3. ipoveT kuTxe paralelogramis blagvi

194

kuTxis wverodan gavlebul simaRlesa da biseqtrisas So-

ris.

A. 30º B. 32º C. 36º D. 38º 27.37. paralelogramis erTi kuTxe 3-jer metia meoreze.

ipoveT blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle, Tu

paralelogramis mcire gverdi 3 2 -is tolia.

A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 27.38. paralelogramis erTi kuTxe 2-jer metia meoreze.

ipoveT paralelogramis mcire gverdi, Tu blagvi kuTxis

wverodan gavlebuli simaRle 35 -is tolia.

A. 10 B. 8 C. 12 D. 14 27.39. ABCD paralelogramis perimetria 20. ipoveT BD di-

agonali, Tu ABD samkuTxedis perimetria 15. A. 3 B. 6 C. 5 D. 7 27.40. ABCD paralelogramis perimetria 40. ipoveT AC

diagonali, Tu ACD samkuTxedis perimetria 30. A. 8 B. 10 C. 6 D. 12 27.41. paralelogramis perimetri 36-ia. misi TiToeuli

diagonali dayofilia sam tol monakveTad. ipoveT im oTx-

kuTxedis perimetri, romlis wveroebi dayofis werti-

lebia.

A. 6 B. 10 C. 12 D. 8 27.42. paralelogramis TiToeuli diagonali dayofilia

sam tol monakveTad. im oTxkuTxedis perimetri, romlis

wveroebi dayofis wertilebia, 30-is tolia. ipoveT mocemu-

li paralelogramis perimetri.

A. 85 B. 90 C. 80 D. 95 27.43. ABCD paralelogramSi AB=420. BC gverdze aRebulia

E wertili ise, rom BE:EC=5:7. gavlebulia DE wrfe, ro-

melic AB-s gagrZelebas F wertilSi kveTs. ipoveT BF. 27.44. paralelogramis diagonali gverdis marTobulia

da meore gverdTan adgens 30 o -ian kuTxes. ipoveT parale-

logramis mcire gverdi, Tu paralelogramis perimetria

60. 27.45. paralelogramis perimetria 180, maxvili kuTxe 60 o .

paralelogramis diagonali blagv kuTxes yofs Sefarde-

biT 1:3. ipoveT paralelogramis didi gverdi.

27.46. paralelogramis gverdebia 23 da 11, diagonalebi

195

ki ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT parale-

logramis mcire diagonali.

27.47. paralelogramis diagonalebia 17 da 19, gverdebi ki ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT paralelo-

gramis mcire gverdi.

27.48. paralelogramis diagonalebia 12 da 14, gverdebis sxvaoba ki 4-ia. ipoveT paralelogramis didi gverdi.

27.49. paralelogramis mcire gverdi 2-jer naklebia mci-

re diagonalsa da did gverdze. ipoveT paralelogramis

mcire gverdi, Tu misi didi diagonali 12-is tolia.

27.50. paralelogramis gverdebis sigrZeebia 23 da 4 2 . erT-erTi diagonali misi gverdis marTobulia. ipoveT di-

di diagonalis sigrZe.

27.51. paralelogramis erTi gverdia 51, diagonalebi ki

40 da 74. ipoveT paralelogramis mocemul gverdze daSve-

buli simaRle.

27.52. paralelogramis gverdebia 2 da 3, xolo maT So-

ris mdebare kuTxea 60 o . ipoveT paralelogramis blagvi

kuTxis wverodan didi gvedisadmi gavlebuli simaRle.

27.53. paralelogramis blagvi kuTxis wverodan gavle-

buli simaRleebia 3 da 4, xolo maT Soris kuTxea 30 o . ipoveT paralelogramis mcire diagonali.

27.54. paralelogramis perimetri 30 sm-ia, xolo maxvili

kuTxe 60°. paralelogramis blagvi kuTxe diagonaliT iyo-

fa 1:3 SefardebiT. gamoTvaleT paralelogramis farTobi.

27.55. paralelogramis erTi wverodan gavlebuli simaR-

leebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 4:9. ipoveT paralelo-

gramis perimetri, Tu misi umciresi gverdia 8. 27.56. paralelogramis perimetria 80, xolo simaRleebia

3 da 5. ipoveT paralelogramis farTobi.

27.57. paralelogramis perimetria 70, xolo simaRleebia

2 da 5. ipoveT paralelogramis mcire gverdi.

27.58. paralelogramis perimetria 112, misi simaRleebi

ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:5. ipoveT paralelog-

ramis mcire gverdi.

27.59. paralelogramis perimetria 280. ipoveT misi didi

gverdi, Tu paralelogramis simaRleebia 10 da 60. 27.60. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 3:4, xolo Siga kuTxeebis biseqtrisebiT Sed-

genili oTxkuTxedis erT-erTi diagonali udris 5. ipoveT

196

paralelogramis mcire gverdi.

27.61. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTma-

neTs rogorc 1:2, xolo Siga kuTxeebis biseqtrisebiT Sed-

genili oTxkuTxedis erT-erTi diagonali udris 5. ipoveT

paralelogramis gverdebi.

27.62. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTma-

neTs, rogorc 2:7. paralelogramis Siga kuTxeebis biseqt-

risebiT Sedgenili oTxkuTxedis erT-erTi diagonalia 10.

ipoveT paralelogramis gverdebi.

27.63. ABCD paralelogramis BC gverdze aRebuli M

wertilidan AB da CD gverdebis Semcvel wrfeebamde man-

Zilebia 1 da 3. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu

4=AB .

27.64. M wertili moTavsebulia ABCD paralelogramis

AC diagonalze ise, rom 1:2: =MCAM . BM wrfe DC gve-

rds kveTs N wertilSi. ipoveT NDCN

.

27.65. ABCD paralelogramis AC diagonali P da Q

wertilebiT gayofilia sam tol nawilad. daadgineT ra

SefardebiT gayofs BQ da DP wrfeebi mocemuli

paralelogramis farTobs.

27.66. ABCD paralelogramis AC diagonali M , N da

L wertilebiT gayofilia oTx tol nawilad. ra Sefarde-

biT yofs paralelogramis gverds BM wrfe? ( A wveros

mxridan)

27.67. ABCD paralelogramis AD gverdze aRebulia E

wertili ise, rom 3:2: =EDAE . ras udris BCDE oTxkuT-

xedis farTobi, Tu ABCD paralelogramis farTobia 50.

27.68. ABCD paralelogramis BC gverdis M Suawerti-

lze da A wveroze gavlebuli wrfe BD diagonals gada-

kveTs O wertilSi. ipoveT OMCD oTxkuTxedis farTobi,

Tu ABCD paralelogramis farTobia 12.

27.69. ABCD marTkuTxedis AB da CD gverdebze Sesabami-sad aRebulia M da N wertilebi ise, rom

1:3:: == NDCNMBAM . M wertili SeerTebulia D da C

wveroebTan, xolo N ki A da B wveroebTan. ipoveT marT-

kuTxedis SigniT miRebuli paralelogramis farTobis Se-

fardeba mocemuli marTkuTxedis farTobTan.

27.70. ABCD paralelogramis AB da CD gverdebze aRe-

bulia Sesabamisad M da N wertilebi ise, rom

1:4:: == NDCNMBAM . ipoveT MD , MC , NA da NB monak-

197

veTebiT miRebuli paralelogramis farTobi, Tu mocemuli

paralelogramis farTobia 50.

27.71. ABCD paralelogramSi RQP ,, da N wertilebi

warmoadgenen Sesabamisad AB , BC , CD da DA gverdebis

Suawertilebs. ipoveT AQ , BR , CN da DP wrfeebiT Sed-

genili figuris farTobi, Tu paralelogramis farTobia

30. !

$28. rombi

28.1. rombis diagonalis mier mis gverdTan Sedgenili

kuTxe 72 o -is tolia. ipoveT rombis maxvili kuTxe.

A. 18 o B. 36 o C. 30 o D. 72 o

28.2. rombis diagonalebis mier mis erT gverdTan Sedge-

nili kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipo-veT rombis maxvili kuTxe.

A. 30 o B. 36 o C. 80 o D. 72 o 28.3. rombis gverdi mis diagonalebTan Seadgens kuTxe-

ebs, romelTa sxvaoba udris 20 o -s. ipoveT rombis blagvi

kuTxe.

A. 110 o B. 130 o C. 108 o D. 142 o 28.4. ipoveT rombis blagvi kuTxe, Tu misi erTi diago-

nali udris rombis gverds.

A. 140 o B. 120 o C. 100 o D. 150 o

28.5. ipoveT rombis blagvi kuTxe, Tu rombis gverdi or-

jer metia mis simaRleze.

A. 100 o B. 140 o C. 120 o D. 150 o 28.6. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen

50 o -ian kuTxes. ipoveT rombis blagvi kuTxe.

A. 110 o B. 120 o C. 130 o D. 150 o

28.7. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen

150 o -is tol kuTxes. ipoveT rombis maxvili kuTxe. A. 50 B. 30 C. 20 D. 120

28.8. ipoveT rombis perimetri, Tu misi simaRlea 2, xolo

blagvi kuTxe xuTjer metia maxvil kuTxeze.

A. 4 B. 16 C. 8 D. 20

198

28.9. ipoveT rombis farTobi, Tu misi kuTxeebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 1:5, xolo gverdia 6. A. 18 B. 18 3 C. 36 D. 36 3 28.10. rombis farTobia 25. ipoveT misi toldidi kvad-

ratis gverdi.

A. 10 B. 5 C. 5 D. 10

30.11. ipoveT rombis farTobi, Tu misi gverdia 10, xolo

erT-erTi diagonalia 12. A. 48 B. 96 C. 192 D. 104 30.12. ipoveT rombis farTobi, Tu misi diagonalebia 18 da 8. A. 144 B. 36 C. 84 D. 72 30.13. ipoveT rombis gverdi, Tu misi diagonalebia 8 da 6. A. 6 B. 3 C. 5 D. 10 28.14. rombis farTobi ricxobrivad oTxjer metia rom-

bis simaRleze. ipoveT rombis gverdi.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 28.15. rombis diagonalebis namravli 6-jer metia rombis

gverdze. ipoveT rombis simaRle.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 28.16. rombs da kvadrats toli gverdebi aqvT. ipoveT

rombis maxvili kuTxis sidide, Tu rombis farTobi 2-jer

naklebia kvadratis farTobze.

A. 20 o B. 30 o C. 40 o D. 50 o 28.17. rombis wverodan gavlebuli simaRlis mier gver-

dTan Sedgenili kuTxe 2-jer naklebia rombis maxvil kuT-

xeze. ipoveT rombis gverdi, Tu misi simaRlea 310 .

A. 18 B. 20 C. 24 D. 26 28.18. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen

135 o -ian kuTxes. ipoveT rombis simaRle, Tu gverdi udris

5 2 -s. A. 5 B. 3 C. 6 D. 4 28.19. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen

120 o -ian kuTxes. ipoveT rombis gverdi, Tu simaRlea 10 3 . A. 15 B. 10 C. 20 D. 25 28.20. rombis perimetria 24, simaRle ki 3. ipoveT rombis

blagvi kuTxe.

A. 120 o B. 110 o C. 140 o D. 150 o 28.21. ABCD rombSi maxvili kuTxe ∠A=30°. AB gverdze

aRebulia M wertili ise, rom MD=BD. ipoveT ∠MDB.

199

A. 90° B. 60° C. 30° D. 45° 28.22. mocemulia ABCD oTxkuTxedi da oTxi winadadeba:

1) ABCD oTxkuTxedis diagonalebi tolia;

2) ABCD oTxkuTxedis mopirdapire kuTxeebi tolia;

3) ABCD oTxkuTxedis diagonalebi marTi kuTxiT ik-

veTeba;

4) ABCD oTxkuTxedi rombia

am winadadebebidan romeli ori ar SeiZleba erTd-

roulad iyos WeSmariti? A. 1) da 2) B. 1) da 3) C. 1) da 4) D. 2) da 3)

28.23. rombis erTi wverodan gavlebuli simaRle da mci-

re diagonali erTmaneTTan adgenen 15 o -ian kuTxes. ipoveT

rombis simaRle, Tu misi perimetria 40. 28.24. rombis erTi wverodan gavlebuli simaRle da mci-

re diagonali erTmaneTTan adgenen 30 o -ian kuTxes. ipoveT

rombis gverdi, Tu misi simaRlea 5 3 .

28.25. rombis simaRleebs Soris kuTxe 135 o -ia. ipoveT

rombis farTobi, Tu rombis gverdia 6 4 2 . 28.26. ipoveT rombis mcire diagonali, Tu diagonalebi

ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 3:4, perimetri ki ud-ris 100-s.

28.27. ipoveT rombis simaRle, Tu misi diagonalebia 16 da 12.

28.28. ipoveT rombis gverdi, Tu misi diagonalebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 1:2, rombis farTobi ki 16-is tolia.

28.29. ipoveT rombis farTobi, Tu misi diagonalebi ise

Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:4, rombis gverdi ki 10-is tolia.

28.30. ipoveT rombis gverdi, Tu misi farTobia 96, xolo

erT-erTi diagonalia 12. 28.31. ipoveT rombis maxvili kuTxe, Tu misi farTobia

332 , xolo erT-erTi diagonalia 38 . 28.32. ipoveT rombis farTobi, Tu misi simaRlea 12, mci-

re diagonali ki 4 13 . 28.33. rombis diagonalebia 20 da 44. masSi Caxazulia oT-

200

xkuTxedi, romlis wveroebs rombis gverdebis Suawertile-

bi warmoadgens. ipoveT oTxkuTxedis perimetri.

28.34. rombSi Caxazulia oTxkuTxedi, romlis wveroebi

rombis gverdebis Suawertilebia. ipoveT am oTxkuTxedis

gverdebis kvadratebis jami, Tu rombis gverdia 5 .

28.35. rombSi Caxazulia oTxkuTxedi, romlis wveroebs

rombis gverdebis Suawertilebi warmoadgens. ipoveT rom-

bis diagonalebis sigrZeebis jami, Tu Caxazuli oTxkuTxe-

dis perimetria 20. 28.36. ABCD rombSi o120=∠B . ipoveT blagvi kuTxis wve-

rodan gavlebul simaRleebs Soris moTavsebuli diagona-

lis monakveTi, Tu AC=30. 28.37. ABCD rombSi o60=∠A . BM simaRlisa da AC diagona-

lis gadakveTis wertiliT diagonali iyofa or nawilad.

ipoveT am nawilebidan umciresis sigrZe, Tu AC=18. 28.38. ABCD rombis B wverodan gavlebulia BM da BN

monakveTebi, romlebic Sesabamisad AD da DC gverdebs

Suaze yofs. am monakveTebis AC diagonalTan gadakveTis we-

rtilebia K da L. ipoveT KL monakveTis sigrZe, Tu AC=24. 28.39. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADEF rombi ise, rom A

maTi saerTo kuTxea da E wvero BC gverdzea. ipoveT rombis

gverdi, Tu AB=4 da AC=6. 28.40. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADKE rombi ise, rom A

maTi saerTo kuTxea da K wvero BC gverdzea. ipoveT AB, Tu

AD=3 da AC=9. 28.41. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADEF rombi ise, rom A

maTi saerTo kuTxea da E wvero BC gverdze Zevs. rombis gverdis sigrZea 32. ipoveT AC, Tu AB=48.

28.42. marTkuTxa samkuTxedSi, romlis kaTetia 9, xolo

masTan mdebare maxvili kuTxea 60 o , Caxazulia rombi ise,

rom 60 o -iani kuTxe maT saerTo aqvT. ipoveT rombis gve-

rdi.

28.43. marTkuTxa samkuTxedSi, romlis maxvili kuTxea

60 o , Caxazulia rombi 2-is toli gverdiT ise, rom 60 o -iani kuTxe maT saerTo aqvT. ipoveT samkuTxedis umciresi ka-

Teti.

28.44. rombis wveroze gavlebuli wrfe rombis ori gver-

dis gagrZelebas CamoWris 9 da 4-is tol monakveTebs. ipo-

veT rombis gverdi.

201

28.45. ABCD rombis C wveroze gavlebuli wrfe AD gver-dis gagrZelebas CamoWris 4-is tol monakveTs. ipoveT AB gverdis gagrZelebaze CamoWrili monakveTis sigrZe, Tu

AB=3. 28.46. rombi, romlis simaRlea 34 , diagonaliT gayofi-

lia or tolgverda samkuTxedad. ipoveT rombis gverdi.

28.47. rombi, romlis didi diagonalia 36 , mcire dia-

gonaliT gayofilia or tolgverda samkuTxedad. ipoveT

rombis gverdi.

28.48. rombis diagonalebis jami 34-ia. ipoveT rombis fa-rTobi, Tu rombis perimetri 52-is tolia.

28.49. rombis farTobia 24, xolo diagonalebis jami 14. ipoveT rombis perimetri.

%3:/!usbqfdjb!

29.1. trapeciis ori kuTxea 58 o da 72 o . ipoveT trapeciis udidesi kuTxe.

A. 124 o B. 122 o C. 120 o D. 126 o

29.2. ras udris tolferda trapeciis maxvili kuTxe, Tu

cnobilia, rom mopirdapire kuTxeebis sxvaoba 40 o . A. 60 o B. 70 o C. 80 o D. 50 o

29.3. tolferda trapeciis mcire fuZe ferdis tolia,

diagonali ki ferdis marTobulia. ipoveT trapeciis blag-

vi kuTxis sidide.

A. 150 o B. 130 o C. 120 o D. 110 o

29.4. ABCD trapeciis AC diagonali CD ferdis marTobu-

lia, xolo AB ferdi BC fuZis tolia. ipoveT B∠ , Tu o40=∠D .

A. 80 o B. 70 o C. 60 o D. 50 o

29.5. tolferda trapeciis didi fuZea 27, ferdi 10, xo-lo maxvili kuTxe 60 o . ipoveT mcire fuZis sigrZe.

A. 15 B. 13 C. 17 D. 10 29.6. tolferda trapeciis fuZeebia 5 da 9, xolo maxvili

kuTxe 60 o . ipoveT trapeciis perimetri. A. 20 B. 22 C. 24 D. 18

202

29.7. tolferda trapeciis ferdi 24-is tolia. fuZeebis

jamia 44, xolo maxvili kuTxe 60 o . ipoveT didi fuZis sig-

rZe.

A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 29.8. tolferda trapeciis blagvi kuTxis wverodan gav-

lebuli simaRle did fuZes yofs 16-is da 36-is tol mona-

kveTebad. ipoveT trapeciis mcire fuZe.

A. 15 B. 20 C. 30 D. 25 29.9. marTkuTxa trapeciis fuZeebia 5 da 8; xolo didi

ferdia 5. ipoveT mcire ferdis sigrZe. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 29.10. marTkuTxa trapeciis ferdebia 4 da 5; xolo mcire

fuZe 5. ipoveT didi fuZis sigrZe.

A. 9 B. 10 C. 8 D. 11 29.11. marTkuTxa trapeciis ferdebia 8 da 10, xolo didi

fuZea 16. ipoveT mcire fuZis sigrZe. A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 29.12. mocemuli wrfis erT mxares aRebulia ori A da B

wertili, romlebic am wrfidan 10 da 4-iT arian daSorebu-

li. ipoveT manZili AB monakveTis Suawertilidan am wrfe-

mde.

A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 29.13. mocemuli wrfis sxvadasxva mxares aRebulia ori

A da B wertili, romlebic am wrfidan 12 da 4-iT arian da-

Sorebuli. ipoveT manZili AB monakveTis Suawertilidan

mocemul wrfemde.

A. 3 B. 7 C. 6 D. 4 29.14. trapeciis erTi fuZe meoreze 4-iT metia. ipoveT

mcire fuZis sigrZe, Tu Suaxazi 7-is tolia.

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 29.15. trapeciis ferdi gayofilia 4 tol nawilad da da-

yofis wertilebze gavlebulia trapeciis fuZeebis parale-

luri wrfeebi. ipoveT trapeciis ferdebs Soris moTavse-

buli paraleluri wrfeebis monakveTebis sigrZeebidan

udidesi, Tu fuZeebia 15 da 23. A. 19 B. 20 C. 21 D. 18 29.16. trapeciis ferdi sam tol nawiladaa dayofili da

dayofis wertilebze gavlebulia fuZeebis paraleluri

wrfeebi. ipoveT trapeciis ferdebs Soris moTavsebuli pa-

raleluri wrfeebis monakveTebis sigrZeebidan umciresi,

Tu fuZeebia 50 da 20.

203

A. 30 B. 40 C. 25 D. 35 29.17. tolferda trapeciis diagonali maxvil kuTxes

Suaze yofs. trapeciis perimetria 9, xolo didi fuZea 3. ipoveT mcire fuZe.

A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 2,5 29.18. marTkuTxa trapeciaSi maxvili kuTxe 45 o -ia, Suaxa-

zi 9, xolo fuZeebis sigrZeTa fardobaa 2:7. ipoveT trape-

ciis mcire ferdi.

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 29.19. ABCD marTkuTxa trapeciis mcire fuZe 4=BC , xo-

lo mcire ferdi 6=AB . ipoveT BCD samkuTxedis farTobi.

A. 12 B. 24 C. 10 D. 8 29.20. tolferda trapeciis diagonali udris 13, xolo

simaRle 5. ipoveT trapeciis Suaxazis sigrZe. A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 29.21. tolferda trapeciis ferdia 5, simaRle 4, xolo

Suaxazi 9. ipoveT didi fuZis sigrZe. A. 10 B. 12 C. 9 D. 11 29.22. trapeciis fuZeebia 2 da 8, xolo misi farTobia 20.

ipoveT trapeciis simaRlis sigrZe. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 29.23. trapeciis fuZea 8, simaRle 3, xolo farTobia 18.

ipoveT trapeciis meore fuZis sigrZe. A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 29.24. tolferda trapeciis fuZeebia 6 da 14, xolo fer-

di tolia 5-is. ipoveT trapeciis farTobi. A. 60 B. 50 C. 30 D. 35 29.25. tolferda trapeciis fuZeebia 2 da 8. ferdi fuZes-

Tan adgens 45 o -ian kuTxes. ipoveT trapeciis farTobi. A. 10 B. 15 C. 18 D. 12 29.26. tolferda trapeciis fuZeebia 4 da 10. ferdi fuZe-

sTan adgens 30 o -ian kuTxes. ipoveT trapeciis farTobi. A. 34 B. 5 3 C. 6 3 D. 7 3 29.27. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTo-

bulia. ipoveT trapeciis farTobi, Tu simaRlea 2. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 29.28. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTo-

bulia. ipoveT trapeciis farTobi, Tu Suaxazis sigrZea 3. A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 29.29. trapeciis fuZeebia 17 da 13. ipoveT diagonalebis

204

Suawertilebis SemaerTebeli monakveTis sigrZe.

A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 29.30. trapeciis Suaxazi diagonaliT iyofa or monakve-

Tad, romelTa fardobaa 3:8. ipoveT trapeciis mcire fuZe,

Tu Suaxazis monakveTebis sxvaobaa 10. A. 12 B. 10 C. 14 D. 8 29.31. tolferda trapeciis ferdi Suaxazis tolia. ipo-

veT ferdis sigrZe, Tu trapeciis perimetria 24. A. 10 B. 8 C. 12 D. 6 29.32. tolferda trapeciis diagonaliT miRebuli samku-

Txedebis perimetrebis sxvaoba 6-is tolia. trapeciis Sua-

xazi 12-ia. ipoveT trapeciis didi fuZe.

A. 10 B. 20 C. 15 D. 25 29.33. tolferda trapeciaSi maxvili kuTxe 45 o -ia, simaR-

le 12, xolo Suaxazi 21. ipoveT trapeciis mcire fuZe.

A. 9 B. 7 C. 15 D. 13 29.34. trapeciis fuZeebi ise Seefardeba erTmaneTs ro-

gorc 2:3. ipoveT didi fuZis sigrZe, Tu Suaxazi 10-is to-lia.

A. 8 B. 6 C. 12 D. 10 29.35. ABCD marTkuTxa trapeciis fuZeebia BC=10 sm,

AD=16 sm da ∠A=∠B=90°. BC da AD fuZeebze Sesabamisad

aRebulia M da N wertilebi ise, rom MN monakveTi AB fe-rdis paraleluria da is ABCD trapeciis farTobs Suaze

yofs. ipoveT BM monakveTis sigrZe.

A. 13 sm B. 8,5 sm C. 7 sm D. 6,5 sm 29.36. marTkuTxa trapeciis didi fuZea 8, xolo mcire

ferdi 4. ipoveT trapeciis mcire fuZe, Tu is didi ferdis

tolia.

29.37. marTkuTxa trapeciis mcire fuZe da didi ferdi

tolia da udris 5. ipoveT trapeciis mcire ferdi, Tu is

did fuZeze 2-jer naklebia.

29.38. marTkuTxa trapeciis didi fuZe da didi ferdi

tolia da udris 10-s. ipoveT trapeciis mcire fuZe, Tu is

2-jer naklebia mcire ferdze.

29.39. trapeciis mcire fuZe 4-is tolia. erT-erT wvero-

ze gavlebulia ferdis paraleluri wrfe. miRebuli samku-

Txedis perimetria 16. ipoveT trapeciis perimetri.

29.40. tolferda trapeciis diagonali maxvil kuTxes

205

Suaze yofs. trapeciis perimetria 22, xolo fuZeebis Sefa-

rdebaa 2:5. ipoveT Suaxazi.

29.41. tolferda trapeciis diagonali Suaze yofs tra-

peciis blagv kuTxes. trapeciis perimetria 24, mcire fuZe ki 3. ipoveT Suaxazis sigrZe.

29.42. trapeciis fuZeebis paraleluri wrfe trapeciis

ferds, mcire fuZis mxridan, yofs SefardebiT 3:7. ipoveT

ferdebs Soris moqceuli monakveTis sigrZe, Tu trapeciis

fuZeebia 2 da 5.

29.43. marTkuTxa trapeciaSi mcire diagonali udris da-

xril ferds. ipoveT didi diagonalis sigrZe, Tu ferdebia

5 da 3.

29.44. marTkuTxa trapecia diagonaliT iyofa or samkuT-

xedad, romelTagan erTi tolgverdaa 8-is toli gverdiT

da meore marTkuTxa. ipoveT marTkuTxa samkuTxedis far-

Tobi.

29.45. marTkuTxa trapecias diagonali or samkuTxedad

yofs, romelTagan erT-erTi tolgverdaa 4-is toli gver-

diT. ipoveT trapeciis farTobi.

29.46. mocemulia marTkuTxa trapecia a da b fuZeebiT. ra

manZiliTaa daSorebuli diagonalebis gadakveTis wertili

mcire ferdidan, Tu 2=a , 3=b .

29.47. trapeciis fuZeebia 24 da 48. ipoveT trapeciis fe-

rdebs Soris moqceuli monakveTis sigrZe, romelic fuZee-

bis paraleluria da gadis diagonalebis gadakveTis wer-

tilze.

29.48. trapeciis diagonali misi fuZeebis perpendikula-

rulia. did fuZesTan mdebare blagvi kuTxea 120 o , xolo

masTan mimdebare ferdi 8. ipoveT Suaxazis sigrZe, Tu didi

fuZis sigrZea 12. 29.49. ABCD trapeciaSi BD mcire diagonali AD da BC

fuZeebis perpendikularulia. A da C maxvili kuTxeebis ja-

mia 90 o . ipoveT BD, Tu AD=9 da BC=4. 29.50. trapeciis did fuZesTan mdebare kuTxeebia 60

o da

30o. ipoveT trapeciis mcire ferdi, Tu trapeciis Suaxazia

8, xolo erT-erTi fuZea 6.

29.51. trapeciis fuZeebis sigrZeTa Sefardebaa 5:1, trape-

ciis simaRlea 4. ipoveT trapeciis farTobi, Tu did fuZe-

sTan mdebare kuTxeebia 30o da 60

o.

29.52. ABCD trapeciaSi (BC||AD) BCDABD ∠=∠ . ipoveT AB,

206

Tu BC=1, DC=1,5 da BD=2. 29.53. ABCD trapeciaSi BC da AD fuZeebi Sesabamisad

tolia 2 da 8-is, xolo ACDABC ∠=∠ . ipoveT AC diagona-lis sigrZe.

29.54. O aris ABCD trapeciis (BC||AD) diagonalebis gada-

kveTis wertili. ipoveT OB , Tu 6=AO , 4=OC da 13=BD .

29.55. ABCD trapeciis BC da AD fuZeebis sigrZeebi Se-

sabamisad 5 sm da 10 sm-ia. trapeciis BD diagonali fuZe-

ebis marTobulia. O diagonalebis gadakveTis wertilia.

ipoveT COD samkuTxedis farTobi, Tu BD=3 sm.

29.56. marTkuTxa trapeciis d diagonali ferdis marTo-

bulia, xolo maxvili kuTxe α -s tolia. ipoveT trapeciis

simaRle, Tu d=8 da 81cos =α .

29.57. marTkuTxa trapeciis d diagonali ferdis marTo-

bulia, xolo maxvili kuTxe α -s tolia. ipoveT trapeciis

mcire fuZe, Tu d=9 da 32sin =α .

29.58. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTo-

bulia. ipoveT trapeciis simaRlis sigrZe, Tu trapeciis

diagonalis sigrZea 26 . 29.59. tolferda trapeciis diagonali fuZesTan adgens

45 o -ian kuTxes. ipoveT Suaxazis sigrZe, Tu diagonalis si-

grZea 23 . 29.60. ipoveT tolferda trapeciis farTobi, Tu misi di-

agonali udris 8-s da did fuZesTan adgens 45 o -ian kuTxes. 29.61. tolferda trapeciis fuZeebia 3 da 27, xolo bla-

gvi kuTxe α . ipoveT trapeciis farTobi, Tu 8,0cos −=α .

29.62. marTkuTxa trapeciaSi maxvili kuTxea 30 o . fuZee-bis jami udris 8, xolo ferdebis jami ki 6. ipoveT tra-

peciis farTobi. 29.63. marTkuTxa trapeciis fuZeebia 3 da 5. ipoveT tra-

peciis diagonalebis kvadratebis sxvaobis moduli. 29.64. tolferda trapeciis fuZeebis sigrZeTa namravli

aris 8. ipoveT trapeciis diagonalis sigrZe, Tu misi fer-

dis sigrZea 17 . 29.65. trapeciis fuZeTa Sefardebaa 1:2. am trapeciis dia-

gonalebi urTierTmarTobulia. ipoveT mcire fuZis sigrZe,

Tu trapeciis ferdebis sigrZeebia 3 da 4.

207

29.66. trapeciis farTobi misi diagonaliT iyofa Sefar-

debiT 3:7. rogori SefardebiT iyofa is SuaxaziT?

29.67. trapeciis farTobi misi diagonaliT iyofa Sefar-

debiT 3:7. trapeciis mcire fuZis bolodan gavlebulia fe-

rdis paraleluri wrfe. ipoveT miRebuli paralelogramis

da samkuTxedis farTobebis Sefardeba.

29.68. trapeciis fuZeebis paraleluri wrfe trapeciis

farTobs yofs SefardebiT 2:7 mcire fuZis mxridan. ipoveT

ferdebs Soris moqceuli am wrfis monakveTis sigrZe, Tu

trapeciis fuZeebia 2 da 5.

29.69. trapeciis fuZeebis sigrZeebia 3 da 41 . M da N

wertilebi mdebareoben ferdebze ise, rom MN fuZis para-

leluria da trapeciis farTobs Suaze yofs. ipoveT MN .

29.70. trapeciis diagonalebia 20 da 15, simaRlea 12. ipo-

veT trapeciis farTobi.

29.71. tolferda trapeciis fuZeebis da ferdis Sefarde-

baa 10:4:5. misi farTobia 112. ipoveT trapeciis perimetri.

29.72. ABCD marTkuTxedis AC diagonali 20 sm-ia. B wer-tilidan gavlebulia 12 sm sigrZis BK monakveTi, romelic

AC-s paraleluria. ipoveT BC gverdis sigrZe, Tu cnobi-

lia, rom ABKC tolferda trapeciaa.

29.73. ABCD tolferda trapeciaSi B da C kuTxeebis bi-

seqtrisebi ikveTebian M wertilSi. ipoveT BMC samkuTxe-

dis farTobi, Tu trapeciis fuZeebi 4=BC da 10=AD ,

xolo ferdi 5=CD .

29.74. ABCD tolferda trapeciaSi B da C kuTxeebis bi-

seqtrisebi ikveTebian M wertilSi. ipoveT BMC samkuTxe-

dis farTobi, Tu trapeciis fuZeebi 12=AD da 6=BC ,

xolo ferdi 5=CD .

29.75. ABCD marTkuTxa trapeciaSi A da D kuTxeebi marTia.

D da C kuTxeebis biseqtrisebi ikveTebian M wertilSi.

ipoveT AMD samkuTxedis farTobi, Tu trapeciis ferdebia

12=AD da 15=BC , xolo mcire fuZea 24=AB .

!%41/!xsfxjsj/!xsf

30.1. wrewiris mocemuli wertilidan gavlebulia diame-

tri da qorda, romelic radiusis tolia. ipoveT kuTxe

maT Soris.

A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 90 o

208

30.2. wrewiris mocemuli wertilidan gavlebulia radiu-

sis toli ori qorda. ipoveT kuTxe maT Soris.

A. 30 o B. 60 o C. 90 o D. 120 o

30.3. sami wertiliT wrewiri gayofilia sam rkalad, ro-

melTa gradusuli zomebi ise Seefardeba erTmaneTs, ro-

gorc 7:11:6. ipoveT im samkuTxedis umciresi kuTxe, romlis

wveroebsac es wertilebi warmoadgenen.

A. 45 o B. 40 o C. 35 o D. 30 o

30.4. ipoveT wrewiris 200 o -iani rkalis boloebze gavle-

buli mxebebiT Sedgenili maxvili kuTxe.

A. 20 o B. 30 o C. 40 o D. 50 o

30.5. qorda wrewirs yofs SefardebiT 11:7. ipoveT am qo-

rdis boloebze gavlebuli mxebebiT Seqmnili maxvili ku-

Txe.

A. 30 o B. 40 o C. 50 o D. 60 o

30.6. mocemulia ori koncentruli wrewiri. didi wrewi-

ris ori urTierTmarTobuli qordidan TiToeuli warmoa-

dgens mcire wrewiris mxebis monakveTs da gadakveTis wer-

tiliT iyofa 3-is da 7-is tol monakveTebad. ipoveT mcire

wrewiris radiusi.

A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 30.7. mocemulia wrewiris ori urTierTmarTobuli qor-

da. TiToeuli maTgani meoriT iyofa or monakveTad, rome-

lTa sigrZeebia 10 da 20. ipoveT manZili centridan TiToe-

ul qordamde.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 30.8. ori koncentruli wrewiriT Seqmnil rgolSi didi

wrewiris qorda exeba mcire wrewirs da udris 8-s. ipoveT rgolis farTobi.

A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π

30.9. wrewiris qorda Wimavs 120 o -ian rkals. ipoveT manZi-

li wrewiris centridan qordamde, Tu radiusis sigrZe 15-is tolia.

A. 5 B. 5,5 C. 7 D. 7,5 30.10. gavlebulia wrewiris ori paraleluri qorda, ro-

mlebic Wimaven 90 o -ian rkalebs. ipoveT manZili qordebs

Soris, Tu erTi qordis sigrZea 12. A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 30.11. wrewiris qorda diametrs kveTs 30 o -iani kuTxiT

209

da yofs mas or monakveTad sigrZiT 8 da 24. ipoveT manZili

centridan qordamde.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30.12. urTierTgadamkveTi ori qordidan gadakveTis wer-

tiliT erTi gayofilia Suaze, meore ki 48-isa da 3-is tol nawilebad. ipoveT pirveli qordis sigrZe.

A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 30.13. urTierTgadamkveTi ori qordidan gadakveTis wer-

tiliT erTi gayofilia 12-isa da 18-is tol nawilebad, me-

ore ki SefardebiT 3:8. ipoveT meore qordis sigrZe.

A. 36 B. 33 C. 30 D. 27 30.14. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi

da mkveTi. ipoveT mxebis monakveTis sigrZe, Tu mkveTis ga-

re da Siga monakveTebia Sesabamisad 4 da 5. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 30.15. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi

da mkveTi. ipoveT mxebis monakveTis sigrZe, Tu is 5-iT me-tia mkveTis gare monakveTze da amdeniTve naklebia Siga

monakveTze.

A. 5 B. 7,5 C. 10 D. 12,5 30.16. ori wrewiri garedan exeba erTmaneTs. wrewirebis

radiusebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT

didi wrewiris diametri, Tu centrebs Soris manZili 10-is tolia.

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 30.17. ori wrewiri Signidan exeba erTmaneTs. wrewirebis

radiusebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 5:2. ipoveT

patara wrewiris diametri, Tu centrebs Soris manZili 15-is tolia.

A. 10 B. 16 C. 20 D. 24 30.18. tolferda samkuTxedSi, romlis fuZea 16, xolo

ferdi 20, Caxazulia wrewiri. ipoveT Sexebis wertiliT mi-

Rebuli ferdis monakveTebidan udidesi.

A. 12 B. 15 C. 14 D. 16 30.19. tolferda samkuTxedSi, romlis fuZea 20, xolo

ferdi 100, Caxazulia wrewiri. ipoveT manZili ferdebze

moTavsebul Sexebis wertilebs Soris.

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 30.20. ipoveT marTkuTxa samkuTxedSi Caxazuli wrewiris

radiusi, Tu kaTetebia 24 da 7. A. 4 B. 3 C. 5 D. 2

210

30.21. marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza udris 17-s, xo-lo kaTeti 15-s. ipoveT am samkuTxedSi Caxazuli wrewiris

radiusi.

A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 30.22. wrewirze, romlis radiusia 5, Semoxazulia marT-

kuTxa samkuTxedi, romlis perimetria 70. ipoveT hipote-

nuza.

A. 24 B. 25 C. 20 D. 30 30.23. wrewirze, romlis radiusia 4, Semoxazulia marT-

kuTxa samkuTxedi 26-is toli hipotenuziT. ipoveT samkuT-

xedis perimetri.

A. 60 B. 65 C. 58 D. 62 30.24. samkuTxedis gverdia 10, misi mopirdapire kuTxea

150 o . ipoveT am samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusi.

A. 10 B. 5 C. 15 D. 20 30.25. A, B, C wertilebi wrewirze mdebareobs. ras udris

AC qorda, Tu ABC kuTxe 30 o -is tolia, wrewiris diametri

ki udris 10-s. A. 10 B. 5 C. 20 D. 15 30.26. A, B, C da D wertilebi wrewirze mdebareobs ise,

rom BD diametria, xolo A da C wertilebi BD wrfis sxvadasxva mxaresaa. ipoveT ACD kuTxis sidide, Tu

o20=∠ADB .

A. 80 o B. 70 o C. 65 o D. 60 o 30.27. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wris cent-

ria. ipoveT BAO∠ , Tu o30=∠BCO da

o25=∠ABO .

A. 35 o B. 40 o C. 45 o D. 50 o 30.28. marTkuTxedis gverdebia 5 da 12. ipoveT Semoxazu-

li wrewiris radiusi.

A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 7,5 30.29. wrewirSi Caxazulia marTkuTxedi, romlis gverde-

bi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 8:15. ipoveT marTkuT-

xedis perimetri, Tu wrewiris radiusia 34. A. 184 B. 180 C. 176 D. 190

30.30. marTkuTxedis mcire gverdi udris 1-s. diagona-

lebs Soris kuTxe tolia 60 o -is. ipoveT marTkuTxedze Se-

moxazuli wrewiris radiusi.

A. 0,5 B. 1,5 C. 2 D. 1 30.31. marTkuTxedis mcire gverdi 10-is tolia. diagona-

211

lebs Soris kuTxe tolia 120 o -is. ipoveT Semoxazuli wre-

wiris radiusi.

A. 11 B. 9 C. 10 D. 8 30.32. rombis gverdi udris 8-s, xolo maxvili kuTxe

30 o -s. ipoveT rombSi Caxazuli wrewiris radiusi.

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 30.33. rombSi, romelic Tavisi diagonaliT iyofa or to-

lgverda samkuTxedad, Caxazulia wrewiri, romlis radiu-

si udris 2-s. ipoveT rombis gverdi.

A. 3

32 B. 6 3 C. 3

38 D. 8 3

30.34. wrewirze Semoxazuli tolferda trapeciis fuZee-

bi udris 4-s da 9-s. ipoveT wrewiris radiusi. A. 5 B. 2 C. 4 D. 3

30.35. wesier samkuTxedze Semoxazuli da masSi Caxazu-

li wrewirebis radiusebis sxvaobaa 3 . ipoveT samkuTxe-

dis gverdi.

A. 8 B. 4 C. 6 D. 9 30.36. wesier samkuTxedSi, romlis gverdia 4, Caxazulia

wrewiri, romelSiac Caxazulia wesieri eqvskuTxedi. ipo-

veT eqvskuTxedis farTobi.

A. 3 B. 3 3 C. 2 D. 2 3

30.37. wesieri eqvskuTxedis gverdi 2 6 -ia. ipoveT misi

toldidi wesieri samkuTxedis gverdi.

A. 8 B. 12 C. 10 D. 11 30.38. wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdia 3 6 .

ipoveT amave wreSi Caxazuli kvadratis gverdi.

A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 30.39. wreSi Caxazuli kvadratis gverdia 2 6 . ipoveT

amave wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdi.

A. 6 B. 5 C. 7 D. 4 30.40. A, B da C wertilebi wrewirze Zevs ise, rom AB di-

ametria da ∠BAC=60°. ipoveT AC qordiT SemosazRvruli

wris mcire segmentis farTobi, Tu AB=24 sm. A. 6π-4 B. 24π C. 24 36 3π − D.18 9 3π π−

30.41. wrewiris gareT mdebare A wertilidan am wrewiri-

sadmi gavlebulia ori mxebi, romlebic wrewirs B da C we-rtilebSi exeba. mxebebs Soris kuTxea 60

o. ipoveT BC mcire

212

rkaliT da AB da AC monakveTebiT SemosazRvruli figuris

farTobi, Tu wrewiris radiusia 2.

A. π−32 B. π3434 − C. 34 D. π

32

30.42. mocemulia sami toli wre. manZili pirveli da me-

ore wris centrebs Soris 20-ia, xolo meore da mesame

wris centrebs Soris ki 7. CamoTvlilTagan romlis toli

ar SeiZleba iyos manZili pirveli da mesame wris centrebs

Soris?

A. 26 B. 27 C. 13 D. 12 30.43. mocemulia sami toli wre, romelTa diametria 1.

umciresi manZili pirveli da meore wris wertilebs Soris

50-ia, xolo meore da mesame wris wertilebs Soris ki 6.

qvemoT CamoTvlilTagan romlis toli ar SeiZleba iyos

umciresi manZili pirveli da mesame wris wertilebs So-

ris?

A. 43 B. 50 C. 58 D. 44 30.44. mocemuli sami toli wre, romelTa diametria 1. ma-

qsimaluri daSoreba pirveli da meore wris wertilebs

Soris 30-ia, xolo meore da mesame wris wertilebs Soris

ki 4. qvemoT CamoTvlilTagan romeli SeiZleba iyos maqsi-

maluri daSoreba pirveli da mesame wris wertilebs So-

ris?

A. 26 B. 33 C. 34 D. 25

30.45. 18-is da 24-is toli ori paraleluri qorda moTa-

vsebulia wrewiris centris sxvadasxva mxares. ipoveT man-

Zili am qordebs Soris, Tu wrewiris radiusia 15. 30.46. 10-is da 24-is toli ori paraleluri qorda moTa-

vsebulia wrewiris centris erT mxares. ipoveT manZili am

qordebs Soris, Tu wrewiris radiusia 13. 30.47. wrewiris qorda diametrs kveTs 30 o -iani kuTxiT

da iyofa 12-is da 24-is tol nawilebad. ipoveT manZili

qordis Suawertilidan diametramde.

30.48. wrewiris qorda diametrs kveTs α kuTxiT da iyo-

fa or monakveTad sigrZiT 12 da 7. ipoveT manZili centri-

dan qordamde, Tu 2=αtg .

30.49. wrewiris qorda diametrs kveTs α kuTxiT da

yofs mas or monakveTad sigrZiT 40 da 100. ipoveT manZili

213

centridan qordamde, Tu 65sin =α .

30.50. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi

da mkveTi. mxebis monakveTi metia mkveTis Siga da gare mo-

nakveTebze Sesabamisad 2-iT da 4-iT. ipoveT mkveTis sigrZe.

30.51. mocemuli wertilidan gavlebulia mkveTi da mxebi.

mxebis sigrZe 20-is tolia. ipoveT mkveTis sigrZe, Tu misi

gare nawili ise Seefardeba Siga nawils, rogorc 4:5. 30.52. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia ori

mkveTi. pirvelis Siga monakveTi udris 7-s, gare monakveTi

5-s, xolo meoris Siga monakveTi 14-iT metia missave gare

monakveTze. ipoveT meore mkveTis sigrZe.

30.53. wrewiris radiusi 7-is tolia. centridan 9-iT da-

Sorebuli wertilidan gavlebulia mkveTi ise, rom is wre-

wiriT Suaze iyofa. ipoveT mkveTis sigrZe.

30.54. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebuli mxebi

da mkveTi Sesabamisad udris 20-s da 40-s. manZili centri-

dan mkveTamde 8-is tolia. ipoveT wrewiris radiusi.

30.55. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebuli mxebi

da mkveTi urTierTperpendikularulia. mxebi udris 12-s, mkveTis Siga nawili ki 10-is tolia. ipoveT wrewiris ra-

diusi.

30.56. centridan 10-is toli manZiliT daSorebuli wer-

tilidan wrewirisadmi gavlebulia ori mxebi. ipoveT manZi-

li Sexebis wertilTa Soris, Tu wrewiris radiusi 6-is tolia.

30.57. ori wrewiri garedan exeba erTmaneTs. Sexebis wer-

tilze gavlebuli wrfe wrewirebSi warmoSobs qordebs,

romelTagan erTi Seadgens meoris 135-s. ipoveT patara

wrewiris radiusi, Tu manZili centrebs Soris 36-is to-lia.

30.58. ori wrewiri Signidan exeba erTmaneTs. Sexebis we-

rtilze gavlebuli wrfe wrewirebSi warmoSobs qordebs,

romelTagan erTi 3-jer metia meoreze. ipoveT didi wrewi-

ris radiusi, Tu manZili centrebs Soris 8-is tolia.

30.59. ori toli wrewiri Signidan exeba mesame wrewirs

da exeba erTmaneTsac. samive centris SeerTebiT miRebuli

samkuTxedis perimetri 18-is tolia. ipoveT didi wrewiris

radiusi.

30.60. mocemul wrewirs exeba masze mcire da erTmaneTis

214

toli ori sxva wrewiri erTi Signidan, meore garedan. Se-

xebis wertilTa Soris rkali 60 o -ia. mcire wrewirebis ra-diusebia 3, didisa 13. ipoveT manZili mcire wrewirebis ce-

ntrebs Soris.

30.61. 60 o -is tol maxvil kuTxeSi Caxazulia ori wrewi-

ri, romlebic garedan exebian erTmaneTs. mcire wrewiris

radiusi udris 6-s. ipoveT didi wrewiris radiusi. 30.62. ori Siga Sexebis wrewiris centrebs Soris manZi-

li d-s tolia. didi wrewiris centridan mcire wrewirisa-

dmi gavlebuli mxebi centrTa xazTan α kuTxes adgens.

ipoveT didi wrewiris radiusi, Tu d=36, 61sin =α .

30.63. R da r radiusiani wrewirebis centrTa wrfesa da

saerTo gare mxebs Soris kuTxis sidide α -s tolia. ipo-

veT centrebs Soris manZili, Tu R=10, r=6, 31sin =α .

30.64. ori wrewiri, romelTa radiusebia 8 da 9, garedan exeba erTmaneTs, erTi wrewiris centridan gavlebulia me-

ore wrewiris mxebi da SexebiT miRebuli wertilidan pir-

veli wrewiris mxebi. ipoveT manZili Sexebis wertilebs

Soris.

30.65. ori wrewiri, romelTa radiusebia 9 da 16, garedan exeba erTmaneTs. ipoveT maTi saerTo gare mxebis monakveTi

Sexebis wertilTa Soris.

30.66. ori wrewiris radiusebia 15 da 8, maT centrebs So-

ris manZili ki 25-is tolia. ipoveT maTi saerTo gare mxe-

bis monakveTi Sexebis wertilTa Soris.

30.67. ori wrewiris radiusebia 8 da 12. maTi saerTo Siga

mxebebi urTierTperpendikularulia. ipoveT Siga mxebis

monakveTi Sexebis wertilTa Soris.

30.68. ori wrewiris radiusebia 27 da 13, maT centrebs

Soris manZili ki 50-is tolia. ipoveT maTi saerTo Siga

mxebis monakveTi Sexebis wertilTa Soris.

30.69. sami wrewiri, romelTa radiusebia 3, 3 da 1, wyvil-

wyvilad exebian erTmaneTs. ipoveT im samkuTxedis farTo-

bi, romlis wveroebi wrewirTa Sexebis wertilebia.

30.70. sami erTmaneTis toli 4 3 radiusis mqone wrewiri-

dan TiToeuli exeba or danarCens. ipoveT im samkuTxedis

farTobi, romelic Sedgenilia am wrewirTa saerTo gare

mxebebiT.

215

30.71. tolferda samkuTxedis fuZea 12, xolo ferdi 10. ipoveT Caxazuli wrewiris radiusi.

30.72. tolferda samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centri

fuZeze daSvebul simaRles yofs 12:5 SefardebiT. ipoveT

fuZe, Tu ferdi 60-is tolia.

30.73. tolferda samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centri

fuZeze daSvebul simaRles yofs 5-is da 3-is tol monak-

veTebad. ipoveT fuZe.

30.74. tolferda samkuTxedis fuZeze daSvebuli simaRle

udris 20-s, xolo fuZe ise Seefardeba ferds, rogorc 4:3. ipoveT Caxazuli wrewiris radiusi.

30.75. tolferda samkuTxedis ferdi udris 12-s, fuZeze daSvebuli simaRle ki 8-s. ipoveT Semoxazuli wrewiris

radiusi.

30.76. tolferda samkuTxedis ferdi udris 20-s, xolo

fuZe 24-s. ipoveT Semoxazuli wrewiris radiusi.

30.77. tolferda samkuTxedis ferdi udris 8-s, xolo

kuTxe wverosTan aris 120 o . ipoveT Semoxazuli wrewiris

diametri.

30.78. tolferda samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe

aris 120 o , xolo Semoxazuli wrewiris radiusia 10. ipoveT samkuTxedis ferdi.

30.79. tolferda samkuTxedis ferdi udris b-s, xolo

wverosTan mdebare kuTxe α -s tolia. gamoTvaleT samkuT-

xedze Semoxazuli wrewiris radiusi, Tu b=14, 71

2cos =

α .

30.80. marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia wrewiri, Sexe-

bis wertili hipotenuzas yofs SefardebiT 2:3. ipoveT sam-

kuTxedis hipotenuza, Tu Caxazuli wrewiris centri marTi

kuTxis wverodan 8 -iT aris daSorebuli.

30.81. marTkuTxa samkuTxedSi Caxazuli wrewiris Sexebis

wertili hipotenuzas yofs 5 da 12 sigrZis monakveTebad.

ipoveT samkuTxedis perimetri.

30.82. samkuTxedSi Caxazulia wrewiri, romlis radiusia

3. ipoveT samkuTxedis perimetri, Tu erT-erTi gverdi Sexe-

bis wertiliT gayofilia 4 da 3-is tol monakveTebad.

30.83. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe α -s tolia,

xolo masSi Caxazuli wrewiris radiusi udris r. ipoveT

216

samkuTxedis perimetri, Tu r=6, 21

2=

αtg .

30.84. marTkuTxa samkuTxedis erT-erTi kaTeti udris 15-s, xolo am samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusia 3. ipoveT am samkuTxedis farTobi.

30.85. marTkuTxa samkuTxedis farTobi udris 24-s, xolo

hipotenuzaa 10. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli wrewiris ra-

diusi.

30.86. wrewiris erTi wertilidan gavlebulia 9 da 17 si-

grZis ori qorda. ipoveT wrewiris radiusi, Tu manZili

qordebis Suawertilebs Soris udris 5 sm.

30.87. ABC samkuTxedis B da C kuTxeebi Sesabamisad 70o

da 50o-is tolia. O wertili am samkuTxedze Semoxazuli

wrewiris centria, xolo AD ki BC gverdze daSvebuli si-

maRlea. ipoveT OAD∠ .

30.88. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wrewiris

centria. vipovoT AOC∠ , Tu o100=∠B .

30.89. ABC samkuTxedSi, sadac o82=∠B , Caxazulia wre-

wiri. ipoveT Sexebis wertilebis SeerTebiT miRebuli sam-

kuTxedis im kuTxis sidide, romlis wvero AC gverdzea.

30.90. ipoveT samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusi,

Tu samkuTexedis gverdebia 13, 14, 15. 30.91. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi,

Tu samkuTxedis gverdebia 4, 5, 7. 30.92. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli da samkuTxedze Se-

moxazuli wrewirebis radiusTa namravli, Tu samkuTxedis

gverdebia 26, 28, 30. 30.93. samkuTxedis gverdebia 13, 14 da 15. ipoveT im wre-

wiris radiusi, romlis centri saSualo zomis gverdzea

da romelic or danarCen gverds exeba.

30.94. rombis maxvili kuTxe α -s tolia, xolo masSi Ca-

xazuli wris radiusi udris r-s. ipoveT rombis farTobi,

Tu r=2, 41sin =α .

30.95. rombSi, romlis gverdis sigrZea 4 da maxvili ku-

Txe udris 60o-s, Caxazulia wrewiri. Sexebis wertilebi

mimdevrobiT aris SeerTebuli. ipoveT miRebuli oTxkuTxe-

dis farTobi.

30.96. tolferda trapeciaSi Caxazuli wrewiris radiusi

udris 6-s. ipoveT trapeciis SuamonakveTi, Tu trapeciis

217

fuZeebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 4:9. 30.97. r-radiusian wreze Semoxazulia trapecia, romlis

ferdebi did fuZesTan adgenen α da β sididis kuTxeebs.

ipoveT trapeciis perimetri, Tu r=2,25, 31sin =α ,

71sin =β .

30.98. wreze Semoxazuli tolferda trapeciis ferdi

udris 6-s da maxvili kuTxe 30 o -s. ipoveT trapeciis far-

Tobi.

30.99. tolferda trapeciis maxvili kuTxe udris α -s,

xolo masSi Caxazuli wrewiris radiusia r. ipoveT trape-

ciis farTobi, Tu r= 11 , 32sin =α .

30.100. trapeciaSi Caxazulia wrewiri. trapeciis Suaxa-

zis sigrZea 12, xolo erT-erTi ferdi ki udris 10-s. ipo-veT meore ferdis sigrZe.

30.101. wrewiris radiusi udris 8-s. AB qorda ki udris 12-s. A wertilze gavlebulia mxebi da B wertilidan ki mi-

si paraleluri BC qorda. ipoveT manZili mxebsa da BC qo-rdas Soris.

30.102. wrewiris qorda udris 10-s. qordis erT boloze

gavlebulia wrewiris mxebi, xolo meoreze ki am mxebis pa-

raleluri mkveTi. ipoveT wrewiris radiusi, Tu mkveTis

Siga monakveTia 12. 30.103. R radiusis mqone wrewirSi gavlebulia qorda,

romlis sigrZea 21 R. qordis erT boloze gavlebulia wre-

wiris mxebi, xolo meoreze ki mxebis paraleluri mkveTi.

ipoveT manZili mkveTsa da mxebs Soris, Tu R=20. 30.104. ori urTierTgadamkveTi wrewiris radiusebia 17

da 39. maT centrebs Soris manZili udris 44-s. ipoveT maTi

saerTo qordis sigrZe.

30.105. samkuTxedSi Caxazulia naxevarwrewiri, romelic

samkuTxedis fuZes exeba, diametri ki (misi boloebi fer-

debzea) fuZis paraleluria. ipoveT radiusi, Tu samkuTxe-

dis fuZea 6 da simaRle ki udris 2. 30.106. AB da CD aragadamkveTi qordebiT moWimuli

rkalebis gradusuli zomebia Sesabamisad 120o da 90

o.

M aris AD da BC qordebis gadakveTis wertili. ipoveT

AMB da CMD samkuTxedebis farTobebis Sefardeba.

30.107. wreSi gavlebuli AB da CD qordebi gadaikveTe-

218

bian M wertilSi. K aris BMD kuTxis biseqtrisis gada-

kveTis wertili BD qordasTan. ipoveT BK , Tu 3=BD ,

4:1: =AMDCMB SS .

30.108. samkuTxedSi, romlis gverdis sigrZea 9, xolo am

gverdis mopirdapire kuTxis sididea 60o, Caxazulia wrewi-

ri. am wrewiris centrze da mocemuli gverdis boloebze

gavlebulia meore wrewiri. ipoveT misi radiusi.

30.109. samkuTxedis gverdis sigrZea 2, xolo am gverdis

mopirdapire kuTxis sididea 120o. biseqtrisebis gadakveTis

wertilze da mocemuli gverdis boloebze gavlebulia

wrewiri. ipoveT misi radiusi.

30.110. BAK tolferda samkuTxedis AB ferdze, ro-

gorc diametrze agebuli wrewiri BK fuZes kveTs D wer-

tilSi, xolo AK ferds C wertilSi. ipoveT ADC samku-

Txedis farTobi, Tu wrewiris radiusia 10 , xolo

4=BK .

30.111. wrewiri, romlis centri ABCD oTxkuTxedis AD

gverdis Suawertilia, exeba danarCen sam gverds. ipoveT

AD , Tu 9=AB da 16=CD .

30.112. wrewirSi Caxazulia kvadrati da wesieri samkuT-

xedi. kvadratis farTobi 54-ia. ipoveT samkuTxedis peri-

metri.

30.113. wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdia

2 3 . ipoveT amave wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis

gverdi.

30.114. wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis gverdia

5 3 . ipoveT amave wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gve-

rdi.

30.115. wreSi Caxazuli kvadratis gverdia 2 2 . ipoveT

amave wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis gverdi.

30.116. wrewirSi Caxazuli wesieri rvakuTxedis farTobi

udris 1632 . ipoveT amave wrewirSi Caxazuli wesieri sam-

kuTxedis farTobi.

30.117. wrewirSi Caxazuli wesieri TormetkuTxedis far-

Tobi udris 18 2 -s. ipoveT amave wrewirSi Caxazuli wesie-

ri rvakuTxedis farTobi.

30.118. wrewirSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis farTobi

219

udris 3,25 3 . ipoveT imave wrewirSi Caxazuli wesieri To-

rmetkuTxedis farTobi.

30.119. ipoveT 3 -is toli sigrZis qordis mier moWimu-

li rkalis sigrZe, Tu rkalis gradusuli zomaa 120 o . 30.120. ipoveT π⋅2 sigrZis rkalis Sesabamisi qorda,

Tu rkalis gradusuli zomaa 90 o . 30.121. ipoveT wris farTobi, Tu wrewiris sigrZea 4 π . 30.122. ipoveT wrewiris radiusi, Tu wrewiris sigrZe da

amave radiusis mqone wris farTobi ricxobrivad

erTmaneTis tolia.

30.123. ipoveT wris farTobi, Tu masSi Caxazuli kvadra-

tis farTobia π

15.

30.124. ipoveT π

6 radiusiani wriuli seqtoris farTo-

bi, Tu am seqtoris Sesabamisi centraluri kuTxea 150 o . 30.125. wris farTobis ra nawils Seadgens seqtoris fa-

rTobi, Tu misi centraluri kuTxea 18 o . 30.126. ipoveT seqtoris centraluri kuTxe, Tu seqtoris

farTobi Seadgens wris farTobis 32 nawils.

30.127. ipoveT seqtoris radiusi, Tu misi farTobi udris

5 π da centraluri kuTxea 72 o . 30.128. seqtoris centraleri kuTxea 60 o , radiusi ki ud-

ris 9-s. ipoveT seqtorSi Caxazuli wris radiusi.

30.129. wriul seqtorSi, romlis centraluri kuTxe 90°-ia, Caxazulia r radiusis mqone wrewiri. ipoveT am wriuli

seqtoris radiusi.

30.130. seqtoris centraluri kuTxea α , radiusi ki 6.

ipoveT am seqtorSi Caxazuli wris radiusi, Tu 31

2sin =

α.

30.131. ipoveT segmentis farTobi, Tu misi radiusi ud-

ris 2 3 -s da rkali Seicavs 30o-s.

30.132. ipoveT segmentis farTobi, Tu qorda udris 6-s,

rkali ki Seicavs 120o-s.

30.133. wreSi centris erT mxareze gavlebulia ori para-

220

leluri qorda, romelTagan erTi Wimavs sididiT 120o-ian

rkals, meore ki _ 60o-ians. gamoTvaleT qordebs Soris mo-

Tavsebuli wris nawilis farTobi, Tu wris radiusia

π⋅

32 .

30.134. wrewirze mdebare A wertilidan gavlebulia AB diametri da AC qorda. gamoTvaleT AB da AC qordebiTa

da BC mcire rkaliT SemosazRvruli wris nawilis farTo-

bi, Tu ∠CAB=45° da AB=16 sm. 30.135. wrewirze mdebare A wertlidan gavlebulia AC

diametri da AB qorda. cnobilia, rom AB qorda mis mar-Tobul radiuss Suaze yofs. ipoveT AB da AC qordebiTa

da BC mcire rkaliT SemosazRvruli wris nawilis farTo-

bi, Tu wrewiris radiusia 4 sm.

30.136. wrewirSi Caxazuli kvadratis gverdi udris

24−π

. ipoveT kvadratis mier CamokveTil segmentTa far-

Tobebis jami.

30.137. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxea α , xolo

misi farTobia 2169π

. ipoveT samkuTxedze Semoxazuli wre-

wiris sigrZe, Tu 412sin =α .

30.138. ipoveT wris farTobi, Tu is masze Semoxazuli

kvadratis farTobze 4,3 m2-iT naklebia.

30.139. ori wris saerTo qordiT moWimulia 60o da 120

o

rkalebi. ipoveT am wreebis farTobTa Sefardeba.

30.140. rombis maxvili kuTxea α , xolo masSi Caxazuli

wrewiris sigrZe udris π5 -s. ipoveT rombis farTobi, Tu

31sin =α .

30.141. mocemulia saerTo centris mqone ori wrewiri.

mcire radiusiani wrewiris mxebi meore wrewirs yofs Se-

fardebiT 1:2. mcire wrewiris sigrZea 2. ipoveT didi wris

farTobi.

30.142. wesieri samkuTxedis farTobia π

36. masze Semoxa-

zulia da masSi Caxazulia wrewirebi. ipoveT am wrewirebs

221

Soris moTavsebuli rgolis farTobi.

30.143. naxazze mocemulia ABCD kvadrati,

romelSic Caxazulia AB da BC di-

ametrebis mqone ori naxevarwrewiri. ipo-

veT daStrixuli nawilis farTobi, Tu

AB=4 sm. 30.144. ABC marTkuTxa samkuTxedis BC kaTetze, rogorc

diametrze, Semoxazulia wrewiri. es wrewiri AB hipotenu-zas kveTs D wertilSi da yofs mas BD=6 sm-is da AD=2 sm-

is tol monakveTebad. ipoveT BD qordiTa da wrewiris

mcire rkaliT SemosazRvruli segmentis farTobi.

30.145. ABCD rombis BAD maxvili kuTxe 30°-is tolia, xo-

lo BD mcire diagonali 2 sm-ia. rombis blagvi kuTxis D

wverodan, rogorc centridan, Semoxazulia BD radiusis

mqone wrewiri. ipoveT rombis im nawilis farTobi, rome-

lic wrewiris SigniT aris moTavsebuli.

30.146. ABCD rombis BAD maxvili kuTxe 60°-is tolia, xo-

lo BD mcire diagonali 4 sm-ia. rombis blagvi kuTxis D

wverodan, rogorc centridan, Semoxazulia BD radiusis

mqone wrewiri. ipoveT wris im nawilis farTobi, romelic

rombis gareT mdebareobs.

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!

31.1. sibrtyidan 30-is toli manZiliT daSorebuli wer-

tilidan gavlebulia daxrili. ipoveT am daxrilis sigrZe,

Tu misi gegmili sibrtyeze 40-is tolia.

A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 31.2. sibrtyidan 6-is toli manZiliT daSorebuli werti-

lidan gavlebulia perpendikulari da daxrili, romlebic

erTmaneTTan 60 o -ian kuTxes adgenen. ipoveT daxrilis si-

grZe.

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 31.3. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia pe-

rpendikulari da daxrili, romlebic erTmaneTTan 30 o -ian kuTxes qmnian. ipoveT perpendikularis sigrZe, Tu daxri-

lis sigrZea 12. A. 4 B. 6 C. 6 2 D. 6 3 31.4. daxrilis sigrZe 18-is tolia. ras udris am daxri-

lis gegmili sibrtyeze, Tu daxrilis mier sibrtyesTan

D

B

A

C

222

Sedgenili kuTxe 60o-ia.

A. 9 B. 9 2 C. 9 3 D. 12 31.5. sibrtyidan 12-is toli manZiliT daSorebuli wer-

tilidan gavlebulia perpendikulari da daxrili, romle-

bic erTmaneTTan 30 o -ian kuTxes adgenen. ipoveT daxrilis

gegmili sibrtyeze.

A. 4 3 B. 6 C. 6 3 D. 12 3

31.6. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia pe-

rpendikulari da daxrili, romlebic erTmaneTTan 60 o -ian kuTxes qmnian. ipoveT perpendikularis sigrZe, Tu daxri-

lis gegmili sibrtyeze 6-is tolia.

A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

31.7. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebul per-

pendikularsa da daxrils Soris kuTxe α -s tolia. daxri-

lis sigrZea a . ipoveT manZili wertilidan sibrtyemde, Tu

,10=a 51cos =α .

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 31.8. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia

ori daxrili, romelTa sigrZeebia 15 da 20. pirveli daxri-

lis gegmili sibrtyeze 9-is tolia. ipoveT meore daxri-

lis gegmili am sibrtyeze.


ori daxrili, romelTa sigrZeebia 17 da 10. am daxrilTa

gegmilebs Soris sxvaoba 9-is tolia. ipoveT udidesi dax-

rilis gegmili.


ori daxrili, romelTagan erTi meoreze 26-iT metia. dax-

rilTa gegmilebi 40-isa da 12-is tolia. ipoveT umciresi

daxrilis sigrZe.


ori daxrili, romelTa sigrZeebia 10 da 17. ipoveT manZili

am wertilidan sibrtyemde, Tu daxrilTa gegmilebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 2:5. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 31.12. A da B wertilebidan sibrtyeze daSvebulia marTo-

223

bebi, romelTa sigrZeebia 12 da 7, xolo maT fuZeebs Soris

manZili 12-is tolia. ipoveT manZili A da B wertilebs So-

ris, Tu AB monakveTi sibrtyes ar kveTs.

A. 15 B. 19 C. 13 D. 17 31.13. 20-is toli monakveTis boloebi sibrtyidan daSo-

rebulia 17-is da 5-is toli manZilebiT. ipoveT monakveTis

gegmili sibrtyeze, Tu igi sibrtyes ar kveTs.

A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 31.14. monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia 20-is

da 120-is toli manZilebiT. ipoveT manZili monakveTis Sua-

wertilidan sibrtyemde, Tu monakveTi sibrtyes ar kveTs.

A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 31.15. monakveTi kveTs sibrtyes. monakveTis boloebidan

sibrtyemde manZilebi 6-is da 10-is tolia, xolo monakve-

Tis gegmili sibrtyeze udris 12-s. ipoveT monakveTis si-

grZe.

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 31.16. 15-is toli monakveTis boloebi sibrtyidan daSo-

rebulia 7-is da 5-is toli manZilebiT. ipoveT monakveTis

gegmili sibrtyeze, Tu igi sibrtyes kveTs.

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 31.17. sibrtyidan 5 2 -is toli manZiliT daSorebuli

wertilidan gavlebulia ori toli daxrili, romlebic

sibrtyesTan 30 o -ian kuTxes adgenen, xolo erTmaneTTan

90 o -ians. ipoveT manZili daxrilTa fuZeebs Soris.

31.18. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisa-

dmi gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea

7 2 . daxrilebs Soris kuTxea 60 o , xolo maT gegmilebs

Soris kuTxe 90 o . ipoveT manZili am wertilidan sibrtye-

mde.

31.19. sibrtyidan 12-is toli manZiliT daSorebuli we-

rtilidan gavlebulia ori toli daxrili, romlebic sib-

rtyesTan 30 o -ian kuTxeebs adgenen, xolo maTi gegmilebi

erTmaneTTan 120 o -ian kuTxes qmnis. ipoveT manZili daxril-

Ta boloebs Soris.

31.20. sibrtyidan 11 6 -is toli manZiliT daSorebuli

224

wertilidan gavlebulia ori toli daxrili, romelTa So-

ris kuTxea 60 o , xolo maT gegmilebs Soris kuTxe ki 120 o . ipoveT daxrilTa sigrZe.


dmi gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea l. daxrilebs Soris kuTxea α , xolo maT gegmilebs Soris

kuTxe ki β . ipoveT manZili am wertilidan sibrtyemde, Tu

38=l , 32

2sin =

α,

33

2sin =

β.

31.22. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia

ori toli daxrili, romelTa Soris kuTxe 60 o -ia, xolo

maT gegmilebs Soris kuTxe ki marTia. ipoveT kuTxe daxri-

lsa da mis gegmils Soris.

31.23. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyi-

sadmi gavlebulia ori toli daxrili. daxrilTa Soris

kuTxea ϕ , xolo maT gegmilebs Soris kuTxe ki α . ipoveT

kuTxe daxrilebsa da sibrtyes Soris, Tu 41

2sin =

ϕ,

321

2sin =

α.

31.24. sibrtyidan d manZiliT daSorebuli wertilidan

gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea l. daxri-lebs Soris kuTxea ϕ . ipoveT kuTxe daxrilTa gegmilebs

Soris, Tu d=5, l=7, 76

2sin =

ϕ .

31.25. sibrtyidan h manZiliT daSorebuli wertilidan

gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea a. dax-rilTa gegmilebs Soris kuTxea α . ipoveT kuTxe daxri-

lebs Soris, Tu 2=h , 6=a , 8

632

sin =α

.


dmi gavlebulia marTobi da ori toli daxrili. daxri-

lebs Soris kuTxea β2 , xolo TiToeuli daxrili marTob-

Tan α kuTxes qmnis. ipoveT kuTxe daxrilTa gegmilebs

Soris, Tu 33

2sin =α , 31sin =β .

31.27. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyi-

sadmi gavlebulia marTobi da ori toli daxrili. Ti-

225

Toeuli daxrili sibrtyesTan α kuTxes qmnis, xolo dax-

rilTa gegmilebs Soris kuTxea ϕ2 . ipoveT kuTxe daxri-

lebs Soris, Tu 54cos =α ,

85sin =ϕ .

31.28. sibrtyidan 62 -is toli manZiliT daSorebuli

wertilidan gavlebulia ori daxrili, romlebic sibrtye-

sTan adgenen 30 o -ian da 45 o -ian kuTxeebs, xolo erTmaneT-

Tan ki marT kuTxes. ipoveT manZili daxrilTa boloebs

Soris.

31.29. sibrtyidan d manZiliT daSorebuli wertilidan

gavlebulia ori daxrili, romlebic sibrtyesTan adgenen

α da β kuTxeebs, xolo erTmaneTTan ki marT kuTxes. ipo-

veT manZili daxrilTa boloebs Soris, Tu 13=d ,

61sin =α ,

31sin =β .

31.30. monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia 10-is da 70-is toli manZilebiT. ipoveT manZili monakveTis Su-

awertilidan sibrtyemde, Tu monakveTi sibrtyes kveTs.

31.31. 10-is toli sigrZis monakveTi kveTs sibrtyes ise,

rom monakveTis boloebidan sibrtyemde manZilebia 2 da 3. ras udris kuTxe monakveTsa da sibrtyes Soris.

31.32. sibrtyeze gavlebulia ori paraleluri wrfe, ro-

melTa Soris manZili 12-is tolia. A wertili am wrfeebi-

dan Tanabradaa daSorebuli, xolo sibrtyidan ki 13 -is

toli manZiliT. ipoveT manZili A wertilidan TiToeul

wrfemde.

31.33. mocemuli wertilidan kvadratis TiToeul wverom-

de manZili 18-is tolia. ipoveT manZili am wertilidan

kvadratis sibrtyemde, Tu kvadratis gverdi 16-is tolia.

31.34. mocemuli wertilidan kvadratis TiToeul gverda-

mde manZili 9-is tolia. ipoveT manZili am wertilidan

kvadratis sibrtyemde, Tu kvadratis diagonali 16-is to-lia.

31.35. kvadratis O centridan kvadratis sibrtyisadmi aR-marTulia OM perpendikulari. M wertilidan AB gverdisad-mi gavlebulia MK perpendikulari. ipoveT MKO∠ , Tu

AB=10 3 , OM=15. 31.36. wris centridan misi sibrtyisadmi aRmarTulia pe-

226

rpendikulari, romlis sigrZea 7. ipoveT manZili perpendi-

kularis bolodan wrewiris wertilebamde, Tu wris far-

Tobia 51 π . 31.37. samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centridan am sa-

mkuTxedis sibrtyisadmi aRmarTulia marTobi, romlis si-

grZea 9. ipoveT manZili am marTobis bolodan samkuTxedis

gverdebamde, Tu wrewiris radiusi 12-is tolia.

31.38. mocemuli wertilidan samkuTxedis sibrtyemde man-

Zili 15-is tolia, xolo TiToeul wveromde manZili 17-is tolia. ipoveT am samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radi-

usi.

31.39. tolgverda samkuTxedis gverdi 30-is tolia. ipo-

veT manZili samkuTxedis sibrtyemde im wertilidan, rome-

lic samkuTxedis TiToeuli wverodan daSorebulia 20-is toli manZiliT.

31.40. wesieri samkuTxedis gverdi 67 -is tolia. M we-rtili isea SerCeuli, rom monakveTebi, romlebic mas sam-

kuTxedis wveroebTan aerTebs samkuTxedis sibrtyesTan,

45 o -ian kuTxeebs adgenen. ipoveT manZili M wertilidan sa-

mkuTxedis wveroebamde.

31.41. mocemuli wertili tolgverda samkuTxedis sibr-

tyidan 6-is toli manZiliTaa daSorebuli. monakveTebi,

romlebic am wertils samkuTxedis wveroebTan aerTebs, sa-

mkuTxedis sibrtyesTan 30 o -ian kuTxeebs adgenen. ipoveT sa-

mkuTxedis gverdi.

31.42. wesieri samkuTxedis gverdi a -s tolia. M werti-li isea SerCeuli, rom monakveTebi, romlebic mas samkuT-

xedis wveroebTan aerTebs, samkuTxedis sibrtyesTan α ku-

Txes qmnian. ipoveT manZili M wertilidan samkuTxedis sib-

rtyemde, Tu ,8=a 32=αtg .

31.43. mocemuli wertili Tanabradaa daSorebuli wesie-

ri samkuTxedis yvela wverodan da 8-is toli manZiliTaa

daSorebuli samkuTxedis sibrtyidan. ipoveT manZili am we-

rtilidan samkuTxedis gverdebamde, Tu samkuTxedis gver-

di 312 -is tolia.

31.44. mocemuli wertili wesieri samkuTxedis TiToeuli

gverdidan 8-is toli manZiliTaa daSorebuli, xolo sam-

kuTxedis sibrtyidan ki 4-is toli manZiliT. ipoveT samku-

Txedis gverdi.

227


wverodan daSorebulia 10-is toli manZiliT, xolo gver-

debidan ki 132 -is toli manZiliT. ipoveT manZili am wer-

tilidan samkuTxedis sibrtyemde.


gverdidan 10-is toli manZiliTaa daSorebuli. ipoveT man-

Zili am wertilidan samkuTxedis sibrtyemde, Tu samkuTxe-

dis gverdi 30-is tolia.

31.47. mocemuli wertili marTkuTxa samkuTxedis TiToe-

uli wverodan 13-is toli manZiliTaa daSorebuli, xolo

samkuTxedis sibrtyidan ki 12-is toli manZiliT. ipoveT

samkuTxedis hipotenuza.

31.48. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 12 da 16. mocemu-li wertili samkuTxedis wveroebidan 26-is toli manZili-

Taa daSorebuli. ipoveT manZili am wertilidan samkuTxe-

dis sibrtyemde.

31.49. tolgverda ABC samkuTxedis wverodan am samkuTxe-

dis sibrtyisadmi aRmarTulia AD marTobi. ipoveT manZili

D wertilidan BC gverdamde, Tu AD=13, BC=6. 31.50. ABC marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 15 da 20. C ma-

rTi kuTxis wverodan samkuTxedis sibrtyisadmi aRmarTu-

lia CM perpendikulari, romlis sigrZe 5-is tolia. ipo-

veT manZili M wertilidan hipotenuzamde.

31.51. mocemuli wertili ABC samkuTxedis TiToeuli wve-

rodan 10-is toli manZiliTaa daSorebuli. ipoveT manZili

am wertilidan samkuTxedis sibrtyemde, Tu BC=15, o60=∠A .

31.52. 30 o -ian orwaxnaga kuTxis erT waxnagze mocemulia

wertili, romelic meore waxnagidan daSorebulia 48-is toli manZiliT. ipoveT manZili am wertilidan orwaxnaga

kuTxis wibomde.

31.53. α sididis orwaxnaga kuTxis erT-erT waxnagze,

mocemulia wertili, romelic wibodan daSorebulia a ma-

nZiliT. ipoveT manZili am wertilidan meore waxnagamde,

Tu 36=a , 43sin =α .

31.54. 60 o -iani orwaxnaga kuTxis SigniT aRebuli werti-

li TiToeuli waxnagidan daSorebulia 24-is toli manZi-

liT. ipoveT manZili am wertilidan wibomde.

31.55. α sididis orwaxnaga kuTxis SigniT mocemulia we-

228

rtili, romelic a manZiliTaa daSorebuli TiToeuli wax-

nagidan. ipoveT manZili am wertilidan orwaxnaga kuTxis

wibomde, Tu a=12, 32

2sin =

α .

31.56. ABC samkuTxedis BC gverdze gavlebulia sib-

rtye, romelic samkuTxedis sibrtyesTan ϕ kuTxes qmnis.

ipoveT manZili A wverodan sibrtyemde, Tu 29=AB ,

36=BC , 25=AC da 4,0sin =ϕ .

31.57. or tolferda samkuTxeds aqvT saerTo fuZe da ma-

Ti sibrtyeebi daxrilia erTmaneTisadmi 60o-iT. saerTo

fuZis sigrZea 16, erTi samkuTxedis ferdis sigrZea 17, xo-

lo meore samkuTxedis ferdebi urTierTperpendikularu-

lia. ipoveT manZili samkuTxedis wveroebs Soris.!!

%43/!lvcj/!qbsbmfmfqjqfej/!qsj{nb

32.1. ipoveT kuTxe:

1) kubis gverdiTi waxnagis diagonalsa da fuZis si-

brtyes Soris.

A. 90 o B. 30 o C. 45 o D. 60 o 2) kubis diagonalsa da fuZis sibrtyes Soris.

A. 22arctg B. 60 o C. 2arctg D. 30 o

3) kubis saerTo wverodan gavlebul gverdiTi wax-

nagebis diagonalebs Soris.

A. 45 o B. 60 o C. 30 o D. 90 o 4) kubis erTi wverodan gavlebul kubis diagonalsa

da gverdiTi waxnagis diagonals Soris.

A. arcsin 23

B. 30 o C. 60 o D. arccos32

32.2. kubis wibos sigrZea 4. ipoveT manZili:

1) erT waxnagze aramdebare ori paraleluri wibos

Suawertilebs Soris.

A. 22 B. 4 C. 24 D. 8 2) mopirdapire waxnagebis araparaleluri gverdebis

Suawertilebs Soris.

A. 52 B. 8 C. 5 D. 62 3) zeda fuZis centridan qveda fuZis romelime gve-

rdis Suawertilamde.

229

A. 52 B. 4 C. 6 D. 62 4) zeda fuZis romelime gverdis Suawertilidan qve-

da fuZis sxva waxnagze mdebare wveromde.

A. 8 B. 6 C. 6 D. 62 32.3. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi

wibo 3-is tolia.

A. 36 B. 54 C. 45 D. 63 32.4. ipoveT kubis wibo, Tu misi sruli zedapiris far-

Tobi 24-is tolia.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 32.5. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi

diagonali 5-is tolia.

A. 25 B. 30 C. 45 D. 50 32.6. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonali 34 -is

tolia.

A. 72 B. 54 C. 64 D. 60 32.7. ipoveT kubis diagonaluri kveTis farTobi, Tu misi

fuZis farTobia 2. A. 2 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 8 2

32.8. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi

diagonaluri kveTis farTobia 6. A. 18 2 B. 16 2 C. 12 2 D. 6 2

32.9. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonaluri kve-

Tis farTobia 216 .

A. 16 B. 48 C. 64 D. 54 32.10. ipoveT kubis diagonaluri kveTis farTobi, Tu mi-

si sruli zedapiris farTobia 30. A. 3 2 B. 5 2 C. 6 2 D. 10 2

32.11. ipoveT kubis diagonali, Tu misi sruli zedapiris

farTobia 98. A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 32.12. kubis moculoba udris 8-s. ipoveT misi sruli ze-

dapiris farTobi.

A. 18 B. 16 C. 20 D. 24 32.13. marTkuTxa paralelepipedis ganzomilebebia 1; 2 da

2. ras udris paralelepipedis diagonalis sigrZe.

A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 2

32.14. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 4 da

230

3. paralelepipedis simaRle ki udris 5-s. ipoveT kuTxe,

romelsac paralelepipedis diagonali adgens fuZis sibr-

tyesTan.

A. 15 o B. 60 o C. 30 o D. 45 o

32.15. marTkuTxa paralelepipedis diagonali misi fuZis

sibrtyesTan qmnis 45 o -ian kuTxes. fuZis gverdebia 12 da 16. ipoveT paralelepipedis simaRle.

A. 20 B. 18 C. 24 D. 10 32.16. marTkuTxa paralelepipedis diagonali misi fuZis

sibrtyesTan qmnis 60 o -ian kuTxes. ipoveT paralelepipedis

simaRle, Tu fuZis gverdebia 6 da 32 .

A. 2 3 B. 6 C. 4 D. 12 32.17. ipoveT marTkuTxa paralelepipedis sruli zedapi-

ris farTobi misi sami ganzomilebis mixedviT: 10; 22; 16. A. 1460 B. 1440 C. 1464 D. 1480 32.18. marTkuTxa paralelepipedis wiboebi ise Seefarde-

ba erTmaneTs, rogorc 3:7:8, sruli zedapiris farTobi ki

udris 808-s. ipoveT paralelepipedis udidesi wibo.

A. 16 B. 6 C. 14 D. 10 32.19. marTkuTxa paralelepipedis ganzomilebebia:15; 50

da 36. ipoveT am paralelepipedis toldidi kubis wibo.

A. 25 B. 30 C. 20 D. 35 32.20. marTkuTxa paralelepipedis sruli zedapiris far-

Tobia 22. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu misi wi-

boebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:2:3. A. 8 B. 18 C. 12 D. 6 32.21. marTkuTxa paralelepipedis diagonalis sigrZea

14. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu misi wiboebi ise

Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3:6. A. 288 B. 276 C. 264 D. 294 32.22. marTkuTxa paralelepipedis moculoba tolia 48-

is. ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris farTobi, Tu

misi wiboebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:2:3. A. 84 B. 80 C. 88 D. 76 32.23. marTkuTxa paralelepipedis waxnagebis farTobia

7; 14 da 32. ipoveT paralelepipedis moculoba.

A. 56 B. 48 C. 52 D. 54 32.24. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 7 da

24, xolo paralelepipedis simaRlea 8. ipoveT diagonaluri

231

kveTis farTobi.

A. 150 B. 175 C. 225 D. 200 32.25. marTkuTxa paralelepipedis diagonaluri kveTa

warmoadgens kvadrats, romlis farTobi udris 25-s. ipo-veT paralelepipedis moculoba, Tu fuZis gverdebi ise Se-

efardeba erTmaneTs, rogorc 3:4. A. 54 B. 56 C. 64 D. 60 32.26. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapi-

ris farTobi, Tu misi fuZis farTobia 9, xolo simaRlea 5. A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 32.27. wesieri oTxkuTxa prizmis fuZis farTobi udris

144-s, simaRle ki tolia 14-is. ipoveT prizmis diagonali.

A. 20 B. 24 C. 22 D. 26 32.28. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, Tu

misi diagonali tolia 9-is, xolo fuZis gverdia 4. A. 110 B. 112 C. 108 D. 116 32.29. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, TuU

misi diagonali udris 6-s, xolo simaRle orjer metia

fuZis gverdze.

A. 10 B. 12 C. 9 6 D. 12 6

32.30. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis simaRle, Tu misi

gverdiTi zedapiris farTobia 8, xolo fuZis farTobi 4. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 32.31. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris fa-

rTobia 32, xolo sruli zedapiris farTobi 40. ras udris prizmis simaRle.

A. 4 B. 8 C. 6 D. 16 32.32. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis fuZis farTobi,

Tu misi gverdiTi zedapiris farTobia 60, xolo simaRle 3. A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 32.33. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapi-

ris farTobi, Tu misi simaRlea 1, fuZis diagonali ki 2. A. 5 2 B. 4 2 C. 3 2 D. 2

32.34. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi waxnagis far-

Tobia 223 . ipoveT diagonaluri kveTis farTobi.

A. 46 2 B. 46 C. 48 D. 36 2

32.35. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris fa-

rTobia 228 . ipoveT diagonaluri kveTis farTobi.

A. 7 2 B. 12 C. 12 2 D. 14

232

32.36. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis gverdiTi zedapi-

ris farTobi, Tu misi simaRlea 5, xolo fuZis farTobia

3 .

A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 32.37. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis sruli zedapiris

farTobi, Tu misi simaRlea 3 , xolo fuZis gverdia 2.

A. 2 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

32.38. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis simaRle, Tu misi

fuZis farTobia 34 , xolo gverdiTi zedapiris farTobia

36. A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 32.39. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis fuZis farTobi,

Tu prizmis simaRlea 1, xolo gverdiTi zedapiris farTo-

bia 18. A. 4 3 B. 3 3 C. 9 3 D. 6 3


fuZis gverdia 6, xolo sruli zedapiris farTobia 354 .

A. 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 4 3

32.41. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu mi-

si simaRlea 5, xolo fuZis perimetria 12. A. 20 3 B. 30 3 C. 40 3 D. 60 3


fuZis gverdia 4, xolo moculobaa 320 .

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 32.43. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu mi-

si gverdiTi waxnagi kvadratia, xolo simaRlea 6. A. 48 3 B. 54 3 C. 60 3 D. 72 3

32.44. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis fuZis gverdi, Tu

prizmis simaRlea 2, xolo moculobaa 318 .

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 32.45. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu mi-

si gverdiTi waxnagi aris kvadrati, romlis farTobia 64. A. 96 3 B. 128 3 C. 136 3 D. 148 3

32.46. ipoveT wesieri eqvskuTxa prizmis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 4, xolo simaRlea 32 .

A. 144 B. 120 C. 150 D. 136

233

32.47. wesieri eqvskuTxa prizmis TiToeuli wibo 7-is to-lia. ipoveT prizmis mcire diagonali.

A. 12 B. 28 C. 14 D. 8 32.48. wesieri eqvskuTxa prizmis TiToeuli wibo tolia

57 -is. ipoveT prizmis didi diagonali.

A. 36 B. 40 C. 28 D. 35 32.49. ipoveT marTi samkuTxa prizmis gverdiTi zedapi-

ris farTobi, Tu misi simaRle udris 50-s da fuZis gver-debia 40; 13 da 37.

A. 4800 B. 4500 C. 5000 D. 4200 32.50. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 25; 29 da

36. sruli zedapiris farTobia 1620. ipoveT prizmis simaR-

le.

A. 8 B. 14 C. 12 D. 10 32.51. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebi ise Seefa-

rdeba erTmaneTs, rogorc 17:10:9. gverdiTi wibo tolia 16-is; prizmis sruli zedapiris farTobia 1440. ipoveT priz-

mis fuZis umciresi gverdi.

A. 18 B. 16 C. 20 D. 14 32.52. marTi prizmis fuZe marTkuTxa samkuTxedia, rom-

lis kaTetebia 6 da 8. didi gverdiTi waxnagis farTobia 20. ipoveT prizmis moculoba.

A. 36 B. 48 C. 42 D. 52 32.53. marT samkuTxa prizmaSi fuZis gverdebia 4; 5 da 7,

xolo gverdiTi wibo fuZis didi simaRlis tolia. ipoveT

prizmis moculoba.

A. 48 B. 52 C. 46 D. 44 32.54. marTi samkuTxa prizmis fuZe marTkuTxa samkuTxe-

dia kaTetebiT 6 sm da 9 sm. zeda fuZis mcire kaTetze da

qveda fuZis am kaTetis mopirdapire wveroze gavlebulia

kveTa. ipoveT miRebuli kveTis farTobi, Tu prizmis gver-

diTi wiboa 12 sm.

A. 30 sm2 B. 45 sm2 C. 90 sm2 D. 60 sm2 32.55. 1111 DCBABCDA marTkuTxa paralelepipedis mocul-

obaa 24. M da N wertilebi Sesabamisad paralelepipedis

AD da BC wiboebis Suawertilebia. ipoveT NMBBAA 11 sam-

kuTxa prizmis moculoba.

A. 8 B. 6 C. 12 D. 18 32.56. 1111 DCBABCDA marTkuTxa paralelepipedis mocul-

obaa 25. M da N wertilebi Sesabamisad paralelepipedis

234

AD da BC wiboebis iseTi wertilebia, rom

3:2:: == NCBNMDAM . ipoveT NMBBAA 11 samkuTxa prizmis

moculoba.

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 32.57. kubis wibo 4 33 -is tolia. ipoveT fuZis gverdze

gamavali sibrtyiT kubis kveTis farTobi, Tu kuTxe am sib-

rtyesa da fuZes Soris 30 o -ia. 32.58. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da

4. paralelepipedis diagonali daxrilia fuZis sibrtyisa-

dmi 60 o -iani kuTxiT. ipoveT paralelepipedis gverdiTi ze-

dapiris farTobi.

32.59. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia a da b. misi diagonali fuZis sibrtyesTan α kuTxes qmnis. ipo-

veT paralelepipedis moculoba, Tu a=6, b=8, 51

=αtg .

32.60. marTkuTxa paralelepipedis gverdiTi wibo udris

5-s. diagonaluri kveTis farTobia 205, fuZis farTobi ki

360. ipoveT fuZis udidesi gverdi.

32.61. ipoveT marTkuTxa paralelepipedis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu misi simaRlea 2, fuZis farTobi 3 da diagonaluri kveTis farTobi 5.

32.62. marTkuTxa paralelepipedis d diagonali fuZis si-

brtyesTan α kuTxes Seadgens, xolo gverdiT waxnagTan β kuTxes. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu d=6,

32sin =α ,

31sin =β .

32.63. marTkuTxa paralelepipedis d diagonali erT gve-

rdiT waxnagTan α kuTxes qmnis, xolo meore gverdiT wax-

nagTan β kuTxes. ipoveT paralelepipedis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu d=5, ,51sin =α

52sin =β .

32.64. marTkuTxa paralelepipedis moculoba udris V-s, xolo diagonali fuZis sibrtyesTan adgens β kuTxes. fu-

Zis diagonalebs Soris kuTxe udris α -s. ipoveT parale-

lepipedis simaRle, Tu V=25, ,54sin =α 2=βtg .

32.65. marTi paralelepipedis gverdiTi wiboa 5, fuZis

235

gverdebia 6 da 8, xolo fuZis erT-erTi diagonali udris

12-s. ipoveT paralelepipedis udidesi diagonali.

32.66. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 5, xo-lo fuZis erT-erTi diagonali udris 4-s. ipoveT parale-

lepipedis didi diagonali, Tu viciT, rom misi mcire dia-

gonali fuZis sibrtyesTan qmnis 60 o -ian kuTxes.

32.67. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 10 da 17. fuZis erTi diagonali udris 21-s. paralelepipedis didi

diagonali tolia 29-is. ipoveT paralelepipedis sruli

zedapiris farTobi.

32.68. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 5, xo-lo maT Soris kuTxe 30 o -ia. ipoveT paralelepipedis mo-

culoba, Tu misi gverdiTi zedapiris farTobia 24. 32.69. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 22 da 5,

xolo maT Soris kuTxe 45 o -ia. ipoveT paralelepipedis mo-

culoba, Tu misi mcire diagonalia 7. 32.70. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 8 da 15,

xolo maT Soris kuTxe 60 o -ia. paralelepipedis mcire dia-

gonali fuZis sibrtyesTan qmnis 30 o -ian kuTxes. ipoveT pa-

ralelepipedis moculoba.

32.71. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 2 da 5, man-Zili fuZis mcire gverdebs Soris udris 4-s. gverdiTi wi-

bo udris 22 -s. ipoveT paralelepipedis mcire diago-

nali.

32.72. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 6 da 8. maT Soris kuTxe 30 o -ia, gverdiTi wibo ki udris 5-s. ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris farTobi.

32.73. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 8. maT Soris kuTxe 60 o -ia. paralelepipedis gverdiTi zedapiris

farTobia 220. ipoveT paralelepipedis mcire diagonaluri

kveTis farTobi.

32.74. marTi paralelepipedis gverdiTi wibo udris 10-s, fuZis gverdebi 23 da 11-ia, xolo fuZis diagonalebi ise

Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT didi diagona-luri kveTis farTobi.

32.75. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 2 da 6, xo-lo maT Soris kuTxe 60 o -ia. ipoveT paralelepipedis sibr-

tyiT kveTis farTobi, Tu cnobilia, rom es sibrtye kveTs

236

paralelepipedis yvela gverdiT wibos da fuZis sibrtyes-

Tan 30 o -ian kuTxes adgens.

32.76. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia a da b, xo-lo maT Soris maxvili kuTxe α -s tolia. fuZis didi

diagonali udris paralelepipedis mcire diagonals.

ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu a=3, b=2,

31cos =α .

32.77. marTi paralelepipedis fuZe rombia, romlis dia-

gonalebia 6 da 8. ipoveT paralelepipedis sruli zedapi-

ris farTobi, Tu gverdiTi waxnagis diagonalia 13. 32.78. marTi paralelepipedis fuZe rombia, diagonaluri

kveTebis farTobebia 28 da 21, xolo paralelepipedis sima-

Rle udris 7-s. ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris

farTobi.

32.79. marTi paralelepipedis fuZea rombi a gverdiTa da

α blagvi kuTxiT. paralelepipedis mcire diagonali misi

fuZis sibrtyesTan adgens β kuTxes. ipoveT paralelepipe-

dis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu a=12, 31

2cos =

α ,

81

=βtg .

32.80. marTi paralelepipedis fuZea rombi d mcire diago-naliTa da α maxvili kuTxiT. paralelepipedis simaRlea

H. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu d=4, 32

2=

αtg , H=4.

32.81. marTi paralelepipedis fuZe aris rombi, romlis

maxvili kuTxea ϕ da didi diagonalia d. paralelepipedis

mcire diagonali fuZis sibrtyesTan qmnis β kuTxes. ipo-

veT paralelepipedis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu

11=d , 53

2sin =

ϕ, 32=βtg .

32.82. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis simaRle, Tu misi

gverdiTi zedapiris farTobia 16, xolo fuZis diagona-

li 4. 32.83. wesieri oTxkuTxa prizmis diagonalis sigrZe ud-

ris d-s da daxrilia gverdiTi waxnagisadmi ϕ kuTxiT.

ipoveT prizmis moculoba, Tu d=5, 5

22sin =ϕ .

237

32.84. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, Tu

misi diagonali gverdiT waxnagTan qmnis 30 o -ian kuTxes,

xolo fuZis gverdi udris 23 -s.

32.85. wesieri samkuTxa prizmis gverdiT wiboze gavlebu-

lia mopirdapire waxnagisadmi perpendikularuli mkveTi

sibrtye, romlis farTobi udris 312 -s. ipoveT prizmis

gverdiTi zedapiris farTobi.

32.86. wesieri samkuTxa prizmis gverdiTi wibo udris

fuZis simaRles, maTze gavlebuli kveTis farTobi ki aris

48. ipoveT prizmis moculoba.

32.87. wesieri samkuTxa prizmis fuZis erT gverdze gav-

lebulia mkveTi sibrtye, romelic kveTs mopirdapire gver-

diT wibos da fuZis sibrtyesTan adgens α kuTxes. fuZis

gverdi tolia 3-is. ipoveT kveTis farTobi, Tu 43cos =α .

32.88. wesieri eqvskuTxa prizmis udidesi diagonali ud-

ris 8-s, xolo gverdiTi wibos sigrZe ki 34 -s. ipoveT

prizmis moculoba.

32.89. wesieri eqvskuTxa prizmis fuZis gverdis sigrZea 2, xolo gverdiTi wibos sigrZe ki 34 . ipoveT kuTxe, ro-

melsac prizmis udidesi diagonali qmnis fuZis sibrtyes-

Tan.

32.90. wesieri eqvskuTxa prizmis udidesi diagonaluri

kveTis farTobia 1. ipoveT gverdiTi zedapiris farTobi.

32.91. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 10; 17 da 21. prizmis simaRle ki udris 11-s. ipoveT gverdiT wibosa

da fuZis mcire simaRleze gavlebuli kveTis farTobi.

32.92. marTi prizmis fuZe rombia. prizmis diagonalebis

sigrZeebia 102 da 172 , simaRle ki udris 2-s. ipoveT

prizmis moculoba.

32.93. marTi prizmis fuZe rombia, romlis gverdia 4,5. prizmis diagonalebia 8 da 5. ipoveT prizmis simaRle.

32.94. marTi oTxkuTxa prizmis simaRlea h, diagonalebi

daxrilia fuZis sibrtyisadmi α da β kuTxeebiT. fuZis

diagonalebs Soris kuTxe ϕ -s tolia. ipoveT prizmis mo-

culoba, Tu h=5, 34

=αtg , 45

=βtg , 52sin =ϕ .

32.95. marTi prizmis fuZea wreze Semoxazuli tolferda

238

trapecia, romlis Suaxazia 20, xolo prizmis simaRlea 30. ipoveT prizmis gverdiTi zedapiris farTobi.

32.96. marTi prizmis fuZea ABCD tolferda trapecia,

romlis gverdebia: AB=CD=13, BC=11 da AD=21. misi diagona-luri kveTis farTobia 180. ipoveT prizmis gverdiTi zeda-piris farTobi.

32.97. marT prizmas fuZeSi aqvs tolferda trapecia, ro-

mlis fuZeebis sigrZeebia 5 da 3, xolo maxvili kuTxea 60 o . prizmis qveda fuZis did fuZeze da zeda FfuZis mcire fu-

Zeze gavlebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyi-

sadmi daxrilia 60 o -iani kuTxiT. ipoveT kveTis farTobi.

32.98. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 43 , 43

da 36 , xolo gverdiTi wiboa 12. samkuTxedis fuZeze gav-

lebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyesTan ad-

gens α kuTxes. ipoveT kveTis farTobi, Tu 53cos =α .

32.99. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 3=AB ,

4=AC da 5=BC , xolo gverdiTi wiboa 26 . samkuTxedis

AC gverdze gavlebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis

sibrtyesTan adgens α kuTxes. ipoveT kveTis farTobi, Tu

31cos =α .

32.100. wesieri samkuTxa prizmis fuZis erT gverdze ga-

vlebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyesTan ad-

gens α kuTxes. fuZis gverdi tolia 4-is, xolo gverdiTi

wibo 21 -is. ipoveT kveTis farTobi, Tu 42cos =α .

32.101. marTkuTxa paralelepipedis formis WurWeli

wyliT aris savse. paralelepipedis simaRle fuZis gverd-

ze metia, xolo fuZe warmoadgens kvadrats, romlis gver-

di 6 sm-is tolia. ramdeni litri wyali gadaiRvreba WurW-

lidan, Tu mas gadavxriT fuZis erT-erTi wibos mimarT

ise, rom fuZis sibrtyem horizontaluri sibrtyisadmi 45°-iani kuTxe Seadginos?

239

%44/!qjsbnjeb!

33.1. 1) Tu piramidas eqvsi wibo aqvs, maSin am piramidis

waxnagebis raodenobaa:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2) Tu piramidas xuTi waxnagi aqvs, maSin am pirami-

dis wiboebis raodenobaa:

A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 3) Tu piramidis wiboebis ricxvi eqvsiT metia gver-

diTi waxnagebis ricxvze, maSin piramidis wveroebis raode-

nobaa:

A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 4) Tu piramidis wiboebis ricxvi samiT metia waxna-

gebis ricxvze, maSin piramidis wveroebis raodenobaa:

A. 6 B. 4 C. 5 D. 7 33.2. 1111 DCBABCDA marTkuTxa paralelepipedis moculo-

baa 18. O wertili aris 1111 DCBA fuZis diagonalebis gada-

kveTis wertili. ipoveT OABCD piramidis moculoba.


baa 30. ipoveT ABCDB1 piramidis moculoba.


baa 120. M da N wertilebi Sesabamisad 11BA da 11DA wi-

boebis Suawertilebia. ipoveT MNAA1 piramidis moculoba.


baa 96. NM , da E wertilebi Sesabamisad 111 , BAAA da 11DA

wiboebis Suawertilebia. ipoveT MNEA1 piramidis mocu-

loba.

A. 4 B. 2 C. 8 D. 12 33.6. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris

farTobia 16, xolo sruli zedapiris farTobi 20. ipoveT

piramidis fuZis gverdi. A. 4 B. 2 C. 1 D. 1,5 33.7. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis simaRle, Tu mi-

si fuZis gverdia 8, xolo gverdiTi wibo 9. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

33.8. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi,

240

Tu misi simaRlea 17, xolo gverdiTi wibo 19. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14


Tu piramidis simaRlea 16, xolo apoTema 20. A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 33.10. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo,

Tu misi simaRlea 7, xolo fuZis gverdia 8. A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 33.11. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema, Tu mi-

si fuZis gverdia 24, xolo simaRlea 5. A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 33.12. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 8, fuZeze Se-

moxazuli wrewiris sigrZea 12 π . ipoveT piramidis gverdi-

Ti wibo. A. 8 B. 9 C. 11 D. 10 33.13. wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema fuZis sibrt-

yesTan adgens 45 o -ian kuTxes. ipoveT piramidis simaRle,

Tu misi fuZis farTobia 16. A. 4 B. 2 C. 8 D. 2 2 33.14. wesieri oTxkuTxa piramidis apoTemaa 15, xolo fu-

Zeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 40 π . ipoveT piramidis

simaRle. A. 5 B. 3 C. 8 D. 10 33.15. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapi-

ris farTobi, Tu misi fuZis farTobia 9, xolo apoTemaa 4. A. 22 B. 44 C. 55 D. 33 33.16. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema, Tu mi-

si fuZis farTobia 16, xolo sruli zedapiris farTobi 40. A. 4 B. 3 C. 6 D. 8 33.17. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris

farTobia 14,76, xolo sruli zedapiris farTobi_18. ipoveT piramidis simaRle. A. 2 B. 5,8 C. 3,2 D. 4

33.18. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 12, xolo fuZis gverdia 3 .

A. 12 B. 6 C. 9 3 D. 3 3 33.19. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wiboa 5. A. 32 B. 24 C. 48 D. 96 33.20. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

241

misi fuZis gverdia 12, xolo gverdiTi wiboa 9. A. 72 B. 81 C. 144 D. 108 33.21. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 12, xolo apoTemaa 13. A. 300 B. 400 C. 100 D. 200 33.22. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi gverdiTi wiboa 10, xolo fuZis diagonalia 12. A. 96 B. 124 C. 148 D. 192 33.23. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis simaRle, Tu mi-

si fuZis gverdia 9, xolo gverdiTi wiboa 14. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 33.24. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis apoTema, Tu mi-

si fuZis gverdia 12, xolo simaRlea 2. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 33.25. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdi,

Tu misi apoTema aris 8, xolo simaRle 4. A. 28 B. 24 C. 20 D. 16 33.26. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo,

Tu misi fuZis gverdi aris 6, xolo simaRlea 2. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 33.27. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdi,

Tu misi gverdiTi wiboa 13, xolo simaRle 11. A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 33.28. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris

farTobia 736 , xolo apoTemaa 72 . ipoveT piramidis si-

maRle. A. 8 B. 6 C. 2 D. 4 33.29. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 2, xolo simaRlea 32 .

A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 2 33.30. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 6, xolo gverdiTi wiboa 33 .

A. 3 B. 4 5 C. 9 5 D. 9 33.31. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wiboa 5. A. 12 3 B. 8 3 C. 15 3 D. 18 3 33.32. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 3, xolo apoTemaa 5.

242

A. 12 3 B. 24 3 C. 36 3 D. 48 3 33.33. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 18, xolo fuZis simaRlea 5. A. 36 3 B. 42 3 C. 50 3 D. 90 3 33.34. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 4, xolo fuZeze Semoxazuli wrewiris radi-

usia 6. A. 48 3 B. 36 3 C. 60 3 D. 72 3 33.35. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 4, xolo fuZeSi Caxazuli wrewiris radi-

usia 5. A. 100 3 B. 70 3 C. 20 3 D. 50 3

33.36. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea 4, xolo mo-

culoba 34 . ipoveT piramidis apoTema.

A. 3 B. 6 C. 17 D. 15 33.37. wesieri eqvskuTxa piramidis fuZis gverdia 12, gve-

rdiTi wibo ki 13. ipoveT piramidis simaRle. A. 3 B. 5 C. 10 D. 2,5 33.38. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis apoTema, Tu

fuZis gverdia 4, xolo piramidis simaRlea 2. A. 2 B. 6 C. 8 D. 4 33.39. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis sruli zedapi-

ris farTobi, Tu misi fuZis gverdia 3 , xolo piramidis

simaRlea 2. A. 12 3 B. 6 C. 12 D. 6 3 33.40. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu piramidis simaRle aris 3, xolo gver-

diTi wiboa 5. A. 18 B. 21 C. 12 21 D. 12 33.41. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 6, xolo fu-

Zeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 16 π2 . ipoveT piramidis

apoTema. 33.42. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 2 15 . pirami-

dis apoTema daxrilia fuZis sibrtyisadmi 60 o -iani kuT-

243

xiT. ipoveT piramidis gverdiTi wibo. 33.43. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 10 . pirami-

dis gverdiTi wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi 30 o -iani kuTxiT. ipoveT piramidis apoTema.


Tu misi sruli zedapiris farTobia 48, xolo fuZesTan

mdebare orwaxnaga kuTxe 60 o -ia. 33.45. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapi-

ris farTobi, Tu misi fuZis gverdia 5, xolo fuZesTan

mdebare orwaxnaga kuTxe 60 o -ia. 33.46. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapi-

ris farTobi, Tu misi apoTemaa 4, xolo fuZesTan mdebare

orwaxnaga kuTxe 60 o -ia. 33.47. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan

adgens 45 o -ian kuTxes. 33.48. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 12 da

igi daxrilia fuZis sibrtyisadmi 60 o -iani kuTxiT. ipoveT

piramidis moculoba. 33.49. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris

6-s da fuZis sibrtyisadmi daxrilia 30 o -iani kuTxiT. ipo-

veT piramidis moculoba. 33.50. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 6, xolo fuZesTan mdebare orwaxnaga

kuTxea 45 o . 33.51. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 4, xolo apo-

Temasa da simaRles Soris kuTxea α . ipoveT piramidis mo-

culoba, Tu 54cos =α .

33.52. wesieri oTxkuTxa piramidis moculobaa 32, xolo

fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxea α . ipoveT piramidis

simaRle, Tu 3=αtg . 33.53. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 14, gve-

rdiTi wibo ki 10. ipoveT diagonaluri kveTis farTobi. 33.54. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 4, xo-

lo gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan α kuTxes qmnis. ipo-

veT piramidis diagonaluri kveTis farTobi, Tu 3=αtg .

244

33.55. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan adgens 45 o-ian kuT-

xes, xolo diagonaluri kveTis farTobia 9. 33.56. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis farTobia 36,

gverdiTi zedapiris farTobi ki 3 265 . ipoveT piramidis moculoba.

33.57. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo 7-is tolia, xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxe udris α -s.

ipoveT piramidis moculoba, Tu 491cos =α .

33.58. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 8, xo-lo diagonaluri kveTis farTobia 212 . ipoveT piramidis

moculoba. 33.59. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 4, fuZe-

sTan mdebare orwaxnaga kuTxe ki 60 o. ipoveT piramidis

gverdiTi zedapiris farTobi. 33.60. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 3, xo-

lo gverdiT waxnagsa da fuZis sibrtyes Soris orwaxnaga

kuTxis sidide α -s tolia. ipoveT piramidis gverdiTi ze-

dapiris farTobi, Tu 53cos =α .

33.61. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 2, fuZis gve-rdTan Seqmnili orwaxnaga kuTxea α . ipoveT piramidis gve-

rdiTi zedapiris farTobi, Tu 6,0cos =α . 33.62. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi udris

a -s, xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxe α -s tolia.

ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu 11=a ,

31

2=

αtg .

33.63. piramidis fuZe marTkuTxedia, romlis gverdebia 9 da 12. yvela gverdiTi wibo 12,5-is tolia. ipoveT pirami-

dis moculoba. 33.64. oTxkuTxa piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis

diagonalia 32 , xolo diagonalebs Soris mdebare kuT-

xea 60 o. piramidis TiToeuli gverdiTi wibo fuZis sibrt-

yesTan adgens 45 o-ian kuTxes. ipoveT piramidis moculoba.

33.65. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis diagonali

udris d -s, xolo diagonalebs Soris kuTxea α . piramidis

245

TiToeuli wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi β kuTxiT.

ipoveT piramidis moculoba, Tu 10=d , 51sin =α , 3=βtg .

33.66. piramidis fuZe marTkuTxedia, romlis gverdebia 6 da 8. piramidis TiToeuli gverdiTi wibo tolia 13-is. ipoveT piramidis simaRle.

33.67. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis diagonalebia

6 da 8. ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu

misi simaRle gadis diagonalebis gadakveTis wertilze da

udris 1. 33.68. MABCD piramidis fuZe ABCD kvadratia. MB wibo

fuZis sibrtyis marTobulia, xolo MA wibo fuZis sibrt-yesTan 45°-ian kuTxes qmnis. gamoTvaleT am piramidis gve-

rdiTi zedapiris farTobi, Tu MB= 2 sm.

33.69. MABCD piramidis fuZe ABCD marTkuTxedia; MB wi-bo fuZis sibrtyis marTobulia. MA wibo fuZis sibrtyes-Tan 60°-is tol kuTxes qmnis, xolo MC wibo _ 30°-ian kuT-

xes. gamoTvaleT piramidis zedapiris farTobi, Tu cnobi-

lia, rom MB=2 sm. 33.70. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis farTobia 48

sm2. piramidis ori gverdiTi waxnagi fuZis marTobulia,

xolo ori danarCeni daxrili da fuZesTan qmnian 60°-ian da 30°-ian kuTxeebs. ipoveT piramidis zedapiris farTobi.

33.71. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis diagonali

16 sm-ia. piramidis ori gverdiTi waxnagi fuZis marTobu-

lia, xolo ori danarCeni daxrilia da fuZesTan qmnian

45°-ian da 60°-ian kuTxeebs. ipoveT piramidis gverdiTi ze-

dapiris farTobi.

33.72. piramidas fuZed aqvs rombi 60°-iani kuTxiT da 5

sm-iani gverdiT. piramidis ori mosazRvre gverdiTi waxna-

gi fuZis sibrtyis marTobulia, xolo danarCeni ori ki

daxrilia misadmi 60°-iani kuTxiT. ipoveT piramidis gver-

diTi zedapiris farTobi.

33.73. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis gverdi 25 dm-

ia da mcire diagonali 30 dm. piramidis simaRle gadis mi-

si fuZis blagvi kuTxis wveroze da udris 32 dm-s. ipoveT

piramidis zedapiris farTobi.

33.74. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia a , xo-

lo fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxe udris α -s. ipoveT

piramidis moculoba, Tu 6=a , 2=αtg .

246

33.75. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis centrze gavle-

bulia kveTa, romelic gverdiTi waxnagis paraleluria.

ipoveT kveTis farTobi, Tu piramidis simaRle udris 5-s,

xolo apoTema 13-s.

33.76. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi udris

a-s, xolo gverdiTi wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi α

kuTxiT. ipoveT piramidis moculoba, Tu 2=a , 23

=αtg .

33.77. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 6, xo-

lo or mosazRvre gverdiT waxnags Soris kuTxe ki 120o.

ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi.

33.78. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris

11-s da fuZis sibrtyesTan qmnis 30 o -ian kuTxes. ipoveT pi-

ramidis fuZis gverdi. 33.79. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis apoTema, Tu fu-

Zis gverdia 15 da gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan Sea-

dgens 45 o -ian kuTxes. 33.80. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris

15-s, xolo apoTema udris 12-s. ipoveT piramidis fuZeze

Semoxazuli wrewiris radiusi. 33.81. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu misi fuZis gverdia 36 , xolo simaR-

lea 4. 33.82. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu fuZis gverdia 4 15 da gverdiTi wibo

fuZis sibrtyesTan Seadgens 45 o -ian kuTxes. 33.83. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu misi simaRlea 4 da apoTemaa 8. 33.84. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zeda-

piris farTobi, Tu misi fuZis gverdia 2, xolo fuZesTan

mdebare orwaxnaga kuTxea 60 o . 33.85. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi apoTemaa 14, xolo fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxe

_ 45 o . 33.86. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 3 da

fuZis sibrtyesTan qmnis α kuTxes. ipoveT piramidis mocu-

247

loba, Tu 3

1sin =α .

33.87. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 6, pira-midis gverdiTi wibo fuZis sibrtyisadmi daxrilia 45 o -iani kuTxiT. ipoveT piramidis moculoba.

33.88. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 12, xolo gverdiTi waxnagi daxrilia

fuZis sibrtyisadmi 45 o -iani kuTxiT. 33.89. wesieri samkuTxa piramida gadakveTilia sibrtyiT,

romelic fuZis perpendikularulia da fuZis or gverds

Suaze yofs. piramidis gverdiTi wibo daxrilia fuZis sib-

rtyisadmi α kuTxiT, xolo fuZis gverdi udris a -s. ipo-

veT kveTis farTobi, Tu 12=a , 32=αtg . 33.90. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris

farTobia 90. fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea π38 .

ipoveT piramidis apoTema. 33.91. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris

farTobia 72, xolo apoTema udris 8-s. ipoveT fuZeze Semo-

xazuli wrewiris radiusi. 33.92. wesieri samkuTxa piramidis apoTema udris 10-s, xo-

lo fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea π36 . ipoveT pi-

ramidis gverdiTi zedapiris farTobi. 33.93. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 10, xo-

lo fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea π38 . ipoveT pi-

ramidis gverdiTi zedapiris farTobi. 33.94. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 6 3 , xo-

lo misi gverdiTi zedapiris farTobia 36 3 . ipoveT pira-

midis moculoba. 33.95. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibos sigr-

Zea l , xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxea α . ipoveT

piramidis simaRle, Tu 14=l , 43

2sin =

α.

33.96. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea H , xolo

wverosTan mdebare brtyeli kuTxea β . ipoveT piramidis

gverdiTi wibo, Tu 15=H , 43

2sin =

β.

33.97. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea H , xolo

248

wverosTan mdebare brtyeli kuTxe ϕ2 . ipoveT manZili pi-

ramidis fuZis centridan gverdiT waxnagamde, Tu 6=H ,

2=ϕtg .

33.98. samkuTxa piramidis gverdiTi wiboebi urTierTmar-

Tobulia da TiToeuli maTgani 6-is tolia. ipoveT pirami-

dis moculoba. 33.99. MABC samkuTxa piramidis fuZe tolferda samkuT-

xedia, AB=BC=6 sm, romlis wverosTan mdebare kuTxea 90°. piramidis MB wibo ABC sibrtyis marTobulia da 3 sm-is

tolia. ipoveT manZili B wertilidan AMC waxnagamde. 33.100. MABC samkuTxa piramidis gverdiTi wiboebi urTi-

erTmarTobulia, MA⊥MB, MB⊥MC da MA⊥MC. gamoTvaleT

piramidis simaRle, romelic daSvebulia ABC fuZeze, Tu

MA=8 sm, MB=6 sm da MC= 13 sm.

33.101. piramidis fuZe aris marTkuTxa samkuTxedi, rom-

lis hipotenuza 6-is tolia. TiToeuli gverdiTi wibo

fuZis sibrtyesTan qmnis α kuTxes. ipoveT piramidis sima-

Rle, Tu 2=αtg . 33.102. piramidis fuZea marTkuTxa samkuTxedi, romlis

kaTetebia 6 da 8. yoveli gverdiTi waxnagi fuZis sibrtyes-

Tan 45 o -ian kuTxes qmnis. ipoveT piramidis simaRle. 33.103. piramidis fuZea marTkuTxa samkuTxedi, romlis

kaTetebia 7 da 2,3. piramidis yvela gverdiTi waxnagi daxri-

lia fuZis sibrtyisadmi α kuTxiT. ipoveT piramidis gver-

diTi zedapiris farTobi, Tu 25,0cos =α . 33.104. wesieri piramidis sruli zedapiris farTobia 38,

xolo kuTxe gverdiT waxnagsa da fuZes Soris α -s tolia.

ipoveT fuZis farTobi, Tu 41cos =α .

33.105. samkuTxa piramidis fuZis gverdebia 13, 14 da15. fu-ZesTan mdebare yvela orwaxnaga kuTxe 60 o -ia. ipoveT pira-

midis sruli zedapiris farTobi. 33.106. piramidis fuZe tolferda samkuTxedia, romlis

fuZea 6, simaRle ki 9. piramidis TiToeuli gverdiTi wibo

13-is tolia. ipoveT piramidis simaRle. 33.107. piramidis fuZe tolferda samkuTxedia, romlis

gverdebia 6, 6 da 8. TiToeuli gverdiTi wibo 9-is tolia.

ipoveT piramidis moculoba.

249

33.108. piramidis fuZea tolferda samkuTxedi, romlis

gverdebia 6, 5 da 5. piramidis gverdiTi waxnagebi mis fuZes-Tan adgenen 45 o -ian kuTxeebs. ipoveT piramidis moculoba.

33.109. ipoveT samkuTxa piramidis fuZis farTobi, Tu

gverdiTi wiboebis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli sa-

mkuTxedis farTobia 5.

33.110. piramidis simaRlis Suawertilze gavlebulia fu-

Zis paraleluri kveTa. ipoveT kveTis farTobi, Tu fuZis

farTobia 16.

33.111. piramidis simaRle dayofilia oTx tol nawilad


kveTebi. ipoveT fuZidan uaxloesi kveTis farTobi, Tu fu-

Zis farTobia 32.

33.112. wesieri eqvskuTxa piramidis fuZis gverdia 65 ,

xolo fuZis gverdTan Seqmnili orwaxnaga kuTxea α . ipo-

veT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu 43cos =α .

33.113. wesieri eqvskuTxa piramidis simaRlea 5, xolo

fuZis gverdia 3. ipoveT udidesi diagonaluri kveTis far-

Tobi. 33.114. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu

piramidis simaRlea 35 , xolo fuZis gverdia 2. 33.115. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu

misi fuZis gverdia 4, xolo gverdiTi wiboa 43 . 33.116. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba,

Tu misi fuZis gverdia 2, xolo fuZesTan mdebare orwax-

naga kuTxea 45 o . 33.117. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu

gverdiTi wiboa 4 da piramidis simaRlesTan qmnis 30 o -ian kuTxes.

33.118. wesieri eqvskuTxa piramidis moculobaa 4116, xo-lo gverdiTi wibos sigrZe orjer metia fuZis gverdis si-

grZeze. ipoveT piramidis fuZis gverdi. 33.119. samkuTxa piramidis ori waxnagi tolferda marTk-

uTxa samkuTxedebia, romelTa kaTetebi 3-is tolia, xolo

hipotenuzebi erTmaneTTan qmnian α kuTxes. ipoveT pirami-

dis moculoba, Tu 31cos =α .

33.120. piramidas fuZed aqvs marTkuTxa samkuTxedi, xo-

250

lo gverdiTi wiboebi erTmaneTis tolia. piramidis simaR-

le udris H -s. piramidis fuZesTan mdebare ori orwaxnaga

kuTxe udris α -s da β -s. ipoveT piramidis moculoba, Tu

3=H , 31

=αtg , 41

=βtg .

33.121. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 8. sibr-

tye, romelic gadis fuZis gverdze da piramidis simaRlis

Suawertilze, daxrilia fuZisadmi α kuTxiT. ipoveT am

sibrtyiT piramidis kveTis farTobi, Tu 33cos =α .

33.122. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis mcire diago-

nalis sigrZea d , xolo maxvili kuTxis sididea α . TiTo-

euli gverdiTi waxnagi fuZis sibrtyesTan β sididis or-

waxnaga kuTxes qmnis. ipoveT piramidis sruli zedapiris

farTobi, Tu 2=d , 31

2=

αtg , 61cos =β .

33.123. piramidas fuZed aqvs tolferda trapecia, rom-

lis fuZeebia a da b . yoveli gverdiTi waxnagi piramidis

fuZesTan β kuTxes qmnis. ipoveT piramidis moculoba, Tu

10=a , 6=b , 21

=βtg .

33.124. piramidas fuzed aqvs trapecia, romlis diagona-

li ferdis perpendikularulia, xolo fuZesTan α kuTxes

adgens. trapeciis simaRle udris h -s. piramidis TiToeuli

gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan β kuTxes adgens. ipo-

veT piramidis moculoba, Tu 6=h , 31

=αtg , 61

=βtg .

$34. cilindri. konusi. birTvi !

34.1. kvadratis gverdis sigrZea 2. ipoveT im sxeulis gve-

rdiTi zedapiris farTobi, romelic miiReba kvadratis

brunviT misi gverdis garSemo.

A. 6 π B. 8 π C. 10 π D. 12 π 34.2. marTkuTxedis gverdebia 3 da 4. ipoveT im sxeulis

moculoba, romelic miiReba marTkuTxedis brunviT misi

mcire gverdis garSemo.

A. 36 π B. 40 π C. 48 π D. 60 π 34.3. cilindris simaRlea 7, xolo fuZis radiusi 2. ipo-

251

veT cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.

A. 28 π B. 36 π C. 30 π D. 32 π 34.4. cilindris simaRlea 6, xolo fuZis radiusi 3. ipo-

veT cilindris moculoba.

A. 27 π B. 54 π C. 36 π D. 48 π 34.5. ipoveT cilindris gverdiTi zedapiris farTobi, Tu

misi fuZis farTobia 36 π , xolo simaRle 3. A. 36 π B. 12 π C. 42 π D. 40 π 34.6. ipoveT cilindris fuZis farTobi, Tu misi gverdi-

Ti zedapiris farTobia 100 π , xolo simaRle 10. A. 5 π B. 10 π C. 25 π D. 50 π 34.7. ipoveT cilindris simaRle, Tu misi gverdiTi zeda-

piris farTobia 32 π , xolo fuZis farTobi 16 π . A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 34.8. ipoveT cilindris RerZuli kveTis farTobi, Tu mi-

si fuZis farTobia 25 π , xolo simaRle 10. A. 100 B. 120 C. 80 D. 90 34.9. ipoveT cilindris simaRle, Tu misi RerZuli kve-

Tis farTobia 42, xolo fuZis farTobi 9 π . A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 34.10. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati. ipoveT

cilindris simaRle, Tu fuZis radiusia 2. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

34.11. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis

farTobia 36. ipoveT cilindris gverdiTi zedapiris far-

Tobi.

A. 36 π B. 12 π C. 24 π D. 30 π 34.12. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis

diagonalis sigrZea 3 2 . ipoveT cilindris moculoba.

A. 4

19π B. 4

21π C. 4

25π D. 4

27π

34.13. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati. ipoveT

cilindris simaRle, Tu misi moculobaa 128 π . A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 34.14. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis

gverdis sigrZea π

4. ipoveT cilindris sruli zedapiris

farTobi.

A. 24 B. 26 C. 18 D. 22

252

34.15. cilindris ERerZuli kveTis farTobia π5. ipoveT

cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 34.16. cilindris fuZis farTobia 4 π , xolo RerZuli

kveTis farTobia 20. ipoveT cilindris sruli zedapiris

farTobi.

A. 20 π B. 24 π C. 28 π D. 32 π 34.17. cilindris gverdiTi zedapiris farTobia 16, xolo

fuZis wrewiris sigrZe 8 π . ipoveT cilindris moculoba.

A. 32 π B. 32 C. 28 π D. 28 34.18. cilindruli formis WurWelSi, romlis fuZis di-

ametri 30 sm-ia, asxia 9π l moculobis saRebavi. ra umci-

resi sigrZis joxiT unda movurioT saRebavs, rom rogorc

ar unda Cagvivardes joxi WurWelSi, is mTlianad saReba-

vis zedapiris qvemoT ar aRmoCndes (1 l=1 dm3)?

A. 40 sm B. 40 2 sm C. 50 sm D. 50 2 sm

34.19. konusis fuZis radiusia 3, xolo simaRle 4. ipoveT

msaxvelis sigrZe.

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

34.20. konusis fuZis radiusia π

3, xolo simaRlea

π

4.

ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi.

A. 10 B. 15 C. 12 D. 20 34.21. konusis fuZis radiusia 3, xolo msaxveli 5. ipoveT

konusis moculoba.

A. 9 π B. 10 π C. 12 π D. 15 π

34.22. konusis fuZis farTobia 9 π , xolo msaxveli π5.


A. 15 B. 20 C. 10 D. 25 34.23. konusis fuZis wrewiris sigrZea 6 π , xolo simaR-

le ki π4 . ipoveT konusis moculoba.

A. 10 B. 10 π C. 12 D. 12 π

34.24. konusis msaxveli fuZis sibrtyesTan 30 o -ian kuT-

xes Seadgens. ipoveT konusis moculoba, Tu msaxvelis sig-

rZea 10. A. 140 π B. 125 π C. 160 π D. 130 π

253

34.25. konusis msaxveli fuZis sibrtyesTan 60 o -ian kuT-

xes Seadgens. ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi,

Tu msaxvelis sigrZea π

4.

A. 8 B. 8 π C. 10 D. 10 π 34.26. konusis simaRlea 6, xolo fuZis radiusi aris 8.


A. 80 π B. 60 π C. 70 π D. 40 π 34.27. konusis simaRlea 4, xolo msaxveli aris 5. ipoveT

sruli zedapiris farTobi.

A. 10 π B. 12 π C. 20 π D. 24 π 34.28. konusis simaRlea 5, xolo fuZis radiusi 12. ipo-

veT konusis moculoba.

A. 200 π B. 220 π C. 240 π D. 260 π 34.29. konusis msaxvelia 13, xolo fuZis radiusi 5. ipo-

veT konusis moculoba.

A. 80 π B. 100 π C. 120 π D. 140 π 34.30. konusis RerZuli kveTa marTkuTxa samkuTxedia.

ipoveT RerZuli kveTis farTobi, Tu konusis fuZis radi-

usia 2. A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 34.31. konusis fuZis farTobia 9 π , xolo msaxveli aris

5. ipoveT RerZuli kveTis farTobi.

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 34.32. konusis fuZis farTobia 16 π , xolo msaxveli aris

5. ipoveT konusis moculoba.

A. 12 π B. 14 π C. 16 π D. 18 π 34.33. konusis fuZis wrewiris sigrZea 12 π . ipoveT konu-

sis moculoba, Tu msaxvelis sigrZea 10. A. 96 π B. 98 π C. 40 π D. 20 π 34.34. konusis msaxveli 10-is tolia. RerZuli kveTis

wverosTan mdebare kuTxea α . ipoveT konusis fuZis far-

Tobi, Tu 6,02

sin =α

.

A. 20 π B. 36 π C. 30 π D. 35 π 34.35. konusis fuZis farTobia 3 π . RerZuli kveTis wve-

rosTan mdebare kuTxea α . ipoveT RerZuli kveTis far-

Tobi, Tu 53

2sin =

α.

A. 6 B. 5 C. 3 D. 4

254

34.36. konusis simaRlis sigrZea 24, xolo moculobaa

392 π . ipoveT msaxvelis sigrZe.

A. 21 B. 25 C. 27 D. 21 34.37. konusis moculoba udris 9 π , xolo simaRlea 3.

ipoveT kuTxe msaxvelsa da fuZis sibrtyes Soris.

A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 75 o

34.38. konusis moculoba udris 27 π , xolo fuZis radiu-

sia 3. ipoveT konusis RerZuli kveTis farTobi.

A. 25 B. 27 C. 29 D. 30 34.39. konusis fuZis farTobia 9 π , sruli zedapiris far-

Tobi ki 24π . ipoveT konusis moculoba.

A. 9 π B. 10 π C. 12 π D. 16 π 34.40. im konusis moculoba, romlis fuZe mocemuli ci-

lindris erT fuZes emTxveva, wvero ki imave cilindris me-

ore fuZis centria, 10-is tolia. ipoveT cilindris moc-

uloba.

A. 20 B. 30 C. 40 D. 33 34.41. sferos radiusis sigrZea 5. ipoveT sferos zeda-

piris farTobi.

A. 80 π B. 100 π C. 120 π D. 140 π 34.42. birTvis radiusis sigrZea 3. ipoveT birTvis mocu-

loba.

A. 30 π B. 32 π C. 34 π D. 36 π 34.43. sferos zedapiris farTobia 144 π . ipoveT sferos

radiusi.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 34.44. mocemulia sami birTvi radiusebiT: 3, 4 da 5. ipo-

veT im birTvis radiusi, romlis moculoba am birTvebis

moculobaTa jamia.

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 34.45. ipoveT sferos zedapiris farTobi, Tu didi wris

farTobia 1. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 34.46. sferos zedapiris farTobia 16. ipoveT didi wris

farTobi.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 34.47. ipoveT birTvis zedapiris farTobi, Tu misi mocu-

lobaa 36π . A. 36 π B. 32 π C. 30 π D. 24 π 34.48. ipoveT birTvis moculoba, Tu misi zedapiris far-

Tobia 100π .

255

A. 3

200π B. 100 π C. 3

400π D. 3

500π

34.49. ipoveT im birTvis radiusi, romlis zedapiris fa-

rTobi ricxobrivad 3-jer metia mis moculobaze.

A. 1 B. 2 C. 0,5 D. 0,3 34.50. ipoveT im birTvis radiusi, romlis moculoba da

zedapiris farTobi ricxobrivad tolia.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

34.51. cilindris simaRlea 6, xolo fuZis radiusi 5.

ipoveT im kveTis farTobi, romelic gadis cilindris Rer-

Zis paralelurad da misgan daSorebulia 4-is toli manZi-

liT.

34.52. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kveTa

kvadratia. ipoveT manZili am kveTidan RerZamde, Tu cilin-

dris simaRlea 16, xolo fuZis radiusi 10. 34.53. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kve-

Tis farTobia 240. ipoveT manZili am kveTidan RerZamde, Tu

cilindris fuZis radiusia 13, xolo simaRle 10. 34.54. cilindris RerZuli kveTis farTobia 70, fuZis ra-

diusi ki 5. ipoveT im kveTis farTobi, romelic gadis ci-

lindris RerZis paralelurad da misgan daSorebulia 3-is toli manZiliT.

34.55. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kveTa

fuZis wrewirs yofs SefardebiT 1:5. ipoveT cilindris

gverdiTi zedapiris farTobi, Tu kveTis farTobia 15. 34.56. cilindris fuZis qordaze, romlis sigrZea 16, gav-

lebulia fuZis marTobuli kveTa. ipoveT manZili am kve-

Tidan cilindris RerZamde, Tu cilindris gverdiTi zeda-

piris farTobia 7, xolo moculoba 35. 34.57. cilindris gverdiTi zedapiris Slili aris kvad-

rati 2 3 π -is toli gverdiT. ipoveT cilindris moculoba.

34.58. cilindris gverdiTi zedapiris SlilSi diagona-

lebs Soris kuTxe wveroTi fuZisken 60 o -ia. ipoveT cilin-

dris moculoba, Tu cilindris simaRlea 2 3 π . 34.59. cilindris formis WurWeli wyliT aris savse. ci-

lindris simaRle 10 sm-ia, xolo fuZis radiusia 6 sm.

wylis moculobis ra nawili gadaiRvreba WurWlidan, Tu

256

mas gadavxriT fuZis wrewiris erT-erTi wertilis mimarT

ise, rom fuZis sibrtyem horizontaluri sibrtyisadmi 30°-iani kuTxe Seadginos?

34.60. marTkuTxa samkuTxedi brunavs Tavisi didi kaTe-

tis garSemo. ipoveT brunviT miRebuli sxeulis gverdiTi

zedapiris farTobi, Tu marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia

3 da 4. 34.61. marTkuTxa samkuTxedi brunavs Tavisi mcire kaTe-

tis garSemo. ipoveT brunviT miRebuli sxeulis moculoba,

Tu marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 5 da 12. 34.62. konusis simaRlea 20 sm, xolo fuZis radiusia 25.

ipoveT konusis wveroze gavlebuli kveTis farTobi, Tu am

kveTidan konusis fuZis centramde manZilia 12. 34.63. konusis simaRle aris 5, xolo kuTxe simaRlesa

da msaxvels Soris 60 o . ipoveT or urTierTperpendikula-

rul msaxvelze gavlebuli kveTis farTobi.

34.64. konusis fuZis radiusia 5 . am konusis gverdiTi

zedapiris Slili aris seqtori, romlis centraluri kuT-

xea 120 o . ipoveT konusis gveediTi zedapiris farTobi.

34.65. konusis gverdiTi zedapiris Slili aris seqtori,

romlis farTobia 1,5 π , xolo centraluri kuTxe ki 120 o . ipoveT konusis simaRle.

34.66. konusis simaRlea 3 48π

. am konusis gverdiTi zeda-

piris Slili aris seqtori 120 o -iani centraluri kuTxiT.

ipoveT konusis moculoba.

34.67. konusis simaRlea h, xolo moculoba 24

3hπ. am ko-

nusis gverdiTi zedapiris Slili aris seqtori. ipoveT se-

qtoris centraluri kuTxe.

34.68. konusis msaxvelisa da simaRlis sxvaoba aris π

8,

xolo maT Soris kuTxea ϕ . ipoveT konusis gverdiTi ze-

dapiris farTobi, Tu 1312sin =ϕ .

34.69. konusis msaxvelisa da fuZis radiusis jami udris

257

π13

. msaxveli daxrilia fuZis sibrtyisadmi α kuTxiT.

ipoveT konusis sruli zedapiris farTobi, Tu 73cos =α .

34.70. konusis fuZis centridan mis msaxvelamde manZili

aris π21

, xolo kuTxe msaxvelsa da simaRles Soris α .

ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu 52sin =α .

34.71. konusis fuZis centridan mis msaxvelamde manZili

aris 2 3 . ipoveT kuTxe msaxvelsa da simaRles Soris, Tu

konusis fuZis farTobia 16π . 34.72. konusis RerZuli kveTa tolgverda samkuTxedia.

ipoveT am konusis simaRle, Tu misi moculobaa 24π sm3. 34.73. konusis RerZuli kveTa marTkuTxa samkuTxedia.

ipoveT am konusis simaRle, Tu misi moculobaa 72π sm3. 34.74. birTvi, romlis radiusia 41, gadakveTilia sib-

rtyiT, romelic centridan daSorebulia 9-iT. ipoveT kve-

Tis radiusi.

34.75. birTvi, romlis radiusia 13, gadakveTilia sibr-

tyiT, romelic centridan daSorebulia 12-iT. ipoveT kve-

Tis farTobi.

34.76. birTvis radiusis Suawertilze gavlebulia am ra-

diusis perpendikularuli sibrtye. ipoveT kveTis farTo-

bi, Tu birTvis radiusia 6. 34.77. birTvi, romlis radiusia 7, exeba ϕ sididis orwa-

xnaga kuTxis waxnagebs. ipoveT manZili birTvis centridan

orwaxnaga kuTxis wibomde, Tu 31

2sin =

ϕ.

34.78. birTvi exeba ϕ sididis orwaxnaga kuTxis waxna-

gebs. manZili birTvis centridan orwaxnaga kuTxis wibom-

de aris 20. ipoveT birTvis radiusi, Tu 41

2sin =

ϕ.

34.79. birTvi exeba orwaxnaga kuTxis waxnagebs. ipoveT

orwaxnaga kuTxis gradusuli zomis sidide, Tu birTvis

radiusia 6, xolo manZili birTvis centridan orwaxnaga

kuTxis wibomde 12. 34.80. sferos radiusia 63. wertili, romelic Zevs mxeb

258

sibrtyeze, Sexebis wertilidan daSorebulia 16-iT. ipoveT

umoklesi manZili am wertilidan sferos zedapiramde.

34.81. birTvis radiusis sigrZea 4. birTvis radiusis bo-

loze gavlebulia kveTa, romelic am radiusTan 60 o -ian kuTxes adgens. ipoveT miRebuli kveTis farTobi.

34.82. birTvis radiusis sigrZea 2. birTvis radiusis bo-

loze gavlebulia kveTa, romelic am radiusTan 30 o -ian kuTxes adgens. ipoveT miRebuli kveTis farTobi.

34.83. birTvis zedapirze mocemulia sami wertili. maT

Soris manZilebia 6, 8 da 10. birTvis radiusia 13. ipoveT ma-

nZili birTvis centridan am sam wertilze gavlebul sibr-

tyemde.

$35. veqtorebi.

35.1. naxazis mixedviT ipoveT:

1) AB BC+uuur uuur

A. CDuuur

B. ADuuur

C. CAuuur

D. ACuuur

2) AB BD+

uuur uuur

A. ADuuur

B. DAuuur

C. ABuuur

D. BCuuur

3) AD AB−

uuur uuur

A. ADuuur

B. DBuuur

C. BCuuur

D. BDuuur

4) AB BC CD+ +

uuur uuur uuur

A. ABuuur

B. ADuuur

C. DAuuur

D. BAuuur

35.2. mocemulia 1 1 1 1ABCDA B C D paralelepipedi. naxazis mi-

xedviT ipoveT:

1) 1DB BB+uuur uuur

A. ABuuur

B. 1B Duuuur

C. 1DBuuuur

D. 1BBuuur

2) 1 1DB BB B C+ +uuur uuur uuuur

A. 1DBuuuur

B. DBuuur

C. 1DB−uuuur

D. - CDuuur

3) - 1B C CD−uuuur uuur

A. 1DBuuuur

B. BCuuur

C. 1BBuuur

D. 1DB−uuuur

259

4) 1 1DB B C+uuuur uuuur

A. CDuuur

B. CD−uuur

C. DBuuur

D. BCuuur

5) 1 1 1DB A D AA DA+ + +uuur uuuur uuur uuur

A. DBuuur

B. 1DBuuuur

C. 1B Cuuuur

D. 1DB−uuuur

6) 1 1 1 1DB A D AA+ −uuuur uuuur uuur

A. - CDuuur

B. DAuuur

C. 1B Cuuuur

D. 1BBuuur

35.3. mocemulia MABCD piramida. naxazis

mixedviT ipoveT:

1) AO OB BM MD+ + +uuur uuur uuuur uuuur

A. MCuuuur

B. ADuuur

C. OCuuur

D. AD−uuur

2) AO OM MC+ +

uuur uuuur uuuur

A. OCuuur

B. AC−uuur

C. DBuuur

D. ACuuur

35.4. ABC samkuTxedSi , .AB a BC b= =uuur r uuur r

gamosaxeT ar da b

r

veqtorebis saSualebiT AMuuuur

veqtori, sadac M aris BC

gverdis Suawertili.

A. a b+r r

B. 12

a b+r r

C. 12

a b+r r

D. a b−r r

35.5. ABC samkuTxedSi , .AB a AC b= =uuur r uuur r

gamosaxeT ar da b

r

veqtorebis saSualebiT AMuuuur

veqtori, sadac M aris BC

gverdis Suawertili.

A. 12

a b+r r

B. 12

a b+r r

C. a b+r r

D. 1 12 2

a b+r r

35.6. O aris ABC samkuTxedis , AM BN CEda medianebis

gadakveTis wertili. gamosaxeT:

1) ABuuur

veqtori AM a=uuuur r

da BN b=uuur r

veqtorebis

saSualebiT;

A. 2 23 3

a b−r r

B. 2 23 3

a b+r r

C. 1 23 3

a b+r r

D. 1 13 3

a b−r r

2) CMuuuur

veqtori AM a=uuuur r

da CE c=uuur r

veqtorebis

saSualebiT.

A. 1 13 3

c a+r r

B. 2 13 2

c a−r r

C. 2 23 3

c a+r r

D. 2 13 3

c a+r r

260

35.7. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis

gadakveTis wertili. , .AB a BC b= =uuur ur uuur ur

ar da b

r veqtorebis

saSualebiT gamosaxeT:

1) OBuuur

veqtori;

A. 1 12 2

a b+r r

B. 1 12 2

a b−r r

C. 12

a b+r r

D. 12

a b+r r

2) OAuuur

veqtori.

A. 1 12 2

a b− +r r

B. 1 12 2

a b−r r

C. 1 12 2

a b+r r

D. 1 12 2

a b− −r r

35.8. mocemulia ( ) ( ) ( )3; 2 , 4;1 , 0;5A B C− − da ( )3;2D werti-

lebi. ipoveT:

1) ABuuur

veqtoris koordinatebi;

A. (3;-7) B. (-7;-3) C. (7;-3) D. (-7;3) 2) BC

uuur veqtoris koordinatebi;

A. (4;-4) B. (-4;4) C. (4;4) D. (-4;-4) 3) DC


A. (3;-3) B. (-3;3) C. (3;3) D. (3;0) 4) AD


A. (0;4) B. (4;0) C. (0;-4) D. (-4;0) 35.9. mocemulia ( ) ( ) ( )4;1; 1 , 2;0; 3 , 1; 1;0A B C− − − − da ( )0;4; 2D −

wertilebi. ipoveT:

1) ABuuur

veqtoris koordinatebi;

A. (6;1;-2) B. (-6;-1;2) C. (-6;1;-2) D. (6;-1;-2) 2) BC


A. (-1;1;3) B. (-1;-1;3) C. (-1;1;-3) D. (1;-1;3) 3) DC


A. (1;-5;-2) B. (1;5;-2) C. (1;-5;2) D. (-1;-5;2) 4) AD

uuur veqtoris koordinatebi.

A. (4;3;-1) B. (-4;3;-1) C. (-4;-3;1) D. (4;-3;-1) 35.10. ipoveT B wertilis koordinatebi, Tu:

1) ( )3;0AB −uuur

da ( )2;1A ;

A. (1;1) B. (-1;1) C. (1;-1) D. (-1;-1) 2) ( )4;2BA

uuur da ( )1;3A − ;

261

A. (5;-1) B. (-5;-1) C. (-5;1) D. (5;1) 3) ( )2;0; 4AB −

uuur da ( )2; 1;8A − ;

A. (4;-1;4) B. (4;1;4) C. (4;-1-4) D. (-4;-1;4) 4) ( )7; 5;6BA −

uuur da ( )4;0;5A − .

A. (11;-5;-1) B. (11;-5;1) C. (-11;5;1) D. (-11;5;-1) 35.11. ipoveT D wertilis koordinatebi, Tu:

1) ( ) ( ) ( )2;5 , 0; 3 , 1;7A B C− − da ;AB CD=uuur uuur

A. (-3;2) B. (-3;-1) C. (3;-1) D. (3;1) 2) ( ) ( ) ( )3;0; 5 , 2;4;1 , 1;7; 2A B C− − − da .AC BD=

uuur uuur

A. (4;11;-4) B. (4;11;4) C. (-4;11;-4) D. (-4;11;4) 35.12. ipoveT ABCD paralelogramis D wveros koordi-

natebi, Tu ( ) ( )7;4 , 1;10A B− − da ( )7;2 .C

A. (-1;-4) B. (1;4) C. (1;-4) D. (-1;4) 35.13. ipoveT ABCD paralelogramis B wveros koordi-

natebi, Tu ( ) ( )1;2 , 2;4A C da ( )3;3 .D

A. (0;3) B. (-2;1) C. (4;2) D. (2;-1) 35.14. mocemulia ( )3;1M − da ( )4;2N wertilebi. E da F

wertilebi Sesabamisad OX da OY RerZebs ekuTvnian,

amasTan MN EF=uuuur uuur

. ipoveT:

1) E wertilis koordinatebi;

A. (-7;0) B. (7;0) C. (0;-7) D. (0;7) 2) F wertilis koordinatebi.

A. (0;-1) B. (0;1) C. (1;0) D. (-1;0) 35.15. mocemulia veqtorebi ( )2; 1a −

r da ( )4;0b −

r. ipoveT:

1) a b+r r

;

A. (-2;0) B. (2;-1) C. (-2;1) D. (-2;-1) 2) b a−

r r;

A. (-6;1) B. (6;1) C. (-6;-1) D. (-2;-1) 3) 2a b+

r r;

A. (0;2) B. (0;-2) C. (8;2) D. (8;-2) 4) 3a b+

r r;

A. (-10;1) B. (-10;0) C. (-10;-1) D. (10;-1) 5) 2a b− +

r r;

262

A. (10;-1) B. (-10;1) C. (-10;-1) D. (10;1) 6) 5 3a b−

r r;

A. (-22;-5) B. (-22;5) C. (22;5) D. (22;-5) 35.16. mocemulia veqtorebi ( ) ( )1;0;1 , 0;2; 1a b− −

r r. ipoveT:

1) a b+r r

;

A. (-1;2;0) B. (-1;-2;0) C. (-1;3;1) D. (1;2;0) 2) a b−

r r;

A. (-1;2;2) B. (-1;-2;2) C. (1;2;-2) D. (1;-2;2) 3) 2 3a b+

r r;

A. (-2;6;1) B. (2;-6;1) C. (2;6;-1) D. (-2;6;-1) 4) 3 4a b−

r r;

A. (-3;-8;-7) B. (-3;-8;7) C. (-3;8;7) D. (3;-8;7)

35.17. ipoveT manZili P da Q wertilebs Soris, Tu:

1) ( ) ( )1; 4 , 4;1P Q− − ;

A. 3 B. 4 C. 5 2 D. 5

2) ( ) ( )3; 5 , 10;8P Q− − ;

A. 13 2 B. 13 C. 12 D. 5 3) ( ) ( )1;2;4 , 3;2;5P Q− ;

A. 4 B. 17 C. 19 D. 5 4) ( ) ( )1; 1; 2 , 3;5;2P Q− − .

A. 2 14 B. 2 15 C. 8 D. 2 17

35.18. ipoveT ar, Tu:

1) ( )8;6a −r

;

A. 7 B. 10 C. 12 D. 15 2) 2 6 3a i j k= − +

r r r r;

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3) ( ) ( ), 10;5 , 2;0a AB A B= −

r uuur;

A. 153 B. 73 C. 13 D. 12 4) ( ) ( ), 3; 1;4 , 3;1;1a AB A B= − −

r uuur.

A. 7 B. 8 C. 5 2 D. 3 5

263

35.19. ipoveT m , Tu:

1) 12 a i m j= +r r r

da 13a =r

;

A. ± 1 B. 6 C. 5± D. 4±

2) ( )4; ;6a m= −r

da 14a =r

;

A. ± 12 B. 13± C. 14± D. 10±

3) ( ) ( )2;3 , 2;A B m− da 5AB =uuur

;

A. -6 an 3 B. 0 an 6 C. 6± D. 0 an 4 4) ( ) ( )2;5; , 10;2; 1A m B− − da 13AB =

uuur.

A. 3 an -5 B. -3 an 5 C. 3 an 0 D. 0 an 5 35.20. ipoveT 2 3a b−

r r, Tu

1) ( ) ( )3;0 , 1;2a b −r r

;

A. 97 B. 117 C. 11 D. 123

2) , 2 3a i k b j k= − = −r r r r r r

.

A. 8 B. 65 C. 89 D. 109

35.21. ipoveT ar veqtoris koordinatebi, Tu:

1) is 2b i j= − −r r r

veqtoris TanamimarTulia da misi

sigrZe 80 -is tolia;

A. (8;-4) B. (8;4) C. (-8;4) D. (-8;-4) 2) is ( )1;1;2b −

r veqtoris sawinaaRmdegodaa mimarTuli

da misi sigrZe 2 6 -is tolia.

A. (2;-2;-4) B. (-2;2;-4) C. (2;2;4) D. (-2;-2;4) 35.22. mocemulia ( )0; 2A − da ( )4; 6B − wertilebi. ipoveT C

wertilis koordinatebi, Tu 2 5 0.AB AC BC− + =uuur uuur uuur ur

A. (8;9) B. (3;-5) C. (-8;-9) D. (-8;9) 35.23. mocemulia ( )1;0A da ( )2;2B − wertilebi. ipoveT C

wertilis koordinatebi, Tu 2AB BC a− =uuur uuur r

, sadac ( )2; 1a −r

.

A. (10;-7) B. (-10;-7) C. (-10;7) D. (10;7) 35.24. mocemulia ( )0; 1;2A − da ( )1;0; 2B − wertilebi. ipoveT

C wertilis koordinatebi, Tu 2 3AB AC BC+ =uuur uuur uuur

.

264

A. (4;3;-14) B. (4;-3-14) C. (4;3;14) D. (-4;3;14) 35.25. mocemulia ( )1; 2;0A − − , ( )3;0;1B − da ( )0;1;2C

wertilebi. ipoveT D wertilis koordinatebi, Tu

2AB BC CD a− + =uuur uuur uuur r

, sadac ( )7;0;1a −r

.

A. (-1;1;3) B. (-1;1;-3) C. (1;-1;3) D. (1;1;4) 35.26. a

r da b

r veqtorebs Soris kuTxe α -s tolia. ipoveT

am veqtorebis skalaruli namravli, Tu:

1) 8, 3, 60a b α= = = or r

;

A. 24 B. 12 3 C. 12 D. 24 3

2) 6, 5, 45a b α= = = or r

;

A. 15 2 B. 15 3 C. 30 2 D. 30 3

3) 3, 9, ;a b α π= = =r r

A. 14,5 B. 0 C. -27 D. 27 4) 4, 7, 120a b α= = = o

r r.

A. 14 3− B. 14 3 C. 14 D. -14 35.27. ipoveT kuTxe a

r da b

r veqtorebs Soris, Tu:

1) 1, 2, 3a b a b= = ⋅ =r r r r

;

A. 30o B. 60o

C. 150o D. 90o

2) 4, 1, 2 2a b a b= = ⋅ = −r r r r

.

A. 45o B. 135o C. 120o

D. 150o

35.28. mocemul ar da b

r veqtorebs Soris kuTxe α -s

tolia. ipoveT:

1) ( )2a b a− ⋅r r r

, Tu 2, 3, 6

a b πα= = =r r

;

A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 5

2) ( )23a b+

r r, Tu 5, 2 3, 150a b α= = = o

r r;

A. 13 B. 37 C. 43 D. 45

3) ( )22 5a b−r r

, Tu 32, 1, 4

a b πα= = =r r

;

265

A. 13 B. 53 C. 63 D. 25 2

4) ( ) ( )2 3a b a b− ⋅ +r r r r

, Tu 31, 3, cos

6a b α= = =r r

;

A. -4,5 B. 2 3 C. 2 D. 5 3−

35.29. mocemul ar da b

r veqtorebs Soris kuTxe α -s

tolia. ipoveT:

1) a b+r r

, Tu 2, 5, 120 ;a b α= = = or r

A. 3 2 B. 19 C. 23 D. 6

2) a b−r r

, Tu 2, 3, ;4

a b πα= = =r r

A. 5 B. 2 C. 7 D. 3

3) 3a b−r r

, Tu 52, 3, ;6

a b πα= = =r r

A. 5 3 B. 8 C. 57 D. 55

4) 2 5a b+r r

, Tu 31, 2, .4

a b πα= = =r r

A. 5 B. 6 C. 35 D. 34

35.30. α -s ra mniSvnelobisaTvis iqnebian urTierTmar-

Tobuli a bα+r r

da br veqtorebi, Tu 6, 2 ?a b b⋅ = − =

r r r

A. 1 B. -2 C. 3 D. 4 35.31. α -s ra mniSvnelobisaTvis iqnebian urTierTmar-

Tobuli a bα+r r

da a bα−r r

veqtorebi, Tu 6, 3 ?a b= =r r

A. 3± B. 2± C. 1± D. 5±

35.32. gamoTvaleT:

1) ( ) ( ) ( )2 3 2i i j j i k k j k⋅ − − ⋅ + + ⋅ +r r r r r r r r r

;

A. 3 B. 2 C. -3 D. -2

2) ( ) ( ) ( )22 3 3 2i i j j j k i j⋅ + + ⋅ − − −

r r r r r r r r.

A. 0 B. -1 C. 2 D. -2 35.33. ipoveT a b⋅

r r, Tu:

1) ( ) ( )1;2 , 2; 3 ;a b− −r r

266

A. -4 B. -8 C. 8 D. 4 2) 2 3 , 2a i j b i j= − = +

r r r r r r;

A. 8 B. -8 C. -4 D. 4 3) ( ) ( )1;0; 1 , 2; 3;0 ;a b− −

r r

A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 4) 3 4 , 2 3a i k b i j k= − = + −

r r r r r r r;

A. -5 B. 5 C. -15 D. 15 35.34. ipoveT 1c

ur da 2c

uur veqtorebis skalaruli namravli,

Tu:

1) ( ) ( )1 22 , 2 3 , 1; 2 , 2; 1c a b c a b a b= − = + − −ur r r uur r r r r

;

A. -24 B. 24 C. -8 D. 8 2) 1 22 , , , 2c a b c a b a i j b i j= + = − = − = +

ur r r uur r r r r r r r r;

A. 7 B. -7 C. -5 D. 5 3) ( ) ( )1 2, 2 , 1;0; 1 , 0;1; 2c a b c a b a b= + = − − −

ur r r uur r r r r;

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 4) 1 23 , 3 , , c a b c a b a i k b j k= − = + = − = +

ur r r uur r r r r r r r r.

A. 3 B. -3 C. 8 D. -8 35.35. samkuTxedis wveroebia ( ) ( ) ( )2;1 , 2; 1 , 1;3 .A B C− − ipoveT:

1) 2

ABuuur

;

A. 10 B. 2 5 C. 20 D. 10 2) AB AC⋅

uuur uuur.

A. -6 B. 6 C. -8 D. 8 35.36. ipoveT a

r da b

r veqtorebs Soris kuTxis kosinusi,

Tu:

1) 3 , 2a i j b i j= − = +r r r r r r

;

A. 210

− B. 210

C. 15

− D. 15

2) ( ) ( )1;2 , 3; 2a b− −r r

;

A. 765

B. 765

− C. 213

D. 313

−

3) , 2 3a i j k b i j k= − + = − −r r r r r r r r

;

267

A. 5 39

− B. 37

− C. 442

D. 321

4) ( ) ( )1;0;2 , 0;1; 1a b− −r r

.

A. 105

− B. 55

C. 55

− D. 105

35.37. m -is ra mniSvnelobisTvisaa marTobuli ar da b

r

veqtorebi, Tu:

1) ( ) ( )2; , 1;4a m b− −r r

;

A. 2 B. 14

− C. 14 D. 1

2−

2) 2 , 6a i j b m i j= − = +r r r r r r

;

A. 2 B. -3 C. 3 D. 4 3) ( ) ( )1; ; 2 , 3; 1;a m b m− −

r r;

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4) 4 4 , a m i j k b m i m j k= − + = + +

r r r r r r r r.

A. 2 B. 1 C. -2 D. 0

$36. figuraTa gardaqmna

36.1. CamoTvlilTagan romel figuras aqvs simetriis

centri:

A. tolgverda samkuTxeds; B. tolferda samkuTxeds;

C. wesier xuTkuTxeds; D. paralelograms.

36.2. CamoTvlilTagan romel figuras ara aqvs simetriis

centri:

A. wrewirs; B. marTkuTxeds;

C. wesier samkuTxeds; D. wesier eqvskuTxeds.

36.3. tolgverda samkuTxedis simetriis centria:

A. medianebis gadakveTis wertili;

B. gverdis Suawertili;

C. Caxazuli wrewiris centri;

D.simetriis centri ara aqvs. 36.4. C wertili AB monakveTis Suawertilia. ipoveT:

268

1) C wertilis koordinatebi, Tu ( ) ( )1; 5 , 5;7 ;A B− − −

A. ( )1;7− B. ( )3;1− C. ( )3;0− D. ( )0;1

2) A wertilis koordinatebi, Tu ( ) ( )1;3 , 2; 1 .C B −

A. ( )0;7 B. ( )0;1 C. ( )2;5 D. ( )1; 1− 36.5. ipoveT M wertilis simetriuli wertilis koordi-

natebi saTavis mimarT, Tu:

1) ( )4;2 ;M

A. ( )2; 4− − B. ( )4; 2− − C. ( )4;2− D. ( )4; 2−

2) ( )5;4 .M −

A. ( )4;5− B. ( )5;4− C. ( )5; 4− D. ( )5;4 36.6. ipoveT M wertilis simetriuli wertilis koordi-

natebi Q wertilis mimarT, Tu:

1) ( ) ( )2;1 , 4;3 ;M Q

A. ( )5;0 B. ( )6;5− C. ( )5;6 D. ( )6;5

2) ( ) ( )2;8 , 1;7 .M Q−

A. ( )6;4 B. ( )4;6− C. ( )4;6 D. ( )4; 6− 36.7. ABCD paralelogramSi 5AB = sm da 10BC = sm. A

kuTxis biseqtrisa BC gverds kveTs M wertilSi. N

aris M wertilis simetriuli wertili paralelogramis

diagonalebis gadakveTis wertilis mimarT. ipoveT MN .

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 36.8. M da N aris ABCD paralelogramis A da B wve-

roebis simetriuli wertilebi A da B kuTxeebis

biseqtrisebis gadakveTis wertilis mimarT. ipoveT ABMN

oTkuTxedis perimetri, Tu 7AB = sm.

A. 14sm B. 21sm C. 28sm D. 35sm 36.9. ramdeni simetriis RerZi aqvs:

1) tolgverda samkuTxeds;

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2) marTkuTxeds, romelic kvadrati ar aris;

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 3) tolferda trapecias;

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

269

4) wesier eqvskuTxeds;

A. 6 B. 12 C. 4 D. 3 5) kvadrats;

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6) paralelograms, romelic ar aris marTkuTxedi da

arc rombi.

A. 0 B. 4 C. 2 D. 3 36.10. ramdeni simetriis RerZi ar SeiZleba hqondes sam-

kuTxeds?

A. arc erTi B. mxolod erTi C. mxolod ori; D. mxolod sami

36.11. rogor samkuTxeds aqvs mxolod ori simetriis

RerZi?

A. sxvadasxvagverdas B. tolferdas C. tolgverdas D. arc erTs 36.12. ipoveT ( )2;3M − wertilis simetriuli wertilis ko-

ordinatebi:

1) abscisTa RerZis mimarT;

A. (2;-3) B. (-2;-3) C. (2;3) D. (0;2) 2) ordinatTa RerZis mimarT;

A. (2;3) B. (2;-3) C. (-2;-3) D. (2;6) 3) 1x = wrfis mimarT;

A. (4;-3) B. (-2;-2) C. (-2;0) D. (4;3) 4) 2y = − wrfis mimarT.

A. (-2;-4) B. (2;5) C. (-2;-5) D. (-2;-7) 36.13. mocemulia ,A B da C wertilebi. ipoveT C werti-

lis simetriuli wertilis koordinatebi im RerZis

mimarT, romlis mimarTac simetriulia A da B

wertilebi, Tu:

1) ( ) ( ) ( )2;5 , 2; 5 , 8;2 ;A B C−

A. (-8;2) B. (8;2) C. (-8;-2) D. (8;-2) 2) ( ) ( ) ( )3;5 , 3;5 , 2; 3 ;A B C− − −

A. (-2;-3) B. (-2;3) C. (2;-3) D. (2;3) 3) ( ) ( ) ( )5;2 , 5; 8 , 3;1 ;A B C− −

A. (3;1) B. (-3;-7) C. (-3;7) D. (-3;-6) 4) ( ) ( ) ( )8;4 , 4;4 , 1; 6 .A B C −

270

A. (11;-6) B. (10;-6) C. (12;-6) D. (1;6) 36.14. ABCD trapeciaSi BD diagonalis sigrZe 13 dm-ia.

ipoveT trapeciis SuamonakveTi, Tu trapecias aqvs

simetriis RerZi, romlis fuZeebs Soris moqceuli

monakveTi 5 dm-ia.

A. 12dm B. 10dm C. 9dm D. 13dm 36.15. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo mobrune-

bisas P wertili aisaxeba Q wertilSi, xolo M

wertili N -Si. ipoveT N wertilis koordinatebi, Tu:

1) ( ) ( ) ( )3;0 , 0;3 , 0;5 ;P Q M

A. ( )5;0− B. ( )0; 5− C. ( )4;0 D. ( )0; 4−

2) ( ) ( ) ( )4;0 , 0;4 , 4;0 ;P Q M−

A. ( )0;4 B. ( )0; 4− C. ( )2;0 D. ( )0; 2−

3) ( ) ( ) ( )2;3 , 2; 3 , 1;4 ;P Q M− − −

A. ( )3; 2− B. ( )3;2 C. ( )1;4 D. ( )1; 4−

4) ( ) ( ) ( )3; 4 , 3;4 , 2; 5 .P Q M− − − −

A. ( )2; 5− − B. ( )2;5− C. ( )2;5 D. ( )5;2 36.16. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT

mobrunebisas P wertili aisaxeba Q wertilSi. ipoveT

PQ monakveTis sigrZe, Tu:

1) ( )5;12 , 60 ;P α = o

A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 2) ( )5; 5 , 90 ;Q α− = − o

A. 5 B. 10 C. 5 2 D. 10 2

3) ( ) 23; 4 , ;3

P πα− =

A. 5 3 B. 5 C. 5 2 D. 13

4) ( )7; 1 , .2

P πα− =

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3

36.17. O wertilis garSemo α kuTxiT mobrunebisas K

wertili aisaxeba misgan gansxvavebul M wertilSi,

271

xolo β kuTxiT mobrunebisas - N wertilSi. O centris

garSemo ra kuTxiT mobrunebisas aisaxeba M wertili N

wertilSi, Tu:

1) 70 , 120 ;α β= =o o

A. 190− o B. 190o C. 50o D. 50− o

2) 110 , 40 ;α β= =o o

A. 70− o B. 150o C. 150− o D. 70o 3) 105 , 55 ;α β= = −o o

A. 50o B. 160− o C. 160o D. 50− o

4) 100 , 40 .α β= − = −o o

A. 140o B. 140− o C. 60− o D. 60o 36.18. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo mobrune-

bisas E wertili aisaxeba F wertilSi. ipoveT F werti-

lis y ordinati, Tu:

1) ( ) ( )0;3 , 2;E F y− da mobruneba xdeba blagvi kuT-

xiT;

A. -5 B. 5 C. 5− D. 5

2) ( ) ( )4;0 , 2;E F y da mobruneba xdeba saaTis isris

moZraobis mimarTulebiT maxvili kuTxiT;

A. 2 3− B. 2 3 C. -12 D. 12 3) ( ) ( )33;2 , 6;E F y− da F wertili meore meoTxed-

Sia;

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4) ( ) ( )7;2 , 5;E F y− da F wertili meoTxe meoTxedSia.

A. -35 B. 35 C. 2 7 D. 2 7−

36.19. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT

mobrunebisas M wertili aisaxeba N wertilSi. ipoveT

N wertilis koordinatebi, Tu:

1) ( )5;0 , ;2

M πα =

A. (-5;0) B. (0;5) C. (0;-5) D. (5;0)

2) ( )2;0 , 45 ;M α = o

272

A. ( 2; 2− ) B. (0;2) C. ( 2; 2 ) D. ( 2; 2− )

3) ( ) 54;0 , ;6

M πα =

A. ( 2;2 3 ) B. ( 2 3;2− ) C. ( 2 3; 2− ) D. ( 4;0− )

4) ( )3;0 , 30 ;M α = − o

A. 3 3 3;2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ B. 3 3 3;

2 2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

C. (-3;0) D. 3 3 3;2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

5) ( ) 20;6 , ;3

M πα =

A. (6;0) B. ( 3 3;3− ) C. (0;-6) D. ( 3 3; 3− − )

6) ( )0; 4 , 210 .M α− = − o

A. ( 2;2 3 ) B. (-2; 2 3 ) C. ( 2 3 ;2) D. (0;4) 36.20. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT

mobrunebisas P wertili aisaxeba Q wertilSi. ipoveT

Q wertilis koordinatebi, Tu:

1) ( )3;4 , ;P α π=

A. (5;0) B. (4;3) C. (-3;4) D. (-3;-4) 2) ( )3;3 , 90 ;P α = − o

A. (0;-6) B. (0;-3) C. (3;-3) D. (-3;3)

3) ( )2;2 , ;4

P πα =

A. (0; 2 2− ) B. (0; 2 2 ) C. ( 2 2 ;0) D. ( 2 2;2 2− )

4) ( )4;4 , 225 ;P α = − o

A. ( 4 2− ;0) B. ( 4 2 ;0) C. (0; 4 2 ) D. (-8;0) 5) ( )3 3;3 , 60 ;P α = o

A. (0;-6) B. (-6;0) C. (0;6) D. (0; 3 3 )

6) ( )2;2 3 , .2

P πα− = −

A. ( 2 3− ;2) B. (0; 2 3 ) C. ( 2 3 ;0) D. ( 2 3 ;2)

273

36.21. ipoveT M wertilis homoTetiuri wertilis koor-

dinatebi koordinatTa saTavis mimarT, homoTetiis koe-

ficientiT k , Tu:

1) ( )2;3 , 1;M k =

A. (-3;-2) B. (3;2) C. (2;3) D. (-2;-3) 2) ( )2;3 , 2;M k− =

A. (-4;6) B. (4;-6) C. (4;6) D. (-4;-6)

3) ( ) 23;6 , ;3

M k =

A. (1;3) B. (2;4) C. (4;2) D. (3;1)

4) ( ) 14; 6 , .2

M k− − = −

A. (12;8) B. (8;12) C. (3;2) D. (2;3) 36.22. ipoveT M wertilis homoTetiuri wertilis koor-

dinatebi Q wertilis mimarT, homoTetiis koeficientiT

k , Tu:

1) ( ) ( )2; 3 , Q 2;0 , 3;M k− =

A. (2;-6) B. (2;-9) C. (6;-9) D. (-9;-3) 2) ( ) ( )1; 2 , Q 0; 2 , 4;M k− − − = −

A. (4;8) B. (4;2) C. (4;-2) D. (-4;-2) 3) ( ) ( )3; 4 , Q 3;0 , 2;M k− =

A. (3;-8) B. (3;14) C. (-3;-14) D. (6;-8) 4) ( ) ( )2;3 , Q 1;3 , 5.M k− = −

A. (14;3) B. (-3;14) C. (-14;3) D. (3;14) 36.23. P wertili aris Q wertilis homoTetiuri koor-

dinatTa saTavis mimarT. ipoveT homoTetiis koeficienti,

Tu:

1) ( ) ( )7;0 , 2;0 ;P Q

A. 3,5 B. 14 C. -3,5 D. 5 2) ( ) ( )0;5 , 0; 4 ;P Q −

A. 1,25 B. 0,8 C. -0,8 D. -1,25 3) ( ) ( )4;2 , 8;4 ;P Q

A. 0,5 B. 2 C. -2 D. -0,5

274

4) ( ) ( )9; 6 , 3;2 .P Q− −

A. 3 B. -3 C. 13

D. 13

−

36.24. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis gada-

kveTis wertili. ipoveT homoTetiis koeficienti, Tu:

1) A aris C -s homoTetiuri O centris mimarT;

A. 1 B. -1 C. 2 D. 0,5 2) O aris B -s homoTetiuri D centris mimarT.

A. -0,5 B. 2 C. -2 D. 0,5 36.25. O aris ABC samkuTxedis AN da BM medianebis ga-

dakveTis wertili. ipoveT homoTetiis koeficienti, Tu:

1) A aris N -s homoTetiuri O centris mimarT;

A. -2 B. 2 C. 0,5 D. -0,5 2) M aris O -s homoTetiuri B centris mimarT.

A. 32

− B. 32

C. 23

− D. 23

36.26. ABCD trapeciis fuZeebia 10AD = da 2BC = , xolo

O aris diagonalebis gadakveTis wertili. ipoveT homo-

Tetiis koeficienti, Tu:L

1) C aris A -s homoTetiuri O centris mimarT;

A. -0,2 B. 5 C. 0,2 D. -5 2) D aris B -s homoTetiuri O centris mimarT;

A. 5 B. 0,2 C. -5 D. -0,2 3) B aris O -s homoTetiuri D centris mimarT;

A. 56

− B. 65

C. 56

D. 65

−

4) A aris O -s homoTetiuri C centris mimarT;

A. 16

B. 16

− C. -6 D. 6

5) O aris C -s homoTetiuri A centris mimarT;

A. 56

B. 15

C. 6 D. 5

6) AOD aris BOC -s homoTetiuri O centris mimarT.

A. 15

− B. -5 C. 5 D. 15

275

36.27. AM aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT

:AB AC , Tu B aris M -is homoTetiuri C centris

mimarT, homoTetiis koeficientiT 3.

A. 3 B. 2 C. 13

D. 12

36.28. SeadgineT im wrfis gantoleba, romelic mocemuli

wrfis homoTetiuria koordinatTa saTavis mimarT,

homoTetiis koeficientiT k , Tu:

1) 3 5, 2;y x k= + =

A. 3 10y x= + B. 3 7y x= + C. 3 3y x= − D. 6 10y x= +

2) 5 2, 0,5.y x k= − + = −

A. 5 1y x= − + B. 5 1y x= − − C. 5 5y x= − − D. 5 1y x= −

36.29. ipoveT im homoTetiis koeficienti, romliTac

3 8y x= − wrfe aisaxeba 3 2y x= + wrfeSi koordinatTa sa-

Tavis mimarT.

A. 14

B. 14

− C. 4 D. -4

36.30. ( )1; 5A − da ( )5; 7C − aris ABCD paralelogramis mo-

pirdapire wveroebi. ipoveT paralelogramis diagonale-

bis gadakveTis wertilis homoTetiuri wertili koordi-

natTa saTavis mimarT, homoTetiis koeficientiT -13.

A. (1;-4) B. (-1;2) C. (2;-4) D. (-1;4) 36.31. paraleluri gadatana ganisazRvreba a

r veqtoriT.

ipoveT M wertilis saxe am paraleluri gadatanisas,

Tu:

1) ( ) ( )2; 3 , 7; 1a M− −r

;

A. (5;2) B. (9;-4) C. (14;3) D. (-9;4) 2) ( ) ( )2; 7 , 3;4a M− −

r.

A. (1;-3) B. (-1;3) C. (-6;-28) D. (28;-6) 36.32. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N

wertilSi. ipoveT im veqtoris koordinatebi, romelic am

paraleluri gadatanas gansazRvravs, Tu:

1) ( ) ( )2;3 , 4;7M N ;

276

A. (2;4) B. (-2;-4) C. (8;21) D. (2;-4) 2) ( ) ( )2;7 , 5; 3M N− − .

A. (3;4) B. (-3;-4) C. (-10;-21) D. (7;-10) 36.33. paraleluri gadatanisas L wertili aisaxeba K

wertilSi. ipoveT M wertilis saxe imave paraleluri

gadatanisas, Tu:

1) ( ) ( ) ( )1;3 , 9; 3 , 2;4 ;L K M− −

A. (12;-2) B. (-12;2) C. (-12;-2) D. (12;2) 2) ( ) ( ) ( )5; 7 , 5; 7 , 3;4 .L K M− − −

A. (7;4) B. (-7;4) C. (7;-4) D. (-7;-4) 36.34. ipoveT im wrfis gantoleba, romelSic aisaxeba

mocemuli wrfe ar veqtoriT gansazRvruli paraleluri

gadatanisas, Tu:

1) ( )2 1, 0;3 ;y x a= −r

A. 2 2y x= + B. 2 4y x= − C. 2 2y x= − D. 2 5y x= +

2) ( )0,5 0,2, 0; 2 ;y x a= − + −r

A. 0,5 2y x= − − B. 0,5 1,8y x= − − C. 3,2 0,5y x= − D. 5 0,5y x= −

3) ( )3 2 , 4;0 ;y x a= − −r

A. 5 2y x= − B. 2 4y x= − − C. 2 5y x= − − D. 3 2y x= −

4) ( )3 1, 2;0 ;y x a= −r

A. 3 5y x= − B. 3 1y x= + C. 3 2y x= + D. 3 7y x= −

5) ( )0,5 3, 2;1 ;y x a= + −r

A. 0,5 5y x= + B. 0,5 1y x= − C. 0,5 3y x= + D. 0,5 2y x= −

6) ( )4 1, 2; 3 .y x a= − − −r

A. 4 1y x= − + B. 3 4y x= − C. 4 4y x= − D. 4 1y x= − −

36.35. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N

wertilSi. romel wrfeSi aisaxeba mocemuli wrfe imave

paraleluri gadatanisas, Tu:

1) ( ) ( )2;3 , 4;7 , 2 3;M N y x= − +

A. 2 3y x= − + B. 2 7y x= − + C. 2 4y x= − − D. 2 11y x= − +

2) ( ) ( )2;0 , 3; 4 , 2 3M N y x− − = − .

277

A. 2 17y x= − B. 2 7y x= − C. 2 1y x= + D. 2 9y x= −

36.36. ipoveT im parabolis gantoleba, romelSic aisaxeba

mocemuli parabola ar veqtoriT gansazRvruli parale-

luri gadatanisas, Tu:

1) ( )23 , 0;4 ;y x a=r

A. 23 4y x= + B. 23 4y x= − C. 23 2y x= − D. 23 2y x= +

2) ( )22 7, 0; 4 ;y x a= − + −r

A. 22 11y x= − + B. 22 3y x= − + C. 25 3y x= − D. 22 4y x= − −

3) ( )25 , 3;0 ;y x a=r

A. 25 3y x x= − B. 25 9y x= + C. 25 30 45y x x= − + D. 25 30 9y x x= + +

4) ( )24 , 2;0 ;y x a= − −r

A. 2 4y x x= − + B. 2 4 4y x x= − − + C. 2 2 4y x x= − + − D. 2 4y x x= − −

5) ( )22 , 2;3 ;y x a= −r

A. 22 8y x x= + B. 22 6 9y x x= + + C. 22 8 5y x x= + + D. 22 8 11y x x= + +

6) ( )2 2, 2;3 .y x x a= − + −r

A. 2y x x= − + B. 2 4 1y x x= − + − C. 2 5 5y x x= − + − D. 2 5y x x= − +

36.37. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N

wertilSi. romel parabolaSi aisaxeba mocemuli

parabola imave paraleluri gadatanisas, Tu:

1) ( ) ( ) 20; 2 , 3;4 , 2 4 3;M N y x x− = + −

A. 22 8 9y x x= − + B. 22 6 2y x x= − + C. 22 4 3y x x= − + D. 22 4 2y x x= + −

2) ( ) ( ) 21;3 , 0; 2 , 3 2 1.M N y x x− − = − + −

A. 23 6 9y x x= − + − B. 23 8 11y x x= − + −

278

C. 23 8 2y x x= − − − D. 23 4 1y x x= − + −

$37. monacemTa analizi da statistika.

37.1. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo:

1) 4; 7; 12; 17

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2) -7; 4; -8; -3; 6; 12; -4

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

3) 0,3; 2; 2; -1,7; 25

A. 0,9 B. 1,1 C. 0,7 D. 0,6

4) 15; 3;

45

− ; 4; 0; 0,2

A. 1,1 B. 0,9 C. 1,2 D. 1,15 37.2. ipoveT Semdegi monacemebis mediana:

1) -2; 7; -3; 3; -1

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 2) 3,5; -2,1; -1,2; -0,4; -0,9; -3; 4

A. -0,9 B. -0,4 C. -1,2 D. -2,1 3) 2,2; 7,7; 4,2; -4; -3,5; 3

A. 1,2 B. 2,6 C. 2,8 D. 0,5 4) 7,3; 4,4; -2,3; -5;6; 2,4; -1,2

A. 2 B. 2,1 C. -0,6 D. 0,6 37.3. ipoveT Semdegi monacemebis gabnevis diapazoni:

1) -7; 0; -9; 3; 4; 9

A. 16 B. 18 C. 10 D. 23 2) 10; 17; -5; 22; -10; -8

A. 32 B. 20 C. 25 D. 35 37.4. ipoveT Semdegi monacemebis sixSireebs Soris udide-

si:

1) -2; 0; 3; -2; 3; 3; 0; 3; 0

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 2) -4; 3; -4; 5; 5; -4; 6; 6

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

279

37.5. ipoveT Semdegi monacemebis fardobiT sixSireTa So-

ris umciresi:

1) -5; -3; 2; -4; -5; -3; -5; 2; -3

A. 19 B. 1

10 C. 2

9 D. 2

11

2) -7; 7; 2; 7; 7; 2; -7; 2; 2; 7

A. 0.1 B. 0,3 C. 0,2 D. 0,15 37.6. ipoveT Semdegi monacemebis moda:

1) -4; 2; -2; 2; 1; 6; -10; 2; -4

A. -4 B. 2 C. ara aqvs D. 6 2) 1; 7; 1; 1; 7; 4; 7; 4; 7; 5; 4

A. 1 B. 5 C. 4 D. 7 3) -5; 5; -4; 5; -5; -4; -5; 5

A. -5 B. -5 an 5 C. 5 D. ara aqvs 4) -12; -10; 17; 5; -9; 9

A. ara aqvs B. -10 C. 17 D. 9 37.7. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo kvadratuli

(standartuli) gadaxra:

1) -3; 1; 4; 6

A. 4 B. 432

C. 3 D. 462

2) -5; 3; -2; 4

A. 3 52

B. 3 62

C. 3 64

D. 3 54

3) 2; 1; 0; -5; -8

A. 3705

B. 735

C. 3905

D. 835

4) -7; 2; -1; 2; -1

A. 3 395

B. 3 295

C. 535

D. 3 305

37.8. 1) 12 Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSireTa

cxriliT

mniSvnelobebi -2 0 -1 2 3

sixSire 1 3 2 n 1

280

ipoveT n-is mniSvneloba.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3

2) 15-jer Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSi-

reTa cxriliT

mniSvneloba -8 8 1 -2 3 5

sixSire 2 n 1 3 5 m

ipoveT n da m, Tu mocemuli monacemebis saSualoa 2315

.

A. 3;1 B. 3;2 C. 2;2 D. 2;3 37.9. Sejibrebis dros tyviis msrolelis mier miRebuli

qulebis fardobiTi sixSireTa cxrilia

qulebi 6 7 8 9 10

fardobiTi

sixSire 5

16

18

14

310

180

1) ramdeni gasrola moaxdina msrolelma, Tu

cxrianebis sixSire 4-iT metia rvianebis sixSireze?

A. 120 B. 76 C. 60 D. 80 2) ramdenjer moaxvedra msrolelma SvidianSi, Tu

cxrianebsa da aTianebSi moxvedraTa jami 25-is tolia?

A. 10 B. 20 C. 1 D. 24 37.10. sibrtyeze SemTxveviT aRebulia sasruli raodenobis

wertilebi, romlebic sakoordinato RerZebze ar mdeba-

reoben. am wertilebis sakoordinato meoTxedebSi mdeba-

reobis sixSireTa da fardobiT sizSireTa cxrilia

meoTxedis

nomeri

I II III IV

sixSire

42 x 24 54

fardobiTi

sixSire 725

15

425

y

281

ipoveT:

1) II meoTxedidan aRebuli wertilebis sixSire.

A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 2) IV meoTxedidan aRebuli wertilebis fardobiTi six-

Sire.

A. 320

B. 725

C. 720

D. 925

$38. xdomilobis albaToba

38.1. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis erTjer gago-

rebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:

1) 5-is mosvla;

A. 15 B. 1

2 C. 5

6 D. 1

6

2) 2-ze meti ricxvis mosvla;

A. 23 B. 1

2 C. 5

6 D. 1

4

3) luwi ricxvis mosvla;

A. 13 B. 1

2 C. 1

4 D. 5

6

4) 6-is gamyofis ar mosvla.

A. 0 B. 23 C. 1

3 D. 5

6

38.2. yuTSi 10 Savi, 8 wiTeli da 7 lurji burTulaa. ipo-

veT albaToba imisa, rom yuTidan SemTxveviT amoRebuli

burTula:

1) iqneba wiTeli;

A. 1825

B. 35 C. 2

5 D. 8

25

2) ar iqneba Savi.

A. 35 B. 2

5 C. 7

25 D. 17

25

38.3. yuTSi 8 TeTri, 3 Savi da 4 wiTeli burTulaa. ipoveT

albaToba imisa, rom SemTxveviT amoRebuli 2 burTu-

282

lidan:

1) orive iqneba TeTri;

A. 1130

B. 730

C. 215

D. 415

2) orive iqneba erTi da imave feris;

A. 37105

B. 41105

C. 1235

D. 1335

3) erTi iqneba TeTri, meore ki – wiTeli;

A. 33110

B. 32105

C. 31110

D. 31105

4) orive iqneba sxvadasxva feris.

A. 68105

B. 1321

C. 67105

D. 1121

38.4. ipoveT albaToba imisa, rom 36-kartiani dastidan da-

rigebisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:

1) pirveli karti iqneba yvavis eqvsiani;

A. 16 B. 1

12 C. 1

9 D. 1

36

2) pirveli karti iqneba aTiani;

A. 13 B. 1

9 C. 1

36 D. 4

9

3) pirveli karti iqneba guli;

A. 19 B. 3

4 C. 1

4 D. 1

2

4) pirveli karti iqneba cxriani an tuzi;

A. 29 B. 5

9 C. 1

9 D. 7

9

5) pirveli karti ar iqneba tuzi;

A. 89 B. 5

9 C. 1

9 D. 8

9

6) meore karti iqneba cxriani;

A. 29 B. 1

9 C. 1

36 D. 3

35

7) pirveli ori karti iqneba Svidiani;

283

A. 1105

B. 29 C. 4

105 D. 5

9

8) pirveli karti iqneba Svidiani, meore ki - cxriani.

A. 11315

B. 29 C. 4

315 D. 5

9

38.5. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis orjer

gagore-bisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:

1) ori erTnairi ricxvis mosvla;

A. 16 B. 5

6 C. 5

36 D. 1

36

2) ori kenti ricxvis mosvla;

A. 34 B. 1

4 C. 7

36 D. 11

36

3) erTi luwi da erTi kenti ricxvis mosvla;

A. 59 B. 4

9 C. 1

5 D. 1

2

4) erTi mainc eqvsianis mosvla;

A. 13 B. 11

36 C. 1

6 D. 5

6

5) erTi mainc luwi ricxvis mosvla;

A. 57 B. 3

8 C. 3

4 D. 1

4

6) mosuli ricxvebis jamia 7;

A. 512

B. 1112

C. 56

D. 16

7) pirvel kamaTelze mosuli ricxvi 2-iT metia meore

kamaTelze mosul ricxvze;

A. 718

B. 19 C. 4

9 D. 5

18

8) mosuli ricxvebidan erT-erTi 2-iT metia meoreze.

A. 19 B. 5

9 C. 7

9 D. 2

9

38.6. ipoveT albaToba imisa, rom monetis 3-jer agdebisas

ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:

1) samivejer mova safasuri;

284

A. 78 B. 5

8 C. 3

8 D. 1

8

2) gerbi mova mxolod erTjer;

A. 38 B. 5

8 C. 7

8 D. 1

8

3) erTjer mainc mova gerbi;

A. 58 B. 7

8 C. 1

8 D. 3

8

4) orjer mainc mova safasuri.

A. 58 B. 1

4 C. 3

4 D. 1

2

38.7. auzSi aris sami saxeobis Tevzi: 15 kalmaxi, 14 murwa

da 11 Wanari. ipoveT albaToba imisa, rom auzidan

SemTxveviT amoyvanili 3 Tevzidan:

1) samive iqneba kalmaxi;

A. 33152

B. 7152

C. 11145

D. 13145

2) samive iqneba murwa;

A. 11190

B. 13180

C. 7180

D. 7190

3) erTi iqneba kalmaxi da danarCeni ori – murwa;

A. 21152

B. 19152

C. 17145

D. 19145

4) samive iqneba sxvadasxva saxeobis.

A. 231988

B. 289988

C. 221990

D. 329990

38.8. klasis 30 moswavlidan 8-s hyavs mxolod da, 10-s

mxolod Zma, xolo danarCen moswavleebs hyavT Zmac da

dac. ras udris albaToba imisa, rom SemTxveviT SerCeuli

ori moswavlidan:

1) erTs hyavs mxolod da, xolo meores mxolod Zma;

A. 887

B. 1487

C. 3887

D. 3787

2) orives hyavs mxolod da;

285

A. 29435

B. 28435

C. 11145

D. 13145

3) orives hyavs Zma;

A. 329

B. 3887

C. 77145

D. 79135

4) erTs hyavs da, xolo meores Zma.

A. 121145

B. 362435

C. 361435

D. 133135

38.9. moswavles jibeSi aqvs rva moneta: sami 5-TeTriani,

sami 10-TeTriani da ori 20-TeTriani. moswavle jibidan

SemTxveviT iRebs n raodenobis monetas. ipoveT albaToba

imisa, rom amoRebuli monetebis Rirebulebebis jami aris

m TeTri, Tu:

1) n = 2, m = 25;

A. 514

B. 314

C. 38

D. 58

2) n = 2, m = 20;

A. 78 B. 5

28 C. 3

8 D. 3

28

3) n = 3, m = 20;

A. 928

B. 1328

C. 314

D. 514

4) n = 3, m = 35;

A. 528

B. 928

C. 514

D. 314

5) n = 3, m = 40;

A. 221

B. 328

C. 528

D. 521

6) n = 3, m = 30.

A. 1156

B. 38 C. 25

56 D. 1

8

38.10. yuTSi moTavsebuli 8 monetidan 2 yalbia. ras udris

albaToba imisa, rom yuTidan SemTxveviT amoRebuli 4

monetidan:

1) orive yalbia;

286

A. 514

B. 314

C. 1528

D. 1328

2) mxolod erTia yalbi;

A. 914

B. 314

C. 57

D. 47

3) erTi mainc yalbia;

A. 1114

B. 914

C. 67

D. 57

4) arc erTi ar aris yalbi.

A. 37 B. 5

7 C. 3

14 D. 5

14

38.11. firma Tavisi 10 TanamSromlisaTvis aTamaSebs 10

prizs, romelTa Soris aris erTi avtomobili. Tavidanve

dawesebuli rigiT yvela TanamSromeli yuTidan iRebs

konverts, romelSic miTiTebulia prizis dasaxeleba. ras

udris albaToba imisa, rom rigiT mexuTe TanamSromeli

moigebs avtomobils?

A. 110

B. 16 C. 1

5 D. 3

10

38.12. turistuli saagento 10 qalaqidan, romelTa Soris

aris siRnaRi, saeqskursiod SemTxveviT arCevs 3 qalaqs.

ras udris albaToba imisa, rom maT Soris aucileblad

iqneba siRnaRi?

A. 12 B. 1

5 C. 1

10 D. 3

10

38.13. kubi, romlis waxnagebi SeRebilia, dayofilia 27

erTnairi zomis kubad. ipoveT albaToba imisa, rom

miRebuli nawilebidan SemTxveviT aRebul kubs eqneba

sami SeRebili waxnagi?

A. 527

B. 827

C. 29

D. 49

38.14. safexburTo turnirSi monawileobs oTxi gundi:

liverpuli, milani, barselona da baierni. ras udris

albaToba imisa, rom saboloo cxrilSi gundebi

ganlagdebian Semdegi TanmimdevrobiT: liverpuli,

barselona, baierni, milani.

287

A. 524

B. 124

C. 1216

D. 5216

38.15. CempionTa ligis gaTamaSebaSi monawile gundebi,

romelTa Soris aris espaneTis sami gundi, unda

ganawildes 8 jgufSi. ras udris albaToba imisa, rom

espaneTis gundebi moxvdebian gansxvavebul jgufebSi?

A. 78 B. 21

32 C. 25

32 D. 3

8

38.16. avtosadgomze dgas mxolod ,,mersedesis” da

,,toiotas” firmis or-ori avtomobili. ras udris

albaToba imisa, rom avtosadgomidan gamosuli pirveli

ori avtomobili iqneba erTidaimave firmis?

A. 14 B. 2

3 C. 1

6 D. 1

3

38.17. festivalze warmodgenili 30 filmidan zuras nanaxi

aqvs 10 filmi. festivalze yoveldRiurad aCveneben

SemTxveviT SerCeul 3 films. ras udris albaToba imisa,

rom festivalis mimdinareobis pirvelive dRes naCvenebi

samive filmi zuras nanaxi aqvs?

A. 5203

B. 6203

C. 3101

D. 3100

38.18. yuTSi aris 5 cali sxvadasxva feris burTi: TeTri,

yviTeli, mwvane, Savi da lurji. yuTidan SemTxveviT

viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan vabrunebT.

Semdeg isev viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan

vabrunebT. Semdeg igives vimeorebT mesamejerac. ras

udris albaToba imisa, rom:

1) samivejer amoRebuli iqneba TeTri burTi?

A. 1125

B. 125

C. 3125

D. 325

2) pirvelad amoRebuli burTi iqneba TeTri, meored

amoRebuli – Savi, mesamed – mwvane?

A. 325

B. 125

C. 1125

D. 3125

3) amoRebuli burTebs Soris erTi iqneba TeTri, erTi

– lurji, erTi – mwvane?

288

A. 1125

B. 6125

C. 3125

D. 2125

4) amoRebuli burTebidan ori lurjia da erTi yviTe-

li?

A. 325

B. 2125

C. 1125

D. 3125

38.19. farexSi 20 batkania. erT Rames mgelma scada batknis

motaceba, magram ZaRlma gaagdebina. mgelma meore Ramesac

scada batknis motaceba – ZaRlma isev gaagdebina. ras

udris albaToba imisa, rom mgeli sxvadasxva batkans

itacebda?

A. 1920

B. 120

C. 14

D. 119

38.20. safexburTo matCis Casatareblad msajebma SearCies

10 burTi. TamaSis msvlelobis dros moednidan

gadavardnili burTis nacvlad zogjer SerCeuli

burTebidan erT-erTs awvdian saTamaSod. matCSi ori

golis gatanis SemTxvevaSi ras udris albaToba imisa,

rom orive goli erTidaimave burTiT iqneba gatanili?

A. 1100

B. 110

C. 15

D. 120

38.21. mocemulia cifrebi: 0; 1; 2; 6; 9. am cifrebisagan

adgenen orniSna ricxvebs ise, rom masSi cifrebi ar

meordeba. ras udris albaToba imisa, rom miRebul

orniSna ricxvebs Soris SemTxveviT SerCeuli ricxvi:

1) iqneba 5-is jeradi;

A. 25 B. 3

4 C. 1

5 D. 1

4

2) iqneba 3-is jeradi;

A. 14 B. 3

8 C. 1

8 D. 3

4

3) iqneba kenti ricxvi;

A. 14 B. 1

8 C. 3

8 D. 3

4

4) iqneba 4-is jeradi.

289

A. 14 B. 1

8 C. 3

8 D. 3

4

38.22. A da B ori araTavsebadi xdomilobaa. gamoTvaleT:

1) ( )P A B∪ , Tu ( ) 12

P A = , ( ) 13

P B = ;

A. 56 B. 1

6 C. 1

3 D. 2

3

2) ( )P A , Tu ( ) 0,75,P A B∪ = , ( ) 0, 4.P B =

A. 0,25 B. 0,35 C. 0,45 D. 0,5 38.23. A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT:

1) ( )P A B∩ , Tu ( ) 12

P A = , ( ) 25

P B = ;

A. 35 B. 9

10 C. 7

10 D. 1

5

2) ( )P B , Tu ( ) 0,3P A = , ( ) 0,15.P A B∩ =

A. 0,4 B. 0,45 C. 0,5 D. 0,3 38.24. A da B raime xdomilobebia. gamoTvaleT:

1) ( )P A B∪ , Tu ( ) 13

P A = , ( ) 14

P B = , ( ) 1 ;5

P A B∩ =

A. 310

B. 1160

C. 1130

D. 2360

2) ( )P A B∩ , Tu ( ) 12

P A = , ( ) 25

P B = , ( ) 11 .20

P A B∪ =

A. 35 B. 4

5 C. 7

20 D. 9

20

38.25. A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT:

1) ( )P A B∪ , Tu ( ) 15

P A = , ( ) 14

P B = ;

A. 25 B. 3

5 C. 7

10 D. 1

2

2) ( )P A B∪ , Tu ( ) 0,2P A = , ( ) 0,1;P A B∩ =

A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8 D. 0,9

290

3) ( )P A , Tu ( ) 15

P B = , ( ) 4 ;5

P A B∪ =

A. 25 B. 3

5 C. 1

4 D. 3

4

4) ( )P A B∩ , Tu ( ) 13

P A = , ( ) 1 .2

P A B∪ =

A. 112

B. 310

C. 512

D. 710

38.26. erT yuTSi 4 TeTri da 8 Savi burTia, meoreSi ki 3

TeTri da 2 Savi. orive yuTidan erTmaneTisagan

damoukideblad amoiRes TiTo-TiTo burTi. ras udris

albaToba imisa, rom amoRebuli burTebidan:

1) orive TeTria;

A. 112

B. 712

C. 512

D. 1112

2) mxolod erTia TeTri.

A. 112

B. 512

C. 712

D. 1112

38.27. erT klasSi 8 gogo da 12 biWia, xolo meoreSi – 12

gogo da 16 biWi. TiTo klasidan SemTxveviT SearCies

TiTo moswavle. ras udris albaToba imisa, rom SerCeuli

moswavleebidan erTi mainc iqneba biWi?

A. 1735

B. 2335

C. 2935

D. 67

38.28. albaToba imisa rom, ganxorcieldeba A xdomoloba

aris 49, xolo albaToba imisa, rom ganxorcieldeba B

xdomiloba aris 35. ras udris albaToba imisa, rom A da

B xdomilobebi erTdroulad ganxorcieldeba, Tu

cnobilia, rom A da B xdomilobebidan erTi mainc

aucileblad ganxorcieldeba.

A. 145

B. 745

C. 245

D. 115

38.29. klasSi yovel moswavles hyavs da an Zma. albaToba

imisa, rom klasidan SemTxveviT SerCeul moswavles hyavs

291

Zma aris 23, xolo albaToba imisa, rom klasidan SemTxve-

viT SerCeul moswavles hyavs da aris 34. ipoveT

albaToba imisa, rom klasidan SemTxveviT SerCeul

moswavles hyavs dac da Zmac.

A. 712

B. 512

C. 524

D. 724

38.30. monakveTi dayofilia 5 nawilad, romelTa sigrZeebia

5 sm, 6 sm, 9 sm, 12 sm da 13 sm. ipoveT albaToba imisa, rom

am monakveTze SemTxveviT aRebuli wertili:

1) ekuTvnis umciresi sigrZis nawils;

A. 19 B. 5

44 C. 2

9 D. 1

5

2) ekuTvnis 9 sm sigrZis nawils;

A. 944

B. 19 C. 1

5 D. 2

7

3) ar ekuTvnis 12 sm sigrZis nawils;

A. 415

B. 715

C. 1315

D. 1115

4) ekuTvnis umciresi an udidesi sigrZis nawils.

A. 13 B. 2

5 C. 3

5 D. 5

9

38.31. ricxviT RerZze mocemulia monakveTi [ ]6;3− . ras

udris albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT

aRebuli wertilis simetriuli wertili saTavis mimarT,

agreTve ekuTvnis amave monakveTs.

A. 0,7 B. 0,5 C. 27

D. 13

38.32.ras udris albaToba imisa, rom ABCD paralelog-

ramis BD diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili

ekuTvnis ABC samkuTxeds.

A. 0,5 B. 0,6 C. 0,4 D. 0,75 38.33. ipoveT albaToba imisa, rom ABC marTkuTxa samkuT-

xedis AC hipotenuzaze SemTxveviT aRebuli D wertili

292

B wverodan ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli,

vidre C wverodan.

A. 15 B. 1

2 C. 1

3 D. 1

4

38.34. ras udris albaToba imisa, rom ABCD kvadratis

AB gverdze SemTxveviT aRebuli wertili C wverodan

ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli, vidre D wvero-

dan.

A. 15 B. 1

4 C. 1

2 D. 1

3

38.35. ras udris albaToba imisa, rom tolgverda samkuT-

xedis simaRleze SemTxveviT aRebuli wertili erTi

wverodan ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli, vidre

danarCeni oridan.

A. 23 B. 1

3 C. 1

6 D. 1

4

38.36. ABC samkuTxedSi 4AB = sm da 6BC = sm. B wverodan

gavlebuli biseqtrisa AC gverds kveTs D wertilSi.

ipoveT albaToba imisa, rom AC gverdze SemTxveviT

aRebuli wertili ekuTvnis AD monakveTs.

A. 35 B. 3

4 C. 2

5 D. 2

3

38.37. ras udris albaToba imisa, rom mocemuli diametris

paralelurad SemTxveviT gavlebuli qordis sigrZe

radiusze metia.

A. 32

B. 22

C. 13

D. 23

38.38. ABCD trapeciaSi AD da BC fuZeebi Sesabamisad

tolia 12 sm da 8 sm. ras udris albaToba imisa, rom AC

diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis BCD

samkuTxeds.

A. 13 B. 2

3 C. 3

5 D. 2

5

38.39. M aris ABCD paralelogramis BC gverdis Sua

wertili. ras udris albaToba imisa, rom paralelog-

293

ramSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis ABM

samkuTxeds.

A. 14 B. 1

5 C. 1

3 D. 2

3

38.40. M da N aris ABCD paralelogramis AB da BC

gverdebis Suawertilebi. ipoveT albaToba imisa, rom

paralelogramSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis

MBN samkuTxeds.

A. 16 B. 1

8 C. 1

4 D. 1

7

38.41. wreSi, romlis centria O wertili, gavlebulia ra-

diusis toli AB qorda. ipoveT albaToba imisa, rom

wreSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis maxvili

centraluri kuTxis mqone AOB seqtors.

A. 13 B. 1

4 C. 1

5 D. 1

6

294

bileTis nimuSebi TviTSemowmebisaTvis

bileTi #1

1. ipoveT jami

11112 211111 +

.A 2111111 .B 2100000 .C 2111110 .D 2101110 2.

7 22 3 5x = ⋅ ⋅ da 5 22 3 6 5y = ⋅ ⋅ ⋅ ricxvebis udidesi saerTo

gamyofia: A. 360 B. 900 C. 180 D. 90 3. gamoTvaleT

1 1 12 1 3 2 2 3

+ ++ + +

A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 3 2− 4. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:

3 3 ; 6 10 ; 2 A. 2; 3 3 ; 6 10 B. 2; 6 10 ; 3 3 C. 6 10 ; 3 3 ; 2 D. 3 3 ; 6 10 ; 2 5. gamoTvaleT

2 2

2

1 12 22 1

x x xxx

− − −−

−−, Tu

102

x< < .

A. 12

B. 1 C. -1 D. 12

−

6.avtomobilma manZili or qalaqs Soris gaiara 5 saaTSi.

mTeli gzis ra nawili gaiara man 45 wuTSi?

A. 920

B. 320

C. 125

D. 425

7. yuTSi 8 TeTri, 3 Savi da 4 wiTeli burTulaa. ipoveT

albaToba imisa, rom SemTxveviT amoRebuli 2 burTulidan

orive iqneba TeTri.

A. 1130

B. 730

C. 215

D. 415

295

8. naxazze sportuli moednis ganzomilebebia 60 sm da

50 sm. ramdeni kvadratuli metria sinamdvileSi moedani,

Tu naxazis farTobi sinamdvilesTan SedarebiT

Semcirebulia 500-jer?

A. 200 B. 120 C. 150 D. 180 9. mocemulia Semdegi monacemebi: 7,3; 4,4; -2,3; -5;6; 2,4; -1,2.

ipoveT am monacemebis mediana.

A. 2 B. 2,1 C. -0,6 D. 0,6 10. trasaze erTidaigive mimarTulebiT Tanabrad moZraobs

ori avtomobili, romelTa Soris manZili sawyis momentSi

24 km-ia. ra droSi daeweva 62 km/sT siCqariT moZravi meore

avtomobili pirvels, Tu misi siCqarea 56 km/sT?

A. 6 sT B. 3 sT C. 5 sT D. 4 sT

11. ipoveT ( )n A , Tu ( ) ( ) ( )63, 23, 46.n A B n A B n B∪ = ∩ = = .A 40 .B 86 .C 89 .D 132 12. gamoTvaleT

3 2

2 3

log 8 log 27log 9 log 4

++

A. 3 B. 1,5 C. 0,5 D. 2 13. ipoveT zyx −+ , Tu 2 56x = , 2 6y = da 2 42z = .

A. 0 B. 3 C. -1 D. 2

14. ipoveT ( )sin α β+ , Tu 5sin

13α = ,

3cos5

β = , 2π α π< < ,

02πβ< <

A. 6365

− B. 6365

C. 3365

D. 3365

−

15. ariTmetikuli progresiis 21-e wevri aris 60, 31-e ki 85.

ipoveT progresiis mexuTe wevri.

A. 20 B. 18 C. 22 D. 16

16. ipoveT 18, 12,K geometriuli progresiis me-4-dan me-6-mde

(CaTvliT) wevrTa jami.

A. 1227

B. 26425

C. 30427

D. 36227

296

17. ipoveT ( )2;3M wertilis homoTetiuri wertilis koor-

dinatebi koordinatTa saTavis mimarT, homoTetiis koe-

ficientiT 1. A. (-3;-2) B. (3;2) C. (2;3) D. (-2;-3) 18. ABCD marTkuTxedi Sedgeba 18 patara kvadratisagan,

romelTagan 5 gamuqebulia. ra umciresi raodenobis patara

kvadrati unda gavamuqoT

damatebiT, rom gamuqebuli

kvadratebisgan miRebuli

figura simetriu-li iyos

AB da DC gverdebis

Suawertilebze gavlebuli

wrfis mimarT.

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 19.

2 4 2y x x= − + funqciis mniSvnelobaTa simravlea:

A. ] [2;2− B. [ [2;− ∞ C. ] [4;∞ D. [ ]2;0−

20. ipoveT manZili 24

9y x= parabolis

da 43

y x= wrfis gadakveTis

wertilebs Soris.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 2

ipoveT wrewiris 230o-iani 21.

rkalis boloebze gavlebuli

mxebebiT Sedgenili maxvili

kuTxe.

A. 40 o B. 50 o C. 60 o D. 70 o

22. MNKE rombis SigniT aRebulia P wertili ise,

rom MPE samkuTxedi tolgverdaa. ipoveT MNP∠ , Tu

70NME∠ = o.

•

•

x

y

0

x • 230◦

D C

BA

297

A. 85 o B. 75 o C. 70 o D. 60 o

23. marTkuTxedis kuTxis bi-

seqtrisa did gverds Sua-

ze yofs. ipoveT marTkuT-

xedis farTobi, Tu misi

mcire gverdis sigrZea 6.

A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 24. ABCD kvadratis gareT

aRebulia M wertili ise,

rom MB MC= . ipoveT MBAS ,

Tu kvadratis gverdia 2. A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2

25. tolferda trapeciis fuZeebia 7 da 11, xolo maxvili

kuTxe 60o. ipoveT trapeciis perimetri.

A. 26 B. 28 C. 32 D. 36

26. ipoveT rombis gverdi, Tu misi farTobia 120, xolo

erT-erTi diagonalia 10.

A. 12 B. 13 C. 17 D. 18 27. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis gadak-

veTis wertili. , .AB a BC b= =uuur ur uuur ur

gamosaxeT OBuuur

veqtori ar da

br veqtorebis saSualebiT.

A. 1 12 2

a b+r r

B. 1 12 2

a b−r r

C. 12

a b+r r

D. 12

a b+r r

28. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonali 5 3 -is

tolia.

A. 50 B. 75 C. 100 D. 125 29. cilindris RerZuli kveTa aris

kvadrati, romlis farTobia 64. ipoveT

cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.

A. 32π B. 48π C. 64π D. 128π

6 6

•

•

B A

M

D C

298

30. wesier oTxkuTxa piramida-

Si gavlebulia kveTa, romelic

fuZis paraleluria da gadis

piramidis simaRlis Suawer-

tilze. ipoveT kveTis farTobi,

Tu piramidis fuZis gverdia 2.

A. 2 B. 1 C. 0,5 D. 0,25 31. ipoveT 33-is jeradi yvela luwi samniSna

naturaluri ricxvis jami.

32. ipoveT gantolebis amonaxsni miTiTebul SualedSi

23cos =x , ] [oo 0;90−

33. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba,

romlisTvisac 012)( 22 =+−−− axaax gantolebas aqvs

moduliT toli da niSniT mopirdapire amonaxsnebi

34. amoxseniT utoloba

( ) 495log2 >−x

35. A da B punqtidan, romelTa Soris manZili 120 km-ia,

erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad gamovida qveiTi da

motociklisti, romlebic 5 sT-is Semdeg Sexvdnen

erTmaneTs. Caisva ra qveiTi motociklSi, motociklisti

dabrunda ukan da Cavida B-Si, ris Semdeg SeuCerebliv

wavida A-Si. amis gamo motociklistma daxarja 2,5-jer meti

dro, vidre mas daWirdeboda B-dan A-Si Casasvlelad.

ipoveT TiToeulis siCqare. 36. ABC samkuTxedis AB gverdi

gayofilia 5 tol nawilad da

dayofis wertilebze gavlebu-

lia AC gverdis paraleluri

wrfeebi. ipoveT samkuTxedis

gverdebs Soris moTavsebuli am

monakveTebis sigrZeTa jami, Tu

CA

B

D

CB

A

M

0

299

.10=AC

muyaos naWers aqvs −26 is 37.

toli gverdis mqone wesieri

samkuTxedis forma. ipoveT im

piramidis moculoba, romelic

miiReba muyaos naWris gadakecviT

samkuTxedis Suaxazebze.

38. wrewiri gadis misi toli

meore wrewiris centrze. ipoveT am

wrewirebis gadakveTiT miRebuli

figuris farTobi, Tu radiusia 6 .

39. ipoveT a, b da c, Tu cbxaxy ++= 2 parabolis wveroa

(1;1) wertili da es parabola gadis (2;3) wertilze.

40. ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli, rom-

lisTvisac 8b2+2b3 gamosaxuleba Rebulobs umcires mni-

Svnelobas (b1>0).

bileTi #2

1. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:

29, 211100 da 211011

.A 29, 211011 , 211100 .B 211011 , 29, 211100

.C 211011 , 211100 , 29 .D 211100 , 211011 , 29

2. ipoveT 32 3 5a = ⋅ ⋅ da

22 3 6 5b = ⋅ ⋅ ⋅ ricxvebis umciresi

saerTo jeradi.

A. 1800 B. 900 C. 180 D. 450

3. gamoTvaleT ( ) ( )2 25 3 3 5− − −

A. 2 5 2 3− B. 2 5 C. 2 3 D. 0 4. 5a− , 0a , 7a− ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT, Tu

0,75a = .

A. 5a− , 0a , 7a− B. 0a , 5a− , 7a− C. 7a− , 5a− , 0a D. 0a , 7a− , 5a−

26

26 26

• •

300

5. ipoveT k , Tu 0152 =++ kxx gantolebis fesvi 5-is

tolia.

A. 8 B. -8 C. 3 D. -3 6. maTematikis bileTSi unda iyos 3 algebris da 2

geometriis amocana. ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi

bileTis Sedgena 6 algebrisa da 5 geometriis amoca-

nisagan?

A. 100 B. 200 C. 240 D. 300 7. moWadrakeTa turnirSi nikam moigo 4 partia, rac mis

mier naTamaSevi partiebis 20%-ia. ramdeni moTamaSea am

turnirSi, Tu TiToeuli maTgani mxolod erTxel Sexvda

erTmaneTs?

A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 8. ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen


A. 140 o B. 150 o C. 130 o D. 120 o

9. velosipedisti 5 wT-is ganmavlobaSi moZraobs 400 m/wT

siCqariT, momdevno 8 wT-s _ 600 m/wT-iT, xolo Semdeg 7

wT-s 800 m/wT siCqariT. gansazRvreT velosipedistis

saSualo siCqare mTeli moZraobis drois ganmavlobaSi.

A. 620 m/wT B. 600 m/wT C. 640 m/wT D. 700 m/wT 10. navma mdinaris dinebis mimarTulebiT 4 sT-Si imdenive

manZili gacura, rac dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT

6 sT-Si. ipoveT navis siCqare mdgar wyalSi, Tu dinebis

siCqarea 2 km/sT.

A. 12 km/sT B. 8 km/sT C. 10 km/sT D. 6 km/sT 11. ramdeni mTeli amonaxsni aqvs utolobas 1 3x − ≤

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

12. gamoTvaleT 34log34log 73 499 +− ⋅

A. 19 B. 13 C. 8 D. 2 3 13. ramden elements Seicavs A da B simravleebis

TanakveTa, Tu { 6; 2;4;8;10;15}A = − − da { 3; 2;0;4;10;12;15}B = − − .

.A 3 .B 5 .C 4 .D 2

14. gamoTvaleT 4cos330 3 3306 210 4sin 240

tgtg

−−

o o

o o

A. 12

B. 34

C. 23

D. 45

301

15. 6-sa da 15-s Soris Casmulia eqvsi ricxvi ise, rom

maT mocemul ricxvebTan erTad ariTmetikuli progresia

Seadgines. ipoveT am progresiis sxvaoba.

A. 910

B. 87

C. 97

D. 310

16. ipoveT 1280, 640,K geometriuli progresiis im wevris

nomeri, romelic udris 20-s.

A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 17. ipoveT AB

uuur veqtoris sigrZe, Tu ( )2;1A − da ( )2;4B .

A. 3 B. 5 C. 41 D. 4 18. ipoveT ( )3; 2M − − wertilis simetriuli wertili

koordinatTa saTavis mimarT.

A. (3;-2) B. (3;2) C. (-3;2) D. (1;1)

19. ipoveT 7

3sin 4y

x=

+ funqciis udidesi mniSvneloba.

A. 14 B. 7 C. 1 D. 5 20. cnobilia, rom

2 6y ax x c= + + parabolis arcerTi

wertili mesame meoTxedSi ar mdebareobs. Semdegi

daskvnebidan romelia mcdari?

A. 0a > B. 0c < C. 0ac ≥ D. 0c ≥ 21. ipoveT kuTxe 100

o-iani kuTxis biseqtrisasa da misi

erT-erTi gverdis gagrZelebas Soris.

A. 80 o B. 100 o C. 130 o D. 150 o

22. wesieri xuTkuTxedis mezobeli gverdebia MN da NQ .

am xuTkuTxedis SigniT aRebulia P wertili ise, rom

MPN wesieri samkuTxedia. ipoveT NQP∠ .

A. 45 o B. 66 o C. 72 o D. 60 o

23. mocemulia Semdegi monacemebi: -3; 1; 4; 6. ipoveT am

monacemebis saSualo kvadratuli (standartuli) gadaxra.

A. 4 B. 432

C. 3 D. 462

24. risi tolia trapeciis erTi ferdis Suawertilis da

meore ferdis boloebis

SeerTebiT miRebuli samkuTxedis

farTobi, Tu trapeciis farTo-

bia 20.

A. 5 B. 10 C. 12 D. 8

302

25. ricxviT RerZze mocemulia monakveTi [ ]6;3− . ras udris

albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT aRebuli

wertilis simetriuli wertili saTavis mimarT, agreTve

ekuTvnis amave monakveTs.

A. 0,7 B. 0,5 C. 27

D. 13

26. ipoveT a b⋅r r

, Tu 3 4 , 2 3a i k b i j k= − = + −r r r r r r r

.

A. -5 B. 5 C. -15 D. 15 27. wre, romlis radiusia 4, Caxazuli

kvadratis gverdis toli qordiT

gayofilia or segmentad. ipoveT mcire

segmentis farTobi. A. 2 1π − B. 4π C. ( )2 2π − D. ( )4 2π − 28. ipoveT wesieri samkuTxa

piramidis gverdiTi wibo,

Tu misi fuZis gverdi

aris 12, xolo simaRlea 4.

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 29. ipoveT wesieri oTxkuTxa

prizmis moculoba, Tu misi

fuZis gverdia 3, xolo

diagonali fuZis sibrtyesTan

45o-ian kuTxes adgens.

A. 9 2 B. 18 2 C. 24 2 D. 27 2

0•

M

B A

C

0

12

45º

3

3

303

30. metalis kubi gadaadnes da Camoasxes eqvsi erTnairi

birTvi. ipoveT birTvis radiusi, Tu kubis gverdia 32 π .

A. 1 B. 2 C. π D. 0,5

31. ipoveT nan 7614 −= mimdevrobis yvela iseTi wevris

jami, romelic metia 2-ze.

32. ipoveT Semdegi gantolebis umciresi dadebiTi

amonaxsni:

02sin5sin2 2 =+− xx

33. daStrixeT sakoordinato sibrtyeze Semdegi utolo-

baTa sistemis amonaxsni:

11

y xy x≤ −⎧

⎨ ≤ −⎩


1)32(log 2

31 −>−− xx

35. wriul trasaze moZraobs ori sxeuli. isini

erTmaneTs xvdebian yoveli 40 wuTis Semdeg, rodesac erTi

da igive mimarTulebiT moZraoben, xolo xvdebian yoveli

10 wuTis Semdeg, rodesac mopirdapire mimarTulebiT

moZraoben. ra droSi gaivlis mTel wriul trasas

TiToeuli sxeuli?

36. tolferda marTkuTxa samkuTxedis

hipotenuzaze agebulia marTkuTxedi.

ipoveT miRebuli xuTkuTxedis far-

TobTa Soris udidesi, Tu am xuTku-

Txedis perimetri tolia 2-is.

37. konusis fuZis radiusi aris 5 sm. am konusis gverdiTi

zedapiris Slilia

seqtori, romlis cen-

traluri kuTxea 120°. ipoveT konusis gver-

diTi zedapiris far-5

120°

F

E

C

B A

304

Tobi.

38.

wesieri samkuTxedis Siga

M wertilidan gverdebamde

manZilebia 1, 2 da 3. ipoveT am

samkuTxedis farTobi.

cbxxy ++−= 2 da 1−= xy fun-39.

qciebis grafikebi erTmaneTs

kveTs or wertilSi, romelTa-

gan erTi parabolis wveroa,

xolo meore ox RerZze mdebare-obs. ipoveT b da c.

40.ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac

03)1( 2 =+−− axxa

gantolebis erTi fesvi metia 2-ze, xolo meore naklebia 2-

ze.

bileTi #3

1. 2110 ricxvi CawereT aTobiT sistemaSi.

.A 5 .B 6 .C 7 .D 8

2. sportul skolaSi 36 moswavle varjiSobs fexbur-TSi,

25 ki kalaTburTSi, xolo 21 moswavle varjiSobs ro-gorc

fexburTSi, aseve kalaTburTSi. ramdeni moswavle va-

rjiSobs fexburTSi an kalaTburTSi? A. 40 B. 42 C. 38 D. 46 3. gamoTvaleT

xy

yxxy

yx +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− : , Tu 35 +=x , 25 −=y .

A. 152 + B. 5 C. 7 D. 52

4. 5a ,

6a da 7a ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT,

Tu 75,0=a .

y

x0

A

12

3

M

B

C

305

A. 5a , 6a ,

7a B. 6a , 7a ,

5a C. 7a , 6a ,

5a D. 7a ,5a ,

6a

5. gamoTvaleT ( ) ( )224525 −+−

A. 2 B. 652 − C. -6 D. 52

6. ramden saaTSi gaivlis turisti 20 km-s, Tu is 1 km-s 15

wT-Si gadis?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 7. 800 kg Saqari imdenive Rirs, ramdenic 200 kg karaqi.

100 kg Saqari imdenive Rirs, ramdenic 200 kg fqvili.

ramdeni kilogrami karaqis yidva SeiZleba im TanxiT,

romelic 100 kg fqvils iyidis?

A. 10,5 B. 80 C. 12,5 D. 25 8. sportul kompleqsSi varjiSobs 106 moswavle.

aqedan 40 moswavle varjiSobs ZiudoSi, 30 moswavle

varjiSobs karateSi, xolo 48 moswavle ar dadis arc

Ziudosa da arc karates seqciaze. ramdeni moswavle

varjiSobs rogorc ZiudoSi, aseve karateSi?

A. 10 B. 12 C. 16 D. 14 9. avtomobilma 108 km gaiara 15 m/wm siCqariT, xolo

darCenili 60 km 1 saaTSi dafara. gansazRvreT

avtomobilis saSualo siCqare mTel gzaze.

A. 60 km/sT B. 56 km/sT C. 50 km/sT D. 54 km/sT

10. avtomobilSi mjdomma mgzavrma, romelic moZraobda 60

km/sT siCqariT, SeniSna, rom avtomobilis sapirispirod

moZravi matareblis gverdis avlas moandoma 5 wm. ipoveT

matareblis siCqare, Tu misi sigrZea 125 m-ia.

A. 40 km/sT B. 30 km/sT C. 35 km/sT D. 25 km/sT

11. ipoveT gantolebis umciresi amonaxsni

0372 2 =+− xx

A. 21 B.

21

− C. 3 D. –3

12. gamoTvaleT 52log

516log

22−

A. 6 B. 8 C. 4 D. 0 13. ipoveT xy , Tu 72 =x

da 87 =y.

A. 2 B. 3 C. 12 D. 15

14. gamoTvaleT ,cos1

sin2

α−α Tu

41cos =α

306

A. 41 B.

43 C.

45 D.

47

15. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jami

gamoisaxeba formuliT

nnSn 23

21 2 += .

ipoveT progresiis meoTxe wevri.

A. 6 B. 5 C. 7 D. 11

16. geometriuli progresiis n -uri wevri mocemulia

formuliT 132 +⋅= n

nb . ipoveT 5S .

A. 2218 B. 2178 C. 1916 D. 2412

17. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo 2π

kuTxiT

mobrunebisas ( )5;0M wertili aisaxeba N wertilSi.

ipoveT N wertilis koordinatebi.

A. (-5;0) B. (0;5) C. (0;-5) D. (5;0)

18. marTkuTxa koordinatTa sis-

temis saTave emTxveva kvadratis

centrs. kvadratis gverdebi sako-

ordinato RerZebis paraleluria.

ipoveT meoTxe meoTxedSi moTav-

sebuli kvadratis wveros koor-

dinatebi, Tu kvadratis gverdia 4.

A. (-2;2) B. (-2;2) C. (2;-2) D. (2;2) 19. ipoveT 342 2 +−= xxy funqciis umciresi mniSvneloba.

A. 1 B. 3 C. 0 D. –1 20. paraleluri gadatana ganisazRvreba ( )2; 3a −

r veqtoriT.

ipoveT ( )7; 1M − wertilis saxe am paraleluri

gadatanisas.

A. (5;2) B. (9;-4) C. (14;3) D. (-9;4) 21.

ipoveT MNK∠ , Tu igi 50o-

iT metia ABC∠ -ze da MN ||AB, NK ||BC.

y

x0

A

B C

K N

M

307

A. 105 o B. 115 o C. 120 o D. 130 o 22. MNPQ oTxkuTxedSi NPMN = , MPPQ = ,

o70=∠MNP ,

o40=∠MQP . ipoveT NPQ∠ .

A. 125 o B. 160 o C. 135 o D. 155 o 23. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori


wrfeze 12-is tolia.

ipoveT meore daxrilis

sigrZe, Tu is wrfesTan

30o-ian kuTxes adgens.

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 24.

ABC samkuTxedSi gavle-bulia

MN Suaxazi. AMNC trapeciis

farTobis ra nawils Seadgens

MBN samkuTxedis farTobi?

A. 41 B.

31 C.

32 D.

21

25. wrewirze, romlis ra-

diusia 6, Semoxazulia

marTkuTxa samkuTxedi 24-is

toli hipotenuziT. ipoveT

samkuTxedis perimetri.

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 26. ipoveT rombis farTobi, Tu misi kuTxeebi ise

Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:5,

xolo gverdia 8.

A. 24 B. 32 C. 48 D. 64

AC

M N

B

A

0•6C B

24

x 13

12 30

o

8

α

α5

308

27. ipoveT seqtoris radiusi, Tu

misi farTobi udris π5 da

centraluri kuTxea 72o.

A.3 B. 4 C. 5 D. 28.ipoveT kubis zedapiris farTobi, Tu misi moculoba

udris 27-s. A. 9 B. 36 C. 54 D. 81 29.

ipoveT wesieri oTxkuTxa

piramidis sruli zedapiris

farTobi, Tu misi fuZis

gverdia 4, xolo fuZesTan

mdebare orwaxnaga kuTxe

60º-ia. A. 24 B. 32 C. 48 D. 64 30.

konusSi gavlebulia kveTa, romelic

fuZis paraleluria da gadis

simaRlis Suawertilze. ipoveT

kveTis wrewiris sigrZe Tu konusis

fuZis wrewiris sigrZea 4.

A. 1 B. 2 C. 0,5 D. 1,5

31. ganvadebiT gamotanili televizoris Rirebulebis

dasafaravad pirvel TveSi gadaixades 30 lari, xolo

yovel Semdeg TveSi ki 6 lariT meti, vidre wina Tves.

televizoris Rirebulebis dafarvis Semdeg damatebiT

gadaixades kidev 72 lari. ramdeni Tvis ganmavlobaSi

4

60º

72º R

309

dafares televizoris Rirebuleba, Tu TveSi saSualod

gadaxdilia 60 lari?

32. SeasruleT moqmedeba

sin cos sinα α α− − , Tu U3 ;22πα π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠U

33. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac

( ) 0532 2 =++−− aaxxa gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis

fesvebi.


913 32

≤− xx

35. A da B qalaqebs Soris manZili 108 kilometria. A-dan B-sken gavida motociklisti, xolo erTi saaTis Semdeg mis

Sesaxvedrad B-dan gamovida velosipedisti. maTi Sexvedra

moxda B-dan 24 km-is daSorebiT. isini rom erTdroulad

gasuliyvnen, maSin maTi Sexvedra moxdeba A-dan 72 km-is

daSorebiT. ipoveT TiToeuli maTganis siCqare.

36. 60°-is tol kuTxe-Si

Caxazulia ori wrewiri,

romle-bic garedan exeba

erTmaneTs. mcire wrewi-

ris radiusi udris 8-s.

ipoveT didi wrewiris

radiusi.

37. 10×9 zomis marTkuTxedis formis

Tunuqis fuclisagan TavRia yuTi

daamzades ise, rom am furclis

kuTxeebSi amoWri-lia kvadratebi 2-is

toli gver-diT da darCenili napirebi

gadakecilia. ipoveT miRebuli yuTis

moculoba.

38. marTkuTxedis didi gverdi

gayofilia xuT tol nawilad da

gayofis wertilebze gavlebulia mcire

gverdis paraleluri wrfeebi (ixileT

naxazi). ipoveT naxazze daStrixuli

figuris farTobi, Tu marTkuTxedis

farTobia 150.

60° 8 R

9

1

2 2

310

39. ipoveT b da c Tu cbxxy ++−= 2 funqcia udides

mniSvnelobas iRebs 1−=x wertilSi da es udidesi

mniSvnelobaa 1.

40.AAP da BQ paralelur gzebs Soris manZili 36 km-ia. A punqtidan P-s mimarTulebiT gavida velosipedisti 12 km/sT

siCqariT. 2 saaTis Semdeg

B punqtidan Q-s mimarTulebiT gavida

qveiTi 4 km/sT siCqariT

(ixileT naxazi). qveiTis

gamosvlidan ramdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris

manZili umciresi, Tu manZili A da B punqtebs Soris 60 km-ia.

bileTi #4

1. ramdenjer Semcirdeba dadebiTi ricxvebis ganayofi,

Tu gasayofs gavadidebT 3-jer, xolo gamyofs ki 12-jer?


2. ra cifriT bolovdeba 272 ?

A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 3. gamoTvaleT

( ) a

aa

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

+ 12

12

, Tu 11=a .

A. 6 B. 12 C. 5 D. 8 4. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:

x a= , 3y a= , z=a, Tu a>1 A. x, z, y B. x, y, z C. y, x, z D. y, z, x 5. Tu 53 ≤≤ a da 41 ≤≤ b , maSin ba − gamosaxulebis

umciresi mniSvnelobaa:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

P

60km B

36kmA

Q

311

6. 43 dm3 moculobis mqone Tafli iwonis 8

9kg-s. ramden

kilograms iwonis 65 dm3 moculobis Tafli?

A. 45 B.

35 C.

47 D.

37

7. a ricxvi Seadgens b -s 51 nawils, b aris c -s 10%, c

warmoadgens 1000-is 75%-s. ipoveT a ricxvi.

A. 15 B. 5 C. 75 D. 100 8. yuTSi Zevs 12 burTi. oTxi bavSvidan TiToeuli

erTmaneTis miyolebiT yuTidan iRebs 3 burTs. ramdeni

xerxiT SeuZliaT maT amis gakeTeba?

A. 184200 B. 324600 C. 370200 D. 369600 9. erTi sirofi 20% Saqars Seicavs, meore ki 15%-s.

pirveli sirofis 2 litri auries meoris 3 litrSi.

ramden procent Saqars Seicavs miRebuli narevi? A. 16 B. 17 C. 18 D. 12 10. pirvel brigadas mosavlis aReba SeuZlia 8 dReSi,

meores ki 12 dReSi. ramden dReSi aiRebs mosavlis 65

nawils orive brigada erTad?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. amoxseniT gantoleba

212 −=− xx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

12. gamoTvaleT 1,0lg91 5

1log3

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

A. 25 B. 30 C. 26 D. 24 13. amoxseniT gantoleba

14222 12122 =++ −+ xxx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. gamoTvaleT

oo

oo

240sin421063303330cos4

−−

tgtg

A. 21 B.

32 C.

43 D.

54

312

15. daadgineT im mravalkuTxedis gverdebis umciresi

ricxvi, romlis Siga kuTxeebis gradusuli zomebi

Seadgenen ariTmetikul progresias pirveli wevriT 120º da

sxvaobiT 5º.

A. 1 2 B. 9 C. 10 D. 8 16. ipoveT

2x , Tu x ; 8; 2x geometriuli progresiis

momdevno wevrebia.

A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 17. mocemulia urTierTmarTobuli MN da KL monakveTebi.

ipoveT L wertilis koor-

dinatebi, Tu KLMN 2= ,

M(-3;2),NN(5;2), KK(1;3).

A. (1;0) B. (-1;1) C. (1;2) D. (1;-1) 18. ipoveT A(4;3) wertilis simetriuli wertili B(2;1) wertilis mimarT.

A. (-3;-4) B. (-4;-3) C. (0;-1) D. (1;0)

19. ipoveT 2215 xxy −−= funqciis mniSvnelobaTa

simravle.

A. [ [∞;0 B. [0;4] C. [ [∞;4 D. [4;8] 20. ipoveT a

r veqtoris koordinatebi, Tu is 2b i j= − −

r r r

veqtoris TanamimarTulia da misi sigrZe 80 -is tolia.

A. (8;-4) B. (8;4) C. (-8;4) D. (-8;-4) 21. M aris ABCD paralelogramis BC gverdis Sua

wertili. ras udris albaToba imisa, rom paralelog-

ramSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis ABM

samkuTxeds.

A. 14 B. 1

5 C. 1

3 D. 2

3

22. MNPQ kvadratis gareT agebulia tolgverda MEQ

samkuTxedi. ipoveT MEN∠ .

A. 30º B. 12º C. 15º D. 20º 23. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertilidan

gverdebamde manZilebia 3 da 5. ipoveT marTkuTxedis

perimetri.

A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

K(1;3)N(5;2

L

M(-3;2)

313

ipoveT ABC samkuTxedis 24.

farTobi, Tu am samkuTxedis

gverdebis Suawertilebis Se-

erTebiT miRebuli PQR sam-

kuTxedis farTobia 8.

A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

ipoveT tolferda ABCD trapeciis 25.

farTobi, Tu misi diagonali ud-

ris 10-s da did fuZesTan adgens

45°-ian kuTxes.

A. 40 B. 50 C. 60 D. 100

26. paralelogramis blagvi kuTxis wverodan gavlebuli

simaRleebia 3 da 5, xolo maT

Soris kuTxe 30°-ia. ipoveT pa-

ralelogramis farTobi.

A. 2

315 B. 15 C. 30 D. 7,5

27. ipoveT -5; -3; 2; -4; -5; -3; -5; 2; -3 monacemebis fardobiT

sixSireTa Soris umciresi.

A. 19 B. 1

10 C. 2

9 D. 2

11

28. marTkuTxa samkuTxedi, romlis hipote-

nuzaa 13 da erTi kaTetia 5, brunavs

didi kaTetis garSemo. ipoveT miRe-

buli figuris moculoba.

A. π80 B. π100 C. π120 D. π140

A 45º

B C

D

10

5

13

0

R C

B

P

A

Q

530°

3

314

29. gamoTvaleT kubis A wverodan gamosuli samive wibos boloze

gavlebuli kveTis farTobi, Tu

kubis wiboa 2 .

A. 32 B. 3 C. 34 D. 23

30. metalis cilindri gadaadnes, risganac Camoasxes oTxi

erTnairi kubi. ipoveT kubis gverdis sigrZe, Tu

cilindris fuZis radiusia 2, simaRle ki 2π .

A. π B. π2 C. 4 D. 2

31. ipoveT kenti naturaluri ricxvi, Tu masze naklebi

yvela kenti ricxvis jami 2207-iT metia TviT am ricxvze.

32. amoxseniT gantoleba

01sincos2 2 =−+ xx

33. ipoveT a–s yvela mniSvneloba, romlisTvisac 2−> ax

utolobis yoveli amonaxsni warmoadgens 3>x utolobis

amonaxsnsac.


01343 12 <+⋅−+ xx

35. satvirTo manqana 2 wuTSi gadis 400 metriT naklebs,

vidre avtobusi da amitom 360 km-is gavlas andomebs 1

saaTiT mets, vidre avtobusi. ipoveT TiToeulis siCqare.

36. ABCD kvadratSi gavlebulia urTi-

erTmarTobuli DM da AN monakve-

Tebi. ise rogorc naxazzea miTiTe-

buli. ipoveT MC, Tu AN 4= , .3=DN

M

A

B C

D

N

A

315

37. cilindris simaRle aris

4. misi gverdiTi zeda-

piris SlilSi msax-veli

diagonalTan Seadgens

60°-ian kuTxes. ipoveT

cilindris moculoba.

38. trapeciis fuZeebia 36 da 72.

ipoveT trapeciis ferdebs So-

ris moqceuli monakveTis sig-

rZe, romelic fuZeebis parale-

luria da gadis diagonalebis

gadakveTis wertilze.

cbxxy ++= 22 da 1+= cxy 39.

funqciaTa grafikebi erT-

maneTs kveTs sakoordinato

RerZebze. ipoveT b da c.

40. ipoveT 2 2y x x= − funqciis udidesi da umciresi

mniSvneloba [ ]0;3 segmentze.

60°

B

A

C

D

KM N

72

36

y

x0

316

q!b!t!v!y!f!c!j!

§1 1.1. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 1.2. 1) C, 2) D, 3) B, 4) A. 1.3. 1) B, 2) C, 3) D, 4) D. 1.4. 1) C, 2) D, 3) D, 4) C. 1.5. 1) D, 2) C, 3) A, 4) B. 1.6. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A, 5) C, 6) B. 1.7. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B, 5) C, 6) B. 1.8. 1) D, 2) D. 1.9. 1) D, 2) C. 1.10. 1) B, 2) C. 1.11.1) B, 2) C. 1.12. 1) C, 2) B, 3) C, 4) A. 1.13.1) D, 2) A, 3) C, 4) B. 1.14.1) A, 2) C, 3) B, 4) A. 1.15.1) A, 2) D, 3) B, 4) A. 1.16.1) A, 2) A, 3) D, 4) A. 1.17.1) B, 2) A, 3) A, 4) C. 1.18.1) C, 2) C, 3) B, 4) A. 1.19.1) C, 2) D, 3) A, 4) C. 1.20.1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 1.21.1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 1.22.1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 1.23.1) A, 2) D, 3) C, 4) B. 1.24.1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 1.25.1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.26.1) B, 2) A, 3) C, 4) A. 1.27. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.28. 1) C, 2) D, 3) A, 4) A. 1.29. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 1.30.1) D, 2) A, 3) C, 4) B, 5) C, 6) A. 1.31.1) D, 2) B, 3) A, 4) D. 1.32.1) A, 2) C, 3) B, 4) D. 1.33.1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) A. 1.34.1) B, 2) A, 3) D, 4) B. 1.35. 1) C, 2) D, 3) D. 1.36. 1) D, 2) C. 1.37. 1) A, 2) B. 1.38. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.39.1) C, 2) B, 3) D, 4) B. 1.40.1) A, 2) D, 3) B, 4) D. 1.41.1) D, 2) B, 3) A, 4) C. 1.42.1) A, 2) D, 3) D, 4) B. 1.43.1) B, 2) A, 3) C, 4) B. 1.44.1) C, 2) B, 3) D, 4) A. 1.45.1) B, 2) C, 3) B, 4) C. 1.46.1) A, 2) B, 3) A, 4) D. 1.47.1) A, 2) B, 3) A, 4) B. 1.48.1) B, 2) A, 3) A, 4) B, 5) C, 6) C. 1.49.1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 1.50.1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.51.1) D, 2) A, 3) B, 4) A. 1.52. 1) A, 2) C, 3) B, 4) A, 5)A, 6) D. 1.53.1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 1.54. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C. 1.55. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 1.56. 1) C, 2) A. 1.57. 1) D, 2) A. 1.58. 1) B, 2) B, 3) D, 4) A. 1.59. 1) A, 2) C. 1.60. 1) B, 2) D. 1.61. 1) 20-is, 2) 20-is. 1.62. 1) 3, 2) 2. 1.63. 1) 4, 2) 10. 1.64. 1) 60,

2)157

, 3) 50, 4) 72, 5) 16, 6) 9. 1.65. 1) 15, 2) 39, 3) 260, 4) 0.

§2

2.1. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 2.2. 1) B, 2) A, 3) C, 4) A. 2.3. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 2.4. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 2.5. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C. 2.6. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 2.7. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 2.8. C. 2.9. 1) D, 2) A, 3) C, 4) D. 2.10. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 2.11. 1) B, 2) A, 3) C, 4) B. 2.12. 1) D, 2) A, 3) D, 4) B. 2.13. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B, 5) B, 6) C. 2.14. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C. 2.15. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A. 2.16. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A, 5) C, 6) A. 2.17. 1) D, 2) C, 3) A, 4) B. 2.18. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B.

317

2.19. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 2.20. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 2.21. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 2.22. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 2.23. 1) B, 2) D, 3) D, 4) C. 2.24. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 2.25. 1) B, 2) A. 2.26. 1) C, 2) B, 3) C, 4) D. 2.27. 1) B, 2) B. 2.28. 1) C, 2) D. 2.29. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 2.30. 1) D, 2) C, 3) B, 4) B. 2.31. 1) A, 2) A, 3) D, 4) C. 2.32. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 2.33. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B. 2.34. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C. 2.35. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B. 2.36. 1) 180, 2) 60, 3) 130 o , 4) 114 o , 5) 13 sT, 6) 22-jer. 2.37. 1) 1, 2) 0,1; 3) 4, 4) 2800.

§3 3.1. 1) A, 2) B, 3) D, 4) A, 5) B, 6) A. 3.2. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A. 3.3. 1) B, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) A. 3.4. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 3.5. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 3.6. 1) D, 2) C, 3) B, 4) B, 5) A, 6) D. 3.7. 1) D, 2) B, 3) B, 4) C. 3.8. 1) B, 2) B. 3.9. 1) A, 2) B, 3) D, 4) A. 3.10. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C. 3.11. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C. 3.12. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 3.13. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 3.14. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B. 3.15. 1) C, 2) A, 3) C, 4) D. 3.16. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 3.17. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B.

3.18. 1) –2, 2) 1, 3) 1, 4) 21

− . 3.19. 1) 5± , 2) 4± , 3) 35, 4) 126.

§4 4.1. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 4.2. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 4.3. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 4.4. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 4.5. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 4.6. 1) A, 2) C, 3) C, 4) A. 4.7. 1) C, 2) B, 3) B, 4) D. 4.8. 1) B , 2) D, 3) A, 4) A. 4.9. 1) B, 2) D, 3) C, 4) D. 4.10. 1)C, 2)B, 3)A, 4)C, 5) B, 6) C, 7) A, 8) B. 4.11.1)D, 2)B, 3)A, 4)B, 5)B, 6)B. 4.12. 1) B, 2) D, 3) C, 4) B. 4.13. 1) D, 2) B, 3) D, 4) D. 4.14. 1) A, 2) D, 3) B, 4) A. 4.15. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 4.16. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C. 4.17. 1) A, 2) C, 3) A, 4) D. 4.18. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 4.19. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B. 4.20. 1) B, 2) A, 3) C, 4) B, 5) D, 6) B.

4.21. 1)1, 2)0,3, 3)61

− , 4)151 . 4.22. 1) 2, 2) 7 , 3) 1, 4) 2.

§5 5.1. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B. 5.2. 1) B, 2) A, 3) A, 4) D. 5.3. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 5.4. 1) B, 2) A, 3) C, 4) A. 5.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A. 5.6. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B. 5.7. 1) D, 2) A, 3) A, 4) D. 5.8. 1) D, 2) B, 3) D, 4) A. 5.9. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 5.10. 1) C, 2) C, 3) A, 4) B. 5.11. 1) A, 2) A, 3) B, 4) A. 5.12. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B.

318

5.13. 1) –1, 2) –3. 5.14. 1) 2, 2) 1,5. 5.15. 1) ] [∞− ;4 , 2) ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞− ;

322 .

5.16. 1) ] [∞;2 , 2) ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−

73; . 5.17. 1) –3, 2) 2. 5.18. 1) 3, 2) –1. 5.19.

1) ] [∞− ;36 , 2) ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞;12546 . 5.20. 1) –9, 2) –4.

§6

6.1. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 6.2. 1) D, 2) D, 3) D, 4) C. 6.3. 1) C, 2) D, 3) A, 4) D. 6.4. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B. 6.5. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 6.6. 1) 3, 2) -3, 3) 2, 4) 0. 6.7. 1) 3, 2) 5, 3) 10, 4) 3.

§7

7.1. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A. 7.2. 1) C, 2) A, 3) B, 4) C. 7.3. 1) A, 2) C, 3) C, 4) D. 7.4. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A. 7.5. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 7.6. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 7.7. 1) C, 2) C, 3) C, 4) A. 7.8. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 7.9. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 7.10. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 7.11. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 7.12. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 7.13. 1) C, 2) C, 3) A, 4) B, 5) A, 6) B. 7.14. 1) A, 2) D. 7.15. 1) C, 2) B. 7.16. 1) 64, 2) 0, 3) –3, 4) –33. 7.17. 1) 5, 2) –6, 3) 2,5, 4) 10. 7.18. 1) -8, 2) 6.

7.19. 1) 23

++

aa , 2)

52

++

aa , 3)

baba

+− 7 , 4)

baba

−+ . 7.20. 1) 25, 2) 1, 3) –4; 1, 4) 2;

5. 7.21. 1) ] [∞;4 , 2) ] [∞;3 , 3) ] [ ] [∞−−∞ ;13; U , 4) ] [2;1− . 7.22. 1)

] [∞⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞− ;4

31; U , 2) ] [ ] [8;44;4 U− , 3) ] [ ] [6;11;4 −−− U , 4) ] [ ] [4;33;2 U− . 7.23. 1) 9,

2) –9. 7.24. 1) 6, 2) 12. 7.25. 1) –2; 3, 2) 0; 3. 7.26. 1) ] [5;2 , 2) ] [2;1− . 7.27. 1) 9, 2) 0. 7.28. 1) ] [2;5− , 2) ] [5;1− . 7.29. 1) ] [25,9;3 , 2) ] [∞;2 . 7.30. 1) ] [∞;5,8 , 2) ] [ ] [6,2;11; U−−∞ . 7.31. 1) 3, 2) 1. 7.32. 1) 5, 11, 10a b c= = − = ; 2) 2, 7, 8a b c= = = − . 7.33. 1) 2, 36p q= = − ; 2) 1, 8p q= = − .

§8 8.1. 1) C, 2) A, 3) C, 4) A. 8.2. 1) D, 2) C, 3) D, 4) D. 8.3. 1) D, 2) D, 3) D, 4) B. 8.4. 1) A, 2) C, 3) A, 4) D. 8.5. 1) D, 2) C, 3) A, 4) C. 8.6. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) C. 8.7. 1) C, 2) A, 3) D, 4) B. 8.8. 1) 2, 2) –1, 3) 7, 4) 7; 8. 8.9. 1) –61; 30. 2) –3; 4, 3) 81, 4) 17. 8.10. 1)

319

⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ 3;

23 , 2) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

32;

27 , 3) [ ]4;0 , 4) [ [0;4− . 8.11.1) [ [∞;5 , 2) ] ] [ [7;52;3 U−− , 3)

] [∞;2 , 4) ] [ ] [3;12; U−−∞ . 8.12. 1) ] [7;443; U⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞− , 2) ] [1;3− , 3) [ ] ] [∞− ;86;3 U , 4)

] [ [ ]3;68; −−−∞ U . 8.13. 1) ] [∞⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ ;54;

920

U , 2) [ [∞;6 , 3) [ [1;3− , 4)

] ] ] [∞−−∞ ;04; U .

§9 9.1. 1) D, 2) C, 3) A, 4) D. 9.2. 1) D, 2) A, 3) C, 4) C. 9.3. 1) B, 2) B, 3) C, 4) D. 9.4. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 9.5. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B. 9.6. 1) (6;9), (-15;-12), 2) (0;0), (-2,4;4,8), 3) (6;9), (-9;-6), 4) (3;5), (-5;-3).

9.7. 1) 3, 2) 5, 3) 1, 4) 4. 9.8. 1) –8, 2) 8. 9.9. 1) (2;3), 2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 4;101 , 3) (7;3), 4)

(5;1). 9.10. 1) (1;4), (4;1), 2) (9;4), (4;9), 3) (8;2), (2;8), 4) (9;4). 9.11. 1)

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞− ;

23

23; U , 2) ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ −∞− ;

38

38; U . 9.12. 1) –7, 2) 0. 9.13. 1) –1, 2) 2.

9.14. 1) (1;7), (7;1), 2) (2;3), 3) (2;4), (12;2), 4) (5;2), (11;10), 5) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

2;

2baba ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

21;

21 abab , 6) (5;8), (10;2), (2;50), (1;200). 7) (1;50), (7;8), 8) (4;3), 9) (12;2),

(9;4), (6;6), (3;8), 10) ( )ab 3; , ( )ab 2;2 , ( )ab;3 . 9.15. 1) 1a > − , 2) 1a > , 3) 8 23

a− < < − , 4) 23

a < − .

§10

10.1. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 10.2. 1) B, 2) B, 3) D, 4) B. 10.3. 1) A, 2) A, 3) D, 4) C. 10.4. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 10.5. 1) A, 2) C, 3) D, 4) B.

10.6. 1) 21 , 2) [ ]3;1 , 3) ] ]3;−∞− , 4)

31

− . 10.7. 1) ] [ ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞−−∞− ;

315; U ,

2) ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤− 1;

73 , 3) ⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ 13;

31 , 4) ] [ ] [∞−∞− ;11; U .

320

§11 11.1. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 11.2. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 11.3. 1)D, 2)A. 11.4. 1) D, 2) C. 11.5. 1) A, 2) C. 11.6. 1)C, 2)A, 3) B, 4) D. 11.7. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B. 11.8. 1) 2; 6, 2) 2; 5; 7, 3) –3; 2; 3, 4) 2; 3± ; 7± . 11.9. 1)

] [101;101 +− , 2) ] [∞;0 , 3) [ ]2;2− , 4) ] [ ] [ ] [∞−∞− ;3 3;2 1; UU . 11.10. 1) ] [ ] [0;44;8 −−− U , 2) ] [ ] [4;22; −−∞− U , 3) ] [ ] [8;3 3;2 U− , 4) ] [ ] ]0;33;6 −−− U .

§12 12.1. A 12.2. C 12.3. A 12.4. C 12.5. A 12.6. C 12.7. D 12.8. C 12.9. A 12.10. D 12.11. D 12.12. B 12.13. D 12.14. A 12.15. C 12.16. D 12.17. A 12.18. A 12.19. B 12.20. A 12.21. B 12.22. B 12.23. B 12.24. C 12.25. C 12.26. D 12.27. D 12.28. B 12.29. B 12.30. A 12.31. D 12.32. C 12.33. C 12.34. C 12.35. A 12.36. B 12.37. B 12.38. B 12.39. C 12.40. C 12.41. D 12.42. C 12.43. D 12.44. B 12.45. C 12.46. C 12.47. C 12.48. B 12.49. A 12.50. B 12.51. D 12.52. C 12.53. D 12.54. C 12.55. C 12.56. B 12.57. B 12.58. B 12.59. 24. 12.60. 40. 12.61. 3. 12.62. 3. 12.63. pirvelis,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 6252500

π-iT. 12.64. meoris, ( )π2040− -iT. 12.65. 135. 12.66. 6.

12.67. 72 . 12.68. 16:8:12:3. 12.69. pirvelSi 60 l, meoreSi 80 l.

12.70. 53 . 12.71.

73 . 12.72. 3780. 12.73. 8. 12.74. 8. 12.75. 2,5.

12.76. 3000. 12.77. 20000. 12.78. 9. 12.79. 180. 12.80. 192. 12.81. 9,6. 12.82. 40. 12.83. 60. 12.84. 20; 80. 12.85. 40%. 12.86. 5. 12.87. 8. 12.88. 12,5. 12.89. 20. 12.90. 40. 12.91. 30. 12.92. 240. 12.93. 600, 400. 12.94. 200. 12.95. 31:9. 12.96. 70. 12.97. 300. 12.98. 4. 12.99. pirveli 10 g, meore 16 g. 12.100. tbis 8 l, zRvis 12 l. 12.101. 10. 12.102. 9. 12.103. 12. 12.104. 10. 12.105. 30. 12.106. 60. 12.107. 8. 12.108. 10. 12.109. 95 sT; 38 sT; 76 sT. 12.110. 10. 12.111. 10. 12.112. 32. 12.113. 8. 12.114. 8. 12.115. 6. 12.116. 29. 12.117. 82. 12.118. 73. 12.119. 25; 25. 12.120. 9; 9. 12.121. 20 km/sT. 12.122. 12 km/sT. 12.123. 20 km/sT. 12.124. 80 km. 12.125. 80 km/sT. 12.126. 40 km/sT. 12.127. 40 km/sT, 12.128. 18 km/sT. 12.129. 10 km/sT. 12.130. 59 km/sT. 12.131. 10 km/sT.

321

12.132. 40 km. 12.133. 60 km. 12.134. 96 km/sT. 12.135. 40; 50. 12.136. 60. 12.137. 84. 12.138. 30 km. 12.139. 3 sT. 12.140. 6 km. 12.141. 3 sT. 12.142. 50. 12.143. 72. 12.144. 20 wamSi. 12.145. 56 wamSi. 12.146. 6. 12.147. 36. 12.148. 10. 12.149. 45. 12.150. 60. 12.151. 15. 12.152. 56 km/sT.

12.153. 6. 12.154. 31. 12.155. 24. 12.156. 80. 12.157. 40 km/sT. 12.158. 30

m/wm. 12.159. 9

16 . 12.160. 20%. 12.161. 11. 12.162. 22. 12.163. 30.

§13

13.1. 1) A, 2) B. 13.2. 1) B, 2) C. 13.3. 1) A, 2) B. 13.4. 1) A, 2) B. 13.5. 1) A, 2) B. 13.6. 1) B, 2) D. 13.7. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 13.8. 1) A, 2) C. 13.9. 1) D, 2) A. 13.10. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 13.11.1) C, 2) A. 13.12. 1) C, 2) D, 3) C, 4) B, 5) C, 6) B. 13.13.1) C, 2) A. 13.14. 1) C, 2) D, 3) B, 4) B. 13.15.1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 13.16. 1) B, 2) A, 3) A, 4) C, 5) D, 6) C. 13.17. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B.

13.18.1) 311− , 2)

211− , 3)

52

− , 4) 52

− . 13.19. 1) 52 , 2)

311 , 3)

21 , 4)

311 . 13.20.

1) 41834 , 2) 994. 13.21. 1) -737, 2)

41834− . 13.22. 1) 1665, 2) 9450, 3) 1645, 4)

1080. 13.23. 1) 1635, 2) 29097, 3) 8, 4) 3. 13.24. 1) 11 −+= nma , 1−=d . 13.25. 1) 38, 2) 36, 3) 36, 4) 19,5. 13.26. 1) 4, 2) 1900, 3) 15, 4) 7. 13.27. 1) 5, 2) 7. 13.28. 1) 1, 2) -11; 1.

§14

14.1. 1) A, 2) A. 14.2. 1) A, 2) A. 14.3. 1) D, 2) A. 14.4. 1) D, 2) C. 14.5. 1) A, 2) B. 14.6. 1) C, 2) D. 14.7. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 14.8. 1) C, 2) B. 14.9. 1) C, 2) D. 14.10. 1) B, 2) D. 14.11. 1) D, 2) A. 14.12. 1) D, 2) A, 3) B, 4) D. 14.13. 1) B, 2) A. 14.14. 1) B, 2) A. 14.15. 1) A, 2) B. 14.16. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 14.17. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B.

14.18. 1) –1, 2) 1. 14.19. 1) 2

15 + , 2) 3; 21 . 14.20. 1) –2, 2) 2, 3) 5, 4) –2.

14.21. 1) 11 2 −+= nmb ;

21

=q . 14.22. 1) 8190, 2) 70, 3) 961 =b , 21

=q ; 4) 24;

12; 6; 3. 14.23. 1) 6, 2) 2. 14.24. 1) 3 da 83

− , 2) 5; 7 3 3− ± .

§15

15.1. 1) C, 2) C, 3) A, 4) C. 15.2. 1) C, 2) D, 3) B, 4) B. 15.3. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D. 15.4. 1) C, 2) C, 3) D, 4) A. 15.5. 1) A, 2) C, 3) A, 4) C. 15.6. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 15.7. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 15.8. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 15.9. 1) C, 2) B. 15.10. 1) B, 2) A, 3) A, 4) D. 15.11. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 15.12. 1) D, 2) D, 3) C, 4) A. 15.13. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 15.14.1) A, 2) C, 3) C, 4) B. 15.15. 1) A, 2) C, 3)

322

A, 4) B, 5) C, 6) D. 15.16. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 15.17. 1) D, 2) C, 3) D, 4) C. 15.18. 1) A, 2) B, 3) A, 4) B.

15.19. 1) 3, 2) 2, 3) 4, 4) 3. 15.20. 1) 3, 2) 2, 3) –1, 4) 1,5. 15.21. 1) 31 , 2)

2, 3) -1, 4) 211 . 15.22. 1) 1, 2) 0, 3) 3, 4) 4. 15.23. 1) 2, 2) 1, 3) 2, 4) 0.

15.24. 1) 1, 2) 21 , 3)

31

− , 4) 53 . 15.25. 1) 1, 2) 1, 3) 0,5, 4) 1. 15.26. 1) 2,

2) -1, 3) 5, 4) –0,5. 15.27. 1) 3, 2) 5, 3) 3, 4) 2. 15.28. 1) 2, 2) 13, 3) 10,

4) 5. 15.29. 1) 9; 3, 2) 4; 21 , 3) 10; 0,0001, 4) 100; 1000. 15.30. 1) –32; -2, 2)

–0,5, 3) –5; -3, 4) -29. 15.31. 1) 0, 2) 1, 3) 0; 7log2− , 4) 1. 15.32. 1) 2−=x ; 0=y , 2) 2−=x ; 3=y , 3) 1−=x ; 2=y , 4) 2=x ; 3=y . 15.33. 1) 20=x ; 5=y , 2) 18=x ; 2=y , 3) 5=x ; 2=y , 4) 1=x ; 2=y .

§16

16.1. 1) C, 2) A, 3) D, 4) B. 16.2. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 16.3. 1) C, 2) A, 3) B, 4) C. 16.4. 1) B, 2) A, 3) A, 4) B. 16.5. 1) A, 2) D, 3) D, 4) C. 16.6. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 16.7. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 16.8. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 16.9. 1) [ ]2;1 , 2) [ ]4;0 , 3) ] ] [ [∞−−∞ ;48; U , 4) ] [4;2 . 16.10. 1) ] [4;1 , 2) ] ]7;2 , 3) ] [∞;1 , 4) ] [∞;3 . 16.11.1) ] ]1;∞− , 2) ] [1;0 , 3) ] [∞;0 , 4) ] [1;−−∞ . 16.12.1) ] [1;0 , 2) ] ]1;∞− , 3) [ [ ] ]5,0;00;5,0 U− , 4) ] ]5,0;0 . 16.13. 1) 1<x , 2) 1<x , 3) 1>x , 4)

1=x . 16.14.1) 10 << a , 2) 10 << a , 3) 1>a , 4) 1>a . 16.15. 1) ] [∞;3 , 2) ] [2;−∞− . 16.16.1) ] [6;2 , 2) ] [7;4 , 3) ] [4;2 , 4) ] [3;1 . 16.17. 1) ] [ ] [∞;44;3 U , 2) ] [5;2 , 3) ] [2;2− , 4) ] [5;2 . 16.18.1) ] [ ] [∞;61;5,0 U , 2) ] [ ] [1;03;4 U−− , 3)

] [ ] [2;12;3 U−− , 4) ] [∞;5,2 . 16.19. 1) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 3;

271 , 2) [ ]10;01,0 , 3) ] [∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ;64

41;0 U , 4)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

21;

41 . 16.20.1) ] [∞;2 , 2) ] [2;1 , 3) ] ]3;2 , 4) ] [1;−∞ . 16.21. 1) ]3;4[, 2) ;1−∞⎤ ⎡⎦ ⎣ , 3)

]2; 2,5[, 4) ]3; 3,1[U ] 13; ∞[.

§17

17.1. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B. 17.2. 1) D, 2) D, 3) C, 4) A. 17.3. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 17.4. 1) C, 2) B, 3) A, 4) A. 17.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A. 17.6. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 17.7. 1) C, 2) A, 3) B, 4) A. 17.8. 1) A, 2) D, 3) B, 4) A. 17.9. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B. 17.10. 1) C, 2) A, 3) D, 4) A.

323

17.11. 1) 10

27 , 2) 72

5 , 3) 132

5 , 4) 21 . 17.12. 1)

6556

− , 2) 6563 , 3)

6563

, 4) 125117

− . 17.13. 1) π , 2) π6 , 3) 3

10 , 4) 3, 5) π , 6) 3π .

§18

18.1. 1) C, 2) A, 3) D, 4) C. 18.2. 1) D, 2) C, 3) D, 4) A. 18.3. 1) C, 2) B, 3) C, 4) A. 18.4. 1) A, 2) D, 3) A, 4) D. 18.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) B. 18.6. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 18.7. 1) A, 2) B, 3) B, 4) A. 18.8. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C. 18.9. 1) B, 2) D, 3) D, 4) A. 18.10. 1) D, 2) B, 3) A, 4) C. 18.11. 1) A, 2) B, 3) B, 4) D. 18.12. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 18.13. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 18.14. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D. 18.15. 1) B, 2) D, 3) D, 4) B. 18.16. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 18.17. 1) D, 2) B, 3) B, 4) A. 18.18. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 18.19. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 18.20. 1) B, 2) D, 3) C, 4) B. 18.21. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C. 18.22. 1) 2, 2) 4, 3) –1, 4) 4. 18.23. 1) 0,25, 2) –0,25, 3) 0,125, 4) –0,125.

18.24. 1) 0,75, 2) 9, 3) 4, 4) 3. 18.25. 1) 2524

− , 2) 1611 , 3) 34, 4)

61 . 18.26.

1) 4

26 − , 2) 1313

−

+ , 3) 4

62 − , 4) 4

26 +− .

§19

19.1. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B. 19.2. 1) B, 2) D, 3) B, 4) B. 19.3. 1) A, 2) D, 3) A, 4) C. 19.4. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 19.5. 1) A, 2) C, 3) B, 4) B. 19.6. 1) C, 2) B, 3) A, 4) A. 19.7. 1) C, 2) A, 3) D, 4) A. 19.8. 1) B, 2) C, 3) D, 4) C. 19.9. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C.

19.10. 1) 18 2

kπ π+ , 2) kππ+

3, 3) kππ

+±6

, 4) kππ+

3. 19.11. 1) kππ

+3

;

karctg π+32 , 2) kππ+

6; karctg π+32 , 3) kππ

+4

; karctg π+− 2 , 4)

kππ+−

4; karctg π+3 , 19.12. 1) kπ2 ; kππ 2

2+ , 2) kππ 2+ ; kππ 2

3+ ,

3) kππ+

3; kππ

+2

, 4) kππ 2+ ; kππ 23

2+ . 19.13. 1) kπ

32

; kπ2 , 2)

kππ+±

3, 3) kππ

+±6

, 4) kππ+

6. 19.14. 1) k

510ππ

+ ; kπ , 2) k510ππ

+ ;

k24ππ

+ , 3) kπ , 4) k3π

. 19.15. 1) kππ+

4; kππ 2

3+± , 2) kππ

+−4

;

324

kππ 232

+± , 3) kππ 24+± ; kπ , 4) kππ

+2

; ( ) kk ππ+−

61 . 19.16. 1)

2 0a− ≤ ≤ , 2) 1 3a≤ ≤ , 3) 1 1a− ≤ ≤ , 4) 4,5 3,5a− ≤ ≤ .

§20

20.1. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 20.2. 1) D, 2) A, 3) C, 4) D, 5) C, 6) A. 20.3. 1) A, 2) A, 3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 20.4. 1) B, 2) B, 3) A, 4) B, 5) C, 6) A. 20.5. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 20.6. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 20.7. 1) B, 2) A, 3) A, 4) B. 20.8. 1) D, 2) B, 3) A, 4) C. 20.9. 1) [ ] [ ]4;22;4 U−− , 2) ] ] [ [∞−−∞ ;97; U , 3) [ ]7;6− , 4) [ [3;2− . 20.10. 1) ] [1;0 , 2) ] [ ] [∞−−∞ ;22; U , 3) ] [ ] [3;9,29,2; U−∞ , 4) ] [ ] [∞;55;0 U , 5) ] [3;1 , 6) ]-3;1[.

20.11. 1) 0, 1x x≤ ≥ , 2) 11 ≤≤− x , 3) 2 ,3210 ≥≤< xx , 4)

1 327

x≤ ≤ .

20.12. 1) 84 ≤< x , 2) 1>x , 3) 2 5;1 1;3 2

⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎦ ⎣

U , 4) 1;0 0;1 3;− ∞⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣U U . 20.13.

1) 0,5, 2) 27, 3) -2, 4) -1. 20.14. 1) 1, 2) 2, 3) 4, 4) 2. 20.15. 1) [ [∞;2 ,

2) [ ]3;0 , 3) [ [∞;0 , 4) [ ]2;0 . 20.16. 1) ] ]1;0 , 2) [ [∞;3 , 3) ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤

31;0 , 4) [ [∞;25 .

20.17. 1) [ [∞;1 , 2) ] ]2;−−∞ , 3) [ [∞;1 , 4) ] [∞;0 . 20.18. 1) 1; -9, 2) 17; 9,

3) 3; -1, 4) 1;-20, 5) 2

33 ; 2

23 , 6) 6; 23 . 20.19. 1) [ ]10;5− , 2) [ ]3;12− ,

3) [ ]7;11 −− , 4) [ ]2;22 −− , 5) [ ]2;2− , 6) [ ]5;2 . 20.20. 1) 9, 2) 15, 3) 34

,

4) 829

. 20.21. 1) 9 8x + , 2) 4 210 30x x+ + , 3) 2 5x + , 4) 2 3 2x x− + .

§21

21.1. 1) B, 2) C. 21.2. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 21.3. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 21.4. 1) B, 2) A. 21.5. 1) A, 2) B, 3) A, 4) D. 21.6. 1) A, 2) D, 3) C, 4) D. 21.7. 1) C, 2) D, 3) A, 4) C. 21.8. 1) C, 2) A, 3) A, 4) B. 21.9. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B. 21.10. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C. 21.11. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B. 21.12. 1) B, 2) D, 3) A, 4) D. 21.13. 1) A, 2) D, 3) A, 4) C. 21.14. 1) C, 2) B. 21.15. 1) B, 2) B, 3) A, 4) C, , 5) C, 6) C. 21.16. 1) A, 2) C. 21.17. 1) D, 2) B, 3) A, 4) A. 21.18. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 21.19. 1) B, 2) B, 3) D, 4) C. 21.20. 1) C, 2) B, 3) B, 4) C. 21.21. 1) B, 2) C, 3) C, 4) B. 21.22. 1) A, 2) B, 3) C, 4) B. 21.23. 1) B, 2) A, 3) D, 4) C. 21.24. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C, 5) C, 6) D. 21.25. D. 21.26. A. 21.27. C. 21.28. B. 21.29. C. 21.30. 1) 6 ,4 == nm , 2) 1; 3; 5, 3) 8 ,6 == nm , 4) I da IV. 21.31. 1) 2,

325

2) 4. 21.32. 1) 3 2y x= + , 2) 4 4y x= − − . 21.33. 1) 3y x= + , 2)

3 4y x= − − . 21.34. 1) 2y x= , 2) 3 7y x= − − . 21.35. 1) 5 13 3

y x= − − , 2)

3 27 7

y x= − + . 21.36. 1) 24, 2) 18, 3) 3, 4) 6. 21.37. 1) (-2;0), (-4;0), 2)

(0;-18), 3) 2 ,4 =−= cb , 4) 3 ,4 −== cb , 5) 5 ,6 =−= cb , 6) (2;-1). 21.38. 1) 8 ,2 == ca , 2) 6 ,2 =−= ca , 3) 4 ,4 −=−= cb , 4) 18 ,12 =−= cb . 21.39. 1) 3 ,2 =−= cb , 2) 2; 0,5, 3) 8; 32, 4) 2; 8, 5) 10; -2; 11, 6) (3;12). 21.40. 1)

2 ;34 ;

32

−− , 2) 1; -2; 3, 3) 10; -3, 4) 12; 4; 12. 21.41. 1) 0 ,2 =−= cb , 2)

4 ,6 =−= cb , 3) 2 ,2 =−= cb , 4) 2 ,1 −=−= ba . 21.42. 1) 10, 4p q= = − , 2) 3, 1b c= − = , 3) 5,5, 3p q= − = − , 4) 1, 0, 4, 4a b p q= − = = ± = . 21.43. 1)

1, 1a p= − = − , 2) 12, 15b c= − = . 21.44. 1) 1a = ± , 2) 1, 3a a= = , 3) 4 07

a− < < , 4) 2a < − . 21.45. 1) 0<c , 2) c>0, 3) c<0, 4) c<0. 21.46. 1) 0c < ,

2) II. 21.47. 1) 2a > , 2) 4 1a− < < , 3) 1 1,8a< < , 4) 0 1a< < .

§22

22.1. 1) B, 2) C, 3) A, 4) B. 22.2.1)A, 2)C, 3)D, 4)D. 22.3. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 22.4. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 22.5. 1)B, 2)C, 3)A, 4)A, 5) C, 6) C. 22.6. 1) C, 2) D, 3) C, 4) B. 22.7. 1) B, 2) D, 3) A, 4) D. 22.8. 1) D, 2) C, 3) A, 4) D. 22.9. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D, 5) A, 6) B.

§23

23.1. B 23.2. C 23.3. A 23.4. D 23.5. D 23.6. C 23.7. A 23.8. B 23.9. A 23.10. C 23.11. A 23.12. D 23.13. B 23.14. A 23.15. C 23.16. 135 o . 23.17. 20 o . 23.18. 70 o . 23.19. 144 o . 23.20. 100 o . 23.21. 50 o . 23.22. 42 o . 23.23. 116 o . 23.24. 26 o . 23.25. 178 o . 23. 26. 155 o . 23.27. 80 o . 23.28. 140 o . 23.29. 40 o . 23.30. 20 o . 23.31. 144 o . 23.32. 13 o an 33 o . 23. 33. 15 o an 55 o .

§24

24.1. B 24.2. A 24.3. C 24.4. D 24.5. A 24.6. D 24.7. B 24.8. C 24.9. A 24.10. B 24.11. B 24.12. D 24.13. B 24.14. C 24.15. D 24.16. C 24.17. A 24.18. D 24.19. C 24.20. A 24.21. C 24.22. A 24.23. B 24.24. B 24.25. C 24.26. A 24.27. A 24.28. C

326

24.29. B 24.30. B 24.31. A 24.32. C 24.33. A 24.34. C 24.35. A 24.36. B 24.37. D 24.38. A 24.39. C 24.40. D 24.41. C 24.42. B 24.43. D 24.44. C 24.45. B 24.46. B 24.47. C 24.48. A 24.49. A 24.50. B 24.51. A 24.52. B 24.53. C 24.54. D 24.55. C 24.56. A 24.57. B 24.58. D 24.59. A 24.60. A 24.61. A 24.62. D 24.63. B 24.64. A 24.65. A 24.66. C 24.67. C 24.68. C 24.69. D 24.70. A 24.71. B 24.72. A 24.73. C 24.74. A 24.75. D 24.76. 10. 24.77. 15. 24.78. 10. 24.79. 26. 24.80. 39 . 24.81. 30. 24.82. 240. 24.83. 24. 24.84. 144. 24.85. 64. 24.86. 27. 24.87. 16,8. 24.88. 216. 24.89. 54. 24.90. 40. 24.91. 8. 24.92. 26. 24.93. 10. 24.94. 3. 24.95. 2; 4. 24.96. 10. 24.97. 2. 24.98. 226 . 24.99. 20. 24.100. 5. 24.101. 12. 24.102. 12. 24.103. 10. 24.104. 18. 24.105. 4. 24.106. 15. 24.107. 84. 24.108. 10. 24.109. 4. 24.110. 4. 24.111. 24. 24.112. 24. 24.113. 52 . 24.114. 22. 24.115. 30. 24.116. 6. 24.117. –8. 24.118. 1:4.

24.119. 1:2. 24.120. 30 o . 24.121. 102 . 24.122. 3. 24.123. 2. 24.124. 1:2. 24.125. 18.

§25

25.1. A 25.2. B 25.3. C 25.4. D 25.5. A 25.6. B 25.7. C 25.8. D 25.9. C 25.10. B 25.11. A 25.12. C 25.13. B 25.14. B 25.15. A 25.16. B 25.17. C 25.18. A 25.19. B 25.20. A 25.21. 8. 25.22. 6. 25.23. 18. 25.24. 46. 25.25. 4. 25.26. 12. 25.27. 110 o . 25.28. 25. 25.29. 15. 25.30. 90 o .

§26

26.1. B 26.2. C 26.3. B 26.4. B 26.5. C 26.6. A 26.7. B 26.8. C 26.9. B 26.10. A 26.11. B 26.12. A 26.13. B 26.14. B 26.15. A 26.16. B 26.17. B 26.18. A 26.19. B 26.20. B 26.21. D 26.22. A 26.23. B 26.24. A 26.25. B 26.26. B 26.27. A 26.28. C 26.29. C 26.30. B 26.31. D 26.32. C 26.33. B 26.34. C 26.35. B 26.36. B 26.37. D 26.38. 4. 26.39. 3. 26.40. 16. 26.41. 6. 26.42. 6. 26.43. 0,4. 26.44. 12. 26.45. 16. 26.46. 2 ; 3. 26.47. 3. 26.48. 2. 26.49. 6. 26.50. 3. 26.51. 32. 26.52. 11. 26.53. 3. 26.54. 2. 26.55. 8. 26.56. 1:6. 26.57. 1 sm. 26.58. 8

sm2. 26.59. 38,5 sm2. 26.60. 4 sm2. 26.61. 4 sm2. 26.62.

4ah . 26.63. 3 3

3+ .

26.64. 22,5.

327

§27

27.1. B 27.2. A 27.3. C 27.4. D 27.5. D 27.6. A 27.7. D 27.8. C 27.9. B 27.10. B 27.11. D 27.12. D 27.13. C 27.14. A 27.15. B 27.16. A 27.17. C 27.18. C 27.19. A 27.20. B 27.21. D 27.22. A 27.23. A 27.24. A 27.25. B 27.26. D 27.27. C 27.28. D 27.29. D 27.30. B 27.31. B 27.32. C 27.33. B 27.34. B 27.35. A 27.36. C 27.37. D 27.38. A 27.39. C 27.40. B 27.41. C 27.42. B 27.43. 300. 27.44. 10. 27.45. 60. 27.46. 20. 27.47. 10. 27.48. 11. 27.49.

62 . 27.50. 25. 27.51. 24. 27.52. 3 . 27.53. 72 . 27.54. 25 3 sm2. 27.55. 52. 27.56. 75. 27.57. 10. 27.58. 16. 27.59. 120. 27.60. 15. 27.61. 5; 10. 27.62. 4; 14. 27.63. 16. 27.64. 1. 27.65. 1:2:1. 27.66. 1:2. 27.67. 40. 27.68. 5. 27.69. 3:16. 27.70. 8. 27.71. 6.

§28

28.1. B 28.2. D 28.3. A 28.4. B 28.5. D 28.6. C 28.7. B 28.8. B 28.9. A 28.10. B 28.11. B 28.12. D 28.13. C 28.14. B 28.15. A 28.16. B 28.17. B 28.18. A 28.19. C 28.20. D 28.21. C 28.22. C 28.23. 5. 28.24. 10. 28.25. 36. 28.26. 30. 28.27. 9,6. 28.28. 52 .

28.29. 96. 28.30. 10. 28.31. 60 o . 28.32. 156. 28.33. 64. 28.34. 10. 28.35. 20. 28.36. 10. 28.37. 6. 28.38. 8. 28.39. 2,4. 28.40. 4,5. 28.41. 96. 28.42. 6. 28.43. 3. 28.44. 6. 28.45. 2,25. 28.46. 8. 28.47. 6. 28.48. 120. 28.49. 20.

§29

29.1. B 29.2. B 29.3. C 29.4. A 29.5. C 29.6. B 29.7. C 29.8. B 29.9. B 29.10. C 29.11. D 29.12. C 29.13. D 29.14. A 29.15. C 29.16. A 29.17. C 29.18. B 29.19. A 29.20. B 29.21. B 29.22. B 29.23. D 29.24. C 29.25. B 29.26. D 29.27. A 29.28. B 29.29. B 29.30. A 29.31. D 29.32. C 29.33. A 29.34. C 29.35. D 29.36. 5. 29.37. 4. 29.38. 4. 29.39. 24. 29.40. 7. 29.41. 5. 29.42. 2,9. 29.43. 73 . 29.44. 38 . 29.45. 36 . 29.46. 1,2. 29.47. 32.

29.48. 8. 29.49. 6. 29.50. 2. 29.51. 316 . 29.52. 3. 29.53. 4. 29.54. 5,2. 29.55. 5 sm. 29.56. 1. 29.57. 6. 29.58. 6. 29.59. 3. 29.60. 32. 29.61. 135.

328

29.62. 8. 29.63. 16. 29.64. 5. 29.65. 5 . 29.66. 2:3. 29.67. 3:2.

29.68. 38 . 29.69. 5. 29.70. 150. 29.71. 48. 29.72. 2 82 sm. 29.73. 8.

29.74. 18. 29.75. 66. §30

30.1. C 30.2. D 30.3. A 30.4. A 30.5. B 30.6. C 30.7. B 30.8. D 30.9. D 30.10. B 30.11. D 30.12. C 30.13. B 30.14. A 30.15. C 30.16. C 30.17. C 30.18. A 30.19. D 30.20. B 30.21. C 30.22. D 30.23. A 30.24. A 30.25. B 30.26. B 30.27. A 30.28. B 30.29. A 30.30. D 30.31. C 30.32. B 30.33. C 30.34. D 30.35. C 30.36. D 30.37. B 30.38. B 30.39. A 30.40. C 30.41. B 30.42. D 30.43. C 30.44. B 30.45. 21. 30.46. 7. 30.47. 3. 30.48. 5. 30.49. 25. 30.50. 18. 30.51. 30. 30.52. 20. 30.53. 8. 30.54. 17. 30.55. 13. 30.56. 9,6. 30.57. 10. 30.58. 12. 30.59. 9. 30.60. 14. 30.61. 18. 30.62. 42. 30.63. 12. 30.64. 12. 30.65. 24. 30.66. 24. 30.67. 20. 30.68. 30.

30.69. 7169 . 30.70. ( )326 + . 30.71. 3. 30.72. 50. 30.73. 12. 30.74.

8. 30.75. 9. 30.76. 12,5. 30.77. 16. 30.78. 10. 30.79. 49. 30.80. 10.

30.81. 40. 30.82. 56. 30.83. 72. 30.84. 60. 30.85. 2. 30.86. 8510 .

30.87. 20 o . 30.88. 140 o . 30.89. 49 o . 30.90. 818 . 30.91.

26 .

30.92. 130. 30.93. 6. 30.94. 64. 30.95. 33 . 30.96. 13. 30.97. 90. 30.98. 18. 30.99. 66. 30.100. 14. 30.101. 9. 30.102. 6,25. 30.103. 2,5. 30.104. 30. 30.105. 1,2. 30.106. 3:2. 30.107. 1. 30.108. 33 . 30.109. 2. 30.110. 4,8. 30.111. 24. 30.112. 27. 30.113. 2. 30.114. 15. 30.115. 2.

30.116. 6. 30.117. 24. 30.118. 6,5. 30.119. 3

2π . 30.120. 4. 30.121. 4.

30.122. 2. 30.123. 7,5. 30.124. 15. 30.125. 201 . 30.126. 240 o . 30.127.

5. 30.128. 3. 30.129. ( )2 1r + . 30.130. 1,5. 30.131. 3−π . 30.132.

334 −π . 30.133. 2. 30.134. ( )32 16π+ sm2. 30.135. 84 33π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ sm2.

30.136. 8. 30.137. 52. 30.138. ππ

−43,4 . 30.139. 3:1. 30.140. 75. 30.141. π

4 .

30.142. 6. 30.143. 8 sm2. 30.144. ( )4 3 3π − sm2. 30.145. ( )2π + sm2.

30.146. ( )16 8 3π − sm2.

329

§31

31.1. A 31.2. C 31.3. D 31.4. A 31.5. A 31.6. B 31.7. D 31.8. D 31.9. D 31.10. B 31.11. A 31.12. C 31.13. B 31.14. C 31.15. D 31.16. A 31.17. 20. 31.18. 7. 31.19. 36. 31.20. 33. 31.21. 8. 31.22. 45 o . 31.23. 30 o . 31.24. 60 o . 31.25. 120 o . 31.26. 120 o . 31.27. 60 o . 31.28. 12. 31.29. 39. 31.30. 30. 31.31. 30 o . 31.32. 7. 31.33. 14. 31.34. 7. 31.35. 60 o . 31.36. 10. 31.37. 15. 31.38. 8. 31.39. 10. 31.40. 14. 31.41. 18. 31.42. 16. 31.43. 10. 31.44. 24. 31.45. 6. 31.46. 5. 31.47. 10. 31.48. 24. 31.49. 14. 31.50. 13. 31.51. 5. 31.52. 96. 31.53. 27. 31.54. 48. 31.55. 18. 31.56. 8. 31.57. 13.

§32

32.1. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 32.2. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 32.3. B 32.4. A 32.5. D 32.6. C 32.7. A 32.8. A 32.9. C 32.10. B 32.11. C 32.12. D 32.13. C 32.14. D 32.15. A 32.16. D 32.17. C 32.18. A 32.19. B 32.20. D 32.21. A 32.22. C 32.23. A 32.24. D 32.25. D 32.26. D 32.27. C 32.28. B 32.29. D 32.30. A 32.31. A 32.32. C 32.33. B 32.34. B 32.35. D 32.36. C 32.37. D 32.38. D 32.39. C 32.40. C 32.41. A 32.42. D 32.43. B 32.44. C 32.45. B 32.46. A 32.47. C 32.48. D 32.49. B 32.50. D 32.51. A 32.52. B 32.53. B 32.55. B 32.56. A 32.57. 18. 32.58. 370 . 32.59. 96. 32.60. 40. 32.61. 14. 32.62. 32.

32.63. 512 . 32.64. 5. 32.65. 13. 32.66. 10. 32.67. 1416. 32.68. 11,25. 32.69. 60. 32.70. 780. 32.71. 5. 32.72. 188. 32.73. 70. 32.74. 300. 32.75. 12. 32.76. 16. 32.77. 288. 32.78. 82. 32.79. 48. 32.80. 48. 32.81. 30. 32.82. 2 . 32.83. 24. 32.84. 108. 32.85. 72. 32.86. 192. 32.87. 9. 32.88. 72. 32.89. 60. 32.90. 3. 32.91. 88. 32.92. 48. 32.93. 2. 32.94. 15. 32.95. 2400. 32.96. 522. 32.97. 38 .

32.98. 60. 32.99. 18. 32.100. 66 . 32.101. 0,108 l.

§33

33.1. 1) B, 2) A, 3) D, 4) C. 33.2. C 33.3. A 33.4. D 33.5. B 33.6. B 33.7. D 33.8. B 33.9. B 33.10. D 33.11. C 33.12. D 33.13. B 33.14. A 33.15. D 33.16. B 33.17. D 33.18. A 33.19. A 33.20. C 33.21. B 33.22. D 33.23. D 33.24. A 33.25. B 33.26. C 33.27. B 33.28. D 33.29. D 33.30. C 33.31. A 33.32. D 33.33. C 33.34. B 33.35. A 33.36. C 33.37. B 33.38. D 33.39. A 33.40. C

330

33.41. 10. 33.42. 10. 33.43. 5. 33.44. 4. 33.45. 75. 33.46. 48. 33.47. 18. 33.48. 3144 . 33.49. 54. 33.50. 36. 33.51. 48. 33.52. 6. 33.53. 14. 33.54. 24. 33.55. 18. 33.56. 33. 33.57. 32. 33.58. 64. 33.59. 32. 33.60. 15. 33.61. 15. 33.62. 33. 33.63. 360. 33.64. 3. 33.65. 50. 33.66. 12. 33.67. 26. 33.68. ( )2 2 2+ sm2. 33.69. ( )8 4 3+

sm2. 33.70. ( )48 3 2+ sm2. 33.71. ( )32 3 3 6 3+ + sm2. 33.72. ( )25 6 34

+

sm2. 33.73. 24 sm2. 33.74. 72. 33.75. 117. 33.76. 1. 33.77. 236 . 33.78.

16,5. 33.79. 2,5. 33.80. 36 . 33.81. 345 . 33.82. 3,75. 33.83. 288.

33.84. 32 . 33.85. 6686 . 33.86. 4,5. 33.87. 18. 33.88. 72. 33.89.

54. 33.90. 5. 33.91. 32 . 33.92. 135. 33.93. 144. 33.94. 219 .

33.95. 7. 33.96. 30. 33.97 2. 33.98 36. 33.99 6 . 33.100. 1324901

.

33.101. 6. 33.102. 2. 33.103. 32,2. 33.104. 7,6. 33.105. 252. 33.106. 12. 33.107. 48. 33.108. 6. 33.109. 20. 33.110. 4. 33.111. 18. 33.112. 900. 33.113. 15. 33.114. 30. 33.115. 72. 33.116. 6. 33.117. 12. 33.118. 14. 33.119. 23 . 33.120. 216. 33.121. 24. 33.122. 42. 33.123. 40. 33.124. 60.

§34

34.1. B 34.2. C 34.3. A 34.4. B 34.5. A 34.6. C 34.7. B 34.8. A 34.9. D 34.10. B 34.11. A 34.12. D 34.13. C 34.14. A 34.15. A 34.16. C 34.17. B 34.18. C 34.19. C 34.20. B 34.21. C 34.22. A 34.23. C 34.24. B 34.25. A 34.26. A 34.27. D 34.28. C 34.29. B 34.30. B 34.31. B 34.32. C 34.33. A 34.34. B 34.35. D 34.36. B 34.37. B 34.38. B 34.39. C 34.40. B 34.41. B 34.42. D 34.43. B 34.44. A 34.45. B 34.46. C 34.47. A 34.48. D 34.49. A 34.50. A 34.51. 36. 34.52. 6. 34.53. 5. 34.54. 56. 34.55. π30 . 34.56. 6.

34.57. 2. 34.58. 32 . 34.59. 3

5. 34.60. π15 . 34.61. π240 . 34.62. 500.

34.63. 50. 34.64. π15 . 34.65. 2. 34.66. 2. 34.67. 3

2π . 34.68. 156.

34.69. 3,9. 34.70. 62,5. 34.71. 30 o . 34.72. 6 sm. 34.73. 6 sm. 34.74. 40. 34.75. π25 . 34.76. π27 . 34.77. 21. 34.78. 5. 34.79. 60 o . 34.80. 2. 34.81. π4 . 34.82. π3 . 34.83. 12.

331

$35

35.1. 1) D, 2) A, 3) D, 4) B. 35.2. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B, 5) B, 6) A. 35.3. 1) B, 2) D. 35.4. B. 35.5. D 35.6. 1) A, 2) D. 35.7. 1) B, 2) D. 35.8. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 35.9. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 35.10. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D. 35.11. 1) C, 2) D. 35.12. C. 35.13. A. 35.14. 1) A, 2) B. 35.15. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C, 5) B; 6) D. 35.16. 1) A, 2) B, 3) D, 4) B. 35.17. 1) C, 2) A, 3) B, 4) A. 35.18. 1) B, 2) C, 3) C, 4) A. 35.19 1) C, 2) A, 3) B, 4) A. 35.20. 1) B, 2) C. 35.21. 1) D, 2) A. 35.22. B. 35.23. C. 35.24. A. 35.25. D. 35.26. 1) C, 2) A, 3) C, 4) D. 35.27. 1) A, 2) B. 35.28. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 35.29. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 35.30. C. 35.31. B. 35.32. 1) A, 2) B. 35.33. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D. 35.34. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 35.35. 1) C, 2) D. 35.36. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 35.37. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A.

$36

36.1. D. 36.2. C. 36.3.D. 36.4. 1) B, 2) A. 36.5. 1) B, 2) C. 36.6. 1) D, 2) C. 36.7.B. 36.8. C. 36.9. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A, 5) A, 6) A. 36.10. C. 36.11. D. 36.12. 1) B, 2) A, 3) D, 4) D. 36.13. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 36.14. A. 36.15. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C. 36.16. 1) D, 2) B, 3) A, 4) A. 36.17. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 36.18. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 36.19. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A, 5) D, 6) A. 36.20. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A, 5) C, 6) D. 36.21. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 36.22. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C. 36.23. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 36.24. 1) B, 2) D. 36.25. 1) A, 2) B. 36.26. 1) A, 2) C, 3) B, 4) D, 5) A, 6) B. 36.27. B. 36.28. 1) A, 2) B. 36.29. B. 36.30. B. 36.31. 1) B, 2) A. 36.32. 1) A, 2) D. 36.33. 1) A, 2) B. 36.34. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D, 5) A, 6) C. 36.35. 1) D, 2) A. 36.36. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D, 5) D, 6) C. 36.37. 1) A, 2) B.

§37

37.1. 1) C, 2) B, 3) D, 4) A. 37.2. 1) B, 2) A, 3) B, 4) D. 37.3. 1) B, 2) A. 37.4. 1) B, 2) D. 37.5. 1) A, 2) C. 37.6. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A. 37.7. 1) D, 2) B, 3) A, 4) D. 37.8. 1) B, 2) A. 37.9. 1) D, 2) A. 37.10. 1) B, 2) D.

§38

38.1. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 38.2. 1) D, 2) A. 38.3. 1) D, 2) A, 3) B, 4) A. 38.4. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A, 5) D, 6) B, 7) A, 8) C. 38.5. 1) A, 2) B, 3) D, 4) B, 5) C, 6) D, 7) B, 8) D. 38.6. 1) D, 2) A, 3) B, 4) D. 38.7. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A. 38.8. 1) A, 2) B, 3) C, 4) B. 38.9. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B, 5) B, 6) D. 38.10. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C. 38.11. A. 38.12. D. 38.13. B. 38.14. B. 38.15. B. 38.16. D. 38.17. B. 38.18. 1) A, 2) C, 3) B, 4) D. 38.19. A. 38.20. B. 38.21. 1) D, 2) B,

332

3) C, 4) C. 38.22. 1) A, 2) B. 38.23. 1) D, 2) C. 38.24. 1) D, 2) C. 38.25. 1) A, 2) B, 3) D, 4) A. 38.26. 1) A, 2) B. 38.27. B. 38.28. C. 38.29. B. 38.30. 1) A, 2) C, 3) D, 4) B. 38.31. C. 38.32. A. 38.33. B. 38.34. C. 38.35. A. 38.36. C. 38.37. A. 38.38. D. 38.39. A. 38.40. B. 38.41. D.

cjmfUjt!ojnvTfcjt!qbtvyfcj!bileTi #1

1. D 2. C 3. A 4. A 5. D 6. B 7. D 8. C 9. D 10. D 11. A 12. B 13. B 14. D 15. A 16. C 17. C 18. D 19. B 20. C 21. B 22. A 23. D 24. B 25. A 26. B 27. B 28. D 29. C 30. B 31. 7854. 32. 30− o 33. 1. 34. ] [ ] [∞−−∞ ;22; U . 35. 6 km/sT; 18 km/sT.

36. 20. 37. 9. 38. 334 −π . 39. 3 ;4 ;2 =−== cba . 40. -2

bileTi #2

1. C 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. A 10. C 11. C 12. B 13. C 14. B 15. C 16. D 17. B 18. B 19. B 20. B 21. C 22. B 23. D 24. B 25. C 26. D 27. D 28. B 29. D 30. A

31. 104. 32. 6π

34. ] [ ] [71;31;71 +−− U . 35. 16 wT; 26 wT da 40 wm. 36.

12 2 1+

. 37. π75 . 38. 312 . 39. 3 ;4 −== cb . 40. ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 1;

21 .

bileTi #3

1. B 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B 11. D 12. A 13. B 14. C 15. B 16. B 17. B 18. C 19. A 20. B 21. B 22. D 23. C 24. B 25. D 26. B 27. C 28. C 29. C 30. B 31. 3; 8. 32. cosα 33. ] [2;5− . 34. [ ]1;2 . 35. 18 km/sT; 36 km/sT. 36. 24.

37. 60. 38. 21. 39. 0 ;2 =−= cb . 40. 3 sT.

bileTi #4

1. B 2. B 3. A 4. C 5. A 6. A 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. C 13. A 14. C 15. B 16. B 17. D 18. C 19. B 20. D 21. A 22. C 23. D 24. D 25. B 26. C 27. A 28. B 29. B 30. A

333

31. 97. 32. kππ 22+ ; ( ) kk ππ

+− +

61 1 . 33. [ [∞;5 . 34. ] [0;1− . 35. 60 km/sT;

72 km/sT. 36. 3,75. 37. π48 . 38. 48. 39. 1 ;3 == cb . 40. 3; -1.

334

!!!!!!!s a c n o b a r o m a s a l a

I. a l g e b r a

!Semoklebuli gamravlebis formulebi

1. ( )( )bababa +−=− 22; 2. ( ) ( )2233 babababa ++−=− ;

3. ( ) ( )2233 babababa +−+=+ ; 4. ( ) 222 2 bababa +±=± ;

5. ( ) 32233 33 babbaaba ±+±=± ;

6. ( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ ;

!proporciebi

, ; .

a c a b c da d b cb d b d

± ±= ⋅ = ⋅ = Tu maSin

!procenti

1. a ricxvis %k tolia 100ak

-is.

2. ricxvi, romlis %k aris b , tolia k

b 100⋅ -is.

3. a ricxvi aris b ricxvis ba nawili, anu 100⋅

ba

procenti.

!xarisxi

1. ;;... Nnaaaan

n ∈⋅=−

sadac

jer

321 2. 0;10 ≠= aa .

3. .0,1≠∈=− aNn

aa n

n , 4. , 0.m

n mna a m Z n N a= ∈ ∈ > da

moqmedebebi xarisxebze

1. ( ) ;nnn baab = 2. 0, ≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b

ba

ba

n

nn

Tu ;

3. nmnm aaa +=⋅ ; 4.

nmn

ma

aa −= ; 5. ( ) mnnm aa = .

335

kvadratuli gantolebis amonaxsnTa formula

Tu maSin da ,040 22 ≥−==++ acbDcbxax

a) a

acbbx2

42

2,1−±−

= ; b) a

ackkx −±−=

2

2,1 , Tu kb 2= .

!vietis Teorema

Tu 0221 =++ cbxaxxx aris da gantolebis amonaxsnebi, maSin

. , 2121 acxx

abxx =⋅−=+ !

!

kvadratuli samwevris daSla wrfiv mamravlebad

Tu cbxaxxx ++221 aris da kvadratuli samwevris amonaxsnebi,

maSin ( )( )212 xxxxacbxax −−=++ .

ariTmetikuli progresia

;)1(1 dnaan −+=

;2

)1(2,2

)1(2,2

11 nndaSndnaSnaaS nnn

nn

−−=

−+=

+=

;1121 +−− +==+=+ knknn aaaaaa K2

11 +− += nn

naaa .

geometriuli progresia

;11

−= nn qbb

( );1,1

,1

)1( 11 ≠−−

=−−

= qq

bqbSqqbS n

n

n

n

;1121 +−− ⋅==⋅=⋅ knknn bbbbbb K .112

+− ⋅= nnn bbb

!trigonometria

kuTxis gradusuli zomis gadayvana radianebSi da piriqiT

,180

πα°°

=a °=° 180

παa (α - radianuli zomaa, a - gradusi)!

!!

336

!!

trigonometriul funqciaTa niSnebi

!!!!!!!!!sinusi kosinusi tangensi

trigonometriuli funqciebis mniSvnelobaTa cxrili

zogierTi argumentisaTvis

α 000 =

o306=

π

o454=

π

o603=

π

o902=

π

0180=π

02702

3=

π

αsin 0 21

22

23 1 0 -1

αcos 1

23

22 2

1 0 -1 0

αtg 0 33 1 3 - 0 -

!!

damokidebuleba erTidaimave argumentis

trigonometriul funqciebs Soris

1. ;1cossin 22 =+ αα 2. ;cossin

ααα =tg 3. ;

sincos

ααα =ctg

4. ;1=αα ctgtg 5. ;cos

11 22

αα =+ tg 6. .

sin11 2

2

αα =+ ctg !

337

ori argumentis jamisa da sxvaobis

trigonometriuli funqciebi

1. ( )sin sin cos cos sin ;α β α β α β+ = +

2. ( ) ;sincoscossinsin βαβαβα −=−

3. ( ) ;sinsincoscoscos βαβαβα −=+

4. ( ) ;sinsincoscoscos βαβαβα +=−

5. ( ) ;1 βα

βαβαtgtgtgtgtg −

+=+

6. ( ) .1 βα

βαβαtgtg

tgtgtg +

−=−

ormagi argumentis trigonometriuli funqciebi

1. ;cossin22sin ααα = 2. ;sincos2cos 22 ααα −=

3. ;1

22 2ααα

tgtgtg

−=

!

naxevari argumentis trigonometriuli funqciebi

1. ;2cos1

2sin2 αα −

= 2. ;2cos1

2cos2 αα +

=

trigonometriul funqciaTa gamosaxva naxevari

argumentis tangensiT

1. ;

21

22

sin2 α

α

αtg

tg

+= 2. ;

21

21

cos2

2

α

α

αtg

tg

+

−= 3. .

21

22

2 α

α

αtg

tgtg

−=

! Seqceuli trigonometriuli funqciebi

1. ;22

sin,arcsin ππ≤≤−== yyxxy da Tu

2. ;cos,arccos π≤≤== yyxxy 0 da Tu

3. ;22

, ππ<<−== ytgyxarctgxy da Tu

338

4. ( ) xx arcsinarcsin −=− ; 5. ( ) xx arccosarccos −=− π ;

6. ( ) arctgxxarctg −=− ;

umartivesi trigonometriul gantolebaTa amonaxsnebi

1. ( ) ;,arcsin1,1sin Zaxaax k ∈+−=≤= κπκ ;

kerZod: a) ;,0sin Zxx ∈== κπκ , b) ;22

,1sin Zxx ∈+== κπκπ ,

g) ;22

,1sin Zxx ∈+−=−= κπκπ ,

2. ;,2arccos,1cos Zaxaax ∈+±=≤= κπκ ;

kerZod: a) ;2

,0cos Zxx ∈+== κπκπ , b) ;2,1cos Zxx ∈== κπκ ,

g) .2,1cos Zxx ∈+=−= κπκπ ,

3. Zarctgaxatgx ∈+== κπκ ,, ; 4. Zarcctgaxactgx ∈+== κπκ ,, .!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

logariTmebi

1. ( )0,0,1,log >>≠=⇔= baabaxb xa ; 2. ba ba =log

; 3. 01log =a ;

4. 1log =aa ; 5. ( ) 2121 logloglog xxxx aaa +=⋅ ; 6. 212

1 logloglog xxxx

aaa −= ;

7. xkx ak

a loglog = ; 8. xk

x aak log1log = ; 9. bkmb a

mak loglog = ;

10.

abb

c

ca log

loglog = ; 11.a

bb

a log1log = ; 12.

yx

yx

b

b

a

a

loglog

loglog

= ; 13. ab cc ba loglog = .

kombinatorika

1. ;1;! 0 == PnPn 2. ( ) ( )11 +−−==−

mnnnP

PA

mn

nmn L ;

3. ;1 ; 01 == nn AnA 4. )!(!

!mnm

nPAC

m

mnm

n −== ;

5. ;mnn

mn CC −= nCn =

1; 10 =nC .

339

II. geometria

planimetria

samkuTxedi

samkuTxedis gverdebia a, b, c; simaRleebi _ ah , bh , ch ;

medianebi _ am , bm , cm ; Siga kuTxeebi _ A, B, C; biseqtrisebi _

al , bl , cl ; r_Caxazuli wris radiusi; R_Semoxazuli wris radiusi;

−++

=2

cbap naxevarperimetri; S_samkuTxedis farTobi

1. °=∠+∠+∠ 180CBA .

2. ,cba >+ bca >+ , acb >+ ,

3. ;aaa mlh ≤≤ ;bbb mlh ≤≤ .ccc mlh ≤≤

4. .))()((2 cpbpappa

ha −−−=

5. a) cbbcla ′′−=2, b)

cc

bb ′

=′

.

samkuTxedis farTobi

1. ;21

ahaS ⋅= ;21

bhbS ⋅= chcS ⋅=21

.

2. ))()(( cpbpappS −−−= (heronis formula).

3. ;sin21 CabS = AbcS sin

21

= ; BacS sin21

= .

4. prS ⋅= (formula marTebulia wrewirze Semoxazuli nebismieri

mravalkuTxedisaTvis).

5. R

abcS4

= .

6. Tu 111~ CBAABC ∆∆ , maSin:

2 2 22

2 2 2 21 11 1 1 1 1 1

.ABC a b c

A B C a b c

S h l mABS A B h l m

= = = =

sinusebis Teorema

RC

cB

bA

a 2sinsinsin

=== .

!

340

kosinusebis Teorema

Abccba cos 2222 −+=

!marTkuTxa samkuTxedi

1) damokidebuleba marTkuTxa samkuTxedis elementebs Soris:

a) 2 2 2, , .c c c c ch a b a c a b c b= ⋅ = ⋅ = ⋅

b) 222 cba =+ (piTagoras Teorema).

g) Aca sin⋅= ;… Bcb sin⋅= ; tgAba ⋅= ; a Bca cos⋅= ; Acb cos⋅= ; ctgBba ⋅= .

d) ; .2 2

a b c cr p c R+ −= = − =

e) .21 abS =

1. 30°-iani kuTxis mqone marTkuTxa samkuTxedi:

a) ,2ca = b) .

23cb =

!

wesieri samkuTxedi

1. raRa 32;3 33 == ( −3a samkuTxedis gverdia).

.2;33 rR

aR ==

oTxkuTxedebi

oTxkuTxedis farTobi diagonalebisa da maT Soris

kuTxis sinusis namravlis naxevris tolia.

paralelogrami

ABCD paralelogramSi, aAB = , bAD = ;

1) ( ).2 2222 baBDAC +=+

2) .; 12 bhSahS ==

3) αsinabS = . 4)αsin

21 hhS ⋅= .

341

rombi

rombSi 1d da 2d diagonalebia, a _gverdi:

1) .4 222

21 add =+

2) .ahS =

3) .sin2 AaS =

4) 2121 ddS ⋅= .

lwbesbuj!

1. raRa 2 ;2 44 == ( −4a kvadratis gverdia),

2. .2;24 rRaR == 3. .

22;

24 Rrar == 4. .4;2; 222 rSRSaS ===

!trapecia

ABCD trapeciaSi aAD = , bBC = , hBK = .

1. .2

hbaS ⋅+

=

2. roca .2

;2

; baKDbaAKCDAB +=

−==

3. Tu tolferda trapeciaSi diagonalebi urTierTperpendikularulia,

maSin simaRle SuamonakveTis tolia

2bah +

= da 2hS = .

!wesieri eqvskuTxedi. wesieri n -kuTxedi

1. 3

2, 66raRa == ( −6a wesieri eqvskuTxedis gverdia).

2. .32;233,

233 2

226 rSRS

aS ===

3. wesieri n -kuTxedis centraluri kuTxe −°

n360

is tolia.

4. wesieri n -kuTxedis kuTxe ( )n

n °⋅− 1802-is tolia.'

342

5. wesieri n -kuTxedis gverdi n

Ran°

=180sin2 , sadac R

Semoxazuli wrewiris radiusia.

6. wesier n -kuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi n

Rr °=

180cos .'

7. mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jami aris 180° ( )2−n , sadac n

gverdebis ricxvia.

8. mravalkuTxedis wverosTan TiTo-TiTod aRebuli gare kuTxeebis

jami 360°-is tolia.

9. n -kuTxedSi SeiZleba ( )

23−nn

diagonalis gavleba.

wrewiri, wre

1. Caxazuli kuTxe izomeba im rkalis naxevriT, romelsac igi

eyrdnoba.

2. gadamkveT qordebs Soris kuTxe 1 ; 2

AMD AD BC∪ ∪⎛ ⎞∠ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (nax. I)

3. mkveTebs Soris kuTxe 1 . 2

BAC BC DE∪ ∪⎛ ⎞∠ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (nax. II)

4. mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe izomeba maT Soris

moTavsebuli rkalis naxevriT.

5. mxebebs Soris moTavsebuli kuTxe

∪−°=∠ BDCBAC 180 .

6. wrewiris sigrZis Sefardeba diametrTan yvela wrewirisaTvis

erTi da igive ricxvia. es ricxvi aRiniSneba π asoTi. ,14,3≈π

nax. I

nax. II

343

π=Rc

2. wrewiris sigrZe Rc π2= ; wris farTobi

2RS π= .

7. S seqtoris farTobia, R _seqtoris radiusi, l –rkalis

sigrZe, centraluri kuTxe _α radiani, α221 RS = , αRl = .

8. segmentis farTobi ( )21 sin2

S R α α= ± .

!proporciuli monakveTebi wreSi

MDCMMBAM ⋅=⋅ (nax. I);

AD mxebis monakveTia. ACABAD ⋅=2

(nax. III).

AEACADAB ⋅=⋅ (nax. II).

!stereometria

1. marTkuTxa paralelepipedis diagonalis kvadrati udris misi

sami ganzomilebis kvadratebis jams.

2. prizmis gverdiTi zedapiris farTobi perpendikularuli kveTis

perimetris gverdiT wiboze namravlis tolia.

3. marTi prizmis gverdiTi zedapiris farTobi udris fuZis

perimetris namravls simaRleze.

4. wesieri piramidis gverdiTi zedapiris farTobi apoTemis da

fuZis perimetris namravlis naxevris tolia.

5. marTkuTxa paralelepipedis moculoba misi samive ganzomilebis

namravlis tolia.

6. paralelepipedis moculoba fuZis farTobisa da simaRlis

namravlis tolia.

7. piramidis moculoba ,31 QhV = sadac Q fuZis farTobia, h

simaRle.

8. cilindris simaRlea H, fuZis wrewiris radiusia R, gverdiTi

zedapiris farTobia S, sruli zedapiris farTobi T, moculoba

_ V, maSin ,2 RHS π= ),(2 RHRT += π .2 HRV π=

9. konusis simaRlea H, fuZis wrewiris radiusi_R, gverdiTi

zedapiris farTobi S, sruli zedapiris farTobi_T, moculoba_V, msaxveli _l, maSin ,RlS π= ),( RlRT += π

.31 2HRV π=

nax III

344

10. sferos zedapiris farTobi ,4 2RS π= sadac R sferos radiusia.

11. birTvis moculoba .34 3RV π=

homoTetia

homoTetia O centriT da k koeficientiT aris sibrtyis Tavis Tavis Tavze asaxva, roca yovel X wertils Seesabameba iseTi X ′ wertili, rom Tu 0>k , maSin X ′ ekuTvnis OX sxivs da

OXkXO ⋅=′ ; xolo Tu 0<k , maSin O aris X-sa da X ′ wertilebs Soris da OXkXO ⋅=′ || .

manZili or wertils Soris

Tu mocemulia wertilebi ),,( 1111 zyxM da ),,( 2222 zyxM , maSin

212

212

21221 )()()( zzyyxxMM −+−+−= .

geometriuli gardaqmnebi: ),(),( yxMyxM ′′′→

1) paraleluri gadatana );( banr

veqtoriT: ,axx +=′ byy +=′ ;

2) simetria abscisTa RerZis mimarT: xx =′ , ;yy −=′

3) simetria ordinatTa RerZis mimarT: xx −=′ , yy =′ ;

4) simetria koordinatTa saTavis mimarT: xx −=′ , yy −=′ ;

5) homoTetia k koeficientiT koordinatTa saTavis mimarT: kxx =′ ,

kyy =′ ;

6) mobruneba koordinatTa saTavis garSemo 2π kuTxiT: yx −=′ ,

xy =′ .

kompiuteruli uzrunvelyofa c. canava

e. zariZe

ibeWdeba avtoris mier warmodgenili saxiT

gadaeca warmoebas 11.12.2008. xelmowerilia dasabeWdad

18.12.2008 qaRaldis zoma 60×84 1/8. pirobiTi nabeWdi Tabaxi 21,25.

tiraJi 300 egz.

sagamomcemlo saxli `teqnikuri universiteti~, Tbilisi,

kostavas 77

Verba voland scripta manent

345

s a r C e v i

winasityvaoba ...................................................................................... 3

$ 1. ariTmetikuli gamoTvlebi .............. 5

$ 2. procentebi, ricxvis nawilis gamoTvla.

proporciebi ........................................................................... 26

$ 3. racionaluri gamosaxulebebis gamartiveba

da gamoTvla ........................................................................... 40

$ 4. iracionaluri gamosaxulebebis

gamartiveba da gamoTvla .......................................... 47

$ 5. wrfivi gantolebebi da utolo-

bebi ................................................................................................... 55

$ 6. wrfiv utolobaTa sistemebi ................................ 60

$ 7. kvadratuli da masze dayvanadi ganto-

lebebi. utolobebi ................................................ 63

$ 8. iracionaluri gantolebebi da

utolobebi ............................................................................... 71

$ 9. gantolebaTa sistemebi ............................ 74

$ 10. modulis Semcveli wrfivi gantolebebi

da utolobebi ................................................................... 78

$ 11. modulis Semcveli kvadratuli

gantolebebi da utolobebi ............................... 80

$ 12. algebruli amocanebi ............................................. 82

$ 13. mimdevroba. ariTmetikuli

progresia…………… ......................................................... 102

$ 14. geometriuli progresia ................................ 108

$ 15. logariTmis Semcveli gamosaxulebebis

gamoTvla. maCvenebliani da logariTmu-

li gantolebebi. gantolebaTa siste-

mebi ................................................................................................ 112

$ 16. maCvenebliani da logariTmuli

utolobebi .......................................................................... 120

$ 17. trigonometriul funqciaTa mniSvnelo-

bebis gamoTvla ................................................................. 124

$ 18. trigonometriul gamosaxulebaTa

gamoTvla ........................................ 129

$ 19. trigonometriuli gantolebebi ..................... 139

$ 20. funqciis gansazRvris are, mniSvnelo-

346

baTa simravle. funqciis udidesi da

umciresi mniSvnelobebi .......................................... 143

$ 21. koordinatTa sistemebi. funqcia.

funqciis grafiki ........................................................ 148

$ 22. kombinatorika .......................................................... 162

$ 23. kuTxeebi ...................................................................................... 166

$ 24. samkuTxedebi .......................................................................... 169

$ 25. mravalkuTxedebi ................................................ 181

$ 26. kvadrati. marTkuTxedi ................................................ 183

$ 27. paralelogrami ................................................................... 190

$ 28. rombi .............................................................................................. 197

$ 29. trapecia ..................................................................................... 201

$ 30. wrewiri. wre ........................................................................... 207

$ 31. wrfe da sibrtye ................................................................ 221

$ 32. kubi. paralelepipedi. prizma .............................. 228

$ 33. piramida ...................................................................................... 239

$ 34. cilindri. konusi. birTvi ....................................... 250

$ 35. veqtorebi ................................................................................. 258

$ 36. figuraTa gardaqmna ...................................................... 267

$ 37 monacemTa analizi da statistika .................. 278

$ 38. xdomilobis albaToba ............................................... 281

bileTis nimuSebi TviTSemowmebisaTvis ................. 294

pasuxebi ...................................................................................................... 316

sacnobaro masala ........................................................................... 334

t/!upgvsjb-!w/!ypxpmbwb! o/!nbxbsbtwjmj-!h/!hjpshb[f-!b ... · 6 ras soris sxvaoba iyos minimaluri....

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