ANNISA PUSPITASARI2014340010TEKNOLOGI PANGANUNIVERSITAS SAHID

MATRIKSMatriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Operasi Dasar Matriks :1. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak yang sama.

representasi dekoratifnya sebagai berikut

2. Perkalian SkalarPerkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama

danmakacontoh perhitungan :

Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh :merupakan matriks berordo 32Matriks IdentitasMatriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

Matriks Transpose (At)Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh :

maka matriks transposenya (At) adalahContoh contoh :1. Kesamaan Dua Matriks

Tentukan nilai 2x-y+5z!Jawab:makamakamaka

2.3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel4.Determinan Suatu MatriksUntuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :1. Misalnya terdapat matriks yang berordo 22 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah

2. Metode SarrusMisalnya terdapat maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut

Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah(mulai dari a e i, b f g, dan c d h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah(mulai dari c e g, a f h, dan b d i) maka akan menjadi

Sebagai contohnyamaka tentukan

3. Metode Ekspansi Baris dan KolomJika diketahui maka untuk menentukan determian dari matriks P

Matriks SingularMatriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.Sebagai contoh

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!Jawab:

vsInvers MatriksMisalnya diketahui maka invers dari matriks A

Sifat-sifat dari invers suatu matriks :

Persamaan MatriksTentukan X matriks dari persamaan: Jika diketahui matriks A.X=B

Jika diketahui matriks X.A=B

FUNGSI KOMPOSISIMatematika memang sangat luas, rasanya telah begitu banyak materi kita ulas seperti pembuktian rumus volume bola, cara mencari KPK dan FPB, rumus Phytagoras, aljabar, integral, dll. Tetapi masih banyak juga materi dalam matematika yang belum kita bahas, dan pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Fungsi Komposisi. Apa itu Fungsi Komposisi?Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = 2x + 3 dengan domainnya adalah bilangan real, dan g(x) = (x 1) dengan domain x 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g f dapat digambarkan sebagai berikut.

Mula-mula xmerupakan anggota domain f yang selanjutnya dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Dari f(x) dipetakan kembali oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian fungsi komposisi g f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, selanjutnya bayangannya dipetakan kembali oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi komposisi berikut.Diketahui f dan g dua fungsi sembarang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g f didefinisikan sebagai (g f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.Perhatikan contoh berikut :1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x2 + 6x 7, maka g(x) = Penyelesaian :(f o g)(x) = 2x2 + 6x 7 f(g(x)) = 2x2 + 6x 72(g(x)) + 3 = 2x2 + 6x 72 (g(x)) = 2x2 + 6x 10jadi g(x) = x2 + 3x 52. Fungsi g: R R ditentukan oleh g(x) = x2 3x + 1 dan f: R R sehingga (f o g)(x) = 2x2 6x 1maka f(x) = .Penyelesaian :(f o g)(x) = 2x2 6x 1f (g(x)) = 2x2 6x 1f ( x2 3x + 1) = 2x2 6x 1 = 2 ( x2 3x + 1 ) 3Jadi f (x) = 2x 33. Jika f(x) = x2 + 3x dan g(x) = x 12, maka nilai (f o g)(8) adalah .Penyelesaian :g(8) = 8 12 = 4jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)2 + 3(-4) = 16 12 = 44. Diketahui (f o g)(x) = x2 + 3x + 4 dan g(x) = 4x 5. Nilai dari f(3) adalah .Penyelesaian :(f o g)(x) = x2 + 3x + 4f (g(x)) = x2 + 3x + 4Untuk g(x) = 3 maka 4x 5 = 3 4x = 8 x = 2Karena f (g(x)) = x2 + 3x + 4 dan untuk g(x) = 3 didapat x = 2Sehingga :f (3) = 22 + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

INVERS FUNGSI KOMPOSISIMisalnya diketahui fungsi f : AB dan g : BC. Jika h adalah fungsi komposisi dari f ataug.denganmaka invers fungsi h adalahdenganjadi jikamaka.Sedikit penjelasan mengenai fungsi komposisi ini mudah-mudahan dapat membantu sobat semua dalam proses belajar matematika lebih dalam. Janganlah cepat menyerah dalam mempelajari sesuatu termasuk matematika, karena semakin kita tahu maka akan semakin menyenangkan dijalani, karena matematika itu menyenangkan.

LOGIKA MATEMATIKASebelum kita masuk ke logika matematika, kita harus tahu dulu definisi logika tersebut yang nantinya sangat berperan dalam pemahaman logika matematika sendiri. Logika berasal dari kata Yunani kuno (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika mempunyai beberapa manfaat, yaitu : Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan, serta kesesatan. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian. Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa ) Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.Setelah kita mengetahui tentang Logika kita akan lebih mudah dalam mempelajari logika matematika. Berikut ini hal-hal yang menyangkut logika matematika.1. PernyataanYang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.contoh :65 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar )6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah )gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka )Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif )2. Ingkaran Pernyataan ( negasi )Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah Tidak benar bahwa didepan pernyataan yang diingkar dinotasikan ~.contoh :pernyataan B : Sepeda motor beroda duanegasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua

3. Pernyataan Majemuk3.1. Konjungsisuatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung dan sehingga membentuk pernyataan majemuk p dan q yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk konjungsi.Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya.3.2. Disjungsisuatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung atau sehingga membentuk pernyataan majemuk p atau q yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk disjungsi.sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya.3.3. Implikasisuatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung jika maka sehingga membentuk pernyataan majemuk jikap maka q yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk implikasi.sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya.3.4. Biimplikasisuatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung jika dan hanya jika sehingga membentuk pernyataan majemuk p jika dan hanya jika q yang disebut dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan

Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk biimplikasi.sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi.

4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk

Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan-pernyataan majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan disamping.Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal.5. Konvers, Invers dan KontraposisiDari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut

6. Pernyataan BerkuantorPernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam yaitu :6.1 Kuantor UniversalDalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap).contoh : x R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0.6.2 Kuantor EksistensialDalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian )contoh : x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1.7. Ingkaran dari pernyataan berkuantorIngkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.contoh :p : beberapa siswa SMA rajin belajar~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar8. Penarikan KesimpulanPenarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu :8.1 Modus ponenspremis 1 : p qpremis 2 : p ( modus ponens)__________________Kesimpulan: qArti Modus Ponens adalah jika diketahui p q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q. sebagai contoh :premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senangpremis 2 : bapak datang__________________Kesimpulan: Adik senang8.2 Modus Tollenspremis 1 : p qpremis 2 :~q ( modus tollens)__________________Kesimpulan: ~pModus Tollens berarti jika diketahu p q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p. sebagai contoh :premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payungpremis 2 : Adik tidak memakai payung___________________Kesimpulan : Hari tidak hujan8.3 Silogismepremis 1 : pqpremis 2 : q r ( silogisme) _________________Kesimpulan: p rSilogisme berarti jika diketahu p q dan qr, maka bisa ditarik kesimpulan pr. sebagai contoh :Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.__________________________________________________Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.Catatan Tambahan:Hukum de Morgan:(p q) (p V q)(p V q) (p q)Ekuivalensi implikasi:(p q) (p V q)

PELUANG MATEMATIKA1. PermutasiPermutasi adalah penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan, untuk menghitung banyak permutasi n unsur jika disusun berdasarkan k unsur k kita dapat menggunakan rumus :

dimana kn.contoh :1.Di kantor pusat sebuah perusahaan besar terdapat 3 orang staff yang dicalonkan untuk mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang dapat dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?jawab :Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

2.Misalkan terdapat 5 angka 3,4,5,6, dan 7. Tentukan berapa banyak bilangan lebih dari 400 yang dapat dibentuk untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit dan tidak berulang?Jawab : karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama dapat diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7 karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi diisi 4 angka dan 3 angka jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angkaPermutasi Unsur-Unsur yang SamaJumlah suatu permutasi jika terdapat unsur-unsur yang sama dapat dihitung menggunakan rumus :

contoh :Tentukan berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA tanpa perulangan?Jawab :kata MATEMATIKA terdapat 10 unsur dimana unsur yang sama terdapat pada M=2 T=2 A=3, sehingga kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA tanpa adanya pengualangan yaitu terdapat 10!/2! 2! 3!=151.200 cara.Permutasi SiklisPermutasi Siklis merupakan permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Rumus yang biasa digunakan untuk menghitung permutasi siklis yaitu (n-1)!contoh :1. Terdapat 5 orang calon presiden di tahun 2014 sedang berdiskusi, mereka duduk disebuah meja berbentuk lingkaran. Tentukan terdapat berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?Jawab :Cara untuk menyusun kursi para calon presiden yaitu (5-1)!=4!=4x3x2x1=24 cara2. Jika terdapat 5 buah kelereng yang disusun melingkar, berapa banyak cara susunan melingkar dari kelereng tersebut tanpa adanya pengulangan?Jawab :Cara untuk menyusun kelereng secara melingkar yaitu (5-1)!/2=24/2=12 (permutasi objek-objek yang sejenis).2. KombinasiKombinasi sama halnya dengan permutasi, yang menjadikan mereka berbeda yaitu pada permutasi memperhatikan urutan sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. Misalnya saja terdapat 5 buah baju dengan warna yang berbeda yaitu merah, kuning, hijau, biru, hitam ketika kita diminta memilih 3 dari 5 baju yang tersedia tersebut. Ketika kita memilih baju warna hitam, merah dan kuning akan sama halnya jika kita memilih biru, merah dan kuning. Disinilah perbedaan kombinasi dan permutasi, untuk menentukan kombinasi kita dapat menggunakan rumus :

contoh :1. Seorang koki telah menyiapkan 20 jenis masakan untuk menjamu pemilik restaurant tempat dia bekerja yang akan berkunjung. Dari 20 menu dia akan memilih 11 menu yang akan disajikan, tentukan terdapat berapa banyak cara pemilihan menu yang akan digunakan untuk menjamu pemilih restaurant? (tidak memperhatikan urutan)Jawab :

2. Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?jawab:Ketika 60 orang tersebut saling berjabat tangan maka satu orang akan berjabat tangan dengan 59 orang. Akan tetapi jika A berjabat tangan dengan B akan sama halnya jika B berjabat tangan dengan A maka harus dibagi 2 sehingga jumlah jabat tangannya yaitu 5960/2=1770 jabat tangan.

Persamaan linearPersamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan bukanlah persamaan linear.ContohContoh sistem persamaan linear dua variabel:,,

Sistem Persamaan Linear Dua VariabelPersamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.Bentuk Umum

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.Bentuk standar

di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.Bentuk titik potong gradienSumbu-y

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.Sumbu-x

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.-Sistem persamaan linear lebih dari dua variabelSebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a1 adalah koefisien untuk variabel pertama, x1, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.