1. Jelaskan dan beri contoh fungsi densitas peluang2. Jelaskan dan beri contoh fungsi survival3. Fungsi hazard dan sebutkan macam macam model fungsi hazard dan beri contohnyaJawab :1. Fungsi Densitas (Probability Density Function)adalah peluang suatu individu akan meninggal pada interval yang pendek () dan dinotasikan dengan f(t). Fungsi densitas dapat diestimasikan melalui :

2. Fungsi Survivaladalah peluang suatu individu dapat bertahan hidup lebih dari waktu t, dan biasanya dinotasikan dengan S(t). Fungsi survival dapat diestimasikan melalui proporsi individu yang hidup dari t atau

3. Fungsi HazardFungsi hazard/laju hazard (hazard rate) adalah peluang bersyarat dari kerusakan dalam interval waktu t hingga , yakni bahwa tidak ada kerusakan pada saat ,

Fungsi kumulatif hazard adalah peluang bersyarat dari kerusakan dalam interval 0 hingga ,

Kegunaan fungsi hazard :1.Mengestimasi waktu terjadinya kerusakan (atau waktu antar kerusakan)2.Mengestimasi waktu jumlah kru yang akan berperan dalam memperbaiki sitem3.Mengestimasi ketersediaan system4.Mengestimasi biaya garansi5.Mengkaji kerusakan terhadap waktu

Fungsi hazard adalah fungsi terhadap waktu.

Beberapa macam fungsi hazard :1.Hazard Konstan Banyak komponen elektronik seperti transistor, resistor, sirkuit, dan kapasitor,diketahui bahwa komponen tersebut mempunyai laju kerusakan yang konstan. Laju kerusakannya terjadi di akhir periode kerusakan awal.

Fungsi Hazard konstant, ditulis sebagai

maka

Contoh:Sebuah perusahaan melakukan Uji Hidup Operasional (Operational Life Test/OLT) pada kapasitor keramik dan menemukan bahwa kapasitor tersebut mempunyai laju kerusakan konstant (dinyatakan dalam fungsi hazard) dengan nilai kerusakan/jam. Berapakah reliabilitas sebuah kapasitor setelah digunakan selama setahun (104 jam)? Untuk menerima kiriman kapasitor tersebut, konsumen memutuskan untuk melakukan tes selama 5000 jam dari 2000 sampel kapasitor. Berapakah kapasitor yang diduga rusak selama test?Jawaban :

2.Hazard Linier PositifKomponen menunjukkan laju kerusakan linier positif ketika komponen tersebut aus.Komponen mesin seperti : tangkai poros putar, katup, dan roda sisir, diketahui secara umum mempunyai laju kerusakan linier positif.Laju kerusakan linier positif dinyatakan, dimana konstan.P.d.f, f(t), adalah distribusi Rayleigh, dengan:

Contoh :Rolling resistance adalah suatu ukuran dari banyaknya energi yang hilang dalam ban ketika menahan dikarenakan arah yang berlawanan (gaya gesek). Sebuah perusahaan ban memperkenalkan material baru yang secara signifikan tidak hanya mampu mengembangkan rolling resistance tetapi juga menambah laju penggunaan dari ban. Analisa uji laboratorium dari 150 ban menunjukkan bahwa laju kerusakan dari ban baru adalah linier positif terhadap waktu dengan . Tentukan reliabilitas dari ban setelah penggunaan satu tahun. Berapa rata-rata waktu untuk mengganti ban karena aus?Jawanban :Reliabilitas setelah satu tahun penggunaan :

Rata-rata waktu untuk mengganti ban adalah

3.Model WeibullBentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresentasikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang terkenal dengan model weibull: untuk dan bernilai positif. diberikan,

dimana : = parameter skala(sifat umur produk/char. life) = parameter bentuk bentuk distribusijika = 1 maka adalah density eksponensial,jika = 2 maka adalah distribusi Rayleigh,jika = 3,43938 maka akan mendekati distribusi normal.

Fungsi kerusakan kumulatif dan reliabilitas : , dengan t > 0., dengan t > 0.Ketika y > 1, laju hazard adalah fungsi monoton naik tanpa batas atas yang menggambarkan wilayah aus dari kurva bathub. Ketika laju kerusakan menjadi konstan dan ketika , fungsi hazard adalah fungsi menurun.Rata-rata dan varians dari distribusi weibull adalah

Dimana adalah fungsi Gamma,

dan

Contoh :Metode prot digunakan untuk menentukan batas lelah (fatigue limit) dari baja batangan. Uji tersebut menggunakan level tekanan berjenjang yang diterapkan prosedur daur ulang hingga dinyatakan gagal. Jumlah gagal daur ulang yang diamati mengikuti distribusi weibull dengan = 250 (pengukuran pada daur ulang) dan a) Berapa reliabilitas batangan pada daur ulang? Berapa fungsi hazard yang bersesuaian?b) Berapa waktu hidup duga (expected life dalam daur ulang) untuk batangan baja jenis ini?Jawaban : a) Reliabilitas dari model weibull,

dan

b) Nilai hidup duga dari batangan baja jenis ini,Jadi, harapan hidup dari baja batangan mencapai kali daur ulang.

4. Model NormalP.d.f normal:

Kumulatif dan reliabilitas normal komponenP.d.f. untuk normal baku: dengan Fungsi distribusi kumulatif,

Jika kerusakan suatu komponen , maka suatu komponen akan rusak pada saat dinyatakan,

Fungsi Hazard,

P.d.f Normal

Contoh:Sebuah komponen mempunyai waktu kerusakan yang berdistribusi normal dengan putaran, dan putaran. Tentukan fungsi realiabilitas dan fungsi hazard pada 38000 putaran!Jawaban :

5. Model Lognormal

6. Model Gamma

7. Model Beta