Tugas 3 Matematika AktuariaNama : Ignatius Danny Pattirajawane

NIM : 016338119

Soal:

1. Dana F mengakumulasi pada tingkat laju bunga . Dana G mengakumulasi pada

tingkat laju bunga . adalah jumlah dana F pada saat , dan adalah

jumlah dana G pada saat , dengan . Misalkan , hitung ,

yaitu nilai saat ketika maksimum.

2. Diketahui , untuk . Hitung 3. Seseorang mendepositokan dana sebesar 100 ke rekening sebuah bank dengan tingkat bunga

nominal terkonversi setengah tahunan.Pada saat yang sama, dia mendepositokan lagi dana sebesar 100 ke rekening bank lain

dengan laju bunga . Setelah 99 bulan, nilai masing-masing rekening adalah 300. Hitung

.4. Rudi meminjam dana sebesar 10.000 selama 10 tahun dengan suku bunga efektif pertahun

dan mengakumulasi sejumlah yang diperlukan untuk mengembalikan pinjaman dengan menggunakan sinking fund. Ia melakukan 10 kali pembayaran sebesar X pada akhir setiap tahun, yang memasukkan bunga pinjaman dengan suku bunga efektif 8%. Jika suku bunga efektif pinjaman pertahun, maka total pembayaran tahunan akan menjadi 1,5 X. Hitung .

Jawab:

1. Soal di atas merupakan kasus nilai akumulasi dengan suku bunga kontinu bervariasi yang dinyatakan dengan rumus:

AV t 2

AV t 1

=e∫t1

t2

δ t dt

Di mana AV t1 dan AV t2

adalah masing-masing nilai akumulasi pada t 1 dan t 2, δ t merupakan suku bunga

kontinu yang untuk dana F nilainya adalah δ t=1

1+t sedangkan untuk dan G, δ t=

4 t

1+2 t2 . Ambil t 1=0

dan t 2=t , maka nilai akumulasi masing-masing dana pada waktu t mulai dari waktu 0 adalah:

Untuk dana F

AV t=F ( t )=F (0 ) e∫

0

t1

1+tdt

=F (0 ) eln ( 1+t )|t

0=F (0 ) [1+t ]

Untuk dana G:

AV t=G ( t )=G (0 ) e∫0

t4 t

1+2 t 2 dt

=G (0 ) eln ( 1+2 t2 )|t

0=G (0 ) [1+2 t2 ]

H ( t )=F ( t )−G (t )=F (0 ) [ 1+ t ]−G (0 ) [1+2 t2 ]

H (t ) maksimum adalah saat H ( t )'=0, dan karena F (0 )=G (0 ) kita memperoleh:

H ( t )'=F ( t )'−G (t )'=F (0 )−G (0 ) 4 t=0

1−4 t=0 → t=14

Jadi H (t ) maksimum saat t mencapai ¼ tahun atau 3 bulan.

2. Menggunakan rumus AV t 2

AV t 1

=e∫t1

t2

δ t dt

Di mana t 2=4 ,t 1=0, ambil AV 0=A dan AV 4=S4| maka

S4|=A e∫

0

44+t

1+8 t+2t 2 dt

=A e12∫0

4d (1+8 t+2 t2)

1+8 t+2t 2

=A e12

ln (1+8 t+2 t 2)|40=A√65

3. 99 bulan adalah 8 tahun 3 bulan. Dana dengan tingkat bunga nominal terkonversi setengah tahun telah mengalami pembungaan sebanyak 2 ×8=16 kali, sehingga persamaannya dengan

dana suku bunga kontinu setelah 814

tahun adalah:

100(1+ i (2 )

2)

16

=100 e8,25δ=300

100 e8,25 δ=300 → δ= ln 38,25

=0,133

100(1+ i (2 )

2)

16

=300→ i (2 )=0,142

i (2 )−δ=0,142−0,133=0,009

4. Pinjaman 10000 selama 10 tahun dengan bunga i, memiliki future value sebesar

FV=10000(1+i)10

Nilai tersebut harus dilunasi dengan sinking fund denganbunga 8 % per tahun dengan pembayaran X di akhir. Jadi

10000(1+i)10=X S̈10|0,08

Sedangkan bila bunga pinjamannya 2 i, maka pembayarannya menjadi 1,5 X , sehingga

10000(1+2 i)10=1,5 X S̈10|0,08

Bila kedua persamaan dibandingkan maka diperoleh

( 1+2i1+i

)10

=1,5 → 1+2i=1,04 (1+ i )→ 0,96 i=0,04

i=0,040,96

=0,042