título: una experiencia de adaptaciÓn al eees de los estudios de … · 2006-12-19 ·...
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Título: UNA EXPERIENCIA DE ADAPTACIÓN AL EEES DE LOS ESTUDIOS DE ESTADÍSTICA EN LA INGENIERÍA. Autores: J. Asín, C. A. Campos, M. D. Berrade y C. Galé C.P.S. de Ingenieros. Depto. Métodos Estadísticos. Universidad de Zaragoza. E-mail: [email protected]
RESUMEN
El propósito de este trabajo consiste en servir de orientación en el aprendizaje en las técnicas y
metodologías estadísticas aplicadas en el ámbito de las diferentes titulaciones de Ingeniería. Los
objetivos que se consideran están auspiciados por las implicaciones que conlleva el Espacio Europeo de
Educación Superior. Se han analizado las competencias que ha de desarrollar un ingeniero y las
necesidades formativas que de ellas se derivan y, en consecuencia, se han establecido los conocimientos
que deben figurar en el programa docente. Se presenta el análisis pormenorizado llevado a cabo en el
análisis de casos con datos reales.
Palabras clave: Experimentación. Métodos estadísticos. Proceso de Poisson.
11 II nnttrr oodduucccciióónn
Este trabajo surge con el propósito de servir de orientación en el aprendizaje de las técnicas y
metodologías estadísticas aplicadas en el ámbito de las diferentes titulaciones de Ingeniería, teniendo en
cuenta otros trabajos conocidos, como por ejemplo II-EEES (2005) y Miralles (2005). Ha sido
desarrollado a lo largo del curso 2005-2006, a partir de la convocatoria de la Universidad de Zaragoza
para proyectos de innovación docente. Sus objetivos están auspiciados por las implicaciones que
conlleva el Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) en la docencia, las cuales nos conducen a
la reflexión acerca de cuáles son las actividades que habrán de llevarse a cabo con los estudiantes de
Estadística. La ejecución de este trabajo, se ha llevado a cabo en distintas reuniones para la
planificación y seguimiento del trabajo a realizar. El contenido de las reuniones se resume en el
siguiente esquema:
1ª.- Debate acerca de las competencias que ha de desarrollar un ingeniero y necesidades formativas que
de ellas se derivan. La idea esencial de partida nos llevó a la búsqueda por Internet y posterior análisis
de las asignaturas de Estadística orientadas a las aplicaciones en la Ingeniería, que se presentan en
diversas universidades nacionales y extranjeras.
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2ª.- Análisis de la información obtenida por los miembros del equipo. A partir de este punto se tomó
constancia de los conocimientos insoslayables que deben figurar en el programa de las enseñanzas.
3ª.- Reflexiones sobre la metodología de la docencia, que nos llevaron a reafirmarnos en la necesidad
de profundizar en el análisis de datos reales y el desarrollo de casos prácticos que propicien una mayor
implicación del estudiante, mediante la metodología de aprendizaje basado en proyectos.
4ª.- Conclusiones finales: se perfilaron los contenidos y se establecieron líneas de trabajo futuras.
Destacamos, entre otras reflexiones, la potencia que llevan consigo la lógica y el razonamiento
estadístico que se han manifestado como indispensables más allá incluso de su utilidad en el ejercicio
de las labores propiamente ingenieriles.
Entre las actividades formuladas se encontraban algunas de carácter transversal referidas a lo que
supone para el proceso enseñanza-aprendizaje el EEES; concretamente nos planteamos la necesidad de
una formación por parte del ICE, facilitando la documentación disponible, y también mediante la
asistencia a un seminario de introducción al EEES. En particular, hay que atender a cuestiones como las
siguientes:
• Qué supone el EEES en las titulaciones de Ingeniería, en disciplinas básicas y a la vez con un
fuerte carácter tecnológico, como es el caso de la Estadística cursada en las Escuelas de
Ingenieros, y también en la especialización que suponen actualmente las asignaturas optativas.
• Qué universidades en Europa se pueden considerar como referencia.
• Qué supone en relación con la renovación de contenidos, de técnicas de enseñanza, de
actividades de los alumnos, de la acción tutorial,…
• Qué oportunidades de mejora ofrece.
• Cuáles son los principales inconvenientes para profesores y alumnos.
Con la finalidad de adquirir un conocimiento indispensable, los componentes del equipo asistimos y
participamos en algunos Cursos de formación impartidos por el ICE de la Universidad de Zaragoza
acerca de estudios de experiencias de trabajo en equipo docente y coordinación curricular en una
titulación. En particular nos centramos en
• Aprendizaje basado en trabajos (Project Based Learning) en la formación de Ingenieros.
• Elaboración de la Guía docente en el marco de la convergencia: cómo planificar nuestras clases
para el aprendizaje autónomo y el trabajo por competencias.
• Introducción de competencias socio-profesionales en los estudios de grado.
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• Experiencias con metodologías activas y cooperativas centradas en los estudiantes en las
titulaciones de Ingeniería.
• Innovación docente potenciada por la tecnología en el proceso de convergencia europea.
• El diseño de la enseñanza para un aprendizaje autónomo.
Los cursos anteriores nos han servido, entre otras cosas, de ayuda para realizar la guía docente de
asignaturas de Estadística aplicadas a la Ingeniería, mediante la selección de objetivos y contenidos de
acuerdo con las competencias a desarrollar por los alumnos en su actividad profesional.
22 TTaarr eeaass eessppeeccííff iiccaass ssoobbrr ee llooss ccoonntteenniiddooss
En primer lugar, realizamos una reflexión sobre la situación actual de la Estadística aplicada en la
Ingeniería, con un análisis curricular que incluyera la opinión de alumnos de cursos recientes y de
expertos externos, y juzgarla a la luz de la reforma que supone el EEES, con el objetivo de proponer
acciones de mejora y adaptación. Además también nos planteamos analizar las líneas que debería seguir
un egresado para obtener una especialización en Técnicas Estadísticas para la Calidad y Fiabilidad, bien
desde asignaturas optativas o libre elección, bien con Proyectos de Fin de Carrera, cursos específicos de
formación continua, cursos de doctorado o máster, o incluso actividades de I+D+i. Se trataba de valorar
la situación actual en el Centro Politécnico Superior de Ingenieros y en el entorno europeo.
Las actividades concretas que hemos desarrollado durante el trabajo se concretan en los siguientes
apartados:
1) En el desarrollo durante el curso 2005-2006, se ha dirigido y tutelado la asimilación por los
alumnos de todos los temas, orientando el aprendizaje, la participación y la reflexión.
2) Identificación y análisis del contexto: alumnos, centro, asignatura y competencias. Aquí se han
considerado las características de las asignaturas básicas de Estadística que deben cursarse
previamente a los contenidos específicos de control de calidad y fiabilidad, junto con los
contenidos que deben ser conocidos por lo estudiantes.
3) Especificación de los conocimientos que deben ser aprendidos por el alumno, según nuestra
experiencia, y la de otras universidades, teniendo presente las exigencias de la industria y las
normativas de calidad y fiabilidad.
a. Seis Sigma constituye en la actualidad la estrategia de control de calidad más moderna y
con un mayor ámbito de aplicación, siendo demandada la estadística aplicada en la
industria y la consultoría.
b. Son conocimientos básicos para el control estadístico de la calidad tanto los gráficos de
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Shewhart como los análisis de capacidad. Esta metodología se exige en las distintas
normativas de calidad.
4) Recopilación de casos con datos reales de libros y revistas especializadas y resolución y
desarrollo, como aspecto fundamental, de abundantes casos prácticos. Se ha tratado de
identificar aquellos aspectos que hayan de ser resaltados a los alumnos y sobre los cuales éstos
hayan de realizar un mayor esfuerzo. Asimismo se han analizado aquellos conceptos que bajo
nuestra experiencia ofrecerán mayores dificultades al estudiante con el propósito de reflexionar
acerca de los medios más adecuados para reducirlas, tales como bibliografía adecuada, ejercicios
ilustrativos o el diseño de unas prácticas con ordenador que ayuden a solventar los problemas de
comprensión.
5) Realización de simulaciones con ordenador para analizar la capacidad de las técnicas enseñadas y
aprendidas.
6) Actualización de las prácticas orientadas hacia la metodología Seis Sigma con el programa
estadístico MINITAB. Esta metodología enlaza con la demanda más reciente de la estadística
aplicada en la industria y la consultoría. Seis Sigma constituye en la actualidad la estrategia de
control de calidad más moderna y con un mayor ámbito de aplicación. Asimismo MINITAB es el
programa con un mayor número de adeptos para implementar Seis Sigma. En este sentido,
aspecto muy importante desde el punto de vista pedagógico, esta aplicación ha mejorado en sus
últimas versiones, las presentaciones gráficas de las técnicas que consideramos:
• las herramientas que miden la capacidad del proceso,
• las características que definen un modelo de tiempo de fallo,
• herramientas de ajuste de distribuciones,
• curvas de supervivencia y tasa de fallo.
7) Actualización bibliográfica y búsqueda de direcciones de Internet relacionadas con la Estadística
para la Calidad y la Fiabilidad.
3 Análisis de competencias
El análisis de las competencias y habilidades nos ha llevado a estudiar cómo es la actividad
profesional que desempeña un ingeniero. Tal análisis se sintetiza en las actividades relacionadas con
los perfiles profesionales que se enumeran a continuación:
Perfil 1: La ingeniería de fabricación tanto en el diseño de productos como en el control de procesos.
Perfil 2: La gestión de la calidad en las Administraciones Públicas.
Perfil 3: La docencia y la investigación.
Perfil 4: I+D+i
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Perfil 5: Economía empresarial y consultoría.
Perfil 6: Actividad en el sector servicios.
De los perfiles anteriores se infiere que ha de procurarse el desarrollo de las siguientes habilidades:
• El trabajo en un equipo de carácter multidisciplinar.
• El trabajo en un contexto internacional.
• Las relaciones interpersonales.
• El razonamiento crítico.
• El aprendizaje autónomo que capacite al estudiante para realizar un aprendizaje continuo a lo
largo de su vida profesional.
• Desarrollo de la creatividad.
• Conocimiento de otras culturas y costumbres, ampliamente reconocidas, en el control del proceso
(Japón, USA, Gran Bretaña, ...).
• Mejora de la calidad en el trabajo, fomentando la iniciativa personal y el espíritu emprendedor en
el desempeño de actividades.
• Motivación por el trabajo bien hecho.
• Organización y planificación de tareas.
• Desarrollo del pensamiento y razonamiento cuantitativo.
• Capacidad de abstracción, pasando de problemas particulares a una casuística más general.
• Habilidad para la comunicación oral y escrita así como de transmitir de forma sintética la
información de relevancia.
• Capacidad para leer y comprender textos científicos en inglés.
• Desarrollar el razonamiento formal para abordar la resolución de problemas.
• Capacidad de dirigir todas las habilidades anteriormente mencionadas hacia el ámbito de la toma
de decisiones.
A continuación se especifican las competencias específicas que habrá de adquirir el estudiante:
• Identificación de la información relevante para resolver un problema.
• Organización de la información
• Capacidad de aplicación y de modelos preexistentes así como de elaboración, construcción y
validación de otros nuevos para el tratamiento de problemas novedosos.
• Utilización correcta y crítica del software (MINITAB, SPSS, ...).
• Análisis y representación gráfica de datos experimentales.
• Conocimiento, identificación y selección de fuentes estadísticas.
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• Capacidad para detectar y modelar la presencia de “ruido” y en general factores de naturaleza
aleatoria en problemas reales de Calidad y Fiabilidad.
• Interpretación de resultados a partir de modelos estadísticos.
• Identificación de relaciones o asociaciones entre factores asociados a un problema.
• Elaboración de previsiones y escenarios.
• Extracción de conclusiones y redacción de informes.
4 PPrr ooggrr aammaacciióónn ddoocceennttee
Esta programación sirve al propósito de aproximar al alumno al razonamiento estadístico y a su
papel en la mejora de la calidad, poniendo énfasis en su uso para identificar las causas que añaden
variabilidad a un proceso de fabricación y en el posterior control de éste. Se busca abrir la
estadística para beneficio tanto de la fabricación como en la producción de sistemas más fiables.
La asignatura de Control Estadístico de la Calidad y Fiabilidad es de segundo ciclo de Ingeniería y
los alumnos matriculados han cursado previamente asignaturas de Informática, Matemáticas y
Estadística. La bibliografía básica empleada se ha centrado en dos libros muy difundidos en el
ámbito internacional, Lewis (1995) y Montgomery (2004).
En consonancia con la programación docente empleada en otras universidades, y de acuerdo con los
contenidos de los textos internacionalmente más acreditados relacionados con Estadística para la
Calidad y Fiabilidad, hemos cubierto los aspectos siguientes, que han sido planificados para un total
aproximado de unos 5 créditos europeos (ECTS):
• Introducción a la calidad y productividad.
• Control estadístico del proceso.
• Construcción de los gráficos de control por variables (Shewhart).
• Gráficos de control por atributos.
• Técnicas de control CUSUM y EWMA.
• Métodos de muestreo de aceptación de lotes. Curvas características.
• Evaluación de la fiabilidad de sistemas. Análisis estadístico de tiempos de fallo.
• Estimaciones no paramétricas.
• Modelos de fiabilidad paramétricos y estimaciones asociadas.
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Hemos realizado el estudio y análisis de toda la temática en sesiones conjuntas de análisis y discusión,
a lo largo de un cuatrimestre; ello incluía el análisis pormenorizado de casos prácticos y su tratamiento
con programas de ordenador, principalmente MINITAB (pero también EXCEL y MATLAB). Cada
alumno realiza un trabajo de redacción de análisis y conclusiones, que posteriormente entrega para su
evaluación. Un alumno, especialmente motivado, ha realizado un amplio trabajo de redacción con un
programa de tratamiento de textos científicos y técnicos de alto nivel, denominado TeX.
5 Valoración del trabajo realizado
El valor primordial del trabajo llevado a cabo consiste en que nos ha permitido, a partir de la propia
práctica y actividad de los participantes, analizar y profundizar sobre aquellos aspectos más básicos en
la planificación de los procesos de enseñanza-aprendizaje. El desarrollo del curso nos ha orientado
hacia la profundización mayor en unos aspectos u otros, dependiendo de las necesidades e intereses de
los alumnos.
Destaca asimismo la actualización de contenidos que nos hemos visto impelidos a llevar cabo,
analizando los programas académicos de otras universidades nacionales y extranjeras.
Se han planteado nuevas vías de trabajo con los estudiantes que complementan a la clase magistral
como son la búsqueda bibliográfica, uso de recursos procedentes de Internet o la ejecución de trabajos
en grupo.
A partir de las actividades que hemos desarrollado se ha puesto de manifiesto el extraordinario valor de
la tutoría individualizada. Su puesta en práctica para el seguimiento de la adquisición de conocimientos
y habilidades por el alumno a lo largo del curso, ha resultado satisfactoria para ambas partes.
Hemos constatado que los alumnos valoran positivamente el aprendizaje basado en casos particulares,
problemas y trabajos así como las prácticas de Laboratorio, centradas en aplicaciones informáticas de
prestigio internacional bien reconocido.
La valoración de la acción de la enseñanza tutorada que resulta ser bien apreciada por los alumnos que
a su vez han desarrollado una participación activa y motivada. Fruto de esta actitud, los estudiantes han
aprendido a resumir, interpretar y representar la información contenida en un conjunto de datos
provenientes de un proceso de fabricación. Asimismo quedan capacitados para el análisis y depuración
de los resultados numéricos y, en general, para aplicar el pensamiento estadístico en su actividad
profesional.
El alumno distingue los fundamentos conceptuales y prácticos tanto de la metodología Seis Sigma
como de los procedimientos de análisis de Fiabilidad. Asimila las diferencias entre las distintas técnicas
y entiende bajo qué condiciones ha de aplicar cada una de ellas, dependiendo del objetivo del estudio y
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del tipo de información disponible y de las conclusiones que se hayan de derivar.
Las actividades llevadas a cabo potencian el desarrollo de las estrategias convenientes en la
interpretación de datos provenientes de ensayos de fiabilidad. Así, los estudiantes alcanzan niveles de
conocimiento que les permiten identificar modelos probabilísticos de fallo, evaluar la fiabilidad de
sistemas, comparar distintas configuraciones o cuantificar el efecto que produce inducir cambios
controlados en factores que afectan a la fiabilidad de un sistema.
6 MM eettooddoollooggííaa ddoocceennttee
La metodología se ha basado en análisis pormenorizado de casos reales. Esta metodología ha sido
empleada a fondo por su obvio interés en Ingeniería y ha sido fructífera: los alumnos ha trabajado con
datos reales obtenidos tanto de la bibliografía y como de Internet.
Se han llevado a cabo abundantes análisis de datos con programas de ordenador. Se han empleado los
programas de uso general EXCEL y MATLAB. Se ha empleado el programa estadístico MINITAB,
con el que se han realizado diversas prácticas en aula de ordenadores, referentes a los diversos aspectos
de Control Estadístico del Proceso, principalmente técnicas clásicas bien conocidas: de gráficos de
Shewhart por variables medidas en escala continua y gráficos de control para variables discretas
(denominados gráficos de control por atributos).
Hemos introducido las técnicas de Calidad más innovadoras, como los gráficos denominados CUSUM
y EWMA, que han sido construidos y programados por los alumnos con gran eficacia, que fue
posteriormente contrastada con el programa MINITAB.
Los alumnos han aprendido a diseñar planes de inspección de calidad de lotes por muestreo por
atributos con las correspondientes Normas Internacionales de Calidad más usuales, y han podido
construir las correspondientes curvas características con ayuda del programa MATLAB, que ya
conocían de antemano, para cada plan y han comparado planes equivalentes por muestreo doble.
Cada alumno ha realizado un trabajo escrito de su trabajo personal global y por apartados de la
asignatura. En general este trabajo ha ido más allá de los requerimientos exigidos para la superación de
una asignatura, lo que puede ser interpretado en el sentido del interés despertado en los alumnos la
metodología empleada. Uno de los alumnos ha realizado además su trabajo en un procesador de textos
científico y técnico de alta calidad y de difusión internacional: ello permitirá su ampliación en cursos
futuros.
7 CCoonncclluussiioonneess
Habría que destacar en primer lugar que este trabajo es aplicable a otras asignaturas de una titulación de
Ingeniería, que persigan alcanzar unos objetivos centrados en que los alumnos adquieran las siguientes
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capacidades
• Aplicar el conocimiento de matemáticas, ciencia e ingeniería.
• Diseñar y realizar experimentos así como analizar e interpretar datos.
• Diseñar un sistema, componente o proceso que deba cumplir ciertas necesidades o
requerimientos.
• Trabajar en equipos multidisciplinares.
• Detectar, identificar, formular y resolver problemas de ingeniería de producción.
• Conocer herramientas básicas que en la práctica se utilizan tanto en la etapa de diseño de
producto como en la de producción.
• Usar las técnicas, habilidades y herramientas modernas necesarias para la práctica de la
Ingeniería.
Otra conclusión reseñable es que hemos aprendido la importancia del trabajo tutorado con alumnos en
pequeños grupos. Los alumnos se involucran positivamente en la asignatura cuando es tutorada y
muestran un interés muy efectivo para extender y acrecentar sus aptitudes, han buscado y utilizado
bibliografía adecuada y han desarrollado sus capacidades para aprender nuevas técnicas y aplicarlas a
casos prácticos de interés en la Ingeniería. Se ha advertido cómo, bajo los auspicios del profesor, los
alumnos han dedicado una parte importante del tiempo en la búsqueda de la información que necesitan.
El trabajo que planteamos era ambicioso, por lo que como es natural, siempre quedan algunos temas
pendientes en la especialización en estos conocimientos: la planificación de una asignatura de máster, el
análisis y reorganización de un curso de tipo doctorado, el desarrollo de actividades de investigación,…
Esto, junto con las nuevas ideas que han surgido, por ejemplo de evaluación de carga de trabajo que
supone para los alumnos, o el desarrollo de prácticas de ordenador implementadas para un desarrollo
autónomo del alumno, hacen que se plantee la conveniencia de continuar con esta actividad dentro de
un próximo Trabajo.
APÉNDICE
Se desarrollan a continuación, como ilustración de la metodología de enseñanza-aprendizaje por
proyectos, dos aplicaciones llevadas a cabo con la participación activa de los alumnos en todos los
aspectos relevantes.
A1 Aplicación de un mooddeelloo ddee PPooiissssoonn
Se realizó una aplicación referente al estudio de un modelo estocástico de Poisson, muy frecuente e
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importante en la Ingeniería (por ejemplo el flujo de averías de un proceso de fabricación) de gran
importancia en Calidad y Fiabilidad. Todo el trabajo realizado es pues aplicable, con ligeras variantes,
en otros diferentes contextos donde sea de aplicación el proceso de Poisson.
La intensidad de tráfico de vehículos industriales es una importante característica en los estudios del
tráfico de una autopista. La observación periódica del tránsito de vehículos es la metodología adecuada
a tal finalidad. Considerado en su conjunto, el flujo de vehículos por una vía en las condiciones usuales
de funcionamiento es esencialmente un fenómeno aleatorio lo que indica que los métodos estadísticos
son una buena técnica para el estudio del tráfico de vehículos. Por otra parte, el flujo de vehículos
industriales condiciona grandemente el flujo global de una vía de comunicación y, por tanto, es de
interés su estudio separado del resto de vehículos en el tráfico de una vía.
Como una aplicación en este trabajo con los estudiantes bien involucrados, se utilizan métodos
estadísticos para el estudio de la intensidad de tráfico de vehículos industriales en un punto de una
autopista en la ronda Norte de Zaragoza en el sentido de circulación hacia el Oeste. El periodo
analizado corresponde al de máxima intensidad de tráfico de vehículos industriales, que ocurre
alrededor de mediodía, entre las 11 y las 13 horas de días laborables (lunes a viernes).
Se comentó y supuso homogeneidad del flujo de vehículos industriales en el tiempo, sin retenciones,
dentro del período analizado y que hay independencia estadística entre las variables aleatorias que
miden o cuentan el número de vehículos industriales que pasan por el punto elegido en intervalos de
tiempo distintos. Así se llegó a establecer que
!
)(})({
k
tektNP
kt λλ−== , ( ,...2,1,0=k )
donde }0),({ >ttN es un proceso de recuentos que representa el número de vehículos industriales que
pasaban por el punto considerado en el intervalo temporal ( t,0 ] y 0>λ es la intensidad del tráfico de
estos vehículos. El proceso de recuentos )(tN resulta ser un proceso de renovación, de modo que los
tiempos transcurridos entre ocurrencias consecutivas son variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas; este resultado ya lo conocían los estudiantes, aunque vino bien considerarlo
nuevamente.
Se indicó que }0),({ >ttN es una cadena de Markov (en tiempo continuo) y con espacio discreto de
estados, E = {0, 1, 2, 3, … }, de tal modo que únicamente se realizan transiciones del estado n al
estado n+1, donde n = 0, 1, 2, 3, ... Los detalles se pueden estudiar en Feller (1968) y Ross (1996).
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Se estableció el modelo para el tráfico de vehículos, se presentaron los datos experimentales obtenidos
y se realizó el ajuste estadístico del modelo teórico. Se comprobó que dicho ajuste es satisfactorio por
lo que se concluyó la validez del modelo propuesto. A continuación se datalla la información relevente
al caso.
Designamos a los instantes de paso por S1, S2, S3,... en tanto que el tiempo transcurrido entre pasos
consecutivos son T1, T2, T3,... de modo que S1=T1, S2=T1+T2, S3=T1+T2+T3, ... ,
Sn= T1+T2+…+Tn, ...
Se selecciona un origen de cómputo del tiempo y se designa mediante )(tN a la variable aleatoria que
indica el número de vehículos industriales que pasan por un punto determinado de la vía de
comunicación en el intervalo temporal (t,0 ], con 0>t cualquiera.
Se cumplen las siguiente relaciones que se analizaron en detalle:
}:max{)( tSntN n ≤=
)())((
a equivale )(
tSPntNP
tSntN
n
n
≤=≥≤≥
)()())(( 1 tSPtSPntNP nn ≤−≤== +
donde n = 1, 2, 3, ...
Se supuso que el flujo de vehículos industriales era estable y homogéneo, de modo que el número de
vehículos de este tipo que pasaran por un punto en intervalos de tiempo distintos eran independientes y
que en intervalos de tiempo muy pequeños no pasaban dos o más vehículos industriales
simultáneamente. Estas suposiciones se encontraron que eran realistas y sólo se incumplirían en casos
muy excepcionales (incidentes en la vía, controles de seguridad, paso de vehículos con preferencia
absoluta,...).
En concreto, con los alumnos se establecieron y consideraron la trascendencia, interés y significado de
los siguientes postulados, que llamábamos postulados de Poisson:
(P1) En el transcurso del tiempo, los incrementos de)(tN son unitarios.
(P2) La variable aleatoria )()( tNhtN −+ es independiente de },),({ 00 tttN ≤ para todo .0>h
(P3) Las variables aleatorias )()( 11 tNhtN −+ y )()( 22 tNhtN −+ están idénticamente distribuidas,
cualquiera que sea el valor de .0>h
Se explicaba y debatía la importancia y significado de los postulados indicados:
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- el postulado (P2) señala la independencia del número de vehículos industriales que pasan en el
intervalo ( htt +, ] de toda la información pasada referente al tráfico hasta el instante .t
- el postulado (P3) establece la estacionaridad u homogeneidad temporal del flujo de vehículos
industriales.
Todo ello siempre referido al periodo considerado, indicado previamente (de 11 a 13 horas). Es decir, el
proceso aleatorio que explica el flujo de vehículos por un punto, se renueva probabilísticamente: desde
cualquier instante en adelante, lo que suceda es independiente de lo que ha ocurrido previamente; esta
hipótesis es realista, porque de manera general, los vehículos circulan con un plan de ruta trazado sin
considerar las decisiones de los demás, es decir, sin coordinación y, en el sentido estadístico habitual,
de forma independiente.
El resultado siguiente es de gran importancia y así se les hace considerar a los alumnos interesados en
el estudio estadístico del flujo de tráfico y para su demostración, que es clásica, se les indican los libros
de Feller(1968) y Ross (1996), aunque los alumnos no siguieron dicha demostración en detalle.
Teorema. Si se cumplen los postulados (P1), (P2) y (P3) se concluye que existe un número real 0>λ
de modo que },0),({ >ttN es un proceso de Poisson con tasa.λ
Por tanto, los alumnos pueden obtener las propiedades del proceso de Poisson con tasa λ , que permite
establecer para el proceso del tráfico de vehículos industriales , },0),({ >ttN los resultados siguientes:
1.- La probabilidad de que en un intervalo temporal ( t,0 ] pasen k vehículos industriales es
!
)(})({
k
tektNP
kt λλ−== ,...2,1,0=k (1)
Por tanto, la probabilidad de que pase algún vehículo industrial en el intervalo (t,0 ] es la siguiente
}0)({11}0)({ =−=−=> − tNPetNP tλ (2)
Más aún, se tiene
!
)(})({
k
aekANP
ka λλ−== para ,...2 ,1 ,0=k (3)
dondeAes una unión finita de intervalos de tiempo disjuntos cuya duración total, ,a es la suma de
las duraciones de cada uno de los intervalos.
2.- La intensidad de tráfico es la tasaλ del proceso de Poisson, pues concretamente se cumple:
.
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λ==→ t
tNPt
}1)({lim
0 (4)
3.- En un intervalo de tiempo muy pequeño, no pasan dos o más vehículos industriales. Formalmente lo
indicábamos:
0}2)({
lim0
=≥→ t
tNPt
(5)
4.- En virtud de las propiedades de independencia y estacionariedad del proceso de Poisson
}0),({ >ttN se tiene la conclusión bien importante:
,!
)(})()({}),(|)()({ 00 k
hektNhtNPtttNktNhtNP
kh λλ−==−+=<=−+ (6)
para ... ,1 ,0=k
5.- Además la esperanza y varianza de la variable aleatoria )(tN eran conocidas por los alumnos:
))(())(( tNVarttNE == λ (7)
6.- El proceso de Poisson con tasa,λ },0),({ >ttN es un proceso markoviano y de renovación.
La función de renovación, de gran importancia en Fiabilidad, es
ttNEtm λ== ))(()(
7.- Además se les indicó a los estudiantes que el proceso de Poisson es el único proceso de
renovación cuya función de renovación es lineal.
Designábamos por nT a la variable aleatoria que indica el tiempo transcurrido entre los pasos de los
vehículos industriales consecutivos )1( −n -ésimo y n -ésimo, ,...2 ,1=n Los alumnos reflexionaron
sobre el hecho de que las variables ,...}2 ,1,{ =nTn son independientes con distribución exponencial
común, y con función de densidad de probabilidad:
tetf λλ −=)( 0>t (8)
8.- La ley fuerte de los grandes números, bien conocida por los estudiantes, aplicada al proceso de
Poisson establece que con probabilidad uno
λ=∞→ t
tNt
)(lim (9)
Por tanto, se podía estimar el parámetro intensidad de tráfico,λ , mediante el promedio del número de
vehículos industriales que pasan por un punto determinado de la vía de circulación durante el tiempo
empleado en las observaciones experimentales.
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Propiedad markoviana. El proceso de Poisson }0),({ >ttN cumple la propiedad markoviana
P(T>x+y | T>x)=P(T>y), que es equivalente a P(T>x+y) = P(T>x)P(T>y). Los estudiantes
reflexionan y comprenden rápidamente que la v.a. exponencial tiene la propiedad markoviana y que
además es la única v.a. continua que tiene dicha propiedad. Esta propiedad, no bien conocida y
recordada por los alumnos, tiene importantes implicaciones acerca de la Fiabilidad y la vida
residual de un componente o sistema.
Realización experimental llevada a efecto por los alumnos. Para realizar un contraste de validez
del modelo propuesto para el estudio del tráfico de vehículos industriales, se realizó la toma
experimental de datos. Durante los días 8, 9, 10 y 11 de noviembre de 2005 se contaron los
vehículos industriales que pasan por un punto fijo de la autopista Vasco-Aragonesa situado en la
ronda Norte de dicha autopista a su paso por Zaragoza en el sentido Este a Oeste. La experiencia se
realizó entre las 11 y las 13 horas de dichos días, que puede considerarse corresponden a las horas
de mayor circulación de dicha clase de vehículos y se consideraron 740 intervalos temporales de
duración común 15 segundos, que a efectos del análisis del ajuste del modelo es la unidad de
tiempo (es decir, 1u.t. = 15 segundos). Se observó el tráfico durante 740 intervalos de tiempo, y en
total se observó el paso de 2102 vehículos industriales. Los datos observados se recogen en la
columna correspondiente a las observaciones en la Tabla 1, donde también figuran las frecuencias
relativas correspondientes. Posteriormente, en la Tabla 2 se agrupan los datos de la cola de la
derecha en una clase correspondiente a 8 o más vehículos, para establecer mejor el cálculo de la
medida de discrepancia entre los valores observados y los valores esperados según el modelo.
Designábamos por )(tN el número de vehículos industriales que pasan por el punto considerado en el
intervalo temporal ( t,0 ] y supongamos que }0),({ >ttN cumple los postulados de Poisson indicados
previamente. Designábamos por X la v.a. que indica el número de vehículos industriales que pasan en
un intervalo de 15 segundos. Por la ley fuerte de los grandes números para el proceso de Poisson,
establecida en (9), se puede estimar el valor de la tasa del proceso de Poisson por el valor medio
muestral
( ) 21022.84
740
N observadoX
tiempo totalλ∧
= = = = vehículos industriales/u.t.
Se recordaba a los alumnos (aunque lo deberían saber) que este estimador del parámetroλ es
óptimo, porque es centrado, máximo-verosímil y eficiente, ya que su varianza coincide con el valor
de la cota de Fréchet-Cramér-Rao.
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La probabilidad teórica según el modelo de Poisson considerado, se calcula por medio de la
ecuación
!
84.2)( 84.2
kekXPp
k
k−=== para ... ,2 ,1 ,0=k (10)
que representa la probabilidad de observar el paso de k vehículos industriales en durante un intervalo
unitario de 15 segundos, si la intensidad de tráfico de tales vehículos es de 84.2=λ vehículos
industriales/u.t. Las probabilidades obtenidas se recogieron en la columna correspondiente a las
observaciones en la Tabla 1, donde figuran además las frecuencias absolutas esperadas según el modelo
propuesto. Dicha columna resulta de multiplicar la columna de las probabilidades teóricas por 740, que
es el número de intervalos observados o tamaño muestral.
Los alumnos aprendieron a discriminar si la discrepancia entre los datos de la columnas de frecuencias
observadas experimentalmente y la de frecuencias esperadas según el modelo teórico son debidas al
azar, y por tanto no son significativas, o por el contrario son significativas y, en tal caso, el modelo
teórico no es válido.
El contraste de bondad de ajuste de la2χ fue aplicado agrupando los datos de la cola derecha, lo que
finalmente conduce por el método habitual, al cálculo del valor ,40.112 =obsχ como se aprecia en la
Tabla 2, mientras que el valor crítico del contraste a un nivel de significación del 5% y con 7 grados de
libertad es ;07.1495.02 =χ el p-valor del contraste es 0.1221. Con ello se aceptó el modelo como
válido, porque las discrepancias no son consideradas como significativas. Debe observarse que el
mayor desajuste del modelo propuesto se observa en la cola de la derecha: la clase ( 8 o más
observaciones) contribuye en más de un 40% al valor total de obs2χ , ello se explica por la acción de una
observación extrema correspondiente a un intervalo con un paso observado de 11 vehículos
industriales, lo que tiene un carácter claramente excepcional. En la Figura 1 se comparan visualmente
los valores observados y los ajustados con el modelo propuesto.
En definitiva, se realizó un estudio estadístico del tráfico de vehículos industriales que pasan por un
punto fijo y determinado de una vía de circulación y se encuentra que en condiciones razonables y
bastante generales, el número de vehículos industriales que pasan por ese punto considerado en el
intervalo temporal ( t,0 ], que denotamos por ),(tN es un proceso de Poisson con tasa o intensidad de
tráfico estimada por el valor 4 2.84 = 11.36 λ = ⋅ vehículos industriales/minuto. Por tanto, los
intervalos de tiempo entre el paso de dos vehículos consecutivos, según la ecuación (8), son variables
aleatorias ,...}2 ,1,{ =nTn independientes e idénticamente distribuidas, con distribución exponencial
.
16
cuya función de densidad es tetf λλ −=)( , 0>t .
X n (obs) frec. relativa Probabilidad n(esp)
0 46 0.0622 0.0584 43.21
1 137 0.1851 0.1659 122.74
2 166 0.2243 0.2356 174.33
3 153 0.2068 0.2231 165.06
4 108 0.1459 0.1584 117.22
5 79 0.1068 0.0900 66.59
6 28 0.0378 0.0426 31.53
7 11 0.0149 0.0173 12.79
8 8 0.0108 0.0061 4.54
9 3 0.0041 0.0019 1.43
10 0 0.0000 0.0006 0.41
11 1 0.0014 0.0002 0.14
Tabla 1. Valores observados y valores ajustados.
X (Clases) Obs. Esp. Chi cuadrado
0 46 43.21 0.1799
1 137 122.74 1.6557
2 166 174.33 0.3981
3 153 165.06 0.8817
4 108 117.22 0.7249
5 79 66.59 2.3118
6 28 31.53 0.3944
7 11 12.79 0.2513
8 o más 12 6.52 4.6054
Tabla 2. Medida de la discrepancia.
El tiempo medio entre el paso de dos de estos vehículos consecutivos se estimó, por tanto, en
s 28.5min 0880.036.11/1 ===∧µ . La probabilidad de que en un intervalo de tiempo ( htt +, ], en
minutos, no pase ningún vehículo es, por tanto, según (2), .)( 36.11 hehTP −=> Por la propiedad
markoviana del proceso de Poisson se concluyó
11.36( ) ( )| xP T t x T t P T x e−> + > = > = (11)
.
17
cualesquiera que sean , 0,t x > en minutos.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ó más
x
Datos observadosDatos esperados
Figura 1. Comparación gráfica de valores observados y esperados.
También considerábamos, por su gran interés en Fiabilidad, la variable aleatoria que indica el tiempo de
espera hasta el paso del n -ésimo vehículo, nn TTTS +++= ...21 , con distribución de Erlang, es decir,
que la probabilidad de que el n -ésimo vehículo pase después del instante t será
∑−
=
−=>1
0
36.11
!
)36.11()(
n
k
kt
n k
tetSP 0>t en minutos (12)
Por tanto, calculábamos el tiempo medio de espera hasta el paso, por ejemplo, del quinto vehículo,
4400.036.11/5)( 5 ==SE minutos y también la probabilidad de que el tiempo transcurrido, por
ejemplo, entre el paso del tercero y el noveno vehículo sea superior a 30 segundos, que es
511.36/ 2
60
(11.36 / 2)( 1/ 2) 0.4983
!
k
k
P S ek
−
=
> = =∑
Se consideró que el proceso de Poisson }0),({ >ttN con intensidad de tráfico λ es un modelo que
explica el flujo de vehículos industriales por un punto y que además se puede descomponer dicho flujo
clasificando dichos vehículos en dos clases C1 (por ejemplo, vehículos de 5 ejes o más) con
probabilidad p y C2 (los demás vehículos industriales) con probabilidad p−1 y se indicó con )(1 tN y
)(2 tN el número de vehículos de cada clase que pasan en el intervalo temporal ( t,0 ], entonces el
tráfico de cada clase de estos vehículos se puede representar por los procesos de Poisson }0),({ 1 >ttN
.
18
y }0),({ 2 >ttN , que tienen intensidades de tráfico pλ y )1( p−λ respectivamente. Además estos dos
procesos son independientes. Puesto que 1 2( ) ( ) ( )N t N t N t= + , consideramos que se puede analizar el
flujo de vehículos según diferentes clases, a cada una de las cuales se les puede aplicar el tratamiento
anteriormente expuesto para una clase. Además cada una de estas clases serán independientes.
Finalmente, es importante señalar que analizamos la generalización del estudio del tráfico con modelos
aleatorios para los cuales la intensidad de tráfico varía con el tiempo, y por tanto, en el proceso de
recuento de vehículos se permitiría que la intensidad de tráfico varíe con el tiempo, )(tλ . Si no se
conoce la expresión funcional de)(tλ y se considera que λλ ≤)(t es una función acotada, es de
aplicación el modelo aleatorio del proceso de Poisson no homogéneo y basta considerar que el paso de
un vehículo es contado con probabilidad( ) /tλ λ , en tal caso, el proceso de recuentos es un proceso de
Poisson no homogéneo con intensidad )(tλ .
A2 TTééccnniiccaass SSeeiiss SSiiggmmaa ppaarr aa eell CCoonnttrr ooll ddee CCaall iiddaadd..
El término Seis Sigma se refiere a un conjunto de procedimientos que sirven al propósito de mejora de
la calidad. La estrategia Seis Sigma involucra el uso estructurado de herramientas estadísticas,
previamente desarrolladas, para obtener mejores productos. Seis Sigma se originó en Motorola como
una iniciativa de mejora de la calidad en 1987 y constituye, de hecho, una marca registrada de la firma
Motorola Inc.
La realización práctica que se propone se dirige, dentro de la estrategia Seis Sigma, a la fase
denominada de análisis. El propósito de esta etapa es el estudio de datos preliminares que documenten
el comportamiento y capacidad del proceso. Se trata de identificar las causas de los defectos y los
factores responsables de la baja calidad así, cuantificando el impacto de unas y otros en la producción.
Los consultores de calidad se declaran, por abrumadora mayoría, partidarios del uso del programa
MINITAB en las fases tanto de análisis como de control.
Se utiliza un ejemplo guía sobre el que se irán aplicando distintas técnicas estadísticas, empezando por
un sencillo análisis exploratorio, donde priman las herramientas gráficas hasta otra de índole más
avanzada como el diseño de experimentos.
Ejemplo Guía: Se dispone de 36 mediciones correspondientes al nivel de ruido (en decibelios)
emitidos por coches clasificados según tamaño (1=pequeño, 2=mediano y 3=grande) y tipo de
silenciador en el tubo de escape (1= silenciador en uso, 2= nuevo silenciador). Nos interesa conocer el
.
19
si ambos factores tienen efecto en el nivel de ruido emitido y, en caso afirmativo, cuantificar este
último.
AAnnááll iissiiss EExxpplloorr aattoorr iioo Objetivo: detección de patrones en los datos. En la Figura 2, el p-valor significativo relativo a la
presencia de cluster, está indicando posibles agrupaciones de los datos motivadas por el posible efecto
de los factores. En Figura 3, se representa el valor medio para cada cruce de tamaño y tipo de
silenciador así como el valor promedio obtenido para cada tamaño de coche a partir de los datos de los
dos tipos de silenciador. Se afina más la percepción del primero y se advierte el modo en que tienden a
producirse tales agrupaciones: De hecho se advierte que el volumen de ruido en los coches grandes es
notablemente inferior al de pequeños y medianos independientemente del tipo de silenciador utilizado.
Se detecta aún otro rasgo notable en el gráfico anterior: el silenciador 2 parece reducir el nivel de ruido
pero tal reducción no se manifiesta por igual en los tres tipos de coches. Esta es más acusada en los
coches medianos y menos en los pequeños y grandes.
Observation
decibelio
s
35302520151051
850
825
800
775
750
Number of runs about median:
0,99549
11
Expected number of runs: 18,50000
Longest run about median: 8
Approx P-Value for Clustering: 0,00451
Approx P-Value for Mixtures:
Number of runs up or down:
0,86030
21
Expected number of runs: 23,66667
Longest run up or down: 4
Approx P-Value for Trends: 0,13970
Approx P-Value for Oscillation:
Run Chart of decibelios
Figura 2. Posibles patrones de comportamiento.
.
20
tamaño
decibelio
s
321
850
840
830
820
810
800
790
780
770
tipo silenciador
1
2
Multi-Vari Chart for decibelios by tipo silenciador - tamaño
Figura 3. Asociaciones entre variables.
Supongamos que somos un comprador concernido con el medio ambiente. Es evidente que la
adquisición de un coche grande es solución adecuada. Sin embargo cabe en el caso de que descartemos
un coche grande bien por su elevado coste o por resultar poco práctico para manejar en ciudad. En tal
caso nos preguntaríamos por la combinación óptima para reducir la contaminación acústica entre
coches pequeños y medianos y los dos tipos de silenciador. ¿Compensa realmente el sobrecoste que
supone el silenciador de tipo 2 ante la reducción lograda en el ruido?
Para responder a esta pregunta es preciso proceder a una técnica más avanzada que se engloba dentro
de los procedimientos conocidos como diseño de experimentos:
EExxppeerr iimmeennttaacciióónn ccoonn ddooss ffaaccttoorr eess Objetivo: Analizar el efecto inducido en la variable respuesta mediante cambios controlados en los
factores de interés. Con la única inspección de la Figura 4 concluiríamos que la mejor combinación es
–eliminada la elección de coche grande y asumiendo que los factores suman sus efectos– un coche
pequeño equipado con un silenciador de tipo 2.
.
21
Mean of decibelio
s
321
840
830
820
810
800
790
780
770
21
tamaño tipo silenciador
Main Effects Plot (data means) for decibelios
Figura 4. Efectos principales.
El gráfico de la Figura 5 nos revela nuestro error en la suposición de que los factores actúan
aditivamente:
tipo silenciador
Mean
21
850
840
830
820
810
800
790
780
770
tamaño
3
1
2
Interaction Plot (data means) for decibelios
Figura 5. Gráfico de interacciones.
Como se puede advertir la reducción lograda con el silenciador 2 es más acusada en los coches
.
22
medianos que en los pequeños de modo que unos y otros presentan un nivel de ruido similar cuando
llevan silenciadores de tipo 2. Por consiguiente podríamos alcanzar un nivel de comodidad mayor
comprando un coche de tipo mediano cuyo silenciador sea del tipo 2 sin renunciar a nuestros objetivos
de protección medioambiental.
El siguiente análisis de la varianza de los datos experimentales ratifican nuestras percepciones iniciales,
obtenidas a partir de los gráficos, acerca de la influencia de ambos factores y de su comportamiento no
aditivo.
Two-way ANOVA: decibelios versus tamaño; tipo silen ciador Source DF SS MS F P tamaño 2 26051.4 13025.7 199.12 0.0 00 tipo silenciador 1 1056.3 1056.3 16.15 0.0 00 Interaction 2 804.2 402.1 6.15 0.0 06 Error 30 1962.5 65.4 Total 35 29874.3 S = 8.09 R-Sq = 93.43% R-Sq(adj) = 92.34%
Otro ejercicio de interés proviene de la comparación de la desviación estándar de los datos iniciales
(29.22) con la desviación estándar residual (8.09) obtenida tras tener en cuenta que las medidas se
habían generado bajo diferentes condiciones experimentales. Este procedimiento nos ha permitido
culminar el objetivo que está detrás de cualquier herramienta para el control de calidad: la reducción de
la variabilidad.
REFERENCIAS
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edition, John Wiley & Sons, New York. (Hay traducción al español)
HENDERSON, G.R. (2006) Six Sigma Quality Improvement with MINITAB. John Wiley & Sons, New
York.
II-EEES (2005) Documentación de las I Jornadas sobre la Ingeniería Informática en el Espacio
Europeo de Educación Superior. Salamanca, 6-8 de octubre de 2005.
En http://zarza.usal.es/~fgarcia/CExt/ii-eees05.htm
.
23
LEWIS, E.E. (1995). Introduction to Reliability Engineering, 2nd ed. John Wiley & Sons, New
York.
MIRALLES, F. (2005). Adaptación de asignaturas de Ingeniería al EEES: contrastación de dos
modelos. Bulleti de l’Observatori Bolonia, Univ. Pompeu Fabra
En http://www.upf.edu/bolonya/butlletins/2006/gen2/modelos.pdf
MONTGOMERY, D.C. (2004). Introduction to Statistical Quality Control, 5th ed. John Wiley & Sons,
New York.
ROSS, S.M. (1996). Stochastic Processes, 2nd. edition, John Wiley & Sons, New York.