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Remarques historiques Solution d’Okada Ondes de surface Mo dèle faiblement non-linéaire Autres vagues extrêmes
Tsunamis et vagues extrêmes
Frédéric Dias1
1Ecole Normale Supérieure de CachanCentre de Mathématiques et de Leurs Applications
Sophia-Antipolis
Frédéric Dias Tsunamis
Remarques historiques Solution d’Okada Ondes de surface Mo dèle faiblement non-linéaire Autres vagues extrêmes
Tsunamis dans la Méditerranée
Thucydide - La guerre du Péloponnèse (431-411 BC)
“Tandis que des séismes se produisaient, en Eubée àOrobiai, la mer recula loin de ce qui était alors la terre, puisse souleva et envahit un secteur du territoire de la cité,dont elle submergea une partie, si bien qu’est actuellementmer ce qui auparavant était terre; et la mer fit périr tous lesgens qui n’avaient pas pu la devancer en courant sur leshauteurs”
“La cause d’un tel phénomène est, à mon avis, qu’au pointoù le séisme est le plus fort, à cet endroit la mer serétracte, puis soudain s’étirant en sens inverse produit unevague plus violente ; tandis que sans séisme il ne mesemble pas qu’un tel phénomène puisse se produire”
Frédéric Dias Tsunamis
Remarques historiques Solution d’Okada Ondes de surface Modèle faiblement non-li néaire Autres vagues extrêmes
Remarques historiques
1er Novembre 1755 : un puissant tremblement de terre àl’Ouest de la côte du Portugal déclenche un tsunami avecdes run-ups supérieurs à 20 mètres.Laplace [1776] : “La plus simple manière de concevoir laformation de vagues, c’est d’imaginer un objet arbitraire,plongé dans un liquide à une faible profondeur et maintenudans cet état jusqu’à ce que le fluide soit en équilibre;quand l’on retire cet objet du liquide, il est clair que leliquide aura tendance à retrouver son état d’équilibre enformant des vagues successives”La plupart des extraits historiques proviennent de l’articlede Darrigol (2003), The spirited horse, the engineer, andthe mathematician: water waves in nineteenth-centuryhydrodynamics.
Frédéric Dias Tsunamis
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Remarques historiques
Laplace [1776] : est le premier à obtenir la relation dedispersion pour les vagues
c =
√
gk
th(kd)
où c est la célérité de la vague, g l’accélération due à lagravité, k le nombre d’onde et d la profondeur.Lagrange [1781] : étudie la propagation des vagues eneau peu profonde (longueur d’onde ≫ profondeur) ettrouve que le profil de la vague est de la forme
η(x , t) = f (x − ct) + g(x + ct)
où f et g sont deux fonctions arbitraires et c =√
gd .
Frédéric Dias Tsunamis
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Remarques historiques
Laplace [1813] : Un comité de l’Académie composé deLegendre, Poinsot, Laplace, Biot et Poisson choisit lethème des vagues comme sujet pour le prix de l’Académiepour l’année 1816.
Annonce écrite par Laplace : Un fluide pesant, initialementau repos et de profondeur infinie, est mis en mouvementsous l’effet d’une force donnée. Quelle est, à un tempsdonné, la forme de la surface libre et la vitesse desparticules situées sur la surface libre?
Frédéric Dias Tsunamis
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Remarques historiques
Poisson, le brillant disciple de Laplace qui faisait partie ducomité, écrivit le premier mémoire sur le sujet. Il fut lu en1815 et publié en 1818.
Poisson considéra le célèbre problème du caillou jeté dansune mare et obtint le profil de la surface libre
η(x , t) =Aα
x√
πcos(α2 − π/4), α =
√
gt2/4x
Le comportement est dominé par les oscillations rapidesdu cosinus, avec une amplitude qui croît linéairement entemps et décroît en x−3/2.
Frédéric Dias Tsunamis
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Remarques historiques
Etant lui-même un membre de l’Académie et du comité,Poisson ne pouvait pas être candidat pour le prix sur lesvagues!
Cauchy fut le lauréat. Son mémoire fut publié en 1827 (11ans plus tard).
D’un point de vue mathématique, Cauchy était plusrigoureux que Poisson. Il prouva par exemple que lemouvement du fluide initialement au repos pouvait êtreconsidéré à tout instant comme créé par des forcesimpulsives.
Frédéric Dias Tsunamis
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Remarques historiques
Les travaux de Poisson et Cauchy ont été considéréscomme obscurs pendant longtemps. Comme le ditThomson (Lord Kelvin): Une bonne partie de ce quePoisson et Cauchy ont à dire serait abrégée par l’ajout degraphes, et il serait plus facile pour tout le monde (ycompris les auteurs) de comprendre la globalité desphénomènes étudiés
Frédéric Dias Tsunamis
Mécanisme de déclenchement de
tsunami par déplacementdu fond marin suite à un tremblement de terre
Mécanisme de déclenchement de
tsunami par déplacementdu fond marin suite à un tremblement de terre
[Nature 1/27/05 Vol. 433]
Exemple: tsunami de l’Océan Indien (26 Décembre 2004)
Mécanisme de déclenchementde tsunami par éboulement
sous-marin
Mécanisme de déclenchementde tsunami par éboulement
sous-marin
Exemple: tsunami de Papouasie/Nouvelle Guinée (1998)
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Hypothèses
Courbure de la terre négligée
Milieu semi-infini, homogène et isotrope
Lois classiques de l’élasticité linéaire
Théorie des dislocations de Volterra (1907) - Sur l’équilibredes corps élastiques multiplement connexes
Frédéric Dias Tsunamis
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Théorie des dislocations de Volterra pour un milieuélastique infini
Une force ponctuelle Fk = Fek en O engendre un champde déplacement au point P
Puis la loi de Hooke permet de calculer les contraintes σk
La force par unité de surface Tk est égale à σkn
Une dislocation de Volterra est une surface Σ dans lemilieu élastique à travers laquelle il y a une discontinuité∆u = u+ − u− dans les champs de déplacement.
Le déplacement en un point Q est alors donné par
uk (Q) =1F
∫∫
Σ
∆u TkdS
Frédéric Dias Tsunamis
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Source rectangulaire de taille finie
-
>
x
y6z
O
δ
7
Plan de la faille
Surface libre
D
-x ′
φθ
L
W
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Paramètres typiques
paramètre valeurAngle avec l’horizontale (dip) δ 13
Angle du glissement (rake) θ 100
Profondeur de la faille d , km 25Longueur de la faille L, km 220Largeur de la faille W , km 90Déplacement U, m 15Module de Young E , GPa 9.5Coefficient de Poisson ν 0.23
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Déformation du fond de l’océan
−400
−200
0
200
400
−400−300−200
−1000100200
300400
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
xy
z/a
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Approche déterministe
Equations d’Euler ou modèles (système de Boussinesqpar exemple)
On recherche le profil de la surface de l’eau η(x , y , t) (parexemple)
Pour la discrétisation numérique, ∆x de l’ordre de L/10 àL/50
Pour la discrétisation numérique, ∆t de l’ordre de T/10 àT/50
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∆x et ∆t typiques
Grande profondeur Faible profondeurT = 1000 s T = 1000 sd = 4 km d = 40 mc = 720 km/h c = 72 km/hL = 200 km L = 20 kma = 60 cm a = 60 ×
√10 cm
∆x = 4 km ∆x = 400 m
∆t = 20 s ∆t = 20 s
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Géométrie du domaine fluide
x
z
y
O
h
η(x,y,t)
ζ (x,y,t)
Ω
Ω = R2 × [−h + ζ(x , y , t), η(x , y , t)]
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Hypothèses
Liquide non-visqueux et incompressible
Ecoulement irrotationel (on introduit le potentiel desvitesses φ)
Ecoulement mono-phasique
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Equations du problème
∆φ = 0, (x , y , z) ∈ Ω
Conditions aux limites cinématiques sur la surface libre etsur le fond
∂φ
∂z=
∂η
∂t+
∂φ
∂x∂η
∂x+
∂φ
∂y∂η
∂y, z = η(x , y , t),
∂φ
∂z=
∂ζ
∂t+
∂φ
∂x∂ζ
∂x+
∂φ
∂y∂ζ
∂y, z = −h + ζ(x , y , t)
Condition dynamique sur la surface libre
∂φ
∂t+
12|∇φ|2 + gη = 0, z = η(x , y , t)
Frédéric Dias Tsunamis
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Difficultés
C’est un problème très complexe, aussi bien du point devue analytique que numérique
Par exemple, la preuve d’existence d’ondes stationnaires(clapotis) n’a été obtenue que très récemment par G.Iooss, Toland et Plotnikov
Résolution numérique très coûteuse
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Linéarisation du problème
Le problème linéarisé peut être résolu avec lestransformées de Fourier (en espace) et de Laplace (entemps)
Considérons un déplacement du fond de la formeζ(x , y , t) = ζ(x , y)T (t) (Hammack 1973)
Pour la partie spatiale, prenons la solution d’Okada
Pour la partie temporelle, prenons une fonction deHeaviside
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Premières secondes d’un tsunami
Solution du problème linéarisé
Le film montre la surface libre. On peut aussi calculer lesvitesses et la pression en tout point. Calculs réalisés parD. Dutykh.
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Petits paramètres
Les nombres sans dimension suivants (supposés petits) sontintroduits:
α =ad
≪ 1, β =d2
ℓ2 ≪ 1,
d = profondeur d’eau caractéristique
a = hauteur de vague caractéristique
ℓ = longueur d’onde caractéristique
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Valeurs pour le tsunami de l’océan indien
Les observations du tsunami par satellite indiquent uneamplitude a d’environ 60 cm en pleine mer
La longueur d’onde caractéristique calculée à partir dessegments qui ont subi un glissement le long de la faille estcomprise entre 160 et 240 km (Lay et al. 2005)
La profondeur d’eau va de 4 km vers l’ouest de la rupture à1 km vers l’est
1.5 × 10−4 < α < 6 × 10−4, 1.7 × 10−5 < β < 6.25 × 10−4
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Equations adimensionnelles
Introduction de variables dépendantes et indépendantesadimensionnelles
Apparition des petits paramètres α et β dans les équations
Introduction du nombre de Stokes
S =α
β=
aℓ2
d3
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Dispersion et nonlinéarité
Si S ≈ 1, les effets de la dispersion et les effetsnonlinéaires sont du même ordre de grandeur
Pour le tsunami de l’océan indien 0.24 < S < 46
Puisque le cube de la profondeur apparaît audénominateur de S = α/β = aℓ2/d3, S est 64 fois plusgrand en profondeur de 1 km qu’en profondeur de 4 km
A partir de cet argument, la dispersion est plus importanteà l’ouest de la rupture
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Les équations de Boussinesq
Différents systèmes peuvent être obtenus en fonction destermes en α et β retenus dans les équations.
Modèle de Boussinesq utilisé pour la propagation destsunamis : FUNWAVE (Kirby et ses collaborateurs)
Lors du passage d’un tsunami, toute la colonne d’eaubouge
En utilisant un certain nombre d’astuces, les codes depropagation peuvent également donner des indications surle run-up (hauteur maximale atteinte par le tsunami) etl’inondation (pénétration horizontale maximale).
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Cas d’étude pour le tsunami : Ko Phi PhiCas d’étude pour le tsunami : Ko Phi Phi
Arrivée du tsunami sur la rive nord de l’île de Ko Phi PhiArrivée du tsunami sur la rive nord de l’île de Ko Phi Phi
Photos prises par C. Malatesta(1) Arrivée de l’onde de dépression(2)-(3) Arrivée de l’onde d’élévation(4) Runup suivant l’onde d’élévation
(1)
(2)(3)
(4)
Runup sur l’île de Ko Phi PhiRunup sur l’île de Ko Phi Phi(1)
(3)
(1) Réflexion de l’onde d’élévation
(2) Plage N inondée jusqu’au 2è étage et arrivée du tsunami dans le port S
(3) Inondation N-S à travers la bande de terre
(4) Accumulation de débris dans le port
(2)
(4)
Cas d’étude : Ko Phi PhiCas d’étude : Ko Phi Phi(1)
(2)
(1) Ressaut ondulé s’éloignant de la rive N
(2) Après les premiers efforts de nettoyage (Fév 2005)
(3) Toits des bungalows de la rive N transportés jusqu’à la plage S
(3)
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L’impact du tsunami, run-up et inondation
Les bâtiments construits selon des critères de sécuritérécents (béton armé) ont bien résistéCapables de résister à une pression du front d’onde del’ordre d’1 atmosphère (une pression p équivalente seraitobtenue avec un vent de vitesse U = 450 m/s, puisquep = ρairU2/2)
En revanche, les bâtiments en brique se sont écroulés etont été emportés. Les structures poreuses ou ouvertes ontsurvécu.Les bâtiments plus éloignés de la plage ont parfoissurvécu, mais ont ensuite été détruits par l’érosion du solautour des bâtiments due aux courants (Hunt 2005)Comment faut-il construire les bâtiments? (dilemme)
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Canal à houle numérique
Formulation intégrale du problème et méthode d’élémentsà la frontière
Fochesato & D (2006) ont incorporé l’algorithme rapidedes multipôles et ainsi obtenu une complexité d’ordreO(N) ou presque
L’algorithme rapide des multipôles a été utilisé pour lapremière fois en 3D pour des problèmes de Laplacien parGreengard & Rokhlin (1997)
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Canal à houle typique
r1
b
f
r2
r2
r2
yx
x(t)m
ns
0h(x,y)
z (t)
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
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Exemple
12 13 14 15 16 17 18 19−4
−20
24
−0.5
0
0.5
y
x
z
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19−5
0
5
−0.5
0
0.5
y
x
z
Shoaling d’une onde solitaire.
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Focalisation d’énergie dans un canal à houle
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Vagues scélérates
Impact de vagues scélérates sur structures parfois dévastateur.
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Ballottement dans les réservoirs
Réservoir d’ergol dans les fusées
Réservoir de gaz naturel liquéfié
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Hypothèses
AVANT
Liquide non-visqueux et incompressible
Ecoulement irrotationel
Ecoulement mono-phasique
ICI
Ecoulement di-phasique
Fluides non-visqueux
Liquide incompressible, gaz compressible
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Système de trois équations
Considérons une phase liquide (ρ+ = ρ+
0 ) et une phasegazeuse (ρ−).
ρt + div(ρu) = 0 , (1)
α+
t + div(α+u) = 0 , (2)
(ρu)t + div(ρu ⊗ u) + ∇p = ρg , (3)
ρ = α+ρ+
0 + α−ρ− , p = P(ρ−) .
Système bien connu dans le cadre des écoulementsliquide-vapeur. Utilisé par Peregrine (Bristol) pour l’étude desimpacts de vagues.
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Simulation de phénomènes d’impacts de vagues
Travail en collaboration avec J.-M. Ghidaglia(ENS-Cachan)
Application au ballottement dans les cuves de méthaniers
Impact de vagues sur des parois (pics impulsifs depression ou impacts suivis d’oscillations)
Bon accord avec les expériences
Vitesse du son dans un mélange :
cs = c−
√
ρ−
α−ρ, c− =
√
dP(ρ−)
dρ−(vitesse du son dans le gaz)
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Forte influence de l’aération sur la vitesse du son
Pour de l’air et de l’eau sous conditions normales
α− 0.01 0.04 0.1cs (ms−1) 120 60 40
Pour α− = 0 (pas d’air), cs = 1500 m/s
Pour α− = 1 (que du gaz), cs = 340 m/s
Frédéric Dias Tsunamis
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Formule pour la pression d’impact
Pression sur une paroi due à un écoulement diphasique del’ordre de
ρucs
ρ: densité du mélange, u: vitesse moyenne
Pression sur une paroi souvent considérée comme étantdonnée par
ρu2
Contradiction?
Pression avec un modèle diphasique plus sophistiqué detraînée nulle
ρ+uc−
Frédéric Dias Tsunamis
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Intégration numérique du système avec 3 équations
FilmBallottement dans un réservoir, calculé avec une méthode devolumes finis (VFFC).
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