tsa2016-capitolul2

8/18/2019 TSA2016-Capitolul2

1/69

Teoria Sistemelor Automate

Cristian Oară, Radu Ştefan

Facultatea de Automatica si CalculatoareUniversitatea “Politehnica” Bucuresti

e-mail: {cristian.oara,radu.stefan }@acse.pub.ro

martie 2016

C. Oar ă, R. Ştefan Teoria Sistemelor Automate martie 2016 1 / 69

http://find/


2/69

CAPITOLUL 2: Cerinte versus limitari in proiectare

1 Proprietatile sistemelor cu bucla de reactie2 Constrangeri algebrice3 Constrangeri in domeniul timp4 Constrangeri frecventiale (analitice)5 Performantele sistemelor cu bucla de reactie – specicatii clasice

intr-o viziune moderna –6 Incertitudini de model si robustete7 Concluzii generale


http://find/


3/69

2.1 Proprietatile Sistemelor cu Bucla de ReactieConsideram sistemul de reglare cu bucla de reactie din Figura 1 in care semnalelede intrare r , d , d

0, n sunt referinta, perturbatia in bucla, perturbatia pe iesire si

zgomotul iar semnalele de iesire (care intereseaza pentru proiectare) e , u , y , u p sunteroarea, comanda (data de regulator), iesirea si comanda efectiv aplicata lui P .

d o

PC y uer

n

-

d

up

Figura 1: Sistem standard de reglare cu bucla de reactie

Transferurile intrare–iesire sunt:e u y u p

=

S − PS − S − S CS − T − CS − CS T PS − T S CS S − CS − CS

r d nd 0

(1)


http://find/


4/69

Ce dorim? (ideal, i.e., maximal)

Rejectia perturbatiilor d si d 0 la intrarea u p si iesirea y ale sistemului P ;Rejectia (reducerea) zgomotului n;Limitarea (marginirea) comenzii u (marginile sunt adesea prescrisetehnologic);

Erori mici de urmarire e a referintelor r ;Stabilitate robusta , i.e., stabilitate in prezenta incertitudinilor de model;Performanta robusta , cuanticata de exemplu prin desensibilizareatransferului in bucla inchisa la variatii de model.

Observatii: • Semnalele r , d , d 0 sunt in general semnicative la frecvente joase(ω ≤ ωr , ω ≤ ωd , ω ≤ ωdo ) iar n este semnicativ la frecvente inalte (ω ≥ ωn ).• Incertitudinile de model sunt mari in special la frecvente inalte (dinamicanemodelata).


http://find/


5/69

Rejectia perturbatiilor

Transferurile relevante sunt: y = PSd + Sd o ,u p = Sd − CSd o .

Pentru a rejecta d o la iesirea y si d la intrarea u p trebuie ca:

S := 11+ L ”mic” ⇔ L := PC “mare”, ∀ω ≤ max{ωd , ωdo }

Pentru a rejecta d la iesirea y trebuie ca (L este “mare”):

PS = LC (1+ L) ”mic” ⇔ C “mare”, ∀ω ≤ ωd

Pentru a rejecta d o la intrarea u p trebuie ca (L este “mare”):

CS = LP (1+ L) ”mic” ⇔ P ”mare”, ∀ω ≤ ωdo

Concluzii (pentru rejectia perturbatiilor):1 Amplicare in bucla deschisa |L( j ω)| ≫ 1, ∀ω ≤ max{ωd , ωdo };2 Amplicare a regulatorului |C ( j ω)|≫ 1, ∀ω ≤ ωd ;3 Amplicare a sistemului |P ( j ω)| ≫ 1, ∀ω ≤ ωdo (rejectia lui d o la u p posibila

numai daca P are banda de trecere sucient de larga!)


http://find/


6/69

Rejectia zgomotelor

Transferurile relevante sunt: y = − Tn,

u p = − CSn.Pentru a rejecta n la iesirea y trebuie ca:

T := L1+ L ”mic” ⇔ L := PC ”mic”, ∀ω ≥ ωn ;

Pentru a rejecta n la intrarea u p trebuie ca (L este ”mic”):

CS = C 1+ L ”mic” ⇔ C ”mic”, ∀ω ≥ ωn

Concluzii (pentru rejectia zgomotelor):1 Amplicare in bucla deschisa |L( j ω)| ≪ 1, ∀ω ≥ ωn ;2 Amplicare a regulatorului |C ( j ω)|≪ 1, ∀ω ≥ ωn !

Observatie: Pentru a asigura simultan rejectia perturbatiilor d , d o si zgomotelor neste nevoie ca cel putin ωn > max{ωd , ωdo } . Asa cum vom vedea mai tarziu

trebuie de fapt sa asiguram ωn ≫max{ωd , ωdo } pentru ca |L( j ω)| nu poatevaria prea rapid intr-o banda ingusta de frecvente (de la ≫ 1 la ≪ 1).


http://find/


7/69

Limitarea comenzii

Transferurile sunt: u = CS (r − n − d o ) − Td . Comenzile trebuie limitate ∀ω ≥ 0.

Unde L “mic” ⇒ CS ”mic ” ⇔ C ”mic ”,T “mic ”

Unde L “mare” ⇒ CS = LP (1+ L) ”mic ” ⇔ P ”mare ”,T ≈ 1

Concluzii (pentru limitarea comenzii) :1 Pe banda de frecventa pe care |L( j ω)| ≪ 1 (de exemplu ω ≥ ωn ) trebuie

|C ( j ω)| ≪ 1, care este in acord cu rejectia zgomotelor pe banda ω ≥ ωn .2 Asiguram |L( j ω)| ≫ 1 doar in banda de trecere a lui P unde |P ( j ω)| ≫ 1.

Observatii:1 In general comanda u nu se poate impune mai mica decat perturbatia d

(avem u ≈ d unde |L( j ω)| ≫ 1 i.e. pentru frecvente joase unde d este mare).2 Comanda nu se poate pastra mica daca largimea de banda a sistemului in

bucla deschisa L = PC o depaseste mult pe cea a lui P .


http://find/


8/69

Eroare mica de urmarire

Transferul relevant este: e = Sr . Pentru a avea eroare e mica trebuie ca:

S := 11+ L ”mic” ⇔ L := PC ”mare”, ∀ω ≤ ωr .


http://find/


9/69

Stabilitate robusta

Presupunem ca modelul sistemului este incert de forma P ∆ = P (1 + ∆) unde ∆este o incertitudine multiplicativa marginita in norma L∞ ind uzual mare lafrecvente inalte ω ≥ ω∆ (tipic ∆ este o functie de transfer rationala stabila).

Sistemul nominal (∆ = 0) este presupus evident intern stabil in bucla inchisa.Distanta de la punctul critic la locul Nyquist (hodograf) este data de modulul lui1 + L∆ = 1 + CP (1 + ∆) = (1 + L)(1 + ∆ T ) si trebuie sa nu se anuleze pentrunici o perturbatie admisibila ∆. De aici:

∆ T ”mic ” ∀ω ⇔ T ”mic ” ∀ω ≥ ω∆ ⇔ L ”mic” ∀ω ≥ ω∆ .


http://find/


10/69

Performanta robusta

Cuanticam (momentan) performanta robusta prin desensibilizarea functiei detransfer a sistemului in bucla inchisa la incertitudini (variatii) in modelul P –grosso modo!. Sensibilitatea este masurata de S = 11+ L . Obtinem:

S ”mic” ∀ω ≤ ωr ⇔ L ”mare ” ∀ω ≤ ωr .


http://find/


11/69

2.2 Constrangeri Algebrice

In aceasta sectiune prezentam doua limitari fundamentale algebrice impuse defunctia de sensibilitate S si de functia complementara de sensibilitate T .

“S + T = 1 la orice frecventa”

In particular am vazut ca S mic este necesar pentru urmarirea referintei, rejectiede perturbatii si desensibilizarea buclei la incertitudini de model. Pe de-alta parteam vazut ca T mic este necesar pentru rejectia zgomotelor, limitarea comenzii (peanumite benzi de frecventa) si stabilitate robusta (in prezenta incertitudinilor).In particular la orice frecventa ω0 avem sau |S ( j ω0)| > 0.5 sau |T ( j ω0)| > 0.5. Inconsecinta orice problema de sinteza bine pusa va avea cerinte de proiectare ceimplica S mic formulate pe benzi de frecventa disjuncte (si bine separate) inraport cu benzile de frecventa pe care se formuleaza cerintele de proiectare ceimplica T mic. Tipic S mic la frecvente joase si T mic la frecvente inalte.


http://find/


12/69

Constrangeri Algebrice (2)

Constrangeri de Interpolare

Daca P are un zerou z si/sau un pol p cu Re z ≥ 0 si Re p ≥ 0 atunci functia de

sensibilitate S si functia complementara de sensibilitate T satisfac conditiile deinterpolareT (p ) = 1 , S (p ) = 0 ,

T (z ) = 0 , S (z ) = 1 .

Exercitiu: Sunt aceste conditii adevarate si daca p sau z sunt in C −? De ce?


http://find/


13/69

2.3 Constrangeri in Domeniul Timp

Prezentam in continuare constrangeri ce se manifesta in raspunsul in timp alproceselor, constrangeri ce apar in prezenta zerourilor instabile, in prezenta polilorinstabili si in prezenta atat a zerourilor cat si a polilor instabili.


http://find/


14/69

Constrangeri in Domeniul Timp (Zerouri Instabile)

Teorema 1 ( Raspuns Invers)

Pentru un sistem stabil cu n z + zerouri instabile raspunsul y (t ) la treapta unitaraintersecteaza abscisa (valoarea initiala y (0) ) de nz + ori – fenomenul se mai numeste raspuns invers .

Exercitiu: Demonstrati acest lucru pentru nz + = 1 si nz + = 2!

Teorema 2 ( Raspuns Indicial)Fie sistemul in bucla deschisa L(s ) avand un zerou q cu Re q > 0. Daca sistemul in bucla inchisa (cu reactie negativa unitara) este intern stabil si y (t ) si e (t ) sunt raspunsurile la treapta unitara atunci

∞0 e −qt e (t )d t = 1

q , ∞0 e −

qt y (t )d t = 0 .

Mai mult, subreglajul y i satisface

y i ≥ 1 − ǫ

e qt t − 1 > 0 (2)


http://find/


15/69

Constrangeri in Domeniul Timp (Zerouri Instabile) (2)

Observatii:Rezultatul de mai sus arata ca daca avem un zerou instabil atunci raspunsulindicial y (t ) si eroarea corespunzatoare e (t ) trebuie sa satisfaca constrangeriintegrale ce sunt valabile oricare ar regulatorul C !

Mai mult, rezultatul de mai sus arata ca raspunsul tranzitoriu poate oricatde rau (depinzand doar de locatia polilor in bucla inchisa in raport cu q ) –pentru o argumentatie a acestui fapt vezi Laboratorul 1/Semestrul II –.Rezultatul de mai sus are loc si pentru zerouri stabile atunci cand acestea segasesc in dreapta polilor in bucla inchisa!

Relatia (2) arata ca daca avem zerouri instabile atunci raspunsul la treaptava prezenta un subreglaj cu atat mai mare cu cat asiguram un timptranzitoriu mai scurt (prin alegerea compensatorului).


http://find/


16/69

Constrangeri in Domeniul Timp (Poli Instabili)

Teorema 3 ( Raspuns Indicial)

Fie sistemul in bucla deschisa L(s ) avand un pol p cu Re p > 0. Daca sistemul inbucla inchisa (cu reactie negativa unitara) este intern stabil si y (t ) si e (t ) sunt raspunsurile la treapta unitate atunci

∞0 e −pt e (t )d t = 0 , ∞0 e −qt y (t )d t = 1p > 0.Mai mult, suprareglajul y s satisface

y s ≥ (pt c − 1)e pt c + 1

pt c ≥ pt c

2 (3)

unde t c este timpul de crestere.


http://find/


17/69

Constrangeri in Domeniul Timp (Poli Instabili) (2)

Observatii:Rezultatul de mai sus arata ca daca avem un pol instabil in bucla deschisa sisistemul in bucla inchisa este relativ “lent”, i.e. t c mare, atunci raspunsul latreapta va avea un suprareglaj mare. Acest lucru este in contrast cu sistemelestabile in bucla deschisa pentru care suprareglajul mare apare dintr-un timpde crestere mic!Intuitiv deducem ca in cazul prezentei polilor instabili pentru a aveaperformanta acceptabila trebuie sa proiectam un sistem in bucla inchisarelativ rapid – sau, echivalent, cu o largime de banda mare.

Situatia este in constrast cu cea corespunzatoare zerourilor instabile pentrucare performanta buna implica o largime de banda mica si un sistem relativlent.


http://find/


18/69

Constrangeri in Domeniul Timp (Zerouri si Poli Instabili)

Teorema 4Fie un sistem in bucla deschisa L(s ) avand un zerou q si un pol p instabile (p = q). Daca sistemul in bucla inchisa este intern stabil atunci :

1 Daca p < q atunci suprareglajul satisface y s ≥ p q −p .2 Daca p > q atunci subreglajul satisface y i ≥ q p −q .


http://find/


19/69

2.4 Constrangeri Frecventiale (Analitice)

Prezentam in continuare cateva dintre constrangerile fundamentale in domeniulfrecvential, pe care le clasicam in mai multe categorii:

saltelele de apa;datorate zerourilor instabile;datorate polilor instabili;datorate prezentei simultane a polilor si zerourilor instabile;teorema lui Bode.


http://find/


20/69

Fenomene de Tip Saltea de Apa

Putem face S ”mic” pe anumite intervale de frecventa doar daca acceptam S ”mare” pe alte intervale de frecventa !Aceasta este in analogie cu o saltea cu apa: daca apasam intr-un zonareducand local nivelul apei va rezulta o crestere a nivelului apei intr-o altazona a saltelei!

Acest fenomen este o consecinta a formulelor integrale ale lui Cauchy aplicatelui S si apare chiar daca avem o singura cerinta de proiectare de tipul S ”mic”, ca de exemplu urmarirea referintei r (i.e. nu are legatura cu faptul cadorim simultan si alte cerinte de tipul rejectie de zgomote, stabilitate robustaetc)!

Exista doua formule relevante pentru aceste fenomene ce apar in urmatoareledoua situatii:L are excesul poli–zerouri e ≥ 2;L are zerouri in semiplanul drept.


http://find/


21/69

Fenomene de Tip Saltea de Apa (2)

Im

Re-1

L

Figura 2: |S | > 1 cand locul Nyquist este in interiorul cercului


http://find/


22/69


Saltea de apa cand L are excesul poli–zerouri e ≥ 2

Teorema 5Fie sistemul in bucla deschisa L(s ) cu excesul poli–zerouri e ≥ 2 si e p i (i = 1 , . . . , np + ) polii din C + ai lui L(s ). Daca sistemul in bucla inchisa este internstabil atunci ∞

0ln |S ( j ω)|dω = π

np +

i =1R e (p i ). (4)


http://find/


23/69


Observatii:Pentru a interpreta grac formula ( 4) observati ca modulul se masoara pescala logaritmica dar frecventa se masoara pe o scala liniara.Daca sistemul in bucla deschisa L este stabil atunci avem

∞0 ln |S ( j ω)|dω = 0si deci aria in care avem o reducere a sensibilitatii (S subunitar deci ln |S |negativ) trebuie sa e egala cu aria in care avem o amplicare a sensibilitatii

(S supraunitar deci ln |S | pozitiv). De aici ne asteptam ca S ”mic” pe obanda larga de frecvente sa nu se poata realiza decat cu o crestereconsiderabila a lui S la alte frecvente.


http://find/


24/69

+

_

|S|

1

Figura 3: |S ( j ω)| (scala logaritmica) vs. ω (scala liniara)


http://find/


25/69


Cu toate ca in general observatia precedenta este adevarata, cresterea

semnicativa a lui S la anumite frecvente nu provine strict de la formula (4).Mai precis, exista posibilitatea (mai mult teoretica) ca o arie pozitiva cecompenseaza aria negativa sa provina dintr-o crestere a lui S ”foarte mica”|S ( j ω)| ≈ 1 + δ pe o banda de frecventa oricat de larga ω ∈[ω1, ω2] (luamω2 oricat de mare). In realitate insa L(∞ ) = 0 de unde rezulta ca ω2 estelimitat si deci (4) impune intr-adevar constrangeri reale .Prezenta polilor instabili in bucla deschisa conduce in mod uzual la o cresteresuplimentara a lui S intrucat membrul drept al ( 4) devine strict pozitiv. Maimult, aceasta crestere este accentuata de prezenta mai multor poli si dedepartarea lor in raport cu axa imaginara ! Acest fapt este plauzibil intrucatne asteptam sa trebuiasca platit un pret pentru stabilizarea sistemului!Formula (4) se poate generaliza si pentru sisteme proprii cu e ≤ 1. Aceastageneralizare nu este interesanta pentru aplicatii reale intrucat P este strictproprie iar pentru rejectarea zgomotelor am vazut ca C trebuie sa e mic lafrecvente inalte ceea ce inseamna si C strict propriu. In acest caz avemautomat e ≥ 2.


http://find/


26/69


Teorema 6 ( Saltea de apa cand L are zerouri in C + )

Fie sistemul L(s ) cu un singur zerou real z > 0 si e p i (i = 1 , . . . , np + ) polii dinC + ai lui L(s ). Daca sistemul in b. i. este intern stabil atunci

∞0

ln |S ( j ω)|w (z , ω)dω = π ln Πnp +i =1p i + z p i − z

(5)

w (z , ω) = 2z

11 + ( ω/ z )2

.

Mai mult, daca

M 1 := supω 1≤ω≤ω 2 |S ( j ω)| , M 2 := supω |S ( j ω)| = S ∞ (6)

atunci ∃ doua constante c 1 > 0 si c 2 > 0 (care depind numai de ω1, ω2 si z) a.i.

c 1 logM 1 + c 2 logM 2 ≥ 0. (7)


http://find/


27/69

Amplitudine(log)

Pulsatie(log)

|w|

-40 db/dec

2/z

1/z

z

Figura 4: Gracul ponderii w (z , ω) pentru un zerou real z


http://find/http://goback/


28/69


Observati in Figura 4 ca functia pondere w (z , ω) “taie” contributia lui ln |S |pentru frecvente ω > z . Pentru un sistem in bucla deschisa stabil membruldrept al relatiei (5) este nul si daca |S | ≈ 1 la frecvente inalte rezulta

z 0

ln |S ( j ω)|dω ≈ 0 (|S | ≈ 1 ptr ω > z ). (8)

Relatia (8) arata ca avem din nou un efect de tip “saltea cu apa” insa de dataaceasta compromisul intre S mare si S mic se “negociaza” pe un interval nitde frecvente! Mai precis, salteaua de apa este “nita” si daca reducem S lafrecvente joase neaparat trebuie sa avem un varf mare pentru |S |.Fenomene similare au loc si pentru T in cazul prezentei polilor in dreapta!

Efectul este agravat daca avem un pol in apropierea unui zerou in C

+ intrucat

p i → z ⇒p i + z p i − z

→ ∞ .

Acest rezultat este in acord cu practica inginereasca care arata ca sisteme cuun pol si un zerou in C + apropiate sunt imposibil de reglat !


d l d ( )

http://find/


29/69


Relatia (7) pune in evidenta un fenomen interesant: Daca dorim urmarirebuna a referintei si rejectie a perturbatiilor pe banda de frecvente [ω1, ω2],adica M 1 ≪ 1, atunci marginea de stabilitate masurata de 1S ∞ =

1M 2 devine

inevitabil mica!Efectul de tip saltea de apa din Teorema 6 este specic doar sistemelor careau cel putin un zerou instabil in bucla deschisa (de faza neminima). Maiprecis, daca sistemul P in bucla deschisa nu are zerouri in dreapta (este defaza minima) atunci ∀ǫ > 0 si δ > 1 exista un regulator C astfel incatsistemul in bucla inchisa este intern stabil si

M 1 < ǫ, M 2 < δ.

Cu toate ca cele doua formule integrale care cuantica cele doua ”saltele cuapa” ilustreaza limitari fundamentale in sistemele cu bucla de reactie ele suntin general dicil de folosit pentru proiectarea practica a sistemelor


C i F i l (d Z il I bil )

http://find/


30/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor Instabile)

Instabilitate la Amplicare Mare

Consideram un sistem de reglare cu bucla de reactie negativa in care C = c = cst .(avem un regulator proportional). Daca c → ∞ atunci polii sistemului in buclainchisa migreaza spre zerourile sistemului in bucla deschisa! Deci daca avemzerouri instabile in P acest lucru previne cresterea amplicarii in bucla deschisapeste un anumit nivel (pentru pastrarea stabilitatii interne!) si deci limiteazaperformantele de proiectare ce necesita L = cP ”mare”!Acelasi fenomen (chiar mai drastic in anumite cazuri) apare daca avem C

rationala!Exercitiu: Demonstrati armatia pentru C = c = cst .!


C i F i l (d Z il I bil )(2)

http://find/


31/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor Instabile)(2)

Margini Inferioare pentru S ∞ si T ∞Numeroase cerinte concrete de proiectare se cuantica ca

W S S ∞ < 1, W T T ∞ < 1,unde W S si W T sunt ponderi potrivit alese. In prezenta polilor/zerourilor instabileconstrangerile de interpolare impun limite inferioare acestor norme L∞.

Teorema 7Fie P (s ) cu nz + zerouri z i si np + poli p j instabili. Atunci ∀z i , ∀p j

W S S ∞ ≥ c Si |W S (z i )|, c Si := Πnp + j =1

|z i + p j ||z i − p j |

≥ 1, (9)

W T T ∞ ≥ c Tj |W T (p j )| , c Tj := Πnz +i =1

|z i + p j ||z i − p j |

≥ 1. (10)

(Daca nu exista poli instabili atunci c Si := 1 in ( 9 ), iar daca nu exista zerouri instabile atunci c

Tj := 1 in ( 10 )).


C t i F ti l (d t t Z il I t bil )(3)

http://goforward/http://find/http://goback/


32/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor Instabile)(3)Observatii: Daca W S = W T = 1 obtinem ca

S ∞ ≥ maxi c Sj , T ∞ ≥ max j c Tj ceea ce arata ca nu putem evita extreme mari in S si T daca avem un pol langaun zerou instabil.

Limitarea Largimii de Banda

Din Teorema 7 daca P are un zerou instabil z , W S este o pondere oarecare stabilasi sistemul in bucla inchisa este intern stabil atunci

W S S ∞ ≥ | W S (z )|. (11)Am vazut deasemenea ca diverse cerinte de proiectare se pot reformula sub forma

W S S ∞ < 1 ⇔ | S ( j ω)| < 1|W S ( j ω)| , ∀ω (12)

unde W S este o functie pondere (stabila) aleasa in functie de cerinta concreta deproiectare. Combinand (11) si (12) rezulta ca la ecare zerou instabil trebuie ca

|W S (z )| < 1. (13)C. Oar ă, R. Ştefan Teoria Sistemelor Automate martie 2016 32 / 69

C t g i F ti l (d t t Z il I t bil )(4)

http://find/http://find/


33/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor Instabile)(4)(13) impune limitari atat in cazul unei ponderi ce cuantica performanta lafrecvente joase cat si a uneia ce cuantica performanta la frecvente inalte.Performanta la frecvente joase: Consideram ponderea (vezi SS, sectiunea 3.8)

W S (s ) = s / M + ωB

s + ωB A .

cu ωB > 0, A > 0 si M > 0. Tipic M > 1 si A < 1.

M

1

|S|

1/|W |S

A

Figura 5: Ponderea de performanta W S si S dorit



http://find/


34/69


Daca presupunem ca avem un zerou real z > 0 din conditia (13) rezulta ca

ωB (1 − A) < z (1 − 1M

) (14)

ceea ce ne arata ca largimea de banda este limitata de zeroul instabil ωB < z !

Deasemena ne arata ca daca vrem largime cat mai mare de banda ωB ≈ z atuncitrebuie M >> 1 ceea ce deja stim de la salteaua de apa (cu cat facem S mic pe obanda de frecvente mai mare cu atat va atinge un varf mai mare in afara aceleibenzi de frecventa)!Performanta la frecvente inalte: Consideram ponderea

W S (s ) = s + ωB / M As + ωB

cu ωB > 0, A > 0 si M > 0. Tipic M > 1 si A < 1.



http://find/


35/69


M

1

|S|

1/|W |S

A

Figura 6: Ponderea de performanta W S si S dorit (frecvente inalte)

Daca presupunem ca avem un zerou real z > 0 din conditia (13) rezulta ca

ωB > z (1 − A)1 − 1/ M

ceea ce ne arata din nou ca avem o limitare (de data aceasta inferioara)!C. Oar ă, R. Ştefan Teoria Sistemelor Automate martie 2016 35 / 69

Constrangeri Frecventiale (datorate Polilor Instabili)

http://find/


36/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Polilor Instabili)

Zerourile instabile impun anumite margini superioare ale benzii de trecere.Prezenta polilor instabili implica necesitatea stabilizarii si deci a unei amplicarimari ceea ce impune margini inferioare pentru largimea de banda!Am vazut in Teorema 7 ca daca P are un pol instabil p , W T este o pondereoarecare stabila si sistemul in bucla inchisa este intern stabil atunci

W T T ∞ ≥ | W T (p )| . (15)

Am vazut deasemenea ca diverse cerinte de proiectare se pot reformula sub forma

W T T ∞ < 1 ⇔ | T ( j ω)| < 1

|W T ( j ω)|, ∀ω (16)

unde W T este o functie pondere (stabila) aleasa in functie de cerinta concreta deproiectare. Combinand (15) si (16) rezulta ca la ecare pol instabil pondereatrebuie sa satisfaca

|W T (p )| < 1. (17)


Constrangeri Frecventiale (datorate Polilor Instabili)(2)

http://find/


37/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Polilor Instabili)(2)

Consideram ponderea

W T (s ) = s ωBT +

1M .

cu ωBT > 0 si M > 0. Tipic M > 1.Exercitiu: Trasati diagrama Bode pentru aceasta pondere. Aratati ca aceastaimpune asupra lui T (si a lui L) o rata de roll–off (panta asimptotei de inaltafrecventa) mai mare decat 1 la frecvente inalte (o cerinta obligatorie pentru oricesistem real), |T | mai mic decat M la frecvente joase, si |T | mai mic decat 1 lafrecvente peste ωBT .Daca presupunem ca avem un pol real p > 0 din conditia (17) rezulta ca

ωBT > p M

M − 1 (18)

ceea ce ne arata ca un pol instabil impune o limita inferioara asupra largimii debanda in termenii lui T . Mai precis, nu putem lasa sistemul sa aibe roll–off lafrecvente mai mici decat p . Deci stabilizarea cu performante rezonabile implica olargime de banda mai mare decat p !


Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor si Polilor

http://find/


38/69

Constrangeri Frecventiale (datorate Zerourilor si PolilorInstabili)

Prezenta simultana a unui pol si a unui zerou impune atat limitari superioare catsi inferioare asupra benzii de trecere, facand in toate situatiile proiectarea extremde dicila. Intr–adevar, pentru M = 2 si A = 0 obtinem din (18) si (14),

2p < ωBT < 0.5z (avem ωB ≈ ωBT ) de unde concluzia ca daca un sistem are unpol si un zerou reale instabile pentru a obtine performante acceptabile trebuiez > 4p . Mai mult, din Teorema 7 avem

S ∞

≥ c , T ∞

≥ c , c = |z + p |

|z − p |.


Constrangeri Frecventiale (Teorema lui Bode)

http://find/


39/69

Constrangeri Frecventiale (Teorema lui Bode)

Teorema lui Bode este o aplicatie directa a formulei integrale Cauchy in TeoriaSistemelor. Esentialmente aceasta arma ca pentru orice sistem faza (la o pulsatiexata ω0) se poate deduce unic din informatia despre amplitudine.

Teorema 8

Fie L(s ) functia de transfer a unui sistem in bucla deschisa ce este propriu, stabil si de faza minima (fara zerouri instabile), normalizat a.i. L(0) > 0. Atunci la orice frecventa ω0 faza φ(ω0) := arg L( j ω0) satisface

φ(ω0) = 1π ∞

−∞

d ln |L|dν

ln coth |ν |

2 dν (19)

unde variabila de intergrare este ν := ln ωω 0 .


Constrangeri Frecventiale (Teorema lui Bode)(2)

http://find/


40/69

Constrangeri Frecventiale (Teorema lui Bode)(2)Observatii:

d ln |L|d ν este panta (considerata adimensional) a diagramei Bode a amplitudinii.Ea este in general negativa pentru majoritatea frecventelor (pantaadimensionala este ℓ pentru o panta in diagrama Bode de 20ℓ db/dec).Functia

ln coth |ν |

2 = ln

e | ν |

2 + e −| ν |

2

e | ν |

2 − e −| ν |

2

ia valori mari ptr. ω ≈ ω0 si descreste rapid cand ω se departeaza de ω0.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

Figura 7: Functia ln coth |ν |2 versus ν



http://find/


41/69


Faza la ω0 este de fapt determinata doar de panta amplitudinii in apropierealui ω0!Faza va mare daca |L| este atenuat lent si va mica daca atenueaza rapid(faza este considerata cu semn). Mai exact, faza va cu atat mai negativacu cat panta amplitudinii in jurul lui ω0 este mai abrupta.In consecinta daca intr-o vecinatate sucient de larga a lui ω0 panta este ℓputem folosi aproximatia (relativ grosiera)

φ(ω0) = ℓπ ∞−∞ ln coth |ν |2 dν = ℓπ π

2

2 = ℓ

π2

.

Deci o panta a amplitudinii de 20ℓ [db / dec ] in jurul lui ω0 implica o faza deaproximativ ℓπ2 [rad / sec ].



http://find/


42/69


Comportarea lui φ(ω) este esentiala in zona de medie frecventa (in zonafrecventei de taiere ωt ) la care |L( j ωt )| = 1 deoarece π + φ(ωt ) este margineade faza a sistemului. Avem

|1 + L( j ωt )| = |1 + L−1( j ωt )| = 2 sin π + φ(ωt )2si aceasta trebuie sa nu e prea mica pentru a avea stabilitate robusta. Daca

π + φ(ωt ) este fortat sa e foarte mic printr-o atentuare rapida a amplicarii,sistemul in bucla inchisa va avea o margine foarte mica de stabilitate. Inconsecinta in zona de medie frecventa panta maxima admisa este − 1(cu un maxim teoretic de -2 pentru a avea stabilitate chiar dacanerobusta !!!) . Aceasta panta trebuie mentinuta pentru un interval defrecvente sucient de mare in jurul lui ωt .Formula lui Bode se poate extinde si in cazul sistemelor de faza neminima/instabile. Atenuarea lenta in zona de medie frecventa este si mai stringentaintrucat polii/zerourile instabile contribuie cu faza negativa !Exista formule Bode care dau dependenta real–imaginar, imaginar–real,amplitudine–faza, dar ele au o importanta restra nsa in Teoria Sistemelor.


2.5 Performantele Sistemelor cu Bucla de Reactie –

http://find/


43/69

2.5 Performantele Sistemelor cu Bucla de Reactie specicatii clasice intr-o viziune moderna –

In teoria clasica a reglarii exista anumiti indicatori de performanta ai sistemului inbucla inchisa. Cerintele de proiectare practice constau adesea in gasirea unuiregulator care sa asigure ca acesti indicatori de performanta sunt intr-o anumitaplaja de valori. Introducem in continuare o serie de astfel de criterii deperformanta ce se pot grupa in trei categorii principale:

Specicatii in domeniul timp (cel mai adesea formulate in termeniiraspunsului la un semnal de tip treapta);Specicatii in domeniul frecvential;Specicatii privitoare la largimea de banda si frecventa de taiere.

Pentru ecare dintre acesti indicatori vom comenta principalele lor limitari indescrierea performantelor unui sistem si vom arata modul in care ei se potreformula (sau inlocui) in teoria moderna rezultand in nal un cadru unitar detratare a intregii problematici a reglarii.


Specicatii in Domeniul Timp

http://find/


44/69

p p

Abordarea cel mai des folosita de catre ingineri in practica pentru analiza unui

sistem de reglare este simularea raspunsului indicial (la semnal treapta).y(t)

ttc tt

2&ys

yi

1

Figura 8: Specicatii in Domeniul Timp


Specicatii in Domeniul Timp(2)

http://find/


45/69

p p( )Consideram urmatoarelor caracteristici (sistemul este presupus intern stabil, iarvaloarea de regim stationar a iesirii se presupune normalizata la 1):

Timpul de crestere t c :

t c := supδ

{δ : y (t ) ≤ t δ

, ∀t ∈[0, δ ]}

adica timpul necesar ajungerii in vecinatatea noului punct stationar. Pentrusimplitate, aceasta denitie se inlocuieste adesea cu timpul necesar iesiriipentru a ajunge prima oara la 90% din valoarea nala;Timpul tranzitoriu t t :

t t := inf δ

{δ : |y (t ) − 1| ≤ ǫ, ∀t ∈[δ, ∞ ]}

adica timpul necesar componentei tranzitorii sa coboare sub nivelul ǫconsiderat tipic intre 1% si 10% din valoarea de regim stationar;Suprareglajul (supraurmarirea) y s :

y s := supt

{y (t ) − 1}

adica valoarea maxima cu care iesirea depaseste valoarea de regim stat ionar;C. Oar ă, R. Ştefan Teoria Sistemelor Automate martie 2016 45 / 69




46/69

p p( )

Subreglajul y i :y i := sup

t

{− y (t )}

adica valoarea maxima negativa a iesirii;Indicele de oscilatie este raportul intre al doilea si primul varf (maxim) alraspunsului Ξ := y s 2y s ;Offset–ul regimului stationar: Diferenta dintre valoarea dorita si cea realizata

de regim stationar.Timpul tranzitoriu si de crestere masoara viteza raspunsului pe cand suprareglajul,subreglajul si offsetul masoara calitatea raspunsului .Tipic, pentru performante “bune” trebuie sa asiguram:

t t cat mai mic t c cat mai mic Suprareglajul: y s ≤ 0.2 (20%)Subreglajul: y i ≤ 0.1(10%) Indicele de oscilatie: Ξ≤ 0.3

Masurile de mai sus se refera la semnalul de iesire y (t ). In plus, se poateconsidera comanda u (t ) – care trebuie sa e relativ mica si neteda – si in cazulprezentei perturbatiilor si raspunsul la acestea.



http://find/


47/69

p p( )

In mod traditional, specicatiile in domeniul timp au jucat un rol esential, insaastazi ele au o importanta limitata datorita anumitor dezavantaje majore :

Nu cuantca in nici un fel comportarea sistemului in banda de medie si inaltafrecventa;Evaluarea analitica a diverselor marimi in domeniul timp este foartecomplicata pentru sisteme complexe (ordin mai mare decat trei). Chiar dacaavem o evaluare analitica exacta, problemele de optimizare care rezulta suntfoarte complicat de rezolvat chiar si dpdv numeric intrucat sunt in generalneconvexe. De aceea cel mai adesea se apeleaza la aproximarea sistemului cuun sistem de ordinul 2 cu 1-2 poli/zerouri in plus;

Aproximarile folosite (care asimileaza sistemul cu unul de ordin doi) suntextrem de imprecise in cazuri mai complexe.


Care este solutia moderna (specicatii in domeniul timp)?

http://find/


48/69

Se considera minimizarea normei L2 a semnalului de eroare ∞0 e (t )2d t si setransforma aceasta cerinta din domeniul timp in cel frecvential via teorema luiParseval. Astfel toate cerintele privitoare atat la viteza de raspuns cat si lacalitatea raspunsului sunt combinate intr-un singur numar . Se poate arata ca:

e (t ) 2 “mica” ⇒ Indicatorii de performanta din domeniul timp acceptabili !

Avantaje:Problemele de optimizare rezultate sunt relativ usor de rezolvat dpdv numeric(exista algoritmi ecienti);Se pot cuantica simultan cerinte asupra lui e (t ), u (t ), etc, prin considerareaunor criterii de optimizare de tipul

∞0 (Qe (t )2 + Ru (t )2)d t unde Q si R sunt niste ponderi potrivit alese a.i. sa exprime importantarelativa a erorii si comenzii.


Specicatii in Domeniul Frecventa

http://find/


49/69

Raspunsul in frecventa al functiei de transfer in bucla deschisa L( j ω), al functieide sensibilitate S ( j ω) si al functiei T ( j ω) pot folosite pentru a specica diverseperformante ale sistemului in bucla inchisa.

1

Frecventa

Amplitudine

|L|

|S|

|T|

Figura 9: Diagrame Bode Tipice pentru L, S, T


Avantaje in raport cu indicatorii de performanta in

http://find/


50/69

domeniul timp

Reecta comportarea sistemului la o clasa mult mai larga de semnale(sinusoide de orice frecventa);Multe proprietati esentiale ale sistemului in bucla inchisa sunt mai usor despecicat (comportarea la incertitudini, performanta urmaririi, toleranta laintarzieri);Normele L∞ ale diverselor functii de transfer ca si cerintele standard de tipul

W S S < 1 si W T T < 1 se pot transcrie direct in aceste diagrame;Comportarea sistemului in zona critica de medie frecventa (unde L ≈ 1) esteevidentiata foarte clar ;

Am discutat la SS marginea de amplitudine, de faza, si cea vectoriala. Discutamin continuare normele L∞ ale lui S si ale lui T , si diversele largimi de banda sifrecvente de taiere folosite pentru a cuantica viteza raspunsului.


Margini pentru S ∞ si T ∞



51/69

Tipic, se impun:

S ∞ < 2 (aprox. 6 db) T ∞ < 1.25 (aprox. 2db)Observatii:

Valori mari pentru S sau T (mai mari decat 4) indica performante foarteslabe sau robustete foarte scazuta.Daca S

∞ este“mare” atunci si T

∞ este “mare” si viceversa intrucat

S + T = 1 si la orice frecventa avem

|| S | − | T | | ≤ | S + T | = 1

astfel incat S ∞ si T ∞ difera prin cel mult 1.In teoria clasica se cere adesea un control strict al lui

T

∞ (M –cercuri,

diagrame Nichols, etc in care |T | este evaluat pe baza lui L). Asa cum vomvedea mai tarziu, folosirea lui |T | ca indicator de performanta (unic) prezintao serie de dezavantaje. In teoria moderna criteriile de performanta in termeniilui |T | s-au inlocuit cu criterii in termenii lui |S | sau in termenii uneicombinatii de |S | si |T |.


Margini pentru S ∞ si T ∞ (2)

http://find/


52/69

Ratiunile pentru care dorim marginirea lui S ∞ si T ∞ suntmultiple . De exemplu, pentru performanta buna la urmarirea referintelor sirejectarea perturbatiilor cerem |S ( j ω)| 1 (de exemplu din motive desaltele de apa). Acest lucru rezulta si din

L( j ω180) = − 1MA

⇒ S ( j ω180 ) = 1

1 − 1MA> 1, T ( j ω180) =

− 1− 1 + MA

.

(20)

In consecinta la frecvente medii efectul feed–backului este de a degradaperformanta si putem deci interpreta S ∞ drept cea mai defavorabiladegradare a performantelor.


Largime de Banda si Frecventa de Taiere

http://find/


53/69

Largimea de banda se poate deni ca intervalul de frecvente [ω1, ω2] in care

controlul (reglarea) este “efectiva” (i.e. obtinem o oarecare performanta;diverse intepretari ale performantei=diverse denitii!).Adesea dorim control bun la ω = 0 si atunci automat ω1 = 0 rezultand calargimea de banda este ωB = ω2 .

Se denesc cateva frecvente esentiale:Largimea de banda ωB (in bucla inchisa, in raport cu S ): cea mai micafrecventa ω la care |S ( j ω)| taie (in sens crescator) 1√ 2 = 0 .707 (≈ -3 db).Largimea de banda ωBT (in raport cu T ): cea mai mare ω la care |T ( j ω)|taie (in sens descrescator) 1√ 2 = 0 .707 (≈ -3 db).

Frecventa de taiere ωt (a amplitudinii): Cel mai mic ω la care |L( j ω)| taie (insens descrescator) 1 (= 0 db).Frecventa de taiere ω180 (a fazei): cea mai mica frecventa ω la care loculNyquist L( j ω) taie axa reala in intervalul (− 1, 0).


Largime de Banda si Frecventa de Taiere(2)

http://find/


54/69

Observatii:Largimea de banda in termenii lui S indica frecventa pana la care in modconventional se considera ca are loc urmarirea referintei si rejectiaperturbatiei (modulul functiei de transfer corespunzatoare r → e si d o → y care este S devine mai mare de 0.707).

Largimea de banda in termenii lui T indica frecventa pana la care in modconventional se considera ca sistemul in bucla inchisa mai reactioneaza la osinusoida (modulul functiei de transfer care este T scade sub 0.707).Indicatorul traditional de largime de banda in automatica este ωBT (cugeneza din electronica – de exemplu proiectarea amplicatoarelor audio).

Acest indicator este neadecvat insa in multe cazuri (asa cum vom vedea mai jos) a.i. in teoria moderna uzual se foloseste notiunea de largime de bandadenita in termenii lui S .



http://find/


55/69

In multe situatii ωB ≈ ωBT . Cand acest lucru nu se intampla situatia este ingeneral precum urmeaza: pana la ωB avem |S | < 0.707 si controlul este

efectiv imbunatatind performanta. In intervalul [ωB , ωBT ] controlul incaafecteaza raspunsul dar nu imbunatateste performanta, cel mai adesea chiar odegradeaza pentru ca avem si |S | > 1 (saltele de apa). In nal, la frecventemai mari de ωBT avem ca S ≈ 1 si controlul nu are nici o inuenta asupraraspunsului.

Pentru sisteme pentru care MF < 90o

avem ca (demonstrati acest lucru! )ωB < ω t < ωBT .

De aceea adeseori ωt este folosit ca denitie a largimii de banda (se calculezasi relativ usor).Din (20) rezulta ca ω180 > ωBT pentru MA > 2.414 si ω180 < ωBT pentruMA < 2.414. Cum adesea MA ≈ 2.4 concluzionam ca ω180 ≈ ωBT .Din (20) rezulta deasemenea ca la ω180 faza lui T (si a lui L) este − 180o deunde concluzionam ca pentru o sinusoida cu pulsatia ω180 raspunsul estetotal defazat . Cum adesea ωBT ≈ ω180 aceasta explica inca odata de ce ωBT este un indicator slab de performanta.



http://find/


56/69

In concluzie, ωB si ωt sunt indicatori relativ buni ai largimii de banda pecand ωBT poate inselator in anumite situatii (in special in studiul

sistemelor de ordin superior). Motivul este ca vrem T ≈ 1 pentruperformanta buna dar nu este sucient ca |T | ≈ 1; trebuie considerata sifaza. Pe de-alta parte, pentru performanta buna cerem S ≈ 0 si pentruaceasta este sucient ca |S | ≈ 0 indiferent de faza.


2.6 Incertitudini de Model si Robustete

http://find/


57/69

Nici un model matematic al unui sistem NU POATE DESCRIE EXACT un

sistem zic! Din acest motiv este esential sa intelegem cum erorile de modelarepot inuenta negativ performantele unui sistem de reglare si sa vedem cum putemtrata aceste incertitudini de modelare inca din faza de proiectare.Cum procedam?

Tehnica de baza consta in modelarea sistemului nominal ca apartinand unei

multimi admisibile de modele (modelul real nu este cunoscut dar se stie caapartine unei multimi de modele specicate intr-un anumit fel).Cerem ca stabilitatea/performantele sistemului de reglare sa e asiguratepentru toate sistemele din multimea admisibila.Proiectam un regulator ( unic !!!) care va asigura stabilitatea interna si

performantele pentru toate modelele din multimea admisibila .Rezultat: Stabilitatea interna si performantele vor implicit asigurate pentrusistemul rezultant obtinut prin montarea regulatorului pe modelul real (ce nu estecunoscut cu certitudine dar se stie ca apartine clasei admisibile).


Descrierea notiunii de robustete

http://find/


58/69

Pentru a descrie notiunea de robustete avem deci nevoie de:O multime de modele matematice (functii de transfer) P ;O caracteristica oarecare a sistemului cu bucla de reactie (de exemplustabilitatea interna sau un indice de performanta);Un regulator C .

Spunem ca C este robust in raport cu o proprietate a sistemului daca aceastaproprietate are loc pentru oricare model din P . Sistemul rezultant in bucla inchisala randul lui se numeste robust (in raport cu aceasta proprietate).Vom trata doua notiuni de robustete: stabilitate robusta si performanta robusta .


Descrierea incertitudinilor de model(2)

http://find/


59/69

Incetitudinile de model pot de doua feluri: structurate si nestructurate .Incertitudinile structurate implica cunoasterea structurii modelului iarincertitudinea se manifesta sub forma faptului ca anumiti parametrii sunt incerti(apartin unor intervale).

Incertitudinile nestructurate implica faptul ca nici macar structura exacta amodelului (numarul de poli/zerouri etc) nu este cunoscuta. Tratam in continuareincertitudini nestructurate din doua motive:

Sunt mult mai generale ;Orice sistem real contine o parte nemodelata (incertitudine) in special la

frecvente inalte.


Descrierea matematica a incertitudinilor de model

http://find/


60/69

Functia de transfer a modelului nominal este P si presupunem ca sistemul realapartine multimii de modele incerte descrise de

P = (1 + ∆ W )P . (21)W este o functie de transfer (o pondere) stabila xata, ∆ este o functie detransfer stabila variabila care satisface ∆ ∞ ≤ 1 si presupunem ca nu au locsimplicari poli–zerouri la formarea lui

P (presupunerea se face din motive tehnice

si nu conduce la limitari in aplicarea teoriei nale).O astfel de perturbatie ∆ se numeste admisibila iar incertitudinile se numescmodelate multiplicativ. Ideea din spatele acestei clase de perturbatii este ca ∆ W este perturbatia normalizata a sistemului in raport cu 1 , i.e.

P

P − 1 = ∆ W

si cum ∆ ∞ ≤ 1 rezulta

P ( j ω)P ( j ω)

− 1 ≤ | W ( j ω)|, ∀ω. (22)


Descrierea matematica a incertitudinilor de model(2)

http://find/


61/69

Observatii:W ( j ω) da prolul perturbatiei ind in general o fctie monoton crescatoare cuω.∆ cuantica incertitudinea de faza si actioneaza ca un factor de scalare aamplitudinii perturbatiei (i.e. |∆ | ∈ [0, 1]).Inegalitatea ( 22) descrie un cerc in planul complex : La ecare frecventapunctul

P P apartine discului cu centrul in 1 si de raza |W | .

In concluzie modelul incert este reprezentat prin intermediul unui modelnominal P si o functie pondere W .


Stabilitate Robusta

http://find/


62/69

Un regulator C asigura stabilitate robusta daca asigura stabilitate interna oricarear sistemul din multimea P . Prezentam in continuare un test simplu de

stabilitate robusta.Teorema 9 ( Incertitudini modelate multiplicativ)C asigura stabilitatea robusta daca si numai daca

WT

∞ < 1 (23)

unde W este prolul incertitudinii (vezi (21)), iar T = PC 1+ PC .

Observatii:Conditia (23) este in forma in care am cuanticat diverse performante in

termenii lui T . De aceea pentru prolul incertitudinii de model se folosesteadesea notatia W T := W (folosita si in continuare).Conditia (23) este echivalenta cu

W T ( j ω)L( j ω)1 + L( j ω)

< 1, ∀ω ⇔ | W T ( j ω)L( j ω)| < |1 + L( j ω)|, ∀ω.


Interpretare graca: la ecare frecventa punctul critic este in afara discului cu

http://find/


63/69

centrul L( j ω) si de raza |W T ( j ω)L( j ω)|.

(-1,0)

| | W LT

L

Im

Re

Figura 10: Stabilitate Robusta


Performanta Robusta

http://find/


64/69

Analizam in continuare performanta in prezenta incertitudinilor de model.Notiunea generala de performanta robusta se refera la faptul ca stabilitatea interna

si performanta de un anumit tip sunt satisfacute pentru toate modelele din P .Am vazut anterior ca tipic performanta nominala se cuantica sub formaW S S ∞ < 1 unde W S este o functie pondere aleasa functie de cerinta concreta

de performanta. Conditia de stabilitate robusta este W T T ∞ < 1 unde W T esteo functie ce da prolul incertitudinii de model. Fie

S := 11 + PC

= 11 + (1 + ∆ W T )PC = S 1 + ∆ W T T (24)

functia de sensibilitate a buclei pentru modelul perturbat. Atunci performantarobusta inseamna W T T ∞ < 1 (stabilitate robusta) si

W S S ∞ < 1 ⇔W S S

1 + ∆ W T T ∞ < 1, ∀∆ , ∆ ∞ < 1unde am folosit (24) – (performanta nominala asigurata pentru orice model dinmultimea admisibila de modele). Teorema urmatoare furnizeaza un test deperformanta robusta unicand in acelasi timp majoritatea rezultatelor de panaacum.


Performanta Robusta(2)

http://find/


65/69

Teorema 10O conditie necesara si sucienta pentru performanta robusta este

|W S S | + |W T T | ∞ < 1 (25)


Interpretare graca: la ecare frecventa ω discul cu centrul in punctul critic − 1 sid |W (j )| i t t l t l i L( j ) i |W L(j )|!

http://find/


66/69

de raza |W S ( j ω)| nu intersecteaza cercul cu centrul in L( j ω) si raza |W T L( j ω)|!

(-1,0)| | W LT

L

Im

Re

| | W LT| | W LT| | W LT

|W |s

Figura 11: Performanta Robusta


2.7 Concluzii generale



67/69

Numeroase cerinte de proiectare precum asigurarea diverselor tipuri deperformanta nominala si stabilitatea robusta se pot reformula ca

W S S ∞ < 1, W T T ∞ < 1, (26)unde W S si W T sunt functii pondere ce se construiesc de proiectant infunctie de cerintele specice ale problemei concrete sau, echivalent

max(|W S S |, |W T T |) ∞ < 1. (27)

Daca apar simultan mai multe cerinte de proiectare (ce implica diverseponderi diferite asupra lui S si T ) de forma

W Si S ∞ < 1, i = 1 , . . . , k , W Tj T ∞ < 1, j = 1 , . . . , ℓ ,

atunci denindW S ( j ω) := max

i =1 ,..., k |W Si ( j ω)|, W T ( j ω) := max

j =1 ,...,ℓ|W T ( j ω)|

obtinem o scriere compacta a tuturor cerintelor de proiectare din nou subforma (26) sau (27) (W S si W T nu mai sunt acum neaparat f unctii rationale.)


Concluzii generale(2)A i f l b (i bili i i f



68/69

Asigurarea performantelor robuste (i.e. stabilitate interna si performantanominala W S S < 1 in conditii de incertitudini) este echivalenta cu

|W S S | + |W T T | ∞ < 1. (28)Avand in vedere ca

max(|W S S |, |W T T |) ≤ | W S S | + |W T T | ≤ 2 max(|W S S |, |W T T |)

rezulta ca (27) si (28) sunt relativ apropiate. De exemplu, daca asiguram(27) cu un factor de siguranta de 2, i.e.,

W S S ∞ < 12

, W T T ∞ < 12

rezulta ca (28) – cerinta de performanta robusta – este automat asigurata.Exercitiu: Aratati ca un compromis bun pentru ( 27) si (28) este

(|W S S |2 + |W T T |2)12 ∞ < 1. (29)

In consecinta alegerea efectiva a formei (27), (28) sau (29) drept criteriu deproiectare nu joaca un rol esential, facandu-se adesea astfel incat problemamatematica rezultata sa e cat mai simplu de re zolvat.


Concluzii generale(3)Proiectarea consta in doua etape fundamentale:

http://find/


69/69

Proiectarea consta in doua etape fundamentale:Alegerea potrivita a ponderilor W S si W T pe baza cerintelor concrete de

proiectare si modelului real – asa cum am prezentat anterior.Gasirea unui compensator C care asigura stabilitatea interna si conditia (27)(sau (28) sau (29)).

Se disting doua clase de metode pentru Pasul 2:Metode elementare de tip loop–shaping in care conditiile (27) si (28) se

expliciteaza in bucla deschisa la joasa si respectiv inalta frecventa (asa cumam vazut la inceputul capitolului) si se proiecteaza cf. teoremei lui Bode opanta lina la medie frecventa pentru asigurarea stabilitatii interne.Metode de optimizare de tip H ∞ in care se rezolva problema de minim

minC ∈C

W S S

W T T ∞unde C este clasa regulatoarelor care stabilizeaza sistemul in bucla inchisa.Aceste proceduri furnizeaza automat un C optimal (sub forma unei realizaride stare) insa intelegerea acestor proceduri implica dezvoltari teoretice foarteample (vezi cursul de Sisteme Robuste - Anul IV/ Master!).

http://find/

tsa2016-capitolul2

Documents