truss
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TrussTRANSCRIPT
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Prof. Ediguer Enrique Franco G.Depto. de Energtica y Mecnica
ELEMENTO TRUSS
CursoIngeniera Asistida por Computador
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Barra cargada axialmenteBarra cargada axialmente
AP
= E=
= Lo dx
EAPL
= LEAP =
P=k
F=kxk= EAL
Entonces, una barra cargada axialmente es simplemente unElemento resorte (spring) con constante elsticak=AE/L.
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Curva esfuerzo-deformacinCurva esfuerzo-deformacinRelacin fuerza-deformacin para la barra con carga axial
=
2
1
2
1
uu
1111
LEA
ff
{F }= [K ]e {u }
=
1111
LEAKe
jiij KK =
La matriz de rigidez es simtrica:
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Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas
u=u1 cos +v1 sen
v=u1sen +v1 cosDonde:
u Desplazamiento horizontalv Desplazamiento vertical
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Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas
[ uv ]=[cos sen sen cos ] [u1v1 ]El ngulo se puede determinar usando las coordenadas de los nodos de la estructura:
LXXcos 12 =
LYYsen 12 =
Expandiendo para un elemento con dos nodos:
[ u1v 1u2v2 ]=[T ] [u1v1u2v 2
]=[cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen 0 0 sen cos ]{u }e=[T ]e {u }e
Donde [T] es la matriz de transformacin, que siempre es ortogonal.
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[ f 1xf 1yf 2xf 2y ]= [T ] [f 1xf 1yf 2xf 2y
]=[ cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen 0 0 sen cos ][f 1xf 1yf 2xf 2y
]De forma similar podemos escribir la matriz de fuerzas nodales:
{ f }e=[K ]e {u }eRetomando la ecuacin y reescribindola con la transformacin:
[T ] {f }e= [K ]e [T ] {u }e
Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas
{ f }e=[T ]e { f }e
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Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas
[T ]1 [T ] {f }e= [T ]1 [K ]e [T ] {u }e
Multiplicndola por: [T ]1
Para matrices ortogonales, la transpuesta es igual a la inversa: [T ]1= [T ]T
{ f }e=[T ]T [K ]e [T ] {u }e
[K ]e= [T ]T [K ]e [T ]
Entonces, la matriz de rigidez para el elemnto rotado es:
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Transformacin de coordenadasTransformacin de coordenadas
[K ]e=EAL [ T b T bT b T b ]
Expresando esta matriz de forma reducida:
[ ]
=
22
22
22
22
coscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscos
sensensensensensen
sensensensensensen
LEAK e
[T b ]=[cos2 sen cos sen cos sen 2 ]
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Solucin del problemaSolucin del problema
{ f }=[K ] {u }
{ f } : Vector de cargas( fuerzas, temperaturas, etc .)[K ] : Matriz de rigidez global{u }: Resultado de los grados de libertad ( incognitas ) o vector de desplazamientos
Conocidos Desconocido
{u }= [K ]1 { f }
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EjemploEjemplo
Determinar el desplazamiento horizontal y vertical del nodo 1 y los valores de esfuerzos para cada una de las barras de la armadura mostrada en la figura. Para su solucin tenga en cuenta que:
F=10,000lb A=2in2 E=30x106psi L=10ft=120in
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