trix 3 lærerhåndbok

Lærerhåndbok

333

Trix 3 lærerhandbok_materie.indd 1 Trix 3 lærerhandbok_materie.indd 1 02-10-07 14:52:5802-10-07 14:52:58

Trix 3 · Lærerhåndbok

© 2004 og 2005, Alinea, København

© 2007 N.W. Damm & Søn AS

ISBN 978-82-04-11250-7

1. utgave, 1. opplag

Opprinneleg tittel: TRIX 2A Lærervejledning og TRIX 2B Lærervejledning

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med N.W. Damm & Søn AS er enhver eksemplarfremstilling

og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt

gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Grafi sk tilrettelegging: Tegnestuen Gram gl. skole

Omslag: Tegnestuen Gram gl. skole / Hans Møller

Illustrasjoner: Hans Møller

Foto: Hans Juhl

Dansk redaksjon: Carsten Kjems Falk og Erik C. Stenbøg

Norsk redaksjon: Anne Kari Kvamme og Sigrun Trae

Sats og ombrekking: Tine Østby Andreasen

Tilpasning læreplan for grunnskolen 2006: Kjersti Fremstad

Oversettelse: Dorthe Erichsen

Språkpuss og oversettelse nynorsk (TRIX-historier): Jan og Tove Gausemel

Trykk: Narayana Press, Danmark 2007



Innh

old Felles innledning for TRIX 3A og TRIX 3B

Innhold 3Innhold i TRIX 3A 4Innhold i TRIX 3B 6Grunntankene i TRIX 9 Kompetanser 11 TRIX som læringsverktøy 12 TRIX som undervisningsverktøy 15 Utdyping av de pedagogiske vurderingene 18 Kunnskapsløftets kompetansemål etter 4. årstrinn 24Algoritmer 26

TRIX 3A 29Oversikt over TRIX 3A 30Kompetanseutvikling 32Veiledning til hvert kapittel i TRIX 3A 35 Jippi – et screeningkapittel 36 Mer om posisjonssystemet 42 Mer om bygg og tegn 52 Mer om addisjon 60 Areal 70 Jul 78 Undersøkelser 83Ut-av-boka-aktiviteter 89TRIX-historier 3A – bokmål 99TRIX-historier 3A – nynorsk 107

TRIX 3B 115Oversikt over TRIX 3B 116Kompetanseutvikling 118Veiledning til hvert kapittel i TRIX 3B 121 Minus-måter 122 Mer om måling 132 Valg av regneart 140 Gjett! 148 Multiplikasjon 156 Dette har vi lært 166 Undersøkelser 172Ut-av-boka-aktiviteter 176TRIX-historier 3B – bokmål 185TRIX-historier 3B – nynorsk 193

Fasit til kopioriginalene TRIX 3A 201Fasit til kopioriginalene TRIX 3B 215Regneark til TRIX 3A og TRIX 3B, se www.dammskolen.no 229Register 232

3



Kapittel og tema Elevbok Lærerhåndbok Kopioriginaler Ut-av-boka-aktiviteter side side nummer nummer

Jippi 1–8 36–41 1–6 1–8

Mer om posisjonssystemet 9–24 42–51 7–17 9–18

Intro 9 43 9–10

Intro-aktiviteter 10–11 44 7–8 11

Gjennomgang 12 45

Øvelser 13–15 45–46 9–11 12–14

Oppgaver 16–22 47–50 12–17 15–18

Evaluering 23–24 50–51

Mer om bygg og tegn 25–36 52–59 18–24 19–27

Intro 25 53 19–21

Intro-aktiviteter 26–27 54 18–20

Gjennomgang 28 55

Øvelser 29–31 55–56 21–22 22–23

Oppgaver 32–34 57–58 23–24 24–27


Mer om addisjon 37–52 60–69 25–38 28–36

Intro 37 61 25

Intro-aktiviteter 38–40 62–63 26–28 28–30

Gjennomgang 41 63 29–30

Øvelser 42–43 64 31–32

Oppgaver 44–50 65–68 33–38 31–36


Areal 53–64 70–77 39–47 37–43

Intro 53 71 37

Intro-aktiviteter 54–55 72 39–40

Gjennomgang 56 73

Øvelser 57 73 41–42 38–39

Oppgaver 58–62 74–76 43–47 40–43


Jul 65–72 78–82 48–51

Undersøkelser 73–78 83–87 52–53

Høyden vår 73 84

Skyggegeometri 74–75 85 52

Kjæledyr 76–77 86 53

Ved felles hjelp 78 87

Foreldresider 79–80

Innhold i TRIX 3A

Skjemaet på side 24–25 viser hvilke kapitler og undervisningsopplegg i TRIX for 3. trinn som dekker de ulike kompetansemålene som er satt av Kunnskapsløftet.

Ove

rsik

tIn

nhol

d i T

RIX

3A

4



TRIX-historie Regneark Fargetransparenter nummer nummer

1. Om regneark 1. Arbeidsrommet til Trix

til side 1

2. Dyrehage 2. Dyrehage til side 9

3. Innsamling

1. Finnerlønnen

4. Cowboy

2. Pappesketrapp 3. Stua til Felix til side 25

4. Bygg og tegn til side 28

5. Halloween til side 37

3. På besøk hos Trix 6. Addisjonsalgoritme

til side 41

5. Loppemarked 7. Verktøyrom til side 50

6. Idrettsdag

7. Areal-1

4. Potethagen

8. Areal-2

9. Areal-3 8. Arealby til side 58–59

5. Julehygge hos Felix

Ove

rsik

tIn

nhol

d i T

RIX

3A

Kapittel og tema

Jippi

Mer om posisjonssystemet

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Mer om bygg og tegn

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Mer om addisjon

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Areal

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Jul

Undersøkelser

Høyden vår

Skyggegeometri

Kjæledyr

Ved felles hjelp

Foreldresider

5



Innhold i TRIX 3B

Skjemaet på side 24–25 viser hvilke kapitler og undervisningsopplegg i TRIX for 3. trinn som dekker de ulike kompetansemålene som er satt av Kunnskapsløftet.

Ove

rsik

tIn

nhol

d i T

RIX

3B

Kapittel og tema Elevbok Lærerhåndbok Kopioriginaler Ut-av-boka-aktiviteter side side nummer nummer

Minus-måter 1–14 122–131 1–10 1–8

Intro 1 124 1

Intro-aktiviteter 2–4 125–126 1–4 2–4

Gjennomgang 5 126

Øvelser 6–7 127 5–6 5

Oppgaver 8–12 128–130 7–10 6–8


Mer om måling 15–26 132–139 11–17 9–17

Intro 15 133 9–10

Gjennomgang 16 134 11–12

Øvelser 17 134 11–12

Oppgaver 18–24 135–138 13–17 13–17


Valg av regneart 27–38 140–147 18–26 18–24

Intro 27 141 18 18

Gjennomgang 28 142 19

Øvelser 29 142 19–20 20

Oppgaver 30–36 143–146 21–26 21–24


Gjett! 39–48 148–155 27–36 25–31

Intro 39 150–151 27 25–26


Gjennomgang 42 152

Øvelser 43 152 30–31

Oppgaver 44–46 153–154 32–36 28–31


Multiplikasjon 49–62 156–165 37–48 32–39

Intro 49 158 37 32–34


Gjennomgang 52 160

Øvelser 53–55 160–161 41–44 36

Oppgaver 56–60 162–164 45–48 37–39


Dette har vi lært 63–72 166–171 49–57

Undersøkelser 73–78 172–175 58

Min gruppe 73 172

Skoleveien 74–75 173 58

Sykler 76–77 174

Fyrstikker 78 175

Foreldresider 79–80

6



Ove

rsik

tIn

nhol

d i T

RIX

3B

TRIX-historie Regneark Fargetransparenter nummer nummer

1. En vinterdag 1. Farger

2. Regnemaskiner

3. Fargelegg veien

1. Algoritme til side 5

4. Regnekjede 2. Krysstokt til side 8–9

2. Ettårsdagen 3. Lengdemåling til side 16

5. Omkrets og areal 4. Danmark rundt til side 22–23

3. Felix’ kino 5. Kino til side 32–33

4. Spillehulen

6. Hagesenter til side 49

6. Gangeruter

5. Jubileumsfesten 7. Multiplikasjon 7. Multiplikasjon til side 52–53

8. Tallhopp

9. Multiplikasjon

8. Pagode til side 56–57

10. Trening

11. Veksling

12. Regnetykker

Kapittel og tema

Minus-måter

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Mer om måling

Intro

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Valg av regneart

Intro

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Gjett!

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Multiplikasjon

Intro

Intro-aktiviteter

Gjennomgang

Øvelser

Oppgaver

Evaluering

Dette har vi lært

Undersøkelser

Gruppa

Skoleveien

Sykler

Fyrstikker

Foreldresider

7



Gru

nnta

nken

e i T

RIX

3

8



Grunntankene i TRIX 3

TRIX 3 er en del av et matematikksystem som spenner fra 1. til 10. trinn.

I utarbeidelsen av systemet har vi hele tiden fokusert på tre sentrale forhold og relasjonen dem imellom:• Matematisk faglighet. Hvilke begreper og fer-

digheter skal elevene lære, og i hvilken rekke-følge? På hvilket trinn og i hvilke kapitler skal det matematiske kjernestoffet plasseres?

• Undervisningsverktøy til læreren. Hva skal læreren bruke for å tilrettelegge en undervisn-ing som lever opp til samfunnets krav, og som samtidig gir en rekke forskjellige han-dlingsmuligheter?

• Læringsverktøy for og til eleven. Hvordan skal stoffet presenteres slik at vi best tilgode-ser elevenes læring? Hvordan kan elevene ta medansvar for sin egen læring?

Figuren nedenfor beskriver de elementene og aktivitetstypene som systemet TRIX inneholder – sett ut fra tre synsvinkler:

DataKalkulatorRegneark

KopisiderTransparenter

Fortellinger

Verksteder, spill og materialer

Timeglass

Undersøkelser

Ut-av-boka-aktiviteter

Evaluering

SamfunnKompetanser

Lovmessige krav til undervisning

ElevLæringsprofil

Oppleve gledeGjøre erfaringerForstå og bruke

Ta initiativKommunisere

LærerTilrettelegge forløp

DifferensiereEvaluereVariere

Kommunisere

Gru

nnta

nken

e

9



Matematiske begreperMatematiske begreper er ordnet hierarkisk. Hvert matematiske begrep får blant annet mening ut fra den overordnede strukturen det inngår i. For eksempel vil begrepet multiplikasjon gi liten mening uten kjennskap til tall og addisjon.

De matematiske begrepene må imidlertid brukes i tilknytning til virkelige problemstillinger som ikke er pent tilrettelagt og strukturert. Tvert imot! Her dukker begreper som for eksempel pluss, sum og prosent plutselig opp i forskjellige sammenhenger og krever handling her og nå.

For at elevene skal bli kompetente matematikk-brukere, må altså matematikkundervisningen og matematikklæringen vektlegge selve matema-tikken og på anvendelse av matematikken.

I TRIX er det en hierarkisk progresjon. Elsempel-vis er det viktig å være klar over hvilke begreper elevene bør være fortrolige med før multiplikas-jonsbegrepet presenteres. Modellen nedenfor viser begrepsutviklingen i forhold til trinn.

Faglig begrep Trinn – utgivelse

Tall 1. trinn – tall 0–9 2. trinn – Jippi 2. trinn – bok A (tall 0–100) Addisjon 2. trinn – bok A (tall 0–9) 2. trinn – bok B (tall 0–100)

Gjentatt addisjon 3. trinnmed samme tall Multiplikasjon 3. trinn og videre

Multiplikasjonsbegrepet introduseres på 3. trinn ved gjentatt addisjon og fortsetter deretter på de neste trinnene. Når divisjon introduseres på 4. trinn, er alle de fi re regneartene innført. Mot slutten av 4. trinn arbeides det mye med valg av regneart. I et selvstendig kapittel er dags-ordenen «Valg av regneart». Her dreier det seg om å kunne benytte regneartene hensiktsmessig i konkrete dagligdagse problemstillinger.

Ferdighet og kompetanseParallelt med den matematiske begrepsutviklin-gen er det i TRIX tenkt i ulike ferdigheter. I de fl este undervisningsopplegg vil de fl este eller alle ferdigheter bli berørt, om enn i forskjellig utstrekning. Det er særlig to faktorer som har betydning for i hvilke delferdigheter som kreves i et kapittel:• Hvilket kjernestoff er det som behandles? For

eksempel: Kapitler som i innlæringen hand ler om regneartene, vil naturlig fokusere på blant annet tall- og symbolbehandlingskompe-tanse.

• Hvordan behandles emnet? Hva legges det mest vekt på i undervisningen? Noen lærere prioriterer kommunikasjon høyt, mens andre vektlegger at elevene skal begrunne sine resul-tater. Her vil evnen til henholdsvis kommuni-kasjon og resonnement bli ulikt utford ret.G

runn

tank

ene

10



KOMPETANSER

Å kunne …

• Å lage modeller ModelleringskompetanseNår elevene tegner en ting fra virkeligheten, lager de en modell. Modellen kan brukes til å gjengi de vesentligste trekkene fra selve objektet. Hvis de tingene som benyttes til å lage modellen, er matematiske, er det snakk om en matematisk modell. Det kan f.eks. være et hus som er bygd med rektangler som vinduer og dører og en (likebeint) trekant som tak.

• Å behandle tall og symboler SymbolbehandlingskompetanseElevene kan selv sette opp tall og enkle regnestykker. F.eks. utvikler de i løpet av 3. trinn reell kompetanse i forhold til titallssystemets oppbygging. I forbindelse med utregninger som invol verer tall med mer enn ett siffer, kan elevene trekke inn denne kunnskapen på en konstruktiv måte.

• Å gjenkjenne og bruke forskjellige representasjoner RepresentasjonskompetanseElevene kan operere med det samme begrepet på fl ere måter, avhengig av det konkrete behovet. De kan f.eks. skrive «to tatt fem ganger» som 2 + 2 + 2 + 2 + 2 dersom de har behov for å tydeliggjøre hva det vil si å gange. Hvis det ikke er nødvendig, kan de bruke den kortere representasjonsformen 5 • 2 som omtales i TRIX 3B.

• Å kommunisere KommunikasjonskompetanseElevene kan kommunisere med andre om matematiske forhold. Eksempel: «Så rart at huset på tegningen din har et vindu på venstre side. Sånn er det ikke hos meg.» «Jeg skriver 3 + 3 + 3 + 3 fordi vinduet har fi re sider som alle er like lange.»

• Å velge og bruke hjelpemidler HjelpemiddelkompetanseElevene bruker f.eks. linjalen som et naturlig hjelpemiddel til å tegne en rett strek. Tall s langen og posisjonsplaten kan benyttes ved utregninger, grupperinger osv.

• Å sette opp og løse problemer ProblemløsningskompetanseElevene kan sette opp og løse problemer, dvs. utfordringer som ikke umiddelbart lar seg håndtere. Det dreier seg f.eks. om en «kjøpesituasjon», der eleven selv må trekke inn addisjon når de skal sammenlikne priser.

• Å resonnere ResonnementskompetanseElevene kan gjennomføre et matematisk resonnement. De kan f.eks. konkludere med at «23 + 18 = 31 må være galt, fordi 32 + 10 = 33, og da må 23 + 18 bli mer».

• Å bruke matematikk kritisk Brukskritisk kompetanseElevene kan vurdere andres bruk av matematikk. Hva bør man være spesielt oppmerksom på? Eksempel: «Så rart at huset på tegningen din har runde vinduer. Vinduer ser jo ikke sånn ut.»

Gru

nnta

nken

e

11



Bruk av alle sanserLæringen skjer raskere, morsommere og tryggere når vi trekker inn fl ere sanser:

Ut for å undersøke• nærmiljø• skole• fi nne sammenhenger• tverrfaglighet

Bruke kroppen• matematikk i barnehøyde• motorikk• lek• bygg og tegn

Føle• hands on• gjenstander• konkrete materialer• ut-av-boka-aktiviteter

Kommunisere• samarbeide• respons• sette ord på

Se• verden rundt• aviser, blader osv.• bøker

Lytte• dialog• instruksjon• forklaring• TRIX-historier

TRIX som læringsverktøy

De ulike læringsstilene er etter hvert blitt godt kjent, og kan kort oppsummeres slik:

Hver elev har sin egen læringsstil. Den henger nøye sammen med elevens personlighet (intelligens(er)) og dermed også elevens sterke og svake sider. Hver elev lærer klart bedre når en tar utgangspunkt i riktig læringsstil – altså i elevens sterke sider.

Den erfarne lærer er klar over disse kjens-gjerningene. Vi ser det for eksempel når vi oppdager at den uinteresserte eleven som ikke klarer å følge med, er i full gang med et kom-plekst spill på pc-en. Eleven har kanskje mistet

interessen for faget fordi undervisningen ble for ensidig. Når vi ser eleven spille, må vi konstatere at det ikke er manglende intelligens eller evne til å lære. Det var kanskje bare ikke overskudd i systemet til å gi eleven de rette utfordringene med utgangspunkt i egen situasjon. Å ta utgangs-punkt i den enkelte elev er jo ikke det samme som eneundervisning. Det dreier seg derimot om å ta hensyn til den enkeltes læringsstil og skape rammer for undervisningen som tilgodeser fl ere innfallsvinkler til læring.

De viktigste læringsmessige aspektene – som TRIX inneholder i innlæringen – er beskrevet nedenfor.

Gru

nnta

nken

eLæ

rings

verk

tøy

12



TimeglassmodellenHoveddelen av kapitlene i TRIX-systemet er oppbygd etter en læringsmodell som vi har kalt «timeglassmodellen». Timeglasset brukes når elevene skal tilegne seg nye og sentrale begreper og metoder. Et kapittel begynner åpent ved å trekke på elevenes erfaringsgrunnlag. Deretter snevres det inn til et presist og velavgrenset

matematisk kjerneinnhold. Læringsforløpet fortsetter med bruk av begrepene i virkelige, relevante og forskjelligartede sammenhenger og avsluttes med en evaluering. Timeglasset er en svært viktig del av læringsverktøyet siden det består av seks sentrale forløpsfaser som til sammen og hver for seg inneholder den lærings-messige essensen i TRIX.

TIMEGLASSMODELLEN

IntroduksjonIdeen her er å motivere elevene for det nye emnet, samt fortelle dem hva dagsordenen er. Det legges opp til en samtale med elevene om hvorfor det er viktig å bruke tid på de aktuelle faglige begrepene.

Intro-aktiviteterFør nye matematiske begrepene innføres og forklares, er det viktig at elevene involveres aktivt så de begynner å tenke i «riktige baner». Elevene arbeider enkeltvis eller parvis med aktiviteter som gjenoppfrisker tidligere lærte faglige begreper og relevante erfa-ringer som peker fram mot den forestående læringsprosessen.

Matematisk gjennomgangI gjennomgangen gjøres det tydelig at man nå foretar et «sprang» inn i matematikkens verden. Aktivitetene skaper et grunnlag for å se på felles trekk og karakteristika. Møtet med det abstrakte matematiske begrepet tar dermed utgangspunkt i de erfaringer (matematiske og dagligdagse) som elevene «får opp til overfl aten» gjennom de introduserte aktivitetene.

ØvelserHer trener man på noen sentrale ferdigheter i knyttet til det nye stoffet. Øvelsene er utformet slik at det skal være tydelig for elevene hva de skal øve på, og det er mange gjentakelser av den samme arbeidsprosessen.

OppgaverOppgavene har som formål å forsterke begrepsdannelsen ved å skape fl ere relasjoner mellom de ulike begrepene hos den enkelte eleven. Forståelsen som er etablert gjennom arbeidet med øvelsene, blir nå utfordret. I forhold til øvelsene er oppgavene av blandet karakter, slik at det ikke er like tydelig for eleven hva som konkret må gjøres for å løse den enkelte oppgaven.

EvalueringDisse sidene har fokus på begrepsforståelse og ferdigheter. Evalu-eringens rolle er ikke å fastlegge barnas innbyrdes eller absolutte nivå, men tar i stedet et formativt utgangspunkt slik at eleven kan undersøke sine egne grenser.

Gru

nnta

nken

eLæ

rings

verk

tøy

13



Gru

nnta

nken

e

RepresentasjonsformerHandling – Ikon – SymbolDen naturlige måten å arbeide med ting på er ved handling. En handling kan være en opptel-ling, en lek, kommunikasjon eller noe kroppslig. Et læringsforløp som introduserer helt nye ting, må derfor ha et handlingsrettet utgangspunkt.

I neste fase erstattes de konkrete ting av rep-resentasjoner av tingene – ikoner. For eksempel kan handlingen være å telle gjenstander og legge dem systematisk på rekke. Hver gjenstand kan representeres med ikonet «en strek». På samme måte kan en fyrstikkjente med navneskilt være et ikon som representerer éi bestemt jente. Elev-ene arbeider altså med ikoner – bilder med men-ing – tett knyttet til det ikonene representerer.

I den tredje og siste fasen skjer den store abstraksjonen – og symbolene trekkes inn. Sym-bolene er som regel det vanskeligste å forstå fordi et symbols betydning ofte kan ligge langt fra dets framtoning. Antallet blir nå representert ved et tallsymbol og fi guren ved et navn som består av bokstavsymboler.

Ut-av-boka-aktiviteterNår barna begynner på skolen, kan de allerede mye mate matikk. Til gjengjeld kan møtet med den boklige matematikken ofte være vanskelig. Å ta utgangspunkt i elevenes egne erfaringer inne bærer derfor at elevene må settes i situas-joner der de knytter bokas/ skolens verden sammen med sin egen. I TRIX peker mange av aktivitetene ut av boka. Det innebærer at elevene kan bevege seg fram og tilbake mellom det matematiske universet og det dagliglivet de kjenner. Under Verktøy på side 16 er den undervisnings messige dimensjonen av Ut-av-boka-aktivitetene behandlet.

Åpenhet og synlighetI TRIX er den faglige dagsorden alltid svært klar og gjenkjennelig for elevene. Læring skjer best i en prosess når elevene er virksomme, og når de forstår hensikten med aktiviteten. I hvert kapittel er det derfor en velavgrenset og synlig «dags orden» som understøttes av persongal-leriet. Mester Trix opptrer når nye begreper blir introduseret. Hver gang Felix dukker opp, må man ta seg litt i akt. Veiledningen til de konkrete oppgavene er overlatt til hjelperne, som snakker barnas språk og skaper liv på sidene.

Vurdering av arbeidetI de stiplede feltene nederst på siden er det mulighet for at elevene kan vurdere egen innsats. Dette kan uttrykkes på mange måter: Et kryss kan bety «jeg er ferdig» med siden. Et blidt/surt ansikt kan fortelle hva eleven selv synes om sin egen innsats. Slik involveres elev-ene ytterligere i læringsprosessen.

Når den enkelte eleven forholder seg til eget arbeid, er det en naturlig anledning til underveis å snakke om det som er bra og det som er mindre bra i undervisningen. Feltene – eventuelt det ene – kan også fylles ut av læreren (se side 17).

Kommunikasjon og språklighetSpråklig fortrolighet med begrepene bygger opp under forståelse og begrepsdannelse. Ved å snakke om et begrep, vil eleven fortløpende pre-sisere egen begrepsforståelse. Alle undervisnings-oppleggene legger derfor opp til samtaler mel-lom to og to eller i små eller store grupper. I avsnittet «Språklige forhold» (side 21) er kom-munikasjon og språklighet behandlet mer ut-dypende.

UndersøkelserHovedformålet med matematikk på barnetrin-net er at den skal kunne brukes til noe praktisk i hverdagen eller senere på ungdomstrinnet, på jobb eller i fritid.

Bakerst i TRIX-bøkene er det Undersøkelser, åpne aktiviteter som skal trene elevene i å bli fortrolige med bruken av matematiske ferdig-heter og kompetanser i nye og ukjente situas-joner. Undersøkelsene legger opp til prosjekt-arbeid. Aktivitetene er karakterisert ved at elevene får tid og rom til å utforske matematiske sammenhenger i dagliglivet. Elevene opplever autentiske situasjoner hvor de kan bruke matem-atikk til å løse problemer.

Undersøkelser er konkrete tilbud som kan benyttes uavhengig av de øvrige sidene i boka. Fleksibiliteten understrekes av at undersøkelsene er samlet og plassert bakerst i boka.

Til hver undersøkelse er det en grundig instruksjon og ideer i lærerhåndboka (se side 83–88 og 172–175).

ForeldresiderMye læringen skjer ved at elevene trekkes aktivt inn i hverdagsopplevelser. Foreldrene kan ofte være gode medspillere. Bakerst i hver elevbok er det derfor egne sider for foreldrene. Sidene legger først og fremst opp til å utnytte mange av daglig livets muligheter til å støtte opp under matematikkopp læringen.

Her er det også en rekke konkrete og enkle tips til foreldrene om hva som er gode lærings-messige rammer for barna.

Lærin

gsve

rktø

y14



TRIX som undervisningsverktøy

Ved å tilby ideer og aktiviteter i og utenfor boka frigjøres verdifulle lærerressurser til å skape det nødvendige læringsmiljøet i form av veiledning, støtte, evaluering m.m. til gagn for enkelteleven. Bokas rolle blir dermed det faglige sentrum – den røde tråd – for så vel lærer som elev.

Fra side 35–88 og 121–175 er det kommentar-er til hvert enkelt kapittel. Der er det en fyldigere anvisning til den enkelte side enn plassen tillater i elevboka. Utover dette er det henvisninger til Ut-av-boka-aktivitetene, kopioriginaler, regne-ark, og mye annet. Dessuten er det forskjellige oversikter som blant annet viser hvordan kapit-telets innhold og aktiviteter relateres til sentrale matematiske kompetanser. På side 24–25 er det en oversikt over Kunnskapsløftets kompetanse mål etter 4. årstrinn og hvordan diss innfris i TRIX for 3. trinn.

DifferensieringBarnas mentale, kognitive, sosiale og motor-iske ulikheter er en av skolesystemets største utfordringer. Ulikhetene påvirker valg av mate-rialer, faglig progresjon, tilrettleggingen av aktivitetene, utnyttingen av hjemmets ressurser og mye mer. Det er derfor en stor pedagogisk opp gave å utnytte hvert barns energi og glede ved læring til å utvide deres kunnskaper i matematikk. I TRIX er det mulig å ta individu-elle hensyn ved å tilby fl ere ulike innfallsvin-kler ved hvert enkelt begrep. Dessuten er det et bredt utvalg av materiale i systemet (se Verktøy side 16).

EvalueringI elevbøkene er det to evalueringssider for hvert «kjerneområde», og dissee kan klippes ut hvis man ønsker det. Sidene setter fokus på henholdsvis begrepsforståelse og ferdigheter. Evalueringens rolle er ikke å fastlegge elevenes innbyrdes eller absolutte nivå. Sidene har et formativt utgangspunkt som lar eleven under-søke egne grenser for den videre utviklingen.

Evaluering av begrepsforståelse – første evalueringssideEr bygd opp slik:• at elevene på øverste halvdel av siden viser et

eksempel på hvilke forestillinger han/hun har om kjerneområdet. Her brukes åpne formul-eringer av typen «Hva tenker du på når …?» eller «Når bruker du …?»

• at elevene på nederste halvdel av siden utfør-er en konkret arbeidsoppgave. Denne delen er mer lukket, men legger ikke opp til entydige besvarelser. En typisk oppgave kan være at eleven skal lage en tegning som illustrerer et bestemt regnestykke, eller det omvendte, at eleven skal lage et regnestykke som viser situasjonen på et bestemt bilde.

I Veiledning til hvert kapittel er det inspirasjon til besvarelsene.

Evaluering av ferdigheter – andre evalueringssideDenne siden tar direkte utgangspunkt i øvelses-kategoriene. I en rekke sentrale problemstil-lin ger spørres det inn til kjernestoffet, slik at alle øvelses kategorier blir tilgodesett. Andre evaluerings side er dermed mer ferdighetspreget, konkret og lukket enn første evalueringsside.

Evaluering er i seg selv en viktig del av lærings-prosessen i og med at den enkelte eleven blir bevisst hva de faglige kravene er og i hvilke om-fang disse kan innfris. Evalueringen er derfor en fast bestanddel i TRIX (se timeglassmodellen på side 13).

MappevurderingInspirert av porteføljetankegangen er evaluerings-sidene utformet slik at de kan klippes ut og gjemmes. I løpet av skoleåret vil man på den måten kunne samle evalueringssider for de ni kjerneområdene som TRIX inneholder på 3. trinn. Sidene kan brukes med henblikk på ytterligere vurdering midtveis eller i slutten av året. Dessuten er det en opplagt mulighet å ta sidene med i det videre skoleforløpet.

Porteføljebidraget har følgende funksjoner for elever, lærere og foresatte:

For eleven– Gir elevene mulighet til å oppleve sine sterke

sider via det de har arbeidet med.– Skaper bevissthet om det som er lært, samt et

eierskap/medansvar for arbeidet.– Hjelper elevene til å få selvinnsikt og formidle

denne innsikten.– Skaper grunnlag for fastsettelse av nye individuelle mål.

For læreren– Gir innblikk i den enkelte elevens kunnskap,

dyktighet og handlingsmuligheter.– Gir et bedre vurderingsgrunnlag av den

enkelte eleven, også elevenes læringsstiler.– Skaper grunnlag for overveielser i forbindelse

med tilrettelegging og organisering av under-visningen.

– Kan danne bakgrunn for elev/lærersamtaler.– Støtter opp under dialog og læring.– Skaper synlighet og relevans for det faglige stoffet.

For de forsatte– Øker kjennskap til og forståelse for barnets

skolesituasjon og danner dermed et bedre grunnlag for samarbeidet mellom skole og hjem.

– Er med på å skape grunnlag for samtale mellom elev/lærer/foresatte.

Gru

nnta

nken

eU

nder

visn

ings

verk

tøy

15



Screening og repetisjonKapitlene Jippi og Dette har vi lært er henholdsvis det første kapittelet i TRIX 3A og det siste kapit-telet i TRIX 3B. De dekker et innledende screen-ingavsnitt og et avsluttende evaluerings kapittel. Denne strukturen er lik i alle TRIX-bøkene til innskolingen. Ideen er uttrykk for prinsippene om åpenhet og at elevene skal trekkes aktiv inn. I screenings- og repetisjons kapitlene refl ekterer elevene over hva de lærte i fjor, og hva de har lært i år.

Dermed kommer det fokus på den faglige begrepsmessige progresjon, nye kompetanser, nye emner osv.. Et slikt fokus er viktig, da vi alle blir motivert av at anstrengelsene våre fører til målbar framgang, mens vi blir demotivert når vi liksom ikke kommer noen vei til tross for iher-dige anstrengelser.

VerktøyTRIX-systemets forskjellige undervisningsmes-sige elementer er beskrevet i de følgende punk-tene:

Ut-av-boka-aktiviteterI avsnittet Ut-av-boka-aktiviteter (side 89–98 og 176–184) legges det opp til lek, fantasi og ikke-boklige aktiviteter. Aktivitetene trekker på fl ere sanser og understreker betydningen av at matematikk ikke er noe som bare fi nner sted i en bok. Dessuten tjener de et helt elementært menneskelig behov for variasjon i hverdagen. I Veiledning til hvert kapittel framgår det hvordan Ut-av-boka-aktivitetene kan supplere gjennom-gangen av boka.

KopioriginalerI ressurspermen fi ns det en rekke kopisider som kan brukes til:• undervisnings- eller elevdifferensiering når

barnas ulikheter skaper behov for fl ere aktivi-teter og utfordringer. Av Veiledning til hvert kapittel framgår det hvordan det enkelte kopi ark kan inngå i undervisningen. Det er fl ere faglige nivåer. Samtlige kopiark er enten fellesnivå eller A/B-nivå. Tankegangen bak A/B-nivået er å synliggjøre vanskelighets-graden med henblikk på å utfordre den enkelte elev maksimalt. A-nivået markerer den letteste versjonen.

• repetisjon og trening, som gjelder Jeg kan selv-kopiarkene som behandler matematisk stoff fra 2. og 3. trinn. Arkene kan brukes som supplerende materiale i den daglige under-visning, eller som hjemmeoppgaver, f.eks. annenhver uke. De kan også brukes til evalue-ring.

• å presisere arbeidet med Undersøkelser.

Alle kopiarkene er gjengitt i fasitlisten fra side 201. Se ev. også oversiktene side 4–5 og 6–7.

GeobrikkerI geometrikapittelet i innskolingen er er det lagt opp til at elevene på mange av sidene skal bruke geobrikker. Dette er en fi n måte å arbeide konk-ret i undervisningen. Brikkene er morsomme å bruke, gode å modellere med, de bygger opp under bruken av andre sanser og de gir elevene en begynnende forståelse for geometriens grunn-fi gurer og sammensatte fi gurer. Til TRIX er det utviklet et sett med geobrikker som kan kjøpes i bokhandelen i pakker på ti stykker.

En annen mulighet er å lage geobrikkene selv. Dette er også en anbefalelsesverdig aktivitet som elevene har stort utbytte av. Arket kopieres til elevene. Geobrikkene er tilgjengelige i en svart/hvit versjon på kopiark 79–80 (TRIX 3A). Geobrikkene klippes ut og brukes som sjablonger til å lage geobrikker av papp. Deretter fargelegges brikkene som anvist i boka .

TransparenterDe sentrale samtalesidene i elevboka fi ns også på fargetransparenter. Overheadprojektoren kan gjøre en fellesaktivitet mer samlende. Samtidig er det lettere å peke på det som har særlig interesse. Skjemaet på side 4–5 og 6–7 viser hvilke sider i elevboka transparentene er knyttet til.

Tier- og hundrebrikkerCentikuber er et velegnet hjelpemiddel til blant annet antallsbestemmelse og til elementære utregninger innenfor de fi re regneartene. Av praktiske årsaker er det lite hensiktsmessig å bruke centikuber i arbeidet med store tall. Til store tall er det en fordel å benytte tier- og hundrer brikker. Brikkene representerer henholds-vis tierstenger og hundrerplater.

Ved å kombinere centikuber (enere) med tier- og hundrebrikker utvides mulighetene for å arbeide med konkret materiale innenfor en bety-delig større tallmengde.

Brikkene egner seg meget godt til veksling.Til TRIX er det utviklet et sett tier- og hundre-

brikker som kan kjøpes i bokhandelen i pakker på ti ark.

Persongalleri og TRIX-historierI første omgang skal historiene presentere elevene for persongalleriet og åpne for hyggelige fellesopplevelser. Dernest vil den økte kjenn-skapen til personene gjøre det lettere for elevene å forstå poengene i boka. Så når Trix dukker opp i boka, blir det som regel introdusert ny skole-matematikk.

Gru

ndta

nken

eU

nder

visn

ings

verk

tøy

16



RegnearkDet er utarbeidet regnearkoppgaver som du fi nner under www.dammskolen.no.Regnearkenes primære funksjon er å understøtte de igangværende læringsprosessene. På 2. trinn fokuserte regnearkene først og fremst på å løse treningsoppgaver og å møte «regnemaskiner» som kunne addere og subtrahere. Her på 3. og 4. trinn legges det opp til at elevene selv bygger opp små regneark. Les mer på side 229–231.

KalkulatorKalkulatoren introduseres allerede i TRIX 2A. Flere steder her i TRIX 3A legges det opp til at elevene har en kalkulator til rådighet. Kalkua-toren er egner seg svært godt til problemløsing.

KommunikasjonsfeltDe stiplede feltene nederst til høyre i grunnboka kan brukes på fl ere måter.

Feltene – ev. det ene – kan fylles ut av læreren, som her kan tilkjennegi hvilke sider elevene er «ferdige» med eller hvilke sider elevene må arbeide med. Dere kan f.eks. skrive en dato her. Elevene kan også trekkes med i bruken av feltene (se side 35–88 og 121–175).

Aktivitets- og løsningsforslagI «Kommentarer til de enkelte kapitler» (side 27–79) fi ns det beskrivelser av og begrunnelser for de forskjellige aktivitetene. Angrepsvinkler og forslag til hvordan man kan gripe forløpene an, framgår også. Dessuten inneholder kapittelet forslag til løsninger til sidene i elevboka. Ofte er det fl ere riktige fasiter til en oppgave, da vil det stå «f.eks.» i løsningsforslaget.

Løsningsforslag til kopiarkene fi nner du på side 201–228.

Foreldresider og foreldresamarbeidetForeldre har stor interesse for de aktiviteter bar-na deltar i under innskolingen.

Aktivitetsforslagene bakerst i elevboka er grup-pert som bokas kapitler, men er utover det full-stendig frakoblet aktiviteter og struktur i TRIX. Årsaken er bl.a. at aktivitetene på foreldresidene ikke er tiltenkt å være «et must». Det vil langt fra være alle elever som har et direkte behov for å gjøre dem, og det vil langt fra være alle foreldre som har overskudd til det eller fi nner det rel-evant. Foreldresidenes aktivitetsforslag er derfor nøye tilrettelagt, slik at de er uavhengige av un-dervisningsformen og lærerrollen. De er et tilbud som foreldrene kan benytte for på en menings-fylt måte å støtte barna sine, og de er en del av det brede og åpne læringssynet i TRIX.

FlikPå forsiden av elevbokomslaget er det en ut-brettside/fl ik som inneholder en talltavle og en tallslange. Begge kan oppfattes som hjelpemidler som kan understøtte læringen i den daglige un-dervisning. Elvene får således en rik mulighet til å trekke inn mange sanser i læringsprosessen. Talltavla kan elevene både bruke når de teller, plusser og trener på tallnavn. Tallslangen er sær-lig velegnet til regneoperasjoner. Posisjonstavla på fl iken i 2B kan med fordel benyttes når elev-ene skal veksle centikuber eller andre konkrete materialer i 1’ere og 10’ere – f.eks. i forbindelse med kapittelet Addisjonsmetoder.

Av hensyn til fl ikens anvendelighet er det best hvis elevene ikke har bind på elevbøkene. Eller du kan hjelpe elevene å klippe/skjære fl iken fri fra omslaget. Begge løsninger er mulige, siden elevboka i innskolingen er engangsmateriale.

KonkreterTRIX legger opp til at elevene har en basissam-ling av konkrete materialer til rådighet som de fritt kan bruke. På 3. trinn dreier det seg om føl-gende konkrete materialer:• Centikuber• Terninger – vanlige terninger med seks fl ater,

alle med prikker.• Speil – f.eks. i størrelsen 9 x 6 cm • Geobrikker • Tier- og hundrebrikker • Linjal med geobrikker.

Utover dette er det en god idé å bruke geobrett. De gjennomsiktige geobrettene er å foretrekke. De gir mulighet for at elevene kan gå til over-headprojektoren og vise løsningsforslagene de har lagd på sitt eget brett for hele klassen.

Gru

nnta

nken

eU

nder

visn

ings

verk

tøy

17



Utdyping av de pedagogiske vurderingene

Kompetanser, begrepsdannelser, læringsstiler, språklige forhold i matematikk, differensiert undervisning og lærerrollen som veileder er noen av de pedagogiske og didaktiske temaene som har påvirket utformingen av TRIX.

BegrepsdannelseVed skolestart besitter barna kunnskaper og erfaringer som er nyttige og riktige, og som bør danne fundament for den videre læring. Men barns kunnskaper er annerledes organisert enn hos voksne, og barna kan ofte ikke redegjøre for kunnskapene de har, fordi de mangler språk. De fl este nye skolebarn vet for eksempel at en million er veldig mye, men ikke om tallet er større enn nitusenåttehundreogtrettifem. Deres kunnskaper om en million stammer kanskje fra uttrykk som «Nei, vennen min, jeg har det travelt, jeg har en million ting jeg må gjøre i dag». De fl este av oss bruker jo «million» i betyd-ningen «masse/mye» i dagligspråket. Det er blitt en naturlig del av helhetsforståelsen av «en mil-lion», like mye som at det er tallet etter 999 999 (eller rettere heltallet etter 999 999). På illustra-sjonen nedenfor er det eksempler på begreper som voksne forbinder med en million. Hvert av disse begrepene henger igjen sammen med andre begreper. Illustrasjonen ville derfor raskt bli uoversiktlig hvis alt dette skulle med. Og likevel ville den bare vise en brøkdel av det samlede antall mentale begrepsmessige forbindelser.

Elevenes forskjellige utviklingstrinn og måte å tilegne seg kunnskaper på skyldes i høy grad at det er så ufattelige mange mulige mentale forbindelser. Større eller mindre forståelse av et eller annet handler nemlig om hvor mange forbindelser det er dannet mellom begrepet og alle de øvrige begrepene vi kjenner. Å forstå noe nytt handler altså om å få etablert noen få, sterke forbindelser (eller relasjoner) mellom det nye begrepet og de allerede kjente, trygge begre-pene. For eksempel har et barn på seks år kanskje dannet sterke, levedyktige relasjoner mellom «en

million» og «mye». Utfordringen for læreren er å bygge videre på den «riktige» relasjonen, slik at begrepet en million blir mer presist representert rent mentalt. Det er selvfølgelig ingen som for-venter at barna på 3. trinn skal vite nøyaktig hva en million er. Men hvis et barn hevder at en million er mer enn tusen, så er jo barnet på rett vei. Og i mange undervisningsgrupper sitter det faktisk noen svært velorienterte elever som har en god fornemmelse av «store tall».

Hvert knutepunkt tilsvarer et begrep, og hver strek tilsvarer en relasjon

Utfordringen er at begrepene ikke kan settes inn etter en nærmere tilrettelagt plan. Begrepene oppstår som ledd i elevens prøving og feiling og aha-opplevelser når de selv er virksomme. Den pedagogiske oppgaven er derfor å hjelpe hver enkelt elev til selv å bygge/konstruere et arkivsystem (en begrepsstruktur) og få anbrakt både de eksisterende og nye begrepene i dette systemet.

Å lære et nytt begrep innebærer å koble det nye til de allerede eksisterende begrepene. Denne koblingen skjer i sammenheng med elevens faglige aktivitet knyttet til det nye begrepet. Hvor vellykket koblingen blir, avhenger av en rekke faktorer. Noen av de viktigste er at:• begrepet skal være innen rekkevidde for

eleven. Det skal være en naturlig sammen-heng og progresjon i forhold til elevens øvrige begrepsverden.

• aktivitetene skal ideelt ta utgangspunkt i begreper som er velkjente for eleven. En del forskningsresultater har vist at elevens humør og motivasjon også har stor betydning. Ak-tivitetene bør derfor oppleves som aktuelle og spennende.

• det skal være tilstrekkelig mange aktiviteter, og de skal spres over tid. Begreper som det ikke arbeides intensivt med i læringsperio den, blir ikke koblet med sterke forbindelser og vil dermed viskes ut etter kort tid. Som en analogi kan vi tenke på muskeltrening. En kropp som ikke trenes, bygger heller ikke opp fl ere og sterkere muskelfi brer.

STORT TALL

1 000 000Antall innbyggere i Storkøbenhavn (ca.)

Millionær

Heltallet mellom 999 999 og 1 000 001

1061000 X 1000

Million

AA

Peda

gogi

ske

vurd

erin

ger

Gru

nnta

nken

e18



Det mangler sterke relasjoner mellom begrepet A og andre begreper.

Svært forenklet kan matematikkundervisningen forstås som aktiviteter med formål å skape for-ståelse, fasttømre forståelsen og utvide forståelsen for matematiske begreper. Det er viktig å påpeke at det nesten alltid fi ns grader av forståelse. En 4-åring, en elev på 10. trinn og en biolog forskjel-lig forståelse av begrepet insekt. Spør vi 4-åringen, fi nner han et insekt og sier «En sånn!». Ung-domsskoleeleven nevner kanskje et par konkrete arter og forklarer om forskjellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer at et insekt er «en treleddet struktur med seks bein».

De forskjellig grader av forståelse er ganske enkelt et spørsmål om hvor mange og hvor sterke relasjoner det er mellom det som skal for-stås og de øvrige relevante begreper. Utvidelsen av forståelsen krever tid til å oppleve, tenke og erfare. Nye sammenhenger erkjennes kanskje mellom gammelkjente begreper, og plutselig har man fått bakgrunn og rom til å forstå det man ikke oppfattet sist man hadde om emnet.

Nye aktiviteter skaper fl ere (noen sterke) relasjoner mellom begrepet A og andre begreper.

Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskjellige måter å forstå begreper på. Han opererer med to typer forståelse: relasjonell forståelse og instrumentell forståelse. Førstnevnte er det som er skissert rett over. Som motpol kan man snakke om instrumentell for-ståelse, som betyr at man «bare gjør noe» uten å forstå det og uten å se det som en del av en større sammenheng. Kanskje kan man regne stykkene så de blir riktige, men man har ikke fått helt tak på begrepet. Og det er tydelig at den usikre forståelsen ikke gjør det mulig å bruke begrepet i nye sammenhenger. Hvis læreren spør på en ny måte, kan det oppstå store problemer med overhodet å oppfatte spørsmålet.

Eksempler på instrumentell forståelse:• å kunne den lille gangetabellen uten å forstå

multiplikasjon• å kunne regne stykker som 2 + 10, 2 + 20,

2 + 30 mekanisk uten å forstå addisjon• å kunne navnene på trekanter og fi rkanter

uten å forstå sammenhengen mellom navnene og antallet kanter

• å kunne addisjonsalgoritmen uten å forstå hvordan den virker

• å beherske talltavla eller kulerammen som regneredskap uten å forstå prinsippet bak

Slike instrumentelle forståelser virker på kort sikt. Eleven får jo de riktige svarene. Men den instrumentelle forståelsen viser seg å være util-strekkelig til å bygge nye kunnskaper på. Andre uheldige sider ved «utenatlæring» er at man må huske så mye mer enn hvis man forstår begrepsstrukturen. F.eks. er ideen bak navn-givingen av polygoner at man slipper å huske de enkelte fi gurenes navn. På samme måte er prinsippet bak titallssystemet at man ved å forstå selve systemet slipper å skulle huske alle tallenes forskjellige navn.

I skolesystemet, der læringen baserer seg på tidligere lærte begreper, metoder osv., skal instrumentelle forståelser ikke være et mål i seg selv. I en rekke av livets øvrige sammenhenger er den instrumentelle forståelsen imidlertid ofte tilstrekkelig. F.eks. har de færreste noe mer enn en instrumentell forståelse av girkasse og kløtsj i en bil eller hvordan Internett virker.

Undervisning vs. læringUtsagnet «man kan ikke lære noen noe, man kan bare lære dem å lære» fulgte i fotefarene til den såkalte konstruktivisme som har vært domi-nerende innen pedagogisk tenkning.

«Forlat bensinstasjonsmodellen» var et annet. Essensen bak de to utsagnene er at mennesker selv bygger (konstruerer) sine ferdigheter, kunnskaper og kompetanser. Slike ferdigheter og kunnskaper kan ikke fylles på en bensinstasjon eller overføres raskt, slik som når man laster ned fra Internett.

Konstruksjonen av ferdigheter og kunnskaper krever at vi er motiverte, at vi er fokuserte på å lære og at vi aktivt prøver oss fram. En hoved-oppgave for læreren er derfor å organisere og til-rettelegge meningsfylte situasjoner for elevene.

AktivitetLæring krever aktivitet. Passiv mottakelse av nytt stoff – en situasjon vi for eksempel kjenner fra foredraget – er mer velegnet til å gi inspirasjon til videre studier. Dagen etter husker nemlig de færreste mer enn ca. en fjerdedel av foredraget.

A

A

Peda

gogi

ske

vurd

erin

ger

Gru

nnta

nken

e

19



I stedet bør man arbeide aktivt med tingene – og det trenger ikke være fysisk arbeid.

Arbeid eller oppgaver dekker over mange forskjellige former for aktiviteter, som f.eks. samtale, tegning, skriving, regning, skuespill, tenking, mimikk osv. Det avgjørende er å ta initiativ og foreta seg et eller annet aktivt. Man lærer ikke å skrive ved å se på at andre skriver, man lærer ikke å spille sjakk ved bare å se på at andre spiller, og man lærer ikke å bruke tallene hvis man ikke bruker dem selv.

MotivasjonVi kjenner sikkert alle sammen til å utføre en aktivitet mens man i tankene befi nner seg et helt annet sted. I læringssituasjonen er det opti-male at man er fokusert og opptatt av sin egen aktivitet. Dette skjer helt naturlig når det ligger et indre motiv til grunn for aktiviteten, og når målet er tydelig. Når barnet øver seg på sine rulleskøyter, er motivasjonen vanligvis ekte, målet står klart og vi opplever at barnet øver stedig og vedvarende til det grunnleggende er lært. Her er det ikke manglende konsentrasjon og oppmerksomhet.

Menneskets private målsetninger er altså den egentlige drivkraften bak handlingene. Den tilsynelatende lærevillige eleven regner kanskje bare mattestykkene for ikke å få skjenn hjemme eller for at sidekameraten ikke skal synes dårlig om ham/henne. Eleven bruker neppe resten av dagen til å spekulere videre over de nye matema-tiske erkjennelsene som aktivitetene førte til. Vi må konstatere at barnets egne beveggrunner ikke alltid er synlige og rasjonelle. Vi kan påvirke elevene ved å aktualisere og tilby – men ikke ved å tvinge. De oppfører seg kanskje som «fl inke» elever, men utbyttet av læringsprosessen øker betydelig når deltakelsen i aktiviteten skjer av egen drivkraft og eget engasjement.

En enkel måte å motivere og fokusere på er ved å gi barna en følelse av eierskap overfor opp-gavene. Fokuserte elever følger med på hva de gjør og hvor det peker hen. Der det er mulig, kan elevene selv stå for planleggingen av arbeids-måter, samarbeidsformer og valg av materialer. Likeledes kan elevene ofte selv være med på å bedømme kvaliteten av en åpen oppgaveløsn-ing. Dermed opplever de også tilfredsstillelsen over at en god innsats gir et godt resultat.

Forklar derfor elevene om bakgrunnen for, hva og hvorfor noe skal læres. Trekk dem inn i hvordan oppgavene skal løses. Ta dem med råd om hvordan de best lærer stoffet. Fortell dem hvordan de kan øve mer. Lær dem å forstå bokas ikoner og hjelpernes rolle.

Når barna er aktive av egen drivkraft, blir lærin-gen langt mer effektiv enn hvis on de bare gjør oppgevene fordi «læreren sier det».

LæringsstilerEn tenkemåte som supplerer det foregående, er de såkalte læringstilene. De har røtter i 1960-årenes forskning på kognitive stiler, og vant gradvis fotfeste i USA opp gjennom 1970- og 1980-årene. Ideen bak læringsstiler er ganske enkel: Hvert menneske har sin egen måte å lære (best) på. Noen vil helst høre et opplegg, regne litt selv og deretter utvikle forståelsen ved å regne vanskeligere oppgaver i grupper. Andre har behov for å få personlige erfaringer gjennom konkret handling før man samler opp trådene. Atter andre arbeider best case-orientert. Men teo-riene om læringsstiler spenner enda videre. Ole Lauridsen, lektor ved handelshøyskolen i Århus, inndeler læringsstilene i fem grunntyper:• læringsstiler basert på miljø (lyd, lys, temper-

atur, ergonomi, estetikk m.v.).• læringsstiler basert på personlighetstypologi

(personlighetskarakteristikk).• læringsstiler basert på intelligenser (f.eks.

Howard Gardners sju intelligenser).• læringsstiler basert på sensorisk modalitet

(sansene).• læringsstiler basert på persepsjon og infor-

masjonsbehandling.

Det er relativt lett å trekke inn læringsstiler i tilretteleggingen av undervisningen. Ut fra f.eks. Howard Gardners sju intelligenser vil en elev kunne identifi seres med en eller fl ere intelli-genser:• god med ord• god med tall og logikk• god til å se rom og bilder• god motorisk• god i musikk• god med mennesker• god selvinnsikt

De pedagogiske vurderinger handler deretter om hvordan man i et emne, f.eks. addisjon, kan vinkle undervisningen så de relevante intelligenser (elevens styrker) trekkes mest mulig inn. Det kan være vanskelig å plassere elever i forhold til de sju intelligensene – både for læreren og for elevene selv, og det er mange overlappinger. I praksis kan tilretteleggingen av undervisningen derfor skje ved at man utvikler aktiviteter som dekker alle områdene, og lar elevene selv velge aktivitet.

Det for øvrig utgitt massevis av gode bøker med teorier om læringsstiler, oversikter fi ns på nettet.

Gru

nnta

nken

ePe

dago

gisk

e vu

rder

inge

r20



Språklige forholdEvnen til å kommunisere med andre har stor betydning for læringen. Derfor er det viktig å beherske språket. Å kunne sette ord på begre-pene gjør det lett for barna å presisere og teste begreps forståelsen løpende: «Er det slik du men-er?» «Kan en fi rkant også se sånn ut?» Alle opp-leggene i boka legger opp til samtaler gruppevis og to og to.

Den russiske psykologen Lev Semenovitsj Vygot-skij argumenterte for at språk og begrep utvikler seg dialektisk, dvs. i et samspill. Det gir for eksempel ikke mening å lære å plusse uten å få vite at det faktisk heter «å plusse». Vygotskij har gitt uttrykk for at det er en viktig del av begrep-sutviklingen å kunne uttrykke seg språklig. Og med språklig mente han ikke bare det talte språk, men alle de språkene mennesket kan kommu-nisere med, som kroppsspråk, tegninger osv. Jo mer kommunikasjon og jo fl ere mennes ker det kommuniseres med, desto bedre. Men det er ikke likegyldig hvordan denne kommunikasjonen fi nner sted. Det handler i høy grad om å «være på bølgelengde».

Læringsmessig er det symbolske språket (tall-, tegn- og bokstavsymboler) et vanskelig språk. Årsaken er at det ikke er noen intuitiv sammen-heng mellom det som skal læres (begrepet) og det navnet (eller symbolet) begrepet har. Det er verken intuitivt eller logisk at symmetri heter nettopp «symmetri» eller at > betyr «større enn» og + betyr «legge sammen».

Vygotskij har skapt noen begreper som kan hjelpe oss å forstå problemstillingen:

Vygotskijs 1. ordens språk: Man uttrykker seg spontant, hverdagslig og uten å tenke på «over-settelse» osv. Språket og begrepene har utviklet seg samtidig hos barnet. Det er en del av et hele. Det er uatskillelig. Et eksempel er barnet som tegner fi re biler for å forklare at hun har telt fi re biler.

Vygotskijs 2. ordens språk: Det er språk som ikke står direkte i kontakt med begrepsinn-holdet. Derfor er man nødt til å «oversette». For eksempel betjener et barn på slutten av 2. trinn seg av 2. ordensspråket når han skriver «fi re biler» for å forklare at han har sett fi re biler.

Dette 2. ordensspråket er altså koblet fra de konkrete tingene det omhandler. Når barna skal lære det, må vi bygge videre på deres eksis-terende viten ved å ta utgangspunkt i deres naturlige språk. Utviklingen av 2. ordensspråket forutsetter med andre ord at vi utnytter barnets språk av 1. orden som et slags oversettelsesledd. Derfor må vi ta utgangspunkt i barnas eksister-ende kunnskaper og bruke dem aktivt som fun-dament for den nye viten.

Begrepet «nærmeste utviklingssone», handler om overgangen mellom de to språkene.

Nærmeste utviklingssoneVygotskij beskriver læring som en overgang mellom to soner. Den aktuelle sone (der man befi nner seg før læringen) beskrives som barnets mentale operasjoner, som allerede er etablert som et resultat av tidligere utviklingstrinn. Den defi neres altså ut fra hva barnet kan.

Den potensielle sone defi neres av det barnet er på vei mot. Altså dit barnet skal strekke seg for å forstå. Det som barnet kan klare med hjelp og støtte fra andre.

En god måte å undersøke barnets aktuelle sone på er ved å studere dets tegninger. I tegnin-gen uttrykker barnet seg nemlig i sitt naturlige 1. ordensspråk. Dermed får vi adgang til de mentale forestillinger som er barnets nåværende forståelse – den aktuelle sone. Deretter er det en pedagogisk utfordring å fi nne de aktiviteter som kan være oversettelsesledd. Altså aktiviteter som kan få barnet til å «koble sine eksisterende kunnskaper» til den nye viten.

Differensiert og individuell undervisningDet har vært mye fokus på differensiert under-visning de siste årene. Det henger bl.a. sammen med den store oppmerksomheten rundt enkeltindividets behov og utfoldelsesmuligheter. Tradisjonelt opereres det med to typer differen-siering: elev- og undervisningsdifferensiering.

Gru

nnta

nken

e

2. ordens språk (ikke nærmeste utviklingssone for de fl este elever på 3. trinn. Forutsetter mer 1. ordens språk og erfaringer)

2. ordens språk (nærmeste utviklingssone for de fl este elever på 3. trinn)

1. ordens språk

a + b = c

75 + 15 = 90

75 kr og 15 til– da har jeg 90.

Peda

gogi

ske

vurd

erin

ger

21



Gru

ndta

nker

nePæ

dago

gisk

e ov

erve

jels

er22



Elevdifferensiering kan for eksempel være en situasjon der elevene er inndelt i sterke og svake grupper, og der de arbeider med ulike aktivi teter. Aktivitetene trenger ikke nød vendigvis å være de samme. Til gjengjeld skal aktivitetene romme en passende grad av utfordring for hver elev. Elever som blir raskt ferdige med en oppgave/en ak-tivitet, får utlevert fl ere aktiviteter fra kopimap-pen. Et annet eksempel kan være at noen elever trenger mer øving hjemme. Her er det også tilbud i ressurspermen.

En annen differensieringsmulighet er under-visnings differensiering. Her kan man for eksem-pel samle elevene om et konkret mål (en teater-forestilling, en pappmasjéfi gur, en plansje, en historie som skal skrives) og bryte arbeidet ned i forskjellige delmål. Undervisningsdifferensiering gir muligheter for at barna får utfordringer på ulike nivåer, samtidig som alle bidrar avgjørende til det samlede resultatet.

Differensieringen kan arte seg svært forskjel-lig. Noen lager små «øyer» som avbrekk i den daglige tralten, andre differensierer konsekvent i hele undervisningsopplegg, mens atter andre veksler mellom vanlig undervisning og prosjekt-arbeid.

ProsjektarbeidProsjektarbeidsformen passer inn i bildet på den moderne undervisning. Den tillater differensier-ing, individualisering, forskjellige læringsstiler og kan munne ut i mange forskjellige uttrykks-former i rapporteringsdelen.

Undevisningsoppleggene i TRIX legger opp til at elevene innimellom får muligheten til å styre læringsprosessen selv. Bakerst i elevbøkene er det derfor forslag til forskjellige undersøkelser. Disse undersøkelsene er konkrete tilbud som kan benyttes når det er relevant for undervisningen, uavhengig av de andre sidene.

I disse oppleggene kan det anbefales at læreren først og fremst er veileder og gir barna mer ans-var og større handlingsrom enn normalt.

Det vil i første rekke bety at man ikke blander seg for tidlig inn i elevenes problemløsning – unngå å ta over. Aksepter deres omveier og manglende framgang. Tillat elevene å bli litt frustrerte. Går det helt galt, kan læreren gripe inn og tydeliggjøre oppgaven ved å stille litt let-tere og mer konkrete innledende spørsmål.

Fokuser på målet og ikke på metoder eller midler. Det er viktig at elevene opplever menin-gen med aktiviteten. Unngå å fortelle dem hvordan det skal gjøres, bare hva målet for opp-gaven er.

Motiver elevene – bruk tid på å skape en god stemning og et inspirerende læringsmiljø. Det er den samlede opplevelsen som bærer elevene gjennom problemløsningen.

Tempo og framdrift: Det er en hårfi n balanse mellom det å gripe inn for tidlig, og det å la elevene «kjølne» i problemløsningsprosessen. En god måte å holde dampen oppe på, er ved å vise til hvor langt elevene faktisk har kommet: «Nå har dere forstått det og det». «Nå kan dere svare på det og det». «Nå har dere jo nådd disse delmålene». «Nå kan dere gå hjem og fortelle ...».

Hvor raskt læreren griper inn avhenger også av den enkelte elevs behov for støtte. Noen elever har stort behov for å føle seg trygge. De vil helt automatisk stille mange spørsmål for å sikre seg at de skjønner oppgaven – og som regel vil læreren da gi dem mer detaljert hjelp. Andre barn kaster seg på egen hånd frimodig ut i større prosjekter, de tåler i høyere grad at oppgaven kan være forbundet med en viss usikkerhet og risiko.

Ved langvarige prosjekter kan det være lurt å la elevene gi en kort status over dagens arbeid/framskritt i samlet klasse. Dette kan tjene som (ytre) motivasjon til å gjøre en ekstra innsats, men det er også verdifullt for klassen å oppleve andres prosess, å få gode ideer osv.

Det ideelle prosjektarbeid:• bygger på de faglige kompetanser som elev-

ene har beskjeftiget seg med i den vanlige undervisningen

• bygger på konkrete handlinger (forsøk) eller opplevelser

• tar i bruk fl ere uttrykksformer: muntlig fram-legging, tegninger, bilder, it og nylig lærte ord og symboler

• baserer seg på informasjonsinnhenting• er åpent, slik at elevene føler eierskap for

prosjektet og har stor reell innfl ytelse på det ferdige resultatet

• utføres i grupper hvor prosessen krever stor grad av faglig kommunikasjon

• er tverrfaglig• er morsomt• inneholder problemløsning.

ProblemløsningEt problem er en situasjon der man ikke ved hjelp av kjente metoder umiddelbart kan komme videre. Trening i problemløsning hand-ler derfor om å sette barna i slike situasjoner. Husk at det er en naturlig menneskelig reaksjon å bli frustrert når en møter motgang. Evnen til problemløsning handler faktisk i høy grad om å lære å styre sin frustrasjon – å unngå å gi opp etter å ha prøvd i fem minutter. Trening i prob-lemløsning handler om å stille elevene overfor overkommelige problemstillinger som lar seg løse etter litt tankevirksomhet og utprøving av forskjellige ideer.

Gru

nnta

nken

ePe

dago

gisk

e vu

rder

inge

r

23



Tall og algebraMål for opplæringa er at elevene skal kunne:

- beskrive plassverdisystemet for de hele tall, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter X X X X X X X X X

- gjøre overslag over og fi nne tall ved hjelp av hoderegning, tellemateriell og skriftlige notater, gjennomføre overslagsregning med enkle tall og vurdere svaret X X X X X

- utvikle og bruke ulike regnemetoder for addisjon og subtraksjon av fl ersifrede tall både som hoderegning og på papir X X X X X X X

- bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner X X X - velge regneart og begrunne valget, bruke tabellkunnskaper om regneartene og utnytte enkle sammenhenger mellom regneartene X X

- eksperimentere med, kjenne igjen, beskrive og videreføre strukturer i enkle tallmønster X

GeometriMål for opplæringa er at elevene skal kunne:

- kjenne igjen og beskrive trekk ved sirkler, mangekanter, kuler, sylindere og enkle polyedere X X

- tegne og bygge geometriske fi gurer og modeller i praktiske sammenhenger, medregnet teknologi og design X X

- kjenne igjen og bruke speilsymmetri og parallellforskyvning i konkrete situasjoner X

- lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig X

- plassere og beskrive posisjoner i rutenett, på kart og i koordinatsystem, både med og uten digitale verktøy X

Kunnskapsløftets kompetansemål etter 4. årstrinnDet er defi nert i alt 15 punkter. Skjemaet viser hvilke kapitler og undervisningsopplegg i Trix for 4. trinn som utfordrer de ulike kom-petansemålene.

x Kapitlet har i høy grad med innholdet i punktet å gjøre.

x Kapitlet har med innholdet i punktet å gjøre.

Kom

pet

anse

mål

ett

er 4

. års

trin

nG

runn

tank

ene

3A 3A 3A 3A 3A 3A 3B 3B 3B 3B 3B 3B 3B 4AB

Jippi

Are

al Jul

Und

ersø

kels

er

Min

usm

åter

Mer

om

mål

ing

Valg

av

regn

eart

Gje

tt!

Mul

tipl

ikas

jon

Det

te h

ar v

i læ

rt

Und

ersø

kels

er

Mer

om

po

sisj

onss

yste

met

Mer

om

add

isjo

n

Mer

om

byg

g o

g te

gn

3A


Jippi

Are

al Jul

Und

ersø

kels

er

Min

usm

åter

Mer

om

mål

ing

Valg

av

regn

eart

Gje

tt!

Mul

tipl

ikas

jon

Det

te h

ar v

i læ

rt

Und

ersø

kels

er

Mer

om

add

isjo

n

Mer

om

po

sisj

onss

yste

met

Mer

om

byg

g o

g te

gn

3A

24



MålingMål for opplæringa er at elevene skal kunne:

- gjøre overslag over og måle lengde, areal, volum, masse, temperatur, tid og vinkler X X X X X

- bruke ikke-standardiserte målenheter, og forklare formålet med standardiserte målenheter, gjøre om vanlige mellom vanlige målenheter X X

- sammenligne størrelser ved hjelp av passende måleredskaper og enkel beregning med og uten digitale hjelpemidler X X

- løse praktiske oppgaver som gjelder kjøp og salg X X X

StatistikkMål for opplæringa er at elevene skal kunne:

- samle, sortere, notere og illustrere data med tellestreker, tabeller og søylediagram, og kommentere illustrasjonene X X X

Kom

pet

anse

mål

ett

er 4

. års

trin

nG

runn

tank

ene


Jippi

Are

al Jul

Und

ersø

kels

er

Min

usm

åter

Mer

om

mål

ing

Valg

av

regn

eart

Gje

tt!

Mul

tipl

ikas

jon

Det

te h

ar v

i læ

rt

Und

ersø

kels

er

Mer

om

add

isjo

n

Mer

om

po

sisj

onss

yste

met

Mer

om

byg

g o

g te

gn

3A


Jippi

Are

al Jul

Und

ersø

kels

er

Min

usm

åter

Mer

om

mål

ing

Valg

av

regn

eart

Gje

tt!

Mul

tipl

ikas

jon

Det

te h

ar v

i læ

rt

Und

ersø

kels

er

Mer

om

add

isjo

n

Mer

om

po

sisj

onss

yste

met

Mer

om

byg

g o

g te

gn

3A

25


Alg

oritm

er


Alg

oritm

er26


En algoritme er som kjent en metode/en rutine som benyttes til å regne ut et eller annet. Tradisjonelt har man i skoleverdenen benyttet standard algoritmer. Det er i høy grad blitt beløn-net å kunne sette opp regnestykket på en helt bestemt måte og deretter være i stand til å utføre utregningene med stor presisjon. Som samfunns-borgere er vi i dag mindre avhengige av selv å kunne gjennomføre utregninger manuelt. Kalku-lator og ny teknologi bruke som hjelpemidler, og i læringssituasjoner fokuseres det i høy grad på forståelsesaspektet i forbindelse med bruk av algoritmer. Det forandrer imidlertid ikke på det forholdet at elevene stadig skal kunne foreta utregninger manuelt. I opplæringen møter vi bruken av algoritmer i forbindelse med de fi re regneartene. Her har bruken av egne metoder kontra standardiserte algoritmer blitt diskutert heftig – særlig de siste årene.

Debatten handler især om det problematiske i at elevene benytter algoritmer som de ikke forstår og derfor ikke kan forklare. Ved å introdusere f.eks. en addisjonsalgoritme uten at elevene har forståelsen på plass, er det fare for at elev-ene utvikler et misforhold mellom begrep og metoder. De kan kanskje benytte en algoritme, men vet ikke hvorfor metoden virker. Algorit-men blir omgitt av mystikk.

At elevene selv skal være med å utvikle egne metoder, innebærer på ingen måte at de ikke på et tidspunkt skal lære om de klassiske algo-ritmer i matematikken. Det ville jo svare til at judotreneren lot elevene selv fi nne ut hvordan de skal forsvare seg, eller at elevene i må fi nne ut av stavereglene i norsk av seg selv. Algoritmer utgjør en stor del av matematikk som fag, og det hører med til allmenndannelsen i vårt samfunn å kjenne til dem og kunne bruke dem. Samtidig skal undervisningen skape muligheter for at elevene har grunnlaget for en forståelse av algo-ritmene på plass før de presenteres.

TRIX-systemets utgangspunkt er konstruktiv-istisk, og vi sikter konsekvent etter at arbeidet med de forskjellige aktivitetene gir elevene en forståelse av matematikken (jfr. avsnittet om begrepsdannelse, side 18).På bakgrunn av et inngående arbeid med posisjons systemet, samt tallbehandling innen-for addisjon og subtraksjon, innfører TRIX en addisjons algoritme i bok 3A og en subtraksjons-algoritme i bok 3B.

Før elevene møte en algoritme, må de ha vært igjennom en del prosesser. I forenkelt form er det skissert under i noen faser og eksemplifi sert med addisjon:

• Møte praktiske situasjoner fra hverdagen som inneholder problemstillinger med regne-

artene uten at det nødvendigvis er fokus på «matematikken». Et eksempel kan være en regnehistorie: Simen får åtte kroner av faren sin og fi re kroner av moren sin. Hvor mange penger får Simen i alt?

• Undervisningsopplegg hvor det er fl ere løsnings metoder, bruk av hjelpemidler og for-skjellige representasjonsformer. For eksempel: Regnestykket 12 + 7 kan løses på fl ere måter: Ved å telle, ved hjelp av talltavle, tallslange osv. Addisjonen kan dessuten utføres hands-on, ikonisk og symbolsk.

• Parallelle undervisningsopplegg som frem-mer utviklingen av én spesifi kk algoritme. For eksempel: Kapittelet Posisjonssystemet er en forutsetning for å forstå addisjonsalgoritmen.

• Presentasjon av en algoritme. Fokus på oppstilling av regnestykker, forklaringer og masse vis av øvelser. I forbindelse med autom-atiseringen av ferdighetene blir overslagsregn-ing helt vesentlig. Eleven må utvikle en god tallfølelse for å kunne vurdere en fasit. For eksempel: Kapittelet Addisjonsmåter.

• Elevene velger selv sin algoritme/metode. Hvilke måte er eleven mest fortrolig med? Eleven er i stand til å argumentere for sitt valg. For mange vil det være naturlig å fort-sette med den presenterte algoritmen. Andre vil i stedet velge sin egen metode.

Vær oppmerksom på disse to forholdene:a. Den valgte metoden skal være nøyaktig,

effektiv og passe rask.b. Elevene skal på sikt kunne håndtere alle

problem stillinger for de ulike regneartene innenfor en gitt tallmengde.


Alg

oritm

er

27



28



TRIX 3A

29


Ove

rsik

t ov

er T

RIX

3A


Elevboka inneholder• Fire faglige kapitler med evaluering• Repetisjonskapittel• Julekapittel• Fire undersøkelser• Foreldresider

Lærerhåndboka inneholder

• Grunntankene i TRIX• Kommentarer og fasiter til de

enkelte kapitler• Ut-av-boka-aktiviteter• TRIX-historier• Fasit til kopioriginalene

Kopioriginaler – 80 stk.

Transparenter – 8 stk.

www.dammskolen.no

Ove

rsik

t ov

er T

RIX

3A

30


Transparent nr. 1 Arbeidsrommet til Trix2 Dyrehage3 Stua til Felix4 Bygg og tegn5 Halloween6 Addisjonsalgoritme7 Verktøyrom8 Arealby

Oversikt over kopioriginaler

Oversikt over transparenter

Oversikt over regneark

Regneark nr. 1 Om regneark 2 Dyrehage 3 Innsamling 4 Comboy 5 Loppemarked 6 Idrettsdag 7 Areal-1 8 Areal-2 9 Areal-310 Trening11 Veksling12 Regnestykker


Kopiarknr.

Jippi (6 ark)1 Geobrett2–3 Plusstykker A og B4–5 Minusstykker A og B6 Måling Mer om posisjonssystemet (11 ark)7 10-er-hopp8 Veksling av 1-ere9–11 Veksling av 10-ere A og B12–13 Dyrehage A og B14–15 Indianeroverfall A og B16 Rally17 Regnehistorier Mer om bygg og tegn (7 ark)18 Sett fra forskjellige sider19–20 Isometri A og B21–22 Arbeidstegning A og B23 Arbeidstegning og isometri24 Forfra og fra siden Mer om addisjon (14 ark)25 Gresskar26–27 Pluss A og B28 Plussmåter29–30 Algoritme A og B31–32 Algoritme med oppskriving A og B33 Gresskarspillet34–35 Loppemarked A og B36–37 Idrettsdag A og B38 Andedam Areal (9 ark)39–40 Finn størrelsen A og B41–42 Finn arealer A og B43 Arealspill44 Tegn arealer 45 Hele og halve46–47 Fargelegg halvparten A og B

Kopiarknr.

Jul (4 ark)48 Veksling49 Julekoder50 Julegåter51 Julefeltfarging Undersøkelser (2 ark)52 Skyggegeometri53 Kjæledyr Jeg kan selv (10 ark)54 Jeg kan selv, ark 155 Jeg kan selv, ark 256 Jeg kan selv, ark 357 Jeg kan selv, ark. 458 Jeg kan selv, ark 559 Jeg kan selv, ark 660 Jeg kan selv, ark 761 Jeg kan selv, ark 862 Jeg kan selv, ark 963 Jeg kan selv, ark 10 Ut-av-boka-aktiviteter (5 ark)64 Femlinger65 Rakettdeler66 Speilbilder67 Tegn fi rkanter og score poeng68 Bowling Verktøysider (12 ark)69 Geobrett70 Penger71 Posisjonsbrikker, tierstenger 72 Posisjonsbrikker hundrerplater73 Talltavla74 Kvadratisk papir75 Forfra og fra siden 76–77 Isometrisk papir 78 Kvadratisk prikkepapir 79–80 Geobrikker

Ove

rsik

t ov

er T

RIX

3A

31



Matematiske kompetanser På dette stadiet har vi valgt å operere med åtte matematiske delkompetanser.

Delkompetanse EkspertiseÅ kunne …

Eksempler på utfordringer på 3. trinn Konkrete eksempler fra TRIX 3A

Modellerings-kompetanse

• gjennomføre en matematisk modelleringsprosess med fokus på matematisering, matematisk bearbeiding og tolkning av resultatet

• Lag et regnestykke som viser noe fra denne historien …

• Hvor mange må stå oppå hverandre for å nå i taket?

• Er det normalt å bruke sykkelhjelm på vei til skolen?

Mer om bygg og tegn Sidene 27–33

Addisjonsmetoder:side 50

Areal:side 53, 62

Undersøkelsene

Symbolbehandlings-kompetanse

• arbeide med symbol- og formelspråk

• Lag et regnestykke som viser noe fra denne historien …

• Hva betyr 4 • 7?

• Er 57 – 32 det samme som 75 – 23?

• Hva er galt ved regnestykket 12 + 7 = 82?

Representasjons-kompetanse

• arbeide med forskjellige representasjoner av matematiske objekter• skifte representasjons-form og velge den mest hensiktsmessige representasjonen i en gitt situasjon

• Er det bedre å skrive antallet gutter i gruppa som 12, enn å sette én strek for hver gutt?

• Kan alle regnestykker foretas med centikuber?

• Hva er det lure ved den regnemetoden der vi skriver tallene under hverandre?

• Hva er det vanskelige ved denne metoden?

• Hvordan kan du skrive 3 + 3 + 3 + 3 + 3 kortere?

• Lag en arbeidstegning av fi guren som er vist på dette fotoet.

Mer om posisjonssystemet:side 11, 12, 13, 15

Mer om bygg og tegn:side 27–33

Addisjonsmetoder:side 39, 40, 50

Kommunikasjons-kompetanse

• å uttrykke seg skriftlig og muntlig om matematikkholdige anliggender• å kunne forstå andres matematikkholdige uttrykk i både skriftlig og muntlig form

A. «Jeg har telt 12 ruter i denne fi rkanten.»

B. «Ja, for tre ganger fi re er tolv, og det er tre rekker med fi re ruter i hver.»

C. «Det kan da ikke stemme at 12 + 7 = 82?»

D. «Nei, du har i farten skrevet sjutallet på tierplassen.»

• «Dere kan vel ikke bare legge høydene sammen, for vi kan da ikke stå på hodet til hverandre når vi skal ta i taket!»

• «På denne siden i boka tror jeg at det handler om … fordi …»

Alle intro-sider, gjennom-ganger, første evaluerings-sider og undersøkelsene.

Ove

rsik

t ov

er T

RIX

3A

Kompetanseutvikling

Hva er kompetanse?Kort formulert bruker vi ordet kompetanse i betydningen ekspertise.

Kompetanse er noe annet og mer enn kunnskaper. Hvis en person har kompetanse, betyr det at vedkommende i tillegg til å ha kunnskaper også er i stand til å handle på en hensiktsmessig måte.

Kompetanse er også noe annet og mer enn ferdigheter. En skal nemlig også ha en fornem-melse av hva utfordringen i en gitt situasjon

består i – herunder å kunne avgjøre og utføre de riktige reaksjonene. Kompetanse inkluderer van-ligvis at en har ervervet seg en rekke ferdigheter, dels at en bevisst kan trekke dem inn som verk-tøy i forskjellige situasjoner. Begrepet rommer altså mye mer enn bare summen av ferdigheter. Tenk bare for eksempel på hva det ligger i å ha reell lærerkompetanse: Den kompetente læreren mestrer en rekke ferdigheter, men selv en lang liste med slike ferdigheter kommer ikke i nærheten av å karakterisere hva kompetansen rommer.Ko

mp

etan

seut

vikl

ing

32



Hjelpemiddel-kompetanse

• betjene seg av hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i forbindelse med matematisk virksomhet.

• Vil du velge hoderegning, tallslange, rutepapir eller kalkulator til disse pluss- og minusstykkene?

• Hva vil dere bruke til å måle høyden deres med?

• Hvorfor regne selv når du kan bruke en kalkulator?

Mer om bygg og tegn:side 27–34

Addisjonsmetoder:side 39, 40

Undersøkelse:Kjæledyr, side 76–77Ved felles hjelp, side 78

Problem- behandlings-kompetanse

• formulere og løse både rent faglige og mer bruksorienterte matematiske problemer.

Det er individuelt hva som oppfattes som et problem. Det noen elever opplever som matematiske problemer, er ofte lett gjennomskuelige øvelser for andre elever og for deg som lærer. Det gir derfor ikke mening generelt å gi eksempler på gode problemer. Dertil er spredningen i elevenes forutsetninger altfor stor.

Addisjonsmetoder:side 50

Areal:side 60, 61

Resonnements-kompetanse

• følge, forholde seg til og selv gjennomføre et matematisk resonnement.

A. «Firkanter er større en trekanter, for trekanter kan ligge inne i fi rkanter.»

B. «Nei, det stemmer ikke. Din fi rkant får plass inne i min trekant.»

C. «Kan det stemme at 73–29=44?»

D. «Ja, for det må bli en mer enn 73–30, som er 43.»

Mer om bygg og teng:side 25, 26, 28, 29, 31

Addisjonsmetoder:side 41, 44

Undersøkelse:Skyggegeometri, side 74–75

Brukskritiskkompetanse

• vurdere egenskaper ved enkle, matematiske modeller og resultater herfra.

A. «Vi bruker bare fi re hender til å dekke matteboka.»

B. «Ja, men dere har spredt fi ngrene, så i virkeligheten er det plass til mange fl ere.»

C. «Jeg har regnet ut at vi har 27 stykker til sammen.»

D. «Ja, men det er forskjellen vi skal fi nne, så vi må bruke minus.»

Areal:side 53

Undersøkelsene:Høyden vår, side 73Ved felles hjelp, side 78

Senere i TRIX opererer vi med ytterligere to kompetanser:• Strukturell kompetanse, som vedrører matema-

tikkens spilleregler og strukturelle oppbyg-ging. Det kan være tankeganger, utsagnstyper m. m. – f.eks. «Hva er et matematisk bevis?»

• Kulturhistorisk kompetanse, som angår mate-matikkens utvikling og samfunnsmes-sige sammenheng – f.eks. «Hvilken rolle har matematikken spilt i forbindelse med utviklingen av datamaskinen?»

Kompetanser og tilrettelegging av undervisningenDet er viktig ikke å tenke på det å være kompe-tent som enten eller. Kompetanseutvikling er en prosess som aldri kan sies å være brakt til en ende. Kompetanser utvikler seg gradvis hos den enkelte elev. Tenk bare på utviklingen av noen av de mer allment menneskelige kompetanser, som å ta hensyn til andre, innlevelsesevne osv.

Ingen elever – eller andre for den saks skyld – vil noen sinne kunne sies å ha ferdigutviklet noen av disse kompetanser. Karakteristikken av de enkelte kompetanser kan man tenke på som

stjerner i det fjerne som man kan la seg inspir-ere av og navigere etter når man tilrettelegger matematikkundervisningen. Det har vi gjort da vi utarbeidet TRIX-bøkene, og det kan du gjøre når du bruker dem.

Gjennom tilretteleggelsen av matematikkunder-visningen har du mulighet for å hjelpe elevene med å utvikle deres kompetanser på tre forskjel-lige måter: Hvor mange forskjellige situasjoner man er kompetent innenfor (aksjonsradius), hvor tett på ekspertisen man er kommet når de forskjellige kompetanser utfordres (deknings-grad) og hvilke matematiske begreper og metoder man kan trekke opp av verktøykassen når kompetansen utfordres (teknisk nivå).

Ove

rsik

t ov

er T

RIX

3A

Kom

pet

anse

utvi

klin

g

33



34



Veile

dnin

g til

hv

ert

kap

ittel

i TR

IX 3

A TRIX 3A består av fi re faglige kapitler, et repetisjonskapittel, et julekapittel og fi re under-søkelser. Bakerst i boka er det dessuten to foreldre sider.

Dette kapittelet inneholder kommentarer til de enkelte sider i elevboka

Generelle kommentarer til hvert kapittelHva er ideen med kapittelet?Hvilke faglige mål skal man nå?Hvordan behandles emnet i TRIX?Hvilke kompetanser legger kapittelet særlig opp til?

Kommentarer til de enkelte sideneHver elevbokside behandles ut fra tre aspekter:

BeskrivelseEn presis og kortfattet tekst som beskriver hva siden går ut på. Teksten er identisk med voksen-teksten nederst på siden i elevboka.

Bakgrunn og tipsHer er det forslag til hvordan man kan legge opp undervisningen. F.eks. hvordan man starter et forløp slik at utgangspunktet er konkret og gjenkjennelig for elevene. I tillegg forklares og utdypes noen av bokas problemstillinger.

Vil du gjøre mer?Avsnittet inneholder• forslag til hvordan man kan arbeide videre

med aktivitetene.• ikoner som viser til relevante steder i

systemet. Følgende ikoner er benyttet:

Ut-av-boka-aktiviteter. Det er beskrevet 43 aktiviteter på side 89–98.

TRIX-historie. Det er knyttet fem historier til

elevboka, side 99–113. Fargetransparent. Til åtte av bokas sentrale

illustrasjoner er det utarbeidet fargetranspa-renter. De står under det tredje skillearket i ressurspermen.

Kopioriginal. I ressurspermen er det 80 kopi-

originaler til TRIX 3A.

Regneark. Se www.dammskolen.no.

TRIX

3A

Til h

vert

kap

ittel

www

35



Kom

men

tare

r til

Jipp

i

Jipp

i

Faglige målKapittelet legger opp til at elevene• får repetert det de vet og kan om de faglige

stoffområder de arbeidet med på 2. trinn.• bruker sine kunnskaper, kompetanser og fer-

digheter i forskjellige typer oppgaver som de tidligere er blitt presentert for.

• i størst mulig omfangtfår en opplevelse av at de kan løse oppgavene på egen hånd.

TRIX og dette kapitteletRepetisjon og gjentakelse er en sentral del av enhver læringsprosess. Forståelsen fester seg og ferdighetene automatiseres hvis man med pas-sende mellomrom vender tilbake til oppgaver og utfordringer som man har arbeidet med tidligere.

I TRIX tar vi hensyn til dette behovet på fi re måter.

• Evalueringssidene i slutten av hvert kapittel legger opp til etterbehandling av stoffet. Elev-ene må refl ektere over hva de har lært, og en slik form for refl eksjon virker som forståelses-messig repetisjon.

• Hvert av de sentrale faglige kjerneområdene er i fokus i mange kapitler opp gjennom skoleforløpet. For eksempel har addisjon vært omdreiningspunktet for to av kapitlene på 2. trinn, og her i TRIX 3A er det nok et addis-jonskapittel.

• Noen av oppgavene i hvert kapittel går bevisst på tvers av de faglige dagsordener. Slik knyttes relasjoner mellom kjerneområdet som det primært jobbes med i kapittelet og noe av stoffet som er gjennomgått tidligere. Eksempelvis arbeides det både med addisjon og subtraksjon på oppgavesidene i kapittelet om posisjonssystemet.

• Hvert klassetrinn i innskolingen begynner og slutter med et repetisjonskapittel – hen-holdsvis Jippi og Dette har vi lært. I disse kapitlene presenteres ikke elevene for nye faglige utfordringer. Tvert imot dreier det seg for elevene om å fastholde sin bevissthet om det sentrale ved de velkjente stoffområdene. Det var 2. trinn rundet således av forrige skoleår, og etter sommerferien starter det nye skoleårets matematikkundervisning med Jippi.

Dette kapittelet har to formål. For det første kan du som lærer bruke det til

en screening av elevene for å få overblikk over spredningen i elevgruppa. På bakgrunn av dette kan du vurdere om grunnlaget for å gå i gang med de nye faglige utfordringene i TRIX 3A er til stede, eller om det er behov for å bruke mer tid på noe av det elevene arbeidet med på 2. trinn.

For det andre får elevene gjennom arbeidet med kapittelet muligheten til å repetere kjente aktiviteter. Det kan medvirke til å gi en god

36



Kom

men

tare

r til

Jipp

i

og trygg start på arbeidet med TRIX-bøkene for 3. trinn. Konkret handler det om å samle elevenes tallerfaringer på følgende områder:

• Addisjon og subtraksjon: Hva vil det egentlig si å addere og subtrahere? Hvordan kan man utnytte sin forståelse av titallssystemet når man konkret skal utføre de to regne-operasjonene med litt større tall?

• Geometriske fi gurer: Gjenkjenne og navngi polygoner, samt jobbe konkret med geo-metriske fi gurer.

• Måling: Kjennskap til og ferdighet i å måle lengder med linjal. Dere skal arbeide bevisst med at elevene skal oppnå fortrolighet med bruk av målenheten centimeter.

• Bygg og tegn: Bygge og tegne enkle centi-kubefi gurer på isometrisk papir, bl.a. på bakgrunn av fotografi er.

Side i elevboka

Side 1 Intro Side 2–3 AddisjonSide 4 Geometriske fi gurerSide 5–6 SubtraksjonSide 7 MålingSide 8 Bygg og tegn Side 1

Øverst: Samtalebilde om konkrete materialer, geometriske fi gurer og hjelpemidler.Nederst: Bygg og tegn speilbildet på geobrettene. Lag en oppgave selv.

Side 1. Som opptakt til arbeidet i boka er det en fordel å gjøre elevene delaktige i formålet med dette første kapittelet. I kapittelet legges det opp til å «se tilbake» på kjente, faglige dagsordener. Gjennom de mange aktiviteter i elevboka, hands-on-aktiviteter samt kopisider får elevene mulighet til å repetere kjent stoff fra 2. trinn.

Bruk fargetransparenten til en felles samtale om konkrete materialer som ofte blir brukt i matematikkundervisningen. Elevene kjenner fra tidligere en del av de viste materialene. Forklar elevene at disse konkrete materialene kan være en god hjelp når de skal forstå og lære matema-tiske begreper.

Vil du gjøre mer?

Fordelene ved å bruke konkrete materialer er at de:• visualiserer og konkretiserer oppgavene for

elevene• appellerer til elevenes fantasi• øver opp og trener motoriske ferdigheter• utvikler evnen til å se i rommet• virker motiverende

Finn i fellesskap ut hvor mange forskjellige materialer dere ser på tegningen. Hva heter de forskjellige tingene? Hvilke materialer har dere brukt i undervisningen selv?Før elevene går i gang med aktivitetene ned-erst på siden, er det opplagt at de arbeider «hands-on» med geobrettet.

Samle et bredt utsnitt av de konkrete materialer som fi ns på skolen, og gjennomgå dem sammen med elevene. Elev-ene kan også selv framstille konkrete materialer som kan fungere som hjelpemidler i matematikkundervisningen.

1 Lag en lik fi gur på geobrettet.2 Undersøk på geobrettet.1 Arbeidsrommet til Trix1 Geobrett69 Geobrett verktøysark

37



Kom

men

tare

r til

Vil du gjøre mer?3 Gjett tallet. 4 Legg plussbrikker i en frise.2–3 Plusstykker A og B

Side 2Øverst: Regn plusstykkene og fargelegg feltene som angitt på malingspannene.Nederst: Finn to tall som til sammen gir svaret i stjernen. Hvert tall kan bare brukes én gang.

Side 3Øverst: Regn plusstykkene og fargelegg feltene som angitt på malingspannene.Midten: Legg sammen mengdene med centikuber. Veksle fra 1-ere til 10-erstenger. Skriv svaret til slutt.Nederst: Regn plusstykkene og strek over svarene på tall-tavla til høyre.

Fire forskjellige aktiviteter danner utgangspunkt for arbeidet med plusstykkene på disse to sidene. Aktivitetene er velkjente for elevene i presenta-sjonsform, og det faglige nivået er tilpasset så de fl este elever kan løse oppgavene uten store problemer.

Arbeidet med side 2 og 3 kan innledes med en felles samtale om addisjon. Innledningen kan være: Dikt en regnehistorie til 14 + 6! Fortell hva du gjør når du skal legge sammen 23 og 4! Hva med 27 + 14?Det er viktig at alle i klassen hører på de for-skjellige forslagene. På den måten blir elevene presentert for andre løsningsstrategier enn dem de selv ville ha valgt. Det er en god og lærerik opplevelse. God ideer blir på en måte formidlet videre til resten av klassen.

I forbindelse med løsning av feltfargingstegnin-gen øverst på side 3 kan utregningene gjøres på et kladdeark eller på kopiark nr. 74.

Jipp

i38



Kom

men

tare

r til

Side 4Øverst: Tell antallet kanter på hver fi gur og skriv svaret i eller under fi guren.Nederst: Dekk kvadratene på forskjellige måter med geo-brikker. Fargelegg fi guren etterpå. Geobrikkene kan gjerne brukes fl ere ganger til hver fi gur.

Side 5Øverst: Strek over antallet som skal trekkes fra. Tell og tegn deretter 1-ere og 10-ere og skriv svaret.Midten: Les av termometerne og skriv tallene. Beregn deretter forskjellen.Nederst: Regn minusstykker. Vekslesituasjoner med mynter. Veksle først og regn etterpå.

Aktivitetene på side 4 legger både opp til å telle kanter på fortegnede fi gurer og til å jobbe «hands-on» med geobrikker. Arbeidet med å telle kanter på forskjellige geometriske fi gurer tjener to forskjellige formål: Å fastholde forståelsen av antallsbestemmelse, og å utvikle en forståelse for at antallet kanter brukes som en måte å klassi-fi sere og navngi geometriske fi gurer på.I oppgavene øverst på siden er det satt en svart prikk i et av hjørnene på hver fi gur. Det hjelper elevene med å holde styr på hvor opptellingen starter og slutter.Oppgavene er repeterende og rutinepreget for de fl este elever. Benytt allikevel muligheten til å poengtere at det fi ns mange forskjellige trekanter, fi rkanter, femkanter osv. Det er bare antallet kanter som avgjør navnet på en geo-metrisk fi gur.

Nederst legger vi opp til en eksperimenterende arbeidsform med geobrikker. Elevene skal prøve å dekke kvadratet med geobrikker på forskjellige måter. Det er en fordel hvis de har geobrikker til rådighet under arbeidet. Oppgaven er imidlertid konstruert slik at den kan løses uten bruk av geobrikker.

Side 5 og 6 omhandler subtraksjon med særlig fokus på veksling. Forskjellige subtraksjonsmåter fra 2. trinn repeteres her. Øverst på side 5 legger vi opp til at dere både jobber hands-on, ikonisk og rent symbolsk med oppgavene. Gjør mye ut av veksleproblematikken, og la evntuelt elevene arbeide med centikuber, noe som gir en god for-ståelse av hva som skjer i veksleprosessen.

Vil du gjøre mer?Fortsett det eksperimenterende arbeidet med geobrikker. Prøv å lage sammenhengende fi gurer bare ved hjelp av trekanter! Hvilke kanter kan dannes ved henholdsvis 3, 4, 5 eller 6 trekanter?

79–80 Geobrikker

Jipp

i

39



Kom

men

tare

r til

Side 6Øverst: Regn minusstykkene og skrive de riktige bokstavene i feltene.Midten: Sett opp minusstykker som gir svaret 22.Nederst: Beregn tallfølgene.

Side 7 Øverst: Mål omkretsen på fi gurene og fi nn forskjellen mellom dem.Nederst: Tegn en 3-kant og en 4-kant med omkretsen 12 cm.

På side 6 er subtraksjonsstykkene skrevet som symbolske uttrykk i velkjente oppgavetyper. Bruk talltavla i dette arbeidet.

Aktivitetene på side 7 legger opp til to faglige poeng: Å kunne måle riktig med en linjal og å kunne beregne omkretsen på en gitt fi gur. Det er stadig en motorisk vanskelig øvelse for mange elever å måle med en linjal. La elevene arbeide fritt og eksperimenterende før siden tas i bruk. Mål f.eks. forskjellige ting fra pennalet, bøker, hefter eller andre ting i klasserommet. Tegn streker med linjalen på et stor A3-ark. Mål strekene og skriv på målene. Gjett gjerne på resultatet først.

Vil du gjøre mer? Elevene kan fortsette med å lage nye oppgaver der de skal «knekke koder». Det er en god og lærerik prosess å konstruere slike oppgaver selv.

5 Mål på ballonger.6 Undersøk hvor langt og hvor høyt du kan hoppe.4–5 Minusstykker A og B6 Måling

Jipp

i40



Kom

men

tare

r til

Side 8 Øverst: Gjør de sju tegningene ferdige.Nederst: Bygg og tegn fi guren på isometrisk papir.

Isometrisk tegning gjenoppfriskes på denne siden. Elevene skal:• bygge og tegne romlige fi gurer av centikuber• tegne romlige fi gurer på isometrisk papir• bygge fi gurer ut fra en tegning

Øverst på siden skal elevene tegne en enkelt centikube med utgangspunkt i de fortegnede strekende. På den første tegningen er det vist hvordan fi guren vil komme til å se ut.Nederst på siden er det en en fordel å bygge fi guren i centikuber før fi guren tegnes. På den måten får elevene bedre visuell og romlig fornemmelse av fi guren.

Vil du gjøre mer?Elevene kan gå sammen parvis og bygge enkle centikube-fi gurer til hverandre. Etterpå kan de tegne fi gurene på isometrisk papir.

7 Undersøk på isometrisk papir.8 Større enn eller mindre enn76–77 Isometrisk papir

Jipp

i

41



Kom

men

tare

r til

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

Faglige målKapittelet legger opp til at elevene• forstår prinsippet bak grupperinger• utvikler sitt tallbegrep til å omfatte tallene fra

0 til 1000• videreutvikler seg som kompetente brukere av

titallssystemet

TRIX og dette kapitteletI kapittelet repeteres og videreutvikles elevenes forståelse av titallssystemet gjennom målret-tede aktiviteter med enere, tiere og hundrer. I siste halvdel av kapittelet kombineres elevenes kunnskaper om posisjonssystemet med deres kunnskaper om addisjon og subtraksjon i oppgave løsningen.

I TRIX ses tallforståelse, titallssystem, addisjon og subtraksjon sammenheng. Derfor er aktiv-iteter innenfor disse områdene på alle trinnene i innskolingen. Gjennom arbeidet med for eksempel subtraksjon ser elevene de forskjellige tallene i nye sammenhenger. Det kan være som en del av regnestykket, som et svar eller som den matematiske modellen av noe virkelig. Og det øker forståelsen for tallets ordinale (rekkefølge) og kardinale (antall) egenskaper. Det kan f.eks. være tallets størrelse, antall tiere og enere i tallet, relasjonen til andre tall osv. Av fi guren framgår det hvordan dette kapittelet henger sammen med det samlede innskolingsforløpet.

1 Posisjonssystemet: Sifrenes plassering. 1-ere og 10-ere som begrep.

Addisjon og subtraksjon: Det arbeides med to regneoperasjoner. Sammenheng med titallssystemet skapes gjennom fokus på veksling.

2A Addisjonsmåter:Omhandler de mange metodene som kan brukes til addisjon. Fokus på addisjonsmåter. Fokus på addisjons-algoritmen.

2B Subtraksjonsmåter: Omhandler de mange metodene som kan brukes til subtraksjon. Fokus på subtraksjonsmåter. Fokus på subtraksjons algoritmen.

3 Store tall: Fokus på tall større enn 1000.

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et42



Kom

men

tare

r til

Kapittelet legger særlig opp til at elevene kan utvikle tre delkompetanser.

Å kunne …• behandle tall og symboler gjennom arbeidet med å avkode, sette opp og behandle enkle regne stykker med tall mellom 0 og 1000.• velge og bruke hjelpemidler. Arbeidet med aktivitetene legger opp til at elevene benytter forskjellige hjelpemidler. For eksempel kan kal-kulator, centikuber, posisjonsplater trekkes inn i arbeidet med aktivitetene.• representere. Kapittelet fortsetter og bygger ut forståelsen av titallssystemet som posisjons-system. Forståelsen av hvordan 100-ere blir representert, samt hvordan de behandles i regne-operasjonene, er i direkte forlengelse av behand-lingen av 1-ere og 10-ere på 2. trinn.

Side i elevbokaSide 9 IntroSide 10–11 Intro-aktiviteterSide 12 Faglig gjennomgangSide 13–15 ØvelserSide 16–22 OppgaverSide 23–24 Evaluering

Side 9 · IntroSnakk om, hvilke dyr og vektangivelser som hører sammen. Skriv vekten på skiltet til dyret.

INTRO • SIDE 9Her settes fokus på store tall. Elev-

ene har alle hørt om hundrer, tusener osv., men i praksis har de svært forskjellig matematisk for-ståelse av tallene. Ved å koble tallene sammen med dyrenes vekt får elevene en viss forståelse av tallenes størrelse. Selv om tusen ikke er en direkte del av den faglige gjennomgangen i kapittelet, kan tallet gjerne tas med, idet tusen jo er 10 hundrere.

På denne siden kan dere snakke om hvor man møter store tall, og i hvilke situasjoner de inngår. Ta f.eks. utgangspunkt i situas jonen ved billett-luka. Kanskje har dere også opplevd dette. Opp-gaven med å skrive riktig vekt på skiltet til de forskjellige dyrene er en konkret oppgave. Snakk om hvorfor vekten ikke passer for alle sebraer, fl odhester osv. Vekten vil naturligvis variere mye, akkurat som hos mennesker. Sebraen inngår ikke direkte i oppgaven. En sebra veier gjennomsnit-tlig 200–250 kg, men kan veie opp til 400 kg.

Vil du gjøre mer? Lag en plansje som viser vekten på forskjellige dyr. Ordne dyrene etter vekt. Gå ev. på biblioteket og lån Guiness` rekordbok for å fi nne store tall og rekorder hos dyr.

9 Dyreleksikon10 Livets linje2 Dyrehage 2 Dyrehage

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

www

43



Kom

men

tare

r til

Side 10 · Intro-aktiviteterØverst: Beregn tallfølgene.Nederst: Tegn fra prikk til prikk i riktig rekkefølge.

Side 11 · Intro-aktiviteterØverst: Samle centikuber i 10-er-stenger og skriv antallet 10-ere og 1-ere i feltet til høyre.Nederst: Tell og angi hvert barns innsamlede beløp. Angi resultatene til høyre etter størrelse. Begynn med den største verdien.

INTRO-AKTIVITETER • SIDE 10–11På de to sidene repeteres tall-

systemet opp til 100. Samtidig rettes oppmerk-somheten mot hvordan tallene (tallsystemet) fortsetter. Det skjer gjennom nye utfordringer med litt større tall. Tallene behandles dels som rekkefølger og dels som antall (dvs. den ordinale og kardinale tallforståelsen).

På side 10 bygges det bro fra de kjente tallene under 100 til større tall ved å utnytte «tier-remsen» til raskt å nå store tall. Her behandles den ordinære tallforståelsen, altså tallene som rekkefølger. Øverst kan tallrekkefølgene brukes til en samtale om hvordan man teller tall større enn hundre. For eksempel legger elevene kanskje merke til at man på en måte «begynner forfra» når man kommer til hundre. Altså at man på nytt teller enere og tiere opp til 99, innen sifferet på hundrerplassen skifter.

På side 11 repeterer vi begrepene tiere og enere. Senere innføring av hundrere skjer som ved innføringen av tiere. Derfor bedrer det for-ståelsen hvis begrepene hundrer og tiere ses i sammenheng: ti 1-ere er lik én 10-er, og ti 10-ere er like én 100-er. Her ser vi altså på tallene som antall, dvs. den kardinale tallforståelse.Nederst ser vi en situasjon fra virkeligheten: Innholdet i bøssene telles opp. Dere kan arbeide med denne aktiviteten på fl ere måter. Oppgaven kan presenteres som helt åpen versjon. Elevene får utlevert et blankt ark til å regne på, og skal selv prøve å fi nne en løsningsstrategi og fi nne svarene. Eller dere kan oppfordre dem til å gå mer strukturert til verks ved først å telle 1-ere, tegne opp og «oversetter til 1-ere og 10-ere» (veksle), hvis det er 10-er-overgang. Deretter kan de gjøre det samme med 10-erne og 100-erne.

Vil du gjøre mer?I tilknytning til aktivitetene på side 10 kan elevene hoppe 10, 20, 30 osv. og stoppe ved 100. Deretter kan de gå videre og f.eks. stoppe ved 120. Hopp også fl ere ganger. Se om ikke elevene selv klarer neste «hundrer-skifte»: 180, 190, 200, 210.

Til aktiviteten nederst på side 11 kan dere lage deres egen innsamling eller lage penger selv. Ved gjengivelse

av pengesedler må det ikke være risiko for at bilder av pengesedler kan forveksles med ordentlige pengesedler.

11 Hinkerute.7 10-er-hopp.8 Veksling av 1-ere. 3 Innsamling.

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

www

44



Kom

men

tare

r til

Side 12 · GjennomgangØverst: Tell antall 1-ere, 10-ere og 100-ere, og skriv svaret i rubrikken.Midten: Veksle til 100-ere og skriv svaret i rubrikken.Nederst: Tegn antallet 1-ere, 10-ere og 100-ere i rubrikken.

Side 13 · Øvelser Øverst: Tell antall 1-ere, 10-ere og 100-ere, og skriv resultatet i rubrikken.Midten: Veksle myntene og skriv svaret i rubrikken.Nederst: Tegn antallet 1-ere, 10-ere og 100-ere i rubrikken.

GJENNOMGANG • SIDE 12I kapittelet arbeider dere med

titalls systemet for tall opp til 1000. Det legges fokus på at elevene får erfaringer med store tall gjennom konkrete aktiviteter, og at de forstår hvordan den matematiske representasjonen av tallene systematiseres – at tallenes plass angir henholdsvis enere, tiere og hundrer.

Elevene har alt møtt de vanlige sedlene og myn-tene i hverdagen. Noen forstår kanskje alle rede at ti 10-ere kan veksles til en 100-kroneseddel. På denne siden kobles disse litt løse kunnskapene om penger til den matematiske tallnotasjonen. Elevene skal telle antallet kroner i de fi re øverste oppgavene på siden. Deretter noterer de svarene i skjemaet. I de to midterste aktivitetene er det tolv 100-ere, som må veksles i én hundrer og to tiere.I de to nederste oppgavene skal antall kroner representeres i sedler og mynter.

Sifrene i de tallene det opereres med på siden, er konsekvent oppdelt i 100-ere, 10-ere og 1-ere for å holde styr på det samlede tallets sifre:

I vanlig tallbehandlingen oppfattes de enkelte sifre til sammen som ett tall. Her er det tallet 247. I øvelsene og oppgavene går vi gradvis over til bare å skrive tallene slik. Allerede nå kan det imidlertid være en fordel å snakke om forhol-det mellom sifre og tall. Dere kan gjøre det ved samtidig å trene på den muntlige dimensjon. Etter hver oppgave kan elevene si tallet (antall penger), og dere kan skrive tallet på tavla.

ØVELSER • SIDE 13–15På side 13 er problemstillingen

den samme som på gjennomgangssiden. De to sidene hører naturlig hjemme i samme under-visningsopplegg.

Vil du gjøre mer?I tilknytning til arbeidet med aktivitetene vil konkrete materialer, f.eks. tolv 10-kroner og et par 100-kronesedler være til hjelp for noen elever.

12 Hopp til 100013 Bysentrum

1 Finnerlønnen9–10 Veksling av 10-ere A og B

100-ere2

10-ere4

1-ere7

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

45



Kom

men

tare

r til

På side 14 skal elevene arbeide uten den van-lige skjematiske notasjon av tallene. Elevene må altså selv holde styr på at det første sifferet (lest fra venstre) i de tresifrede tallene, er antall hundrer osv. Øverst fargelegger elevene sedler og mynter tilsvarende det antall kroner som skal være i sparebøssene. Gjennom rangordningen av tallene i de to nederste øvelsene på siden får elevene fokus på tallenes størrelsesorden. De får dermed indirekte utfordret sin forståelse av hva sifrenes plassering i tallet betyr.

Side 14 · ØvelserØverst: Fargelegg penger tilsvarende tallene på grisene. Velg farge selv og angi beløp på de siste grisene.Midten: Rangordne dyrene etter vekt. Skriv 1 under dyret med lavest vekt osv.Nederst: Skriv tallene i rekkefølge, slik at de minste tal-lene kommer først.

Side 15 · ØvelserØverst: Veksle til 10-ere og 100-ere og skriv det samlede antallet i skrivefeltet.Nederst: Veksle til 10-ere og 100-ere og skriv det samlede beløpet i skrivefeltet.

På side 15 fortsetter dere arbeidet med veksling-sproblematikken. Øverst skal elevene samle centikuber i 10-er-stenger, og 10-er-stengene skal igjen samles til 100-er-plater. Elevene illustrerer dette slik det er anvist i det øverste eksempelet. Nederst på siden skal de arbeide på samme måte med sedler og mynter.

Vil du gjøre mer?Det er en fordel å arbeide med vekslingsprosessen med konkrete materialer: posisjonstavle og 10-er-stenger og 100-er-plater.

14 Gjett vekten.15 Mål med mange ulike målebånd.11 Rekkefølge71–72 Posisjonsbrikker. Tier- og hundrerbrikker

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et46



Kom

men

tare

r til

OPPGAVER · SIDE 16–22På de seks oppgavesidene skal elev-

ene arbeide med tallene i forskjellige sammen-henger. Addisjon og subtraksjon inngår i mange av aktivitetene. Gjennom arbeidet med disse aktiviteter utvides erfaringene med tallene, og det oppstår nye erkjennelser og dermed større forståelse av tallene. Det er også i kombinasjo-nen at forståelsen av titallssystemet og de enkle regneoperasjonene at fundamentet til elevenes utvikling av egne og kjente addisjons- og sub-traksjonsalgoritmer blir lagt. Addisjonsalgorit-men skal vi se nærmere på lenger ute i boka.

På side 16 regner elevene ut den samlede vekt av de angitte tingene. Addisjonen kan utføres med mange forskjellige hjelpemidler, f.eks. talltavle, tallslange, tier- og hundrerbrikker og posisjonstavla. Utregningene kan også gjøres ved opptelling, med ikoniske tegninger av cen-tikuberstenger og -plater som i øvelsene på side 15 eller ved hjelp av en algoritme. Elevene kan

vise utregningene sine i rutefeltet eller bare angi resultatet.Det største landlevende dyr er den afrikan-ske elefanten. Elefanter er dårlige til å fordøye maten de spiser. Elefanten er derfor nødt til å spise svært mange kilogram gress, bark, blader og grener hver dag. Daglig må den fi nne rundt 150 kg mat som den setter til livs. En elefant har derfor ca. 70 kg avføring hver dag – som som dyrepasseren må fjerne!

På side 17 regner elevene ut den samlede vekten på de angitte dyrene. Igjen kan addisjonen utføres på fl ere forskjellige måter og ved hjelp av forskjellige hjelpemidler. Deretter må elevene forholde seg til «størrelsen» på tallet som de fi nner. Er det større eller mindre enn det vognen tåler?

Side 16 · OpgaverBeregn hvor mye elefanten spiser. Bruk rutefeltene til utregningene.

Side 17 · OppgaverBeregn den samlede vekten til dyrene og angi deretter om bilene tåler vekten. Bruk rutefeltene til utregningene.

Vil du gjøre mer?16 Hopp tall

12–13 Dyrehage A og B

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

47



Kom

men

tare

r til

Øverst på side 18 skal elevene regne ut den samlede mengde gull på hver hest. De fi re reg-nestykkene setter fokus på forskjellige aspekter ved addisjonen, f.eks. 10-er-overgang og 100-er-overgang. Selve addisjonsmåten er under-ordnet. Derimot kan dere bruke litt tid på å se på resultatene i de enkelte oppgavene. Er det f.eks. stor eller liten forskjell på hvor mye hver hest bærer? Kan et menneske bære en enkelt sekk, eller kreves det to personer? osv. Hva er en hestekraft? Nederst regner elevene ut samlet pris på varene i butikken.

Side 18 · OppgaverØverst: Beregn den samlede vekten av gull på hestene.Midten: Beregn den samlede prisen på varene fra butikken.Nederst: Regn ut plusstykkene.

Side 19 · OppgaverØverst: Tegn kassene som har falt av hestevognene, og angi svaret.Nederst: Regn ut minusstykkene.

På side 19 fortsetter cowboy-temaet. Konvoien blir angrepet av indianere, og fl ykter i vill hast. I hurlumheien faller mange kasser av. Elevene skal regne ut hvor mye som er falt av. Subtraksjons-måten er underordnet. La elevene selv fi nne ut av det, gjerne ved å tegne de kassene som er falt av.

Vil du gjøre mer?Oppgavene er litt vanskelige. Det kan derfor være en fordel å innføre konkrete materialer, f.eks. posisjons-platen, penger, centikuber eller «ikoniske tegninger» av mengder i arbeidet med disse oppgavene.

14–15 Indianeroverfall A og B 4 Cowboy

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

www

48



Kom

men

tare

r til

Side 20 · OppgaverMidten: Rangordne bilene innenfor hver kategori. Skriv 1 ved den høyeste verdien osv. Nederst: Regn ut stykkene.

Side 21 · OppgaverØverst: Regn ut forskjellene på de ulike kategorier biler. Sjekk gjerne på en kalkulator.Nederst: Regn ut stykkene.

På side 20 skal elevene ordne bilene fra kort-spillet etter forskjellige egenskaper. På kortene er det brukt alminnelige betegnelser på de forskjellige egenskaper. Topphastigheten, motorens maksimale ytelse (hestekrefter) og motorens samlede «slagvolum» (størrelse) er be-nevnt med sine enheter, henholdsvis km/t, hk og ccm (kubikkcentimeter). Bagasjerom og vekt er angitt i enhetene liter og kilogram, som ikke framgår av tegningen.Betydningen av disse forskjellige egenskapene kan gjennomgås med utgangspunkt i hva en familie, en ung mann, en eldre dame eller andre «typer» går etter når de velger bil.

På side 21 undersøkes forskjellene ved bilenes ulike egenskaper. Som tidligere er det ikke selve subtraksjonsprosessen som er i fokus. Elevene kan derfor fritt løse oppgaven på sin egen måte. For eksempel kan kalkulatoren inngå i arbeidet.

Vil du gjøre mer?Spill bilkort, fl ykort m.m.

17 Kortspill og yatzy16 Rally

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et

49



Kom

men

tare

r til

Side 22 · OppgaverBeregn den samlede vekten på tingene fra returpunktet. Bruk rutefeltene til utregninger.

Side 23 · EvalueringMer om posisjonssystemet

På side 22 skal elevene bestemme den samlede vekt av de viste gjenstandene. Kan traileren holde vekten?Har noen av elevene vært på en gjenvinnings-stasjon? Oppgaven kan gjøres mer autentisk med konkrete eksempler. I rutefeltene kan elevene tegne eller sette opp regnestykker. Hvis noen elever behersker addisjons algoritmen, kan de benytte feltene til å sette opp og regne ut oppgavene.

EVALUERING · SIDE 23–24 Øverst skal elevene tegne hva de

forestiller seg når de hører ordet posisjonssystem eller titallssystem. Det kan godt være mer enn én tegning som skal vise elevenes individuelle opp-fattelse av titallssystemet.

Nederst på siden skal elevene til venstre tegne en opp gave som passer til tallet 237. Til høyre skal de fargelegge mynter tilsvarende beløpet på den grønne grisen og selv bestemme beløpet på den røde grisen.

Vil du gjøre mer?Besøk en gjenvinningsstasjon og la elevene se hvor mye en container veier. Undersøk bilvekten ved inngangen og utgangen. Husstandene i fl ere kommuner kan levere et visst antall kilo på gjenbruksstasjonene. Ved å veie bilene ved ankomst og avgang kan man for hvert besøk se hvor mye som er levert.

18 Dart17 Regnehistorier

Mer

om

pos

isjo

nssy

stem

et50


trix 3 lærerhåndbok

Documents