trigonomtria imp

Desarrollo de Expansiones de Ángulos Múltiples

Anthony Crespo - [email protected]

December 25, 2012

Abstract

El siguiente trabajo tratra sobre la demostracion del desarrollo de las

expansiones trigonometricas de angulos multiples, la explicacion y com-

probacion del trabajo sera de forma analitca, gra�ca y numerica para

demostrar la igualdad entre las 2 partes, esto quiere decir que represen-

tada de las dos fomas es la correcta y coiciden. Para poder llegar a

esta conclusion se aplican los tres metodos de comprobacion y explica-

cion que mencione anteriormente, la demosracion analitica demuestra que

las identidades son iguales, la demostracion o comprobacion gra�ca en

se la demuestra mediante gra�cos de las dos partes del resultado de la

demostracion analitica y para que eso se correcto las gra�cas deben ser

identicas y en la demostracion numerica debemos remplazar a la variable

de la identidad por cualquier valor y comprobar que al resolver esta ecua-

cion remplazada queden las respuestas iguales. Terminando este proceso

nos daremos cuante de como se desarrolla en cierta forma el desarrollo de

las expansiones trigonometricas de angulos multiples.

1 Objetivos:

- Realizar la demostración analitica, gra�ca y comprobacion numerica de las

siguientes Expansiones Trigonométricas de ángulos múltiples.

� sen2A = 1/2=1/2cos2A

� cos2A = 1/2 + 1/2cos2A

� sen3A = 3/4senA=1/4cos3A

� cos3A = 3/4cosA+ 1/4cos3A

� sen4A = 3/8=1/2cos2A+ 1/8cos4A

� cos4A = 3/8 + 1/2cos2A+ 1/8cos4A

� sen5A = 5/8senA=5/16sen3A+ 1/16sen5A

� cos5A = 5/8cosA+ 5/16cos3A+ 1/16cos5A

� sen6A = 5/16=15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A

� cos6A = 5/16 + 15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A

1

Figure 1: sen2A

2 Desarrollo de las 10 expansiones

2.1 sen2A = 1/2=1/2cos2A

a) Demostracion analitica: cos2A = cos(A+A)cos2A = cos2A=sien2Acos2A = 1=senA=sen2Acos2A = 1=2senA2sen2A = 1=cos2AsienA = (1=cos2A)/2sen2A = 1/2=1/2cos2A

b) Demostracion gra�ca:

c) Comprobacion numerica: A = 0sen2(0) = 1/2=1/2cos(2 ∗ 0)0 = 1/2=1/20 = 0

2.2 cos2A = 1/2 + 1/2cos2A

a) Demostracion analitica: cos2A = cos(A+A)cos2A = cos2A=sen2Acos2A = cos2A=1 + cos2Acos2A = 2cos2A=12cos2A = (1 + cos2A)cos2A = (1=cos2A)/2cos2A = 1/2=1/2cos2A

2

Figure 2: 1/2− 1/2cos2A


c) Comprobacion numerica: A = 0cos2A(0) = 1/2 + cos(2 ∗ 0)/21 = 1

2.3 sen3A = 3/4senA=1/4cos3A

a) Demostracion analitica: sen3A = sen(A+ 2A)sen3A = senA ∗ cos2A+ cosA ∗ sen2Asen3A = senA(1=2sen2A) + cosA(2senA ∗ cosA)sen3A = senA=2sen3A+ 2senA ∗ cos2Asen3A = senA=2sen3A+ 2senA(1=sen2A)sen3A = senA=2sen3A+ 2senA=2sen3Asen3A = 3senA=4sen3A4sen3A = 3senA = 3senA=sen3Asen3A = 3/4senA=1/4sen3A


c) Comprobacion numerica: A = 0sen3(0) = 34/sen(0)=1/4sen(3 ∗ 0)0 = 0

2.4 cos3A = 3/4cosA+ 1/4cos3A

a) Demostracion analitica: cos3A = cos(A+ 2)

3

Figure 3: cos2A

Figure 4: 1/2 + 1/2cos2A

4

Figure 5: sen3A

Figure 6: 3/4senA=1/4cos3A

5

Figure 7: cos3A

Figure 8: 3/4cosA+ 1/4cos3A

cos3A = cosA ∗ cos2A=sen2A ∗ senAcos3A = cosA(2cos2A=1)=(2senA ∗ cosA)cos3A = 2cos3A=cosA=(2sen2A ∗ cosA)cos3A = 2cos3A=cosA=2sen2A=cosAcos3A = 2cos3A=cosA=2(1=cos2A)cosAcos3A = 2cos3A=cosA=2(cosA=cos3A)cos3A = 2cos3A=cosA=2cosA+ 2cos3Acos3A = =3cosA+ 4cos3A4cos3A = 3cosA+ cos3Acos3A = 3/4cosA+ 1/4cos3A


c) Comprobacion numerica: A = 0cos3(0) = 3/4cos(0) + 1/4cos(3 ∗ 0)1 = 1

2.5 sen4A = 3/8=1/2cos2A+ 1/8cos4A

a) Demostracion analitica: cos4A = cos(2A+ 2A)cos4A = cos2A ∗ cos2A=sen2A ∗ sen2Acos4A = (2cos2A=1)cos2A=2(senA ∗ cosA)(2senA ∗ cosA)cos4A = 2cos2A ∗ cos2A=cos2A=4sen2A ∗ cos2A

6

Figure 9: sen4A

cos4A = 2cos2A(2cos2A=1)=cos2A=4sen2A ∗ cos2Acos4A = 4cos4A=2cos2A=cos2A=4sen2∗(1− sen2A)cos4A = 4cos4A=2cos2A=cos2A=4 + 4sen2A ∗ sen2Acos4A = 4sen4A=2cos2A=cos2A=cos2A=4cos2A+ 4senAcos4A = 8senA=6senA=cos2Acos4A = 8sen4A=6(1/2=1/2cos2A)=cos2Acos4A = 8sen4A=6/2=6/2cos2A=cos2Acos4A = 8sen4A=3=3cos2A=cos2Acos4A = 8sen4A=4cos2A=38sen4A = =4cos2A+ 3 + cos4Asen4A = =4/8cos2A+ 3/8 + 1/8cos4Asen4A = 3/8=1/2cos2A+ 1/8cos4A


c) Comprobacion numerica: A = 0sen4(0) = 3/8 + 1/2sen(2 ∗ 0) + 1/8sen(4A)0 = 0

2.6 cos4A = 3/8 + 1/2cos2A+ 1/8cos4A

a) Demostracion analitica: cos4A = cos(2A+ 2A)cos4A = cos2A ∗ cos2A=sen2A ∗ sen2Acos4A = (2cos2A=1)cos2A=2(senA ∗ cosA)(2senA ∗ cosA)cos4A = 2cos2A ∗ cos2A=cos2A=4sen2A ∗ cos2Acos4A = 2cos2A(2cos2A=1)=cos2A=4sen2A ∗ cos2Acos4A = 4cos4A=2cos2A=cos2A=4(1=cos2A)cos2A

7

Figure 10: 3/8=1/2cos2A+ 1/8cos4A

cos4A = 4cos4A=2cos2A=cos2A=(4=4cos2A)cos2Acos4A = 4cos4A=2cos2A=cos2A=cos2A=4cos2A+ 4cos4Acos4A = 8cos4A=6cos2A=cos2Acos4A = 8cos4A=6(1/2 + 1/2cos2A)=cos2Acos4A = 8cos4A=6/2=6/2cos2A=cos2Acos4A = 8cos4A=3=3cos2A=cos2Acos4A = 8cos4A=4cos2A=38cos4A = 4cos2A+ 3 + cos4Acos4A = 4/8cos2A+ 3/8 + 1/8cos4Acos4A = 3/8 + 1/2cos2A+ 1/8cos4A


c) Comprobacion numerica: A = 0cos4(0) = 3/8 + 1/2cos(2 ∗ 0) + 1/8cos(4 ∗ 0)1 = 1

2.7 sen5A = 5/8senA=5/16sen3A+ 1/16sen5A

a) Demostracion analitica: sen5A = sen(2A+ 3A)sen5A = sen2Acos3A+ sen2Acos3Asen5A = 3sinA=4sen2Acos2A=sen2A+ 2senAcosA(4cos3A=5cosA)sen5A = 3senA=4sen2A+4sen4A=sen2A+2sen4A(1=sen2A)(1=sen2A)=2senA3cos2Asen5A = 5senA=5sen2A+ 4sen4A=2sen3A+ 8sen5A8sen5A = 5senA=5sen2A+ 4sen4A=2sen3A+ sen5Asen5A = 5/8senA=5/16sen3A+ 1/16sen5A

8

Figure 11: cos4A

Figure 12: 3/8 + 1/2cos2A+ 1/8cos4A

9

Figure 13: sen5A

Figure 14: 5/8senA=5/16sen3A+ 1/16sen5A

10

Figure 15: cos5A


c) Comprobacion numerica: A = 0sen5(0) = 5/8sen(0)=5/16sen(3 ∗ 0) + 1/16sen(5 ∗ 0)0 = 0

2.8 cos5A = 5/8cosA+ 5/16cos3A+ 1/16cos5A

a) Demostracion analitica: cos5A = cos(2A+ 3A)cos5A = cos2Acos3A=sen2Asen3Acos5A = 4cos3A=3cosAcos2A=sen2A=3senA=4sen3A2senAcosAcos5A = 4cos3A=3cosAcos2A=(1=cos2A)=6sen2AcosA=8sen4AcosAcos5A = 4cos3A=3cosAcos2A=1+cos2A=6(1=cos2A)cosA=8(1=cos2A)(1=cos2A)cosAcos5A = 16cos5A+ 12cos3A+ 9cosA16cos5A = 123A+ 9cosA=cos5Acos5A = 5/8cosA+ 5/16cos3A+ 1/16cos5A


c) Comprobacion numerica: A = 0cos5(0) = 5/8cos(0) + 5/16cos(3 ∗ 0) + 1/16cos(5 ∗ 0)1 = 1

2.9 sen6A = 5/16=15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A

a) Demostracion analitica: cos6A = cos(3A+ 3A)cos6A = cos3Acos3A=sen3Asen3A)

11

Figure 16: 5/8cosA+ 5/16cos3A+ 1/16cos5A

cos6A = (4cos3A=3cosA)(4cos3A=3cosA)=(3senA=4sen3A)(3senA=4sen3A)cos6A = 16cos6A=12cos4A=12cos4A+9cos2A=9(1=cos2A)+12(1=cos2A)(1=cos2A)=12(1=cos2A)(1=cos2A)+

16(1=cos2A)(1=cos2A)(1=cos2A)cos6A = 32cosA+ 24cos4A=30cos2A+ 1932sen6A = cos6A+ 24cos4A=30cos2A+ 19sen6A = 5/16=15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A


c) Comprobacion numerica: A = 0sen6(0) = 5/16=15/32cos(2 ∗ 0) + 3/16cos(4 ∗ 0)=1/32cos(0 ∗ 6)0 = 0

2.10 cos6A = 5/16 + 15/32cos2A+ 3/16cos4A+ 1/32cos6A

a) Demostracion analitica: cos6A = cos(3A+ 3A)cos6A = cos3Acos3A=sen3Asen3Acos6A = (4cos3A=3cosA)(4cos3A=3cosA)=(3senA=4sen3A)(3senA=4sen3A)cos6A = 16cos6A=12cos4A=12cos4A+9cos2A=9(1=cos2A)+12(1=cos2A)(1=cos2A)=12(1=cos2A)cos6A = 32cos6A+ 24cos4A=30cos2A+ 1932cos6A = cos6A+ 24cos4A=30cos2A+ 19cos6A = (cos6A+ 24cos4A=30cos2A+ 19)/32cos6A = 5/16 + 15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A


12

Figure 17: sen6A

Figure 18: 5/16=15/32cos2A+ 3/16cos4A=1/32cos6A

13

Figure 19: cos6A

Figure 20: 5/16 + 15/32cos2A+ 3/16cos4A+ 1/32cos6A

14

c) Comprobacion numerica: A = 0cos6(0) = 5/16 + 15/32cos(2 ∗ 0) + 3/16cos(4 ∗ 0) + 1/32cos(6 ∗ 0)1 = 1

3 Conclusiones:

3.1 Llegue a la conclusion de que todos los ejercicios plantea-

dos son correctas, ya que lo demuestro mediante una

demostracion analitica, demostracion gra�camente y

comprobacion numerica.

3.2 Yo creo que al llegar a demostrar que estas igualdades

planteadas son correctas, nos pueden servir para la

resolucion de problemas siguientes ya que esto nos ha

dado un mayor grado de conocimiento.

3.3 He llegado a la conclusion de que para poder de-

mostrar un ejercicio planteado como los resueltos es

muy necesario la obtencion de la grafrica ya que nos

ayuda a saber si el ejercicio esta correctamente desar-

rollado.

3.4 Yo he concluido que al poder manejar y entender la

expansion de los angulos trigonometricos tenemos la

capacidad para resolver cualquier otro ejercicio de es-

tos.

3.5 He concluido que al realizar este trabajo tuve la ob-

tencion del conocimiento para usar este programa y

saber manejarlo mejor.

3.6 I think, this homework help us to know more of trigono-

metric expansions of angles and these exercices give

us a new thinking and solve for anyone of the next

exercices.

15

trigonomtria imp

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