trigonometria mgr. jozef vozár
DESCRIPTION
TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Riešenie všeobecného trojuholníka. B. β. a. c. γ. C. b. α. A. Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Sinusova veta. Trigonometria. Treba vedieť: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/1.jpg)
TRIGONOMETRIA
Mgr. Jozef Vozár
![Page 2: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/2.jpg)
Trigonometria
Riešenie všeobecného trojuholníka
A
B
C
α
β
γ
a
b
c
Mgr. Jozef Vozár
![Page 3: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/3.jpg)
Trigonometria
Sinusova veta
![Page 4: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/4.jpg)
Trigonometria
Treba vedieť: 1. Vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom
patriacim k tomu istému oblúku kružnice (stredový = 2x obvodový)
2. Vyjadrenie sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku, ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony.
![Page 5: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/5.jpg)
α
2α
r
a/2
α
a/2Sin α = ––––––––––- r
S
A
B
C
P
![Page 6: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/6.jpg)
Spájame goniometriu s geometriou
• SP je výška trojuholníka BSC• BSP je pravouhlý trojuholník• Uhol BAC je obvodový k oblúku BC• Uhol BSC je stredový uhol k oblúku BC
Z toho potom vyplývajú nasledovné vzťahy:
![Page 7: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/7.jpg)
Sinusova veta
sin α ––––- = 2r a
![Page 8: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/8.jpg)
Sinusova veta
sin β ––––- = 2r b
![Page 9: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/9.jpg)
Sinusova veta
sin γ ––––- = 2r c
![Page 10: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/10.jpg)
Sinusova vetaV každom trojuholníku ABC, so stranami a,b,c a uhlami α,
β, γ a polomerom opísanej kružnice r platí:
sin α sin γ sin β –––– = –––– = –––– = 2r a c b
![Page 11: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/11.jpg)
Sinusova veta- príklad
V trojuholníku ABC platí:a=5, b = 7, α = 30°.
Vypočítaj c, r, β, γ.
![Page 12: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/12.jpg)
Sinusova veta- príklad
Riešenie:1.sin α ½ 1 ––––- = 2r → –––– = –– → a 5 10
r =1/20
![Page 13: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/13.jpg)
Sinusova veta- príklad
2. sin β sin β sin β ––––- = 2r →1/10 = ––––– = –––– → b b 7 sin β =7/10 →
β = 44,4°
![Page 14: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/14.jpg)
Sinusova veta- príklad
3.γ = 180° - 30° - 44,4°
γ = 105,6°
![Page 15: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/15.jpg)
Sinusova veta- príklad
4.
sin γ sin γ 0,96 –––- = 2r→ c = ––––- = –––––– → c 2r 1/10
c = 9,6
![Page 16: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/16.jpg)
Trigonometria
Kosinusova veta
![Page 17: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/17.jpg)
C[x;y]
P
ba
cA
B
y
| x|
![Page 18: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/18.jpg)
Kosinusova veta
| x | xcos α = – cos( π - α ) = - ––––––– = ––– b b
![Page 19: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/19.jpg)
Kosínusová veta
y2 = b2 - x2
y2 = a2 – ( c – x )2
Obrázok 2
![Page 20: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/20.jpg)
Kosínusová veta
b2 - x2 = a2 – ( c – x )2
a2 = b2 + c2 - 2cx
![Page 21: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/21.jpg)
Kosínusová veta
Ale (viď obrázok)
x = b cos α
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
![Page 22: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/22.jpg)
Kosínusová veta
V každom trojuholníku ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ platí:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β
c2 = a2 + b2 - 2 ab cos γ
![Page 23: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/23.jpg)
Kosínusová veta- príklad
V trojuholníku ABC sú dané dĺžky všetkých jeho strán:
a = 16,9b = 26c = 27,3Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.
![Page 24: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/24.jpg)
Kosínusová veta- príklad
1. Najprv treba skontrolovať či to je trojuholník – či platia trojuholníkové nerovnosti. a + b > c
a + c > b b + c > a
![Page 25: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/25.jpg)
Kosínusová veta- príklad
2. Pre výpočet uhla α použijeme kosinusovú vetu
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α
![Page 26: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/26.jpg)
Kosínusová veta- príklad
2 bc cos α = b2 + c2 - a2
b2 + c2 - a2
cos α = ––––––––––––––––––2 bc
α = 36°50'
![Page 27: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/27.jpg)
Kosínusová veta- príklad
3. Ďalej pokračujeme ako pri sinusovej vete,
pretože tá je ľahšia.
![Page 28: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/28.jpg)
Obsah trouholníka
A
B
C
va
b
a
c
β
γ
![Page 29: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061616/56814c67550346895db98d0e/html5/thumbnails/29.jpg)
Obsah trojuholníka
S = ½ a.va
va = b.cos γ
S = ½ a. b.cos γ