trigonometria: expectativas institucionais para a prática docente

UNIAN

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

MARIA CRISTINA HUEB

TRIGONOMETRIA: EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS

PARA A PRÁTICA DOCENTE

SÃO PAULO - SP

2014

MARIA CRISTINA HUEB

TRIGONOMETRIA: EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS

PARA A PRÁTICA DOCENTE

Projeto de Dissertação apresentado à Banca

Examinadora do Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera

de São Paulo – UNIAN, como exigência parcial para

a obtenção do título de Mestre em Educação

Matemática, sob orientação da Professora Doutora

Angélica da Fontoura Garcia Silva

SÃO PAULO

2014

H878t Hueb, Maria Cristina

Trigonometria: expectativas institucionais para a prática docente. / Maria Cristina Hueb. – São Paulo, 2014.

283 f ; il. ; 30 cm Dissertação (Mestrado em Educação Matemática, Área de

concentração: Formação de Professores que Ensinam Matemática) – Coordenadoria de Pós- graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2014.

Orientadora: Professora Doutora. Angélica de Fontoura Garcia Silva

1. Questões de concursos de matemática. 2. Documentos oficiais. 3.

Conhecimento profissional. 4. Docente. I. Título. II. Universidade Anhanguera de São Paulo.

CDD 516.24

Autorizo, exclusivamente, para fins acadêmicos e científicos, a

reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de

fotocopiadoras ou eletrônicos.

Local e Data:

________________________________________________________

Assinatura:

________________________________________________________

Dedicatória

Dedico esse trabalho a minha amada

mãe, WILMA DA SILVA (in

memorian), por me ensinar a valorizar as

pessoas mais do que as coisas, por estar

presente em toda a minha vida, sem

medir esforços para que eu obtivesse

sucesso, tanto na vida pessoal quanto na

profissional. Infelizmente, eu não a terei

comigo nessa conquista, mas devo

agradecer-lhe por tanto amor a mim

dispensado.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, meus agradecimentos vão a DEUS, por me permitir mais essa

conquista. Momentos difíceis aconteceram durante todo esse processo como a perda da

minha mãe, mas fui reconduzida aos "trilhos" e, finalmente, consegui finalizar esse

trabalho;

À minha querida mãe, WILMA DA SILVA (in memorian), exemplo de dedicação e

amor cuja figura esteve ao meu lado no início desse trabalho, e que, com certeza, se

aqui estivesse, estaria comemorando comigo mais essa vitória;

À minha querida irmã RUTH GOMES e meus sobrinhos CAROLINE GOMES

DOS REIS, BRUNO GOMES DOS REIS e MARIA EDUARDA DOS REIS

VANDERLEI, por estarem presentes nos momentos mais difíceis da minha vida;

À Professora Dra. ANGÉLICA DA FONTOURA GARCIA SILVA, pelas

orientações, dedicação, sugestões, ajuda e, principalmente, pela paciência nos

momentos em que mais estive perdida;

Às Professoras membros da Banca Examinadora, MARLENE ALVES DIAS e

OLGA CORBO, pelas valiosas sugestões que muito contribuíram para aperfeiçoamento

desse trabalho, além da disposição em sempre elucidar dúvidas e dar sugestões tão

assertivas;.

Ao Professor Dr. RUY CÉSAR PIETROPAOLO pelas discussões e indicações de

caminhos para a construção do texto, no decorrer do processo;

À Professora Dra. NIELCE MENEGUELO LOBO DA COSTA pela sua presença

constante e apoio;

A todos os amigos, em especial, ALER DO AMARAL NETO, CRISTINA

SAMPAIO, MIGUEL VECHIONI JUNIOR, que souberam compreender a minha

reclusão, sem me abandonar em momento algum, principalmente, naquelas ocasiões em

que mais precisei de um ombro amigo;

Aos professores colegas do Curso de Mestrado em Educação Matemática da

Universidade Anhanguera de São Paulo, em especial, ALINE CYBIS, CÍCERO

SANTOS, CRISTINA SAMPAIO, ROSIVALDO SANTOS pelas discussões que nos

fizeram crescer como profissionais, além do grande elo de amizade estabelecido entre

todos nós;

À SEE/SP pela bolsa mestrado, sem a qual não seria possível o início e a conclusão

deste trabalho;

A todos que se fizeram presentes na minha vida em toda essa caminhada, tanto nos

bons quanto nos maus momentos, visto que nos momentos de adversidade sempre

somos impulsionados em seguir nosso caminho.

RESUMO

Essa pesquisa tem como finalidade investigar os conhecimentos necessários para o

professor de Matemática, no que diz respeito à abordagem da Trigonometria na

Educação Básica, levando-se em consideração as questões propostas em concursos

públicos promovidos pela SEE de São Paulo. Tal estudo tem caráter bibliográfico e

documental, a partir da análise de 20 questões de concursos realizados entre os anos de

2008-2013. No primeiro momento da pesquisa, buscaram-se provas realizadas pela

SEE/SP, efetuou-se uma revisão bibliográfica e constatou-se que a Trigonometria não é

um conteúdo com muitas publicações disponíveis para consulta. Dentre os trabalhos

encontrados, destacam-se os estudos de Spinelli e os Nacarato et al, que serviram como

ponto de partida à investigação. A seguir, houve a preocupação de definição da linha

teórica do objeto estudado e, nesse aspecto, figuram os autores Robert devido à

abordagem dos níveis de conhecimento esperados para a solução de uma tarefa (técnico,

mobilizável e disponível), e Shulman que trabalha com os tipos de conhecimentos

necessários ao professor (conhecimento do conteúdo específico, conhecimento

curricular do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo). Além dos documentos

anteriormente citados, documentos oficiais Federais e do Estado de São Paulo que

abordam a temática em questão foram analisados cujas orientações constituíram

material de fundamental importância para as análises existentes nesse trabalho. As

resoluções publicadas também foram foco de investigação devido à importância de se

conhecer quais são as competências e habilidades avaliadas pelos organizadores dos

certames. Para a apreciação das questões, foi estabelecida uma grade de análise para as

provas anteriormente selecionadas, que contém: expectativas institucionais, descrição da

tarefa, nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert), contexto

(real/artificial) e situação (intramatemática/extramatemática), categoria de

conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa (Shulman). Por

fim, constatou-se que a trigonometria "aparece" entre 3% e 8% das questões de

concursos de professores, e dentre essas, as funções trigonométricas se sobressaem.

Palavras-chave: Trigonometria – Questões de Concursos de Matemática- Documentos

Oficiais- Conhecimento Profissional Docente.

ABSTRACT

This research has the object to investigate the required knowledge to the mathematics

teacher about the Trigonometry approach in basic education, taking in consideration the

proposals issues in the public tender promoted by São Paulo's Education Secretary. This

Study is bibliographic and documental, having like initial point, the analysis of 20

public contest questions between 2008 to 2013. In the research first moment, were

collected exams made by São Paulo's Education Secretary was done a bibliographic

reading and revision and was realized that the Trigonometry is not a content that have a

lot available material to be read. Among the studies found, Spinelli and Nacarato et al

had prominence and served as the investigation initial point. After, there was a concern

about the definition of the theoretical line from study object, in this aspect, were

highlighted Robert by the approach of the levels of knowledge waited for the solution of

a task (technical, mobilizable and available) and Shulman that works with the

knowledge required for teachers (the content specific knowledge, the curricular

knowledge from the content and the content pedagogical knowledge). To analyze this

questions, was created an analysis table for the exams previously selected, which have:

the institutional expectancy, task description, the knowledge level desired for the task

solution (Robert), the context (real/artificial), the situation (intra-mathematical or extra-

mathematical) and the knowledge needed from the professional teachers for the task

solution (Shulman). At the end, was realized that Trigonometry had “shown up” among

3% and 8% from the questions of the public contests made to hire teachers, between

those questions, the trigonometry functions are highlighted.

Keywords: Trigonometry, Mathematics public contest questions', official documents,

teachers professional knowledge

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA ........................................................................ 15

1.1. SOBRE A TEMÁTICA ESCOLHIDA: DAS MOTIVAÇÕES PESSOAIS À PROPOSTA DE PESQUISA .......... 15

1.2. OBJETIVO ...................................................................................................................................... 23

1.3. PROBLEMA .................................................................................................................................... 23

1.4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................................................ 23

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................... 29

2.1. INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETRIA: ... 29

2.1.1 UM ESTUDO SOBRE A TRIGONOMETRIA E A CONTEXTUALIZAÇÃO .................................................. 29

2.2. UM ESTUDO QUE ANALISA UMA PROVA SOB O PONTO DE VISTA DOS SABERES

DOCENTES ....................................................................................................................................... 36

2.3 INVESTIGAÇÕES QUE DISCUTEM O CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE .. 44

2.3.1.SHULMAN ......................................................................................................................................... 44

2.3.2. ROBERT ........................................................................................................................................... 51

2.4 FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO SOB A PERSPECTIVA DE

ALINE ROBERT ............................................................................................................................... 51

CAPÍTULO 3 – A TRIGONOMETRIA NAS PROPOSTAS INSTITUCIONAIS NACIONAIS E

NO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO .......................................................................... 58

3.1. OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO (PCNEM,

2000) - LEGISLAÇÃO ....................................................................................................................... 58

3.2 DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO - PARECER CEB

N° 15/98 (DCNEM, 1998) ................................................................................................................... 61

3.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO (PCNEM, 2000) -

CONTEÚDO ESPECÍFICO .............................................................................................................. 64

3.4 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO + - PCN+ (2002) ............. 67

3.5. ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO (OCEM, 2006) ............... 75

3.5.1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................... 76

3.6 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS -

2010, E OS CONCURSOS .................................................................................................................. 78

3.6.1 PRIORIDADE PARA COMPETÊNCIAS ................................................................................................ 79

3.6.2. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL (CICLO II) E ENSINO MÉDIO .................. 80

3.6.3. A ORGANIZAÇÃO DOS CONTEÚDOS BÁSICOS: NÚMEROS, GEOMETRIA, RELAÇÕES ...................... 81 3.6.4. SOBRE O PROCESSO DE ENSINO DA TRIGONOMETRIA - APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS BÁSICOS

............................................................................................................................................................... 82

3.6.5. CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO ....................................................................................... 88

3.6.5.1. SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM ............................................................................................... 114

3.6.5.2. ANÁLISE DO CADERNO DO PROFESSOR .................................................................................... 114

3.6.5.3. CADERNO DO ALUNO ............................................................................................................... 116

3.6.6. - DOS CONCURSOS ...................................................................................................................... 116

3.6.6.1. DAS PROVAS ............................................................................................................................ 116

3.6.6.2. DAS RESOLUÇÕES SE 80 DE 09/06/2009 E SE 52 DE 14/08/2013 ............................................. 117

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DAS QUESTÕES DAS PROVAS E DOS CADERNOS DOS ALUNOS

.......................................................................................................................................................... 119

TAREFA 1 - SIMPLIFICADO 2009 - QUESTÃO 35.......................................................................... 119


TAREFA 3 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 23 ............................................................................... 124

TAREFA 4 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 24 ............................................................................... 128

TAREFA 5 - MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 35 ............................................................ 130

TAREFA - 6 MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 51 ........................................................... 132




TAREFA 10 - SIMPLIFICADO 2011 - QUESTÃO 38 ........................................................................ 143


TAREFA 12 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 46 .................................................................................... 147

TAREFA 13 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 53 .................................................................................... 150






TAREFA 19 - QUESTÃO 06 (CONCURSO PÚBLICO DE INGRESSO, TIPO 1, BRANCA, 2013, P.3) .............. 163

TAREFA 20 - QUESTÃO 18 (CONCURSO PÚBLICO DE INGRESSO, TIPO 1, BRANCA, 2013, P.5) .............. 166

CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 167

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 177

ANEXOS........................................................................................................................................... 180

CADERNO DO PROFESSOR ..................................................................................................................... 180

Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.1 ......................................................................................... 180

Anexo 2 - Resolução SE - 80, de 3-11-2009 ...................................................................................... 240

Anexo 3 - Resolução SE - 52, de 14-8-2013 .................................................................................... 264

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Publicações por tópico ................................................................................................ 19

Figura 2 - Número de trabalhos de Trigonometria publicados por conteúdo - 2010 .................. 20

Figura 3 - Dissertações e Teses (2010) - Publicação da Revista Zetetiké - 2011 - Dados do

trabalho de Hueb (2013a) ............................................................................................................ 22

Figura 4 - Desenvolvimento de competências entre áreas .......................................................... 68

Figura 5 - Representação e comunicação .................................................................................... 69

Figura 6 - Investigação e compreensão ....................................................................................... 70

Figura 7 - Contextualização sociocultural ................................................................................... 71

Figura 8 - Relações, Números e Geometria ................................................................................ 81

Figura 9 - Números, Geometria e Relações ................................................................................ 82

Figura 10 - Conteúdo e habilidades 8° Ano do Ensino Fundamental .......................................... 83

Figura 11 - Conteúdo e habilidades 9° Ano do Ensino Fundamental .......................................... 84

Figura 12 - Conteúdos e habilidades 1 a Série do Ensino Médio ................................................. 85

Figura 13 - Conteúdos e habilidades 2 a Série do Ensino Médio ................................................ 86

Figura 14 - Conteúdos e habilidades 3a Série do Ensino Médio ................................................. 87

Figura 15 - Relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo .............................. 94

Figura 16 - Ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos ................................................ 100

Figura 17 - Polígono x Valor em graus dos ângulos central e interno ....................................... 100

Figura 18 - Triângulo qualquer .................................................................................................. 102

Figura 19 - Atividade 2 Caderno do Professor - 4° Bimestre, 1 a série do Ensino Médio .......... 115

Figura 20 - Cordas e senos ........................................................................................................ 125

Figura 21 - Cordas e senos ........................................................................................................ 126

Figura 22 - Padrão geométrico - numérico ............................................................................... 141

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1- Tipo de Conhecimento - Shulman............................................................................... 48

Tabela 2 - Tipo de Conhecimento - Shulman.............................................................................. 49

Tabela 3 - Tipo de Conhecimento - Shulman .............................................................................. 50

Tabela 4 - Questões de trigonometria x concurso realizado .................................................... 169

Tabela 5 - Questões por tipo de conteúdo trigonométrico ...................................................... 170

Tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico .............................. 171

Tabela 7 - Expectativas institucionais ....................................................................................... 172

Tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento .................................................... 174

Tabela 9 - Contexto ................................................................................................................... 175

15

CAPÍTULO 1 - Configuração da Pesquisa

Neste capítulo destacamos minhas motivações pessoais e também as pesquisas cujas

questões estão relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem da

trigonometria, e que motivaram o desenvolvimento de nossa pesquisa. Além disso,

apresentamos estudos relacionados à formação de professores, que forneceram subsídios

para o exame dos dados, assim como nosso objetivo, nossa questão de pesquisa e

também considerações sobre os critérios de análise.

Cabe ressaltar ainda nossa opção por escrever somente parte do próximo subitem na

primeira pessoa do singular por considerar que descreverá experiências que dizem

respeito exclusivamente à pesquisadora. O restante do texto será escrito na primeira

pessoa do plural, por considerar que esse estudo recebeu contribuições de diversos

autores, além dos pressupostos dos teóricos que o apoiam.

1.1. Sobre a Temática Escolhida: das motivações pessoais

à proposta de pesquisa

Esse trabalho reflete uma grande transformação em minha carreira profissional. Meu

pai tinha a expectativa de que eu me tornasse médica, mas tal fato nunca ocorreu. Minha

vocação sempre esteve voltada para o trabalho com números e, por essa razão, ingressei

em um curso técnico de mecânica e, posteriormente, fui contratada como estagiária

técnica mecânica em uma grande empresa. A necessidade de ascensão profissional

determinou a minha formação continuada como engenheira mecânica.

Ao longo do tempo, as mudanças em minha vida se deram de forma natural. Em um

determinado momento, morando sozinha em uma cidade onde as pessoas ainda eram

desconhecidas, enxerguei uma oportunidade: a de lecionar em caráter excepcional1 a

disciplina de Física.

1 Caráter excepcional ocorre quando o professor tem aulas atribuídas, mas não possui habilitação na

disciplina que leciona. Cabe aqui ressaltar que existe uma classificação dos candidatos e, na época do

16

Assim, iniciei uma nova carreira, desta vez, na Educação. A partir daquela ocasião,

percebi que a carreira docente nos transforma e meu desejo foi exercer essa profissão.

Para que meu desejo se realizasse de forma mais completa, em 1998, fiz um curso

de Complementação Pedagógica que me habilitaria como professora de Matemática e,

com isso, poderia participar do processo de atribuição de aulas e, em seguida, ocupar

um cargo nessa área.

A participação em concursos para ingresso na carreira docente em 1998 e 20042 fez

com que eu repensasse tanto a minha formação inicial quanto minhas práticas docentes.

Pela vontade e necessidade de aprender sempre mais na minha área de atuação, realizei

diversos cursos de atualização. Os cursos realizados no Observatório da Educação3, por

exemplo, deram novo significado na minha formação docente. Um maior contato com o

referencial acadêmico abriu meus horizontes e ficou claro que muitas outras

transformações são possíveis.

Em 2012, me candidatei a uma vaga para o Curso de Mestrado em Educação

Matemática. Este trabalho é fruto do desenvolvimento inerente a novos conhecimentos

conquistados durante esse processo de formação continuada.

A linha de pesquisa adotada foi a Formação de Professores que ensinam

Matemática, visto que minha formação inicial não teve ênfase no aspecto pedagógico do

ensino de alguns conteúdos matemáticos e, por conseguinte, trouxe implicações na

prática docente. Sendo assim, acreditei que essa abordagem contribuiria para o meu

desenvolvimento profissional, corrigindo, desse modo, tal defasagem.

A dificuldade em ler e escrever se fez presente desde os primeiros dias de aula do

Mestrado. Parecia-me claro que por não errar na escrita, acentuação e pontuação, eu meu ingresso, os bacharéis só poderiam ocupar tal função quando esgotadas todas as possibilidades de

atribuição de aulas para um professor habilitado.

2 Em 1998 fui aprovada, mas não pude me efetivar, pois não possuía o diploma no ato da inscrição. Em

2004, me efetivei no cargo de Professora de Matemática PEB II.

3 Parceria UNIAN e Diretoria de Ensino Região Norte 2, com financiamento da CAPES.

17

possuía uma boa formação leitora e escritora. Durante o período de estudos, entendi que

para escrever bem, é necessário ir além.

Um bom escritor é aquele que se faz entender pelo seu público e tenho muito a

aprender nesse quesito. Por todos esses problemas enfrentados, percebi o que motivou

autores dos Currículos tanto Estadual quanto Federal ao enfatizar as Competências

Leitora e Escritora de nossos alunos, sem contar com a preocupação da contextualização

das atividades propostas pelos professores.

A leitura dos documentos oficiais foi uma fase importante deste estudo, pois foi

marcada por descobertas que iam além da minha imaginação. Por outro lado, também

foi um passo decisivo no entendimento de quanto é importante o comprometimento dos

professores, de todas as disciplinas, em relação às Competências Leitora - Escritora de

nossos alunos.

A necessidade de saber o que outros autores escreveram foi de grande importância

para esta pesquisa, pois tal leitura me auxiliou na reflexão de como o ensino direcionado

ao desenvolvimento de tais competências pode ser empregado para que os alunos

possam ter maior envolvimento com o conteúdo, levando-se em consideração o

conhecimento prévio. Para esse mote, uso como referência A Construção do

Conhecimento entre o Abstrair e o Contextualizar: o caso do ensino da Matemática

(SPINELLI, 2011).

Durante a leitura de Spinelli (2011), pude verificar o estudo da Trigonometria na

solução de situações-problema contextualizadas que foi de fundamental importância na

decisão de abordar esse conteúdo matemático na análise de provas de concursos de

ingresso4, de processo simplificado

5 e de promoção de docentes

6. O documento citado

4 Ingresso: Concurso necessário para o provimento de cargos de professores de Matemática.

5 Processo Simplificado: É o concurso aplicado aos professores não efetivos da Rede Pública do Estado

de São Paulo. É realizado anualmente pelo Poder Público Paulista, no intuito de classificar os docentes

para a próxima atribuição de aulas.

6 Promoção de Docentes: Concurso realizado no âmbito da meritocracia, em que os docentes que

obtiverem a pontuação necessária para promoção recebem um acréscimo de aproximadamente 10% em

seus vencimentos atuais.

18

(SPINELLI, 2011) será discutido posteriormente no Capítulo 2: Revisão Bibliográfica e

Fundamentação Teórica.

Também busquei pesquisas realizadas sobre essa temática para que eu pudesse

entender as dificuldades encontradas pelo professor no processo ensino-aprendizagem

da matemática, particularmente da Trigonometria. O artigo: Saberes Docentes em

Matemática: uma análise da prova do concurso paulista de 2003 de Nacarato et al

(2005), me auxiliou na compreensão e reflexão sobre os saberes docentes. Os autores do

documento avaliaram as questões do concurso de ingresso de professores de

Matemática em 2003 à luz do edital de abertura do concurso e das orientações

curriculares vigentes. Enfatizaram a difícil posição em que se encontra o professor que,

por um lado, pode ser o autor de sua aula e, por outro, deve seguir regras explícitas e

implícitas encontradas nos documentos oficiais. (Nacarato et al, 2005) Esse estudo

também será abordado posteriormente no Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica e

Fundamentação Teórica.

Logo, houve a preocupação de abordar as linhas teóricas existentes sobre Educação

Matemática. Em investigações iniciais, a revista Zetetiké foi fonte de informações das

publicações de dissertações e teses. Essa pesquisa buscou trabalhos publicados no

período de 1998 – 2010 e foram encontradas 2.563 publicações. Na impossibilidade de

analisar a totalidade dos trabalhos, foi efetuado um recorte das dissertações e teses

publicadas no ano de 2010, totalizando 463 trabalhos analisados.

A pesquisa teve alguns enfoques: identificar as publicações relativas à formação de

professores e ao conteúdo específico de Trigonometria, a fim de que um número maior

de dados fosse coletado, enriquecendo a revisão bibliográfica.

O questionamento que se lança é: há muitas publicações sobre Trigonometria?

19

Figura 1 - Publicações por tópico

FONTE: (HUEB, 2013a, p.8)

58

46

36

23

1613

10 9 8 7 63 1

24,58%

19,49%

15,25%

9,75%

6,78%

5,51%

4,24% 3,81% 3,39% 2,97% 2,54%

1,27%0,42% 0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

0

10

20

30

40

50

60

GEOMETRIA EQUAÇÕES, FUNÇÕES,

GRÁFICOS E

CONJUNTOS

NÚMEROS PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

CÁLCULO ÁLGEBRA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

TRIGONOMETRIA RAZÃO, PROPORÇÃO E

GRANDEZAS

ANÁLISE COMBINATÓRIA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATRIZES CÁLCULO MENTAL

Nú

me

ro d

e p

ub

licaç

õe

s

Conteúdos

Publicações por tópico

Série1

Série2

20

Percebe-se que a Trigonometria ainda é um conteúdo pouco estudado: apenas nove trabalhos publicados no ano de 2010, o que equivale a

3,81% do total das publicações nesse ano. Desse modo, vale o seguinte questionamento: quais são os tópicos da Trigonometria mais estudados?

O gráfico a seguir detalha as abordagens desses estudos:

Figura 2 - Número de trabalhos de Trigonometria publicados por conteúdo - 2010

FONTE: (HUEB, 2013b, p.9)

3

2

1 1 1 1

33,33%

22,22%

11,11% 11,11% 11,11% 11,11%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CICLO E RAZÃO TRIGONOMÉTRICA HISTÓRIA DE LIVRO FENÔMENOS PERIÓDICOS TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA PRÁTICA DOCENTE

Nú

me

ro d

e p

ub

licaç

õe

s

Conteúdos

Número de trabalhos de Trigonomentria publicados por conteúdo - 2010

Série1

Série2

21

Pode-se verificar que as Funções Trigonométricas, Ciclo e Razão Trigonométrica

são os tópicos da Trigonometria mais estudados (mais de 55% da totalidade dos

trabalhos publicados). Refletindo sobre o que essas primeiras informações indicam,

outra questão preliminar se faz presente: é possível que os tópicos mais relevantes da

Trigonometria estejam sendo deixados de lado, levando-se em consideração uma escala

de prioridades indicadas pelas Orientações Curriculares?

A partir dessa indagação e visando ao entendimento desse tópico, buscou-se

identificar quais as abordagens mínimas necessárias relativas ao tema, e, nesse sentido,

as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) mencionam que: “é preciso dar

prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem

trabalhados.” (BRASIL, 2006, p. 71).

Constatou-se, em dados publicados na revista Zetetiké, que a formação docente é

uma linha de pesquisa bastante abordada em trabalhos publicados no ano de 2010,

alcançando 23,95% do total dos trabalhos catalogados pela citada revista.

22

Figura 3 - Dissertações e Teses (2010) - Publicação da Revista Zetetiké - 2011 - Dados do trabalho de Hueb (2013a)

FONTE: (HUEB, 2013a, p.7)

1108

503

299

119

5318

52,76%

23,95%

14,24%

5,67%2,52%

0,86%

52,76%

76,71%

90,95%

96,62%99,14% 100,00%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

0

200

400

600

800

1000

1200

ENSINO APRENDIZAGEM FORMAÇÃO HISTÓRIA TIC CURRÍCULO OUTROS

PARETO - DISSERTAÇÕES E TESES REVISTA ZETETIQUE

ESTUDOS % % ACUM

23

Em uma primeira análise de dados, algumas questões preliminares ajudaram a definir o

objeto deste estudo: existem dificuldades no ensino e na aprendizagem de Trigonometria?

Existem pesquisas que as relatam? Caso as pesquisas existam, como os PCN e as

Orientações Curriculares contribuem para a melhoria da qualidade do ensino de

Trigonometria? As avaliações institucionais refletem os conteúdos que “devem” ser

apresentados aos alunos?

Nesse sentido, não cabe, nessa pesquisa, responder a todos esses questionamentos, visto

que não há tempo hábil para análise detalhada desses pontos.

1.2. Objetivo

Investigar os conhecimentos necessários ao professor da Rede Pública do Estado de São

Paulo para ensinar Trigonometria na Educação Básica, com base nas questões propostas em

concursos públicos da Secretaria Estadual da Educação e nas orientações curriculares para

o desenvolvimento desse conteúdo.

1.3. Problema

Quais são os conhecimentos necessários ao professor de Matemática da Rede Pública

Estadual para ensinar noções relativas à Trigonometria na Educação Básica, na perspectiva

do Currículo Oficial e dos concursos públicos destinados à seleção de profissionais para

atuar na área?

1.4. Procedimentos Metodológicos

Essa é uma pesquisa bibliográfica e documental que busca identificar orientações

constantes em documentos oficiais para o ensino da trigonometria e as habilidades exigidas

24

aos professores que participam de concursos para ingresso, por meio do processo

simplificado e para a promoção profissional na rede pública estadual.

Esta pesquisa foi constituída da na busca de material que embasasse as análises dos

critérios utilizados para a seleção das diferentes questões das provas de concursos para

professores de Matemática no Estado de São Paulo, no que tange ao uso das orientações

constantes nos documentos oficiais e editais dos próprios concursos, aos resultados de

pesquisas mais recentes da área, aos níveis de conhecimento esperados conforme Robert

(1998) e às categorias de conhecimentos necessários ao professor indicadas por Shulman

(1987).

No início deste estudo, houve o levantamento das provas de concurso público para

professores de Matemática desde 1998. No entanto, não foi possível conseguir todas as

avaliações, já que uma das empresas responsáveis não disponibilizou tais provas na

internet. Desse modo, as avaliações analisadas foram: Ingresso/1998, Ingresso/2003,

Ingresso/2007, Processo simplificado/2009, Ingresso/2010, Formação/2010,

Promoção/2010, Processo simplificado/2011/2012, Promoção/2012, totalizando - 475

questões de vários conteúdos matemáticos.

Cabe ressaltar que as provas foram elaboradas por instituições diversas e com

finalidades distintas, variando, dessa forma, o número de questões de conteúdo matemático.

Em uma análise prévia, percebe-se que as provas dos diversos Concursos não possuíam

as mesmas diretrizes. Outro dado que deve ser levado em conta é que o novo Currículo do

Estado de São Paulo foi implementado no ano de 2008. Por essa razão, decidiu-se por

analisar as provas de Concursos de Professores de Matemática a partir desse ano.

Em um primeiro momento, verificou-se que existiam 20 questões sobre Trigonometria

que serão amplamente analisadas nesse trabalho.

25

Após a resolução de todas as questões, houve a pré-classificação destas, e a criação de

uma grade de análise que procurou contemplar os seguintes aspectos: expectativas

institucionais; descrição da tarefa; nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa;

categoria de conhecimento profissional docente e tipo de contexto, que serão descritos a

seguir:

Expectativas Institucionais: Nesse estudo, a análise das expectativas institucionais refere-

se à identificação da coerência entre o que é proposto para ser trabalhado com os estudantes

nos currículos oficiais, ou seja, o estudo da prática docente sobre as noções em jogo e o que

é avaliado nas provas oficiais da profissão. Nesse sentido, é importante verificar se a prática

do professor é levada em conta quando as provas oficiais são elaboradas;

Descrição da tarefa: consiste na identificação e descrição das noções em jogo na questão;

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: Consiste em classificar a

tarefa segundo o nível de conhecimento esperado descrito por Robert (1998);

Tipo de Contexto: Corresponde à análise do tipo de contexto: real ou artificial. Tais

contextos podem ser apresentados em situações extramatemáticas ou intramatemáticas

(Real para uma situação extramatemática; Real para uma situação intramatemática;

Artificial para uma situação extramatemática e Artificial para uma situação

intramatemática);

Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa

(Shulman): Consiste em classificar a tarefa segundo as categorias de conhecimentos

necessários ao professor, estabelecidas por Shulman (1987).

Para exemplificar cada um dos itens da nossa grade de análise, utilizamos, como

exemplo, a Questão 18, do Concurso de Ingresso, 2013, a seguir:

26

Questão 18 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1, branca, 2013, p.5)

A figura a seguir mostra o perfil de um muro de uma represa. A primeira parte da rampa

tem inclinação de 20° com a horizontal e a segunda parte tem inclinação de 50°.

Considerando, sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94, o valor aproximado da altura total do muro

(h) é de:

(A) 9,4 m (B) 10,2 m (C) 11,1 m (D) 12,3 m (E) 13,0 m

Grade de Análise

Expectativas Institucionais:

Ao analisar o enunciado da questão, constata-se que essa questão pode se distanciar das

orientações do documento oficial federal, conforme texto abaixo, caso a intenção tenha sido

o uso da fórmula da adição dos arcos trigonométricos:

Alguns tópicos usualmente presentes no estudo da trigonometria podem ser

dispensados, como, por exemplo, as outras três razões trigonométricas, as

fórmulas para sen (a + b) e cos (a + b), que tanto exigem dos alunos para serem

memorizadas. (BRASIL, 2006, p. 74)

É interessante notar que esse documento mostra que o professor pode dispensar o

conteúdo aos alunos, pois é imprescindível a memorização de fórmulas. Nas orientações

contidas no Currículo do Estado de São Paulo (2010) nota-se que, apesar de não

disponibilizar nenhuma atividade, especificamente, sobre a soma e/ou subtração dos arcos

27

trigonométricos, esta temática (soma) é indicada7 como conteúdo do 1° bimestre 2° ano do

Ensino Médio como observa-se nas indicações a seguir:

Dessa forma, é necessário dedicar períodos de aula para a apresentação do cálculo

de senos e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica a cargo do professor

definir a escala que julgar adequada à condução dessa atividade. (SÃO PAULO,

2009e, p.11)

Assim, para o Estado de São Paulo o estudo do cálculo de senos e/ou cossenos da soma

e/ou subtração dos arcos é um conteúdo que se supõe ser trabalhado pelos professores do

Ensino Médio. Logo, é conhecimento necessário ao professor de Matemática.

Descrição da tarefa:

A tarefa pode ser resolvida por meio de dois métodos: o primeiro consiste em

determinar a altura correspondente ao intervalo em que a rampa está inclinada de 20º, o que

requer apenas a aplicação da noção de seno do ângulo dado. Em seguida, utilizando a

fórmula do seno da soma de arcos, determina-se seno e cosseno de 50º, com a altura da

rampa associada à inclinação de 50º. Para determinar a altura h, basta somar os resultados

encontrados anteriormente; o segundo, por outro lado, corresponde à determinação da

altura da rampa com inclinação de 20º, assim como no método anterior, com a aproximação

por meio do seno dos arcos notáveis, a saber, seno de 45º e 60º.

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (ROBERT, 1998):

Mobilizável - Nessa questão, o candidato encontra na figura dada dois ângulos não

notáveis: 20° e 50°. Enquanto o seno e cosseno de 20° são informados no enunciado da

questão, o valor numérico do seno de 50° precisa ser encontrado. O professor precisará

buscar uma fórmula que possa ser aplicada para encontrar o seno de 50°, de forma que

quando utilizar as relações trigonométricas no triângulo retângulo possa encontrar a altura

7 Utiliza-se a palavra indicada aqui, uma vez que os autores do Currículo Oficial consideram “fundamental

que a opção do professor seja apresentar o que for possível dos conteúdos de cada um dos bimestres, mas

que todos eles sejam tratados, mesmo que de uma maneira incipiente” (SÃO PAULO, 2009, p. 52, grifos

nossos). Nesse sentido, considera-se que há indicações para que se trabalhe tal conteúdo.

28

do triângulo relativa ao intervalo em que a rampa é inclinada segundo o ângulo de 50°.

Após encontrar as duas alturas, ele deverá proceder à soma de ambas.

Observa-se que se na tarefa dada a figura não estiver presente, o nível de conhecimento

passaria a ser o disponível, pois, o professor teria que buscar situações de referência dentro

do universo do seu conhecimento matemático.

Contexto: Artificial para uma situação extramatemática.


(SHULMAN, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.

Para resolver essa questão, o candidato precisa reconhecer a possibilidade de destacar

dois triângulos retângulos na figura dada. A partir dessa informação, são necessários, para

a resolução do problema, os conhecimentos específicos sobre: relações métricas e

trigonométricas no triângulo retângulo, valores numéricos do seno, cosseno e tangente dos

ângulos notáveis, seno da soma de dois arcos.

Nessa questão, é importante ressaltar a importância do conhecimento pedagógico do

conteúdo, pois o candidato pode resolver a questão proposta no concurso, lançando mão de

aproximações dos senos de 45° e 60°. A questão proposta propicia ao aluno uma outra

estratégia para que o conteúdo envolvido seja abordado As OCEM indicam que tanto as:

Sugestões quanto à forma de trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento

sempre que possível, destacando-se o valor formativo agregado e descartando-se

as exigências de memorização, as apresentações de "regras" desprovidas de

explicações, a resolução de exercícios repetitivos de "fixação" ou a aplicação

direta de fórmulas. (BRASIL, 2006, p. 70)

29

CAPÍTULO 2 - Revisão Bibliográfica e Fundamentação Teórica

Este capítulo tem como objetivo apresentar resultados de investigações realizadas que,

de alguma forma, estão relacionadas à temática desse estudo.

Nesse momento, os estudos que fundamentaram a análise e discussão dos resultados do

objeto de estudo escolhido serão apresentados.

2.1. Investigações sobre o ensino e a aprendizagem de

trigonometria:

Apresentaremos a seguir estudos que tratam do tema trigonometria.

2.1.1 Um estudo sobre a trigonometria e a contextualização

Spinelli (2011), em sua tese de doutorado "A Construção do Conhecimento Entre o

Abstrair e o Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática" relatou preocupações

surgidas no decorrer do exercício de sua profissão, em sala de aula, como, por exemplo: são

asseguradas aos alunos interpretações suficientemente abrangentes para a construção dos

conhecimentos matemáticos?

O autor também se preocupou em compreender as causas geradoras da falta de

motivação dos alunos pela aprendizagem matemática, desde as condições precárias de

espaços escolares até a carência de formação acadêmica dos professores. Na busca por

respostas aos questionamentos, o investigador percebeu a ausência de planejamentos

pedagógicos que aproximassem significados em construção daqueles já consolidados.

30

Para o autor, existe a necessidade da contextualização do ensino da Matemática, e a

partir dessa necessidade Spinelli decidiu a questão norteadora da pesquisa: "O que significa

contextualizar o ensino, de modo geral, nas diversas etapas de educação e, mais

especificamente, o que significa contextualizar o ensino da Matemática?" (SPINELLI,

2011, p.12)

Para discutir a temática, o autor fundamentou-se em estudos que discutem conceitos

como abstração, conhecimento teórico e contexto. Analisando os dois primeiros conceitos,

Spinelli decidiu investigar como se dá a compreensão dos conceitos e, para isso, baseou-se

na rede de significados discutidos nos estudos de Machado (2002). Abordou ainda um

segundo aspecto: a análise do que Henri Lefebvre denominou de "movimentos do pensar",

que conforme o autor é a relação dialética entre o abstrair e o pensar.

Para analisar a polissemia do contexto, o autor introduz o assunto referente à

necessidade de contextualização do ensino, fazendo menção ao fato de muitos atribuírem à

ausência de contextualização a responsabilidade pelas deficiências na aprendizagem.

O autor faz uma citação do documento Orientações Curriculares para o Ensino Médio -

Ciências da Natureza e suas Tecnologias para ilustrar o que ele chama de “maneira

ingênua” de interpretar o termo contextualização, dizendo que:

É na dinâmica de Contextualização/descontextualização que o aluno constrói

conhecimentos com significado, nisso se identificando com as situações que lhe

são apresentadas, seja em seu contexto escolar, seja no exercício de sua plena

cidadania. A contextualização não pode ser feita de maneira ingênua [...]. Em

outras palavras, a contextualização aparece não como uma forma de "ilustrar" o

enunciado de um problema, mas como uma maneira de dar sentido ao

conhecimento matemático na escola. (BRASIL, 2006, p.83 apud SPINELLI,

2011, p.30).

31

Em seguida, o autor destaca competências8 e habilidades

9 associadas ao Exame

Nacional do Ensino Médio (ENEM), além de uma lista de "objetos do conhecimento" que

embasam a elaboração das questões, e comenta:

Contrariamente à proposta inicial, o ENEM acabou contribuindo para a

banalização da ideia de contextualização. Por vários motivos - ranqueamento,

contagem de pontos para vestibulares, prestígio etc. - o ENEM adquiriu

importância maior junto às escolas de Ensino Médio, que passaram a direcionar

seus cursos como preparação para o ENEM, sem perceberem que as questões que

compunham originalmente esse exame eram desenvolvidas sobre contextos

próximos da realidade do estudante do Ensino Médio, embora não exigissem,

explicitamente, o conhecimento de conteúdos específicos das disciplinas.”

(SPINELLI, 2011, p.34)

Em seu texto, Spinelli (2011) utiliza como exemplo uma questão do ENEM de 2009,

comentando que a questão apresenta dados e informações irrelevantes para a resolução do

problema, questionando se os longos textos utilizados que compuseram os enunciados

podem ser considerados elementos de contextualização de situações-problema e finaliza:

"O fato de a média de Matemática dos avaliados em 2009 ter sido a menor

dentre todas as disciplinas é, sem dúvida, indício da deficiência de nosso

processo de ensino-aprendizagem em Matemática, mas pode ser também

reflexo do modelo de questão escolhido para a constituição do exame."

(SPINELLI, 2011, p.36).

Ao abordar as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, o autor considera

como elementos contextuais relevantes, o trabalho e a cidadania. No entanto, ele chama a

atenção para o fato de que não se deve condicionar os conteúdos desenvolvidos no ensino

para fins imediatistas e profissionalizantes. Spinelli (2011) chama a atenção ainda para a

necessidade de se contextualizar, observando, no entanto, que "é preciso conter o exagero”.

(SPINELLI, 2011, p.45)

8 As competências do ENEM citadas por Spinelli são: Capacidade de expressão em diferentes linguagens,

capacidade de compreensão de fenômenos, capacidade de enfrentar situações-problema em diferentes

contextos, capacidade de construir argumentações consistentes, capacidade de elaborar propostas de

intervenção solidária na realidade.

9 Spinelli apenas indica que são utilizadas 21 habilidades, que estão associadas a uma ou mais competências

anteriormente citadas.

32

Destacando o papel que tem a constituição de contextos de ensino, na prática docente,

Spinelli afirma que:

[...] a perspectiva de que a constituição de contextos de ensino, compostos por

elementos estimuladores de relações entre significados conceituais, é uma das

condições principais para a tarefa docente. Tal ação, própria do âmbito das

disciplinas de cada área do conhecimento e, para além disso, a ser perseguida em

âmbitos que extrapolam as barreiras disciplinares, permite a constituição dos

mapas de relevância nos quais são destacados os conteúdos, os significados e os

percursos que relacionam uns e outros de modo a propiciar o aprendizado.

(SPINELLI, 2011, p.54-55)

Em seguida, o autor esquematiza as competências discentes e docentes. O autor destaca

as competências esperadas do professor, agrupadas em três eixos, à luz de Machado (2009),

que são: Autoridade - Tolerância, Tecedura - Mapeamento, Fabulação - Mediação.

Spinelli (2011) analisa os eixos citados em parágrafo anterior e ainda os relaciona com

a contextualização. Para o autor, a autoridade do professor pode ser observada quando ele

contextualiza seu trabalho e conduz os alunos por percursos estabelecidos, cabendo a esse

professor estimular ou refrear os discentes, sempre por meio da argumentação, de forma

que sejam evitadas práticas autoritárias.

Para o autor, o eixo Tecedura – Mapeamento também se relaciona com o contexto.

Define, inicialmente, contexto como um: "(...) conjunto de circunstâncias e detalhes que

acompanham um fato e contribuem para aclará-lo". A partir desta definição, o autor

conjectura que:

Para a” constituição de um contexto, precisamos considerar as características que

seus elementos possuem quando observados para além do contexto, ou seja,

precisamos compreender, da maneira mais ampla possível, as relações de

significado que se estabelecem entre os objetos a fim de selecionar aquelas que,

particularmente, interessam ao conjunto de relações que caracterizam o contexto

adotado. Quer dizer, precisamos observar e compreender o todo para que seja

possível selecionar uma parte que traduza significância aos objetos constituintes.

Tais ações podem ser traduzidas nas duas competências apontadas anteriormente,

ou seja, mapear e tecer. (SPINELLI, 2011, p. 60)

Para o terceiro eixo mediar - fabular, Spinelli (2011) indica a necessidade da

argumentação do professor para mobilizar os alunos na construção de conhecimento. Ao

33

professor também cabe construir narrativas, que estabelecem as ligações entre os

significados conceituais. O autor exemplifica narrativas relativas à trigonometria, em

características como: inclinação do telhado, tipo de telha, tipo de clima etc., comentando

que:

A importância do desenvolvimento de conteúdos com base em contextos com as

características apontadas não pode, todavia, obscurecer a necessidade de

rompimento das amarras do contexto, sob perigo de que significados dos objetos

de estudo possam ser construídos em função apenas de condições específicas, e

não possam ser extrapoladas para além da construção empírica determinada,

muitas vezes, pelas características do contexto adotado. (SPINELLI, 2011, p.67)

Spinelli (2011) aponta a Trigonometria como contexto de ensino voltado para

aplicações cotidianas e, dessa forma, acredita-se que o estudo desenvolvido pelo autor

sobre a contextualização foi de fundamental importância para o trabalho, uma vez que essa

temática é bastante valorizada e ajudou na análise de documentos oficiais como,

Parâmetros Curriculares Nacionais Para o Ensino Médio (2000), Currículo do Estado de

São Paulo (2010) e editais e questões de concursos públicos.

O autor relaciona a Trigonometria com outras áreas do conhecimento, especialmente a

Física com o estudo dos movimentos periódicos. Esse estudo chama a atenção também para

as relações que a Trigonometria mantém com outros conteúdos da própria Matemática,

como, por exemplo, os números complexos, História da Matemática. Além disso, o autor

utiliza as narrativas para desenvolver o conteúdo de Trigonometria e apresenta três

problemas:

– No primeiro problema, Spinelli (2011) associa funções trigonométricas como seno e

cosseno a ações cotidianas como as de ligar e desligar aparelhos de controle remoto e

procura problematizar as situações, a fim de que os alunos reflitam sobre o tema;

-- Spinelli (2011) apresenta, em seguida, uma situação na qual propõe a utilização de

softwares para desenhar gráficos. Nesse caso, o autor compara as funções dadas a uma

onda. É solicitado ao aluno que escreva o valor do comprimento da onda, da amplitude e da

frequência, nas unidades dadas;

34

– No terceiro problema, o autor solicita que o aluno represente a amplitude de uma onda em

um gráfico cartesiano, sendo dadas a frequência e a amplitude da onda.

Em seguida, Spinelli (2011) descreve e justifica suas escolhas:

No caso do exemplo da apresentação das funções trigonométricas, com base em

contexto voltado para aplicações cotidianas, nosso mapeamento identificou a

relevância dos significados de frequência de uma onda e da representação dessa

onda por intermédio de um gráfico cartesiano. Elaboramos, então, um percurso

que partiu da constatação da presença dos sinais eletromagnéticos à nossa volta,

seguiu para a identificação dos conceitos importantes para a compreensão da

fenomenologia associada, finalizando com a associação entre tais conceitos e a

representação cartesiana de uma função matemática. (SPINELLI, 2011, p.89)

O autor ainda abordou os "Contextos Interdisciplinares para o Ensino de Matemática"

(SPINELLI, 2011, p.90), e utilizou o fenômeno das marés para contextualizar o ensino.

Para o investigador, a contextualização da trigonometria, por meio da análise do

fenômeno das marés, pode ser utilizada, visto que tal fenômeno favorece a modelagem com

o uso das funções periódicas seno e cosseno, do modelo da circunferência trigonométrica e

das funções trigonométricas de modo geral.

Esse mesmo autor identifica as informações, os conhecimentos e as relações que

precisam ser consideradas na situação, como por exemplo, conhecimentos ligados à

mecânica clássica, ao uso do solo. Analisando a linha do pesquisador, observa-se que foi

utilizado o mapeamento com informações necessárias que possibilitariam transformar essas

mesmas informações em conhecimento e, observando as interações, mostradas nesse

estudo, nota-se que é possível trabalhar a interdisciplinaridade do fenômeno das marés nas

disciplinas de Matemática, Física, Geografia, além da Biologia e Química.

Para exemplificar tal afirmação, seguem algumas das atividades referentes ao fenômeno

das marés propostas pelo autor:

35

Atividade 1 - A periodicidade é representada por meio da evolução do comprimento da

sombra de uma estaca com o passar das estações do ano, de forma a permitir observar a

periodicidade do movimento da Terra ao redor do Sol. (SPINELLI, 2011, p.93);

Atividade 2 - Para construir o gráfico das marés, é necessário buscar dados em um site

previamente indicado, transferi-los para uma planilha Excel, desenhar o gráfico da

evolução das alturas das marés e, finalmente, realizar os ajustes necessários para que o

gráfico possa ser modelado por uma determinada equação.

Outro contexto analisado pelo autor foi o da História da Matemática que foi

exemplificado com uma proposta de atividade, na qual utiliza os Números Reais, cujo

desenvolvimento favorece a Intradisciplinaridade10

e a Transdiciplinaridade11

no Ensino da

Matemática. Podem-se indicar alguns exemplos relacionados pelo autor: as Matrizes e os

Números Complexos. No caso do conjunto dos Números Complexos, esse foi

contextualizado, utilizando outros blocos de conteúdos matemáticos, como, por exemplo, a

Trigonometria, a Geometria e as Matrizes.

Como conclusão, o autor observa que os documentos oficiais analisados por ele

orientam os currículos para a contextualização dos universos do trabalho, da cidadania, da

cultura, da tecnologia e da ciência. Além disso, o planejamento pedagógico e a abordagem

dos conteúdos de forma contextualizada também foram mencionados e comentados:

Na experiência cotidiana de professores é comum que os alunos contestem

questões componentes de avaliações individuais com argumentos do tipo "nas

aulas é feita uma coisa e na prova é cobrada outra". Nos casos em que tal

questionamento é pertinente, podemos inferir a responsabilidade à forma como as

situações de aprendizagem foram cumpridas no período antecedente à avaliação.

O provável desvio, nesse caso, se caracteriza pela condução dos conteúdos,

durante as aulas, por percurso sobre contexto único, justapondo-se à cobrança na

10

Intradisciplinaridade: São as conexões possíveis e/ou necessárias entre os diversos temas da Matemática.

11 Transdiciplinaridade: É o nível de interação entre as disciplinas de maior complexidade conforme Japiassú

(1976). Na transdiciplinaridade ocorre cooperação e diálogo entre os conhecimentos disciplinares (nível

inferior - interdisciplinaridade) e um "pensamento organizador que ultrapassa as próprias disciplinas."

(JAPIASSU, 1976, p.75)

36

avaliação de resolução de questão elaborada em um contexto diferente, sem que o

professor tenha estimulado seus alunos a extrapolarem, anteriormente, as

fronteiras do contexto anteriormente adotado. (SPINELLI, 2011, p. 126)

O contexto interdisciplinar, com base no fenômeno das marés, também é evidenciado

nas relações entre Matemática, Física, em outros componentes curriculares e nas sequências

de funções trigonométricas por ele previstas.

A importância do contexto interdisciplinar discutida nessa tese foi de fundamental

importância para análise das propostas apresentadas nos materiais de apoio do Currículo

Oficial do Estado de São Paulo uma vez que algumas das propostas indicadas pelo autor,

em sua tese, são apresentadas como sugestão aos professores que lecionam matemática para

o Ensino Médio nas escolas públicas paulistas.

2.2. Um estudo que analisa uma prova sob o ponto de vista dos

saberes docentes

O artigo Saberes Docentes em Matemática: Uma Análise da Prova do Concurso

Paulista de 2003, Nacarato et al (2005) chama a atenção para o fato de que a literatura

recente sobre formação de professores evidencia que o saber docente nem sempre é

considerado na implementação de políticas públicas. Nesse estudo os autores buscam

analisar as provas de matemática do concurso para professor de Educação Básica-PEB II,

realizado no Estado de São Paulo em 2003, para discutir as contradições entre as

concepções de professores possuidores de saberes docentes e professores competentes.

Nacarato et al (2005) iniciam seus estudos a partir de resultados de dados, por exemplo,

de Marcelo Garcia (1998) sobre o Paradigma do Pensamento do Professor. Afirmam que

A formação de professores tem demonstrado que o professor é um profissional

que tem seus próprios saberes e produz novos, sendo capaz de (re) significar,

mediante práticas reflexivas e investigativas, sua própria atividade docente e

suas teorias práticas. (NACARATO et al, 2005, p.61)

37

Para os autores, o professor transforma o seu trabalho coletivo pedagógico em um

processo de formação continuada, destacando-se: a prática reflexiva, desenvolvimento

profissional, saberes docentes, trabalhos colaborativos e coletivos. Os construtos citados:

"[...] trazem - alguns explicitamente e outros implicitamente - a ruptura com o modelo da

racionalidade técnica, no qual o professor é considerado apenas um reprodutor de teorias

elaboradas por especialistas". (NACARATO et al, 2005, p.61)

O artigo indica que o Banco Mundial vem definindo prioridades, estratégias e

conteúdos que são adotados nas reformas educativas em diversos países. Essa política

sedutora de governantes e acadêmicos, segundo os autores, é evidenciada em algumas

ações: avaliações da Educação Básica, avaliação do Ensino Superior, currículo nacional,

avaliação do livro didático, diretrizes curriculares para a formação de professores,

certificação de competência docente, dentre outros.

Em seguida, os autores apresentam um estudo realizado pelo grupo, que dizia respeito

aos saberes docentes. Foram investigadas 18 dissertações e teses defendidas no período de

1998 - julho/2003. As pesquisas analisadas indicaram uma convergência para três

dimensões não excludentes: a dimensão subjetiva - o "saber ser"; a dimensão do

conhecimento acadêmico (conhecimento matemático e das ciências da educação) - "o

saber"; e a dimensão da prática - "o saber fazer". Para os autores, o processo de formação

de professores não deve ser centrado na transmissão de conteúdos específicos.

Com relação às políticas públicas, segundo os autores, essas não levam em

consideração as contribuições advindas das pesquisas, ou, quando as consideram, são

adaptadas a um modelo avaliativo alinhado às exigências externas.

Adair Mendes Nacarato et al (2005) consideram que o discurso oficial vem substituindo

o constructo saberes docentes pelo conceito de "competência", e essas são utilizadas nos

contextos curriculares e avaliativos de atuação profissional.

38

Antes de analisar as provas, os autores apresentam uma breve discussão do que vem a

ser o Conceito de Competência na Formação do Professor. Apresentam o contexto de

renovação curricular da França (1988-1990) em que o termo Competência foi criado e

difundido em outros países. No Brasil, chamam a atenção para “a forma avassaladora, sem

nenhuma discussão prévia e sem diretrizes, para os professores, dos significados com que

os mesmos passariam a ser utilizados” (Nacarato et al, 2005, p.63).

Em relação aos professores, os autores indicam que o termo passa a ser um componente

do trabalho docente uma vez que:

[...] tem-se exigido a organização de seus projetos e planejamentos na forma de

competências e habilidades, como se esses conceitos fossem claros o suficiente

para nortear a ação pedagógica. No entanto, o professor sente-se coagido a

cumprir as orientações nesse sentido, visto que o controle do trabalho docente

vem sendo realizado na forma de avaliações externas em larga escala.

(NACARATO et al, 2005, p.63)

Os autores fazem críticas também em relação à forma como eles vêm observando a

formação continuada. Consideram que, na maioria das vezes, ela é assumida

financeiramente pelo próprio professor e, dessa forma, as discussões sobre os saberes que

os professores detêm e/ou constroem, não tem ocorrido como seria necessário.

Adair Mendes Nacarato et al afirmam que as políticas públicas com centralidade no

professor utilizam-se de mecanismos de controle e as competências passam a realizar esse

papel sobre suas atividades docentes. (2005, p. 64).

Os autores discutem a forma como o termo competência é utilizado pelos poderes

públicos. Afirmam que as políticas educacionais impostas pelo estado utilizam-se dos

estudos de Perrenoud (2000) para (re)significá-las:

[...] Não estaria havendo aí um deslocamento do problema atribuindo a esse

renomado sociólogo a responsabilidade que deveria ser atribuída à forma como o

poder central se apropria dos constructos acadêmicos e os (re)significa para dar

suporte a uma política educacional a ser imposta? Acreditamos que a resistência

com a qual concordamos ao uso do termo “competências” tal como se vem

fazendo presente no discurso educacional acabou por excluir da discussão

acadêmica a ideia defendida por Perrenoud (2000). Hoje, fazendo uma releitura

39

dessas ideias, fica-nos evidente o quanto elas estão longe da popularização e

implementação que as mesmas tiveram no cenário educacional brasileiro.

(NACARATO et al, 2005, p.63-64)

Nacarato et al (2005) analisam o termo "competência" utilizado na concepção de

Perrenoud (2000), partindo da definição formulada pelo autor, ou seja, a capacidade de

mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação e afirmam que as

competências profissionais são construídas na prática docente e exigem esquemas de

pensamento. A partir destas ideias centrais, os autores criticam o uso desse termo em

avaliações institucionais: “[...] ora, se as competências exigem esquemas de pensamento,

estes não são diretamente observáveis e, diríamos não mensuráveis.” (NACARATO et al,

2005, p.64)

Para mostrar o quão distante estão as políticas públicas dos resultados apontados por

pesquisas sobre os saberes docentes, os autores analisaram a prova do concurso PEB II de

2003, ocorrido no Estado de São Paulo que foi avaliada em relação a dois aspectos: as

normas estabelecidas para o concurso e a análise das questões da prova de Matemática.

Segundo os autores, o edital do concurso referido anteriormente apresenta dubiedade

quando ora se aproxima de estudos teóricos sobre formação de professores, ora se apoia nos

conceitos de competência. Além disso, indica como responsabilidade da função docente a

implantação da política educacional e a construção de uma escola democrática, solidária e

competente. Sobre esse aspecto, os autores acrescentam que esse documento "[...] pauta-se

na visão ingênua de que o professor é o implementador de políticas públicas."

(NACARATO et al, 2005, p.64)

Em relação ao perfil profissional, esses pesquisadores também identificaram

dubiedades:

1. As responsabilidades dos professores em relação ao processo de ensino - aprendizagem

inclui: identificar dificuldades relativas ao aprendizado dos alunos e assegurar que elas

sejam erradicadas para que o aluno consiga atingir níveis de proficiência adequados.

40

Todavia, o documento oficial indica que o professor deve se responsabilizar pelas

"atividades de reforço e recuperação que promovam avanços significativos na

aprendizagem". Para os autores, se o professor já identificou as necessidades de

aprendizagem individuais de cada aluno, não existiria a necessidade de recorrer a

atividades de reforço e recuperação. Porém, esses mesmos pesquisadores ressaltam que,

nas escolas públicas estaduais do Estado de São Paulo, o professor não possui

condições para atender aos alunos como previsto no documento oficial. A falta de

autonomia do professor também é mencionada nesse estudo, em tais considerações:

"elabora e desenvolve o plano de ensino a partir dos indicadores de desempenho escolar

e das diretrizes definidas pelos Conselhos de Educação e da Secretaria da Educação”.

(ibid, p.65). Para esses autores: "[...] a burocratização e a intensificação do trabalho

docente acaba impedindo o professor de atingir seus objetivos pessoais de promover, de

fato, um ensino de qualidade e até mesmo de atender às exigências postas pelo próprio

modelo educacional" (ibid, p.65);

2. Nacarato et al comentam que o documento ainda indica a necessidade do professor

possuir "domínio de conhecimentos de sua área específica de atuação que garanta aos

alunos o desenvolvimento das competências e habilidades cognitivas, sociais e

afetivas".(ibid, p.65). A respeito das exigências, os autores observam que:

[...] Em primeiro lugar, o que se entende por conhecimentos de sua área

específica de atuação? No caso da matemática, seria o domínio de conteúdos

matemáticos? Nesse sentido, há uma total desconsideração com as atuais

discussões sobre os saberes docentes, atribuindo-lhes apenas a dimensão

disciplinar, desconsiderando os demais componentes, como o saber pedagógico

do conteúdo, o saber curricular, o saber das ciências da educação e o saber

experiencial. Se nos referirmos ao saber docente, constituído em sua amplitude,

devemos ressaltar que a bibliografia específica, em momento algum atende a essa

concepção. (NACARATO et al, 2005, p.65)

Para os autores, a bibliografia geral aproxima-se do perfil esperado para o professor, ao

passo que a bibliografia específica é centrada unicamente nos conteúdos matemáticos;

3. Com relação ao perfil profissional, o documento explicita que o professor compartilhará

da construção coletiva da escola pública de qualidade e atuará na gestão da escola. Os

41

autores entendem que a única participação do professor é possibilitada a partir das

diretrizes externas e cabe às avaliações externas o acompanhamento do projeto político

pedagógico;

4. Outro ponto que chamou a atenção dos autores foi a caracterização do aperfeiçoamento

profissional complementada com a ideia de competências. Para os autores, o

desenvolvimento profissional se contrapõe ao aperfeiçoamento profissional, pois

conforme a citação de Paulo Freire (1996), "O conceito de aperfeiçoamento traz

implícita a concepção de que o professor não é um produtor de saberes e sugere a ideia

de tornar-se "perfeito", como se na ação educativa, ou em qualquer outra atividade

humana, existisse perfeição. Desconsidera-se a ideia da condição de inconcluso e

inacabado de que se reveste o ser humano." (FREIRE, 1996 apud (NACARATO et al,

2005, p.66);

5. No item do temário que trata do protagonismo juvenil, os autores fazem o seguinte

questionamento: "[...] em que medida o professor pode contribuir para esse

protagonismo dos alunos se ele, em momento algum, é considerado protagonista de sua

atividade profissional?" (NACARATO et al, 2005, p.66);

6. Para os autores, a bibliografia específica foi o ponto que mais incomodou, pois, em sua

interpretação, não está atualizada e é incoerente com os objetivos da formação docente

e do texto do caput do temário. A ideia de trabalho curricular também é questionada. Os

autores afirmam que "A ênfase é dada ao conteúdo matemático, priorizando uma

formação inicial conteudista, que valoriza mais o saber matemático que o saber

pedagógico”. (NACARATO et al, 2005, p.66)

Em seguida, Nacarato et al analisam a prova de Matemática do concurso PEB II,

composta por 80 questões objetivas, sendo que as 30 primeiras eram relativas à formação

básica e as demais à formação específica. As questões de números 46, 57, 58 e 66 foram

anuladas, portanto, foram analisadas 46 questões objetivas de formação específica, e quatro

42

questões discursivas. Foram considerados os critérios especificados no Comunicado SE de

4-7-2003:

1. A Matemática e suas linguagens - 41 questões requeriam o conhecimento da linguagem

matemática. Esse era o único requisito de 31 dessas questões e as demais 5 questões só

utilizavam a linguagem materna;

2. A Matemática e seus métodos de investigação - foram identificadas 6 questões, sendo

que os autores questionaram sua aplicabilidade com tão pouco tempo para a resolução

de tantas questões;

3. A Matemática e sua contextualização histórica e social - foram encontradas apenas duas

questões que atenderam a esse requisito, sendo que a resolução se dá apenas com a

aplicação de fórmulas. Em outras questões, observou-se a tentativa de contextualizar de

forma irreal e equivocada. Para os autores, as contextualizações não contribuíram para a

resolução da questão, apenas "roubaram" o tempo do candidato;

4. A Matemática e suas tecnologias - Não foram observadas questões que abordassem essa

tendência da Educação Matemática;

5. A Matemática e suas relações com outras áreas do conhecimento - Quatro questões

foram observadas e em todas elas era necessária apenas a aplicação de fórmulas ou

algoritmos;

6. A Matemática e os fundamentos do trabalho curricular - já abordado anteriormente.

Não foram observadas questões com tais características;

7. A aplicação didática e metodológica em sala de aula: Para estas características apenas

duas questões contemplaram parcialmente o disposto no documento oficial;

43

A seguir, Nacarato et al (2005) analisaram as quatro questões dissertativas. Na primeira

delas foram exigidos do candidato justificativas e argumentos para a formação continuada

do docente. Já a segunda questão foi interessante para os autores, já que o professor devia

criar um problema de análise combinatória com abordagens tanto tradicional quanto

diferenciada;

A terceira questão solicitava a determinação da aresta de um cubo e volume desse

mesmo cubo, conforme a lenda do jogo de xadrez. Para os pesquisadores, tal tarefa

envolvia apenas procedimentos matemáticos;

A quarta questão abordava aspectos metodológicos e conceituais de Matemática e não

houve questionamentos por parte dos autores.

Nacarato et al (2005) comentaram que a parte discursiva atendeu parcialmente ao perfil

do professor, pois poderia ter contemplado questões mais interessantes e discussões mais

recentes da Área de Educação Matemática.

Nas conclusões desse trabalho referentes às expectativas estabelecidas para a formação

docente, os autores destacaram que as políticas públicas não valorizam os professores e não

se utilizaram de pesquisas recentes para a elaboração da prova do concurso de PEB II do

Estado de São Paulo, sendo que muitas dessas pesquisas são financiadas pelo próprio poder

público.

Desse modo, a prova foi tecnicista, favorecendo o ingresso do candidato recém-

formado e, além disso, as questões objetivas, "reforçam o papel da Matemática como

selecionadora, como fonte de exclusão social." (ibid, p.69)

Sendo assim, esse artigo foi de fundamental importância para a elaboração dessa

dissertação, pois apresenta críticas aos documentos oficiais, fazendo uso de novas pesquisas

44

muitas vezes financiadas pelo poder público, além de analisar a prova realizada no ano de

2003, para o provimento de vagas de docentes de Matemática para o Estado de São Paulo.

Foram também analisadas, neste estudo, as Resoluções que dispõem sobre os perfis

profissionais, competências e habilidades requeridos dos candidatos a professor de

Matemática da rede pública estadual. Utilizamos parte dos critérios de análise adotados no

estudo de Nacarato et al (2005).

2.3 Investigações que Discutem o Conhecimento Profissional

Docente

Nesse capítulo, publicações teóricas são analisadas para argumentações posteriores.

2.3.1.Shulman

Para fundamentar nossa análise e discussão dos resultados utilizamos também os

estudos de Shulman (1987), os quais apresentaremos a seguir:

No prólogo de seu trabalho, Shulman (1987) observa que a maior parte das

caracterizações da eficácia dos professores relata a gestão de sala de aula, enquanto poucas

são as análises de professores que, além dessa gestão, também são capazes de realizar a

gestão de ideias nos discursos realizados em suas salas de aula.

Na época em que o artigo de Shulman foi publicado (1987), um dos principais temas

abordados era a profissionalização do ensino, com a seguinte premissa: "o desempenho dos

professores deve ser julgado e pode ser levantado e mais claramente articulado.” Além

disso, "eles argumentam que a base de conhecimento deveria estruturar a formação do

professor e informar diretamente a prática de ensino". (SHULMAN, 1987, p. 3-4)

45

Pensando na certificação baseada em julgamentos, o autor se apoiou em três fatores

para legitimar normas: ligação às descobertas de estudos nas disciplinas acadêmicas que

formam o Currículo (Inglês, Física e História) que deve servir como base para o processo

de Educação (Psicologia, Sociologia ou Filosofia); existência de credibilidade intuitiva nos

pareceres da comunidade profissional e que deve estar relacionada às concepções

normativas apropriadas de ensino e formação de professores. (SHULMAN, 1987, p. 4). Sob

esse escopo, surgiram alguns questionamentos que diziam respeito à base de conhecimento

para o ensino:

O que é base de conhecimento? É bastante conhecer sobre o ensino, para apoiar

uma base de conhecimento? O ensino não é um pouco mais do que o estilo

pessoal, comunicação hábil, saber algum conteúdo da disciplina e aplicar os

resultados de pesquisas recentes sobre a eficácia do ensino? (SHULMAN, 1987,

p.5 – 6)

Para Shulman (1987), tanto as ações de educadores quanto as políticas públicas

indicavam que a formulação do ensino requeria habilidades básicas, conhecimento de

conteúdo e habilidades pedagógicas gerais.

Características críticas de ensino, tais como o conteúdo a ser ensinado, o contexto

da sala de aula, as características físicas e psicológicas dos alunos, ou a realização

de fins que não são facilmente avaliados em testes padronizados, são tipicamente

ignorados na busca de princípios gerais de ensino eficaz. (SHULMAN, 1987, p.6)

O autor indica também que políticas públicas foram definidas com base em pesquisas

da época. Sistemas de observação de aulas e listas de comportamento do professor foram

traduzidos como competências desejáveis para o professor em sala de aula. "Embora os

pesquisadores entendessem as descobertas como simplificadas e incompletas, a

comunidade política as aceitou como suficientes para as definições de padrões".

(SHULMAN, 1987, p. 6). A esse respeito, esse pesquisador acrescenta que:

Em muitos casos, não se esperava que os observadores tivessem perícia nas áreas

que estavam sendo observadas, porque isso não tinha importância para a

avaliação de desempenho dos professores. Assim, o que pode ter sido uma

estratégia aceitável para a pesquisa se tornou uma política inaceitável para a

avaliação do professor. (SHULMAN, 1987, p.7)

46

Esse pesquisador conclui que os resultados dos seus estudos não são a única fonte

utilizada na fundamentação de uma definição para a base de conhecimento de ensino.

Essas fontes devem ser entendidas como muito mais ricas e extensas. Na verdade,

bem entendido, as fontes reais e potenciais de uma base de conhecimento são tão

abundantes que nossa questão não deve ser, há realmente muito que se precisa

saber para ensinar? Pelo contrário, ela deve expressar nosso espanto sobre quão

pouco conhecimento do ensino pode ser aprendido durante o breve período

atribuído à formação de professores. (SHULMAN, 1987, p.7)

Esse estudo chama a atenção para o fato de que o ensino começa com a compreensão do

professor sobre o que deve ser aprendido e como deve ser ensinado. O docente, por sua vez,

utiliza-se de atividades que oportunizam a aprendizagem aos estudantes e são finalizados

com uma nova compreensão, tanto por parte do professor, quanto por parte dos alunos.

Shulman (1987) afirma ainda que apesar desta ser uma concepção de núcleo de ensino, ela

também é uma concepção incompleta. Portanto, ele define as categorias de conhecimento

que fundamentam a compreensão dos professores. Para Shulman (1987), no mínimo,

deveriam estar inclusas estas categorias:

1. Conhecimento do conteúdo;

2. Conhecimento pedagógico geral, com referência especial para aqueles

princípios amplos (principais) e estratégias de gestão e organização de sala de

aula, que parecem transcender o conteúdo;

3. Conhecimento curricular, com particular domínio dos materiais e programas

que servem como "ferramentas do ofício" para professores;

4. Conhecimento pedagógico do conteúdo, amálgama especial de conteúdo e de

pedagogia que é esfera de ação [ramo do saber] unicamente de professores, sua

própria forma especial de entendimento profissional;

5. Conhecimento de estudantes e suas características;

6. Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento do

grupo ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos escolares,

até o caráter das comunidades e culturas;

7. Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e seus fundamentos

filosóficos e históricos. (SHULMAN, 1987, p.8)

Dentre as categorias citadas, o autor enumera as 4 principais: O conhecimento do

conteúdo, os materiais e definições do processo institucionalizado de educação, pesquisa

sobre a escolaridade, organizações sociais, a aprendizagem humana e, finalmente, o

conhecimento da própria prática. (SHULMAN, 1987, p.8). Nesse sentido, esse mesmo

pesquisador acrescenta que:

47

[...] A chave para distinguir a base de conhecimento para ensinar reside na

intersecção de conteúdo e pedagogia, na capacidade de um professor para

transformar o conhecimento do conteúdo que ele ou ela possui, em formas que

são pedagogicamente poderosas e ainda adaptativas às variações em habilidade e

experiências apresentadas pelos estudantes. (SHULMAN, 1987, p.16)

Para elucidar as análises que serão apresentadas posteriormente, as tabelas a seguir

exemplificarão a categorização para o ensino de Trigonometria postuladas por Shulman:

48

Tabela 1- Tipo de Conhecimento - Shulman

FONTE: A pesquisa

TIPO DE

CONHECIMENTOEXEMPLO

SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 24

Dependendo do tamanho da casa e das telhas utilizadas para

cobri-la, muitas vezes constrói-se uma armação em madeira, no

formato de triângulo isósceles, como mostra a figura a seguir.

Na figura, a medida RS é igual a 20% da medida de PQ.

Assim, se PQ mede 6m, RQ mede, aproximadamente:

a) 5,22m b) 4,18m c) 4,07m d) 3,72m e) 3,23m

Categoria de conhecimento profissional docente necessário

para a resolução da tarefa (Shulman) - Conhecimento do

Conteúdo Específico.

O professor deve ser possuidor de uma série de conhecimentos

necessários à resolução desta tarefa, entre eles, podemos citar:

_ Propriedades dos triângulos isósceles.

_ Propriedades dos triângulos retângulos.

_ Transformações geométricas (em especial, a reflexão).

_ Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângulo.

_ Utilização de porcentagem.

_ Aplicação do teorema de Pitágoras.

CONTEÚDO

ESPECÍFICO

49

Tabela 2 - Tipo de Conhecimento - Shulman

FONTE: A pesquisa

O professor deve conhecer plenamente o currículo de forma a

definir metodologias e estratégias para a aprendizagem dos

alunos, realizar análises, revisar conteúdos preliminares que de

alguma forma sejam necessários para que o ensino seja

realizado com eficácia.

Como exemplo, temos: Na descrição dos conteúdos

propostos pelo Cúrrículo do Estado de São Paulo para o 9°

ano é proposto que o professor apresente aos alunos uma

sequência de trabalho, de modo a levar o aluno a Identificar e

compreender as particularidades que determinam a

semelhança de triângulos e a partir dessa definição: identificar,

compreender e resolver problemas que envolvam razões

trigonométricas fundamentais.

TIPO DE

CONHECIMENTOEXEMPLO

CURRICULAR

50

Tabela 3 - Tipo de Conhecimento - Shulman

FONTE: A pesquisa

TAREFA 14 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 31

a) 4,0 m b) 3,6 m c) 2,5 m

d) 2,0 m e) 1,0 m

PEDAGÓGICO DO

CONTEÚDO

Categoria de conhecimento profissional docente necessário

para a resolução da tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento

do Conteúdo Específico.

Esta questão avalia os conhecimentos específicos do

candidato, necessários ao cálculo do valor numérico de

expressões algébricas.

No que respeita à Trigonometria, o conhecimento exigido

para a resolução desta questão se restringe ao valor do

cosseno de π.

Não foram encontradas nas provas questões que avaliassem

o conhecimento pedagógico do conteúdo. A questão abaixo

foi a que mais se aproximou porque utiliza-se de uma

situação cujo modelo é uma função periódica e essa é uma

indicação dada pelos autores do caderno para a introdução do

tema.

TIPO DE

CONHECIMENTOEXEMPLO

Em uma cidade, a altura máxima da maré em seu porto

ocorreu exatamente às 12 horas. A altura da água do mar

nessa cidade é uma função periódica, pois oscila

regularmente entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura

da maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta) e

vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa),

para depois aumentar de novo até a maré alta, e assim por

diante. A altura h, em metros, da maré, nesse dia, no porto

da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela

sentença: h(t) = 2,5 + 1,5 cos ( ), sendo t o tempo decorrido,

em horas, após as 12 horas. Assim, a altura h da maré às 16

horas, ou seja, quando t = 4 horas é:

51

2.3.2. Robert

Para o estudo do funcionamento do conhecimento matemático nas diferentes etapas

escolares, o trabalho de Robert (1998) é ressaltado, pois ele questiona a aprendizagem

quando se trabalha com estudantes que já possuem alguns conhecimentos e para os quais a

matemática se aproxima da dos especialistas. A partir dessa reflexão, a autora explicita os

saberes a serem considerados, que são identificados por meio dos programas oficiais e, na

sequência, se refere às atividades esperadas dos estudantes, as práticas dos especialistas, a

alguns trabalhos sobre as dificuldades encontradas para, finalmente, propor as ferramentas

de análise das noções a ensinar, a saber: as abordagens teóricas em termos de quadros e

mudanças de quadros de Douady12

(1992), de registro de representação semiótica de

Duval13

(1995), as diferentes naturezas das noções a ensinar, os níveis de conceituação e os

níveis de conhecimento esperado para o desempenho dos estudantes.

Em face dessa última categoria, esse artigo foi importante na fundamentação teórica

desse trabalho devido à tipologia que permite identificar o nível de conhecimento

necessário para o professor sobre determinada noção para a solução de uma tarefa.

2.4 Funcionamento do Conhecimento Matemático sob a

perspectiva de Aline Robert

Robert (1998), no resumo do artigo "Outils d´analyse des contenus mathématiques à

enseigner au lycée à l´université", esclarece que no trabalho serão propostas ferramentas

para análise de noções matemáticas que são ensinadas aos estudantes na faixa dos 15-16

anos de idade e na universidade cujo objetivo é considerar a complexidade e especificidade

12

Régine Douady (1992), caracteriza a noção de quadro da seguinte maneira : “Um quadro é constituído de

objetos de um campo da matemática, de relações entre esses objetos, de suas formulações eventualmente

diferentes e das imagens mentais associadas a esses objetos e a essas relações”. Temos como exemplos

quadros algébricos, geométricos, numéricos, etc... 13

A Teoria dos Registros de Representações Semióticas foi introduzida por Raymond Duval ao longo de

diversos artigos e livros (DUVAL (1995), e tem sido cada vez mais utilizada, seja como suporte teórico ou

como suporte metodológico, nas pesquisas relativas à aquisição de conhecimento e de organização de

situações de aprendizagem.

52

dessas noções dentro do contexto do programa do ensino secundário francês e das

exigências em relação às mesmas introduzidas no ensino superior.

Além disso, a autora enfatiza que esse estudo tem como objetivo a construção de

cenários de aprendizagem para estudantes que se encontram na fase de transição entre o

ensino secundário e superior. Ela divide o estudo em duas etapas: na primeira, ela descreve

práticas profissionais dos matemáticos e as compara com resultados esperados dos

estudantes propostos nos programas, em especial, do ensino secundário e com trabalhos de

pesquisa já existentes. Nessa fase, Robert (1998) enfatiza a importância do trabalho

pessoal, que segundo ela, se torna cada vez mais importante no decorrer do ensino

secundário e da universidade, visto que os estudantes não podem se contentar em escutar e

trabalhar em aula, uma vez que existem muitos elementos a reter e uma quantidade mínima

da utilização das noções que é possível trabalhar em classe.

Entretanto, segundo a autora, existe uma grande dificuldade, já que não se pode esperar

que os alunos se deparem com todos os problemas possíveis, já que tal situação seria

“explosiva”.

Robert (1998) ressalta ainda que a organização e a eficácia do trabalho pessoal pode se

tornar uma questão importante para o estudante, uma vez que existe uma demanda implícita

nesse sentido, podendo ser uma necessidade para o domínio dos conhecimentos exigidos.

Isso a conduz a identificar as contradições entre a lógica da aprendizagem e a lógica do

sucesso, por exemplo, para os estudantes dos primeiros anos da universidade que

privilegiam as aprendizagens superficiais, sem questionamentos, para as quais a

identificação de conhecimentos externos é negligenciada.

Portanto, as aprendizagens mais autênticas que, segundo a autora, necessitam de

questionamentos, são difíceis a instalar uma vez que elas precisam de mudanças do modo

de trabalho, pois exigem um longo tempo para se tornarem eficazes. Deste modo, algumas

escolhas de tópicos para os exames que avaliam apenas as aprendizagens superficiais

53

confortam os estudantes que escolhem a lógica do sucesso até o dia em que eles se

encontram em uma situação que representa uma catástrofe.

Na segunda etapa, Robert (1998) apresenta as quatro dimensões de análise dos

conteúdos a ensinar. As três primeiras dimensões estão diretamente relacionadas às noções

e aos seus domínios de aplicação: como eles são introduzidos nos programas, nos livros

didáticos e nos cursos. A quarta dimensão direciona-se ao funcionamento dessas noções aos

problemas.

Segundo a autora, a primeira dimensão corresponde ao caráter ferramenta-objeto das

noções, assim como aos quadros e registros de intervenção; a segunda corresponde ao

status das noções a ensinar quanto a sua inserção na paisagem matemática dos estudantes,

isto é, ao grau de generalização em relação às noções anteriores, ao grau de formalização

dado à noção, ao caráter unificador da noção em relação às anteriores; nos conteúdos

matemáticos dispostos pelos alunos; noções que podem ser apresentadas diretamente aos

alunos como extensões de noções abordadas anteriormente; noções apresentadas como

respostas a novos problemas para que haja compreensão por parte dos alunos, embora não

possam ser resolvidos completamente; noções que correspondam à introdução de um

formalismo adaptado. Já na terceira dimensão, nota-se a presença de níveis variados de

conceituação.

Tais níveis de conceituação são definidos por Robert (1997) como uma forma de

etiquetar prateleiras em um campo conceitual de conhecimentos matemáticos, na qual cada

etiqueta corresponde a uma organização coerente de uma parte do campo, caracterizada

pelos objetos matemáticos apresentados de uma determinada maneira, dos teoremas sobre

esses objetos, dos métodos associados a esses teoremas e dos problemas que os alunos

podem resolver com os teoremas do nível considerado e utilizando esses métodos.

Muitas noções matemáticas podem ser abordadas em vários níveis de conceituação,

sempre parcialmente encaixados: os objetos iniciais mudam, eles se tornam mais gerais.

54

Isto permite introduzir novas estruturas, mais ricas, e para isso necessitam de um novo

formalismo adaptado. Analogicamente, muitos problemas podem ser colocados e

resolvidos em vários níveis sempre em exercícios considerados teóricos (i.e. gerais),

passando, dessa forma, aos teoremas do nível seguinte. (ROBERT, 1997a, 149-157).

Dessa forma, a quarta dimensão, que corresponde às características de funcionamento

das noções e que utilizaremos nas análises deste trabalho, denominada níveis de

funcionamento dos conhecimentos pelos estudantes, é introduzida por Robert (1998) após

explicitação que esses níveis são necessariamente relativos a um determinado nível de

escolaridade.

Robert (1998) identifica assim os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes:

técnico, mobilizável e disponível.

O nível técnico corresponde a um funcionamento indicado, isolado, que coloca em jogo

as aplicações imediatas de propriedades, teoremas, definições, fórmulas, etc. Trata-se de

contextualizações simples, locais, sem etapas, sem trabalho de reconhecimento preliminar,

sem adaptações. Isso concerne preferencialmente o funcionamento das ferramentas

(incluindo as definições) (ROBERT, 1998, p.165). A tarefa a seguir pode ilustrar esse

nível:

Entre os valores abaixo, qual corresponde ao valor exato de cos 45°?

a) 0 b) 1 c) 2

1 d)

2

3 e)

2

2

O nível mobilizável corresponde ao funcionamento mais amplo, ainda indicado, mas

ultrapassando a simples aplicação de uma propriedade. Pode por exemplo, ser necessário

adaptar esses conhecimentos para aplicar um teorema adequado, mudar um ponto de vista,

ou de quadro (com indicações), pode ainda corresponder à necessidade de aplicar varias

vezes em sequência a mesma coisa ou utilizar várias coisas diferentes em etapas sucessivas,

55

ou ainda, pode corresponder à necessidade de articular duas informações de naturezas

diferentes. Em todos os casos, esse nível testa um funcionamento, no qual existe um início

de justaposição de saberes em um dado domínio, chegando a uma organização. Não existe

somente aplicação simples, o caráter ferramenta-objeto pode ser utilizado, mas o que está

em jogo é explícito. Em outras palavras, o saber é dito mobilizável quando ele é bem

identificado Ele será bem utilizado pelo aluno, mesmo se a adaptação a um contexto

particular ocorrer. (ROBERT, 1998, p.166). Nesse nível, pode-se notar que o conhecimento

necessário para resolver a tarefa proposta é indicado explicitamente no enunciado da

questão 6 do concurso de professores de 2013.

Questão 06 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1, branca, 2013, p.3)

Certo satélite científico percorre uma órbita em que sua distância (d), em quilômetros,

até a superfície da Terra é dada por:

6400cos2,01

12000

d ,

Com θ variando, em cada órbita, de 0° a 360°.

A maior distância do satélite até a superfície da Terra é de:

(A) 3600 km

(B) 4800 km

(C) 5600 km

(D) 7200 km

(E) 8600 km

Para efetuar a resolução dessa questão, o candidato deve saber que o cos θ pode variar

de -1 até 1. Sabe-se, também, que quanto menor o denominador da fração, maior será o

resultado encontrado. Logo, o único valor que nos interessa é o de cos θ = -1.

56

Classificamos esta questão como mobilizável, pois o candidato precisará considerar os

valores máximo e mínimo do cos θ para solucionar o problema.

O nível disponível, por sua vez, corresponde ao fato de saber resolver o que é proposto.

É possível, nesse nível utilizar contraexemplos (encontrar ou inventar), realizar mudanças

de quadros sem sugestão (fazer relações), aplicar métodos não previstos. Esse nível de

funcionamento está associado a uma familiaridade importante, ao conhecimento de

situações de referências variadas, que o estudante sabe que as conhece e que podem servir

de terreno de experimentação, além da possibilidade do aluno problematizar e fazer

resumos. Como exemplo, a tarefa a seguir corresponde a um caso onde o nível esperado

para a solução é o disponível.

QUESTÃO 161 (ENEM - 2010) - Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter

atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume

seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu,

respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

r (t) = )06,0cos(*15,01

5865

t

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do

centro da Terra. Para isso ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no

perigeu, representada por S.

O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de

a) 12 765 km. b) 12 000 km

c) 11 730 km. d) 10 965 km

e) 5 865 km.

Para efetuar a resolução dessa questão, o candidato deve saber que o cos θ pode variar

de -1 até 1.

57

Pode-se afirmar que essa questão é disponível, visto que o candidato precisará saber

relacionar apogeu e perigeu ao conhecimento matemático necessário para resolver a tarefa.

A forma como o cosseno é dado com r em função de t exige que o candidato associe cós

(0,06t) a 1 e -1. Não sendo necessário determinar o valor de t.

No próximo capítulo, os documentos oficiais pesquisados serão apresentados, tendo

papel importante à análise das questões de concursos públicos.

58

CAPÍTULO 3 – A Trigonometria nas Propostas Institucionais

Nacionais e no Currículo do Estado de São Paulo

Esse capítulo tem o objetivo principal de apresentar resultados da pesquisa documental

que consideramos de fundamental importância na identificação das indicações curriculares

para o ensino da Trigonometria. Esse estudo possibilitou reconhecer conhecimentos

específicos, didáticos e curriculares sobre esse assunto matemático esperados dos

professores que lecionam matemática nas escolas estaduais. Procurou-se dar ênfase à

Trigonometria nos Currículos aqui abordados, sobretudo, o atual Currículo Oficial do

Estado de São Paulo implementado a partir de 2008, com apresentação de pressupostos

gerais de indicações curriculares anteriores, por se tratarem de orientações federais que,

certamente, influenciaram o currículo atual.

É importante ressaltar que analisamos provas de concursos de professores de

Matemática em ingresso, mérito e processo simplificado sob a ótica de documentos oficias.

Desse modo, esse estudo concentra-se nas questões que abordam o conteúdo específico da

Trigonometria.

3.1. Os Parâmetros Curriculares Nacionais Para O Ensino

Médio (PCNEM, 2000) - Legislação

Ao realizar a leitura da apresentação do PCNEM (2000), constatam-se mudanças

significativas no documento: integração dos alunos no mundo contemporâneo nas

dimensões da cidadania e do trabalho, currículo baseado em competências básicas, ensino

contextualizado, busca de significados ao conhecimento escolar, evitando a

compartimentalização, presença da interdisciplinaridade e incentivo ao raciocínio e

capacidade de aprender.

59

Os PCNEM (2000) também propõem que "A formação do aluno deve ter como alvo

principal a aquisição de conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade

de utilizar as diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação” 14

. (BRASIL, 2000,

p.5)

Esse novo currículo leva em conta, segundo seus elaboradores, além das demandas

decorrentes da "revolução do conhecimento", as relações sociais, a expansão da rede

pública e a garantia dos padrões de qualidade do ensino, exigência desta sociedade. Nesse

contexto, o Ensino Médio passa a fazer parte da Educação Básica:

Isso significa que o Ensino Médio passa a integrar a etapa do processo

educacional que a nação considera básica para o exercício da cidadania, base para

o acesso às atividades produtivas, para o prosseguimento nos níveis mais

elevados e complexos de educação e para o desenvolvimento pessoal, referido à

sua interação com a sociedade e sua plena inserção nela, ou seja, que "tem por

finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum

indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir

no trabalho e em estudos posteriores. (Lei de diretrizes e bases da educação n°

9.394/96 apud BRASIL, 2000, p.9)

Os PCNEM estabelecem uma nova perspectiva para este nível de ensino:

a. Desenvolver valores e competências necessárias à integração do indivíduo na

sociedade;

b. Formação ética, desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;

c. Preparação e orientação básica para a integração ao mundo do trabalho;

d. Desenvolvimento de competências para o aprendizado continuado, autônomo e crítico.

Quatro premissas apontadas pela UNESCO foram incorporadas nas diretrizes

constantes desse documento como eixos estruturais da educação da sociedade

contemporânea: aprender a conhecer: constitui a base para a educação permanente;

aprender a fazer: privilegia a aplicação da teoria na prática e enriquece a vivência da

ciência na tecnologia com significação especial para o desenvolvimento da sociedade

contemporânea; aprender a viver: permite o desenvolvimento do conhecimento e a

14

Citação negritada no documento original

60

percepção das interdependências; aprender a ser : implica na formulação de seus próprios

juízos de valor, além de tomar decisões por si mesmo. (BRASIL, 2000, p. 15-16)

Os PCNEM também estabelecem quais são as competências que o aluno, ao final do

Ensino Médio, deve demonstrar:

Art. 36, § 1°. Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão

organizados de tal forma que ao final do ensino médio o educando demonstre:

I - Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção

moderna;

II - Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;

Domínio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessários ao exercício da

cidadania. (BRASIL, 2000, p. 17-18)

Os PCNEM estabelecem um currículo dividido por áreas de conhecimento: Linguagens,

Códigos e suas Tecnologias, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias e

Ciências Humanas e suas Tecnologias.

Cabe aqui reconhecer a historicidade do processo de produção do conhecimento.

Enfim, preconiza-se que a concepção curricular seja transdisciplinar e matricial,

de forma que as marcas das linguagens, das ciências, das tecnologias e, ainda, dos

conhecimentos históricos, sociológicos e filosóficos, como conhecimentos que

permitem uma leitura crítica do mundo estejam presentes em todos os momentos

da prática escolar. (BRASIL, 2000, p.19)

A interdisciplinaridade e a contextualização fazem parte dessa nova organização

curricular uma tendência atual em todos os níveis de ensino, criando condições para uma

aprendizagem motivadora, na qual professores e alunos possuam maior liberdade para a

seleção de conteúdos relacionados aos problemas que dizem respeito à vida em

comunidade. Nesse sentido, os autores afirmam que:

Ao propor uma nova forma de organizar o currículo, trabalhado na perspectiva

interdisciplinar e contextualizada, parte-se do pressuposto de que toda

aprendizagem significativa implica uma relação sujeito-objeto e que, para que

esta se concretize, é necessário oferecer as condições para que os dois polos do

processo interajam. (BRASIL, 2000, p.22)

A leitura dos documentos oficiais proporciona o entendimento das diferenças existentes

entre si, a busca de referências e sugestões que cada um pode oferecer no que diz respeito

ao enriquecimento das análises que compõem esse trabalho.

61

É importante salientar que não houve a preocupação de hierarquizar documentos,visto

que cada texto foi de suma importância para feitura dessa dissertação.

3.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio -

Parecer CEB N° 15/98 (DCNEM, 1998)

É importante enfatizar que o documento PCNEM, parte I, Bases Legais, possui um

capítulo destinado às Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM), e,

pelo fato de os PCNEM serem um documento oficial federal, este foi utilizado em nossas

análises, inclusive no que diz respeito às DCNEM. Para iniciar a análise desse documento

vale citar uma passagem do texto do parecer CEB n° 15/98:

O momento que vive a educação brasileira nunca foi tão propício para pensar a

situação de nossa juventude numa perspectiva mais ampla do que a de um destino

dual. A nação anseia por superar privilégios, entre eles os educacionais, a

economia demanda recursos humanos mais qualificados. Esta é a oportunidade

histórica para mobilizar recursos, inventividade e compromisso na criação de

formas de organização institucional, curricular e pedagógica que superem o status

de privilégio que o ensino médio ainda tem no Brasil, para atender, com

qualidade, clientelas de origens, destinos sociais e aspirações muito diferenciadas.

(Brasil, 2000, p.55)

Ao refletir sobre o assunto entende-se que o parecer CEB n° 15/98 requer que o

profissional da educação dispense um tratamento diferenciado aos alunos. O professor deve

ser capaz de contemplar as desigualdades existentes para garantir a todos um patamar

comum nos pontos de chegada. A escola pública de qualidade é uma necessidade, e para

tanto, foram desenvolvidos mecanismos que servem para aferir o desempenho dos alunos

("pontos de chegada comuns") e, a partir de tais resultados, as unidades escolares possuam

parâmetros de comparação para tomadas de decisão e correção dos pontos que merecem ser

revisados para reduzir as desigualdades educacionais.

Será indispensável, portanto, que existam mecanismos de avaliação dos

resultados para aferir se os pontos de chegada estão sendo comuns. E para que

tais mecanismos funcionem como sinalizadores eficazes, deverão ter como

referência as competências de caráter geral que se quer constituir em todos os

alunos e um corpo básico de conteúdos, cujo ensino e aprendizagem, se bem

sucedidos, propiciam a constituição de tais competências. O Sistema de

62

Avaliação da Educação Básica (SAEB) e, mais recentemente, o Exame Nacional

do Ensino Médio (ENEM), operados pelo MEC; os sistemas de avaliação já

existentes em alguns Estados e que tendem a ser criados nas demais unidades da

federação; e os sistemas de estatísticas e indicadores educacionais constituem

importantes mecanismos para promover a eficiência e a igualdade.

A análise dos resultados das avaliações e dos indicadores de desempenho deverá

permitir às escolas, com o apoio das demais instâncias do sistema de ensino,

avaliar seus processos, verificar suas debilidades e qualidades e planejar a

melhoria do processo educativo. Da mesma forma, deverá permitir aos

organismos responsáveis pela política educacional desenvolver mecanismos de

compensação que superem gradativamente as desigualdades educacionais.

(BRASIL, 2000, p.69)

Esse documento oficial destaca que são muitos os desafios para que se alcance uma

educação baseada mais na constituição de competências, habilidades e disposições de

condutas do que na quantidade de informação, e uma organização curricular que seja capaz

de responder a tais questionamentos requer:

Priorizar conhecimentos e competências de tipo geral;

"(Re) significar os conteúdos curriculares como meios para a constituição de

competências e valores, e não como objetivos do ensino em si mesmos"; (ibid, p.74)

Trabalhar as linguagens como constituidoras de significados, conhecimentos e valores;

Adotar estratégias de ensino diversificadas e potencializar a interação aluno-professor e

aluno-aluno;

Estimular o aluno a realizar todos os procedimentos e atividades;

Organizar conteúdos de ensino por áreas interdisciplinares e projetos de forma a manter

um diálogo permanente entre as diferentes áreas do saber;

Contextualizar as atividades de ensino com o objetivo de estimular o protagonismo

juvenil e estimular o aluno a ter autonomia intelectual;

"Lidar com os sentimentos associados às situações de aprendizagem para facilitar a

relação do aluno com o conhecimento". (ibid, p.75)

A Matemática, na concepção das DCNEM ,está presente na área das Ciências da

Natureza e Matemática.

A presença da Matemática nessa área se justifica pelo que de ciência tem a

Matemática, por sua afinidade com as Ciências da Natureza, na medida em que é

um dos principais recursos de constituição e expressão dos conhecimentos destas

63

últimas, e finalmente pela importância de integrar a Matemática com os

conhecimentos que lhe são mais afins. Esta última justificativa é, sem dúvida,

mais pedagógica do que epistemológica, e pretende retirar a Matemática do

isolamento didático em que tradicionalmente se confina no contexto escolar.

(BRASIL, 2000, p.93)

Percebe-se, na citação acima, a preocupação dos autores em transformar a Matemática,

de um contexto isolado, em um componente que deve ser integrado aos demais

componentes curriculares utilizando-se para isso da contextualização e da

interdisciplinaridade. Porém, no Currículo do Estado de São Paulo, que será estudado

posteriormente, a Matemática retoma seu "status" de unicidade, ao ser considerada como

área curricular, com as mesmas ideias indicadas pelos autores das DCNEM no tocante à

contextualização e interdisciplinaridade. Esse documento oficial inclui a preparação dos

professores como um fator dificultador para a implementação das DCNEM:

A preparação de professores, pela qual o Ensino Superior mantém articulação

decisiva com a Educação Básica, foi insistente e reiteradamente apontada como a

maior dificuldade para a implementação destas DCNEM, por todos os

participantes, em todos os encontros mantidos durante a preparação deste

parecer. Maior mesmo que os condicionantes financeiros. Uma unanimidade de

tal ordem possui peso tão expressivo que dispensa maiores comentários ou

análises. Um peso que deve ser transferido às instituições de Ensino Superior,

para que considerem quando, no exercício de sua autonomia, assumirem as

responsabilidades com o País e com a Educação Básica que considerem

procedentes.

É preciso lembrar, no entanto, que a deficiência quantitativa e qualitativa de

recursos docentes para o Ensino Fundamental e Médio há muito se converteu

num problema crônico. Essa deficiência afetará qualquer medida de melhoria ou

reforma da educação que o País se proponha a adotar. Resolver esse problema,

portanto, não é condição para a implementação destas DCNEM. É questão de

sobrevivência educacional, cuja dimensão vai muito além dos limites deste

parecer, embora se inclua entre os desafios, felizmente não exclusivos, do

Conselho Nacional de Educação. Das instituições de Ensino Superior, espera-se

que sejam parceiras no enfrentamento do desafio e na solução, não apenas na

denúncia do problema. (BRASIL, 2000, p.99).

Nesse sentido, é importante frisar o papel da articulação entre as reformas curriculares e

a formação inicial e continuada, pois é preciso ir além da denúncia da má formação dos

professores.

64

A afirmação de Pietropaolo (2002) é bastante pertinente, quando diz que a formação de

professores precisa considerar a necessidade de discutir e refletir as orientações curriculares

propostas para a Educação Básica. Para o autor:

Embora esses dois temas [referindo-se à formação de professores e aos currículos

propostos] mantenham estreitas relações entre si, nem sempre eles têm sido

discutidos de forma articulada, o que, em certo sentido, ajuda a explicar a

dificuldade de implementação de propostas curriculares quando não se leva em

conta que tipo de formação, que tipo de experiência têm os professores que vão

colocá-las em prática. Por outro lado, a falta de clareza do tipo de profissional

que se deseja formar para atender às novas demandas pode explicar as

dificuldades encontradas para desenvolver projetos mais consistentes de

formação de professores. (PIETROPAOLO, 2002, p. 34).

A valorização de iniciativas e estudos que considerem a relação entre o que estabelecem

os currículos e a formação de professores (inicial e/ou continuada) deve ser levada em

conta para que haja um ensino que vislumbre a excelência em todos os seus aspectos.

Segundo esse documento, as disciplinas escolares afins foram organizadas em áreas. É

destacado neste trabalho,a área de: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias

(CNMT) que engloba: a Matemática, a Biologia, a Física e a Química.

3.3 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio

(PCNEM, 2000) - Conteúdo Específico

Esse documento oficial explicita as habilidades básicas, as competências específicas as

quais se espera que sejam desenvolvidas pelos alunos do Ensino Médio nas disciplinas de

Biologia, Física, Química e Matemática. Além disso, apresenta objetivos educacionais da

área, indicando proposições correspondentes aos aprendizados dessas disciplinas, além de

aprofundar a descrição das competências específicas que devem ser desenvolvidas e, como

as tecnologias a estas associadas, podem ou devem ser tratadas. Indica também uma

interface entre a Matemática e as demais áreas de conhecimento, sem esquecer a discussão

65

a respeito do processo de ensino-aprendizagem de diversas temáticas, metodologias,

estratégias e procedimentos educacionais para a área.

Para este trabalho, apenas o material referente à Matemática será usado, assim como os

aspectos, considerados pelo documento como “didáticas específicas”, os desafios para

superar as deficiências, carências e equívocos para qualificar e promover todos os alunos.

Os PCNEM (2000) indicam que a Matemática, como linguagem, ocupa uma posição

singular, pois, possivelmente, não deve existir atividade na vida contemporânea em que

esse componente curricular não compareça de forma insubstituível. A respeito da

interdisciplinaridade, os autores observam que:

O desenvolvimento dos instrumentos matemáticos de expressão e raciocínio,

contudo, não deve ser preocupação exclusiva do professor de Matemática, mas

dos das quatro disciplinas científico-tecnológicas, preferencialmente de forma

coordenada, permitindo-se que o aluno construa efetivamente as abstrações

matemáticas, evitando-se a memorização indiscriminada de algoritmos, de forma

prejudicial ao aprendizado. A pertinente presença da Matemática no

desenvolvimento de competências essenciais, envolvendo habilidades de caráter

gráfico, geométrico, algébrico, estatístico, probabilístico, é claramente expressa

nos objetivos educacionais da Resolução CNE/98. (BRASIL, 2000, p.9)

Esse documento indica também as competências e habilidades gerais para todas as

disciplinas dessa área de ensino. Neste estudo, são analisadas apenas algumas das

habilidades necessárias trabalhadas pelos professores para que as competências requeridas

sejam plenamente desenvolvidas pelos alunos durante todo o processo de ensino-

aprendizagem. Sendo assim, parte das habilidades indicadas no documento é empregado

como forma de exemplificação:

Representação e comunicação:

a) Desenvolver a capacidade de comunicação.

Ler e interpretar textos de interesse científico e tecnológico;

Interpretar e utilizar diferentes formas de representação (tabelas, gráficos,

expressões, ícones...);

Exprimir-se oralmente com correção e clareza, usando a terminologia correta,

etc. (BRASIL, 2000, p.12)

Investigação e compreensão:

b) Desenvolver a capacidade de questionar processos naturais e tecnológicos,

identificando regularidades, apresentando interpretações e prevendo evoluções.

Desenvolver o raciocínio e a capacidade de aprender;

66

Formular questões a partir de situações reais e compreender aquelas já

enunciadas;

Desenvolver modelos explicativos para sistemas tecnológicos e naturais;

Utilizar instrumentos de medição e de cálculo, etc. (BRASIL, 2000, p.12)

Contextualização sociocultural15

:

c) Compreender e utilizar a ciência, como elemento de interpretação e

intervenção, e a tecnologia como conhecimento sistemático de sentido prático;

Utilizar elementos e conhecimentos científicos e tecnológicos para

diagnosticar e equacionar questões sociais e ambientais;

Associar conhecimentos e métodos científicos com a tecnologia do sistema

produtivo e dos serviços;

Reconhecer o sentido histórico da ciência e da tecnologia, percebendo seu

papel na vida humana em diferentes épocas e na capacidade humana de

transformar o meio, etc. (BRASIL, 2000, p.13).

Sobre os conhecimentos de Matemática, o documento salienta:

Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham

novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e

a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é

necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o

cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e

profissional. (BRASIL, 2000, p.40).

Os conhecimentos matemáticos mostram-se interligados à estrutura de competências e

habilidades. Embora, no trecho anterior, algumas competências e habilidades gerais da área

tenham sido citadas, neste momento, alguns objetivos indicados pelos autores como

essenciais para que o aluno aprenda Matemática no Ensino Médio serão elencados. É

importante ressaltar que, para esse estudo, recortes do documento foram efetuados:

Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que

permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação

científica geral;

Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-as na

interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;

Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando

ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita

expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do

conhecimento e da atualidade, etc. (BRASIL, 2000, p.42)

15

Apesar de estarmos fazendo uma citação de um documento oficial, utilizamos a regra ortográfica vigente,

corrigindo: sócio-cultural, para sóciocultural.

67

Os PCNEM deixam claro que habilidades, competências e interdisciplinaridade devem

ser trabalhados com os alunos do Ensino Médio. Essas mesmas competências e habilidades,

além da interdisciplinaridade e da contextualização tornam o currículo mais rico de

possibilidades, fazendo com que os conteúdos básicos sejam ensinados de forma que os

estudantes consigam enxergá-los, além de expressões e fórmulas e possam ser

significativos. Além do aprendizado de conteúdo, os PCNEM também focam no

desenvolvimento de valores e atitudes fundamentais para que o aluno aprenda a aprender.

Como exemplo desses valores ressalta-se que é fundamental “ter iniciativa na busca de

informações, confiança em suas formas de pensar, possa estar melhor preparado para sua

inserção no mundo do conhecimento e do trabalho, etc.” (BRASIL, 2000, p. 45)

A seguir, o documento discute os rumos e desafios da área, relacionando a formação

docente, estrutura escolar, elaboração de materiais e avaliação :

Entre os maiores desafios para a atualização pretendida no aprendizado de

Ciências e Tecnologia, no Ensino Médio, está a formação adequada de

professores, a elaboração de materiais instrucionais apropriados e até mesmo a

modificação do posicionamento e da estrutura da própria escola, relativamente ao

aprendizado individual e coletivo e a sua avaliação. (BRASIL, 2000, p.49)

Este documento descreve os pressupostos gerais e não apresenta discussões específicas

sobre os processos de ensino e aprendizagem de Trigonometria.

3.4 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio + - PCN+

(2002)

Nas orientações contidas nos PCN+, há indicações para que os professores observem as

novas formas de trabalho, a fim de atingir o objetivo principal que é a formação geral do

estudante sem deixar de prepará-lo para a universidade e a vida profissional.

68

As disciplinas da área das Ciências da Natureza e Matemática são indicadas como

componentes da cultura científica e tecnológica, cujo resultado se dá em virtude da

evolução social e econômica da atualidade e do desenvolvimento ao longo da história.

Essa definição da área das Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias

também facilita a apresentação dos objetivos educacionais que organizam o

aprendizado nas escolas do ensino médio em termos de conjuntos de

competências. São eles: representação e comunicação; investigação e

compreensão; e contextualização sociocultural16

, objetivos que convergem

com a área de Linguagens e Códigos - sobretudo no que se refere ao

desenvolvimento da representação, da informação e da comunicação de

fenômenos e processos - e com a área de Ciências Humanas - especialmente ao

apresentar as ciências e técnicas como construções históricas, com a participação

permanente no desenvolvimento econômico e cultural. (BRASIL, 2002, p.23)

A figura, a seguir, contém um diagrama que expressa a articulação entre as áreas das

Ciências da Natureza e Linguagens e Códigos através do desenvolvimento das

competências de representação e comunicação com a área de Ciências Humanas, pelo

desenvolvimento das competências de contextualização sociocultural.

Figura 4 - Desenvolvimento de competências entre áreas

FONTE: (BRASIL, 2002, p.25)

16

Correção de sócio-cultural para sóciocultural, conforme nova legislação ortográfica e destaques em

negrito são expressões dos autores..

representação e comunicaçãorepresentação e comunicação

Ciências da Natureza

e Matemática Biologia

Física

Química

Matemática

investigação

e compreensão

representação e comunicação

Ciências HumanasLinguagens e Códigos

representação e comunicação

69

Os PCN+ também caracterizam o desenvolvimento das competências nas disciplinas

das áreas, de acordo com as seguintes tabelas:

Representação e comunicação

Símbolos, códigos e nomenclaturas

Reconhecer e utilizar adequadamente na forma oral e escrita símbolos,

códigos e nomenclatura da linguagem científica

Articulação dos símbolos e códigos

Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e

representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e

representações geométricas

Análise e interpretação de textos e outras comunicações

Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de ciência e tecnologia

veiculados por diferentes meios.

Elaboração de comunicações

Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e sistematizar

eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas, visitas,

correspondências.

Discussão e argumentação de temas de interesse

Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas de

ciência e tecnologia.

Figura 5 - Representação e comunicação


70

Investigação e compreensão

Estratégias para enfrentamento de situações-problema

Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis relevantes e

possíveis estratégias para resolvê-la

Interações, relações e funções; Invariantes e transformações

Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento

científico, estabelecer relações; identificar regularidades, invariantes e

transformações.

Medidas, quantificações, grandezas e escalas

Selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e

utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados.

Modelos explicativos e representativos

Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenômenos

ou sistemas naturais ou tecnológicos.

Relações entre conhecimentos disciplinares, interdisciplinares e interáreas

Articular, integrar e sistematizar fenômenos e teorias dentro de uma ciência,

entre as várias ciências e áreas de conhecimento.

Figura 6 - Investigação e compreensão


O professor pode identificar relações e elaborar estratégias para a resolução de uma

situação-problema. Exemplo: para obter uma dada distância, optar por medi-la diretamente,

utilizar uma planta em escala, usar semelhança de figuras, fazer uso de propriedades

trigonométricas, utilizar um sistema de eixos cartesianos ou a geometria analítica.

71

Contextualização sociocultural

Ciência e tecnologia na história

Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como resultados de

uma construção humana, inseridos em um processo histórico e social.

Ciência e tecnologia na cultura contemporânea

Compreender a ciência e a tecnologia como partes integrantes da cultura

humana contemporânea.

Ciência e tecnologia na atualidade

Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, suas

relações com as ciências, seu papel na vida humana, sua presença no mundo

cotidiano e seus impactos na vida social.

Ciência e tecnologia, ética e cidadania

Reconhecer e avaliar o caráter ético do conhecimento científico e tecnológico e

utilizar esses conhecimentos no exercício da cidadania.

Figura 7 - Contextualização sociocultural


Incluem-se, nessas competências, o reconhecimento e a compreensão do

desenvolvimento histórico da tecnologia associada a campos diversos da Matemática.

Exemplo: ao se perceber a origem do uso dos logaritmos ou razões trigonométricas, como

resultado do avanço tecnológico, iniciado no século 16 e que ganhou uma nova dimensão,

além daquelas que lhes deram origem.

Os autores dos PCN+ completam que parte dos contextos utilizados no documento

oficial tem sentido e alcance praticamente universais e afirmam que tais contextos podem

subsidiar os professores no ensino de cada uma das disciplinas da área de Ciências da

Natureza, Matemática e suas Tecnologias, assim como auxiliar na organização de projetos

pedagógicos.

72

Na Matemática, os documentos retomam as habilidades e competências. Inicialmente,

chamam a atenção para o fato de que os exercícios do tipo "calcule...", "resolva..." não

devem ser eliminados, pois existe a necessidade da aprendizagem das técnicas e

propriedades matemáticas, mas são insuficientes para que os alunos possam continuar

aprendendo ou que construam visões mais abrangentes ou que se realizem no mundo social

ou do trabalho:

Não se trata de separar o ensino de conteúdos específicos das competências, pelo

contrário, essas são duas dimensões da aprendizagem que devem ocorrer

conjuntamente.

Nessa perspectiva, não só a seleção de temas e conteúdos, como a forma de tratá-

los no ensino são decisivas. A maneira como se organizam as atividades e a sala

de aula, a escolha de materiais didáticos apropriados e a metodologia de ensino é

que poderão permitir o trabalho simultâneo dos conteúdos e competências. Se o

professor insistir em cumprir programas extensos, com conteúdos sem

significados e fragmentados, transmitindo-os de uma única maneira a alunos que

apenas ouvem e repetem, sem dúvida as competências estarão fora de alcance.

(BRASIL, 2002, p. 113)

Quanto aos temas estruturadores da Matemática, as orientações contidas nos PCN+

remetem à necessidade dos professores fazerem escolhas dos conteúdos a serem ensinados.

Como exemplo:

Se o único caso de funções inversas que os alunos verão no ensino médio forem

as funções exponencial e logaritmo, não há necessidade de todo o estudo sobre

funções injetoras, sobrejetoras e inversíveis, assim como se o foco do estudo

estiver na análise de gráficos e nas aplicações da função logarítmica, podemos

questionar por que estudar cologaritmos, característica e mantissa. (BRASIL,

2002, p. 120)

Analisando tais orientações e considerando assim como Shulman (1987) sabe-se que

essa não é uma tarefa fácil. Afinal para o docente enfrentar a tarefa de auxiliar o aluno na

construção de conceitos ligados à trigonometria e atender às orientações descritas nos

documentos, é indispensável que o professor tenha compreensão das noções matemáticas

relacionadas a esse conceito, dos objetivos que deverão ser alcançados, em cada etapa da

construção desse conhecimento, do papel que esse conhecimento desempenha na

construção de outras ideias; precisa compreender como se dá a aprendizagem e sobre a

relação dos alunos com o conceito.

73

Os PCN+ dividem os conteúdos em três eixos estruturadores, que são: Álgebra:

números e funções, Geometria e medidas e Análise de dados.

Ao abordar o tema Álgebra: números e funções, os autores dos PCN+ propõem duas

unidades temáticas: variação de grandezas: noção de função; funções analíticas e não

analíticas; representação e análise gráfica; sequências numéricas: progressões e noção de

infinito; variações exponenciais ou logarítmicas; função seno, cosseno e tangente; taxa de

variação de grandezas e Trigonometria: do triângulo retângulo, do triângulo qualquer, da

primeira volta. No que se refere, especificamente, à Trigonometria, os autores acrescentam

que:

Apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é apresentada

desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das

identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes das funções

trigonométricas e das análises de seus gráficos. O que deve ser assegurado são as

aplicações da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições,

em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que

correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater as

funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do

círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações

trigonométricas. Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato desse

conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em diferentes épocas,

como é o caso do período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que

permite aos alunos perceberem o conhecimento matemático como forma de

resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo.

(BRASIL, 2002, p. 121)

No tema Geometria e medidas, os PCN+ propõem quatro unidades temáticas: geometria

plana: semelhança e congruência, representação de figuras: espacial: elementos dos

poliedros, sua classificação e representação, sólidos redondos, propriedades relativas à

posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo, inscrição e circunscrição de sólidos;

métrica: áreas e volumes, estimativa, valor exato e aproximado e analítica: representações

no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras.

Sendo assim, eles indicam algumas razões que abordam a necessidade da formação

continuada dos profissionais docentes. Em primeiro lugar, esse documento oficial afirma

que são crônicos os problemas na formação inicial dos professores e tal problemática

constitui obstáculos para o desempenho do professor; em segundo lugar, novas orientações

74

para a formação inicial dos professores demandam ajustes para serem efetivadas; em

terceiro lugar, a formação permanente do professor deve se dar enquanto esse profissional

exerce a sua função no processo de ensino-aprendizagem.

Os PCN+ citam uma passagem das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação

de Professores da Educação Básica (8/5/2001):

As questões a serem enfrentadas na formação são históricas. No caso da formação

nos cursos de licenciatura, em seus moldes tradicionais, a ênfase está contida na

formação nos conteúdos da área, onde o bacharelado surge como a opção natural

[...], sendo que a atuação como "licenciados" é vista [...] como "inferior",

passando muito mais como atividade "vocacional" ou que permitiria grande dose

de improviso [...] (BRASIL, 2002, p.139)

No capítulo final dos PCN+, o perfil do professor desejado é traçado:

O que se deseja, afinal, são professores reflexivos e críticos, ou seja, professores

com um conhecimento satisfatório das questões relacionadas ao ensino-

aprendizagem e em contínuo processo de autoformação, além de autônomos e

competentes para desenvolver o trabalho interdisciplinar. Um dos instrumentos

úteis a essa reflexão baseia-se em procedimentos de auto-observação e análise,

em que se destaca a importância de o professor saber o que faz em sala de aula e

de saber por que faz dessa forma e não de outra. [...]

Os professores com essas novas atitudes são promotores e partícipes de escolas

que se reconhecem como espaços de formação profissional ininterrupta. Essas

escolas estão reinventando o ensino médio e a educação básica no Brasil.

(BRASIL, 2002, p. 144)

Percebe-se que os autores do documento em questão, assim como Shulman (1987),

enfatizam as características principais necessárias para um professor competente, como:

Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e Conhecimento

Curricular.

As Orientações Curriculares Nacionais no item a seguir abordam a base curricular

comum, necessária para a determinação de cada etapa de ensino.

75

3.5. Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM,

2006)

As OCEM (2006) apresentam dois aspectos que merecem destaque: as finalidades

atribuídas ao Ensino Médio e a proposta da organização curricular com os seguintes

componentes: base nacional comum, planejamento e desenvolvimento do currículo,

integração e articulação dos conhecimentos em processo de interdisciplinaridade e

contextualização, proposta pedagógica elaborada e executada pelos estabelecimentos de

ensino, participação dos docentes na elaboração da proposta pedagógica.

Esse documento aborda três aspectos do conhecimento de Matemática: escolha de

conteúdos, projeto pedagógico e organização curricular.

Quanto ao conteúdo, as OCEM indicam a necessidade da priorização da qualidade e

não da quantidade de conteúdos a serem trabalhados e afirmam que a escolha dos

conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa para auxiliar na apropriação de conhecimento.

Os conteúdos foram organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções;

Geometria; Análise de dados e probabilidade, e deve-se buscar constantemente a

articulação entre esses blocos.

Da mesma forma que os demais documentos aqui analisados, as OCEM afirmam

também ser este o momento para que conceitos e ideias que exigem uma maior maturidade

dos alunos e descartam "exigências de memorizações e apresentações de "regras"

desprovidas de explicações, assim como resolução de exercícios repetitivos "de fixação" ou

aplicação direta de fórmulas.” (BRASIL, 2006, p. 70).

Além do caráter genérico, esse documento oficial também apresenta exemplos das

possibilidades de atividades para cada um dos quatro blocos de conteúdos. São discutidas

76

também estratégias de ensino da Matemática no Ensino Médio, como, por exemplo:

resolução de problemas, modelagem matemática, trabalho com projetos.

Como o objeto de estudo permeia-se na abordagem de elementos da Trigonometria, a

apreciação do documento se pautará a esse assunto no que tange à forma de apresentar esse

conteúdo aos alunos.

3.5.1. As funções trigonométricas

A abordagem da Trigonometria e das funções trigonométricas pelos documentos

oficiais se dá de forma mais específica, já que eles determinam qual currículo mínimo

necessário deve ser ensinado aos estudantes brasileiros. Além disso, essas orientações

hierarquizam os conteúdos, indicando quais devem ser ensinados e aqueles que, a critério

da análise que o professor, se fizeram fundamentais em relação a tempo, aos níveis de

aprendizagem dos alunos, e a outros fatores. Esse estudo busca enxergar quais são os

principais pontos requeridos por esse documento para posterior análise das provas dos

concursos dos professores do Estado de São Paulo.

Segundo as indicações contidas nas OCEM (2006), as relações métricas no triângulo

retângulo e as leis do seno e do cosseno são ferramentas importantes e devem anteceder o

trabalho realizado envolvendo esse conteúdo. Ademais, esse documento aborda a

necessidade de introduzir as razões trigonométricas, ressaltando as propriedades da

semelhança de triângulos:

No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um trabalho

com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções seno,

cosseno e tangente, priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as

leis do seno e do cosseno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos

alunos no ensino médio. Na introdução das razões trigonométricas seno e

cosseno, inicialmente para ângulos com medida entre 0° e 90°, deve-se ressaltar

que são as propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a essas

definições; segue-se, então, com a definição das razões para ângulos de medida

entre 90° e 180°. A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos,

devem ser justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de

medida 30°, 45° e 60°. (BRASIL, 2006, p.74)

77

Esse documento oficial ainda fornece um exemplo para que o professor possa trabalhar

esse conteúdo: um triângulo, a medida de dois lados e a de um ângulo formado por esses

mesmos lados e argumenta que é possível calcular a medida dos demais elementos do

triângulo. Ressalta que é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela

importância na resolução de problemas diversos, como em cálculos de distâncias

inacessíveis e que esse conteúdo deve ser priorizado na escola, inclusive se questionando

quais referências devem ser necessárias para a realização de tal cálculo:

Alguns tópicos usualmente presentes no estudo da trigonometria podem ser

dispensados, como por exemplo, as outras três razões trigonométricas, as

fórmulas para sen (a + b) e cos (a + b), que tanto exigem dos alunos para serem

memorizadas.

É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em

que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e cosseno, definido como

as coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com

medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como

extensões das razões trigonométricas então definidas para ângulos com medida

entre 0° e 180°. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes

às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f(x) = sen

(x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em

radianos. As funções trigonométricas seno e cosseno também devem ser

associadas aos fenômenos que apresentam comportamento periódico. O estudo

das demais funções trigonométricas pode e deve ser colocado em segundo plano.

(BRASIL, 2006, p.74, grifos nossos)

Logo, compreende-se que esse documento oficial indica conteúdos que "devem" fazer

parte do aprendizado dos alunos, assim como outros que podem ser "colocados em segundo

plano".

A Trigonometria também se faz presente no bloco da Geometria e as OCEM (2006)

indicam que alguns conceitos, anteriormente estudados no Ensino Fundamental, devem ser

consolidados, como por exemplo, “ideias de congruência, semelhança e proporcionalidade,

o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos

(retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.” (BRASIL, 2006, p. 75-76)

Esse documento deixa claro que suas orientações devem funcionar como subsídio para

as discussões curriculares relativas ao Ensino Médio e que cada professor, em conjunto

78

com seus pares e alunos, deve definir o currículo de Matemática, sempre buscando uma

formação matemática que privilegie o essencial e o significativo.

As recomendações e orientações contidas nos documentos curriculares oficiais no

âmbito federal serviram como base para a elaboração da Proposta Curricular do Estado de

São Paulo (2008), a qual será exposta e interpretada a seguir.

3.6 Currículo do Estado de São Paulo - Matemática e Suas

Tecnologias - 2010, e os Concursos

Este trabalho procura contribuir para a discussão sobre os conhecimentos necessários

aos professores que ministram aulas nas escolas públicas do Estado de São Paulo. Para

atender essa necessidade, a análise dos pressupostos e diretrizes que alicerçam o atual

Currículo do Estado de São Paulo podem fornecer indícios sobre os conhecimentos

imprescindíveis para o ensino da trigonometria ratificados no documento.

O novo currículo intitulado inicialmente por Proposta Curricular do Estado de São

Paulo (2008), e desde o ano de 2009 como Currículo do Estado de São Paulo foi

implementado pela Secretaria de Estado da Educação (SEE) em sua rede de ensino como

uma das ações do projeto São Paulo Faz Escola, que integrou a agenda do plano de gestão

2006-2010 do governo estadual para a Educação Básica paulista e continuou na gestão

2011-2014. O Currículo traz como principais pressupostos:

[...] a escola que aprende; o currículo como espaço de cultura; as competências

como eixo de aprendizagem; a prioridade da competência de leitura e de escrita; a

articulação das competências para aprender; e a contextualização no mundo do

trabalho. (SÃO PAULO, 2010, p.10)

O Currículo do Estado de São Paulo (2010), em sua apresentação, também aborda,

assim como os demais documentos analisados previamente, os seguintes elementos:

qualidade do ensino, universalização da aprendizagem, democratização do acesso à

79

educação, autonomia do estudante para gerenciar a sua própria aprendizagem (aprender a

aprender), a transposição da aprendizagem em intervenções solidárias (aprender a fazer e a

conviver), responsabilidade da equipe gestora como formadora de professores e dos

docentes na problematização e significação dos conhecimentos sobre sua prática,

construção coletiva da Proposta Pedagógica, conhecimento como instrumento mobilizado

de competências e habilidades e a contextualização dos conhecimentos acumulados.

3.6.1 Prioridade para Competências

O Currículo do Estado de São Paulo adota como competências a serem construídas, as

formuladas no referencial teórico do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem, 1998).

Dentre elas destacam-se:

Constituir a competência leitora-escritora - Essa competência é fundamental para

qualquer profissão, pois a leitura é a atribuição de sentido às coisas e escrever é assumir

a autoria por ações e consequências;

Desenvolver o raciocínio hipotético-dedutivo - Essa competência é fundamental para a

compreensão de fenômenos, a leitura é a compreensão, é a assimilação de experiências

e conteúdos disciplinares e a escrita é a expressão dessa construção;

Decidir e enfrentar situações-problema. Essa competência é fundamental para antecipar

de forma comprometida a ação de fenômenos e resolver problemas decorrentes deles e

dominar os inúmeros formatos que a solução do problema comporta;

Sintetizar a capacidade de escutar, supor, informar-se, relacionar, comparar, etc., além

de dominar códigos que expressem defesa ou reconstrução de argumentos. Essa

competência é fundamental para relacionar as diversas informações;

Para propiciar que o aluno desenvolva essas competências, o professor deve possuí-las,

o que corresponde aos conhecimentos necessários ao professor segundo Shulman.

80

3.6.2. Currículo de Matemática - Ensino Fundamental (Ciclo II) e Ensino

Médio

Este documento destaca a valorização da capacidade de extrapolação de contextos,

possíveis de vislumbrar em um rol de competências básicas, incluindo três pares de eixos

complementares: o eixo expressão/compreensão o eixo argumentação/decisão e o eixo

contextualização/abstração17

.

No decorrer do estudo, os pares de eixos complementares que fazem parte do Currículo

do Estado de São Paulo são comparados pelo que dispõe o Currículo Federal e pela

utilização das indicações contidas nos PCN+ (BRASIL, 2002):

No que diz respeito ao eixo Contextualização/abstração, os elaboradores do Currículo

Oficial do Estado de São Paulo o consideram como:

A capacidade de contextualização dos conteúdos estudados na escola, de

enraizamentos na realidade imediata, nos universos de significações - sobretudo

no mundo do trabalho - e a capacidade de abstração, de imaginação, de

consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se

conceber o que ainda não existe. (SÃO PAULO, 2010, p. 31)

Tais indicações, possivelmente, consideram alguns dos pressupostos apresentados nas

Bases Legais dos PCN como uma garantia da qualidade de ensino. Dentre eles, os que

indicam como aspectos necessários são:

Abertura e sensibilidade para identificar as relações que existem entre os

conteúdos do ensino e as situações de aprendizagem e os muitos contextos de

vida social e pessoal, de modo a estabelecer uma relação ativa entre o aluno e o

objeto de conhecimento e a desenvolver a capacidade de relacionar o aprendido

com o observado, a teoria com suas consequências e aplicações práticas.

(BRASIL, 2000, p. 74)

Nota-se, nos trechos provenientes do Currículo do Estado de São Paulo e PCN Bases

Legais, que embora os textos sejam distintos, eles se aproximam ao identificar algumas

necessidades para o Ensino Médio, tais como: enquanto o Currículo do Estado de São

17

negrito da autora

81

Paulo indica a contextualização e abstração, as bases legais dos PCN indicam as situações

de aprendizagem e contextos de vida social e pessoal, relaciona o aprendido com o

observado, a teoria e as consequências e aplicações práticas.

Ao comparar os dois documentos verifica-se que ambos enfatizam a linguagem como

maior fundamento, quer exemplificado como no texto do Currículo do Estado de São Paulo

na forma da leitura de textos, tabelas e gráficos, quer nos PCN quando eles indicam que a

linguagem é o elemento-chave para a constituição de significados, conceitos, relações,

condutas e valores que a escola deseja transmitir.

3.6.3. A Organização dos Conteúdos Básicos: Números, Geometria,

Relações

Como tratado anteriormente, os conteúdos disciplinares da Matemática foram divididos

em três blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA E RELAÇÕES18

: os Números

envolvem noções de contagem, medidas, códigos; a Geometria diz respeito a formas e

relações entre elementos de figuras planas e espaciais, formas geométricas e concepções de

espaço; as Relações incluem noções de medidas e aproximações, relações de

interdependência e ideia de função.

Figura 8 - Relações, Números e Geometria

FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 39)

18

negrito do autor

NÚMEROS

RELAÇÕES

GEOMETRIA

82

NÚMEROS equivalência/ordem

simbolização/operações

GEOMETRIA percepção/concepção

construção/representação

RELAÇÕES medidas/aproximações

proporcionalidade/interdependência

Figura 9 - Números, Geometria e Relações


Como visto acima, os conteúdos dos três blocos estão interligados permanentemente,

existindo uma grande dificuldade na abordagem de um dos blocos sem a participação dos

demais.

3.6.4. Sobre o Processo de Ensino da Trigonometria - Aprendizagem dos

Conteúdos Básicos

Neste estudo, o foco de análise está voltado a elementos que abrangem a

Trigonometria, inserido nas relações de interdependências, conforme explicita o currículo

do Estado de São Paulo:

Também se enquadra nas relações de interdependência todo o estudo da

Trigonometria, desde as relações métricas no triângulo retângulo até a

caracterização das funções trigonométricas, com sua notável potencialidade para

representar fenômenos periódicos. As chamadas funções trigonométricas nada

mais são do que relações de interdependência que generalizam a ideia de

proporcionalidade, fundadora das noções de seno, cosseno e tangente, entre

outras. (SÃO PAULO, 2010, p.44)

O Currículo do Estado de São Paulo ainda argumenta sobre a necessidade da criação de

significados para os alunos, indicando que as narrativas são importantes e podem ser

decisivas na arquitetura de cada aula. Além disso, os professores devem trabalhar o

conteúdo fazendo um mapeamento do que será apresentado ao aluno, e em qual escala

(profundidade), se o assunto será praticamente esgotado ou se a abordagem desse assunto

será apenas superficial.

83

Considera-se fundamental que a opção do professor seja apresentar o que for

possível dos conteúdos de cada um dos bimestres, mas que todos eles sejam

tratados, mesmo que de uma maneira incipiente. (SÃO PAULO, 2010, p. 52)

Finalmente, é apresentado um quadro de conteúdos (série/ano por bimestre), tanto para

o Ensino Fundamental quanto para o Ensino Médio cuja ênfase se dá aos conteúdos

relativos à Trigonometria e suas articulações, no decorrer dos anos escolares:

Figura 10 - Conteúdo e habilidades 8° Ano do Ensino Fundamental


84

Figura 11 - Conteúdo e habilidades 9° Ano do Ensino Fundamental FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 64)

85

Figura 12 - Conteúdos e habilidades 1 a

Série do Ensino Médio


Conteúdos Habilidades

Geometria/Relações * Saber usar de modo sistemático

relações métricas fundamentais entre os

Geometria - Trigonometria elementos de triângulos retângulos, em

diferentes contextos

* Razões trigonométricas nos triângulos

retângulos * Conhecer algumas relações métricas

fundamentais em triângulos não

* Polígonos regulares: inscrição, retângulos, especialmente a Lei dos Senos

circunscrição e pavimentação de e a Lei dos Cossenos

superfícies

* Saber construir polígonos regulares

* Resolução de triângulos não retângulos e reconhecer suas propriedades

Lei dos Senos e Lei dos Cossenos fundamentais

* Saber aplicar as propriedades dos

polígonos regulares no problema da

pavimentação de superfícies

* Saber inscrever polígonos

regulares em circunferências dadas

1a série do Ensino Médio

4° B

ime

stre

86

a

Figura 13 - Conteúdos e habilidades 2 a

Série do Ensino Médio


Conteúdos Habilidades

Relações * Reconhecer a periodicidade presente em

alguns fenômenos naturais, associando-a

Trigonometria às funções trigonométricas básicas

* Fenômenos periódicos * Conhecer as principais características

das funções trigonométricas básicas

* Funções trigonométricas (especialmente o seno, o cosseno e a

tangente), sabendo construir seus gráficos

* Equações e inequações e aplicá-las em diversos contextos

* Adição de arcos * Saber construir o gráfico de funções

trigonométricas como f(x) = asen(bx) + c

a partir do gráfico de y = senx,

compreendendo o significado das

transformações associadas aos

coeficientes a, b e c

* Saber resolver equações e inequações

trigonométricas simples, compreendendo

o significado das soluções obtidas, em

diferentes contextos

2a série do Ensino Médio

1° B

ime

stre

87

Figura 14 - Conteúdos e habilidades 3a Série do Ensino Médio


88

3.6.5. Cadernos do Professor e do Aluno

No Estado de São Paulo, o Caderno do Aluno é parte integrante do material didático

distribuído aos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, sendo

que os professores recebem um Kit com os exemplares do Caderno do Professor. O

Caderno do Professor, por sua vez, contém orientações sobre o uso dos cadernos, conteúdos

básicos do bimestre, situações de aprendizagem e seus respectivos roteiros de aplicação,

além disso, tece considerações sobre a avaliação, oferece orientações para a recuperação e

indica recursos para que o professor e o aluno possam ampliar o conhecimento em relação

ao tema.

O Caderno do Professor aborda o conteúdo disciplinar; afirmando que ele não se afasta

do que é usualmente ensinado nas escolas e livros didáticos. A abordagem dos conteúdos

busca evidenciar os princípios norteadores do Currículo do Estado de São Paulo,

destacando a contextualização, as competências e as habilidades envolvidas, especialmente

as relacionadas à leitura e escrita.

As Orientações Gerais sobre os Cadernos também informam que os conteúdos foram

organizados em oito unidades que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.

Ainda esclarecem que o material contido no caderno é disponibilizado aos professores, mas

os docentes devem explorar cada conteúdo de forma mais adequada, simplificando ou

incrementando o material apresentado, utilizando-se de outras fontes de saber, sempre

visando à adequação dos conteúdos que devem ser aprendidos e o interesse dos alunos pelo

tema apresentado.

Nos Cadernos também são apresentadas situações de aprendizagem e, sempre que

possível, textos, softwares, sites, vídeos entre outros que podem auxiliar no enriquecimento

das aulas, sempre que o professor julgar conveniente.

89

O conteúdo de Trigonometria é abordado nos cadernos de apoio da SEE/SP: no 4°

bimestre do 8° ano do EF, nos 3° e 4° bimestres do 9° ano do EF, no 4° bimestre da 1a série

do EM, no 1° bimestre da 2a série do EM e no 3° bimestre da 3

a série do EM.

A abordagem desse material está pautada no Caderno do Professor para todas as séries,

visto que esse documento disponibiliza um maior número de informações que podem

auxiliar o professor no processo de ensino de trigonometria aos alunos.

No 4° bimestre do 8° ano do EF, a Trigonometria é abordada apenas na Situação de

Aprendizagem 3 - O Teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos. Nesse

caderno, o Teorema de Pitágoras é apresentado e são utilizadas comparações entre a

matemática aplicada pelos egípcios e a matemática abstrata dos gregos, fortalecendo tanto o

papel da história quanto o da modelagem. Os cadernos relativos a esse ano propõem,

inicialmente, um debate entre os alunos, para que estes exponham seus conhecimentos

sobre Pitágoras e Tales para depois disponibilizar atividades que combinem combine o

resgate da história da Matemática, com a resolução de problemas em uma única abordagem

de ensino.

O uso das malhas quadriculadas é predominante nas atividades desse módulo, como por

exemplo, a duplicação da área de um quadrado, padrões de sequências numéricas, o

triângulo 3, 4, 519

, propriedades do triângulo 3, 4, 5, aplicações de conceitos aprendidos

anteriormente, ternos pitagóricos, paradoxo das demonstrações apoiadas unicamente em

figuras construídas sobre malhas, o uso dos termos algébricos nas demonstrações,

demonstração algébrica do Teorema de Pitágoras, aplicações do Teorema de Pitágoras,

cálculo do perímetro de uma figura plana, além da história da Matemática.

No que tange à avaliação, cabe ao professor aplicar atividades em que sejam possíveis

aos alunos analisarem uma situação e argumentarem em uma demonstração, assim como o

19

Triângulo 3, 4, 5 - 3, 4 e 5 é a terna pitagórica que representa o menor triângulo retângulo com dimensões

inteiras.

90

reconhecimento de situações-problema que são resolvidas pela aplicação do Teorema de

Pitágoras.

Há recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do

tema: Os autores indicam algumas obras, como: Descobrindo padrões pitagóricos, Vivendo

a Matemática, Descobrindo o Teorema de Pitágoras, Temas e problemas elementares, O

último Teorema de Fermat, 20.000 léguas Matemáticas.

No 3° bimestre do 9° ano do EF, são introduzidos os conteúdos: semelhança de

triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e razões

trigonométricas de um ângulo agudo.

Na Situação de Aprendizagem 1 - Semelhança entre figuras planas o conceito de que a

semelhança entre figuras pode ser obtida é introduzido, utilizando-se a ampliação ou

redução de suas medidas. Também afirma que conceitos já abordados anteriormente devem

ser revisitados como a ideia de escala e a razão entre duas medidas de mesma natureza. O

caderno de apoio também afirma que "para que duas figuras planas sejam semelhantes, é

preciso que sejam obedecidas duas condições: as medidas angulares de uma ou outra ser

correspondentemente iguais e as medidas lineares correspondentes guardarem uma

proporcionalidade." (SÃO PAULO, 2009b, p.11)

A situação de aprendizagem 1 - Semelhança entre figuras planas, atividade 1

(Ampliação/redução: o que se altera e o que não se altera) em seus diversos problemas,

explora a semelhança entre figuras planas quando obtidas por ampliação/redução, além de

mostrar que tais semelhanças podem ser melhor visualizadas quando a malha quadriculada

é utilizada.

A atividade 2 Razão de semelhança, em um de seus problemas, utiliza 2 figuras

semelhantes em um feixe de retas paralelas, mostrando que os ângulos das figuras são

congruentes e as dimensões lineares são proporcionais.

91

A atividade 3 - Ampliações e reduções: perímetros e áreas, inicia um trabalho com

perímetros e áreas a partir de ampliações e reduções, utilizando também as malhas

quadriculadas.

A atividade 4 - Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada,

retoma os conceitos utilizados na atividade 2, porém ampliando os conhecimentos de

figuras planas para prismas.

A atividade 5 - Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações, aqui o material

de apoio, começa a abordar os conceitos do Teorema de Tales.

Os autores ainda sugerem o que deve ser utilizado nas avaliações da aprendizagem dos

conteúdos desse módulo do caderno de apoio: proporcionalidade (dimensões lineares) e

congruência (ângulos). E argumentam:

Ao elaborar as etapas de avaliação, o professor deve, portanto, balizar-se em um

percurso semelhante, isto é, criar situações em que os alunos possam, de fato,

desenhar sobre malhas quadriculadas, enfrentando também problemas que

extrapolam o contexto matemático. (SÃO PAULO, 2009b, p. 20)

Na Situação de aprendizagem 2 Triângulos: um caso especial de semelhança, os

autores destacam a ideia de "rigidez" (não é possível alterar a medida dos ângulos internos

sem alterar as medidas lineares) do triângulo. Dessa forma, a única condição para existir

semelhança entre dois triângulos é a congruência entre seus ângulos internos

correspondentes; a proporcionalidade entre as dimensões dos lados, é mera consequência, e

não exigência como nos outros polígonos.

Os autores desta unidade de apoio enfatizam a importância dos alunos reconhecerem as

propriedades e justificarem-nas com sua correta nomenclatura: ângulos correspondentes,

alternos, opostos pelo vértice etc.

Na atividade 1 - Triângulos semelhantes: reconhecimento, problema 1 - nesse problema

é solicitado que os alunos desenhem dois triângulos semelhantes, sabendo que um dos

92

triângulos possui dois ângulos internos de 45° e o outro triângulo possui um lado medindo

4 unidades e o outro lado medindo 6 unidades. Nos demais problemas, é solicitado: que os

alunos indiquem os valores dos ângulos, dadas duas retas paralelas e uma transversal; que

seja dada uma justificativa para a congruência entre os ângulos (opostos pelo vértice,

alternos internos, alternos externos, correspondentes) e finalmente é pedido que os alunos

indiquem os valores de alguns ângulos, dados dois triângulos semelhantes: ABC e ADE.

Atividade 2 - Triângulos semelhantes: contexto e aplicações. Os problemas relativos a

esta atividade estão ligados à importância da congruência entre os ângulos internos dos

triângulos semelhantes. Como por exemplo: indicar os ângulos internos dos triângulos e as

medidas dos lados de ambos os triângulos, reconhecer a proporcionalidade entre as

dimensões de uma figura que possui algumas ruas formando triângulos e quando necessário

encontrar alguma distância relativa ao tamanho de uma das ruas. Utilizar instrumentos:

régua e transferidor e indicar os valores das medidas de alguns segmentos, além de um

problema em que é solicitado que o aluno obtenha o valor numérico da dimensão de uma

viga recém-posicionada em um telhado.

Atividade 3 - Semelhanças: cordas , arcos e ângulos. Neste bloco de problemas, são

utilizadas circunferências, arcos e cordas. Em um dos problemas, é solicitado que os alunos

identifiquem os ângulos correspondentes da figura, utilizando-se da proporcionalidade entre

os lados e que validem uma relação dada. Em outro problema, é solicitado que seja

indicado o valor da distância entre o ponto de intersecção de duas cordas e um ponto que

pertence à circunferência. Em outros problemas, são usadas as considerações sobre cordas e

circunferências e são solicitados que sejam encontrados os seguintes dados: ângulos

internos, proporção entre medidas e validação de uma relação, e valor numérico de uma

distância.

Nas considerações sobre as avaliações, os autores ressaltam que o caderno de apoio é

apenas um percurso de trabalho, porém caberá ao professor definir a escala que julgar

apropriada para a avaliação de seus alunos.

93

Na situação de aprendizagem 3 - Relações métricas nos triângulos retângulos; Teorema de

Pitágoras é indicada uma retomada desse aprendizado, já que esse conteúdo foi visitado no

4° bimestre do 8° ano do EF. Os autores indicam as "trilhas" que devem ser utilizadas pelos

alunos: observação e aplicação de regularidades, além de generalizações de propriedades a

partir do raciocínio indutivo, evitando fórmulas prontas.

Na atividade 1 - Triângulos retângulos: métrica e semelhança, os problemas são

utilizados para que sejam reconhecidas as principais dimensões (lados do triângulo: catetos

e hipotenusa), e seus respectivos ângulos. Neste bloco de problemas, a malha quadriculada

é utilizada como suporte ao aprendizado dos alunos, sendo solicitado que estes: escrevam

as proporções entre as medidas dos lados correspondentes e ainda que verifiquem que o

quadrado da altura é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a

hipotenusa. Além disso, os autores começam a introduzir conceitos para que os alunos

possam se apropriar, como: h² = m * n, a² = c * n e b² = c * m, visto isso, os autores

chamam a atenção para o fato de que quando adicionamos (membro a membro) as

igualdades: a² = c * n e b² = c * m, obtemos a Relação de Pitágoras: a² + b² = c². No

problema 7, verifica-se que existe apenas o enunciado do problema, cabendo ao aluno

transformar as informações que se apresentam em linguagem materna em um desenho,

cujas análises possam ser efetuadas com maior facilidade e as distâncias solicitadas

encontradas. E no problema 8, os estudantes precisam reconhecer na figura dada (um

triângulo), os conceitos aprendidos nos problemas anteriores.

Na atividade 2 - Pitágoras: significado, contextos, os autores indicam que:

O Teorema de Pitágoras relaciona as medidas de triângulos retângulos à área do

quadrado construído, tendo como lado a hipotenusa a, é igual à soma das áreas

dos quadrados construídos, tendo como lados os catetos b e c:

a² = b² + c² (SÃO PAULO, 2009b, p. 36)

94

Figura 15 - Relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo

FONTE: (SÃO PAULO, 2009b, p. 36)

Na sequência, são apresentados diversos problemas para que os alunos utilizem os

conceitos aprendidos do Teorema de Pitágoras, como exemplo, um triângulo retângulo

isósceles que está inscrito em uma circunferência. Deve-se encontrar a medida dos lados

desse triângulo (catetos). Narrativas também fazem parte do módulo, para solicitar o

cálculo da distância entre duas pessoas (deve-se utilizar o Teorema de Pitágoras).

Problemas do cotidiano também são utilizados: na narrativa que informa a necessidade de

fixar duas barras rígidas à estrutura de um portão para que esse tenha maior firmeza, o

enunciado do problema informa o comprimento da barra a ser fixada e questiona, se o

material existente será suficiente para a conclusão do serviço. Além dos exemplos de

problemas citados, outros problemas são apresentados aos alunos, utilizando exemplos do

cotidiano e narrativas para responder às questões que envolvem Teorema de Pitágoras.

Atividade 3 - Relações métricas em triângulos retângulos: composição e

decomposição. Nessa atividade, o foco principal está na composição e decomposição de

triângulos retângulos de forma a obter relações métricas e utilizá-las para resolver questões

como calcular áreas, comparar áreas de figuras diferentes, calcular alturas.

As considerações sobre a avaliação indicam a importância do assunto e a necessidade

do professor propor novas situações de aprendizagem, para que os alunos se apropriem das

relações anteriormente exploradas.

95

Situação de aprendizagem 4 - Razões trigonométricas dos ângulos agudos, os autores

sugerem alternativas para o trabalho de apresentação das razões trigonométricas nos

triângulos retângulos.

A Atividade 1 - Ângulo de elevação: contexto e estimativas. Nesta atividade, é sugerida

uma sensibilização dos alunos para que eles consigam estimar com uma maior precisão

medidas de ângulos de elevação, além de introduzir noções de razões trigonométricas de

um ângulo agudo. Num primeiro momento de sensibilização são utilizadas narrativas que

incluem dados sobre estradas brasileiras e valores máximos para a inclinação delas sempre

de acordo com o volume de tráfego. O caderno de apoio ainda propõe uma atividade de

levantamento de dados a respeito dos ângulos de inclinação de ruas, cabendo ao professor

reunir as informações e discutir com os alunos a questão, e sabendo que o resultado da

experiência realizada por eles também pode ser obtido, utilizando-se as razões

trigonométricas, aprofundando ainda as razões seno e tangente. Os problemas dessa

unidade abordam inclinação percentual de ruas, telhados.

A atividade 2 - Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis. É proposto que o

professor auxilie os alunos na construção de um teodolito e indica os materiais necessários

e a forma como o teodolito deve ser construído. Nos problemas apresentados no módulo em

questão, o teodolito é utilizado para encontrar o ângulo de elevação e conhecida uma

dimensão, por exemplo, a altura de uma árvore é pedido que o aluno encontre a distância

entre o aluno e a árvore. Em outro problema, é solicitado que o aluno encontre a altura de

um objeto quando não se tem acesso à medida da base. Outro problema, da mesma forma

pede que seja calculada: a largura de uma rua e ainda um outro, as distâncias entre dois

pontos inacessíveis.

Atividade 3 - Uma tabela de cordas, ou de senos. Nesta atividade, os autores

utilizaram-se da História da Matemática para contar que a primeira tabela trigonométrica

foi construída na Grécia antiga. Esta atividade não se faz presente no Caderno do Aluno e o

professor decide se deve apresentar a atividade aos seus alunos. O caderno de apoio do

96

professor, ainda propõe que os alunos construam uma tabela de senos de forma similar à de

Hiparco. Para essa atividade foi proposto um problema que também mostra a forma de

calcular distâncias inacessíveis.

As considerações sobre a avaliação indicam:

Nessa medida, as avaliações previstas para o período de estudo devem levar em

consideração as diversas atividades práticas realizadas pelos alunos, de modo que

o quadro da avaliação final seja composto, em boa parte, por esse tipo de

atividade.. (SÃO PAULO, 2009b, p. 51)

Nas orientações para recuperação, os autores propõem que, durante o período de

recuperação, sejam contempladas as atividades que envolvam as malhas quadriculadas

(situação de aprendizagem 1), identificação de ângulos congruentes em triângulos

semelhantes e aplicando outros problemas representados em malhas quadriculadas

(situação de aprendizagem 2), retomada de conceitos (situação de aprendizagem 3),

e,finalmente a tomada de medidas de comprimento e de ângulos em situações do cotidiano

(situação de aprendizagem 4).

Além de todas as orientações já comentadas, o Caderno do professor inclui um rol de

recursos que pode ser utilizado para ampliar a compreensão do conteúdo por parte do

professor e do aluno, além de outras considerações finais, como a recomendação da atenção

redobrada que o professor deve ter ao destacar as diversas relações entre os significados

conceituais.

No Caderno do Professor, 4° bimestre, 9° ano, EF, a Trigonometria é retomada na

Atividade 7 - Problemas envolvendo o cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras. Os

autores indicam a possibilidade da exploração da relação a² = b² + c² em outras figuras além

do quadrado. Tais possibilidades são demonstradas com a utilização de círculos, setores

circulares, inscritos nos quadrados que remetem ao Teorema de Pitágoras. Ademais,

apresentam "As lúnulas de Hipócrates", contando um pouco dessa história e,

posteriormente, apresentam a construção e a demonstração do fato de que a soma das áreas

de duas "lúnulas" era igual à área do triângulo retângulo.

97

No 4° bimestre da 1a série do EM, é retomado o ensino da trigonometria associado ao

estudo da Geometria, por meio das razões trigonométricas. É um momento de consolidação

de conteúdos, utilizando-se da contextualização em situações práticas diferenciadas.

Situação de aprendizagem 1 - Rampas, cordas, parsecs - razões para estudar triângulos

retângulos. É o momento da consolidação de noções de tangente, seno e secante de um

ângulo agudo. Para explicitar tal conteúdo são utilizadas: a ideia de inclinação para a

tangente e a razão entre cordas e raios de um arco de circunferência para o seno e a secante.

No Caderno do Professor, antes de serem iniciadas as primeiras atividades, é abordado

o tema A inclinação da rampa e a tangente. É um primeiro passo na direção ao

entendimento dos significado de tangente. O exemplo ilustrativo indica as distâncias

percorridas por uma pessoa em uma rampa, quando comparadas com as distâncias

existentes no eixo horizontal. É introduzido também o ângulo de inclinação da rampa, e

esta é comparada a um triângulo retângulo. Além disso, o material de apoio tece algumas

considerações sobre inclinações de ruas e estradas conforme política do DNIT20

.

Após esse primeiro momento de retomada de conteúdos, são apresentadas aos alunos as

primeiras atividades que abordam os temas previamente discutidos, como rampas,

distâncias e ângulos.

O segundo tema abordado é: Triângulos nas estrelas: as tabelas de cordas e senos.

Nesse momento, é retomado o conteúdo da 9° ano do EF, quando foram construídos os

conceitos de seno, cosseno e tangente abordados no capítulo, prevalecendo uma visão

histórica dos cálculos astronômicos relacionados à posição e ao movimento das estrelas, e

complementa com a tabela de cordas de Hiparco de Niceia que viria a dar origem à noção

de seno. As tabelas fornecem os valores das razões R

C entre o comprimento c de cordas

traçadas em uma circunferência e o raio R da circunferência, conteúdo anteriormente

20

Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes

98

abordado no 3° bimestre do 9° ano do EF. Nas atividades seguintes, é solicitado que o

aluno: calcule o comprimento de cordas, a razão entre a semicorda e o raio, determine os

ângulos centrais correspondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são senos,

e calcule o raio de uma circunferência.

Na terceira abordagem: A secante de um ângulo, inicia-se com uma explicação do que é

uma secante, que significa: cortar e exemplifica quando uma reta é secante a uma

circunferência, ainda retoma os conceitos das razões trigonométricas seno, cosseno e

tangente. Nas atividades seguintes, é solicitado que o aluno com base na reflexão proposta

pelos autores chegue a algumas conclusões, como por exemplo: cossen ,

²sec²1 tg etc.

A quarta abordagem: Distâncias astronômicas: das cordas ao parsec é explicado o que

é paralaxe, o que são unidades para distâncias interestelares (é a distância que corresponde

a um ângulo de paralaxe de 1", que também é conhecida como parsec). Após várias

abordagens e um exemplo ilustrativo são retomadas as atividades, nas quais os alunos são

questionados: ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1 para uma distância dada?

Quantos parsec correspondem 1 UA21

? Quantos anos-luz correspondem a 1 parsec?

Considerações sobre a avaliação, para os autores, foi um momento de retomada das

razões trigonométricas fundamentais e, para eles, cabe ao professor, aprofundar as

explicações quando se fizerem necessárias a fim de preencher lacunas existentes no

aprendizado dos estudantes.

Situação de Aprendizagem 2 - Dos triângulos à circunferência - Vamos dar uma volta?

Nesta situação de aprendizagem, os autores introduzem características aplicáveis às razões

trigonométricas como ângulos maiores do que 90°, de forma a obter seno, cosseno,

tangente etc., para ângulos de qualquer medida. O caderno de apoio mostra, utilizando-se

21

UA - Unidade Astronômica

99

de ilustrações, em qual intervalo encontram-se os senos e os cossenos de ângulos

localizados nos: I, II, III e IV quadrantes, além de utilizar um exemplo ilustrativo que

disponibiliza um círculo trigonométrico com os ângulos: 45°, 135°, 225° e 315° e uma

tabela que associa esses ângulos e os valores numéricos do seno de seus respectivos

ângulos. Os senos e cossenos dos ângulos que limitam os quadrantes também são tratados

neste documento, indicando os valores numéricos de senos e cossenos dos ângulos: 0°, 90°,

180°, 270°, 360°. A abordagem das atividades introduzidas solicita que o aluno calcule o

seno de alguns ângulos dados, construa uma tabela com os valores numéricos das seis

razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec, cossec), identifique os segmentos que

representam a tangente e a secante, calcule o seno e cosseno de diversos ângulos, calcule o

comprimento da circunferência, complete uma tabela que associa: ângulo, arco e corda.

Considerações sobre a avaliação, para os autores:

É imprescindível, no entanto, que os alunos tenham assimilado com naturalidade

o fato de que as razões trigonométricas podem ser calculadas de modo

significativo para ângulos de 0° a 360°. Para tanto, é preciso que sejam

conhecidos os valores das razões para ângulos notáveis, como 30°, 45°, 60° 90°,

180°, 270° e 360°, e que saiba reduzir o cálculo das razões para um ângulo α

qualquer ao cálculo das razões para um ângulo agudo, por meio de relações

simples como, por exemplo, sen (180° - α) = sen α. (SÃO PAULO, 2009d, p.30)

Na Situação de aprendizagem 3 - Polígonos e circunferências - Regularidades na

inscrição e na circunscrição, o caderno de apoio inicia-se com a abordagem do assunto

Ângulos Notáveis em Polígonos Regulares inscritos. Os autores afirmam que todos os

polígonos regulares podem ser inscritos em uma circunferência, portanto todos os vértices

desse polígono podem pertencer a uma mesma circunferência, que é chamada de

circunferência circunscrita ao polígono. Utilizando-se de figuras, os autores indicam os

valores em graus dos ângulos centrais de três polígonos: triângulo, quadrado e hexágono, e

amplia esse estudo para qualquer polígono afirmando que a medida do ângulo central

correspondente ao lado é igual a n

360.

100

Figura 16 - Ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.31)

A partir deste raciocínio, os autores observam que: "a soma de duas metades do ângulo

interno com o ângulo central deve ser igual a 180°", conforme a tabela a seguir:

Figura 17 - Polígono x Valor em graus dos ângulos central e interno

FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.32)

Os autores se utilizam de analogia em relação ao assunto abordado anteriormente e, por

meio de figuras, exploram as disposições dos polígonos inscritos em uma mesma

circunferência, como o triângulo, quadrado e o hexágono, e ainda afirmam que o valor

101

numérico do ângulo externo de um polígono regular é igual ao valor numérico do ângulo

central. A partir de tais informações, uma nova bateria de atividades é apresentada, como

por exemplo: descobrir se em um polígono regular existe um ângulo externo igual a um

ângulo interno, se um ângulo interno é igual ao dobro do externo, e se ângulo central é

igual ao ângulo interno.

Inscrevendo polígonos na circunferência: Os autores retomam a relação entre cordas e

raios, utilizando uma figura e a seguinte relação: 2

)2

(x

sen

, e concluem que o valor

numérico do lado de um polígono regular inscrito em uma circunferência é igual a:

)2

(2

RsenL . Apresentam também uma tabela com exemplos ilustrativos e de forma

análoga, mostram novamente utilizando figuras qual o valor do lado de um polígono

circunscrito )2

(2

RtgL . Novas atividades são lançadas para que os alunos respondam,

como por exemplo: calcular o valor numérico dos lados de um polígono de n lados (valores

dos lados definidos na atividade) inscritos e circunscritos na circunferência, pergunta-se

qual a diferença percentual entre o perímetro de um dado polígono e o comprimento de sua

circunferência, em quantos por cento a área de um polígono circunscrito supera a área do

círculo correspondente?

Considerações sobre a avaliação - os autores argumentam que a inscrição e

circunscrição de polígonos em circunferências servem como pretexto para consolidar as

relações entre a Geometria e Trigonometria e indicam quais os conteúdos fundamentais dos

quais os alunos devem ter se apropriado: calcular elementos básicos dos polígonos inscritos

e circunscritos em uma circunferência, ou seja: ângulo central, ângulos interno e externo,

perímetro e área.

Situação de aprendizagem 4 - A hora e a vez dos triângulos não retângulos - Nessa

situação de aprendizagem são abordadas a Lei dos senos e a Lei dos cossenos.

102

Dos triângulos retângulos a qualquer triângulo - Os autores iniciam esse tópico,

relembrando algumas relações já abordadas anteriormente, como o teorema de Pitágoras e a

relação seno de um ângulo. Empregando a figura a seguir, os autores afirmam por exemplo

que c² > a² + b², e que o maior lado de um triângulo qualquer sempre se opõe ao maior

ângulo e vice-versa, mas, não é verdade que, se a medida de um ângulo dobrar, a medida do

lado também dobrará.

Figura 18 - Triângulo qualquer


Entretanto, existe uma proporcionalidade entre os lados e os ângulos opostos a esses

lados, indicada por sen

c

sen

b

sen

a . Essa relação é conhecida como Lei dos Senos.

As atividades seguintes justificam essa relação, ao solicitarem que os alunos: mostrem que

um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do ângulo central, e

que mostrem que as proporções: sen

c

sen

b

sen

a são válidas, indiquem se um

triângulo de dimensões 5m, 6m e 10m é retângulo, se ao dobrarmos as dimensões dos três

lados os ângulos são alterados, se é possível dividir o lado de 6m ao meio e construir um

triângulo de lados 5m, 3m e 10m, e perguntando a razão entre o seno do ângulo oposto ao

lado de 5m e o seno do ângulo oposto ao lado de 10m, calcular a medida de um ângulo em

graus dada uma figura que contém: a corda e o diâmetro da circunferência.

Ampliando o teorema de Pitágoras: Lei dos Cossenos - Partindo do teorema de

Pitágoras, ampliando os conhecimentos e identificando os lados de um triângulo com o uso

dos senos e cossenos, os autores deduzem uma relação conhecida como Lei dos Cossenos:

cos*2²²² abbac . Após a dedução são fornecidos exemplos ilustrativos e

novamente são propostas atividades aos alunos como: fornecidos alguns dados, é

103

questionado se o triângulo é retângulo, calcular o seno e o cosseno de um ângulo,

demonstrar uma relação dada, calcular a resultante de duas forças.

Considerações sobre a avaliação - É esperado que o aluno tenha compreendido: Lei dos

Senos e dos Cossenos.

Orientações para recuperação - explorar as relações métricas no triângulo retângulo,

concentra-se nas razões fundamentais (sen, cos, tg), na redução de ângulos ao primeiro

quadrante, explorar as significações da razão seno em todos os quadrantes antes do

aprofundamento de outras razões trigonométricas, utilizar polígonos mais simples

(quadrado por exemplo), explorar elementos estéticos associados à inscrição e à

circunscrição, demonstrar que a razão entre os catetos e os senos correspondentes é

constante, explorar um triângulo qualquer observando que o maior lado sempre se opõe ao

maior ângulo, destacar que grandezas inter-relacionadas nem sempre são diretamente

proporcionais.

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do

tema - Os autores sugerem sites como o Cepa e Wikipedia, além de artigos para auxiliar a

compreensão do assunto por parte dos professores e alunos.

No 1° bimestre da 2a série do EM, os autores observam que a Trigonometria estudada

nessa série é a que estabelece ligação entre o eixo Geometria e Medidas

(proporcionalidade) e o eixo Números e Funções (periodicidade de determinados

fenômenos).

A ideia de proporcionalidade é apresentada no estudo das relações métricas em um

triângulo retângulo e noções de semelhança entre triângulos que são a base para a aplicação

das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Para o estudo da periodicidade, foi

criado um modelo matemático que amplia e dá movimento à ideia de regularidade, da

representação de um padrão. Dessa forma, as funções trigonométricas podem ser

104

apresentadas a partir de experimentos reais ou de pensamentos, para que os alunos

percebam a necessidade do estudo de tais conteúdos.

Na situação de aprendizagem 1 - O reconhecimento da periodicidade, os autores

afirmam que as funções mantêm as características de dependência entre as grandezas

envolvidas e complementam que apesar de existir a possibilidade das funções

trigonométricas nos auxiliarem na modelagem de uma gama imensa de fenômenos

periódicos , é com baixa frequência que estes se apresentam, contextualizados nos materiais

didáticos, ficando as razões senos, cossenos e tangentes restritas aos cálculos de valores

numéricos dos arcos notáveis e seus côngruos. E concluem: "a maior motivação pelo estudo

das funções trigonométricas deve ser o reconhecimento de que são necessárias para a

modelagem de fenômenos periódicos". (SÃO PAULO, 2009e, p.13).

Os autores descrevem o movimento do nascer ao por do sol, explicando que no verão a

inclinação do percurso do sol em relação à linha zenital22

é menor do que no inverno, e que

o comprimento das sombras também sofre variações durante o horário do dia, inclusive a

sombra máxima ocorre no solstício23

de inverno.

Na atividade 1, os autores sugerem que os alunos imaginem o acompanhamento do

comprimento da sombra de uma estaca por dois anos, sendo que os valores relativos ao

comprimento da sombra foram registrados em uma tabela. A tarefa para os alunos seria

refletir sobre o formato desse gráfico e desenhá-lo. Após esse primeiro momento, o

professor deveria promover uma discussão, na qual os alunos pudessem reconhecer que a

periodicidade pode ser traduzida por um gráfico no formato aproximado de uma onda. Os

autores lançam o seguinte questionamento: “Como podemos traduzir este tipo de gráfico

por uma equação matemática?” (SÃO PAULO, 2009e, p.15)

22

zenite - o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte

23 solstício de inverno - início do inverno (21 de junho)

105

A partir da questão proposta anteriormente, os autores sugerem que os professores

comentem com seus alunos que as "ondas" visualizadas nos gráficos podem estar

associadas às funções seno e cosseno, e que estas estão relacionadas com as razões

trigonométricas seno ou cosseno. Abrindo um pouco mais o "leque" de possibilidades, o

professor pode inserir alguns conceitos importantes, como: período (comprimento de onda),

e amplitude (distância entre as posições extremas de um objeto ou de um fenômeno),

solicitando aos alunos que identifiquem no gráfico o período e a amplitude. Os autores

ainda destacam a importância do trabalho de reconhecimento de que é possível a utilização

de parâmetros matemáticos na descrição da periodicidade presente nos fenômenos.

Ainda nesta mesma situação de aprendizagem, é abordada a questão das sombras

longas. Os alunos podem imaginar a sombra de uma estaca vertical por alguns dias e podem

realizar o registro dos comprimentos verificados em função das horas do dia. O aluno deve

perceber que ao nascer do sol, o comprimento da sombra é maior e esta vai se reduzindo até

um valor mínimo que deve ser encontrado por volta do meio-dia, e após o professor

explicar esse fenômeno, o caderno de apoio orienta que este solicite aos alunos que

construam um gráfico cartesiano que mostre a evolução do comprimento da sombra da

estaca durante a passagem de um determinado tempo. Caberá ao professor, então, explicar

o que motivou a diversidade da representação gráfica, inclusive comentando a

descontinuidade que pode estar presente em algumas atividades e que ocorre em alguns

fenômenos periódicos. Na presente atividade, a função periódica representada é a tangente,

ou a cotangente.

Considerações sobre a avaliação, os autores sugerem que os professores considerem a

construção dos gráficos e o reconhecimento de períodos e amplitudes.

Situação de aprendizagem 2 - A periodicidade e o modelo da circunferência

trigonométrica - Os autores abordam a temática associando o fenômeno a um ponto,

girando sobre uma circunferência, e as medidas das projeções desse ponto são os valores

das funções trigonométricas associadas a arcos percorridos pelo ponto, portanto, é proposta

106

para esta situação de aprendizagem a construção do modelo da circunferência

trigonométrica.

Valendo-se da atividade anterior (movimento do sol), esse é comparado com o

movimento de um ponto sobre uma circunferência centrada no sistema de eixos cartesianos.

O caderno de apoio reproduz uma sequência de figuras ilustrativas que auxiliam o aluno

nessa comparação. Na atividade seguinte, é solicitado que o aluno preencha uma tabela

associando o ângulo de elevação do sol em relação ao eixo horizontal com a medida

aproximada da projeção no eixo vertical. Os autores deixam claro que a apropriação desse

conteúdo, por parte do aluno, será referente aos seguintes aspectos: medidas das projeções

verticais escritas em frações de raio, aproximações em décimos das medidas das projeções,

medida do ângulo não proporcional à medida da projeção etc.

Em uma atividade seguinte, é solicitado que o aluno desenhe um gráfico que contenha

os dados da tabela construída anteriormente (ângulos - eixo horizontal e medidas de

projeção - eixo vertical), de forma que estes possam reconhecer o formato de onda; em

outra atividade é pedido que o aluno complete uma tabela e posteriormente desenhe o

gráfico que representa a relação entre a medida do ângulo de elevação do sol e a medida da

projeção sobre o eixo horizontal e caberá ao professor chamar a atenção dos alunos para

alguns fatos, como por exemplo, projeção vertical do ângulo de 60° = projeção horizontal

do ângulo de 30°. Além disso, caberá ao professor relacionar o modelo apresentado nas

citadas atividades com o conhecimento anterior sobre as razões trigonométricas.

Na atividade 4, é solicitado que o aluno construa uma circunferência trigonométrica que

contenha os ângulos notáveis e seus simétricos, desenhe uma tabela que estabeleça as

relações entre os ângulos, senos e cossenos, além do desenho em um sistema de eixos

cartesianos das funções: y = senx e y = cosx.

Apresentando os radianos. É o momento para que as medidas de arcos em radianos,

assim como as transformações de radianos em graus e vice-versa, sejam apresentadas aos

107

alunos. Os autores discutem a relação D

C, e abordam a temática afirmando que o

radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência.

A partir desse aprendizado, os alunos podem resolver as atividades 5, 6, 7, 8 e 9, que

abordam medidas de arcos em graus e em radianos, comparações entre arcos, conversão de

graus em radianos, e, para complementar o percurso do aluno nesse aprendizado

trigonométrico, os autores ainda sugerem a resolução de equações trigonométricas como:

senx = k, definidas em R e em intervalos definidos, utilizando-se da forma algébrica, assim

como da forma gráfica para resolver o problema.

Importante ressaltar que nesse caderno de apoio, os autores não apresentam os arcos

com extremidades finais negativas (giro no sentido horário), porém destacam a importância

da abordagem desse conteúdo para que ao menos os estudantes saibam da existência desse

tipo de arco.

Considerações sobre a avaliação: Para os autores, o professor deve avaliar a capacidade

dos alunos no que se refere a:

Identificar a posição da extremidade final de um arco medido em graus;

Identificar a posição da extremidade final de um arco medido em radianos;

Converter para radianos uma medida de arco expressa em graus;

Obter a menor determinação positiva de um arco qualquer;

reconhecer as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das funções

y = senx e y = cosx;

Resolver funções trigonométricas simples. (SÃO PAULO, 2009e, p.34)

Os autores ainda destacam a priorização de questões de caráter conceitual, em

detrimento daquelas com passagens algébricas além do necessário.

Situação de aprendizagem 3 - Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e

cossenos - Os autores afirmam que vários fenômenos periódicos podem sem modelados

utilizando-se funções trigonométricas. Dessa forma, é necessário que os alunos saibam

desenhar gráficos de funções a partir de uma equação e vice-versa. No módulo, os autores

108

apresentam apenas as funções seno e cosseno, deixando para segundo plano os gráficos das

demais funções. Nesta situação de aprendizagem são sugeridos vários tipos de percurso:

Percurso 1 - Construção do gráfico a partir de tabela de valores, nesse percurso, os

autores sugerem que os gráficos sejam construídos, introduzindo-se uma constante por vez

e que inicialmente seja utilizado o papel quadriculado para o desenhar dos gráficos, como

exemplo, os alunos podem desenhar os gráficos: y = senx e y = 2senx, no mesmo plano

cartesiano. A partir desse aprendizado, os autores introduzem algumas atividades para os

alunos responderem, tais como completar tabelas e construir gráficos, por exemplo: y =

senx e y = 1,5senx, y = cosx e y = 3cosx. Além disso é solicitado que o estudante reflita

sobre a relação observada no gráfico e indique a diferença entre os gráficos: y = senx e

y=Asenx.

Em outro exemplo, os autores apresentam outra formação da função trigonométrica: y =

AsenBx e y = AcosBx, e sugerem que o professor construa os gráficos de y = senx e y =

2sen2x no mesmo plano cartesiano para uma melhor compreensão dos alunos.

Percurso 2 - Construção de gráficos com o auxílio de um software - Neste momento, o

professor pode disponibilizar para seus alunos um software para a construção dos gráficos

de funções trigonométricas, caso exista essa possibilidade: recursos materiais e técnicos.

Para esse percurso, são utilizadas funções similares as apresentadas anteriormente.

Percurso 3 - Gráficos trigonométricos em função do tempo, neste percurso, os autores

afirmam:

Fenômenos periódicos são aqueles que se repetem a cada intervalo determinado

de tempo, mantendo suas características básicas. Se quisermos analisar os

fenômenos periódicos e, se possível modelá-los, não podemos deixar de

considerar as funções nas quais uma grandeza varia periodicamente em função do

tempo. (SÃO PAULO, 2009e, p. 47)

109

Em um exemplo, dada a função y = senBx, é solicitado: o Domínio, a Imagem e o

Período. Em outra atividade é pedido que os alunos desenhem um gráfico cartesiano

representativo de uma equação.

Considerações sobre a avaliação: os autores sugerem que as atividades deste módulo

sejam utilizadas em avaliações, assim como caso o professor utilize algum software na

construção de gráficos, que este utilize as fichas de acompanhamento.

Situação de aprendizagem 4 - Equações trigonométricas: para essa situação de

aprendizagem, os autores selecionaram quatro fenômenos periódicos que podem ser

modelados. São eles: período de claridade de uma cidade, pressão sanguínea, temperatura e

o fenômeno das marés.

Atividade 1 - Cálculo do período de claridade de uma cidade - os autores afirmam que

a inclinação do eixo de rotação da Terra é a responsável pela quantidade de sol recebida por

uma cidade no período de um ano e que em cidades mais próximas da linha do Equador

esse fenômeno quase não é percebido, pois a claridade das cidades quase não é alterada

durante o ano, e que em regiões mais afastadas da linha do Equador, o verão é claro e os

dias são longos, enquanto que nos invernos, a situação é invertida. A partir dessa

apresentação, são seguidas algumas atividades que os alunos devem responder.

Atividade 2 - A periodicidade da pressão sanguínea - nesta atividade, os autores

informam que o gráfico constante no caderno de apoio representa a variação da pressão

sanguínea em mmHg nas paredes dos vasos sanguíneos em função do instante t (em

segundos), momento em que a medida da pressão foi efetuada. A partir da

contextualização, os estudantes devem responder a algumas questões efetuando a leitura de

dados constantes no gráfico apresentado na atividade.

110

Atividade 3 - A temperatura pode ser periódica? Os autores fornecem uma equação

trigonométrica que permite modelar as variações de temperatura. Um exemplo é fornecido

aos estudantes, além de uma contextualização de dados.

Atividade 4 - O fenômeno das marés - A ocorrência do fenômeno das marés está ligada

à conjugação da atração gravitacional entre Terra-Lua-Sol e a rotação da Terra em torno do

seu eixo, de forma que as águas do mar atinjam alturas máximas e mínimas. Os autores

ainda afirmam que quando Lua e Sol estão alinhados (Luas cheia ou Nova), as atrações são

somadas, ocorrendo as marés mais altas. Novamente os autores utilizam uma

contextualização que implicou em uma tabela de marés ocorridas em Recife entre os meses

de agosto/setembro de 2014.

Considerações sobre a avaliação: os autores, neste módulo, propõem que os professores

reflitam a respeito das habilidades necessárias aos alunos e que devem ser avaliadas, além

do questionamento a respeito de quais instrumentos podem avaliar as habilidades

selecionadas. Para os autores, os alunos devem mobilizar as seguintes habilidades:

Identificar a posição da extremidade final dos arcos notáveis na

circunferência, associando-os aos correspondentes valores de senos,

cossenos, tangentes e cotangentes.

Obter a menor determinação positiva de arcos medidos em radianos ou em

graus.

Representar os gráficos das funções trigonométricas e reconhecer suas

propriedades.

Determinar o conjunto solução de equações ou de inequações

trigonométricas, mesmo daquelas envolvidas por contextos não apenas

matemáticos. .(SÃO PAULO, 2009e, p. 55)

Os autores sugerem que o processo de avaliação dos estudantes seja efetuado de modo a

retratar as características desenvolvidas durante o processo de ensino.

Orientações para recuperação - Nesse momento, os autores sugerem uma rotina que

pode ser seguida pelos professores para atingir o desempenho esperado como, por exemplo,

construir novamente os gráficos das funções y = senx e y = cosx, discussão com os alunos a

respeito do modo de efetuar a conversão de graus em radianos e vice-versa etc.

111


tema: Nesse momento, os autores sugerem alguns materiais para que professores e alunos

se aprofundem um pouco mais no tema abordado neste caderno de apoio, como por

exemplo: Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, de Elon Lages Lima, RPM, n°6

etc.

O Caderno de apoio do 3° bimestre da 3a série de EM, possui como conteúdo básico a

ideia de função.

O objetivo do caderno de apoio é abordar as seguintes funções: funções de 1° grau, de

2° grau, exponencial, logarítmica, além das funções trigonométricas, destacando as

qualidades essenciais destas, de modo a favorecer a compreensão por parte dos alunos, a

respeito dos fenômenos da realidade. Apesar da importância de todas as funções no

contexto da Matemática, neste trabalho abordamos apenas o que foi enfatizado neste

caderno no que diz respeito às funções trigonométricas.

No caso das funções trigonométricas, vale destacar as funções y = senx, y = cosx e y =

tgx, que o cosseno de um arco x é o arco do seno complementar de x, e que todas as

propriedades da função seno podem ser deduzidas partindo-se da função seno.

Apresentação dos conteúdos e temas - O Caderno de apoio introduz as características de

uma função como variáveis dependentes e independentes e, a seguir, inclui alguns

exemplos, no caso das funções trigonométricas: o exemplo 7, onde uma bola oscila em

torno de uma mola e a distância x da bola até o ponto de equilíbrio depende do instante t

considerado, o exemplo ainda apresenta o gráfico dessa função trigonométrica.

A atividade 5 deste módulo é uma variação do exemplo citado anteriormente e solicita

que os alunos determinem: o valor da constante k da mola, o valor de x para t = 1s, t = 2s, t

= 3s e t = s3

10, além de construir o gráfico de k em função de t.

112

Considerações sobre a avaliação - Para os autores, tais situações apresentadas são

utilizadas como estratégia para a exploração de atividades consideradas exemplares.

Situação de aprendizagem 2 - Construção de gráficos: Um olhar "funcional" - Nesse

módulo, os autores abordam o tema funções utilizando-se de transformações como a

translação por exemplo.

No exemplo 2 desse módulo, há a representação gráfica da função trigonométrica f(x) =

2 + senx, descrita como a função y = senx, duas unidades para cima na direção do eixo y e

no exemplo 9, há a função f(x) = 3senx cujos valores de f(x) oscilam entre +3 e -3. No

exemplo 10, existe o gráfico da função f(x) = 3xsenx, em que os autores explicam o que se

deve imaginar no gráfico y = Asenx, e indica que ele oscilará entre as retas y = 3x e y = -

3x. A partir dos mencionados exemplos, os autores sugerem um rol de atividades para

serem executadas pelos alunos, no caso das funções trigonométricas, temos as atividades: 2

e 5 (parcial).

Considerações sobre a avaliação - Para os autores, espera-se que os alunos tenham

aprendido a traduzir situações de interdependência de forma a praticar a decomposição de

funções mais complexas em outras mais simples, assim como vislumbrar essas mesmas

funções utilizando-se de gráficos mais simples. Os autores ainda enfatizam que para que os

alunos obtenham tais habilidades são necessários que eles achem natural as transformações

como deslocamentos verticais e horizontais, assim como as inversões de sentido.

Situação de aprendizagem 3 - As três formas básicas de crescimento ou decrescimento:

a variação e a variação da variação.

Nessa situação de aprendizagem são aprofundados os seguintes conteúdos: visualização

das variações de grandezas, reconhecimento de pontos de máximo e mínimo, quando esses

existirem. Tais abordagens já ocorreram quando da introdução das funções de 1° e 2° graus,

113

e neste momento, as demais são analisadas introduzindo-se fatores de crescimento,

decrescimento e taxas de variação.

Após uma abordagem das funções crescentes e decrescentes utilizando-se como forma-

padrão as funções de 1° grau, os autores inserem no módulo alguns exercícios exemplares,

como, por exemplo: atividade 6, em que é pedido que sejam construídos os seguintes

gráficos: f(x) = senx e g(x) = cosx entre x = 0 e x = 2π no mesmo sistema de coordenadas.

Além disso, pede-se que sejam identificados os intervalos em que f(x) e g(x) são crescentes

e aqueles em que são decrescentes, comparando os gráficos das funções f(x) e g(x) e

observando que os valores máximos de uma das funções ocorrem nos pontos em que a

outra função se anula e vice-versa. Em seguida, devem fazer a comparação entre as

concavidades dos gráficos das funções.

Considerações sobre a avaliação - Para os autores, é importante que os alunos consigam

visualizar em uma função, além do crescimento ou decrescimento, a rapidez com que a

função cresce ou decresce, e ainda indicam que é de fundamental importância o

reconhecimento das três formas básicas de crescimento ou decrescimento de uma função:

as taxas constantes, as taxas crescentes e as taxas decrescentes, observando que esses são

conteúdos mínimos que devem ser aprendidos pelos alunos.

A situação de aprendizagem 4 - Os fenômenos naturais e o crescimento ou

decrescimento exponencial: o número ℮, não se aplica à dissertação, visto que tal conteúdo

foge do escopo traçado anteriormente.

Orientações para recuperação: para os autores esse é o momento de retomar o estudo

das funções apresentadas anteriormente em outros anos e bimestres, seguindo de atividades

simples. Além disso, pode-se retomar a exploração de conteúdos, partindo de exercícios

representativos, ou apresentando conceitos e propriedades apenas por meio de atividades,

estudar todos os tipos de transformações em cada uma das funções conhecidas.

114


tema.

Nesse espaço, os autores sugerem softwares como o Graphmatica, livros como o

Construindo gráficos e Aprendendo e ensinando.

Pela maior complexidade do Caderno do Professor, a avaliação anterior foi realizada

apenas no Caderno do Professor e, para os subitens a seguir, apenas a disposição dos

importantes elementos no Caderno do Professor (Trigonometria presente na 1ª série do

Ensino Médio) e no Caderno do aluno (Trigonometria presente na 2 ªsérie do Ensino

Médio) serão elencadas.

3.6.5.1. Situações de Aprendizagem

O objetivo primordial é entender quanto os Cadernos do Professor e do Aluno se

aproximam ou se distanciam do Currículo do Estado de São Paulo e demais documentos

oficiais aqui citados e reunir subsídios para as futuras análises das provas de concursos de

professores de Matemática do Estado de São Paulo (ingresso, processo simplificado e

promoção).

3.6.5.2. Análise do Caderno do Professor

O Currículo do Estado de São Paulo propõe o uso dos Cadernos do Professor e Aluno

com o seguinte texto:

Desejamos que estes materiais sejam preciosos também para cada uma das

escolas, tanto para a construção de suas propostas pedagógicas como para o apoio

aos professores, gestores, especialistas e famílias para reafirmar publicamente o

compromisso do Governo do Estado de São Paulo com a busca de mais qualidade

na educação de nossas crianças e nossos jovens. (SÃO PAULO, 2010, p.4)

A proposta pedagógica de uma instituição educacional é o documento que auxilia no

direcionamento de ações administrativas, financeiras e pedagógicas. No plano estritamente

115

pedagógico, os Cadernos do Professor e do Aluno e o Currículo do Estado de São Paulo,

vão ao encontro dos ensinamentos de Shulman (1987), quando este manifesta a importância

dos seguintes conhecimentos: específico, curricular e pedagógico do conteúdo por parte dos

profissionais da educação.

O Caderno do professor desenvolve as situações-problema passo a passo, indicando

"um caminho" que o professor pode utilizar para resolver os problemas. Ademais, o

material de apoio ainda disponibiliza exemplos simples de atividades propostas aos alunos,

e cabendo ao professor ser possuidor de conhecimentos necessários para desenvolver o

conteúdo, conforme exemplo a seguir:

Figura 19 - Atividade 2 Caderno do Professor - 4° Bimestre, 1 a série do Ensino Médio FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p. 13-14)

116

As considerações pertinentes a este material serão apresentadas oportunamente quando

das análises das questões de concurso e considerações finais deste Trabalho.

3.6.5.3. Caderno do Aluno

O Caderno do Aluno 2a série, 1° bimestre propõe situações de aprendizagens que são

incluídas neste trabalho.

Os comentários a respeito desse material estão presentes em análises das provas dos

concursos quando comparadas ao material utilizado em sala de aula e também no capítulo

das considerações finais.

O próximo item aborda o assunto Concursos, de forma a permitir que os leitores

entendam os fundamentos necessários para a participação de tal certame.

3.6.6. - Dos Concursos

Neste item procura-se informar a constituição dos diversos concursos de provimento de

cargos (ingresso) de professores, assim como os de processo simplificado e promoção para

professores da rede estadual de ensino do estado de São Paulo.

3.6.6.1. Das Provas

Um concurso público é constituído por várias etapas: publicação do edital, inscrição do

candidato para a vaga desejada, prestação da prova específica ao cargo, julgamento da

prova, avaliação de títulos, classificação, homologação, além da perícia médica e do curso

de formação específica que é parte integrante do estágio probatório para o cargo de

professor PEBII de Matemática do Estado de São Paulo. Porém, apesar de indicar tais

etapas que se fazem constantes no edital do concurso de 2013 para professores de

Matemática. O foco desse trabalho está voltado para a prova em si e mais especificamente

117

para as questões que versaram sobre o tópico de Trigonometria constante nas provas

analisadas. Além disso, houve a preocupação de verificar os pontos específicos nas

questões que se aproximem ou se distanciem das orientações contidas nos documentos

oficiais para o ensino de Trigonometria para os alunos do Ensino Médio de forma a obter

uma análise mais aprofundada das questões propostas nestes certames.

3.6.6.2. Das Resoluções SE 80 de 09/06/2009 e SE 52 de 14/08/2013

A resolução SE 80 de 09/06/2009 foi publicada pelo Sr. Secretário da Educação

considerando a necessidade de explicitar os perfis de competências e habilidades desejáveis

aos professores da rede pública estadual e orientar os processos de concursos públicos e

formação continuada.

Ao abordar esse documento, pode-se compará-lo aos conhecimentos necessários ao

professor conforme prescrito por Shulman (1987). A resolução requer que o professor

possua conhecimentos relativos aos aspectos físicos, cognitivos, afetivos e emocionais do

desenvolvimento individual das crianças, jovens e adultos, incluindo as peculiaridades dos

alunos que possuem necessidades especiais. Prescreve também a necessidade do

conhecimento específico do conteúdo, além de ultrapassar limites disciplinares e

desenvolver propostas de trabalho interdisciplinar. Ademais, deve ser possuidor do

conhecimento pedagógico: currículo, transposição didática, contrato didático,

planejamento, organização de tempo e espaço e da própria prática em sala de aula que nada

mais é do que a experiência profissional do professor.

Na resolução SE 52 de 14/08/2013 é indicado que o candidato deve ser possuidor de

conhecimentos específicos do conteúdo pedagógico, além do currículo do Estado de São

Paulo de modo a desenvolver as habilidades e competências pessoais do aluno sabendo que,

para favorecer esse desenvolvimento, deve relacionar os conteúdos específicos e as

competências gerais.

118

Shulman (1987) indica em seu trabalho que a base do conhecimento se encontra na

intersecção de conteúdo e pedagogia e que o professor deve ser capaz de transformar o

conhecimento específico do conteúdo em formas que sejam pedagogicamente fortes e

possam ser adaptadas às habilidades e experiências apresentadas pelos alunos. Nesse

trabalho, assim como prescrito nas resoluções SE-80/2009 e SE-52/2013, apoiamo-nos em

Shulman (1987), visto que as necessidades profissionais de um professor destacadas nas

resoluções citadas, são partes fundamentais da teoria do autor quando ele identifica os três

tipos de conhecimentos necessários ao professor: curricular, específico do conteúdo e

pedagógico.

As resoluções são parte integrante desse documento, podendo ser encontradas nos

Anexos 2 e 3.

119

Capítulo 4 - Análise das Questões das Provas e dos Cadernos dos

Alunos

Neste capítulo, apresenta-se a análise das questões das provas dos concursos de

professores (ingresso, processo simplificado e promoção) e para as provas, a partir de 2010,

foram comparados os itens do concurso com as atividades propostas nos Cadernos do

Aluno do Estado de São Paulo.


Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu à meia-noite. A altura da água

no porto dessa cidade é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e

maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta), e

vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois aumentar de novo até

a maré alta, e assim por diante. A altura y, em metros, da maré, nesse dia, no porto da

cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela fórmula:

y = 2 + 1,9 . cos (6

t), sendo t o tempo decorrido em horas, após a meia noite.

Analise as afirmações a respeito dessa situação:

I. No instante t = 3h a altura da maré é de 2m.

II. No instante t = 6h ocorreu a maré baixa, cuja altura é de 0,1m.

III. No instante t = 12h ocorre maré alta, cuja altura é de 3,9m.

É correto o que se afirma em:

a) I, II e III.

b) II e III, apenas.

c) I e III, apenas.

d) I e II, apenas.

e) I, apenas.

120

Grade de Análise

Expectativas institucionais:

Embora a solução dessa questão não requeira, necessariamente, o reconhecimento da

periodicidade do fenômeno em questão, nem a resolução de uma equação ou inequação

trigonométrica, trata-se de item que se aproxima das Orientações Curriculares do Ensino

Médio porque envolve a função trigonométrica cosseno na representação da oscilação desse

fenômeno. (BRASIL, 2006, p.74)

A esse respeito, os documentos estaduais, (como o Currículo do Estado de São Paulo)

indicam como habilidades a serem desenvolvidas pelos professores, em seus alunos:

- Reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais, associando-a às

funções trigonométricas básicas;

- Saber resolver equações e inequações trigonométricas simples, compreendendo o

significado das soluções obtidas, em diferentes contextos (SÃO PAULO, 2010, p.37);


Identificar quais são as afirmações corretas, após o cálculo do valor numérico da

expressão que representa a função dada no enunciado da questão. Eventualmente, um

candidato poderia substituir y pela altura indicada em cada uma das alternativas, para, em

seguida, determinar o valor de t, resolvendo a equação obtida.

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998): técnico.

O candidato precisa apenas substituir os valores fornecidos para o tempo em cada um

dos itens na fórmula dada, e após essa etapa precisa saber o valor dos cossenos dos ângulos

de 0°, 90° e 180°.

121

Contexto: Artificial para uma situação extramatemática;

Conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa

(Shulman, 1987):

Conhecimento do Conteúdo Específico. Exige que o professor identifique os conceitos

que permitam a resolução da questão: cálculo do valor numérico de uma expressão

algébrica, noções relativas às funções trigonométricas e, dependendo da estratégia

escolhida pelo professor, resolução de equações.

122


A figura indica uma mesa de tampo AB (paralelo ao solo), pernas AE e BD , e pivô de

fixação em C, que é deslizante ao longo de BD .

Se AE = BD = 1m, e o ângulo, em graus, mede α, então, a altura da mesa em relação ao

solo, em metros, será:

a) 2

sen b)

2cos

c)

2

1

sen

d)

2cos

1

e)

2

1

tg

Grade de Análise


Esta questão está de acordo com as Orientações Curriculares do Ensino Médio porque

envolve as relações trigonométricas no triângulo retângulo em contexto classificado por

SPINELLI (2011, p.87) como cotidiano. Aproxima-se das orientações contidas nos

materiais de apoio - Caderno do Professor - uma vez que para obter a solução, o candidato

precisa saber resolver a equação trigonométrica, compreendendo o significado das soluções

obtidas, em diferentes contextos (SÃO PAULO, 2010, p.37)

123


Nesta questão, o candidato precisa entender que a altura da mesa é variável em relação

ao ângulo α. É necessário também que o candidato estabeleça relações entre BC - CD e AC

- CE, utilizando a distância AE = BD = 1 m e por fim, utilizando as relações

trigonométricas em um triângulo retângulo.

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):

disponível.

O conhecimento necessário para a resolução da questão é o disponível, uma vez que

não são oferecidas "pistas" para a identificação dos conceitos que poderiam conduzir à

solução. Além disso, o texto traz um elemento complicador que diz respeito ao "pivô de

fixação" que desliza ao longo de BD, pois essa ideia pode dificultar a percepção de que

BCAC e DC CE . O que poderia, eventualmente, sugerir a utilização da

trigonometria como um caminho possível, é a observação das relações trigonométricas

indicadas nas alternativas.


Conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa

(Shulman, 1987): Conhecimento do conteúdo específico.

O conhecimento necessário para resolver esta questão segundo Shulman (1987) envolve

os seguintes conteúdos: semelhança de triângulos, propriedades do triângulo isósceles e

relações trigonométricas no triângulo retângulo.

124

TAREFA 3 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 23

No módulo referente à Trigonometria, explorou-se a origem histórica da razão seno,

que estava diretamente ligada às tabelas de cordas de circunferências, construídas por

Hiparco de Nicéia no século II a.C. A figura abaixo mostra uma corda de medida 6,43

correspondente a um ângulo central de 80°, determinada a partir de uma circunferência de

raio 5.

Com base na relação estabelecida entre cordas e senos, podemos afirmar que o valor do

seno de:

a) 80° corresponde ao resultado da razão entre 6,43 e 5.

b) 40° corresponde ao resultado da razão entre a metade de 6,43 e 5.

c) 80° corresponde ao resultado da razão entre 5 e 6,43.

d) 40° corresponde ao resultado da razão entre a metade de 5 e 6,43.

Grade de Análise


As sugestões contidas nos documentos oficiais analisados ao longo deste estudo

indicam que a história da Matemática pode ser explorada como um contexto para o

desenvolvimento de noções da Trigonometria. A relação entre cordas de uma

circunferência e as relações trigonométricas no triângulo retângulo são conteúdos prescritos

125

para o Ensino Fundamental, e de acordo com as OCEM (2006, p.73), devem ser

consolidados ao longo do Ensino Médio.

Esse mesmo documento também aponta a História da Matemática como fonte

importante de contextualização e atribuição de significados:

A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista

como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos

conceitos matemáticos (...). A recuperação do processo histórico de construção do

conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de

contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática.

(BRASIL, 2006, p.86)

A Atividade "Uma tabela de cordas, ou de senos" está disponível apenas no caderno do

professor (3° bimestre, 9° ano, EF), cabendo identificar o momento oportuno de aplicá-la

e/ou discuti-la. No entanto, embora o professor possa, eventualmente, julgar melhor deixar

sua exploração para outro momento, trata-se de conteúdo que deve fazer parte do repertório

de conhecimentos desse professor.

raio

corda

sen 2

1

2

Figura 20 - Cordas e senos

FONTE: (SÃO PAULO, 2009b, p.49)

E no Caderno da 1a série do EM, 4° bimestre, encontra-se também:

126

Figura 21 - Cordas e senos



Estabelecer relações entre o seno de um ângulo central, a corda correspondente a esse

ângulo e o raio da circunferência que contém essa corda.


mobilizável.

O conhecimento necessário para a solução desse item foi avaliado como mobilizável,

uma vez que o enunciado traz indicações de relações que podem ser utilizadas no processo

de resolução, havendo, no entanto, necessidade de modificação na figura e aplicação de

outras relações e teoremas para a obtenção da resposta.

Contexto: Real para uma situação Intramatemática.

Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da

tarefa (Shulman, 1987):

O que está sendo avaliado por meio deste item é o conhecimento do conteúdo

específico. Nesse caso, o professor deve dominar noções relacionadas:

127

1. Às relações trigonométricas no triângulo retângulo;

2. Às noções relativas à circunferência (por exemplo: corda, diâmetro, ângulos inscritos,

circunscritos, central e propriedades do triângulo isósceles);

3. Ao Teorema do triângulo inscrito em uma semicircunferência;

Embora não se trate de questão que avalia o conhecimento pedagógico do conteúdo,

esse conhecimento foi utilizado como contexto para a elaboração do item.

128

TAREFA 4 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 24

As funções trigonométricas também servem para modelar fenômenos periódicos. No

módulo 16, são discutidas duas situações que envolvem ciclos periódicos. Em uma delas,

analisa-se a variação no comprimento da sombra de uma estaca ao longo de um dia,

conforme figura abaixo.

A função trigonométrica mais apropriada para modelar tal situação é:

a) Seno.

b) Cosseno.

c) Tangente.

d) Secante.

Grade de Análise


As Orientações Curriculares para o Ensino Médio não priorizam o ensino da função

tangente. O documento oficial aborda o tema da seguinte forma:

As funções trigonométricas seno e co-seno também devem ser associadas aos

fenômenos que apresentam comportamento periódico.

O estudo das demais funções trigonométricas pode e deve ser colocado em

segundo plano. (BRASIL, 2006, p. 74).

Todavia, é importante ressaltar que o professor precisa dominar esse conhecimento, de

acordo com SHULMAN (1987), a fim de fundamentar suas explicações e convencer os

alunos de fatos matemáticos apresentados em sala de aula.

129

O caderno do professor e do aluno, no 1° bimestre do 2° ano do Ensino Médio,

contempla tal tema na situação de aprendizagem 1. Portanto, pode-se notar que embora as

Orientações Curriculares afirmem que as demais funções trigonométricas possam ser

colocadas em segundo plano, cabe ao professor identificar as possibilidades de introduzir

tais temas junto aos seus alunos.


Associar os fenômenos periódicos às funções trigonométricas.


mobilizável.

Nesta questão, o candidato precisa reconhecer a função trigonométrica tangente como a

função mais adequada.

Contexto: Real para uma situação extramatemática.


(Shulman, 1987):

Nesta questão, o professor deve possuir o conhecimento do conteúdo específico, para

relacionar as funções trigonométricas com a figura apresentada. Além disso, o professor

também deve possuir o conhecimento pedagógico do conteúdo, pois a questão aborda uma

situação de modelagem e ele deve estar preparado para elaborar estratégias de forma a

facilitar a compreensão do conteúdo pelos alunos.

130

TAREFA 5 - MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 35

A figura abaixo mostra um retângulo OABC, tal que seus vértices O e B repousam,

respectivamente, sobre o centro do círculo dado e sobre a circunferência.

Se AC = 5 cm e CD = 2 cm, então a área do retângulo OABC é igual a:

a) 5 2 cm²

b) 12 cm²

c) 16 2 cm²

d) 25 cm²

e) (2 + π)² cm²

Grade de Análise


Tanto as Orientações Curriculares para o Ensino Médio como os documentos oficiais da

SEE/SP indicam a necessidade do aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras

durante o Ensino Médio. As OCEM abordam o tema da seguinte forma:

Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados,

como, por exemplo, as ideias de congruência, semelhança e proporcionalidade, o

Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos

131

triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. (BRASIL, 2006, p.

75 e 76).

Descrição da tarefa

Nesta questão, o candidato precisa reconhecer que o lado do retângulo sobre o eixo de x

possui valor numérico igual a 3, calcular o lado do retângulo que se encontra sobre o eixo

de y utilizando o Teorema de Pitágoras e conhecidos os dois lados do retângulo, o

candidato deve ainda calcular sua área.


mobilizável.

Para efetuar o cálculo da área do retângulo o candidato não possui a indicação dos

valores numéricos nem de sua base e nem de sua altura. O professor precisa reconhecer que

a diagonal do retângulo inscrito no 1º quadrante da circunferência, também é o raio da

circunferência. De posse dessa informação, o candidato deve realizar procedimentos que o

auxiliem a encontrar os valores numéricos necessários para o cálculo da área solicitada

(base e altura do retângulo).

Contexto: Real para uma situação intramatemática.


tarefa (Shulman, 1987)

Nesta questão, o professor precisa ter o conhecimento específico do conteúdo sobre as

propriedades características do retângulo, os elementos da circunferência, o Teorema de

Pitágoras e a fórmula para o cálculo da área do retângulo.

132

TAREFA - 6 MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 51

Considere o ponto C(1,0) e um ângulo θ representado no círculo trigonométrico tal que

.,2

. kkCÔA

Seja r a reta tangente à circunferência no ponto A(cosθ, senθ) e

considere B o ponto de interseção da reta r com o eixo das abscissas. A figura abaixo ilustra

um caso particular em que o ângulo θ foi dado no primeiro quadrante.

Como cada ângulo θ no domínio considerado determina unicamente o comprimento

OB , dizemos que este comprimento é uma função de θ . Chamando tal função de f (θ) ,

pode-se explicitamente representá-la por

(A) f (θ) = sec

(B) f (θ) = gcot

(C) f (θ) = eccos

(D) f (θ) = tgθ

(E) 2

1)(

sen

f

133

Grade de Análise


Embora os documentos que apoiam o currículo do estado de São Paulo – Caderno do

Professor - fundamentados nas OCEM (2006) prescrevam apenas o trabalho com as

funções seno e cosseno e além disso, as OCEM indicam que o conteúdo relativo às demais

funções trigonométricas "pode e deve ser colocado em segundo plano", (p.74) cabe ao

professor decidir se existe adequação para introduzir tal conteúdo durante suas aulas.

Essas mesmas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, indicam a necessidade do

aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras durante o Ensino Médio (BRASIL,

2006, p. 75-76).


Identificar a função que melhor representa, algebricamente, o gráfico contido no

enunciado.


mobilizável.

O conhecimento é mobilizável, pois o candidato necessita analisar a figura e assim,

definir qual a função é compatível com a figura.


134


tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.

Apesar da questão considerar apenas a função trigonométrica secante, sabe-se que para

preparar um aluno para essa abordagem, é necessário que o professor tenha conhecimento

das relações métricas válidas em um triângulo retângulo, das leis do seno e do cosseno, de

noções relativas à semelhança de triângulos, das razões trigonométricas, e finalmente das

funções trigonométricas.

135


Aplicando o Teorema de Pitágoras é possível determinar a:

a) Medida do volume de um cubo conhecendo – se a medida de sua aresta.

b) Medida da área de um retângulo conhecendo-se as medidas de seus lados.

c) Distância entre dois pontos quaisquer de uma circunferência conhecendo-se suas

coordenadas.

d) Constante de proporcionalidade entre duas figuras semelhantes.

e) Medida da diagonal de um quadrado conhecendo-se a medida de seu lado e vice-

versa.

Grade de Análise


A questão nos remete à questão 35 (Mérito 2010), pois da mesma forma que aborda a

necessidade de aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras durante o Ensino

Médio.


Reconhecer que a aplicação do Teorema de Pitágoras permite realizar o cálculo da

medida da diagonal de um quadrado em função do lado.


mobilizável.

Nesta questão, o candidato precisa reconhecer que a diagonal de um quadrado é a

hipotenusa e os lados do quadrado são os catetos de um triângulo retângulo cujas medidas

serão utilizadas na aplicação do Teorema de Pitágoras.

136




Os conhecimentos necessários para o professor resolver a questão envolvem: figuras

geométricas planas e espaciais, área do triângulo retângulo, volume do cubo, noções

relativas à proporcionalidade, cálculo da distância entre dois pontos e Teorema de

Pitágoras.

137


Qual das representações abaixo refere-se à função f(x) = 2senx + 3?

Grade de Análise


A função seno é contemplada nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio

abordando o tema da seguinte forma:

138

Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às funções

trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escrever f (x) = sen (x),

usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em

radianos. As funções seno e cosseno também devem ser associadas aos

fenômenos que apresentam comportamento periódico. (BRASIL, 2006, p. 74).

O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009f, p.22), exemplo 2 apresenta o gráfico:

f(x) = 2 + senx, para essa função, é apresentada a translação, que é a movimentação de um

objeto/figura, e as dimensões da figura original é mantida inalterada.

No exemplo 9 do Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009f, p. 24), reconhece-se o

gráfico f(x) = 3senx, onde os valores de f(x) oscilarão entre +3 e -3.


Associar os valores de seno no ciclo trigonométrico, substituir na função dada e

identificar qual alternativa representa o resultado correto.

Outra forma de especificar essa tarefa seria identificar as transformações que o gráfico

sofre quando a imagem é duplicada e depois quando essa imagem é acrescida de 3

unidades.


mobilizável.

Nesta questão, o candidato pode reconhecer a transformação, no caso da função dada

(translação) ou pode atribuir valores aos ângulos indicados por x encontrando então os

valores de f(x).




139

Esse item avalia os conhecimentos específicos do candidato relativos às representações

gráficas de funções trigonométricas e suas transformações geométricas.

140


No estudo do Teorema de Pitágoras, chama a atenção dos alunos o fato do triângulo de

lados 3, 4 e 5 satisfazer a relação a² = b² + c² e, portanto, ser retângulo.

Mobilizado pela curiosidade despertada pelo grupo de alunos um professor propôs o

estudo de padrões numérico-geométricos investigando os ternos designados pitagóricos,

que correspondem àqueles na forma (a, b, c) em que a, b e c são números que satisfazem a

relação a² = b² + c². Inicialmente deu particular ênfase ao estudo dos ternos formados por

números inteiros positivos cuja diferença entre c e b, nessa ordem, fosse de uma unidade.

Nessa investigação, os alunos encontraram uma série de ternos com essa característica,

entre os quais (a, b e c) apresentados abaixo:

Terno A (3, 4, 5) Terno B (5, 12, 13) Terno C (7, 24, 25)

Seguindo as mesmas instruções do professor, encontrando os valores de b e c no terno

pitagórico (11, b, c) é correto dizer que b + c é igual a:

a) 121 b) 131 c) 141 d) 151 e) 189

Grade de Análise


As relações métricas no triângulo retângulo são indicações do Currículo do Estado de

São Paulo. (SÃO PAULO, 2010, p. 44). Apontando possibilidades de articulação entre

blocos distintos de conteúdos.

Os documentos de apoio a esse currículo também sugerem atividades que podem

favorecer diferentes formas de exploração desse conteúdo. Por exemplo, o Caderno do

Professor discute o mesmo tema abordado na questão aqui analisada, destacando o padrão

que está presente nesses ternos pitagóricos:

141

Figura 22 - Padrão geométrico - numérico

FONTE: (SÃO PAULO, 2009a, p.52)


Uma possível estratégia seria substituir um cateto na relação de Pitágoras pelo valor

dado (11), lembrando que a diferença entre a hipotenusa e o outro cateto (desconhecido) é

de uma unidade. Nesse caso, o candidato obteria as igualdades:

11² = b² + c² e c = b + 1 e, finalmente, poderia calcular o valor do outro cateto e da

hipotenusa, cuja soma é solicitada na questão.

Por outro lado, como o enunciado diz "... um professor propôs o estudo de padrões

numérico-geométricos...", pode-se também considerar a possibilidade de que talvez

houvesse uma expectativa no sentido de que os candidatos reconhecessem nos ternos

pitagóricos (a, b,c) indicados no enunciado, uma outra regularidade:

em (3, 4, 5), temos b + c = 9 = 3² (quadrado do termo a)



Assim, em (11, b, c), teríamos: b + c = 11² = 121.


mobilizável.

142

O candidato deve reconhecer que para a resolução da questão não basta utilizar o

teorema de Pitágoras, pois nesse caso existe a condição de que um dos lados do triângulo

seja menor do que a hipotenusa em uma unidade.

Contexto: Artificial para uma situação intramatemática


tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do conteúdo específico.

Embora a questão tenha sido elaborada num contexto que trata da prática de um

professor, escolhida para abordar o assunto, foi considerado que este item tem a finalidade

de examinar, no candidato, o conhecimento do conteúdo específico.

143


Indique, dentre as alternativas, aquela cujo número é mais próximo do valor de sen1º,

ou seja, do seno de 1 grau.

(A) – 0,9. (B) – 0,6. (C) 0. (D) 0,6. (E) 0,9.

Grade de Análise


Essa questão se aproxima das Orientações Curriculares do Ensino Médio porque

envolve a função trigonométrica seno, no que diz respeito ao seu valor numérico para um

ângulo dado.

A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos, devem ser

justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de medida 30°, 45°

e 60° (BRASIL, 2006, p.74).


Identificar qual alternativa indica o valor numérico mais próximo ao seno de 1°.


mobilizável.

Nesta questão, o candidato precisa considerar que o ângulo de 1° se apresenta no

primeiro quadrante. Portanto, o valor numérico do seno desse ângulo deve ser positivo. O

valor 0,9 é próximo de 1, que corresponde ao seno de um ângulo pouco menor do que 90°,

e, finalmente, o valor de 0,6, corresponde ao seno de um ângulo entre 30° e 45°, portanto o

valor que mais se aproxima do seno de 1° é zero.


144



Esta questão avalia os conhecimentos específicos do candidato, no que se refere à

função seno no círculo trigonométrico e à relação entre medidas de ângulos (dadas em

graus) e números reais.

145


O gráfico da função f : R → R, dada por f (x) = cos(x), em que R representa o conjunto

dos números reais, possui –1 como valor mínimo e 1 como valor máximo. Já o gráfico da

função g : R → R, dada por g(x) = 1 + 2cos(x), possui, como valores mínimo e máximo,

respectivamente,

(A) 0 e 4. (B) 0 e 2. (C) –1 e 3. (D) –1 e 2. (E) –2 e 2.

Grade de Análise


Esta questão, assim como a anterior (questão 38 - simplificado 2011), também se

aproxima das Orientações Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2006, p.74) porque

envolve a função trigonométrica cosseno, no que diz respeito ao seu valor numérico para

um ângulo dado, além disso, está de acordo também com o Currículo do Estado de São

Paulo (SÃO PAULO, 2009f, p.22), visto que trata de transformações geométricas (no caso

a translação na direção do eixo das ordenadas, no sentido positivo) sofridas pela função

cosseno.


O candidato, ao ler o enunciado da questão, reconhece que cos(x) pode ter seus valores

numéricos variando entre -1 e 1. A partir dessa informação, o candidato pode substituir

cos(x) pelos valores numéricos dados e obter o resultado de f(x).

Uma forma do candidato analisar a questão seria considerar os efeitos das

transformações sobre funções trigonométricas - no caso, pode analisar o comportamento da

função cos(x) quando sua imagem é duplicada e, em seguida, quando essa imagem é

acrescida de uma unidade.

146

-1 ≤ cos(x) ≤ +1

(multiplicando por 2): -2 ≤ 2cos(x) ≤ +2

(adicionando 1): -2 + 1 ≤ 1+2 cos(x) ≤ +2 +1, para verificar que a função g(x) varia entre -1

e+3.

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: mobilizável.

Apesar dos valores numéricos: -1 e 1 serem dados do problema, não está explícito que

tais valores devam ser substituídos no lugar de cos(x), para posteriormente o candidato

calcular os valores mínimo e máximo de g(x).




O candidato, conforme questão 25, simplificado 2010, deve reconhecer as

transformações geométricas como translação e ampliação, além disso poderia associar os

valores numéricos (mínimo e máximo) indicados no enunciado da questão aos valores

(mínimo e máximo) da função indicada por g(x) = 1+2cos (x).

147

TAREFA 12 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 46

Na figura a seguir, A, B e C são os vértices de um triângulo isósceles, com base

medindo 10 cm e os demais lados medindo 9 cm, e D é o ponto médio do lado AB.

Pode-se afirmar que a razão entre as medidas dos segmentos CD e AD, nessa ordem, e

o que ela trigonometricamente representa são, respectivamente:

a) 10

14 e tangente do ângulo Â.

b) 10

19 e cosseno do ângulo Â.

c) 5

14 e tangente da metade do ângulo C.

d) 5

19 e cosseno da metade do ângulo C.

e) 5

142 e tangente do ângulo Â.

Grade de Análise


As Orientações Curriculares para o Ensino Médio indicam a necessidade de priorizar as

relações métricas no triângulo retângulo antes da abordagem das funções seno, cosseno e

tangente. (BRASIL, 2006, p.73) Porém, esses mesmos documentos prescrevem a

associação das funções seno e cosseno aos fenômenos periódicos e argumentam que o

148

estudo das demais funções pode e deve ser colocado em segundo plano. (BRASIL, 2006,

p.74)

No currículo oficial de São Paulo, tal conhecimento é necessário uma vez que há

indicações para o trabalho da tangente como razão entre os catetos e "uma constante

característica do ângulo" (SÃO PAULO, 2009d, p.12) por meio da caracterização de uma

rampa.


O candidato deve calcular a altura do triângulo ABC utilizando o Teorema de Pitágoras.

Além disso, também deve reconhecer que os segmentos CD e AD são, respectivamente, o

cateto oposto e o adjacente do ângulo Â, portanto, essa relação nada mais é do que a

tangente do ângulo Â.


mobilizável.

Embora seja solicitada a identificação e o cálculo da relação trigonométrica entre dois

segmentos dados, para responder a essa questão, o candidato precisa lembrar que CD é o

cateto oposto ao ângulo Â e AD é o cateto adjacente ao ângulo Â, portanto, essa razão é a

tangente. Ademais, para efetuar o cálculo da tangente é necessário que o candidato calcule

o valor da altura do triângulo, utilizando o teorema de Pitágoras.



tarefa (Shulman, 1987)) - Conhecimento do Conteúdo Específico.

149

O candidato precisa conhecer as propriedades dos triângulos isósceles e retângulo, o

teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas em um triângulo retângulo.

150

TAREFA 13 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 53

O gráfico a seguir representa a função seno.

A função f: , dada por f(x) = 1 + sen(x) é representada pelo gráfico contido no

item:

[alternativa correta (A)]

151

Grade de Análise


Essa questão, assim como as questões anteriores (questão 25 - simplificado 2010,

questões 38 e 56 - simplificado 2011), também está de acordo com as Orientações

Curriculares do Ensino Médio:

É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em

que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e o cosseno, definido como

coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com

medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como

extensões das razões trigonométricas então definidas para ângulos com medida

entre 0° e 180°. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes

às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f (x) =

seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada

em radianos. (BRASIL, 2006, p.74).

A questão está de acordo com o Currículo do Estado de São Paulo, pois aborda

transformações geométricas de funções trigonométricas. No caso, a translação da função

seno, segundo o eixo das ordenadas (SÃO PAULO, 2009f, p. 22), parte integrante desta

questão de concurso.


Da mesma forma que a questão 25, simplificado 2010, dados os valores numéricos do

seno no gráfico da função, o candidato pode utilizar os dados constantes no gráfico dado e

acrescentar uma unidade, encontrando então o ponto referente à nova função.

Poderia também identificar as transformações que o gráfico da função seno sofre,

quando a sua imagem é acrescida de 1 unidade.

152


mobilizável.

Nesta questão, o candidato precisa fazer a leitura do gráfico do seno dado. Substituir o

valor encontrado no gráfico na função dada e comparar com as alternativas propostas pela

questão.




Esta questão avalia o conhecimento específico do candidato, no que se refere às

transformações geométricas aplicadas a funções trigonométricas

153


Em uma cidade, a altura máxima da maré em seu porto ocorreu exatamente às 12 horas.

A altura da água do mar nessa cidade é uma função periódica, pois oscila regularmente

entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta até atingir um valor máximo

(maré alta) e vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois

aumentar de novo até a maré alta, e assim por diante. A altura h, em metros, da maré, nesse

dia, no porto da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela sentença: h(t) = 2,5 + 1,5

cos ( t4

), sendo t o tempo decorrido, em horas, após as 12 horas. Assim, a altura h da maré

às 16 horas, ou seja, quando t = 4 horas é:

a) 4,0 m b) 3,6 m c) 2,5 m d) 2,0 m e) 1,0 m

Grade de Análise


A função cosseno é contemplada tanto nas Orientações Curriculares para o Ensino

Médio do Governo Federal (BRASIL, 2006, p.74) como no currículo oficial do estado de

São Paulo (SÃO PAULO, 2009e, p. 38). O documento oficial federal aborda o tema

indicando que as funções seno e cosseno devem ser associadas aos fenômenos que possuem

comportamento periódico.


A resolução desta questão requer o cálculo do valor numérico da expressão algébrica

que indica a altura da água do mar, em função do tempo. O tempo é dado: t = 4 horas.

Finalmente, a altura da maré pode ser determinada considerando-se que cos π = -1.

154


mobilizável.

Apesar de ser claro o enunciado da questão, indicando que o candidato deve substituir o

t da função pelo valor numérico 4 (número de horas decorridas), é necessário que o

professor ao efetuar a substituição de valores na função obtenha como parte da resolução:

cos π, e reconheça que cos π = -1, e finalize a questão obtendo como resultado altura h =

1m.




Esta questão avalia os conhecimentos específicos do candidato, necessários ao cálculo

do valor numérico de expressões algébricas.

No que diz respeito à Trigonometria, o conhecimento exigido para a resolução desta

questão se restringe ao valor do cosseno de π.

155


Dependendo do tamanho da casa e das telhas utilizadas para cobri-la, muitas vezes

constrói-se uma armação em madeira, no formato de triângulo isósceles, como mostra a

figura a seguir.

Na figura, a medida de RS é igual a 20% da medida de PQ. Assim, se PQ mede 6m, RQ

mede, aproximadamente:

a) 5,22 m b) 4,18 m c) 4,07 m d) 3,72 m e) 3,23 m

Grade de Análise

Expectativas institucionais

Esta questão se aproxima das indicações contidas no documento intitulado Orientações

Curriculares para o Ensino Médio uma vez que sua resolução requer a aplicação de uma das

relações métricas no triângulo retângulo.

O trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais, presentes na

natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e sistematizado nesta etapa de

escolarização. Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser

consolidados, como por exemplo, as ideias de congruência, semelhança e

proporcionalidade, o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e

trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.

(BRASIL, 2006, p.76)

Tais indicações também são observadas no material de apoio ao currículo oficial de São

Paulo relativo ao oitavo ano do Ensino Fundamental (SÃO PAULO, 2009a, p. 54).

156


Conhecidos os catetos do triângulo retângulo RSQ: RS = 20% de PQ e SQ = 50% de

PQ, Calcular a hipotenusa RQ, utilizando o Teorema de Pitágoras.


mobilizável.

O candidato precisa levar em conta que se o triângulo PQR é isósceles (dado no

enunciado). Então, a altura relativa à base PQ coincide com a mediana relativa a essa

mesma base. Assim, se RS é a altura (indicada pelo sinal gráfico de ângulo reto em S),

então, PS = SQ = 3 m.

O cálculo da medida de RS, exige conhecimentos sobre porcentagem e, finalmente, é

necessária a aplicação do Teorema de Pitágoras para o cálculo da medida do segmento RQ.

Contexto: Artificial para uma situação extramatemática



Para resolver a questão, o professor deve ser possuidor de uma série de conhecimentos

do conteúdo entre elas, pode-se citar:

Propriedades dos triângulos isósceles;

Propriedades dos triângulos retângulos;

Transformações geométricas (em especial, a reflexão);

Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângul;.

Utilização de porcentagem;

Aplicação do teorema de Pitágoras.

157


Houve um incêndio em um prédio na cidade de São Paulo. Para atingir a janela do

quinto andar, um bombeiro subiu por uma escada de 15 m de comprimento e que formava

um ângulo de 60° com o solo.

Observe a figura.

Assim, é correto afirmar que a altura aproximada da janela, em relação ao solo, era:

a) 7,5 m b) 11 m c) 13 m d) 15 m e) 18,5 m

Grade de Análise


Esta questão atende às indicações contidas no documento intitulado Orientações

Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 75-76) e no Caderno do Professor da

SEE/SP (SÃO PAULO, 2009a, p. 53) uma vez que envolve as relações trigonométricas no

triângulo retângulo.


Calcular a altura da janela em relação ao chão pela aplicação das relações

trigonométricas no triângulo retângulo, conhecendo o valor numérico do seno de 60° e a

hipotenusa do triângulo.

158


mobilizável.

O enunciado não explicita qual conteúdo ou estratégia deve ser usado pelo candidato

para que a questão seja resolvida, porém a ilustração indica que o solo, a parede e a escada

formam um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 15 metros e ângulo formado entre o

piso e a escada igual a 60°. Desta forma, o candidato deve reconhecer o triângulo retângulo,

deve também saber o valor numérico do seno de 60° e, finalmente, identificar e aplicar a

fórmula que será usada: seno.




A ilustração da questão evidencia a formação de um triângulo retângulo para encontrar

a altura da janela em relação ao chão, o professor precisa conhecer:


Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo;

159


Em um instrumento de avaliação, solicitou-se que os alunos indicassem o conjunto

imagem I da função f: , dada por f(x) = A + cos (x), com A inteiro e R

representando o conjunto dos números reais. Uma possível resposta que o professor poderá

considerar correta é:

a) I = [-1; 1]

b) I = ]-∞; ∞[

c) I = [-π + A; π + A]

d) I = {y / -2π ≤ y ≤ π + A}

e) I = {y / -1 + A ≤ y ≤ 1 + A}

Grade de Análise


Esta questão, assim como a questão 25 Simplificado 2010 é contemplada nas

Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 74) no que se refere a

funções trigonométricas.

O Caderno do Professor (2009f, p.22) também aborda esse tipo de questão, exemplo 2

apresenta o gráfico: f(x) = 2 + senx. Apesar do enunciado da questão abordar o cosseno de

x, e o Caderno do Professor utilizar senx, sabemos que a construção do gráfico é obtida de

maneira análoga, inclusive após os exemplos dados, os autores do Caderno do Professor,

atividade 2 letra b, solicitam que o aluno esboce o gráfico da função: g(x) = 5 + cosx

160


Reconhecer os valores mínimo e máximo de uma função trigonométrica derivada da

função cos (x).


mobilizável.

O candidato deve reconhecer que para encontrar a imagem da função dada é necessário

que este utilize os valores mínimo e máximo do cosseno.

Contexto: Real para uma situação intramatemática



Esta questão avalia os conhecimentos específicos do professor, relativos ao conceito de

função, tais como : domínio e imagem e também noções relativas a funções derivadas de

uma função trigonométrica conhecida (no caso, imagem de uma função derivada da função

cosseno de x).

161


Os triângulos de vértices ABC e EDC da figura a seguir são retângulos.

A hipotenusa do triângulo de vértices EDC mede, em unidades de comprimento,

exatamente:

a) 7

743 b) 23 c)

7

744 d)

7

745 e) 745

Grade de Análise


A semelhança de triângulos é contemplada nas Orientações Curriculares para o Ensino

Médio. Esse documento oficial aborda o tema da seguinte forma:

Na introdução das razões trigonométricas seno e cosseno, inicialmente para

ângulos com medida entre 0° e 90°, deve-se ressaltar que são as propriedades de

semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições; segue-se, então,

com a definição das razões para ângulos de medida entre 90° e 180°. (BRASIL,

2006, p.73)

O Currículo do Estado de São Paulo (2009) também sugere a exploração dessa

temática, em nossa interpretação, quando apresenta aos alunos do Ensino Médio um

Exemplo ilustrativo (São Paulo, 2009d, p. 12).

162


Calcular a hipotenusa de um triângulo EDC retângulo, em situação que envolve a

semelhança de triângulos..

Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: mobilizável.

Se o candidato concluir (com base na percepção) que a altura do triângulo EDC mede

três unidades e aplicar o teorema de Pitágoras, obterá a medida de 5 unidades para a

dimensão da hipotenusa e não encontrará a resposta dentre as alternativas.

O candidato deve reconhecer que para resolver a questão é necessário utilizar as regras

de semelhança entre dois triângulos: ABC e EDC, encontrar a altura ED, e calcular a

hipotenusa EC (utilizando o teorema de Pitágoras) conhecidos os catetos ED e DC.

Contexto: Real para uma situação intramatemática



Para resolver esta questão o professor precisa dos seguintes conhecimentos específicos:


Semelhança de triângulos;

Teorema de Pitágoras;

163

TAREFA 19 - Questão 06 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1,

branca, 2013, p.3)

Certo satélite científico percorre uma órbita em que sua distância (d), em quilômetros,

até a superfície da Terra é dada por:

6400cos2,01

12000

d ,

Com θ variando, em cada órbita, de 0° a 360°.

A maior distância do satélite até a superfície da Terra é de:

(A) 3600 km

(B) 4800 km

(C) 5600 km

(D) 7200 km

(E) 8600 km

Grade de Análise

Expectativas institucionais -

Nas Orientações Curriculares do Ensino Médio há indicações para que o professor

utilize funções para modelar fenômenos periódicos: "[...] As funções trigonométricas seno e

cosseno também devem ser associadas aos fenômenos que apresentam comportamento

periódico." (BRASIL, 2006, p.74). Nesse sentido, avaliar se o candidato a professor calcula

o valor de uma função que serve como modelo para uma situação parece ir ao encontro do

que se propõe nesse documento.

164

O material de apoio ao currículo Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009e, p. (13)

propõe como um estudo importante, a modelagem de situações que envolvem ideias

relacionadas à periodicidade, uma vez que, segundo seus autores, as funções

trigonométricas têm uma “notável potencialidade para representar fenômenos periódicos”

(SÃO PAULO, 2010, p.44)

Observa-se que nesse mesmo material seus autores apresentam a trigonometria como

um conteúdo a ser desenvolvido pelo professor no 1º- bimestre da 2ª- série. (SÃO PAULO,

2009, p. 10). Afirmam ainda que as atividades desenvolvidas nesse material de apoio

procuram relacionar os eixos Números e Funções por meio da periodicidade e que é essa a

ideia fundamental que possibilita modelar determinados fenômenos por meio de uma

equação matemática. Nesse sentido, uma habilidade necessária ao candidato a professor

seria analisar e resolver com correção uma função que modela uma determinada situação

que envolve um fenômeno periódico.


O candidato precisa reconhecer que quanto menor o número que se encontra no

denominador da fração, maior será a resultante da operação da divisão, e que o menor valor

de cosseno é -1 (180° e seus côngruos). Partindo dessas premissas basta efetuar a operação.


mobilizável.

Assim como na questão 71, Simplificado 2012 a questão dada apresenta uma fórmula

que deve ser utilizada pelo candidato, mas o valor de não é um dos dados do problema,

então é necessário que o candidato saiba qual é o valor de que satisfaz a pergunta (no

caso é o ângulo cujo cosseno é o menor possível), para então determinar a distância

solicitada.

165

Contexto: Artificial para uma situação extramatemática



O docente precisa conhecer funções, cálculo do valor numérico de uma expressão,

valores numéricos de seno e cosseno no círculo trigonométrico.

166

TAREFA 20 - Questão 18 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1,

branca, 2013, p.5)

A figura a seguir mostra o perfil de um muro de uma represa. A primeira parte da rampa

tem inclinação de 20° com a horizontal e a segunda parte tem inclinação de 50°.

Considerando, sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94, o valor aproximado da altura total do

muro (h) é de:

(A) 9,4 m (B) 10,2 m (C) 11,1 m (D) 12,3 m (E) 13,0 m

A análise dessa questão foi apresentada nas páginas (26 - 28), como exemplo de nossa

grade de análise.

167

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nas considerações finais, apresentam-se análises referentes ao trabalho realizado:

Trigonometria: Expectativas Institucionais Para A Prática Docente. Todavia, é conveniente

retomar, sucintamente, alguns aspectos dessa pesquisa.

Como qualquer outro trabalho científico, há um período de indecisões em que o

conteúdo "Trigonometria" era extremamente vasto para uma Dissertação de Mestrado.

Nossas diversas discussões levaram a várias reflexões e à decisão de abordar as provas de

concursos referentes à SEE/SP, a partir do ano de 2008. A partir da decisão do tema, e de

várias pesquisas realizadas que demonstraram que poucos trabalhos foram publicados em

relação à temática da Trigonometria.

O propósito desta pesquisa foi analisar as questões que envolvam noções relativas à

Trigonometria propostas em concursos públicos da SEE/SP e relacioná-las com as

orientações contidas no Currículo do Estado de São Paulo para o desenvolvimento desse

conteúdo na Educação Básica.

A pesquisa bibliográfica foi o ponto de partida e encontramos fontes de conhecimento

que muito auxiliaram neste trabalho. Pode-se citar Shulman (1987) que forneceu

informações relativas ao conhecimento necessário a um professor (Conhecimento

específico do conteúdo, Conhecimento pedagógico do conteúdo e Conhecimento curricular

do conteúdo); Nacarato et al (2005) que forneceram importantes análises referentes ao

Concurso de Ingresso de Professores de Matemática realizado pela SEE/2003; Robert

(1998) que apresentou os níveis de conhecimento: Técnico, Mobilizável e Disponível cuja

leitura foi fundamental e necessária às análises das provas de concursos SEE/SP, a partir de

2008 quando o conteúdo de trigonometria foi abordado e, finalmente, mas não menos

importante Spinelli, (2011) com sua tese de doutorado: A Construção do Conhecimento

entre o Abstrair e o Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática, que faz enxergar

outro modelo de aulas, em que a contextualização e a abstração são fatores importantes

168

para que os alunos se sintam atraídos pelas aulas. Além disso, Spinelli, em sua tese, se

aproxima dos documentos oficiais (PCN+, OCEM), quando indica a necessidade de

ampliar o trabalho relativo às competências leitora-escritora dos alunos.

A partir desse ponto, houve a análise das provas de concursos da SEE/SP com a

separação de questões que diziam respeito à temática de Trigonometria, com a criação de

uma grade de análise que fosse compatível com os documentos oficiais e pesquisas

relacionadas à Trigonometria, quanto ao conhecimento profissional do professor de

Matemática. Na grade, foram contemplados: Expectativas Institucionais, Descrição da

tarefa, Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert), Contexto,


(Shulman).

A questão de pesquisa foi: Quais são os conhecimentos necessários ao professor de

Matemática da rede pública estadual para ensinar noções relativas à Trigonometria na

Educação Básica, na perspectiva do currículo oficial e dos concursos públicos destinados à

seleção de profissionais para atuar na área?

Para responder a essa pergunta, iniciamos nossa pesquisa em 2012. A fim de obter uma

análise mais aprofundada sobre o assunto, participei do Concurso de Ingresso no cargo de

Professor de Matemática (PEBII), realizado pela SEE/SP no ano de 2013, em que os

candidatos classificados ingressaram em 2014. A partir das análises referentes à Prova de

Ingresso 2013 da SEE/SP, houve a análise das questões de trigonometria propostas nos

certames a partir de 2008.

Nossa primeira análise, refere-se ao número de questões de Trigonometria por prova e à

porcentagem de questões referentes ao assunto em relação à totalidade das questões. Segue

tabela que contém esses números.

169

Tabela 4 - Questões de trigonometria x concurso realizado

FONTE: A pesquisa

Como verificado anteriormente, o número de questões da prova específica variou em

relação à especificidade da prova (formação, ingresso, mérito e processo simplificado).

Sendo assim, preferiu-se analisar o quesito porcentagem de questões de Trigonometria em

relação ao número total de questões. A porcentagem de questões sobre esse assunto

presentes nas provas para professores de Matemática da SEE/SP variou de 3% a 8%.

Entendemos que a abordagem da Trigonometria é muito vasta. Sendo assim, houve a

necessidade de detalhar os conteúdos trigonométricos mais abordados nas provas de

Concursos da SEE/SP. Os dados referentes aos tipos de questões por ano estão inseridos em

tabela a seguir:

CONCURSO QUESTÕES ESPECÍFICASQUESTÕES DE

TRIGONOMETRIA%

FORMAÇÃO 2010 30 2 7%

MÉRITO 2010 40 2 5%

MÉRITO 2012 40 2 5%

SIMPLIFICADO 2009 60 2 3%




INGRESSO 2013 30 2 7%

170

Tabela 5 - Questões por tipo de conteúdo trigonométrico

FONTE: A pesquisa

Pode-se perceber que, aproximadamente, 76% das questões de Trigonometria referem-

se a: Funções Trigonométricas, Teorema de Pitágoras e Relações Trigonométricas, que

fazem parte da temática que o professor de Matemática deve ensinar aos alunos do Ensino

Médio. Duas questões se afastam das Orientações Curriculares porque abordam o seno da

soma de dois arcos e a função trigonométrica secante.

CONCURSO QUESTÕES POR TIPOQUANTIDADE

DE QUESTÕES

RELAÇÕES ENTRE CORDA E RAIO 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1

TEOREMA DE PITÁGORAS 1

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 1

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1







CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 1




SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS 1


SEN (a - b) 1

SIMPLIFICADO 2012

INGRESSO 2013

FORMAÇÃO 2010

MÉRITO 2010

MÉRITO 2012

SIMPLIFICADO 2009

SIMPLIFICADO 2010

SIMPLIFICADO 2011

171

Segue também tabela que quantifica as questões por tipo de conteúdo trigonométrico:

Tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico

FONTE: A pesquisa

A tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico demonstra a

representatividade das funções trigonométricas que "aparecem" em aproximadamente 40%

das questões de provas que abordam o tema trigonometria.

Durante o processo de configuração desse trabalho, foi criada uma grade de análise para

as provas e é em relação a esses critérios que aprofundamos o nosso trabalho.

QUESTÕES POR TIPO

QUANTIDADE

DE QUESTÕES%

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 8 40%

TEOREMA DE PITÁGORAS 4 20%

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 3 15%

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 2 10%

RELAÇÕES ENTRE CORDA E RAIO 1 5%

SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS 1 5%

SEN (a - b) 1 5%

172

Tabela 7 - Expectativas institucionais

FONTE: A pesquisa

CONCURSO TAREFA EXPECTATIVA INSTITUCIONAL OBSERVAÇÃO

3 ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS CADERNO



6 EXTRAPOLA OS DOCUMENTOS OFICIAIS




2 ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS












20 EXTRAPOLA OS DOCUMENTOS OFICIAIS

SIMPLIFICADO 2011

SIMPLIFICADO 2012

INGRESSO 2013

FORMAÇÃO 2010

MÉRITO 2010

MÉRITO 2012

SIMPLIFICADO 2009

SIMPLIFICADO 2010

173

Ao criar a tabela acima, a intenção foi compilar os dados constantes no Capítulo 5 -

Análise das questões das provas realizadas pela SEE/SP, a fim de facilitar a conclusão. O

primeiro critério de análise se baseia nas expectativas institucionais. Elas indicam os

conteúdos prescritos para a formação adequada dos alunos, tanto nas esferas federais

quanto nas estaduais (SEE/SP) e em relação ao que foi solicitado aos professores nas

provas de concurso, apenas duas questões "fogem" aos conteúdos prescritos aos alunos. A

questão 51 da prova de Mérito do ano de 2010 mostra uma figura que representa a função

secante, porém, os documentos oficiais prescrevem aos alunos apenas o trabalho com as

funções seno e cosseno. Entretanto, cabe ao professor definir o aprofundamento de

determinados conteúdos.

Outra questão que "fugiu" às expectativas institucionais foi a de número 18 da prova de

ingresso de 2013, pois para a resolução desta questão, o professor deve reconhecer como

uma possível forma de resolução da questão a aplicação da fórmula do seno da soma de

dois arcos, conteúdo esse que não é priorizado nos documentos oficiais. Porém, essa

questão também pode ser resolvida com aproximações dos senos de 45° e 60°, conteúdo

prescrito para os alunos do Ensino Médio.

A coluna "Observação" da tabela 7 refere-se ao conteúdo que foi abordado nos cadernos

dos alunos. Por conseguinte, nota-se que dos conteúdos prescritos pelos documentos

oficiais, apenas a questão 50 do processo de seleção simplificado do ano de 2009, não

possui atividade igual ou similar no Caderno dos Alunos.

Com relação à descrição da tarefa, item constante na grade de análise, não houve a

preocupação de discorrer a respeito desse tema, já que as considerações são únicas e

referentes apenas a cada uma das questões analisadas.

Tabulou-se também as questões de Trigonometria em relação ao nível de conhecimento

esperado (Robert,1998) e Categorias de conhecimentos necessários ao ensino (Shulman,

1987). Os dados encontram-se na tabela a seguir:

174

Tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento

FONTE: A pesquisa

A tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento, apresenta um dado

interessante: 90% das questões requerem do candidato um procedimento além de uma mera

aplicação de fórmula. Consequentemente, é necessária reflexão que resulte em uma solução

CONCURSO TAREFA

NÍVEL DE

CONHECIMENTO

ESPERADO (ROBERT)

CATEGORIA DE

CONHECIMENTO (SHULMAN)CONTEXTO

3 MOBILIZÁVELCONHECIMENTO ESPECÍFICO

DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA

4 MOBILIZÁVELCONHECIMENTO ESPECÍFICO E

PEDAGÓGICO DO CONTEÚDO

REAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA

1 TÉCNICOCONHECIMENTO ESPECÍFICO

DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA

2 DISPONÍVELCONHECIMENTO ESPECÍFICO

DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

REAL -

INTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA


DO CONTEÚDO

ARTIFICIAL -

EXTRAMATEMÁTICA

FORMAÇÃO 2010

MÉRITO 2010

MÉRITO 2012

SIMPLIFICADO 2009

SIMPLIFICADO 2010

SIMPLIFICADO 2011

SIMPLIFICADO 2012

INGRESSO 2013

175

adequada à questão. Em relação às categorias de conhecimento (Shulman), percebe-se que

todas as questões envolvem o conhecimento específico do conteúdo e o candidato é

avaliado por esse conhecimento. Todavia, apesar das questões serem voltadas para o

conhecimento específico do conteúdo, o professor, em sala de aula, também deve ser

possuidor do conhecimento pedagógico do conteúdo, uma vez que esse conhecimento será

um diferencial na introdução e abordagem de temas necessários para abranger o

conhecimento dos alunos.

Tabulamos então, os dados relativos aos contextos em que as questões foram

elaboradas:

Tabela 9 - Contexto

FONTE: A pesquisa

Em relação ao contexto, as questões foram analisadas da seguinte forma: Artificial,

quando o autor da questão usa elementos de contexto que são desnecessários para a

resolução da tarefa. Real, quando o contexto envolve situações reais. Além disso, também

se levou em consideração se o contexto é intra ou extramatemática, ou seja, se a abordagem

é exclusiva da Matemática, ou se a abordagem está voltada a um conteúdo não matemático.

A análise das questões indicou como conhecimentos necessários ao professor, para

ensinar trigonometria, conteúdos como: funções, relações e círculo trigonométrico e

teorema de Pitágoras que totalizam 85% das questões de Trigonometria que constam nas

provas analisadas. Além disso, quanto ao conhecimento pedagógico do conteúdo foi, em

nosso ponto de vista, avaliado por essas questões que envolvem situações que envolvem

situações de modelagem cuja solução requer a elaboração de estratégias que facilitassem o

entendimento do conteúdo abordado.

ARTIFICIAL REAL

INTRAMATEMÁTICA 1 11

EXTRAMATEMÁTICA 7 1

176

Da mesma forma no que se refere aos conhecimentos necessários ao professor, para

ensinar Trigonometria, é importante ressaltar que pela análise de orientações curriculares

para a abordagem desse conteúdo tanto em documentos oficiais federais como estaduais,

especialmente o Caderno do Professor, encontramos, por exemplo, a introdução por meio

do estudo da periodicidade envolvida no fenômeno das marés. Nesse sentido, parece que

houve uma preocupação com contextos significativos estabelecendo relações

interdisciplinares, especialmente entre física e matemática, pois exige que o professor

disponha além dos conhecimentos de Matemática também o conhecimento específico de

Física.

No entanto, não notamos haver nas provas questões que avaliassem conhecimentos

referentes à organização curricular. Embora alguns itens tenham sido elaborados num

contexto que era tratado no currículo, observa-se que os itens tinham quase que

exclusivamente o propósito de examinar o conhecimento do conteúdo específico do

candidato.

Sob a luz da análise de diferentes aspectos, pode-se concluir que a Trigonometria

continua sendo um conteúdo pouco discutido e estudado e esperamos ter contribuído para

aumentar o número dessas discussões. Sabe-se, ainda, que muitos dos questionamentos

aqui presentes permanecem sem respostas, mas isso não nos impede de sonhar que muito

em breve eles sejam plenamente resolvidos.

177

Referências Bibliográficas

ALMEIDA, M. E. B. A tecnologia precisa estar presente na sala de aula, São Paulo,

Revista Educar para Crescer Digital, 2014. Disponível em:

http://educarparacrescer.abril.com.br/gestao-escolar/tecnologia-na-escola-618016.shtml.

Acesso em: 05/04/2014 = 11h12.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino

Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, 2006.

______ Secretaria de Educação Média e Tecnológicas Parâmetros Curriculares

Nacionais Ensino Médio. Parte I - Bases Legais. Brasília. 2000.

______ Secretaria de Educação Média e Tecnológicas. Parâmetros Curriculares

Nacionais Ensino Médio. Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias. Brasília. 2000.

______ Secretaria de Educação Média e Tecnológicas. PCN+. Ciências da Natureza,

Matemática e suas Tecnologias. Brasília. 2002.

http://fgvprojetos.fgv.br/sites/fgvprojetos.fgv.br/files/concursos/padrao_-_prova_-

_parte_dissertativa.pdf. Acesso em 18/05/2013 - 13h40.

JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago. 1976.

HUEB, M. C. Geometria, Um Balanço Dos Trabalhos Publicados No Ano de 2010 No

Brasil. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11, 2013,

Curitiba. Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Curitiba: PUC,

2013a.

______ Da Geometria a Trigonometria, , uma reflexão sobre os trabalhos publicados no

ano de 2010. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DE MATEMÁTICA, 4,

2013.Canoas. Anais do IV Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Canoas:

ULBRA, 2013b.

178

NACARATO, A. M. ET AL; Saberes Docentes em Matemática: Uma Análise da Prova do

Concurso Paulista de 2003, Revista de Educação Matemática, Volume 9, ns. 9 e 10, p. 61

- 70, SBEM - SP, 2005

PIETROPAOLO, R.C. . Parâmetros Curriculares de Matemática para o Ensino

Fundamental. Educação Matemática em Revista, São Paulo: SBEM, SP, edição especial,

ano 9, n. 11A, p. 34-8, abr. 2002.

ROBERT, A. Outils D'Analyse des Contenus Mathématiques à Enseigner au Lycée à

L'Université, RDM, Vol 18, n. 2, p 139-190, 1998

______ (1997) in: L’enseignement de l’algèbre lineaire en question Dorier, J.L. et al.

Grenoble: La Pensée Sauvage,149-157

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Currículo do Estado de São Paulo - Matemática e suas Tecnologias -

Ensino Fundamental - Ciclo II e Ensino Médio, São Paulo: SE/CENP, 2010.

______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.

Caderno do Professor - Matemática - 7a série - EF - volume 4, São Paulo: SE/CENP,

2009a.



2009b.



2009c.


Caderno do Professor - Matemática - 1a série - EM - volume 4, São Paulo: SE/CENP,

2009d.



2009e.

179



2009f.

______ Câmara. Deputados Estaduais. Resolução n. 80 de 2009g. Dispõe sobre à definição

de perfis de competências e habilidades requeridas para professores da rede pública

estadual e bibliografia para exames e concursos, e dá providências correlatas.

______ Câmara. Deputados Estaduais. Resolução n. 52 de 2013. Dispõe sobre à definição

de perfis, competências e habilidades requeridas para professores da rede estadual de

ensino, os referenciais bibliográficos e de legislação, que fundamentam e orientam a

organização de exames, concursos e processos seletivos, e dá providências correlatas.

______ Câmara. Deputados Estaduais. Instruções Especiais n. 02 de 2013.

SHULMAN, L. S. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard

Educational Review, Vol. 57, n. 1, p.1-21, 1987.

SPINELLI, WALTER. A Construção do Conhecimento entre o Abstrair e o

Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática. Tese de Doutorado, USP/SP, 2011.

VIEIRA MELO, MARISOL. Relação de Teses e Dissertações. Revista Zetetiké, Vol. 19,

n. 36, p. 95-148, 2011.

<HTTP://WWW.VUNESP.COM.BR/ENCERRADOS/CENCERRADOS.HTML> Acesso

em 15/10/2012.

180

ANEXOS

Caderno do Professor

O Caderno do professor foi um documento imprescindível para a nossa compreensão dos

objetivos, das abordagens e sugestões que dizem respeito ao conteúdo de trigonometria. À

seguir, apresentamos o Caderno do Professor da 2a série do EM que foi utilizado para

embasar a nossa pesquisa.

Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.1

181


182


183


184


185


186


187


188


189


190


191


192


193


194


195


196


197


198


199


200


201


202


203


204


205


206


207


208


209


1

210


211


212


213


214


215


216


217


218


219


220


221


222


223


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225


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227


228


229


230


231


232


233


234


235


236


237


238


239


240


Anexo 2 - Resolução SE - 80, de 3-11-2009

Dispõe sobre a definição de perfis de competências e habilidades requeridos para

professores da rede pública estadual e bibliografia para exames e concursos, e dá

providências correlatas

O Secretário da Educação, à vista do que lhe representou o Comitê Gestor de

elaboração de provas, de que trata a Resolução SE 69/2000, e considerando a necessidade:

de explicitação dos perfis de competências e habilidades desejáveis aos professores

da rede pública estadual;

241

de orientação dos processos de concursos públicos e de ações de formação

continuada segundo tais perfis, resolve:

Artigo 1º - Aprova-se o Anexo que integra esta resolução com a indicação dos perfis

de habilidades e competências requeridos de Professores PEB-I, PEB-II e de Educação

Especial, bem como da bibliografia básica.

Artigo 2º - Os perfis de habilidades e competências, bem como a bibliografia básica

indicada, serão requeridos na primeira etapa do concurso público para provimento de

cargos de Professor Educação Básica II, para seleção de docentes temporários e para

progressão na carreira.

Parágrafo único - Para as ações de formação continuada desenvolvidas no âmbito da

Secretaria da Educação serão observados os mesmos perfis e bibliografia constantes do

Anexo que integra esta resolução.

Artigo 3º - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação.

Nota:

Res. SE nº 69/09;

Onde se lê: ..., de que trata a Resolução SE 69/2000, ...; leia-se: ..., de que trata a

Resolução SE 69/2009,... (retificação do DOE de 12/11/09);

Alterada pela Res. SE nº 02/10;

Revogada pela Res. SE nº 70/10.

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Exames e Concursos de Professores

PEB I / PEB II / Educação Especial

- Perfis Profissionais -

Outubro

242

2009

243

SUMÁRIO

SUMÁRIO ........................................................................................................................................ 243

1.4 MATEMÁTICA ..................................................................................................................... 243

2 PERFIL DOS PROFESSORES PEB-II ................................................................................ 246

2.1 PARTE GERAL COMUM A TODAS AS ÁREAS ........................................................................ 246

2.1.1 Cultura geral e profissional ......................................................................................... 246

2.1.2 Conhecimentos sobre crianças, jovens e adultos ........................................................ 246

2.1.3 Conhecimentos sobre a dimensão cultural, social, política e econômica da educação

......................................................................................................................................................... 247

2.1.4 Conteúdos das áreas de conhecimento que são objeto de ensino ............................... 248

2.1.5 Conhecimento pedagógico ........................................................................................... 250

2.1.6 Conhecimento advindo da experiência ....................................................................... 250

2.1.7 Conhecimentos para o desenvolvimento profissional ................................................. 251

2.1.8 Competências do Professor - Parte Geral ................................................................... 251

2.1.9 Bibliografia para Parte Geral ...................................................................................... 255

2.1.10 Documentos para Parte Geral ....................................................................................... 256

2.6 PERFIL DESEJADO PARA O PROFESSOR DE MATEMÁTICA ................................................. 257

2.6.1 O professor de Matemática deve apresentar o seguinte perfil: ................................... 257

2.6.2 Habilidades do professor de Matemática .................................................................... 259

2.6.3 Bibliografia para Matemática ..................................................................................... 263

2.6.4 Documentos para Matemática ..................................................................................... 263

1.4.Matemática

Dominar os conteúdos relacionados às áreas de conhecimento (Língua Portuguesa,

Matemática, História, Geografia e Ciências Naturais) objetos da atividade docente.

Conteúdos Competências Habilidades

A construção

do

Conhecimento

Matemático

Compreender os processos de

construção do conhecimento

matemático, valorizando suas

aplicações práticas e também

seu caráter abstrato.

Propor situações de aprendizagem

por meio das quais os estudantes

compreendam que a construção de

conhecimentos matemáticos, não

se dá como imposição de regras e

de procedimentos, mas como fruto

de experimentações, levantamento

de hipóteses, validações.

Usar a resolução de problemas

e a investigação como eixos

metodológicos para a

exploração dos diferentes

temas matemáticos,

valorizando as estratégias

Identificar estratégias dos

estudantes;

Relacionar estratégias utilizadas

pelos alunos na resolução de

problemas à intervenções

adequadas do professor.

244

pessoais de seus estudantes e

sabendo fazer intervenções que

conduzam à análise de

estratégias mais eficientes.

Conteúdos

matemáticos e

didáticos:

Números

Naturais e

Sistema de

Numeração

Decimal,

Números

Racionais nas

suas

representações

fracionária,

decimal e

percentual,

Operações com

Números

Naturais e

Racionais,

Espaço, formas

tridimensionais

e

bidimensionais,

Grandezas e

Medidas e

Tratamento da

Informação

Conhecer e utilizar os

conteúdos matemáticos

previstos na Orientações

Curriculares do Estado de S

Paulo para o Ciclo I.

Selecionar atividades a serem

realizadas por estudantes dos anos

iniciais do ensino fundamental que

evidenciem aplicações práticas do

conhecimento matemático, ligadas

ao seu cotidiano, mas também as

que busquem especulações de

caráter mais abstrato.

Procurar regularidades, fazer

conjecturas, formular

generalizações e organizar

logicamente o pensamento para a

resolução de problemas

matemáticos.

Buscar a ampliação de

conhecimentos didáticos

relacionados ao ensino e à

aprendizagem, atualizando-se

em relação aos resultados de

pesquisas na área de Educação

Matemática.

Utilizar para o preparo de seus

planos de ensino os resultados de

pesquisa ligados especialmente à

construção dos números naturais e

racionais, aos campos aditivo e

multiplicativo, à resolução de

problemas, a obstáculos

epistemológicos e didáticos, à

construção de conhecimentos

geométricos, métricos e

estatísticos.

Utilizar resultados de

pesquisas, na área da educação

matemática, ligados à

construção dos números

naturais e racionais, aos

campos aditivo e

multiplicativo, à resolução de

problemas, aos obstáculos

epistemológicos e didáticos, à

construção de conhecimentos

geométricos, métricos e

estatísticos para a elaboração

de situações de ensino.

Analisar a coerência de atividades

didáticas com as indicações

produzidas em pesquisas na área

de Educação Matemática.

Selecionar e utilizar diferentes recursos didáticos, ajustando-os às necessidades de

aprendizagem dos estudantes.

245


O uso de recursos

didáticos

Apropriar-se de recursos

tecnológicos (calculadora,

softwares, objetos de

aprendizagem etc.) que possam

contribuir para seu

desenvolvimento profissional e

para sua atuação em sala de

aula, explorando-os em prol da


Apropriar-se de recursos

tecnológicos (calculadora,

softwares, objetos de

aprendizagem etc.) que possam

contribuir para seu

desenvolvimento profissional e

para sua atuação em sala de

aula, explorando-os em prol da


Gerenciar a classe, organizando o tempo, o espaço e o agrupamento dos estudantes, de

modo a potencializar as aprendizagens.


Gestão da sala de

aula de

matemática

Comunicar-se

matematicamente por meio de

diferentes linguagens (natural,

gráfica, figural) explorando

diferentes registros de

representação e sabendo

realizar conversões entre eles.

Reconhecer a importância de

incentivar os estudantes a se

comunicarem nas aulas de

Matemática, fazendo uso da

leitura e da escrita, de

desenhos, de gráficos, de

tabelas e outros recursos de

comunicação.

Utilizar as hipóteses que os

estudantes formulam sobre

ideias e procedimentos

matemáticos para fazer

intervenções que façam os

alunos avançarem em seu

processo de aprendizagem.

Identificar boas situações em os

alunos possam expor as

hipóteses que formulam sobre

ideias e procedimentos

matemáticos.

Avaliar a aprendizagem dos estudantes através de estratégias diversificadas e utilizar a

análise dos resultados para reorganizar as propostas de trabalho.


Avaliação em

Matemática

Analisar

estratégias

pessoais das

crianças

Utilizar análise dos erros e acertos das crianças

para verificar sua compreensão dos conteúdos

matemáticos.

Eleger estratégias de ensino a partir de resultados

de avaliação.

Avaliar a eficiência de situações didáticas para a aprendizagem dos estudantes,

envolvendo diferentes conhecimentos presentes no currículo escolar.

246


Didática da

Matemática

Utilizar critérios para

selecionar e organizar

atividades matemáticas a

serem realizadas pelos

estudantes dos anos iniciais

do ensino fundamental.

Identificar critérios para elaborar ou

utilizar situações didáticas

adequadas aos objetivos de

aprendizagem que pretende atingir,

articulando os diferentes conteúdos

matemáticos em variadas

modalidades organizativas.

2. PERFIL DOS PROFESSORES PEB-II

2.1. Parte Geral comum a todas as áreas

2.1.1. Cultura geral e profissional

Uma cultura geral ampla favorece o desenvolvimento da sensibilidade, da imaginação, a

possibilidade de produzir significados e interpretações do que se vive e de fazer

conexões – o que, por sua vez, potencializa a qualidade da intervenção educativa.

Do modo como é entendida aqui, cultura geral inclui um amplo espectro de temáticas:

familiaridade com as diferentes produções da cultura popular e erudita e da cultura de

massas e atualização em relação às tendências de transformação do mundo

contemporâneo.

A cultura profissional, por sua vez, refere-se àquilo que é próprio da atuação do

professor no exercício da docência. Fazem parte desse âmbito temas relativos às

tendências da educação e do papel do professor no mundo atual.

É necessário, também, que os cursos de formação ofereçam condições para que os

futuros professores aprendam a usar tecnologias de informação e comunicação, cujo

domínio é importante para a docência e para as demais dimensões da vida moderna.

2.1.2. Conhecimentos sobre crianças, jovens e adultos

A formação de professores deve assegurar o conhecimento dos aspectos físicos,

cognitivos, afetivos e emocionais do desenvolvimento individual tanto de uma

247

perspectiva científica quanto à relativa às representações culturais e às práticas sociais

de diferentes grupos e classes sociais. Igualmente relevante é a compreensão das formas

diversas pelas quais as diferentes culturas atribuem papéis sociais e características

psíquicas a faixas etárias diversas.

A formação de professores deve assegurar a aquisição de conhecimentos sobre o

desenvolvimento humano e sobre a forma como diferentes culturas caracterizam as

diferentes faixas etárias e sobre as representações sociais e culturais dos diferentes

períodos: infância, adolescência, juventude e vida adulta. Igualmente importante é o

conhecimento sobre as peculiaridades dos alunos que apresentam necessidades

educacionais especiais.

Para que possa compreender quem são seus alunos e identificar as necessidades de

atenção, sejam relativas aos afetos e emoções, aos cuidados corporais, de nutrição e

saúde, sejam relativas às aprendizagens escolares e de socialização, o professor precisa

conhecer aspectos psicológicos que lhe permitam atuar nos processos de aprendizagem

e socialização; ter conhecimento do desenvolvimento físico e dos processos de

crescimento, assim como dos processos de aprendizagem dos diferentes conteúdos

escolares em diferentes momentos do desenvolvimento cognitivo, das experiências

institucionais e do universo cultural e social em que seus alunos se inserem. São esses

conhecimentos que o ajudarão a lidar com a diversidade dos alunos e a trabalhar na

perspectiva da escola inclusiva.

É importante que, independentemente da etapa da escolaridade em que o futuro

professor vai atuar, ele tenha uma visão global sobre esta temática, aprofundando seus

conhecimentos sobre as especificidades da faixa etária e das práticas dos diferentes

grupos sociais com a qual vai trabalhar.

2.1.3. Conhecimentos sobre a dimensão cultural, social, política e

econômica da educação

Este âmbito, bastante amplo, refere-se a conhecimentos relativos à realidade social e

política brasileira e a sua repercussão na educação, ao papel social do professor, à

discussão das leis relacionadas à infância, adolescência, educação e profissão, às

248

questões da ética e da cidadania, às múltiplas expressões culturais e às questões de

poder associadas a todos esses temas.

Diz respeito, portanto, à necessária contextualização dos conteúdos, assim como o

tratamento dos Temas Transversais – questões sociais atuais que permeiam a prática

educativa como ética, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho, consumo e

outras – seguem o mesmo princípio: o compromisso da educação básica com a

formação para a cidadania e buscam a mesma finalidade: possibilitar aos alunos a

construção de significados e a necessária aprendizagem de participação social.

Igualmente, políticas públicas da educação, dados estatísticos, quadro geral da situação

da educação no país, relações da educação com o trabalho, relações entre escola e

sociedade são informações essenciais para o conhecimento do sistema educativo e,

ainda, a análise da escola como instituição – sua organização, relações internas e

externas – concepção de comunidade escolar, gestão escolar democrática, Conselho

Escolar e projeto pedagógico da escola, entre outros.

2.1.4. Conteúdos das áreas de conhecimento que são objeto de ensino

Incluem-se aqui os conhecimentos das áreas que são objeto de ensino em cada uma das

diferentes etapas da educação básica. O domínio desses conhecimentos é condição

essencial para a construção das competências profissionais apresentadas nestas

diretrizes.

Nos cursos de formação para a educação infantil e séries iniciais do ensino fundamental

é preciso incluir uma visão inovadora em relação ao tratamento dos conteúdos das áreas

de conhecimento, dando a eles o destaque que merecem e superando abordagens

infantilizadas de sua apropriação pelo professor.

Nos cursos de formação para as séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio, a

inovação exigida para as licenciaturas é a identificação de procedimentos de seleção,

organização e tratamento dos conteúdos, de forma diferenciada daquelas utilizadas em

cursos de bacharelado; nas licenciaturas, os conteúdos disciplinares específicos da área

são eixos articuladores do currículo, que devem relacionar grande parte do saber

249

pedagógico necessário ao exercício profissional e estar constantemente referidos ao

ensino da disciplina para as faixas etárias e as etapas correspondentes da Educação

Básica.

Em ambas situações é importante ultrapassar os estritos limites disciplinares,

oferecendo uma formação mais ampla na área de conhecimento, favorecendo o

desenvolvimento de propostas de trabalho interdisciplinar, na Educação Básica. São

critérios de seleção de conteúdos, na formação de professores para a Educação Básica,

as potencialidades que eles têm no sentido de ampliar:

a) a visão da própria área de conhecimento que o professor em formação deve construir;

b) o domínio de conceitos e de procedimentos que o professor em formação trabalhará

com seus alunos da educação básica;

c) as conexões que ele deverá ser capaz de estabelecer entre conteúdos de sua área com

as de outras áreas, possibilitando uma abordagem de contextos significativos.

São critérios de organização de conteúdos, as formas que possibilitam:

a) ver cada objeto de estudo em articulação com outros objetos da mesma área ou da

área afim;

b) romper com a concepção linear de organização dos temas, que impede o

estabelecimento de relações, de analogias etc.

Dado que a formação de base, no contexto atual da educação brasileira, é muitas vezes

insuficiente, será muitas vezes necessária a oferta de unidades curriculares de

complementação e consolidação desses conhecimentos básicos. Isso não deve ser feito

por meio de simples "aulas de revisão", de modo simplificado e sem o devido

aprofundamento.

Essa intervenção poderá ser concretizada por programas ou ações especiais, em

módulos ou etapas a serem oferecidos aos professores em formação. As Diretrizes e os

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio devem

ser usados como balizadores de um diagnóstico a ser, necessariamente, realizado logo

no início da formação.

250

Convém destacar a necessidade de contemplar na formação de professores conteúdos

que permitam analisar valores e atitudes. Ou seja, não basta tratar conteúdos de natureza

conceitual e/ou procedimental. É imprescindível que o futuro professor desenvolva a

compreensão da natureza de questões sociais, dos debates atuais sobre elas, alcance

clareza sobre seu posicionamento pessoal e conhecimento de como trabalhar com os

alunos.

2.1.5. Conhecimento pedagógico

Este âmbito refere-se ao conhecimento de diferentes concepções sobre temas próprios

da docência, tais como, currículo e desenvolvimento curricular, transposição didática,

contrato didático, planejamento, organização de tempo e espaço, gestão de classe,

interação grupal, criação, realização e avaliação das situações didáticas, avaliação de

aprendizagens dos alunos, consideração de suas especificidades, trabalho diversificado,

relação professor-aluno, análises de situações educativas e de ensino complexas, entre

outros. São deste âmbito, também, as pesquisas dos processos de aprendizagem dos

alunos e os procedimentos para produção de conhecimento pedagógico pelo professor.

2.1.6. Conhecimento advindo da experiência

O que está designado aqui como conhecimento advindo da experiência é, como o nome

já diz, o conhecimento construído “na” e “pela” experiência. Na verdade, o que se

pretende com este âmbito é dar destaque à natureza e à forma com que esse

conhecimento é constituído pelo sujeito. É um tipo de conhecimento que não pode ser

construído de outra forma senão na prática profissional e de modo algum pode ser

substituído pelo conhecimento “sobre” esta prática. Saber – e aprender – um conceito ou

uma teoria é muito diferente de saber – e aprender – a exercer um trabalho. Trata-se,

portanto, de aprender a “ser” professor.

Perceber as diferentes dimensões do contexto, analisar como as situações se constituem

e compreender como a atuação pode interferir nelas é um aprendizado permanente, na

medida em que as questões são sempre singulares e novas respostas precisam ser

construídas. A competência profissional do professor é, justamente, sua capacidade de

251

criar soluções apropriadas a cada uma das diferentes situações complexas e singulares

que enfrenta.

Assim, este âmbito de conhecimento está relacionado às práticas próprias da atividade

de professor e às múltiplas competências que as compõem e deve ser valorizado em si

mesmo. Entretanto, é preciso deixar claro que o conhecimento experiencial pode ser

enriquecido quando articulado a uma reflexão sistemática. Constrói-se, assim, em

conexão com o conhecimento teórico, na medida em que é preciso usá-lo para refletir

sobre a experiência, interpretá-la, atribuir-lhe significado.

2.1.7. Conhecimentos para o desenvolvimento profissional

A definição dos conhecimentos exigidos para o desenvolvimento profissional origina-se

na identificação dos requisitos impostos para a constituição das competências. Desse

modo, além da formação específica relacionada às diferentes etapas da Educação

Básica, requer a sua inserção no debate contemporâneo mais amplo, que envolve tanto

questões culturais, sociais, econômicas, como conhecimentos sobre o desenvolvimento

humano e sobre a própria docência.

2.1.8. Competências do Professor - Parte Geral

2.1.8.1. Competências relativas aos fundamentos do processo

educativo.

C.I - Compreender o processo de sociabilidade e de ensino e aprendizagem na escola e

nas suas relações com o contexto no qual se inserem as instituições de ensino e atuar

sobre ele.

H1 - Identificar as novas demandas que a sociedade do conhecimento está colocando

para a educação escolar.

H2 - Identificar formas de atuação docente, possíveis de serem implementadas,

considerando o contexto das políticas de currículo da Secretaria de Estado da Educação

de São Paulo, nas dimensões sala de aula, escola e diretoria.

252

C.II - Situar a escola pública no seu ambiente institucional e explicar as relações

(hierarquias, articulações, obrigatoriedade, autonomia) que ela mantém com as

diferentes instâncias da gestão pública, utilizando conceitos tais como:

sistema de ensino; sistema de ensino estadual e municipal;

âmbitos da gestão das políticas educacionais - nacional, estadual e municipal, MEC,

Secretarias Estaduais e Municipais, Conselho Nacional de Educação;

legislação básica da educação: LDB, diretrizes curriculares nacionais, atos normativos

da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo e papel do Conselho Estadual de

Educação de SP;

carreira do magistério – legislação e mudanças recentes.

H3 - Identificar a composição, os papéis e funções da equipe de uma escola e as normas

que devem reger as relações entre os profissionais que nela trabalham.

H4 - Reconhecer principais leis e normas que regulamentam a profissão de professor,

sendo capaz de identificar as incumbências do professor, tal como prescritas pelo Art.

13 da LDB, em situações concretas que lhe são apresentadas.

Art. 13 Os docentes incumbir-se-ão de:

I. participar da elaboração da proposta pedagógica do estabelecimento de ensino;

II. elaborar e cumprir plano de trabalho, segundo a proposta pedagógica do

estabelecimento de ensino;

III. zelar pela aprendizagem dos alunos;

IV. estabelecer estratégias de recuperação para os alunos de menor rendimento;

V. ministrar os dias letivos e horas-aula estabelecidos, além de participar

integralmente os períodos dedicados ao planejamento, à avaliação e ao

desenvolvimento profissional;

VI. colaborar com as atividades de articulação da escola com as famílias e a

comunidade.

C.III - Reconhecer a importância de participação coletiva e cooperativa na elaboração,

gestão, desenvolvimento e avaliação do projeto educativo e curricular da escola,

253

identificando formas positivas de atuação em diferentes contextos da prática

profissional, além da sala de aula.

H5 - Diante de um problema de uma escola caracterizada, indicar os aspectos que

merecem ser discutidos e trabalhados coletivamente pela equipe escolar.

H6 - Identificar os diferentes componentes do Projeto Pedagógico.

H7 - Escolher entre as justificativas apresentadas as que mais se adequam ao papel do

professor na elaboração e/ou execução desse Projeto.

C.IV - Promover uma prática educativa que leve em conta as características dos alunos

e de seu meio social, seus temas e necessidades do mundo contemporâneo e os

princípios, prioridades e objetivos do projeto educativo e curricular.

H8 - Analisar os fatores socioeconômicos que afetam o desempenho do aluno na escola

e identificar ações para trabalhar com esses impactos externos, seja no sentido de

aproveitá-los como enriquecimento dos conteúdos curriculares seja no sentido de

atenuar eventuais efeitos negativos.

C.V - Compreender o significado e a importância do currículo para garantir que todos

os alunos façam um percurso básico comum e aprendam as competências e habilidades

que têm o direito de aprender, sabendo identificar as diferenças entre o Currículo que é

praticado (colocado em ação) na escola e as Diretrizes e Parâmetros Curriculares

Nacionais.

H9 - Compreender as fases de desenvolvimento da criança e do jovem e associar e

explicar como a escola e o professor devem agir para adequar o ensino e promover a

aprendizagem em cada uma dessas etapas.

H10 - Caracterizar, explicar e exemplificar o que pode ser uma parceria colaborativa

dos pais com a escola, tendo em vista melhorar a qualidade das aprendizagens dos

alunos.

254

2.1.8.2. Competências referentes ao domínio do conhecimento

pedagógico

C.VI - Diante de informações gerais sobre a escola, a idade da turma, a etapa

(Fundamental ou Médio) e o ano (série), bem como sobre os recursos pedagógicos

existentes e outras condições pertinentes da escola, propor situações de aprendizagem

de sua disciplina, nas quais sejam explicitadas e explicadas:

1. o que o aluno deverá aprender com a situação proposta;

2. o conteúdo a ser ensinado;

3. o tempo de duração e sua distribuição;

4. as formas de agrupamento dos alunos nas atividades previstas;

5. a forma de apresentar e comunicar aos alunos os objetivos da situação; as atividades

de professor e aluno distribuídas no tempo, de modo a ficar claro o percurso a ser

realizado para que a aprendizagem aconteça;

6. o tipo de acompanhamento que o professor deve fazer ao longo do percurso;

7. as estratégias de avaliação e as possíveis estratégias de recuperação na hipótese de

problemas de aprendizagem.

H11 - Identificar e justificar a importância dos organizadores de situações de

aprendizagem (competências e habilidades que os alunos deverão constituir; conteúdos

curriculares selecionados; atividades do aluno e do professor; avaliação e recuperação).

H12 - Reconhecer estratégias para gerenciar o tempo em sala de aula, nas seguintes

situações, considerando a diversidade dos alunos, os objetivos das atividades propostas

e as características dos próprios conteúdos:

Existência de alunos que aprendem mais depressa e alunos mais lentos;

Tempo insuficiente para dar conta do conteúdo previsto no plano de trabalho (anual,

bimestral, semanal);

Sugerir e explicar formas de agrupamento dos alunos, indicando as situações para as

quais são adequadas.

H13 - Utilizar estratégias diversificadas de avaliação da aprendizagem e, a partir de seus

resultados, reconhecer propostas de intervenção pedagógica, considerando o

desenvolvimento de diferentes capacidades dos alunos;

255

H14 - Compreender o significado das avaliações externas – nacionais e internacionais –

que vêm sendo aplicadas no Brasil e reconhecer alcances e limites do uso dos resultados

que o país vem apresentando nessas avaliações na última década.

H15 - Identificar as principais características do SARESP após suas modificações de

2007.

H16 - Interpretar adequadamente o IDEB – como se constrói, para que serve, o que

significa para a educação escolar brasileira.

2.1.8.3. Competências referentes ao conhecimento de processos de

investigação que possibilitem o aperfeiçoamento da prática pedagógica

C.VII - Demonstrar domínio de processos de ação e investigação que possibilitem o

aperfeiçoamento da prática pedagógica.

H17 - Diante de situações-problema relativas às relações interpessoais que ocorrem na

escola, identificar a origem do problema e as possíveis soluções.

H18 - Dada uma situação de sala de aula, identificar os aspectos relevantes a serem

observados e o registro mais adequado dessas observações.

H19 - Identificar e/ou selecionar dados de investigações ou estudos relevantes para a

prática em sala de aula.

2.1.8.4. Competências referentes ao gerenciamento do próprio

desenvolvimento profissional

H20 - Identificar dados e informações sobre a organização, gestão e financiamento dos

sistemas de ensino, sobre a legislação e as políticas públicas referentes à educação para

uma inserção profissional crítica.

2.1.9. Bibliografia para Parte Geral

1. OLIVEIRA, Marta K. de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento; um processo

sócio-histórico. 4. ed. São Paulo: Scipione,1997.

2. ASSMANN, Hugo. Metáforas novas para reencantar a educação – epistemologia

e didática. Piracicaba: Unimep, 2001.

3. COLL, César e outros. O construtivismo na sala de aula. São Paulo: Ática, 2006.

4. COLL, César; MARTÍN, Elena e colaboradores. Aprender conteúdos &

desenvolver capacidades. Porto Alegre: Artmed, 2004.

256

5. CONTRERAS, José. A autonomia dos professores. São Paulo: Cortez, 2002.

6. DELORS, Jacques e EUFRAZIO, José Carlos. Educação: um tesouro a descobrir.

São Paulo: Cortez, 1998.

7. FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática docente.

São Paulo: Paz e Terra, 2008.

8. GARDNER, Howard; PERKINS, David; PERRONE, Vito e colaboradores. Ensino

para a compreensão. A pesquisa na prática. Porto Alegre: Artmed, 2007.

9. HARGREAVES, Andy. O ensino na sociedade do conhecimento: educação na era

da insegurança. Porto Alegre: Artmed, 2003.

10. HOFFMANN, Jussara. Avaliar para promover: as setas do caminho. Porto

Alegre: Mediação, 2001.

11. LERNER, Délia. Ler e escrever na escola: o real, o possível, o necessário. Porto

Alegre: Artmed, 2002.

12. MARZANO, Robert J.; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. Ensino que

funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos

alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.

13. MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo:

Cortez, 2006.

14. PERRENOUD, Philippe. 10 novas competências para ensinar. Porto Alegre:

Artmed, 2000.

15. PIAGET, Jean. Para onde vai a educação?. Rio de Janeiro: José Olimpio, 2007.

16. PIAGET, Jean. Psicologia e pedagogia: a resposta do grande psicólogo aos

problemas do ensino. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1998.

17. TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes,

2002.

18. TEDESCO, Juan Carlos. O novo pacto educativo. São Paulo: Ática, 2001.

19. VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Avaliação da Aprendizagem - Práticas de

Mudança: por uma praxis transformadora. São Paulo: Libertad, 2003.

20. ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed,

1998.

2.1.10. Documentos para Parte Geral

1. BRASIL. MEC. DCNs do Ensino Fundamental. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/1998/pceb004_98.pdf

2. BRASIL. MEC. DCNs do Ensino Médio - Parecer 15/98. Disponível em:


3. BRASIL. MEC/INEP. Fundamentos teórico-metodológicos do ENEM. Disponível

em: http://www.publicacoes.inep.gov.br/detalhes.asp?pub=4005

4. BRASIL. MEC/INEP. IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica).

Disponível em: http://portalideb.inep.gov.br/

5. BRASIL. MEC/INEP. Prova Brasil e o SAEB. Disponível em:

http://provabrasil.inep.gov.br/

6. BRASIL. MEC/SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais. Introdução. Terceiro e

Quarto Ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF,1997. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/introducao.pdf

7. BRASIL. MEC/SEMTEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio.

Brasília: MEGSEMTEC, 2002.



http://www.publicacoes.inep.gov.br/detalhes.asp?pub=4005

http://portalideb.inep.gov.br/

http://provabrasil.inep.gov.br/

257

8. SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de

São Paulo para o ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio: Documento de

Apresentação. São Paulo: SE, 2008. Disponível em:

http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Portals/18/arquivos/PropostaCurricularGeral_

Internet_md.pdf

2.6. Perfil desejado para o professor de Matemática

Duas são as dimensões fundamentais na formação profissional do professor de

Matemática:

a competência técnica, no sentido do conhecimento dos conteúdos matemáticos a

serem ensinados, bem como dos recursos metodológicos para apresentá-los aos alunos,

com a compreensão do significado dos mesmos em contextos adequados, referentes aos

universos da cultura, do trabalho, da arte, da ciência ou da tecnologia;

o compromisso público com a Educação, decorrente de uma compreensão dos

aspectos históricos, filosóficos, sociológicos, psicológicos, antropológicos, políticos e

econômicos da educação e do ensino, o que viabilizará uma participação efetiva do

professor como agente formador, tanto na conservação quanto na transformação da

realidade.

As duas dimensões citadas – a competência técnica e o compromisso público – são

complementares e interdependentes, devendo ser avaliadas em provas gerais e de

conteúdos específicos.

Para a caracterização da competência específica do professor de Matemática,

explicitaremos a seguir um elenco de dez formas mais usuais de manifestação das

mesmas:

2.6.1. O professor de Matemática deve apresentar o seguinte perfil:

1. Gostar de Matemática, compreendendo o papel de sua disciplina como uma

linguagem que complementa a língua materna, enriquecendo as formas de expressão

para todos os cidadãos, e munindo a ciência de instrumentos fundamentais para seu

desenvolvimento;

258

2. Conhecer os conteúdos matemáticos com uma profundidade e um discernimento

que lhe possibilite apresentá-los como meios para a realização dos projetos dos

alunos, não tratando os conteúdos como um fim em si mesmo, nem vendo os alunos

como futuros matemáticos, ou professores de matemática, mas sim como cidadãos que

aspiram a uma boa formação pessoal;

3. Saber criar centros de interesse para os alunos, explorando situações de

aprendizagem em torno das quais organizará os conteúdos a serem ensinados, a partir

dos universos da arte, da cultura, da ciência, da tecnologia ou do trabalho, levando em

consideração o contexto social da escola;

4. Saber mediar conflitos de interesse, dando a palavra aos alunos e buscando

aproximar seus interesses, às vezes difusos, daqueles que estão presentes no

planejamento escolar;

5. Ser capaz de identificar as ideias fundamentais presentes em cada conteúdo que

ensina, uma vez que tais ideias ajudam a articular internamente os diversos temas da

matemática, e a aproximar a matemática das outras disciplinas;

6. Ser capaz de mapear os diversos conteúdos relevantes, sabendo articulá-los de

modo a oferecer aos alunos uma visão panorâmica dos mesmos, plena de significações

tanto para a vida cotidiana quanto para uma formação cultural mais rica;

7. Saber escolher uma escala adequada em cada turma, em cada situação concreta,

para apresentar os conteúdos que considera relevantes, não subestimando a capacidade

de os alunos aprenderem, nem tratando os temas com excesso de pormenores, de

interesse apenas de especialistas;

8. Ser capaz de construir relações significativas entre os conteúdos apresentados aos

alunos e os temas presentes em múltiplos contextos, incluindo-se os conteúdos de outras

disciplinas, favorecendo, assim, a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade;

259

9. Saber construir narrativas que articulem os diversos elementos presentes nos

conteúdos ensinados, inspirando-se na História da Matemática para articular ideias e

enredos por meio dos quais ascendemos da efemeridade das informações isoladas à

estabilidade do conhecimento organizado;

10. Ser capaz de alimentar permanentemente os interesses dos alunos, estimulando

a investigação e a capacidade de pesquisar, de fazer perguntas, bem como de orientar e

depurar interesses menos relevantes, assumindo, com tolerância, a responsabilidade

inerente à função que exerce.

2.6.2. Habilidades do professor de Matemática

Um professor de Matemática deve ser capaz de mobilizar os conteúdos específicos de

sua disciplina, tendo em vista o desenvolvimento das competências pessoais dos alunos.

De acordo com a Proposta Curricular, as competências gerais a serem visadas são a

capacidade de expressão em diferentes linguagens, de compreensão de fenômenos

nas diversas áreas da vida social, de construção de argumentações consistentes, de

enfrentamento de situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações

imaginadas, não diretamente relacionadas com o prático-utilitário, e de formulação de

propostas de intervenção solidária na realidade.

Para construir uma ponte entre os conteúdos específicos e tais competências gerais, é

necessário identificar, em cada conteúdo, as ideias fundamentais a serem estudadas:

proporcionalidade, equivalência, ordem, medida, aproximação, problematização,

otimização são alguns exemplos de tais ideias.

Para isso, o professor deve apresentar certas habilidades específicas, associadas aos

conteúdos da área, tendo sempre o discernimento suficiente para reconhecer que tais

conteúdos constituem meios para a formação pessoal dos alunos.

São apresentadas, a seguir, vinte de tais habilidades específicas a serem demonstradas

pelo professor de Matemática:

260

1. Tendo por base as ideias de equivalência, ordem, construir o significado dos

números (naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos), bem como das

operações realizadas com eles em diferentes contextos;

2. Enfrentar situações-problema em diferentes contextos, sabendo traduzir as perguntas

por meio de equações, inequações ou sistemas de equações, e mobilizar os instrumentos

matemáticos para resolver tais equações, inequações ou sistemas;

3. Tendo por base a dimensão simbólica do conceito de número, desenvolver de modo

significativo a notação e as técnicas para representar algebricamente números e

operações com eles, incluindo-se a ideia de matriz para representar tabelas de números

(contagem de pixels em uma tela, coeficientes de um sistema de equações lineares, etc.).

4. Reconhecer equações e inequações como perguntas, saber resolver sistematicamente

equações e inequações polinomiais de grau 1, 2, e conhecer propriedades das

equações polinomiais de grau superior a 2, que possibilitem a solução das mesmas,

em alguns casos (relações entre coeficientes e raízes, redução de grau, fatoração, etc.);

5. Tendo como referência as situações de contagem direta, construir estratégias e

recursos de contagem indireta em situações contextualizadas (cálculo combinatório,

binômio de Newton, arranjos, combinações, permutações);

6. Conhecer a ideia de medida de grandezas de variados tipos (comprimento, área,

volume, massa, tempo, temperatura, ângulo etc.), sabendo expressar ou estimar tais

medidas por meio da comparação direta da grandeza com o padrão escolhido, utilizando

tanto unidades padronizadas quanto unidades não-padronizadas, e valorizando as ideias

de estimativa e de aproximações;

7. Explorar de modo significativo a ideia de proporcionalidade (razões, proporções,

grandezas direta e inversamente proporcionais) em diferentes situações, equacionando e

resolvendo problemas contextualizados de regra de três simples e composta, direta e

inversa;

261

8. Explorar regularidades e relações de interdependência de diversos tipos, inclusive

as sucessões aritméticas e geométricas, representando relações de interdependência

por meio de gráficos de variadas formas, e construindo significativamente o conceito de

função;

9. Conhecer as principais características das funções polinomiais de grau 1, grau 2, ...

grau n, sabendo esboçar seu gráfico e relacioná-lo com as raízes das equações

polinomiais correspondentes, e explorar intuitivamente as taxas de crescimento e

decrescimento das funções correspondentes;

10. Conhecer as propriedades fundamentais de potências e logaritmos, sabendo utilizá-

las em diferentes contextos, bem como sistematizá-las no estudo das funções

exponenciais e logarítmicas;

11. Compreender e aplicar as relações de proporcionalidade que caracterizam as razões

trigonométricas (seno, cosseno, tangente, entre outras) em situações práticas, bem

como ampliar o significado de tais razões por meio do estudo das funções

trigonométricas, associando as mesmas aos fenômenos periódicos em diferentes

contextos;

12. A partir da percepção do espaço e das formas, construir uma linguagem adequada

para a representação de tais percepções, reconhecendo e classificando formas planas

(ângulos, triângulos, quadriláteros, polígonos, circunferências, entre outras) e espaciais

(cubos, paralelepípedos, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outras);

13. Com base nas propriedades características de objetos planos ou espaciais,

desenvolver estratégias para construções geométricas dos mesmos, especialmente com

instrumentos como régua e compasso, tendo em vista uma compreensão mais ampla do

espaço em que vivemos, de suas representações e de suas propriedades;

14. Explorar a linguagem e as ideias geométricas para desenvolver a capacidade de

observação, de percepção de relações como as de simetria e de semelhança, de

262

conceituação, de demonstração, ou seja, de extração de consequências lógicas a partir

de fatos fundamentais diretamente intuídos ou já demonstrados anteriormente;

15. Explorar algumas relações geométricas especialmente significativas, como as

relativas às somas de ângulos de polígonos, aos Teoremas de Tales e de Pitágoras, e

muito especialmente as relações métricas relativas ao cálculo de comprimentos, áreas e

volumes de objetos planos e espaciais;

16. Explorar uma abordagem algébrica da geometria – ou seja, a geometria analítica,

representando retas e curvas, como as circunferências e as cônicas, por meio de

expressões analíticas e sabendo resolver problemas geométricos simples por meio do

recurso a tais recursos algébricos;

17. Explorar de modo significativo as relações métricas e geométricas na esfera

terrestre, especialmente no que tange a latitudes, longitudes, fusos horários;

18. Resolver problemas de escolhas que envolvem a ideia de otimização (máximos

ou mínimos) em diferentes contextos, recorrendo aos instrumentos matemáticos já

conhecidos, que incluem, entre outros temas, a função polinomial do 2º grau e algumas

noções de geometria analítica;

19. Compreender a ideia de aleatoriedade, reconhecendo-a em diferentes contextos,

incluindo-se jogos e outras classes de fenômenos, e sabendo quantificar a incerteza por

meio do cálculo de probabilidades em situações que envolvem as noções de

independência de eventos e de probabilidade condicional;

20. Saber organizar e/ou interpretar conjuntos de dados expressos em diferentes

linguagens, recorrendo a noções básicas de estatística descritiva e de inferência

estatística (média, mediana, desvios, população, amostra, distribuição binomial,

distribuição normal, entre outras noções) para tomar decisões em situações que

envolvem incerteza.

263

2.6.3 Bibliografia para Matemática

1.LOJKINE, Jean – A Revolução Informacional. São Paulo: Cortez Editora, 1995.

2.BESSON, Jean-Louis (Org.). A ilusão das estatísticas. São Paulo: Editora da

UNESP, 1995.

3.BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.

4.CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:

Gradiva, 1998.

5.DAVIS, Philip J., HERSH, Reuben – O Sonho de Descartes. O mundo de acordo

com a Matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1988.

6.COURANT, Richard, ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Uma abordagem

elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000.

7.DERTOUZOS, Michael. O que será? Como o novo mundo da informação

transformará nossas vidas. São Paulo: Companhia das Letras, 1997.

8.DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. O talento para lidar com números e a

evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro/São Paulo: Editora Record,

2004.

9.EGAN, Kieran. A mente educada. Os males da Educação e a ineficiência

educacional das escolas. Rio de Janeiro: Editora Bertand Brasil, 2002.

10.GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo

maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.

11.LIMA, Elon Lajes et alii. A Matemática do Ensino Médio (3 volumes). Coleção do

Professor de Matemática/Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro: SBM,

1999.

12.MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides. A História da Geometria, das

linhas paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2004.

13.MOLES, Abraham. A criação científica. São Paulo: Editora Perspectiva, 1998

14.SATOY, Marcus Du. A música dos números primos. A história de um problema

não resolvido na matemática. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2007.

15.SBM - Sociedade Brasileira de Matemática. Revista do Professor de Matemática

(RPM). São Paulo: IMEUSP (Publicação quadrimestral, números de 56 a 70).

2.6.4. Documentos para Matemática

1.SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de

São Paulo para o ensino de Matemática para o Ensino Fundamental Ciclo II e

Ensino Médio. São Paulo: SE, 2008. Disponível em:

http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Portals/18/arquivos/Prop_MAT_COMP_red_

md_20_03.pdf

264

Anexo 3 - Resolução SE - 52, de 14-8-2013

Dispõe sobre os perfis, competências e habilidades requeridos dos Profissionais da

Educação da rede estadual de ensino, os referenciais bibliográficos e de legislação, que

fundamentam e orientam a organização de exames, concursos e processos seletivos, e dá

providências correlatas

O Secretário da Educação, à vista do que lhe representou a Coordenadoria de Gestão da

Educação Básica – CGEB, e considerando a importância da:

- sistematização dos requisitos mínimos que embasam os processos seletivos e os

concursos públicos dos Profissionais da Educação na consolidação de um ensino

público democrático e de qualidade;

- adoção de procedimentos operacionais de competitividade que concretizem princípios

de igualdade e eficiência devidamente sintonizados com a natureza das atividades do

cargo ou função dos Profissionais da Educação da rede estadual de ensino,

Resolve:

Artigo 1º - Ficam aprovados os ANEXOS A, B, C, D e E, integrantes desta resolução,

que dispõem sobre os perfis, as competências, as habilidades dos Profissionais da

Educação, os respectivos referenciais bibliográficos e a legislação, a serem requeridos

de Professores, Diretores de Escola e Supervisores de Ensino, da rede estadual de

ensino, nos exames, concursos e processos seletivos promovidos por esta Pasta.

Artigo 2º - Os requisitos acadêmicos e os atributos requeridos para o exercício de todo

profissional da educação implicam, obrigatoriamente, o domínio:

I - das competências, das habilidades, dos referencias bibliográficos e de legislação de

Educador e de Docente (ANEXO A); e

II - das competências, das habilidades, dos referencias bibliográficos e de legislação das

respectivas especificidades do cargo ou função objeto do exame, concurso ou processo

seletivo (ANEXOS B, C, D e E).

Parágrafo único – Para o atendimento ao contido neste artigo, os perfis, as

competências, as habilidades, os referenciais bibliográficos e de legislação se

265

apresentam organizados na conformidade dos anexos A a E, que integram a presente

resolução.

Artigo 3º - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação, revogadas as

disposições em contrário e, em especial, as Resoluções SE nº 69, de 1º.10.2009, nº 70,

de 26.10.2010, nº 13, de 3.3.2011, e nº 37, de 7.6.2013, produzindo seus efeitos a partir

de 2 de setembro de 2013.

ANEXO A

I. EDUCADOR

1. PERFIL 2

O exercício profissional de educador requer formação geral humanista/crítica,

comprometida com a construção e ampliação de uma sociedade mais justa, posicionada

contra as desigualdades sociais e a qualquer forma de opressão que garanta a todos as

mesmas oportunidades de desenvolvimento de suas potencialidades. Exige, também,

formação específica referenciada nas diversas áreas de conhecimento e no seu papel

político em contribuir na apropriação e transformação da cultura. Pressupõe

Uma formação que habilite o educador a interpretar e fazer conexões com vivências

de cunho ambiental, econômico, político, social, cultural e educacional; a dialogar sobre

tais vivências e a realizar ações que promovam a qualidade da escola, em especial, que

propiciem ensino e aprendizagem relevantes para uma formação integral, que prepare o

aluno para a atuação ética, sustentável e transformadora na vida pessoal, social, política

e no mundo do trabalho. Exercício profissional dessa natureza implica

ação/reflexão/ação, ou seja, exige uma atitude reflexiva, fundada na realidade

educacional e na pesquisa, para a constituição de uma prática pedagógica

emancipatória, referenciada e pertinente à formação do aluno, à pratica educativa, ao

meio em que atua e à finalidade da educação. Em síntese, implica conhecimento dos

elementos sócio-históricos, políticos e culturais que interferem na construção da escola

que temos e desenvolvimento de processos políticos e educativos direcionados à

construção da escola que queremos: centrada no ensino contextualizado, na

transversalidade dos conteúdos escolares referenciados no conhecimento da realidade,

do projeto de educação nacional, do sistema educativo, da escola como instituição, das

266

diferentes tendências pedagógicas, de ensino e de aprendizagem, de desenvolvimento

humano, em seus aspectos físicos, cognitivos, afetivos e socioculturais. Nessa

perspectiva, espera-se que o educador se expresse por meio de práticas que atendam às

demandas da sociedade brasileira, do sistema de ensino e do diálogo entre educadores

nos diferentes níveis do sistema (entre educador e aluno no âmbito da escola e entre

educador e comunidade). A construção desse profissional exige providências do sistema

de ensino e atitude do educador para assegurar o direito e o dever em relação à

formação continuada em serviço centrada na análise, reflexão e efetivação de ações que

respondam às demandas educacionais direcionadas à luta pela educação como direito de

todos. Pressupõe o desenvolvimento de competências e habilidades que expressem a

compreensão do educador a respeito da relação entre a escola e a sociedade em geral, a

comunidade local, a sua função social e os espaços de atuação nos diferentes níveis do

sistema de ensino, federal, estadual, escola e sala de aula.

2. COMPETÊNCIAS

2.1 Educação Nacional

2.1.1 Relação Educação /Sociedade

a) Conhecer o Projeto Educacional da sociedade brasileira, que se depreende dos

princípios constitucionais e da legislação educacional.

b) Conhecer a função social da educação escolar e ser proficiente no uso da língua

portuguesa, oral e escrita, em todas as situações sociais e atividades relevantes para o

exercício profissional.

c) Compreender que à educação formal cabe promover o desenvolvimento integral do

educando, respondendo às demandas que a sociedade atual coloca para a educação

escolar.

d) Compreender criticamente a inclusão no projeto educacional brasileiro,

especialmente sua abertura às dimensões da diferença, da diversidade e do

multiculturalismo.

e) Conhecer os problemas e conflitos que afetam o convívio social (saúde, segurança,

dependência química, educação para o trânsito, pluralidade cultural, ética,

sustentabilidade ambiental, orientação sexual, trabalho e consumo) e compreender como

eles podem provocar preconceitos, manifestações de violência e impactos sociais,

267

políticos, econômicos, ambientais e educacionais, reconhecendo a si mesmo como

protagonista e agente transformador no âmbito de sua atuação profissional.

f) Aprimorar a capacidade de: transformação, iniciativa, criatividade, vontade de

aprender e abertura às mudanças, e ter a consciência da necessidade de uma educação

de qualidade e das implicações éticas e políticas do seu trabalho.

g) Compreender que vivemos em uma sociedade heterogênica e plural, onde se deve

respeitar e valorizar as diferenças.

2.1.2 Sistema de Ensino Público de São Paulo: Educação Básica

a) Compreender a escola pública como ambiente institucional e de relações que

profissionais e alunos mantém com as diferentes instâncias da gestão pública

b) Compreender os processos de implementação da política educacional da Secretaria

de Estada da Educação de São Paulo (SEE/SP), seus programas e projetos.

c) Compreender a composição, os papéis e funções da equipe de uma escola e do

sistema de ensino e as normas que regem as relações entre os profissionais que nela

trabalham.

d) Conhecer e compreender os mecanismos institucionais de organização,

desenvolvimento e avaliação do sistema de ensino.

e) Compreender os significados dos processos de avaliação educacional, reconhecer

alcances e limites do uso de seus resultados, para análise e reflexão do desempenho

escolar nas avaliações internas e externas, a fim de organizar e reorganizar as propostas

de trabalho.

f) Conhecer e interpretar adequadamente o Índice de Desenvolvimento da Educação

Básica - IDEB e o Índice de Desenvolvimento Educacional de São Paulo-IDESP, como

se constroem, para que servem e o que significam para a educação escolar brasileira e

paulista.

g) Desenvolver processo de ação e de investigação que possibilitem o aperfeiçoamento

profissional e da prática pedagógica.

h) Compreender a importância da autoavaliação e do autodesenvolvimento para o

aprimoramento profissional.

2.1.3 Escola

2.1.3.1 Currículo escolar, planejamento e avaliação

268

a) Compreender a importância da escola pública para a democratização do acesso ao

conhecimento sistematizado e colocar em prática metodologias que facilitem o acesso a

esse conhecimento por parte dos alunos.

b) Fazer escolhas pedagógicas orientadas por princípios éticos e democráticos, de modo

a promover a inclusão e evitar a reprodução de discriminações e injustiças.

c) Compreender e dispor-se à participação coletiva e colaborativa na elaboração,

desenvolvimento e avaliação da proposta pedagógica, cooperando em diferentes

contextos escolares.

d) Compreender os processos de desenvolvimento da criança e do adolescente, da

aprendizagem e sociabilidade dos alunos, considerando as dimensões cognitivas,

afetivas e sociais e as relações com o contexto no qual se inserem as instituições de

ensino para atuar sobre tal contexto.

e) Compreender a natureza dos processos de ensino e de aprendizagem que se articulam

na relação professor/ aluno, relação de comunicação entre sujeitos que constroem

conhecimento, sendo capaz de reconhecer fatores socioeconômicos, pedagógicos, do

ambiente escolar que podem causar impactos externos e internos que afetam o

aproveitamento do aluno na escola.

f) Desenvolver um ensino com foco na aprendizagem do aluno com vistas a sua

inserção como sujeito na sua comunidade e na sociedade.

g) Compreender a abrangência e a importância das orientações curriculares deste

sistema de ensino, tendo em vista a construção do currículo escolar contextualizado e

centralizado na aprendizagem do aluno.

h) Conhecer e compreender princípios, métodos e recursos educacionais como

elementos de apoio das ações educativas.

i) Participar nos espaços coletivos, visando à reflexão e análise sobre as práticas

educativas, para o planejamento, acompanhamento, avaliação e replanejamento do

trabalho escolar.

2.1.3.2 Relação Escola e Comunidade

a) Compreender a escola como parte da comunidade escolar, uma vez que a mesma é

constituída pelos professores, pela equipe gestora, pelos alunos, pelos funcionários e

pelos pais e/ou responsáveis pelos alunos.

269

b) Desenvolver parcerias com a comunidade escolar, ou seja, a do entorno da escola e

demais organizações e instituições.

c) Construir espaços coletivos de participação entre escola, família e comunidade

3. BIBLIOGRAFIA

A) Livros e Artigos

1. CARVALHO, Rosita Edler. Educação Inclusiva com os Pingos nos Is. 2. ed. Porto

Alegre: Mediação, 2005.

2. CORTELLA, Mário Sérgio. A escola e o conhecimento:

fundamentos epistemológicos e políticos. 14. ed., São Paulo, Cortez, 2011.

3. FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43.

ed., São Paulo: Paz e Terra, 2011.

4. FREITAS, Luiz Carlos de. Eliminação Adiada: o ocaso das classes populares no

interior da escola e a ocultação da (má) qualidade do ensino. Educação e Sociedade,

Campinas, vol. 28. n.100 – Especial, p.965-987, out. 2007. Disponível em:

\<http://www.scielo.br/pdf/es/v28n100/a1628100.pdf \>. Acesso em: 2 jul.2013.

5. GATTI, Bernadete Angelina; BARRETO, Elba de Sá; ANDRÉ, Marli Eliza Dalmazo

de Afonso. Políticas docentes no Brasil: um estado da arte. Brasília: UNESCO, 2001.

Disponível em:\< http://unesdoc.unesco.org/images/0021/002121/212183por.pdf\>

Acesso em: 05 jul. 2013

6. LA TAILLE, Yves.DANTAS, Heloisa e OLIVEIRA, Marta Kohl de, Piaget,

Vygotsky, Wallon: teorias psicogenéticas em discussão. 24. ed. São Paulo: Summus,

1992.

7. MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro, UNESCO/Cortez

Editora, cap. III e IV, p. 47-78, e cp. VI, 93-104, 2000. Disponível em:

\<https://www.google.com.br/#output=search&sclient=psy-

ab&q=www.sistemas.ufrn.br%2Fshared%2FverArquivo%3FidArquivo%3D1035842&o

q=www.sistemas.ufrn.br%2Fshared%2FverArquivo%3FidArquivo%3D1035842&gs_l=

hp.12...2330.2330.0.4025.1.1.0.0.0.0.169.169.

0j1.1.0....0...1c..21.psyab.saDFff2tqN4&pbx=1&bav=on.2,or.r_cp.r_qf.&bvm=bv.4947

8099,d.dmg&fp=9f8639b5091b4696&biw=1366&bih=673\>Acesso em: 2 jul.2013.

8. RIOS, Terezinha Azerêdo. Ética e competência. 20. ed., São Paulo: Cortez, 2011.

9. SACRISTÀN, J. Gimeno; PÉREZ GOMES, A. I. Compreender e transformar o

ensino. 4. ed. Porto Alegre: ARTMED, 2000.

10. SAVIANI, Dermeval. Histórias das ideias pedagógicas no Brasil. Campinas;

Autores Associados, 2010.

11. TEIXEIRA, Anísio. A escola pública universal e gratuita.

Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos. Rio de Janeiro, v.26, n.64, out./dez. 1956.

p.3-27. Disponível em: \< http://www.bvanisioteixeira.ufba.br/artigos/gratuita.html\>

Acesso em 03 jul.2013.

B) Publicações Institucionais

1. BRASIL. Secretaria de Educação Especial. Política Nacional de Educação Especial

na perspectiva da educação inclusiva. Brasília, MEC/SEESP, 2008. Disponível em:

\<http: //portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/politicaeducespecial.pdf\>. Acesso em: 18 jul.

2013.

270

2. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

temas transversais. Brasília: MEC/SEF, 1998. Disponível em:

\<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ttransversais.pdf\>. Acesso em: 18 jul. 2013.

3. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de

São Paulo para o Ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio: documento de

apresentação. São Paulo: SE, 2012, p. 7-20. Disponível em:

\<http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/EnsinoFundCicloII/Materiais/tabid/1044/D

efault.aspx \> Acesso em: 18 jul.2013.

4. LEGISLAÇÃO

1. BRASIL CONSTITUIÇÃO DA REPÚBLICA FEDERATIVA DO BRASIL – 1988.

(Artigos 5º, 6º; 205 a 214)

2. BRASIL LEI Nº 8.069, DE 13 DE JULHO DE 1990.

Dispõe sobre o Estatuto da Criança do Adolescente – ECA(Artigos 1º a 6º; 15 a 18; 60 a

69)

3. BRASIL. LEI Nº 9.394, DE 20 DE DEZEMBRO DE 1996.

Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB

4. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CP Nº 1, DE 17 DE JUNHO DE 2004.

Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação das Relações Étnico-Raciais

e para o Ensino de História e Cultura Afro-Brasileira e Africana (anexo o Parecer

CNE/CP nº 3/2004)

5. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CEB Nº 4, DE 13 DE JULHO DE 2010.

Define Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica (anexo o

Parecer CNE/CEB nº 7/2010)

6. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CP Nº 1, DE 30 DE MAIO DE 2012.

Estabelece Diretrizes Nacionais para a Educação em Direitos Humanos (anexo o

Parecer CNE/CP nº 8/2012)

7. SÃO PAULO. DECRETO Nº 55.588, DE 17 DE MARÇO DE 2010.

Dispõe sobre o tratamento nominal das pessoas transexuais e travestis nos órgãos

públicos do Estado de São Paulo e dá providências correlatas

8. SÃO PAULO. DELIBERAÇÃO CEE Nº 9/97.

Institui, no sistema de ensino do Estado de São Paulo, o regime de progressão

continuada no ensino fundamental.(Indicação CEE nº 8/97 anexa)

II. DOCENTE

1. PERFIL

Ao Professor de Educação Básica compete, como mediador nos processos de apreensão,

compreensão e produção de conhecimento, organizar condições didáticas que permitam

ao aluno a apropriação de bens culturais historicamente acumulados, fundamentais à

educação escolar de qualidade, direito do aluno.

Prática docente, apoiada no diálogo, com vistas ao desenvolvimento de ensino com foco

nas relações entre conhecimento e cultura, currículo e poder, exige do profissional a

271

promoção de aprendizagem referenciada na curiosidade, na cooperação, na pesquisa, na

experimentação, na criatividade, que instaure processos de concepção e de realização de

projetos significativos aos alunos e à comunidade em que vivem. Promover

aprendizagem dessa natureza viabiliza a efetivação do princípio da escola para todos, e

para cada um em particular. Caberá ao profissional

aprender, ensinar e trabalhar com a heterogeneidade, a diversidade e a diferença;

compreender que a relação dialógica/interação entre os sujeitos é inerente à

comunicação, à linguagem e às relações que estabelecem cultural e socialmente e

conhecer a relação entre a teoria e a prática e estar atento à dinâmica entre ambas, para

atuar, permanentemente, como protagonista de suas ações e tomar, com autonomia e

responsabilidade, as decisões pedagógicas que concorrem para a realização de seu

trabalho e a consecução dos objetivos traçados. Para isso é preciso articular as duas

dimensões formativas complementares e interdependentes:

a) a dimensão técnica, que se caracteriza pelo conhecimento dos conteúdos a serem

ensinados e os recursos metodológicos para desenvolvê-los com rigor e compreensão

dos seus significados em contextos diversos, referentes aos universos da cultura, do

trabalho, do meio ambiente, da arte, da ciência e da tecnologia, e

b) a dimensão política que se caracteriza pelo compromisso público com a educação

escolar, decorrente da compreensão dos aspectos históricos, filosóficos, sociológicos,

psicológicos e econômicos que envolvem a educação e o ensino. Também é necessário

compreender como essas duas dimensões se integram com os conteúdos próprios da

docência: currículo; planejamento, organização de tempo e espaço escolar; gestão de

classe, interação grupal, relação entre professor e aluno; elaboração, desenvolvimento e

avaliação de situações didáticas; trabalho diversificado; avaliação de aprendizagem em

suas especificidades; pesquisa sobre sua prática e investimento na autoformação,

fundamentais à participação efetiva do professor na constituição da identidade do

educando como sujeito de uma sociedade em constante transformação, com a finalidade

de torná-lo capaz de atuar na preservação da herança cultural e na transformação da

realidade por ele vivida e, de forma indireta, da sociedade em que está inserido.

272

2. COMPETÊNCIAS

2.1 Educação Nacional

a) Conhecer os atos legais que regulamentam a profissão de professor e ser capaz

aplicá-la em situações que se apresentam no cotidiano do seu trabalho pedagógico.

b) Conhecer os direitos e deveres do docente e atuar em consonância com eles,

regulamentado em lei.

2.1.1 Sistema de Ensino Público de São Paulo: Educação Básica

a) Conhecer formas de atuação docente, situações didáticas e seus elementos

constitutivos para adequá-los à aprendizagem do aluno no que se refere aos conteúdos

conceituais, atitudinais e procedimentais, conforme os contextos locais, das políticas e

do currículo da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, nas dimensões sala de

aula e escola.

b) Compreender a importância da educação escolar para a formação da identidade de

novos sujeitos sociais, para que eles possam integrar a sociedade brasileira, dela

participando de forma ativa e democrática em busca do bem comum.

2.1.2 Escola

a) Reconhecer e valorizar, em situações do cotidiano escolar e em diferentes situações

de aprendizagem, os elementos que podem contribuir para o desenvolvimento de

relações de autonomia e cooperação, entre alunos e aluno/profissional da educação.

b) Conhecer e compreender o Projeto Político Pedagógico da escola na qual atua, a fim

de posicionar-se diante dele, analisar o seu próprio trabalho e propor elementos para seu

aperfeiçoamento.

c) Reconhecer e utilizar os espaços de trabalho coletivo, como espaços de reflexão sobre

a proposta pedagógica da escola e a prática docente e de participação em ações de

formação continuada.

d) Compreender as diferentes etapas de planejamento como uma ação recursiva, flexível

e dinâmica.

e) Refletir sobre o processo de ensino e de aprendizagem, as ações didáticas e o

processo avaliativo, identificando pontos que necessitam mudanças e/ou reformulações.

f) Implementar práticas educativas que levem em conta as necessidades pessoais e

sociais dos alunos, os temas e demandas do mundo contemporâneo e os objetivos da

Proposta Pedagógica.

273

fases de desenvolvimento cognitivo, social e afetivo da criança, do jovem para

a) Organizar processos de ensino e aprendizagem apropriados a cada fase de

desenvolvimento do educando.

b) Propiciar aprendizagem significativa para os alunos, levando em conta suas

experiências, valores e conhecimentos prévios e tomando-os como ponto de partida para

a introdução de novos conteúdos.

c) Explicitar as concepções teóricas, que fundamentam as atividades educativas, para

evitar a dicotomia entre teoria e prática.

d) Apropriar-se dos diferentes componentes que organizam os planos de ensino dos

professores nas disciplinas nas diferentes etapas para sua elaboração, execução e

avaliação.

e) Compreender os princípios da organização curricular das diferentes áreas como

norteadores da organização de ensino centrado na progressão continuada da

aprendizagem.

f) Compreender o ensino da linguagem, associado a todos os conteúdos disciplinares em

todas as séries, exercitando a competência de leitura/compreensão de textos e expressão

escrita.

g) Estabelecer critérios pertinentes e relevantes para a progressão da aprendizagem, tais

como: a natureza, as especificidades e o grau de complexidade dos conteúdos; as

possibilidades de aprendizagem dos alunos; o tratamento didático, metodologia e

procedimentos de ensino e avaliação, os mecanismos de apoio, nas diferentes

modalidades em acordo com seus objetivos, tendo em vista as finalidades do projeto

educativo.

h) Desenvolver competências lógico-discursivas que instrumentalizem o estudante com

vistas à autonomia intelectual, de modo que possa, gradualmente, desenvolver a

consciência crítica e aprender a pensar por conta própria.

i) Empregar diferentes recursos e procedimentos didáticos, ajustando-os às

possibilidades e dificuldades de aprendizagem dos alunos, sempre levando em conta a

natureza, as especificidades e o grau de complexidade dos conteúdos.

j) Conhecer e utilizar recursos tecnológicos relacionados às diferentes mídias e meios de

comunicação, valorizando-os como indispensáveis à socialização de informações e à

prática de diálogo com o aluno.

274

k) Saber planejar e desenvolver os trabalhos em sala de aula, privilegiando rotinas que

atendam às necessidades dos alunos, tendo em vista a diversidade, adequação,

periodicidade das atividades, organização do tempo/espaço e o agrupamento dos alunos

de modo a potencializar as aprendizagens dos diferentes conteúdos/áreas, garantindo,

sempre que possível, a abordagem dos temas transversais pertinentes.

l) Compreender os diferentes contextos que interferem na construção das subjetividades

e identidades do aluno, de modo a lidar adequadamente com os diferentes modos de ser

e estar no mundo deste aluno.

m) Saber mediar situações de conflito e indisciplina em sala de aula.

n) Conhecer e adotar diversas formas de avaliação da aprendizagem dos alunos por

meio de estratégias e instrumentos diversificados e utilizar a análise dos resultados para

reorganizar as propostas de trabalho na escola e na sala de aula.

3. BIBLIOGRAFIA

A) Livros e Artigos

1. ABRAMOVAY, Miriam; CASTRO, Mary Garcia; SILVA, Lorena Bernadete.

Juventudes e sexualidade. Brasília: UNESCO Brasil, 2004. Disponível em:

\<http://unesdoc.unesco.org/images/0013/001339/133977por.pdf\> Acesso em: 05 jul.

2013.

2. FREURI, Reinaldo Matias. Educação intercultural: mediações necessárias. Rio de

Janeiro: Editora DPA, 2003.

3. LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar, 22. ed., São Paulo:

Cortez Editora, 2011.

4. MOREIRA, Antonio Flavio Barbosa. Currículo, diferença cultural e diálogo. Revista

Educação & Sociedade, ano XXIII, n. 79. Agosto/2002, p. 15-38. Disponível em \<

http://www.scielo.br/pdf/es/v23n79/10847.pdf\>. Acesso em: 2 jul.2013.

5. TARDIF, Maurice; LESSARD, Claude. O trabalho docente:

elementos para uma teoria da docência como profissão de interações humanas. Rio de

Janeiro, Petrópolis: Vozes, 2005.

6. SILVA, Tomaz Tadeu da. Documentos de identidade: uma introdução às teorias do

currículo. 2. ed. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2004.

7. ZABALA, Antoni; ARNAU, Laia. Como aprender e ensinar competências. Porto

Alegre: Artmed, 2010.

ANEXO C

MATEMÁTICA

2. COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

COMPETÊNCIAS

275

a) Compreender os processos de construção do conhecimento matemático, valorizando

suas aplicações práticas e também seu caráter abstrato.

HABILIDADES

a.1) Propor situações de aprendizagem por meio das quais os estudantes compreendam

que a construção de conhecimentos matemáticos, não se dá como imposição de regras e

de procedimentos, mas como fruto de experimentações, levantamento de hipóteses,

validações e a socialização das ideias de resolução.

COMPETÊNCIAS

b) Compreender a resolução de problemas e a investigação como eixos metodológicos

para a exploração dos diferentes temas matemáticos, valorizando as estratégias pessoais

dos estudantes.

HABILIDADES

b.1) Reconhecer intervenções pedagógicas que conduzam à análise de estratégias mais

eficientes.

b.2) Identificar e relacionar estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de

problemas a intervenções adequadas do professor.

COMPETÊNCIAS

c) Dominar os conceitos de Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal,

Números Racionais nas suas representações fracionária, decimal e percentual,

Operações com Números Naturais e Racionais, Espaço, formas tridimensionais e

bidimensionais, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação.

HABILIDADES

c.1) Selecionar atividades a serem realizadas pelos alunos dos anos iniciais do ensino

fundamental que evidenciem aplicações práticas do conhecimento matemático, ligadas

ao seu cotidiano, mas também as que busquem especulações de caráter mais abstrato.

c.2) Construir situações de aprendizagem que permitam aos alunos procurar

regularidades, fazer conjecturas, formular generalizações e organizar logicamente o

pensamento para a resolução de problemas matemáticos.

276

COMPETÊNCIAS

d) Conhecer e utilizar os conteúdos matemáticos previstos nas Orientações Curriculares

do Estado de S. Paulo para os Anos Iniciais.

HABILIDADES

d.1) Buscar a ampliação de conhecimentos didáticos relacionados ao ensino e à

aprendizagem, atualizando-se em relação aos resultados de pesquisas na área de

Educação

Matemática.

COMPETÊNCIAS

e) Conhecer os avanços na área da educação matemática, ligados à construção dos

números naturais e racionais, aos campos: aditivo e multiplicativo; à resolução de

problemas; aos obstáculos epistemológicos e didáticos; à construção de conhecimentos

geométricos, métricos e estatísticos para a elaboração de situações de ensino com foco

na aprendizagem dos alunos.

HABILIDADES

e.1) Utilizar o conhecimento dos avanços na área da didática da Matemática para

desenvolver situações de aprendizagem especialmente ligadas especialmente à

construção dos números naturais e racionais, aos campos aditivo e multiplicativo, à

resolução de problemas, a obstáculos epistemológicos e didáticos, à construção de

conhecimentos geométricos, métricos e estatísticos.

e.2) Analisar a coerência de atividades didáticas com as indicações produzidas em

pesquisas na área de Educação Matemática.

COMPETÊNCIAS

f) Apropriar-se de recursos tecnológicos (calculadora, softwares, objetos de

aprendizagem etc.) que possam contribuir para seu desenvolvimento profissional e para

sua atuação em sala de aula, explorando-os em prol da aprendizagem dos alunos.

277

HABILIDADES

f.1) Selecionar recursos didáticos e tecnológicos que potencializem a construção de

conhecimentos matemáticos pelos alunos e propiciem aprendizagens significativas nas

aulas de Matemática.

COMPETÊNCIAS

g) Comunicar-se matematicamente por meio de diferentes linguagens (natural, gráfica,

figural) explorando diferentes registros de representação e sabendo realizar conversões

entre eles.

HABILIDADES

g.1) Reconhecer a importância de incentivar os estudantes a se comunicarem nas aulas

de Matemática, fazendo uso da leitura e da escrita, de desenhos, de gráficos, de tabelas e

outros recursos de comunicação.

COMPETÊNCIAS

h) Identificar boas situações em que os alunos possam expor as hipóteses que formulam

sobre ideias e procedimentos matemáticos.

HABILIDADES

h.1) Utilizar as hipóteses que os estudantes formulam sobre ideias e procedimentos

matemáticos para fazer intervenções que façam os alunos avançarem em seu processo

de aprendizagem.

COMPETÊNCIAS

i) Analisar estratégias pessoais dos alunos no desenvolvimento das atividades propostas.

HABILIDADES

i.1) Verificar a compreensão dos conteúdos matemáticos pelos alunos a partir da análise

dos erros e acertos apresentados nas atividades no dia a dia e nos momentos de

diagnóstico.

i.2) Eleger estratégias de ensino a partir de resultados de avaliação.

278

COMPETÊNCIAS

j) Identificar critérios para elaborar ou utilizar situações didáticas adequadas aos

objetivos de aprendizagem que pretende atingir, articulando os diferentes conteúdos

matemáticos em variadas modalidades organizativas.

HABILIDADES

j.1) Utilizar critérios para selecionar e organizar atividades matemáticas a serem

realizadas pelos estudantes dos anos iniciais do ensino fundamental.

4. LEGISLAÇÃO

1. SÃO PAULO. DECRETO Nº 51.627, DE 1º DE MARÇO DE 2007.

Institui o Programa “Bolsa Formação – Escola Pública e Universidade”

2. SÃO PAULO. RESOLUÇÃO SE Nº 86, DE 19 DE DEZEMBRO DE 2007.

Institui, para o ano de 2008, o Programa “Ler e Escrever”, no Ciclo I das Escolas

Estaduais de Ensino Fundamental das Diretorias de Ensino da Coordenadoria de Ensino

da Região Metropolitana da Grande São Paulo.


Dispõe sobre a constituição de equipe de gestão institucional para ampliação e

aperfeiçoamento do Projeto Bolsa Escola Pública e Universidade na Alfabetização, no

âmbito do Programa Bolsa Formação – Escola Pública e Universidade.


Estende o Programa “Ler e Escrever” para as Escolas Estaduais de Ensino Fundamental

do Interior

ANEXO D

V. PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA II – MATEMÁTICA

1. PERFIL

O professor de Matemática deve ter uma base de conhecimentos necessários para o

ensino de conceitos e procedimentos concernentes a essa área com vistas ao

desenvolvimento das competências pessoais dos alunos. Para isso, ele deverá dominar

não apenas os conteúdos específicos que vai ensinar, mas também construir

conhecimentos curriculares e pedagógicos desses conteúdos, ou seja, aqueles que dizem

respeito à capacidade de seleção, organização e gestão dos componentes e materiais que

deverão favorecer a aprendizagem dos alunos. Desse modo, o professor deverá ser

capaz de identificar os conceitos mais relevantes e articulá-los de modo a favorecer a

construção de significados pelos estudantes. Para tanto, o docente deverá dispor de um

279

acervo variado de situações exemplares e formas distintas de abordagens para os

diferentes conceitos e procedimentos a serem ensinados.

Assim, a prática do professor de Matemática deverá ter como finalidade o

desenvolvimento das competências e habilidades dos alunos de acordo com o Currículo,

caracterizadas pela capacidade de expressão em diferentes linguagens, de compreensão

de fenômenos nas diversas áreas da vida social, de construção de argumentações

consistentes, de enfrentamento de situações-problema em múltiplos contextos,

incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o prático-

utilitário, e de formulação de propostas de intervenção solidária na realidade, visando à

construção de uma ponte entre os conteúdos específicos e tais competências gerais, com

identificação, em cada conteúdo, das ideias fundamentais a serem estudadas:

proporcionalidade, equivalência, ordem, medida, aproximação, problematização, etc.

Para isso, o professor deve apresentar certas habilidades específicas, associadas aos

conteúdos da área, tendo sempre o discernimento suficiente para reconhecer que tais

conteúdos constituem meios para a formação pessoal dos alunos.

2. COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

COMPETÊNCIAS

a) Saber criar centros de interesse para os alunos, explorando situações de aprendizagem

em torno das quais organizará os conteúdos a serem ensinados, a partir dos universos da

arte, da cultura, da ciência, da tecnologia, da economia ou do trabalho, levando em

consideração o contexto social da escola.

b) Ser capaz de identificar as ideias fundamentais presentes em cada conteúdo que

ensina, uma vez que tais ideias ajudam a articular internamente os diversos temas da

matemática, e a aproximar a matemática das outras disciplinas.

c) Ser capaz de mapear os diversos conteúdos relevantes, sabendo articulá-los de modo

a oferecer aos alunos uma visão panorâmica dos mesmos, plena de significações tanto

para a vida cotidiana quanto para uma formação cultural mais rica.

d) Saber escolher uma escala adequada em cada turma para apresentar os conteúdos que

identifica como relevantes não subestimando a capacidade de os alunos aprenderem,

nem tratando os temas com excesso de pormenores, de interesse apenas de especialistas.

280

e) Ser capaz de construir relações significativas entre os conteúdos apresentados aos

alunos e os temas presentes em múltiplos contextos, incluindo-se os conteúdos de outras

disciplinas, de modo a favorecer a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade.

f) Saber construir narrativas que conectem os diversos elementos presentes nos

conteúdos a serem ensinados, valendo-se, na medida do possível, da História da

Matemática para articular ideias e enredos de modo que os conceitos assim abordados

possam se constituir em veículos de informação cultural e sociológica de grande valor

formativo.

g) Ser capaz de alimentar permanentemente os interesses dos alunos, estimulando a

investigação e a capacidade de pesquisar, de fazer perguntas, bem como de orientar e

depurar interesses menos relevantes, assumindo, com tolerância, a responsabilidade

inerente à função que exerce.

h) Compreender que o uso de tecnologias – as digitais e calculadoras, por exemplo –

são fundamentais para o desenvolvimento de competências/habilidades dos estudantes

relativas aos conhecimentos matemáticos como o aspecto dinâmico da geometria, a

construção de gráficos de funções, a representação dos dados e obtenção de medidas

estatísticas de pesquisas com vistas à compreensão e intervenção na realidade, etc.

HABILIDADES

Construir, tendo por base as ideias de equivalência e ordem, o significado dos números

(naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos), bem como das operações

realizadas com eles em diferentes contextos;

Enfrentar situações-problema em diferentes contextos, sabendo traduzir as perguntas

por meio de equações, inequações ou sistemas de equações, e mobilizar os instrumentos

matemáticos para resolver tais equações, inequações ou sistemas;

Desenvolver de modo significativo, tendo por base a dimensão simbólica do conceito de

número, a notação e as técnicas para representar algebricamente números e operações

com eles, incluindo-se a ideia de matriz para representar tabelas de números (contagem

de pixels em uma tela, coeficientes de um sistema de equações lineares etc.);

Reconhecer equações e inequações como perguntas, saber resolver sistematicamente

equações e inequações de grau 1 e 2, e conhecer propriedades das equações polinomiais

281

de grau superior a 2, que possibilitem ,em alguns casos, a solução das mesmas,

(relações entre coeficientes e raízes, redução de grau, fatoração etc.);

Construir estratégias e recursos de contagem indireta em situações contextualizadas

(cálculo combinatório, binômio de Newton, arranjos, combinações, permutações, tendo

como referência as situações de contagem direta);

Conhecer a ideia de medida de grandezas de variados tipos (comprimento, área, volume,

massa, tempo, temperatura, ângulo etc.), sabendo expressar ou estimar tais medidas por

meio da comparação direta da grandeza com o padrão escolhido, utilizando tanto

unidades padronizadas quanto unidades não padronizadas, e considerando as ideias de

estimativa e de aproximações;

Explorar de modo significativo a ideia de proporcionalidade (razões, proporções,

grandezas direta e inversamente proporcionais) em diferentes situações, equacionando e

resolvendo problemas contextualizados de regra de três simples e composta, direta e

inversa;

Explorar regularidades e relações de interdependência de diversos tipos, inclusive as

sucessões aritméticas e geométricas, representando relações de interdependência por

meio de gráficos de variadas formas, e construindo significativamente o conceito de

função;

Conhecer as principais características das funções polinomiais de grau 1, grau 2, ... grau

n, sabendo esboçar seu gráfico e relacioná-lo com as raízes das equações polinomiais

correspondentes, e explorar intuitivamente as taxas de crescimento e decrescimento das

funções correspondentes;

Conhecer as propriedades fundamentais de potências e logaritmos, sabendo utilizá-las

em diferentes contextos, bem como sistematizá-las no estudo das funções exponenciais

e logarítmicas;

Compreender e aplicar as relações de proporcionalidade que caracterizam as razões

trigonométricas (seno, cosseno, tangente, entre outras) em situações práticas, bem como

282

ampliar o significado de tais razões por meio do estudo das funções trigonométricas,

associando as mesmas aos fenômenos periódicos em diferentes contextos;

Utilizar uma linguagem adequada para a representação de formas geométricas a partir

da percepção do espaço e das formas, reconhecendo e classificando formas planas

(ângulos, triângulos, quadriláteros, polígonos, circunferências, entre outras) e espaciais

(cubos, paralelepípedos, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outras);

Explorar a linguagem e as ideias geométricas para desenvolver a capacidade de

observação, de percepção de relações como as de simetria e de semelhança, de

conceituação, de demonstração, ou seja, de extração de consequências lógicas a partir

de fatos fundamentais diretamente intuídos ou já demonstrados anteriormente;

Explorar relações geométricas especialmente significativas, como as relativas às somas

de ângulos de polígonos, aos Teoremas de Tales e de Pitágoras, e muito especialmente

as relações métricas relativas ao cálculo de comprimentos, áreas e volumes de objetos

planos e espaciais;

Explorar uma abordagem algébrica da geometria – ou seja, a geometria analítica,

representando retas e curvas, como as circunferências e as cônicas, por meio de

expressões analíticas e sabendo resolver problemas geométricos simples por meio de

mobilização de recursos algébricos;

Explorar de modo significativo as relações métricas e geométricas na esfera terrestre,

especialmente no que tange a latitudes, longitudes, fusos horários;

Resolver problemas de escolhas que envolvem a ideia de otimização (máximos ou

mínimos) em diferentes contextos, recorrendo aos instrumentos matemáticos já

conhecidos, que incluem, entre outros temas, a função polinomial do 2º grau e algumas

noções de geometria analítica;

Compreender a ideia de aleatoriedade, reconhecendo-a em diferentes contextos,

incluindo-se jogos e outras classes de fenômenos, e sabendo quantificar a incerteza por

meio do cálculo de probabilidades em situações que envolvem as noções de

independência de eventos e de probabilidade condicional;

283

Saber organizar e/ou interpretar conjuntos de dados expressos em diferentes linguagens,

recorrendo a noções básicas de estatística descritiva e de inferência estatística (média,

mediana,desvios, população, amostra, distribuição binomial, distribuição normal, entre

outras noções) para tomar decisões em situações que envolvem incerteza.

Saber reconhecer problemas relacionados à sistemas lineares, e compreender as diversas

formas e estratégias de resolução desses sistemas, seja graficamente ou com uso de

matrizes e de determinantes

3. BIBLIOGRAFIA

A) Livros e Artigos

1. BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Educação Matemática. 2. ed., São Paulo:

Centauro, 2005.

2. BOYER, Carl B. História da matemática. 3. ed., São Paulo: Edgard Blucher, 2010.

3. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 13. ed.,

Campinas, SP: Papirus, 2006.

4. DEVLIN, Keith. O gene da matemática: o talento para lidar com números e a

evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2004.

5. FIORENTINI, Dario; Lorenzato, Sergio. Investigação em educação matemática:

percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores associados, 3. ed., 2009.

6. LIMA, Elon Lages et al. A matemática do Ensino Médio.

Rio de Janeiro: SBM, 1999. v. 1, 2 e 3 (Coleção do Professor de Matemática).

7. MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação

mútua. 6. ed. São Paulo: Cortez, 2011.

8. PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões

psicopedagógicas. Tradução de Juan Acunã Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas,

1996.

9. PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à

ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000.

B) Publicações Institucionais

1. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. Disponível em:

\<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf\> Acesso em: 02 ago. 2013.

2. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática;

ensino fundamental. São Paulo: SE, 2009.

3. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática;

ensino médio. São Paulo: SE, 2009.

4. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo:

matemática e suas tecnologias. São Paulo: SE, 2012. Disponível em:

\<http://www.educacao.sp.gov.br/a2sitebox/arquivos/documentos/238.pdf\>. Acesso

em: 18 jul. 2013.

trigonometria: expectativas institucionais para a prática docente

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