trigonometria - colegio 24 hs

7/25/2019 Trigonometria - Colegio 24 Hs

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Matemática

Trigonometría



4

ÍNDICE

1. Razones trigonométricas...................................... 6

2. Resolución de triángulos rectángulos............... 10

Ejercicios 2-1 ........................................................13

Hoja de respuestas 2-1 ........................................ 16 Ejercicios 2-2. Resolucion de triangulos

rectángulos (Aplicaciones del teorema de

Pitágoras) ............................................................. 18

Hoja de respuestas 2-2 ........................................ 21

Ejercicios 2-3 ........................................................23

Hoja de repuestas 2-3 ..........................................27

Ejercicios 2-4 ........................................................28


Ejercicios 2-5 ........................................................34


Ejercicios 2-6. Resolución de triángulos

oblicuángulos ....................................................... 37

Hoja de respuestas 2-6 ........................................ 43 3. Teorema del seno. Resolución de triángulos en

general .......................................................................45

Ejercicios 3-1 ........................................................48


Ejercicios 3-2 ........................................................55

Hoja de respuesta 3-2 ..........................................59



4. Teorema del Coseno. Resolución de triángulos

en general.................................................................. 61

Ejercicios 4-1 ........................................................65 Hoja de respuestas 4-1 ........................................ 69

Ejercicios 4-2 ........................................................71




6

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En un triángulo rectángulo podemos hallar la

medida de todos sus ángulos conociendo la ampli-

tud de uno de los ángulos agudos; ya que sabemos

que la suma de los ángulos interiores de un trián-

gulo es igual a 180º. También, conociendo dos de

sus lados podemos conocer la medida del tercero

aplicando el Teorema de Pitágoras.Es importante estudiar las razones trigonomé-

tricas porque nos permiten relacionar los lados

con los ángulos de un triángulo rectángulo.

Dado el triángulo abc :



7

Por ejemplo: si consideramos el ángulo b , su

cateto opuesto es B y su cateto adyacente es C.

Nombraremos con letras minúsculaslos vértices y ángulos y con la mismaletra, pero mayúscula, el lado opuestoa cada ángulo.

a

b

cB

A C



8

DEFINICIÓN DE LAS TRES RAZONES TRIGONO-

MÉTRICAS MÁS USUALES

Relación trigonométrica En símbolos

hipotenusa

opuestocatetob sen !

A

Bb sen !

hipotenusa

adyacentecatetob cos !

A

Cb cos !

adyacentecateto

opuestocatetob tg !

C

Bb tg !

Utilizando estas razones y ayudándonos con la

calculadora, podremos averiguar la amplitud de un

ángulo agudo del triángulo rectángulo conociendo

dos de sus lados.

Ejemplo:

! Dado el triángulo abc, y sabiendo que: A

= 16 cm y C = 10 cm , averiguaremos la

amplitud de los ángulos b y c



9

5504º38c

0,625csen

cm16

cm10csen

A

Ccsen

"""!

!

!

!

a

b

c

A C

Para usar la calculadora debés ingresar el valor

del seno del ángulo 0,625 luego las teclas:

y obtenés el valor del ángulo en

sistema decimal, apretás otra vez y

y obtenés el valor del ángulo en grados sexagesima-

les

inv sen

inv º



10

2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo significa cal-

cular la medida de sus lados y la amplitud de sus

ángulos.

Utilizaremos entonces las razones trigonomé-

tricas:

c

b a

Hipotenusa

Cateto

Cateto



11

En cualquier triángulo rectángulo En el triángulo abc

hipotenusa

opuestocateto sen !#

ac

bc sen !#

hipotenusa

adyacentecateto cos !#

ac

ab cos !#

adyacentecatetoopuestocateto tg !#

ab

bc tg !#

Ejemplo resuelto

Observa los datos de la figura y los lados y án-

gulos restantes:

021

c

a b

3,4 cm



12

Cálculo de la hipotenusa ( bc )

bc

abc sen !ˆ

bc

cm sen o 4,3

21 !

021

4,3

sen

cmbc !

36,0

4,3 cmbc !

cmbc 4,9!

Calculamos el valor del seno utilizan-

do la calculadora. Nos da como

resultado 0,3583674949 y aproxima-

mos a 0,36.

Despejamos la hipotenusa

Reemplazamos los datos de

la figura



13

EJERCICIOS 2-1

E JERCICIO 1

Con los datos de la figura y los lados y ángulos

restantes:

E JERCICIO 2

Un pintor desea pintar la pared de una casa

cuya altura es de 4,5 m. Pero necesita saber a qué

distancia de la pared ubica la escalera para que no

c

34º

a

12 cm



14

se caiga, sabiendo que la escalera forma un ángulo

de 62º con el piso.

E JERCICIO 3

En el aeropuerto realizaron un curso para me-

jorar el despegue de los aviones. Cuando el aviónforme un ángulo de 26º con la pista y haya reco-

rrido 345 m, tendrá un buen despegue. Queremos

saber: ¿cuánto debe medir el avión?

E JERCICIO 4

Leonardo remonta un barrilete junto con su

papá. La altura que alcanzó el barrilete es de 12 m

y el ángulo que forma el hilo del barrilete con el

piso es de 29º. Calculá ¿cuánto hilo debió soltar

para que el barrilete se encuentre a esa altura?



15

E JERCICIO 5

Tras la fuerte tormenta un poste 3,8 m de luz

se ha quebrado por la mitad. Y el ángulo que que-

dó formado por las dos partes del poste es de 47º

21´. Calculá la distancia entre la base del poste y la

punta que quedó en el piso.

E JERCICIO 6

Cuando llega el atardecer y el sol se encuentra

a 15º del horizonte, un árbol da una sombra de 23

m . Calculá la altura del árbol.



16

HOJA DE RESPUESTAS 2-1

E JERCICIO 1

º56ˆ !b

mab 71,6!

mac 94,9!

E JERCICIO 2

La distancia entre la pared y la escalera es de 2,

4 m

E JERCICIO 3

El avión debe medir 387,6 m



17

E JERCICIO 4

El hilo debe medir 25 m

E JERCICIO 5

La distancia entre la base del poste y la punta

que quedó en el piso es de 1,39 m

E JERCICIO 6

La altura del árbol es de 6,16 m

Nota: Todos los resultados están aproximados



18

EJERCICIOS 2-2. RESOLUCION DETRIANGULOS RECTÁNGULOS

(APLICACIONES DEL TEOREMADE PITÁGORAS)

E JERCICIO 1

Lucas viaja 8 km al Norte, 3 km al Oeste, 7

km al Norte y 12 km al Este.

¿A qué distancia está Lucas del punto de partida?

E JERCICIO 2

Un alambre de 18 cm está doblado formando

la siguiente figura:

B

A

3 cm



19

# Calculá la distancia de A a B.

E JERCICIO 3

La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene

una medida de 18 cm, y uno de los catetos mide12 cm.

¿Cuánto mide el otro cateto?

E JERCICIO

4Una escalera de 2,5 m de largo se coloca co-

ntra una pared con la base a 90 cm de la pared.

¿A qué altura del piso está la parte más alta de

la escalera?

E JERCICIO 5

Hallá la diagonal de un rectángulo cuyos lados

tienen una longitud de 10 y de 8.



20

Recordá que:

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-

drados de los catetos

c

b a

Hipotenusa

Cateto

Cateto A

CatetoC

B

(Hipotenusa)2 = (Cateto A)2 + (Cateto B)2



21


E JERCICIO 1

Se encuentra a una distancia de 17,5 km

aproximadamente.

E JERCICIO 2

cm , AB 499$

E JERCICIO 3

El otro cateto mide aproximadamente 21,6 cm

E JERCICIO 4

Aproximadamente 2,66 m



22

E JERCICIO 5

12,8 m



23

EJERCICIOS 2-3

E JERCICIO 1

En el triangulo abc, te damos los siguientes

datos:

%&

%'(

!

!

32ºb

4cmac

ˆ

a- Calculá la medida del lado ab .

b- Calculá la medida del lado bc

a b

c



24

E JERCICIO 2

El aula de Matías tiene la forma de un parale-

lepípedo, y está representada por el cuerpo de

color verde que figura más abajo. Se sabe que el

largo, el ancho y la altura de la habitación son

m12cd ym4bc m;5ab !!!

respectivamente.

# Calculá la diagonal ad del aula de Matías

c

b

d



25

E JERCICIO 3

Dada una caja rectangular de 8 cm de largo, 6

cm de ancho y 11 cm de diagonal.

# Hallá la altura de la caja.

E JERCICIO 4

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en

la figura.

# Hallá el valor de d

12 cm

35º

d

10º



26

E JERCICIO 5

Sabiendo que en un triángulo isósceles la base

mide 5cm y el lado 15cm.

# Calculá la altura del triángulo.



27

HOJA DE REPUESTAS 2-3

cmmenteaproximadamidealtura La

cmd

cmmenteaproximadamidealtura La

cmad

cmbc

cmab

5Ejercicio

4Ejercicio

3Ejercicio

2Ejercicio

-b

-a

1Ejercicio

79,14

37,8

6,4

6,13

54,7

4,6

$

$

$

$



28

EJERCICIOS 2-4

1- Calculá los lados y ángulos de un rombo

cuyas diagonales miden 8cm y 6cm respectiva-

mente.

2- Hallá la distancia del punto "a" a la recta R.

3- Un árbol y un observador se encuentran en

orillas opuestas de un río. El observador mide el

ángulo que forma la visual desde el suelo con el

punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede

40º

a

ºR

45 metros



29

10 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un re-

sultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?

4- Hallá la altura de una antena de radio si su

sombra mide 100m cuando los rayos del Sol for-

man un ángulo de 30º con la horizontal.

5- Para conocer la altura de una torre hemos

medido el ángulo de elevación desde el suelo al

punto más alto, obteniendo un resultado de 43º.

Al acercarnos 15m hacia la torre, obtenemos un

nuevo ángulo de 57º. ¿Cuál es la altura de la torre?

6- Desde un acantilado de 50m se ve un barco

bajo un ángulo de 70º. ¿A qué distancia se encuen-

tra el barco?



30

7- Para determinar la altura de un poste nos

hemos alejado 7m de su base, hemos medido el

ángulo que forma la visual al punto más alto con

la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¿Cuánto

mide el poste?

8- Al aproximarse una patrulla de reconoci-miento a un edificio situado en una llanura, obser-

va un objeto situado en la terraza del mismo con

un ángulo de elevación de 10°. Luego de avanzar

200 metros en línea recta hacia la construcción,

observa al objeto con un ángulo de elevación de

15°. ¿Cuál es la altura del edificio y cuánto reco-

rrió desde que comenzó la observación hasta lle-

gar al edificio?

9- Dos boyas son observadas en la dirección

Sur desde lo alto de un acantilado cuya parte supe-

rior está a 312 m sobre el nivel del mar. Hallá la

distancia entre las boyas si sus ángulos de depre-



31

sión medidos desde la punta del acantilado son de

46° 18’ y 27° 15’ respectivamente.

10- Los ángulos iguales de un triángulo isósce-

les son de 35° y la base es de 393,18 cm. Hallá los

demás elementos del triángulo y calculá su super-

ficie.



32


1) Los lados miden 5 cm. Cada uno y los án-

gulos miden: 6351106 """) , 324473 """) .

2) La distancia del punto a a la recta R es de

aprox. 45,95 metros.

3) Aproximadamente 13,9 m.

4) La altura es aproximadamente 57,75 me-

tros.

5) La altura de la torre es aproximadamente35,9 metros.

6) El barco se encuentra a 146,2 metros.

7) La altura del poste es aproximadamente de

5,87 m.

8) La altura del edificio es de 103,13 m

aproximadamente. La distancia total recorrida

fue de 584,89 metros aprox.

9) La distancia entre las boyas es 307,64 m

aprox.



33

10) El ángulo que falta mide 110º, los lados

iguales del triángulo isósceles miden

240cm. La superficie del triángulo es :

27061,36 cm2.



34

EJERCICIOS 2-5

E JERCICIO 1

Una escalera de 6 m está apoyada contra un muro

vertical, de forma que la base está separada 2 m

del muro.

# Calculá el ángulo que forma la escalera con

el muro.

E JERCICIO 2

Un barco navega durante 35 Km, con un rumbo

de 42º respecto del eje este-oeste, hacia el noreste.

a- ¿Cuánto ha avanzado hacia el Norte?

b- ¿Cuánto ha avanzado hacia el Este?

E JERCICIO 3

Un avión despega formando un ángulo de 30º con

el piso.



35

# ¿Cuál será la distancia recorrida por la

sombra del avión, sobre la pista, cuando el

avión haya recorrido 800 m de vuelo desdeel punto de elevación?

E JERCICIO 4

Cuando el Sol se encuentra a 20º sobre elhorizonte

# ¿Cuánto medirá la sombra que proyecta

una torre de 62 m de altura?

62m

20º



36


Los resultados son aproximados a dos decimales

E JERCICIO 1

# =19º 28’ 16”

E JERCICIO 2

a- 23,42 Km.

b- 26,01 Km.

E JERCICIO 3

692,82 m

E JERCICIO 4

x =170,34 m



37

EJERCICIOS 2-6. RESOLUCIÓN DETRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

E JERCICIO 1

Un chico juega con un mecano que tiene pie-zas de 12cm y 7 cm de largo. Con dos piezas de

cada clase arma un rectángulo y lo va deformando

convirtiéndolo en paralelogramo.a) ¿Cuánto miden los ángulos del paralelogramo

cuando su área es de 60 cm2?

b) ¿Cuánto miden las diagonales de este paralelo-

gramo?

c) Encontrá una expresión general que te permita

calcular un ángulo del paralelogramo en fun-

ción del área del mismo.

E JERCICIO 2

Para construir la cara de un payaso una Danie-

la usa un círculo de cartulina de 8 cm de diámetro.



38

El bonete lo arma con un triángulo equilátero que

tiene sus lados tangentes al círculo, con sus vérti-

ces A y B sobre el borde de dicho círculo. ¿Cuál esla superficie total de la cartulina utilizada?

E JERCICIO 3

Sebastián juega con dos espejos y una linterna.Coloca los espejos con un borde en común, for-

mando un ángulo de 130º. ¿Qué ángulo debe dar

al rayo de luz para que después de reflejarse en

uno de los espejos el rayo reflejado sea // al otro

espejo.

E JERCICIO 4

En la clase de actividades prácticas se pide a

los alumnos que construyan y recorten un cuadra-

do, que lo doblen por la diagonal y que luego

construyan otro cuadrado con dicha diagonal co-mo lado. ¿Qué relación existe entre las áreas de

ambos cuadrados.



39

E JERCICIO 5

Dos motociclistas parten del punto en el quese bifurcan dos carreteras rectas que forman un

ángulo de 55º. Viajan a 90 km/h y a 120 km/h,

respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran

uno del otro al cabo de 3 minutos?

E JERCICIO 6

Hallá el valor de los ángulos interiores del

triángulo de la figura sabiendo que los radios

de los tres círculos son 40,6 cm; 1 m y 1,64 m



40

E JERCICIO 7

Los ratones han comido parte de una piezatriangular de cartón. Calculá las longitudes de los

lados de la pieza a partir de lo que ha quedado de

la pieza.

E JERCICIO 8

Dos lanchas salen de un embarcadero en di-

recciones que forman un ángulo de 70º, con velo-cidades respectivas de 50 km/h y 40 km/h. ¿A

qué distancia estarán una de la otra al cabo de 2

minutos?

120 cm

85º 50º



41

E JERCICIO 9

A un ebanista le han encargado un tablerotriangular pero sólo conoce dos de las de longitu-

des de los lados, 1 m y 1,75 m respectivamente, y

el ángulo opuesto al primero de 30º. ¿Cuál es la

superficie y perímetro del tablero?

E JERCICIO 10

El radar de un buque de guerra detecta un

barco enemigo en dirección este a 8 km de distan-

cia y otro en dirección exactamente noroeste a 6

km. ¿Cuánto distan entre sí los dos barcos detec-

tados?

E JERCICIO 11

Un jugador de golf lanza una pelota desde la

posición de salida de un hoyo, distante 350m, yalcanza una distancia de 180m. Pero el golpe ha

sido defectuoso y la dirección de la pelota forma

un ángulo de 20º respecto de la dirección hacia el

hoyo . ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su

pelota?



42

E JERCICIO 12

Dos observadores, distantes 5 km entre sí, di- visan un OVNI (Objeto Volador No Identificado)

dirigiendo sus prismáticos con ángulos de eleva-

ción respectivos de 80º y 65º. ¿A qué altura se

encuentra el OVNI?



43


1-

a) Los ángulos miden 45º35´05´´ y

134º24´55´´ respectivamente

b) Las diagonales miden 17,61cm y 8,69 cm

respectivamente

c)Expresión general:1.l b

Aarcsen!# siendo:

A = área; b = base;y l1 = uno de los lados

2- El área total es de 65,51cm2

3- El ángulo debe ser de 50º respecto de la

superficie normal en la que se refleja

4- El cuadrado formado por la diagonal tiene

un área igual al doble del área del cuadrado inicial.

5- Se encuentran separados a 5 km.



44

6- Las medidas de los ángulos son:

6341º83 """!

c

!

, 7455º31 """!

a

!

y 7394º64 """!

b

!

.7- Los lados miden respectivamente 130 cm

y 169 cm.

8- Al cabo de ese tiempo estarán separadas a

4,71 km aproximadamente.

9- La superficie del tablero es de 0,875 m2 y

el perímetro es de 4,75 m aprox.

10- Distan entre sí 13 km.

11- La pelota quedó aproximadamente a 191

metros de distancia.

12- El OVNI se encontrará a 7,77 km

aproximadamente de altura.



45

3. TEOREMA DEL SENO. RESO-LUCIÓN DE TRIÁNGULOS EN

GENERAL

Así como las razones trigonométricas se utili-

zan para resolver triángulos rectángulos, el teore-

ma del seno y el teorema del coseno se utilizan

para resolver tanto los triángulos acutángulos (con

los tres ángulos agudos), o bien, los triángulos

oblicuángulos ( dos ángulos agudos y uno obtuso).

csen

C

bsen

B

asen

A!!

Es una proporción entre los lados de un triángulo

y los senos de los ángulos opuestos.



46

E JEMPLO

! Calculá el ángulo b sabiendo que B=6

cm, C= 3 cm y c = 29º

A

B

C

b

a c

Recordá:

El teorema del seno resuelve un triángulo:

$ conociendo dos ángulos y el lado opuesto

a uno de ellos;

$ dos ángulos y el lado comprendido entre

ellos;

$ dos lados y el ángulo opuesto a uno de

ellos.



47

! En este ejercicio estamos en el caso de doslados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

De las proporciones del teorema del seno

º75ˆ3

º29.6ˆ

º29

3

ˆ

6

ˆˆ

!*+ ,

-./

0 !

*!*!

Bcm

sencmarcsen B

sen

cm

b sen

cm

c sen

C

b sen

B

b

c

a A

B

C



48

EJERCICIOS 3-1

E JERCICIO 1

! Sabiendo que en un triángulo el lado B =

4 cm, el lado A= B5

3 , y a =26º. Calculá la

amplitud de los ángulos .cyb

E JERCICIO 2

Resolvé el triángulo abc, sabiendo que A =

62,5 cm; a = 112º 20´ y c = 42º 10´

a

AC



49

E JERCICIO 3

Sabiendo que C = 25cm, a = 35º y b= 68º ;calculá los elementos restantes del triángulo

abc.

E JERCICIO 4

Resolvé el triángulo abc sabiendo que C= 628

mm, B = 480mm y c = 55º 10´

E JERCICIO 5

a y b son dos puntos localizados en las márgenes

de un río. Desde a se traza una línea ac = 275 m

y se miden los ángulos bac ˆ = 125º 40´ y bca ˆ =

48º 50´. Encontrá la longitud de ab .

E JERCICIO 6

Resolvé el triángulo abc, sabiendo que A = 525

cm, C= 421 cm y a = 130º 50´.



50

E JERCICIO 7

Una remisería tiene 3 sucursales a, b, c. Se sabe

que la distancia entre b y c es 17 m y entre a y c

es 14 m, el ángulo cab ˆ = 30º. Calculá cba ˆ

E JERCICIO 8

Dados los siguientes datos calculá lo que co-

rresponda:

a) C = 189 cm, A =150 cm, c = 85º18 ´´.

Calculá el ángulo a

b) a = 28º 18´, b= 56º 48´, A = 32, 3 cm .

Calculá el lado B.

c) a = 42.45º, A = 315, 2 cm , B = 457,8 cm.

Calculá el ángulob

.



51

E JERCICIO 9

Resolvé los siguientes triángulos oblicuángulos,

dados:

a) a = 54º 40´, A = 125 cm, b = 65º 10´

b) a = 75º 20´, B = 321 cm, c = 38º 30´

c) bˆ

= 42º 40´, C = 150 cm, B = 215cmd) a = 48º 50´, B = 426 cm, A = 512cm

e) b = 118º 30´, B = 50,4 cm, C = 33,3 cm

f) b =112º 20´, B = 40,2 cm, A = 31,5cm



52


E JERCICIO 1

b = 47º c =107º

E JERCICIO 2

b =25º 30´, B = 29,1 cm, C = 45,4 cm

E JERCICIO 3

c =77º, A = 15 cm, B = 24 cm

E JERCICIO 4

b = 38º 50´, a = 86º , A = 764 mm



53

E JERCICIO 5

La longitud de ab es 2160 m

E JERCICIO 6

c= 37º 20´,

b= 11º 50´, B = 142 cm

E JERCICIO 7

b = 35º ó b = 145º

E JERCICIO 8

a) a = 52º 17´

b))B = 65,7cm

c) b = 78º ó b = 101,39º



54

E JERCICIO 9

a) c = 60º 10´ B =139 cm, C = 133 cm

b) b = 66º 10´, C = 218 cm, A = 339 cm

c) c = 28º 10´, a = 109º 10´, A = 300 cm

d) c = 92º 20´, b = 38º 50´, C = 680cm

e) a = 26º , c = 35º 30´, A = 25,1 cm

f) a = 46º 30´, c = 21º 10´, C = 15,7 cm



55

EJERCICIOS 3-2

E JERCICIO 1

El astrónomo Pitágoras sabía que la distancia

entre la estrella ‘alfa centauro’ y la luna es de 7 cm

y º50ˆyº60ˆ !! 1 #

# ¿A qué distancia se encuentra la estrella

alfa centauro de la Tierra?

#

ˆ



56

E JERCICIO 2

El cuidador del faro sabe que la distancia des-

de el mirador hasta la cabaña es de 15 m y hasta la

montaña es de 6 m. Si el ángulo º120ˆ !#

# Calculá 1 .

E JERCICIO 3

Mariano juega fútbol americano y para poder

realizar un “gol” utiliza algunas estrategias. Sabe

ˆ

# ˆ



57

(por experiencia) que la distancia entre su compa-

ñero más cercano es de 8 m aprox. Y que

º42ˆ º57ˆ !! 1 # y .

# ¿A qué distancia se encuentra del “arco”?

E JERCICIO 4

Con los datos que aparecen en la figura del

triángulo abc

# Calculá el lado ac .

#

1 com añero

arco

b

a c

52º

81º

10 cm



58

E JERCICIO 5

Dados los siguientes datos del triángulo abc

%&

%

'

(

!!

!

cmbc

b

a

5

67ˆ

º63ˆ

# Calculá el lado el lado ac .



59

HOJA DE RESPUESTA 3-2

E JERCICIO 1

La distancia entre la estrella alfa centauro y la

Tierra es de 6,19 cm

E JERCICIO 2

1 =20,3º

E JERCICIO 3

Mariano se encuentra a 6,38 m del arco

E JERCICIO 4

ac=12,5 cm



60

E JERCICIO 5

ac=5,1 cm



61

4. TEOREMA DEL COSENO. RE-SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS EN

GENERAL

Así como las razones trigonométricas se utili-

zan para resolver triángulos rectángulos, el teore-

ma del seno y el teorema del coseno se utilizan

para resolver tanto los triángulos acutángulos (con

los tres ángulos agudos), o bien, los triángulos

oblicuángulos ( dos ángulos agudos y uno obtuso).

TEOREMA DEL COSENO

ccos.B. A.2B AC

ccos.C.B. A.2C AB

acos.C.B.2CB A

222

222

222

23!

23!

23!



62

E JEMPLO

Dados los lados ab = 20cm, ac =12cm y el

ángulo a = 100º, calculá todos los elementos res-

tantes del triángulo.

b

caB

AC

Recordá que:

Este teorema resuelve los siguientes casos

que se conozcan:

2 lados y el ángulo que forman entre ellos

3 lados

c

a

b



63

R ESOLUCIÓN

! Cálculo de bc

cm25bc

cm35.627bc

)17.0.(cm480cm144cm400bc

º100cos.cm12.cm20.2)cm12()cm20(bc

acos.ac.ab2acabbc

22

2222

222

222

$

!

223!

23!

23!

4 Cálculo del ángulo b

4

´´532º52ˆ

ˆcos615.0

ˆcos.600769400

ˆcos.600625144400

ˆcos.25.12.2)25()12()20(

ˆcos..2

22

222

222

222

!

!

2!

23!

23!

23!

b

b

bcmcm

bcmcmcm

bcmcmcmcmcm

bbcacbcacab



64

! Cálculo del ángulo c

´´37´57º27ˆ

º180ˆ´´232º52º100º180ˆ

ˆˆ

!

!33!33

c

ccba



65

EJERCICIOS 4-1

E JERCICIO 1

! Calculá c, sabiendo que

º42c

cm12 Acm30B

!

!!

E JERCICIO 2

Resolver el triángulo abc, sabiendo que

A = 132 cm, B = 224 cm y c = 28º 40´

b

a

AC

c



66

E JERCICIO 3

Dados A = 322 cm , C = 212 cm y b = 110º

50 ´, resolvé el triángulo abc.

E JERCICIO 4

Dados A = 25,2 cm, B = 37, 8 cm y C = 43,4

cm, resolvé el triángulo abc.

E JERCICIO 5

Resolver el triángulo abc, sabiendo que A =

30,3 cm, B = 40,4 cm y C = 62,6 cm.

E JERCICIO 6

Se quiere calcular las distancias de un punto c

a los puntos a y b, pero no se pueden medir direc-

tamente.



67

El segmento ca se prolonga hasta el punto d

una distancia de 175m.

La prolongación del segmento cb llega hasta

un punto e a una distancia de 225 m, respecto de

b.

Sabiendo que ab = 300 m, db = 326 m y

de = 488 m, calcular ac y bc .

b

c

a

d

e



68

E JERCICIO 7

Con los datos de cada ejercicio:

a) b= 30º, A = 17 cm, C = 14 cm. Encontrá

el lado B

b) c = 108º ; A = 25,7 cm, B = 38,7 cm. En-

contrá el lado C

c) Hallá la amplitud del ángulo b sabiendo, A

= 7,6 cm, B = 4,8 cm, C = 7,1cm

E JERCICIO 8

! Resolvé los triángulos oblicuángulos con

los siguientes datos:

a) a = 118º 40´, C = 270 cm, B = 120 cm.

b) A = 24,5 cm, B =18,6 cm, C = 26,4 cm

c) A = 6,34 cm, B = 7,30 cm, C = 9,98 cm



69


E JERCICIO 1

C = 22,6 cm

E JERCICIO 2

a = 30º 30´, b = 120º 40´, C = 152 cm

E JERCICIO 3

a = 42º 40´, c = 26º 30´, B = 444 cm

E JERCICIO 4

a = 35º 30´, b= 60º 10´, c = 84º 30´



70

E JERCICIO 5

a = 23º 40´, b= 32º 20´, c = 124º

E JERCICIO 6

ac= 145 m,

bc= 350 m

E JERCICIO 7

a) B= 8,5 cm

b) C = 14,3 cm

c) b= 38º

E JERCICIO 8

a) c = 43º 30´, b= 17º 50´, A = 344 cm

b) a = 63º 10´, b= 42º 40´, c = 74º 10´

c) a = 39º 20´, b= 46º 50´, c = 93º 50´



71

EJERCICIOS 4-2

E JERCICIO 1

Sergio estudia Dirección de Cine, y está reali-

zando una puesta en escena; el actor “a” se en-cuentra a 5 m del actor “b” y éste a 8 m de la cá-

mara; el ángulo b =112º.

¿A qué distancia se encuentra el actor “a” de la

cámara ?

a

b

c



72

E JERCICIO 2

Marisa esquía en un circuito de Bariloche.Lleva recorrido 6 m de la pista( ac ), le faltan dos

tramos el primero de 5 m ( bc ) y el segundo de 7

m ( ab ). Para empezar el primer tramo debe do-

blar con el ángulo ( c ) lo más preciso posible

¿Cuánto mide ese ángulo?

E JERCICIO 3

En una agencia de viajes hay una promoción

de un tour que consiste en visitar Argentina, Brasil

y Canadá. Verónica observa un mapa de América

y obtiene la siguiente información (en escala).La

a

b

c



73

distancia entre Argentina y Brasil es de 5 cm; la de

Argentina y Canadá es de 7 cm y el ángulo b mide

60º.Calculá la distancia entre Brasil y Canadá (en

escala)

E JERCICIO 4

La torre de Pisa está sufriendo una inclina-ción; la altura de la torre es de 8 m ( ba ); la “dis-

tancia” desde el mirador hasta un cierto punto del

suelo es de 7m ( bc ) y el ángulo que queda deter-

minado mide 47º.

Calcular la longitud ac

a

c



74

E JERCICIO 5

Con los datos que aparecen en la figura, calculá

el lado ab

a

b

c

´24º42

5 cm

8 cm

a

b c



75


E JERCICIO 1

El actor “a” se encuentra a 10,9 m de la cámara

E JERCICIO 2

El ángulo mide c=78º 27´47´´

E JERCICIO 3

La distancia entre Brasil y Canadá es de 8 cm (en

escala).

E JERCICIO 4

La longitud de ac es de 6,05 m



E JERCICIO 5

ab =5,47

trigonometria - colegio 24 hs

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